როგორ ვიპოვოთ კვადრატული ფუნქციის პარაბოლის წვეროს კოორდინატები. პარაბოლა

იმ ფორმის ფუნქცია სადაც ე.წ კვადრატული ფუნქცია.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი - პარაბოლა.

განვიხილოთ შემთხვევები:

I CASE, კლასიკური პარაბოლა

ანუ,

ასაგებად, შეავსეთ ცხრილი x მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფორმულაში:

მონიშნეთ ქულები (0;0); (1;1); (-1;1) და ა.შ. კოორდინატულ სიბრტყეზე (რაც უფრო მცირეა ნაბიჯი ჩვენ x მნიშვნელობებს (ში ამ შემთხვევაშინაბიჯი 1), და რაც უფრო მეტ x მნიშვნელობას ავიღებთ, მით უფრო გლუვი იქნება მრუდი), ვიღებთ პარაბოლას:

ადვილი მისახვედრია, რომ თუ ავიღებთ შემთხვევას , , , ანუ, მაშინ მივიღებთ პარაბოლას, რომელიც სიმეტრიულია ღერძის მიმართ (oh). ამის გადამოწმება მარტივია მსგავსი ცხრილის შევსებით:

II შემთხვევა, „ა“ განსხვავდება ერთეულისგან

რა მოხდება თუ ავიღებთ , , ? როგორ შეიცვლება პარაბოლას ქცევა? title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

პირველ სურათზე (იხ. ზემოთ) ნათლად ჩანს, რომ მაგიდის წერტილები პარაბოლის (1;1), (-1;1) გარდაიქმნება წერტილებად (1;4), (1;-4), ანუ იგივე მნიშვნელობებით თითოეული წერტილის ორდინატი მრავლდება 4-ზე. ეს მოხდება თავდაპირველი ცხრილის ყველა საკვანძო პუნქტთან. ანალოგიურად ვმსჯელობთ მე-2 და მე-3 ნახატებში.

და როცა პარაბოლა პარაბოლაზე უფრო ფართო ხდება:

მოდით შევაჯამოთ:

1)კოეფიციენტის ნიშანი განსაზღვრავს ტოტების მიმართულებას. title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) აბსოლუტური ღირებულებაკოეფიციენტი (მოდული) პასუხისმგებელია პარაბოლის "გაფართოებაზე" და "შეკუმშვაზე". რაც უფრო დიდია, მით უფრო ვიწროა პარაბოლა; რაც უფრო პატარაა |a|, მით უფრო ფართოა პარაბოლა.

III შემთხვევა, „C“ ჩნდება

ახლა მოდით შემოვიტანოთ თამაშში (ანუ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც), განვიხილავთ ფორმის პარაბოლებს. ძნელი მისახვედრი არ არის (შეგიძლიათ ყოველთვის მიმართოთ ცხრილს), რომ პარაბოლა გადაინაცვლებს ღერძის გასწვრივ ზემოთ ან ქვემოთ, ნიშნის მიხედვით:

IV CASE, “b” ჩნდება

როდის "მოშორდება" პარაბოლა ღერძს და ბოლოს "გაივლის" მთელ კოორდინატულ სიბრტყეს? როდის შეწყვეტს თანასწორობას?

აქ პარაბოლას ასაგებად გვჭირდება წვეროს გამოთვლის ფორმულა: , .

ასე რომ, ამ ეტაპზე (როგორც ახალი კოორდინატთა სისტემის (0;0) წერტილში) ჩვენ ავაშენებთ პარაბოლას, რაც უკვე შეგვიძლია. თუ საქმესთან გვაქვს საქმე, მაშინ წვეროდან ვსვათ ერთი ერთეული სეგმენტი მარჯვნივ, ერთი ზევით, - მიღებული წერტილი ჩვენია (ასევე, ნაბიჯი მარცხნივ, ნაბიჯი ზევით არის ჩვენი წერტილი); თუ საქმე გვაქვს, მაგალითად, მაშინ წვეროდან მარჯვნივ ვათავსებთ ერთ ერთეულ სეგმენტს, ორს - ზემოთ და ა.შ.

