ხარისხი და მისი თვისებები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2019)

რატომ არის საჭირო ხარისხები? სად დაგჭირდებათ ისინი? რატომ უნდა დაუთმოთ დრო მათ შესწავლას?

გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არიან ისინი, როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა Ყოველდღიური ცხოვრებისწაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ წარმატებას გავლის OGEან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა და ჩაბარება თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში.

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი! თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ gobbledygook, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. ამისათვის დააჭირეთ CTRL+F5 (Windows-ზე) ან Cmd+R (Mac-ზე).

პირველი დონე

ექსპონენტაცია არის მათემატიკური ოპერაცია, ისევე როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.

ახლა ყველაფერს აგიხსნი ადამიანის ენაძალიან მარტივი მაგალითებით. Ფრთხილად იყავი. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ხსნის მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. ყველას აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლაა? მართალია - 16 ბოთლი.

ახლა გამრავლება.

იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს და შემდეგ ადგენენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ერთნაირი რაოდენობის კოლას ბოთლი ჰქონდა და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.

ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, უფრო რთული და შეცდომებით! მაგრამ…

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

ზარმაცი მათემატიკოსების დათვლის კიდევ რა ჭკვიანური ხრიკები მოიგონეს? მარჯვენა - რიცხვის ძალამდე აყვანა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ თქვენ უნდა აიყვანოთ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვს, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის... და ისინი თავის თავში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და უშეცდომოდ.

ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის დაიმახსოვრე რა არის ხაზგასმული ფერით რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.

სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს? კვადრატინომრები და მესამე - კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა თქვენ გექნებათ როგორც კვადრატები, ასევე კუბურები.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ კვადრატით ან რიცხვის მეორე ხარისხებით.

წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომლის ზომებია ერთი მეტრი ერთი მეტრით. აუზი თქვენს აგარაკზეა. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ... აუზს ფსკერი არ აქვს! აუზის ფსკერი უნდა დაფაროთ ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ქვედა ფართობი.

თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ გამოთვალოთ თითით, რომ აუზის ძირი შედგება მეტრი-მეტრიანი კუბებისგან. თუ თქვენ გაქვთ ფილები ერთი მეტრით ერთ მეტრზე, დაგჭირდებათ ცალი. ადვილია... მაგრამ სად გინახავთ ასეთი ფილები? კრამიტი დიდი ალბათობით იქნება სმ-სმ-ზე და მერე გაწამებენ „თითით დათვლა“. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გაამრავლეთ და მიიღებთ ფილებს ().

შენიშნეთ, რომ აუზის ფსკერის ფართობის დასადგენად ჩვენ გავამრავლეთ იგივე რიცხვი თავისთავად? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ჩვენ ვამრავლებთ ერთსა და იმავე რიცხვს, შეგვიძლია გამოვიყენოთ „გამდიდრების“ ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ ჯერ კიდევ გჭირდებათ მათი გამრავლება ან მათი მნიშვნელობის გაზრდა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ მათი ხარისხზე აყვანა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხამდე იქნება (). ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ კვადრატს ხედავთ, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

აქ არის თქვენთვის ამოცანა: დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორე მხარესაც. მათი რიცხვის გამოსათვლელად რვა უნდა გაამრავლოთ რვაზე ან... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. თქვენ მიიღებთ უჯრედებს. () Ისე?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბური მეტრი. მოულოდნელი, არა?) დახატეთ აუზი: ფსკერი მეტრისა და მეტრის სიღრმის და სცადეთ დათვალოთ რამდენი კუბი გაზომილი მეტრი მეტრით მოერგება თქვენს აუზს.

უბრალოდ აჩვენე თითი და დაითვალე! ერთი, ორი, სამი, ოთხი... ოცდაორი, ოცდასამი... რამდენი მიიღეთ? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?

ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამასაც გაამარტივებენ. ჩვენ ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე დავყვანეთ. შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად მრავლდება... რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ ისარგებლოთ ხარისხით. ასე რომ, რაც ერთხელ დაითვალეთ თითით, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: სამი კუბი ტოლია. ასე წერია: .

რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრე გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ მოგწონთ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ განაგრძოთ თითით დათვლა.

ისე, ბოლოს და ბოლოს რომ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები გამოგონებულებმა და ცბიერმა ადამიანებმა თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემების გადასაჭრელად და არა პრობლემების შესაქმნელად გამოიგონეს, აქ არის კიდევ რამდენიმე მაგალითი ცხოვრებიდან.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში, თქვენ მიერ გამომუშავებულ ყოველ მილიონზე, თქვენ გამოიმუშავებთ კიდევ მილიონს. ანუ ყოველი მილიონი გაორმაგდება ყოველი წლის დასაწყისში. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და „თითით ითვლი“, მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და... სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორი გამრავლებული ორზე... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორზე, მესამე წელს... გაჩერდით! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ის, ვინც ყველაზე სწრაფად დათვლას შეძლებს, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს რიცხვების ძალების გახსენება, არ ფიქრობთ?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში, თქვენ მიერ გამომუშავებულ ყოველ მილიონზე, თქვენ მიიღებთ დამატებით ორს. შესანიშნავია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან ყველაფერი უკვე გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ხარისხს ის უდრის მილიონს. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ძალა არის ან.

ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით თქვენს ცხოვრებას ბევრად გაადვილებთ. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.

ტერმინები და ცნებები... რომ არ აგვერიოს

ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის მაჩვენებელი? ეს ძალიან მარტივია - ეს არის რიცხვი, რომელიც არის რიცხვის სიმძლავრის "ზევით". არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი...

აბა, ამავდროულად, რა ასეთი ხარისხის საფუძველი? კიდევ უფრო მარტივი - ეს ის რიცხვია, რომელიც მდებარეობს ქვემოთ, ბაზაზე.

აქ არის ნახატი კარგი საზომისთვის.

კარგად შედი ზოგადი ხედი, განზოგადებისა და უკეთ დასამახსოვრებლად... გრადუსი ფუძით „ ” და „ ” მაჩვენებლით იკითხება როგორც „ხარისხამდე“ და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: იმიტომ რომ მაჩვენებელია ბუნებრივი რიცხვი. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ობიექტების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... ობიექტებს რომ ვითვლით, არ ვამბობთ: „მინუს ხუთი“, „მინუს ექვსი“, „მინუს შვიდი“. ჩვენ ასევე არ ვამბობთ: "ერთი მესამედი", ან "ნულოვანი წერტილი ხუთი". ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა რიცხვებია ეს?

რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს არის მაშინ, როცა არაფერია. რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე გაქვთ ბალანსი რუბლებში, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.

ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდა ისინი, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?

კიდევ არის კიდევ ირაციონალური რიცხვები. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, გაუთავებელი ათობითი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

მოდით განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ე.ი. მთელი და დადებითი).

ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას:
რიცხვის კუბირება ნიშნავს თავის თავზე სამჯერ გამრავლებას:

განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.

ხარისხების თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ: რა არის ეს და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ დავამატეთ მამრავლები ფაქტორებს და შედეგი არის მულტიპლიკატორები.

მაგრამ განსაზღვრებით, ეს არის რიცხვის სიძლიერე მაჩვენებლით, ანუ: , რაც დასამტკიცებელია.

მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

გამოსავალი:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზები უნდა იყოს!
ამიტომ, ჩვენ ვაკავშირებთ ძალაუფლებას ბაზასთან, მაგრამ ეს რჩება ცალკე ფაქტორად:

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლია ამის დაწერა.

2. ესე იგი რიცხვის ე ძალა

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ჯერ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

არსებითად, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ბოლოს და ბოლოს.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

უფლებამოსილებაში ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი ან ლუწი.

მოდით დავფიქრდეთ, რომელ ნიშანს ("" ან "") ექნება დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითია თუ უარყოფითი? ა? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთზე, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს მინუსს აძლევს პლუსს“. ანუ, ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ, ის მუშაობს.

თავად განსაზღვრეთ რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა არ არის თანაბარი, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის!

სავარჯიშო 6 მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

თუ უგულებელვყოფთ მერვე ძალას, რას ვხედავთ აქ? გავიხსენოთ მე-7 კლასის პროგრამა. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:

მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების თანმიმდევრობა არასწორია. თუ ისინი შეცვლილი იყო, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.

მაგრამ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ეს ძალიან მარტივია: აქ დაგვეხმარება მნიშვნელის ლუწი ხარისხი.

ჯადოსნურად შეიცვალა ტერმინები. ეს "ფენომენი" ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბარი ხარისხით: ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევცვალოთ ნიშნები ფრჩხილებში.

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

მთელიჩვენ ვუწოდებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ეს არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, მოდით ვკითხოთ საკუთარ თავს: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული ხარისხი ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე რაც იყო - . რომელ რიცხვზე უნდა გაამრავლო, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრისკენ, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რამდენად მართალია ეს? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ არ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ იგი ნულოვან ხარისხზე.

მოდით გადავიდეთ. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელი რიცხვები ასევე შეიცავს უარყოფით რიცხვებს. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოვიქცეთ როგორც ბოლო დროს: გავამრავლოთ რამდენიმე ნორმალური ნომერიიგივე უარყოფითი ხარისხით:

აქედან ადვილია გამოხატო ის, რასაც ეძებ:

ახლა მოდით გავაფართოვოთ მიღებული წესი თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

უარყოფითი სიმძლავრის მქონე რიცხვი არის იგივე რიცხვის საპასუხო დადებითი სიმძლავრით. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(იმიტომ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა).

მოდით შევაჯამოთ:

I. გამოთქმა საქმეში არ არის განსაზღვრული. თუ, მაშინ.

II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .

III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულს უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებების მაგალითები:

პრობლემების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი გადაწყვეტილებები, თუ ვერ გადაჭრით და გამოცდაზე ადვილად ისწავლით მათთან გამკლავებას!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განვიხილოთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წილადის სახით იყოს წარმოდგენილი, სადაც და არის მთელი რიცხვები და.

რომ გავიგოთ რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განიხილეთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა გავიხსენოთ წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-2 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის მე-ა ხარისხის ფესვი () არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე ასვლისას ტოლია.

ანუ, th ძალაუფლების ფესვი არის ძალამდე აწევის შებრუნებული ოპერაცია: .

თურმე. ცხადია ეს განსაკუთრებული შემთხვევაშეიძლება გაფართოვდეს: .