მაგალითად, პარაბოლის წვერო:

ახლა მთავარია გავიგოთ, რომ ამ წვეროზე ჩვენ პარაბოლას ავაშენებთ პარაბოლის ნიმუშის მიხედვით, რადგან ჩვენს შემთხვევაში.

პარაბოლას აგებისას წვერის კოორდინატების პოვნის შემდეგ ძალიანმოსახერხებელია შემდეგი პუნქტების გათვალისწინება:

1) პარაბოლა აუცილებლად გაივლის პუნქტს . მართლაც, x=0 ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ იმას. ანუ პარაბოლას ღერძთან (oy) გადაკვეთის წერტილის ორდინატი არის . ჩვენს მაგალითში (ზემოთ), პარაბოლა კვეთს ორდინატს წერტილში, რადგან .

2) სიმეტრიის ღერძი პარაბოლები არის სწორი ხაზი, ამიტომ პარაბოლის ყველა წერტილი სიმეტრიული იქნება მის მიმართ. ჩვენს მაგალითში დაუყოვნებლივ ვიღებთ წერტილს (0; -2) და ვაშენებთ სიმეტრიულად პარაბოლის სიმეტრიის ღერძთან მიმართებაში, ვიღებთ წერტილს (4; -2), რომლითაც გაივლის პარაბოლა.

3) ტოლფასი ვიპოვით პარაბოლის გადაკვეთის წერტილებს ღერძთან (oh). ამისათვის ჩვენ ვხსნით განტოლებას. დისკრიმინანტიდან გამომდინარე, მივიღებთ ერთს (, ), ორს ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . წინა მაგალითში დისკრიმინანტის ჩვენი ფესვი არ არის მთელი რიცხვი; აგებისას ჩვენთვის აზრი არ აქვს ფესვების პოვნას, მაგრამ ნათლად ვხედავთ, რომ გვექნება გადაკვეთის ორი წერტილი ღერძთან (oh) (ince title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

მოდით ვიმუშაოთ

პარაბოლის აგების ალგორითმი, თუ იგი მოცემულია სახით

1) განსაზღვრეთ ტოტების მიმართულება (a>0 – ზევით, a<0 – вниз)

2) ვპოულობთ პარაბოლას წვეროს კოორდინატებს ფორმულის გამოყენებით , .

3) ჩვენ ვპოულობთ პარაბოლის გადაკვეთის წერტილს ღერძთან (oy) თავისუფალი ტერმინის გამოყენებით, ავაშენებთ ამ წერტილის სიმეტრიულ წერტილს პარაბოლის სიმეტრიის ღერძთან მიმართებაში (უნდა აღინიშნოს, რომ ხდება, რომ მონიშვნა წამგებიანია. ეს წერტილი, მაგალითად, რადგან მნიშვნელობა დიდია... ჩვენ გამოვტოვებთ ამ პუნქტს...)

4) ნაპოვნი წერტილში - პარაბოლის წვეროზე (როგორც ახალი კოორდინატთა სისტემის (0;0) წერტილში) ვაშენებთ პარაბოლას. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) პარაბოლის გადაკვეთის წერტილებს ვპოულობთ ღერძთან (oy) (თუ ისინი ჯერ არ ამოსულა) განტოლების ამოხსნით.

მაგალითი 1

მაგალითი 2

შენიშვნა 1.თუ პარაბოლა თავდაპირველად გვეძლევა სახით, სადაც არის რამდენიმე რიცხვი (მაგალითად, ), მაშინ მისი აგება კიდევ უფრო ადვილი იქნება, რადგან უკვე მოგვცეს წვეროს კოორდინატები. რატომ?