ახლა ვამატებთ მრიცხველს: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლების ძალაზე წესის გამოყენებით:

მაგრამ შეიძლება ფუძე იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

გავიხსენოთ წესი: ლუწი ხარისხზე აყვანილი ნებისმიერი რიცხვი დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შესამცირებელი წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და აღმოჩნდება, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, მაგრამ ეს მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერია ერთი და იგივე ნომრის.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ თუ ინდიკატორს სხვანაირად ჩავწერთ, ისევ უბედურებაში ჩავვარდებით: (ანუ სულ სხვა შედეგი მივიღეთ!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ დადებითი ფუძის მაჩვენებლით წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

- ნატურალური რიცხვი;
- მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური ექსპონენტები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 მაგალითი პრაქტიკისთვის

ტრენინგისთვის 5 მაგალითის ანალიზი

კარგი, ახლა მოდის ყველაზე რთული ნაწილი. ახლა ჩვენ გავარკვევთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისის გარდა

ყოველივე ამის შემდეგ, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია, გარდა რაციონალური რიცხვებისა).

ხარისხების შესწავლისას ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლებით, ყოველ ჯერზე ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით არის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებული რიცხვი;

...რიცხვი ნულოვანი ხარისხით- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ მათ ჯერ არ დაუწყიათ მისი გამრავლება, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - ამიტომ შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული "ცარიელი რიცხვი". , კერძოდ რიცხვი;

...უარყოფითი მთელი ხარისხი- თითქოს რაღაც „საპირისპირო პროცესი“ მოხდა, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერებაში დიპლომი რთული მაჩვენებელი, ანუ ინდიკატორი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლი ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის ჩვეულებრივი წესით:

ახლა შეხედეთ ინდიკატორს. ის ხომ არაფერს გახსენებს? გავიხსენოთ კვადრატების განსხვავების შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:

IN ამ შემთხვევაში,

გამოდის, რომ:

პასუხი: .

2. ჩვენ ვამცირებთ წილადებს მაჩვენებლებში იმავე ფორმამდე: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:

პასუხი: 16

3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

— ხარისხის ბაზა;
- ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

მშენებლობა ნულოვანი ხარისხით:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ს ხარისხამდე არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის უარყოფითი მთელი რიცხვინომერი:

(იმიტომ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა).

კიდევ ერთხელ ნულების შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

- ნატურალური რიცხვი;
- მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხების თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს ვიღებთ შემდეგ პროდუქტს:

მაგრამ განსაზღვრებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი : .

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზები უნდა იყოს. ამიტომ, ჩვენ ვაკავშირებთ ძალაუფლებას ბაზასთან, მაგრამ ეს რჩება ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლია ამის დაწერა.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაჯგუფოთ ეს ნამუშევარი შემდეგნაირად:

არსებითად, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში: !

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ბოლოს და ბოლოს.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით.

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, როგორი უნდა იყოს ინდექსიგრადუსი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? უფლებამოსილებაში ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი ან ლუწი. მოდით დავფიქრდეთ, რომელ ნიშანს ("" ან "") ექნება დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითია თუ უარყოფითი? ა? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთზე, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს მინუსს აძლევს პლუსს“. ანუ, ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ - .

და ასე უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით ნიშანი შეიცვლება. შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი მარტივი წესები:

თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა უცნაურიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
დადებითი რიცხვი ნებისმიერი ხარისხით არის დადებითი რიცხვი.
ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალითში 5) ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: ბოლოს და ბოლოს, არ აქვს მნიშვნელობა რის ტოლია საფუძველი - ხარისხი თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა არ არის თანაბარი, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ ამას გავიხსენებთ, ცხადი ხდება, რომ და, შესაბამისად, საფუძველი ნულზე ნაკლები. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთზე, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გადავხედავთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამები:

გადაწყვეტილებები :

თუ უგულებელვყოფთ მერვე ძალას, რას ვხედავთ აქ? გავიხსენოთ მე-7 კლასის პროგრამა. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა!

ჩვენ ვიღებთ:

მოდით ყურადღებით დავაკვირდეთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების თანმიმდევრობა არასწორია. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, მე-3 წესი შეიძლება გავრცელდეს. მაგრამ როგორ? გამოდის, რომ ეს ძალიან მარტივია: აქ დაგვეხმარება მნიშვნელის ლუწი ხარისხი.

თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოდის:

ჯადოსნურად შეიცვალა ტერმინები. ეს "ფენომენი" ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბარი ხარისხით: ჩვენ შეგვიძლია მარტივად შევცვალოთ ნიშნები ფრჩხილებში. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!თქვენ არ შეგიძლიათ მისი ჩანაცვლება მხოლოდ ერთი მინუსის შეცვლით, რომელიც ჩვენ არ მოგვწონს!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ დავამტკიცოთ? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ იგი:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასოა სულ? ჯერ გამრავლებით - რას მოგაგონებთ ეს? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: იქ მხოლოდ მამრავლები იყო. ანუ, ეს, განსაზღვრებით, არის რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალური რიცხვების გარდა).

ხარისხების შესწავლისას ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური მაჩვენებლებით, ყოველ ჯერზე ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით არის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებული რიცხვი; რიცხვი ნულოვან ხარისხში არის, როგორც ეს იყო, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ მათ ჯერ არ დაუწყიათ მისი გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - ამიტომ შედეგი მხოლოდ გარკვეულია. „ცარიელი ნომერი“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი მთელი რიცხვის უარყოფითი მაჩვენებლით - თითქოს მოხდა რაღაც "საპირისპირო პროცესი", ანუ რიცხვი თავისთავად არ მრავლდებოდა, არამედ იყოფა.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). ეს უფრო წმინდა მათემატიკური ობიექტია, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გაავრცელონ ხარისხის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ჩვენ ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

პასუხები:

გავიხსენოთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
ჩვენ ვამცირებთ წილადებს იმავე ფორმაზე: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

განყოფილების შეჯამება და ძირითადი ფორმულები

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ე.ი. მთელი და დადებითი).

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხების თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა უცნაურიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
დადებითი რიცხვი ნებისმიერი ხარისხით არის დადებითი რიცხვი.
ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? დაწერეთ ქვემოთ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებზე!

სკოლიდან ყველამ ვიცით სიძლიერის წესი: ნებისმიერი რიცხვი N მაჩვენებლით უდრის გამრავლების შედეგს. მოცემული ნომერისაკუთარ თავს N რამდენჯერმე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 7 3-ის ხარისხზე არის 7 გამრავლებული თავისთავად სამჯერ, ანუ 343. კიდევ ერთი წესია, რომ ნებისმიერი სიდიდის 0-ზე აწევა იძლევა ერთს, ხოლო უარყოფითი სიდიდის აწევა არის ჩვეულებრივი აწევის შედეგი. სიმძლავრე თუ ლუწია და იგივე შედეგი მინუს ნიშნით თუ კენტია.

წესები ასევე იძლევა პასუხს, თუ როგორ უნდა აიწიოს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე. ამისათვის თქვენ უნდა გაზარდოთ საჭირო მნიშვნელობა ინდიკატორის მოდულით ჩვეულებრივი გზით და შემდეგ გაყოთ ერთეული შედეგზე.

ამ წესებიდან ირკვევა, რომ განხორციელება რეალური პრობლემებიდიდი რაოდენობით დამუშავება საჭიროებს ხელმისაწვდომობას ტექნიკური საშუალებები. ხელით შეგიძლიათ გაამრავლოთ რიცხვების მაქსიმალური დიაპაზონი ოციდან ოცდაათამდე, შემდეგ კი არა უმეტეს სამ ან ოთხჯერ. ეს არ არის იმის თქმა, რომ შემდეგ გაყოფა ერთი შედეგი. ამიტომ, მათთვის, ვისაც ხელთ არ აქვს სპეციალური საინჟინრო კალკულატორი, ჩვენ გეტყვით, თუ როგორ უნდა აიყვანოთ რიცხვი უარყოფით სიმძლავრემდე Excel-ში.

პრობლემების გადაჭრა Excel-ში

ექსპონენტაციასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად, Excel საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ორიდან ერთი ვარიანტი.

პირველი არის ფორმულის გამოყენება სტანდარტული "სახურავი" ნიშნით. შეიყვანეთ შემდეგი მონაცემები სამუშაო ფურცელში:

ანალოგიურად, შეგიძლიათ აწიოთ სასურველი მნიშვნელობა ნებისმიერ სიმძლავრემდე - უარყოფითი, წილადი. Მოდი გავაკეთოთ ეს შემდეგი ქმედებებიდა უპასუხეთ კითხვას, თუ როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე. მაგალითი:

თქვენ შეგიძლიათ შეასწოროთ =B2^-C2 პირდაპირ ფორმულაში.

მეორე ვარიანტი არის მზა ფუნქციის "ხარისხის" გამოყენება, რომელიც იღებს ორ საჭირო არგუმენტს - რიცხვს და მაჩვენებელს. მისი გამოყენების დასაწყებად, უბრალოდ ჩადეთ ტოლობის ნიშანი (=) ნებისმიერ თავისუფალ უჯრედში, ფორმულის დასაწყისის მითითებით და შეიყვანეთ ზემოთ მოცემული სიტყვები. რჩება მხოლოდ ორი უჯრედის არჩევა, რომლებიც მონაწილეობას მიიღებენ ოპერაციაში (ან მიუთითეთ კონკრეტული ნომრები ხელით) და დააჭირეთ Enter ღილაკს. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მარტივ მაგალითს.

ფორმულა

შედეგი

ხარისხი (B2;C2)

ხარისხი (B3;C3)

0,002915

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე და ნორმალურ სიმძლავრემდე Excel-ის გამოყენებით. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ პრობლემის გადასაჭრელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც ნაცნობი "სახურავი" სიმბოლო და პროგრამის ჩაშენებული ფუნქცია, რომელიც ადვილად დასამახსოვრებელია. ეს აშკარა პლუსია!

მოდით გადავიდეთ უფრო მეტზე რთული მაგალითები. გავიხსენოთ წესი იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ რიცხვი უარყოფით წილად ხარისხზე და დავინახავთ, რომ Excel-ში ეს პრობლემა ძალიან მარტივად გვარდება.

ფრაქციული ინდიკატორები

მოკლედ, წილადი მაჩვენებლით რიცხვის გამოთვლის ალგორითმი ასეთია.

წილადის გადაქცევა სწორ ან არასწორ წილადად.
აწიეთ ჩვენი რიცხვი მიღებული გარდაქმნილი წილადის მრიცხველამდე.
წინა აბზაცში მიღებული რიცხვიდან გამოთვალეთ ფესვი, იმ პირობით, რომ ფესვის მაჩვენებელი იქნება პირველ ეტაპზე მიღებული წილადის მნიშვნელი.

დამეთანხმებით, რომ თუნდაც მცირე რაოდენობით მუშაობისას და სწორი წილადებიასეთ გამოთვლებს შეიძლება დიდი დრო დასჭირდეს. კარგია, რომ Excel-ის ცხრილების პროცესორს არ აინტერესებს რა რიცხვი რა სიმძლავრემდეა გაზრდილი. სცადეთ ამოხსნათ შემდეგი მაგალითი Excel-ის სამუშაო ფურცელზე:

ზემოაღნიშნული წესების გამოყენებით შეგიძლიათ შეამოწმოთ და დარწმუნდეთ, რომ გაანგარიშება გაკეთდა სწორად.