ავიღოთ კვადრატული ტრინომი და გამოვყოთ მასში სრული კვადრატი: შეხედე, მივიღეთ ეს, . მე და შენ ადრე ვეძახით პარაბოლას წვეროს, ანუ ახლა.

Მაგალითად, . ჩვენ აღვნიშნავთ პარაბოლას წვეროს სიბრტყეზე, გვესმის, რომ ტოტები მიმართულია ქვევით, პარაბოლა გაფართოებულია (შეფარდობით). ანუ ვასრულებთ პუნქტებს 1; 3; 4; 5 პარაბოლის აგების ალგორითმიდან (იხ. ზემოთ).

შენიშვნა 2.თუ პარაბოლა მოცემულია მსგავსი ფორმით (ანუ წარმოდგენილია, როგორც ორი წრფივი ფაქტორის ნამრავლი), მაშინვე ვხედავთ პარაბოლას ღერძთან (ოქსი) გადაკვეთის წერტილებს. ამ შემთხვევაში – (0;0) და (4;0). დანარჩენზე ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით, ვხსნით ფრჩხილებს.

ალბათ ყველამ იცის, რა არის პარაბოლა. მაგრამ ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ის სწორად და კომპეტენტურად სხვადასხვა პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას ქვემოთ.

პირველ რიგში, მოდით გამოვყოთ ძირითადი ცნებები, რომლებსაც ალგებრა და გეომეტრია აძლევს ამ ტერმინს. განვიხილოთ ყველაფერი შესაძლო ტიპებიეს სქემა.

მოდით გავარკვიოთ ამ ფუნქციის ყველა ძირითადი მახასიათებელი. გავიგოთ მრუდის აგების საფუძვლები (გეომეტრია). მოდით ვისწავლოთ როგორ მოვძებნოთ ამ ტიპის გრაფიკის ზედა და სხვა ძირითადი მნიშვნელობები.

მოდით გავარკვიოთ: როგორ სწორად ავაშენოთ სასურველი მრუდი განტოლების გამოყენებით, რას უნდა მიაქციოთ ყურადღება. ვნახოთ საფუძვლები პრაქტიკული გამოყენებაეს უნიკალური ღირებულება ადამიანის ცხოვრებაში.

რა არის პარაბოლა და როგორ გამოიყურება?

ალგებრა: ეს ტერმინი აღნიშნავს კვადრატული ფუნქციის გრაფიკს.

გეომეტრია: ეს არის მეორე რიგის მრუდი, რომელსაც აქვს მთელი რიგი სპეციფიკური მახასიათებლები:

პარაბოლის კანონიკური განტოლება

ნახატზე ნაჩვენებია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (XOY), ექსტრემუმი, ფუნქციის ტოტების მიმართულება აბსცისის ღერძის გასწვრივ.

კანონიკური განტოლება არის:

y 2 = 2 * p * x,

სადაც კოეფიციენტი p არის პარაბოლის ფოკალური პარამეტრი (AF).

ალგებრაში სხვანაირად დაიწერება:

y = a x 2 + b x + c (ცნობადი ნიმუში: y = x 2).

კვადრატული ფუნქციის თვისებები და გრაფიკი

ფუნქციას აქვს სიმეტრიის ღერძი და ცენტრი (ექსტრემუმი). განმარტების დომენი არის აბსცისის ღერძის ყველა მნიშვნელობა.

ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი - (-∞, M) ან (M, +∞) დამოკიდებულია მრუდის ტოტების მიმართულებაზე. პარამეტრი M აქ ნიშნავს ფუნქციის მნიშვნელობას ხაზის ზედა ნაწილში.

როგორ განვსაზღვროთ სად არის მიმართული პარაბოლის ტოტები

იმისათვის, რომ იპოვოთ ამ ტიპის მრუდის მიმართულება გამოსახულებიდან, თქვენ უნდა განსაზღვროთ ნიშანი ალგებრული გამოხატვის პირველ პარამეტრამდე. თუ ˃ 0, მაშინ ისინი მიმართულია ზემოთ. თუ პირიქითაა, ქვემოთ.