ჩვენი სტატიის დასასრულს, ცხრილის სახით ფორმულებითა და შედეგებით წარმოგიდგენთ რამდენიმე მაგალითს, თუ როგორ უნდა ავიყვანოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე, ასევე წილადი რიცხვებითა და ძალებით მუშაობის რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი ცხრილი

შეამოწმეთ შემდეგი მაგალითები თქვენს Excel სამუშაო ფურცელში. იმისათვის, რომ ყველაფერი სწორად იმუშაოს, ფორმულის კოპირებისას უნდა გამოიყენოთ შერეული მითითება. დააფიქსირეთ ამაღლებული რიცხვის შემცველი სვეტის ნომერი და ინდიკატორის შემცველი მწკრივის რაოდენობა. თქვენს ფორმულას უნდა ჰქონდეს დაახლოებით შემდეგი ხედი: "=$B4^C$3".

ნომერი/ხარისხი

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ დადებითი რიცხვები (თუნდაც არა მთელი რიცხვები) შეიძლება გამოითვალოს უპრობლემოდ ნებისმიერი მაჩვენებლისთვის. არანაირი პრობლემა არ არის რიცხვების მთელ რიცხვებამდე აყვანისას. მაგრამ მშენებლობა უარყოფითი რიცხვიწილადი სიმძლავრე თქვენთვის შეცდომად გადაიქცევა, რადგან შეუძლებელია ჩვენი სტატიის დასაწყისში მითითებული წესის დაცვა უარყოფითი რიცხვების ამაღლების შესახებ, რადგან პარიტეტი ექსკლუზიურად მთელი რიცხვის მახასიათებელია.

რიცხვის სიმძლავრის შესახებ საუბრის გაგრძელებით, ლოგიკურია იმის გარკვევა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სიმძლავრის მნიშვნელობა. ამ პროცესს ე.წ ექსპონენტაცია. ამ სტატიაში ჩვენ შევისწავლით თუ როგორ ხდება ექსპონენტაცია და ყველაფერს შევეხებით შესაძლო ინდიკატორებიგრადუსი – ბუნებრივი, მთლიანი, რაციონალური და ირაციონალური. და ტრადიციის თანახმად, ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ გადაწყვეტილებებს სხვადასხვა ძალაუფლებაზე რიცხვების ამაღლების მაგალითებზე.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს "ექსპონენტაცია"?

დავიწყოთ იმის ახსნით, რასაც ეძახიან ექსპონენტაციას. აქ არის შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

ექსპონენტაცია- ეს არის რიცხვის სიძლიერის მნიშვნელობის პოვნა.

ამრიგად, a რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის პოვნა r მაჩვენებლით და a რიცხვის გაზრდა r ხარისხამდე ერთი და იგივეა. მაგალითად, თუ დავალება არის „გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0.5) 5“, მაშინ მისი ხელახალი ფორმულირება შეიძლება შემდეგნაირად: „აწიეთ რიცხვი 0.5 ხარისხად 5-მდე“.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ პირდაპირ გადახვიდეთ წესებზე, რომლითაც ხორციელდება ექსპონენტაცია.

რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა

პრაქტიკაში, საფუძველზე თანასწორობა ჩვეულებრივ გამოიყენება ფორმით. ანუ a რიცხვის წილადის ხარისხზე m/n-ზე აყვანისას ჯერ იღებენ a რიცხვის n-ე ფესვს, რის შემდეგაც მიღებული შედეგი ამაღლებულია მთელ რიცხვ ხარისხამდე m.

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტილებებს წილადის ხარისხზე აწევის მაგალითებზე.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ხარისხის მნიშვნელობა.

გამოსავალი.

ჩვენ ვაჩვენებთ ორ გამოსავალს.

პირველი გზა. წილადის მაჩვენებლით ხარისხის განსაზღვრებით. ჩვენ ვიანგარიშებთ გრადუსის მნიშვნელობას ფესვის ნიშნის ქვეშ და შემდეგ გამოვყოფთ კუბის ფესვს: .

მეორე გზა. წილადის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის განსაზღვრებით და ფესვების თვისებებზე დაყრდნობით, ჭეშმარიტია შემდეგი ტოლობები: . ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ფესვს და ბოლოს, ჩვენ ავზრდით მას მთელ რიცხვამდე .

ცხადია, წილადის სიმძლავრემდე აწევის მიღებული შედეგები ემთხვევა.

პასუხი:

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მაჩვენებელი შეიძლება დაიწეროს როგორც ათობითი წილადი ან შერეული რიცხვი, ამ შემთხვევებში ის უნდა შეიცვალოს შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადით და შემდეგ გაიზარდოს ხარისხზე.

მაგალითი.

გამოთვალეთ (44,89) 2,5.

გამოსავალი.

მოდით დავწეროთ მაჩვენებლები ფორმაში საერთო წილადი(საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატია): . ახლა ჩვენ ვასრულებთ ამაღლებას წილადის ხარისხზე:

პასუხი:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

ისიც უნდა ითქვას, რომ რიცხვების რაციონალურ ძალებამდე აყვანა საკმაოდ შრომატევადი პროცესია (განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც წილადის მაჩვენებლის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს საკმაოდ ბევრს. დიდი რიცხვები), რომელიც ჩვეულებრივ ხორციელდება გამოყენებით კომპიუტერული ტექნოლოგია.

ამ პუნქტის დასასრულებლად, მოდით ვისაუბროთ ნულის რიცხვის წილადის ხარისხზე აყვანაზე. ფორმის ნულის წილადის ხარისხს შემდეგი მნიშვნელობა მივეცით: როცა გვაქვს , და ნულზე m/n სიმძლავრე არ არის განსაზღვრული. ასე რომ, ნული წილადის დადებით ხარისხამდე არის ნული, მაგალითად, . ხოლო ნულს წილადის უარყოფით ხარისხში აზრი არ აქვს, მაგალითად, გამოთქმებს 0 -4.3 აზრი არ აქვს.

ამაღლება ირაციონალურ ძალამდე

ზოგჯერ საჭირო ხდება ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე რიცხვის სიძლიერის მნიშვნელობის გარკვევა. ამ შემთხვევაში, პრაქტიკული მიზნებისთვის, როგორც წესი, საკმარისია ხარისხის მნიშვნელობის მიღება გარკვეულ ნიშანზე ზუსტი. დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ პრაქტიკაში ეს მნიშვნელობა გამოითვლება ელექტრონული კომპიუტერების გამოყენებით, რადგან მისი ირაციონალურ სიმძლავრემდე ხელით აყვანა მოითხოვს დიდი რაოდენობითუხერხული გამოთვლები. მაგრამ მაინც აღვწერთ ზოგადი მონახაზიმოქმედების არსი.

ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე a რიცხვის სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობის მისაღებად, აღებულია მაჩვენებლის გარკვეული ათობითი მიახლოება და გამოითვლება სიმძლავრის მნიშვნელობა. ეს მნიშვნელობა არის ირაციონალური მაჩვენებლით a რიცხვის სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობა. რაც უფრო ზუსტი იქნება რიცხვის ათწილადი მიახლოება თავდაპირველად, მით მეტი ზუსტი ღირებულებახარისხი მიიღება ბოლოს.

მაგალითად, გამოვთვალოთ 2 1.174367 სიმძლავრის მიახლოებითი მნიშვნელობა... . ავიღოთ ირაციონალური მაჩვენებლის შემდეგი ათობითი მიახლოება: . ახლა ჩვენ ვზრდით 2-ს რაციონალურ სიმძლავრემდე 1.17 (ჩვენ აღვწერეთ ამ პროცესის არსი წინა აბზაცში), ვიღებთ 2 1.17 ≈2.250116. ამრიგად, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . თუ ავიღოთ, მაგალითად, ირაციონალური მაჩვენებლის უფრო ზუსტი ათობითი მიახლოება, მაშინ მივიღებთ თავდაპირველი მაჩვენებლის უფრო ზუსტ მნიშვნელობას: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ბიბლიოგრაფია.

ვილენკინი ნ.ია., ჟოხოვი ვ.ი., ჩესნოკოვი ა.ს., შვარცბურდი ს.ი. მათემატიკის სახელმძღვანელო მე-5 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-7 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
მაკარიჩევი იუ.ნ., მინდიუკ ნ.გ., ნეშკოვი კ.ი., სუვოროვა ს.ბ. ალგებრა: სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის).

პირველი დონე

ხარისხი და მისი თვისებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არის საჭირო ისინი და როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, წაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებას და თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში ჩაბარებას.

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

პირველი დონე

ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე ავხსნი ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ფრთხილად იყავი. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ხსნის მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

ახლა გამრავლება.

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ კვადრატით ან რიცხვის მეორე ხარისხებით.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბურ მეტრებში. მოულოდნელია, არა?) დახაზეთ აუზი: ფსკერი არის მეტრის ზომის და მეტრის სიღრმეზე და შეეცადეთ დაითვალოთ რამდენი კუბი გაზომავს მეტრს მეტრზე. მოერგოს თქვენს აუზს.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

ტერმინები და ცნებები... რომ არ აგვერიოს

აქ არის ნახატი კარგი საზომისთვის.

ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ... გრადუსი ფუძით „ ” და „ ” მაჩვენებლით იკითხება როგორც „ხარისხამდე“ და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ობიექტების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... ობიექტებს რომ ვითვლით, არ ვამბობთ: „მინუს ხუთი“, „მინუს ექვსი“, „მინუს შვიდი“. ჩვენ ასევე არ ვამბობთ: "ერთი მესამედი", ან "ნულოვანი წერტილი ხუთი". ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა რიცხვებია ეს?

ასევე არის ირაციონალური რიცხვები. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, ეს არის უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავისთავად გამრავლებას:
რიცხვის კუბირება ნიშნავს თავის თავზე სამჯერ გამრავლებას:

ხარისხების თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ: რა არის ეს და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლია ამის დაწერა.

2. ესე იგი რიცხვის ე ძალა

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ბოლოს და ბოლოს.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

თავად განსაზღვრეთ რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის!

სავარჯიშო 6 მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, მოდით ვკითხოთ საკუთარ თავს: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული ხარისხი ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მოდით გადავიდეთ. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელი რიცხვები ასევე შეიცავს უარყოფით რიცხვებს. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ძალა, მოვიქცეთ როგორც ბოლო დროს: გავამრავლოთ ზოგიერთი ნორმალური რიცხვი იმავე რიცხვზე უარყოფით ხარისხზე:

აქედან ადვილია გამოხატო ის, რასაც ეძებ:

ახლა მოდით გავაფართოვოთ მიღებული წესი თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

მოდით შევაჯამოთ:

I. გამოთქმა საქმეში არ არის განსაზღვრული. თუ, მაშინ.

II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებების მაგალითები:

პრობლემების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ახლა განვიხილოთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

რომ გავიგოთ რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განიხილეთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა გავიხსენოთ წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-2 ხარისხის ფესვის განმარტება.