როგორ მოვძებნოთ პარაბოლის წვერო ფორმულის გამოყენებით

ექსტრემის პოვნა არის მთავარი ნაბიჯი მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გახსნათ სპეციალური ონლაინ კალკულატორები, მაგრამ სჯობს ეს თავად შეძლოთ.

როგორ განვსაზღვროთ იგი? არსებობს სპეციალური ფორმულა. როდესაც b არ არის 0-ის ტოლი, ჩვენ უნდა ვეძებოთ ამ წერტილის კოორდინატები.

წვეროს პოვნის ფორმულები:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

მაგალითი.

არსებობს ფუნქცია y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წვეროები.

ასეთი ხაზისთვის:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

ვიღებთ წვეროს კოორდინატებს (-2, -41).

პარაბოლის გადაადგილება

კლასიკური შემთხვევაა, როდესაც კვადრატულ ფუნქციაში y = a x 2 + b x + c, მეორე და მესამე პარამეტრები უდრის 0-ს და = 1 - წვერო არის წერტილში (0; 0).

აბსცისის ან ორდინატთა ღერძების გასწვრივ მოძრაობა განპირობებულია b და c პარამეტრების ცვლილებებით, შესაბამისად.სიბრტყეზე ხაზი გადაინაცვლებს ზუსტად პარამეტრის მნიშვნელობის ტოლი ერთეულების რაოდენობით.

მაგალითი.

გვაქვს: b = 2, c = 3.

Ეს ნიშნავს, რომ კლასიკური სახემრუდი გადაინაცვლებს 2 ერთეული სეგმენტით აბსცისის ღერძის გასწვრივ და 3-ით ორდინატთა ღერძის გასწვრივ.

როგორ ავაშენოთ პარაბოლა კვადრატული განტოლების გამოყენებით

მნიშვნელოვანია, რომ სკოლის მოსწავლეებმა ისწავლონ პარაბოლის სწორად დახატვა მოცემული პარამეტრების გამოყენებით.

გამონათქვამებისა და განტოლებების გაანალიზებით, შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგი:

სასურველი წრფის გადაკვეთის წერტილს ორდინატულ ვექტორთან ექნება მნიშვნელობა c-ის ტოლი.
გრაფიკის ყველა წერტილი (x-ღერძის გასწვრივ) სიმეტრიული იქნება ფუნქციის მთავარ კიდურთან მიმართებაში.

გარდა ამისა, OX-თან გადაკვეთის წერტილების პოვნა შესაძლებელია ასეთი ფუნქციის დისკრიმინანტის (D) ცოდნით:

D = (b 2 - 4 * a * c).

ამისათვის თქვენ უნდა გაათანაბროთ გამოხატულება ნულთან.

პარაბოლას ფესვების არსებობა დამოკიდებულია შედეგზე:

D ˃ 0, შემდეგ x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
D = 0, შემდეგ x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, მაშინ არ არსებობს OX ვექტორთან გადაკვეთის წერტილები.

ჩვენ ვიღებთ პარაბოლის აგების ალგორითმს:

განისაზღვროს ტოტების მიმართულება;
იპოვნეთ წვეროს კოორდინატები;
იპოვნეთ გადაკვეთა ორდინატთა ღერძთან;
იპოვნეთ გადაკვეთა x ღერძთან.

მაგალითი 1.

მოცემულია ფუნქცია y = x 2 - 5 * x + 4. აუცილებელია პარაბოლის აგება. ჩვენ მივყვებით ალგორითმს:

a = 1, შესაბამისად, ტოტები მიმართულია ზემოთ;
ექსტრემალური კოორდინატები: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
კვეთს ორდინატთა ღერძს y = 4 მნიშვნელობით;
ვიპოვოთ დისკრიმინანტი: D = 25 - 16 = 9;
ეძებს ფესვებს:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

მაგალითი 2.

y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 ფუნქციისთვის თქვენ უნდა ააგოთ პარაბოლა. ჩვენ ვმოქმედებთ მოცემული ალგორითმის მიხედვით:

a = 3, შესაბამისად, ტოტები მიმართულია ზემოთ;
ექსტრემალური კოორდინატები: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
გადაიკვეთება y ღერძთან y = -1 მნიშვნელობით;
ვიპოვოთ დისკრიმინანტი: D = 4 + 12 = 16. ასე რომ, ფესვები არის:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

მიღებული ქულების გამოყენებით შეგიძლიათ ააგოთ პარაბოლა.

დირექტიკა, ექსცენტრიულობა, პარაბოლის ფოკუსი

კანონიკური განტოლებიდან გამომდინარე, F-ის ფოკუსს აქვს კოორდინატები (p/2, 0).

სწორი ხაზი AB არის მიმართულება (გარკვეული სიგრძის პარაბოლის ერთგვარი აკორდი). მისი განტოლებაა x = -p/2.

ექსცენტრიულობა (მუდმივი) = 1.

დასკვნა

ჩვენ გადავხედეთ თემას, რომელსაც სკოლის მოსწავლეები სწავლობენ უმაღლესი სკოლა. ახლა თქვენ იცით, პარაბოლის კვადრატულ ფუნქციას რომ უყურებთ, როგორ მოვძებნოთ მისი წვერო, რა მიმართულებით იქნება მიმართული ტოტები, არის თუ არა გადაადგილება ღერძების გასწვრივ და, კონსტრუქციული ალგორითმის არსებობით, შეგიძლიათ დახატოთ მისი გრაფიკი.

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკს პარაბოლა ეწოდება. ამ ხაზს აქვს მნიშვნელოვანი ფიზიკური მნიშვნელობა. ზოგი პარაბოლების გასწვრივ მოძრაობს ციური სხეულები. პარაბოლის ფორმის ანტენა ამახვილებს სხივებს პარაბოლის სიმეტრიის ღერძის პარალელურად. მაღლა გადაყრილი სხეულები დახრილი კუთხით ზედა წერტილიდა დაეცემა, ასევე აღწერს პარაბოლას. როგორც ჩანს, ყოველთვის სასარგებლოა ამ მოძრაობის წვეროების კოორდინატების ცოდნა.

ინსტრუქციები

1. კვადრატული ფუნქცია ყველაფერში ზოგადი ხედიდაწერილი განტოლებით: y = ცული? + bx + c. ამ განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ (> 0-ისთვის) ან ქვევით (< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в კვადრატული განტოლება, მიიღეთ y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. ადამიანები, რომლებიც იცნობენ წარმოებულ წარმოდგენას, შეუძლიათ ადვილად ამოიცნონ პარაბოლის წვერო. პარაბოლის ტოტების მდებარეობის მიუხედავად, მისი ზევით არის უკიდურესი წერტილი (მინიმალური, თუ ტოტები მიმართულია ზემოთ, ან მაქსიმალური, როდესაც ტოტები მიმართულია ქვემოთ). იმისათვის, რომ იპოვოთ რაიმე ფუნქციის სავარაუდო უკიდურესი წერტილები, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მისი პირველი წარმოებული და გაუტოლოთ ნულს. ზოგადად, კვადრატული ფუნქციის წარმოებული უდრის f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. ნულის ტოლფასი მიიღებთ 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2ა.