ანუ, th ძალაუფლების ფესვი არის ძალამდე აწევის შებრუნებული ოპერაცია: .

თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაფართოვდეს: .

არცერთი!

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

ასე რომ, თუ:

- ნატურალური რიცხვი;
- მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

5 მაგალითი პრაქტიკისთვის

ტრენინგისთვის 5 მაგალითის ანალიზი

სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის ჩვეულებრივი წესით:

Ამ შემთხვევაში,

გამოდის, რომ:

პასუხი: .

პასუხი: 16

3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

— ხარისხის ბაზა;
- ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

მშენებლობა ნულოვანი ხარისხით:

თუ მაჩვენებელი არის უარყოფითი მთელი რიცხვინომერი:

(იმიტომ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა).

მაგალითები:

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

- ნატურალური რიცხვი;
- მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხების თვისებები

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს ვიღებთ შემდეგ პროდუქტს:

მაგრამ განსაზღვრებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გამოსავალი : .

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

არავითარ შემთხვევაში არ შეგიძლია ამის დაწერა.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაჯგუფოთ ეს ნამუშევარი შემდეგნაირად:

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით.

მაგალითად, რიცხვი დადებითია თუ უარყოფითი? ა? ?

და ასე უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით ნიშანი შეიცვლება. შემდეგი მარტივი წესები შეიძლება ჩამოყალიბდეს:

თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა უცნაურიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
დადებითი რიცხვი ნებისმიერი ხარისხით არის დადებითი რიცხვი.
ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ ამას გავიხსენებთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

სანამ ბოლო წესს გადავხედავთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამები:

გადაწყვეტილებები :

ჩვენ ვიღებთ:

თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოდის:

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

პასუხები:

გავიხსენოთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
ჩვენ ვამცირებთ წილადებს იმავე ფორმაზე: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

განყოფილების შეჯამება და ძირითადი ფორმულები

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ე.ი. მთელი და დადებითი).

ძალა რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხების თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა უცნაურიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
დადებითი რიცხვი ნებისმიერი ხარისხით არის დადებითი რიცხვი.
ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? დაწერეთ ქვემოთ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ ხარისხის თვისებების გამოყენებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებზე!

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში არის არა მხოლოდ დადებითი რიცხვები, არამედ უარყოფითიც. თუ პოზიტიურ ძალებთან გაცნობა იწყება კვადრატის ფართობის განსაზღვრით, მაშინ უარყოფითი ძალებით ყველაფერი გარკვეულწილად უფრო რთულია.

ეს უნდა იცოდე:

რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა არის რიცხვის გამრავლება (სტატიაში განვიხილავთ რიცხვისა და ციფრის ეკვივალენტის ცნებებს) თავისთავად ისეთი რაოდენობით, როგორიც არის მაჩვენებლის მაჩვენებელი (მომავალში გამოვიყენებთ პარალელურად და უბრალოდ სიტყვას. ექსპონენტი). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. ზოგადად, ასე გამოიყურება: m^n = m*m*m*…*m (n ჯერ).
გასათვალისწინებელია, რომ უარყოფითი რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის შემთხვევაში ის დადებითი გახდება, თუ მაჩვენებლის მაჩვენებელი ლუწია.
რიცხვის 0-ის მაჩვენებელზე აწევა იძლევა ერთს, იმ პირობით, რომ ის არ იყოს ნულის ტოლი. ნულიდან ნულამდე სიმძლავრე ითვლება განუსაზღვრელად. 17^0 = 1.
რიცხვიდან გარკვეული სიმძლავრის ფესვის ამოღება ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომელიც შესაბამის მაჩვენებელზე გაზრდისას მისცემს სასურველ მნიშვნელობას. ასე რომ, 125-ის კუბური ფესვი არის 5, რადგან 5^3 = 125.
თუ გსურთ რიცხვის დადებით წილადის ხარისხზე აყვანა, მაშინ უნდა აწიოთ რიცხვი მნიშვნელის მაჩვენებელამდე და მისგან ამოიღოთ მრიცხველის მაჩვენებლის ფესვი. 6^5/7 = პროდუქტის მეშვიდე ფესვი 6*6*6*6*6.
თუ გსურთ რიცხვის აწევა უარყოფით მაჩვენებელზე, მაშინ უნდა იპოვოთ მოცემული რიცხვის ინვერსია. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

რიცხვის მოდულის ნულიდან ერთზე აწევა უარყოფით ხარისხზე

ჯერ უნდა გვახსოვდეს რა არის მოდული. ეს არის მანძილი კოორდინატთა ხაზზე ჩვენ მიერ არჩეული მნიშვნელობიდან საწყისამდე (კოორდინატთა ხაზის ნული). განმარტებით, ის არასოდეს შეიძლება იყოს უარყოფითი.

მნიშვნელობა ნულზე მეტია

როდესაც ციფრის მნიშვნელობა ნულსა და ერთს შორისაა, უარყოფითი მაჩვენებელი იძლევა თავად ციფრის ზრდას. ეს იმიტომ ხდება, რომ მნიშვნელი მცირდება, ხოლო დადებითი რჩება.

მოდით შევხედოთ მაგალითებს:

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

უფრო მეტიც, რაც უფრო დიდია ინდიკატორის მოდული, მით უფრო აქტიურად იზრდება ფიგურა. რადგან მნიშვნელი ნულისკენ მიისწრაფვის, თავად წილადი მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ.