3. პარაბოლა არის სიმეტრიული ხაზი. სიმეტრიის ღერძი გადის პარაბოლის წვეროზე. პარაბოლის X კოორდინატულ ღერძთან გადაკვეთის წერტილების ცოდნით, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ x0 წვეროს აბსციზა. მოდით x1 და x2 იყოს პარაბოლის ფესვები (ე.წ. პარაბოლის გადაკვეთის წერტილები აბსცისის ღერძთან, რადგან ეს მნიშვნელობები აქცევს კვადრატულ განტოლებას ax? + bx + c ნულამდე). ამავე დროს, მოდით |x2| > |x1|, მაშინ პარაბოლის წვერო დევს მათ შორის შუაში და შეიძლება ვიპოვოთ შემდგომი გამოსახულებიდან: x0 = ?(|x2| – |x1|).

პარაბოლა არის კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი, ზოგადად პარაბოლის განტოლება იწერება y=aх^2+bх+с, სადაც a?0. ეს არის უნივერსალური მეორე რიგის მრუდი, რომელიც აღწერს ცხოვრების ბევრ ფენომენს, მაგალითად, გადაყრილი და შემდეგ დაცემული სხეულის მოძრაობას, ცისარტყელის ფორმას და, შესაბამისად, ცოდნას, რომ აღმოაჩინოს. პარაბოლაეს შეიძლება გამოადგეს რეალურ ცხოვრებაში.

დაგჭირდებათ

– კვადრატული განტოლების ფორმულა;
– ფურცელი კოორდინატთა ბადით;
- ფანქარი, საშლელი;
- კომპიუტერი და Excel პროგრამა.

ინსტრუქციები

1. პირველ რიგში, იპოვნეთ პარაბოლის წვერო. ამ წერტილის აბსცისის საპოვნელად აიღეთ მაჩვენებლის x-ის წინ, გაყავით ის ორჯერ x^2-ის მაჩვენებელზე და გაამრავლეთ -1-ზე (ფორმულა x=-b/2a). იპოვეთ ორდინატი მიღებული მნიშვნელობის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან ფორმულით y=(b^2-4ac)/4a. თქვენ მიიღეთ პარაბოლის წვერო წერტილის კოორდინატები.

2. პარაბოლის წვერო ასევე შეიძლება გამოვლინდეს სხვა მეთოდის გამოყენებით. იმის გამო, რომ წვერო არის ფუნქციის უკიდურესობა, მის გამოსათვლელად, გამოთვალეთ პირველი წარმოებული და გაუტოლეთ ნულს. ზოგადი ფორმით თქვენ მიიღებთ ფორმულას f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. და მისი ნულთან გათანაბრებით მიხვალთ იმავე ფორმულამდე - x = -b/2a.

3. გაარკვიეთ პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ თუ ქვევით. ამისათვის შეხედეთ ინდიკატორს x^2-ის წინ, ანუ a. თუ a>0, მაშინ ტოტები მიმართულია ზემოთ, თუ a

4. ააგეთ პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი; ის კვეთს პარაბოლის წვეროს და პარალელურია y ღერძის. პარაბოლის ყველა წერტილი იქნება მისგან თანაბარი მანძილი, ამიტომ შესაძლებელია მხოლოდ ერთი ნაწილის აგება, შემდეგ კი მისი სიმეტრიულად ჩვენება პარაბოლის ღერძის მიმართ.

5. დახაზეთ პარაბოლას ხაზი. ამისათვის იპოვნეთ რამდენიმე პუნქტი ჩანაცვლებით სხვადასხვა მნიშვნელობა x შევიდა განტოლებებში და ამოხსნის ტოლობას. მოსახერხებელია ღერძებთან კვეთის აღმოჩენა, ამისათვის ჩაანაცვლეთ x=0 და y=0 ტოლობაში. აწიეთ ერთი მხარე, ასახეთ იგი სიმეტრიულად ღერძის გარშემო.

6. ნებადართულია აშენება პარაბოლადახმარებით Excel პროგრამები. ამისათვის გახსენით ახალი დოკუმენტი და შეარჩიეთ მასში ორი სვეტი, x და y=f(x). პირველ სვეტში ჩაწერეთ x-ის მნიშვნელობები არჩეულ სეგმენტზე, ხოლო მეორე სვეტში ჩაწერეთ ფორმულა, ვთქვათ, =2B3*B3-4B3+1 ან =2B3^2-4B3+1. იმისათვის, რომ ეს ფორმულა ყოველ ჯერზე არ დაწეროთ, „გაჭიმეთ“ იგი თითოეულ სვეტზე ქვედა მარჯვენა კუთხეში მდებარე პატარა ჯვარზე დაწკაპუნებით და ქვევით გადმოწევით.

7. როდესაც თქვენ გაქვთ ცხრილი, დააწკაპუნეთ მენიუში "ჩასმა" - "დიაგრამა". აირჩიეთ სკატერის ნაკვეთი, დააჭირეთ შემდეგი. ფანჯარაში, რომელიც გამოჩნდება, დაამატეთ მწკრივი ღილაკზე "დამატება" დაწკაპუნებით. საჭირო უჯრედების ასარჩევად დააწკაპუნეთ სათითაოდ წითელ ოვალურად შემოხაზულ ღილაკებზე ქვემოთ, შემდეგ აირჩიეთ თქვენი სვეტები მნიშვნელობებით. "შესრულებულია" ღილაკზე დაჭერით შეაფასეთ შედეგი - დასრულებული პარაბოლა .

ვიდეო თემაზე

კვადრატული ფუნქციის ძიებისას, რომლის გრაფიკი არის პარაბოლა, ერთ-ერთ წერტილში უნდა იპოვოთ კოორდინატები მწვერვალებიპარაბოლები. როგორ გავაკეთოთ ეს ანალიტიკურად პარაბოლისთვის მოცემული განტოლების გამოყენებით?

ინსტრუქციები

1. კვადრატული ფუნქცია არის y=ax^2+bx+c ფორმის ფუნქცია, სადაც a არის წამყვანი მაჩვენებელი (ის მკაცრად არ უნდა იყოს ნულოვანი), b არის ყველაზე დაბალი მაჩვენებელი, c არის თავისუფალი წევრი. ეს ფუნქცია თავის გრაფიკს აძლევს პარაბოლას, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ (თუ a>0) ან ქვევით (თუ a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. ვიპოვოთ კოორდინატი x0 მწვერვალებიპარაბოლები. ის გვხვდება ფორმულით0=-b/a.

3. y0=y(x0). y0 კოორდინატის აღმოსაჩენად მწვერვალებიპარაბოლები, თქვენ უნდა ჩაანაცვლოთ აღმოჩენილი მნიშვნელობა x0 ფუნქციაში x-ის ნაცვლად. გამოთვალეთ რისი ტოლია y0.

4. კოორდინატები მწვერვალებიაღმოჩენილია პარაბოლები. ჩაწერეთ ისინი ერთი წერტილის კოორდინატებად (x0,y0).

5. პარაბოლის აგებისას გახსოვდეთ, რომ ის სიმეტრიულია პარაბოლის სიმეტრიის ღერძის მიმართ, რომელიც ვერტიკალურად გადის პარაბოლის წვეროზე, რადგან კვადრატული ფუნქცია ლუწია. შესაბამისად, საკმარისია პარაბოლის მხოლოდ ერთი ტოტის აგება წერტილებიდან, ხოლო მეორე სიმეტრიულად დასრულება.

ვიდეო თემაზე

ფუნქციებისთვის (უფრო სწორად მათი გრაფიკებისთვის) გამოიყენება უდიდესი მნიშვნელობის გამოსახულება, ადგილობრივი მაქსიმალურის ჩათვლით. "ვერტექსის" იდეა უფრო მეტად ასოცირდება გეომეტრიულ ფორმებთან. გლუვი ფუნქციების (წარმოებულის მქონე) მაქსიმალური ქულების დადგენა ადვილია პირველი წარმოებულის ნულების გამოყენებით.