მნიშვნელობა ნულზე ნაკლები

ახლა მოდით შევხედოთ, თუ როგორ უნდა გაიზარდოს უარყოფით ხარისხზე, თუ რიცხვი ნაკლებია ნულზე. პრინციპი იგივეა, რაც წინა ნაწილში, მაგრამ აქ მნიშვნელობა აქვს ინდიკატორის ნიშანს.

კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მაგალითებს:

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

ამ შემთხვევაში ჩვენ ამას ვხედავთ მოდული აგრძელებს ზრდას, მაგრამ ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, მაჩვენებელი ლუწია თუ კენტი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ ავაშენებთ ერთეულს, ის ყოველთვის თავისთავად დარჩება. თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის აწევა მინუს ერთი, მაშინ ლუწი მაჩვენებლით ის გადაიქცევა ერთად, ხოლო კენტი მაჩვენებლით დარჩება მინუს ერთი.

აწევა უარყოფით მთელ რიცხვამდე, თუ მოდული ერთზე მეტია

რიცხვებისთვის, რომელთა მოდული ერთზე მეტია,აქვს მოქმედების თავისებურებანი. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადაიყვანოთ წილადის მთელი ნაწილი მრიცხველად, ანუ გადაიყვანოთ ის არასწორ წილადად. თუ ჩვენ გვაქვს ათობითი წილადი, მაშინ ის უნდა გადავიტანოთ ჩვეულებრივ წილადად. ეს კეთდება შემდეგნაირად:

6 მთელი რიცხვი 7/17 = 109/17;
2,54 = 254/100.

ახლა ვნახოთ, როგორ გავზარდოთ რიცხვი უარყოფით ხარისხზე ამ პირობებში. უკვე ზემოაღნიშნულიდან შეგვიძლია ვივარაუდოთ, თუ რას შეიძლება ველოდოთ გამოთვლების შედეგიდან. იმის გამო, რომ გამარტივების დროს ორმაგი წილადი ინვერსიულია, ფიგურის მოდული რაც უფრო სწრაფად შემცირდება, მით უფრო დიდი იქნება მაჩვენებლის მოდული.

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც დავალებაში მოცემული რიცხვი დადებითია.

პირველ რიგში, ცხადი ხდება, რომ საბოლოო შედეგიიქნება ნულზე მეტი, რადგან ორი დადებითის გაყოფა ყოველთვის იძლევა დადებითს. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მაგალითებს, თუ როგორ კეთდება ეს:

6 მთელი რიცხვი 1/20 მინუს მეხუთე ხარისხამდე = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 0001234;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

როგორც ხედავთ, ქმედებები არ წარმოადგენს რაიმე განსაკუთრებულ სირთულეს და ყველა ჩვენი თავდაპირველი ვარაუდი მართალი აღმოჩნდა.

ახლა მივმართოთ უარყოფითი ციფრის შემთხვევას.

დასაწყისისთვის, შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ თუ მაჩვენებელი ლუწია, მაშინ შედეგი დადებითი იქნება, თუ ინდიკატორი კენტია, მაშინ შედეგი იქნება უარყოფითი. ყველა ჩვენი წინა გამოთვლები ამ ნაწილში ახლა ჩაითვლება ძალაში. კიდევ ერთხელ გადავხედოთ მაგალითებს:

-3 მთელი 1/2 მინუს მეექვსე ხარისხამდე = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

ამრიგად, ყველა ჩვენი მსჯელობა სწორი აღმოჩნდა.

კონსტრუქცია უარყოფითი წილადის მაჩვენებლის შემთხვევაში

აქ უნდა გახსოვდეთ, რომ ასეთი კონსტრუქცია არსებობს მნიშვნელის მნიშვნელობის ფესვის ამოღება რიცხვიდან მრიცხველის ხარისხამდე. ყველა ჩვენი წინა მსჯელობა ამჯერად ჭეშმარიტი რჩება. მოდით ავხსნათ ჩვენი ქმედებები მაგალითით:

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/რადი(4^3) = 1/რადი64 = 1/8.

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ფესვების მოპოვება მაღალი დონეშესაძლებელია მხოლოდ სპეციალურად შერჩეული ფორმით და, დიდი ალბათობით, ზუსტი გათვლებით ვერ მოიშორებთ რადიკალის ნიშანს (კვადრატული ფესვი, კუბური ფესვი და ა.შ.).

მიუხედავად ამისა, წინა თავების დეტალურად შესწავლის შემდეგ, არ უნდა ელოდოთ სირთულეებს სკოლის გამოთვლებში.

აღსანიშნავია, რომ ამ თავის აღწერაშიც შედის მშენებლობა განზრახ ირაციონალური მაჩვენებლითმაგალითად, თუ ინდიკატორი უდრის მინუს PI. თქვენ უნდა იმოქმედოთ ზემოთ აღწერილი პრინციპების შესაბამისად. თუმცა, ასეთ შემთხვევებში გამოთვლები იმდენად რთული ხდება, რომ ამის გაკეთება მხოლოდ მძლავრ ელექტრონულ კომპიუტერებს შეუძლიათ.

დასკვნა

ჩვენ მიერ შესწავლილი მოქმედება ერთ-ერთი ყველაზე რთული პრობლემაა მათემატიკაში(განსაკუთრებით წილად-რაციონალური ან ირაციონალური მნიშვნელობის შემთხვევაში). თუმცა, ამ ინსტრუქციების დეტალურად და ეტაპობრივად შესწავლით, შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ ეს სრულად ავტომატურად, უპრობლემოდ.