ინსტრუქციები

1. წერტილებისთვის, რომლებშიც ფუნქცია არ არის დიფერენცირებადი, მაგრამ მუდმივი, ინტერვალზე ყველაზე დიდი მნიშვნელობა შეიძლება ჰქონდეს წვერის ფორმა (მაგალითად, y=-|x|). ასეთ წერტილებში გრაფიკზე ფუნქციებიშესაძლებელია იმდენი ტანგენტის დახატვა, რამდენიც სასურველია, და წარმოებული არ არსებობს მისთვის მარტივად. სამი ფუნქციებიამ ტიპის ჩვეულებრივ მითითებულია სეგმენტებზე. წერტილები, რომლებზეც წარმოებული ფუნქციებინულის ტოლია ან არ არსებობს, სკეპტიკოსებს უწოდებენ.

2. გამოდის, რომ იპოვოთ მაქსიმალური ქულები ფუნქციები y=f(x) აუცილებელია: - სკეპტიკური წერტილების აღმოსაჩენად; - მაქსიმალური წერტილის უპირატესობის მისაღწევად, აუცილებელია წარმოებულის ნიშნის აღმოჩენა სკეპტიკური წერტილის სიახლოვეს. თუ წერტილის გავლისას ნიშანი მონაცვლეობს "+"-დან "-"-მდე, მაშინ ხდება მაქსიმუმი.

3. მაგალითი. იპოვნეთ ყველაზე დიდი მნიშვნელობები ფუნქციები(იხ. სურ. 1).y=x+3 x?-1-ისთვის და y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1-ისთვის.

4. Rheaning. y=x+3 x?-1-ისთვის და y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1-ისთვის. ფუნქცია მითითებულია სეგმენტებზე განზრახ, რადგან ამ შემთხვევაში მიზანია ყველაფრის ჩვენება ერთ მაგალითში. ადვილია იმის შემოწმება, რომ x=-1-ზე ფუნქცია რჩება მუდმივი. y'=1 x?-1-ზე და y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) x>-1-სთვის. y'=0 x=8/27-ისთვის. y' არ არსებობს x=-1-სთვის და x= 0. ამ შემთხვევაში y'>0 თუ x

ვიდეო თემაზე

პარაბოლა არის მეორე რიგის მრუდი, მისი წერტილები ამაღლებულია კვადრატული განტოლების შესაბამისად. ამ ირიბის აგებაში მთავარია გამოვლენა ზედა პარაბოლები. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით.

ინსტრუქციები

1. წვეროს კოორდინატების საპოვნელად პარაბოლებიგამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა: x = -b/2a, სადაც a არის ინდიკატორი x-მდე კვადრატში და b არის მაჩვენებელი x-მდე. შეაერთეთ თქვენი მნიშვნელობები და გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა. ამის შემდეგ, შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა x-ით განტოლებაში და გამოთვალეთ წვეროს ორდინატი. ვთქვათ, თუ გეძლევათ განტოლება y=2x^2-4x+5, მაშინ იპოვეთ აბსციზა შემდეგი გზით: x=-(-4)/2*2=1. x=1 განტოლებაში ჩანაცვლებით, გამოთვალეთ y-მნიშვნელობა წვეროსთვის პარაბოლები: y=2*1^2-4*1+5=3. ასე რომ, ზედა პარაბოლებიაქვს კოორდინატები (1;3).

2. ორდინატის ღირებულება პარაბოლებიშეიძლება გამოვლინდეს აბსცისის წინასწარ გაანგარიშების გარეშე. ამისათვის გამოიყენეთ ფორმულა y=-b^2/4ac+c.

3. თუ თქვენ იცნობთ წარმოებული წარმოდგენას, აღმოაჩინეთ ზედა პარაბოლებიწარმოებულის გამოყენებით, ყოველი ფუნქციის შემდგომი თვისებით: ფუნქციის პირველი წარმოებული, ნულის ტოლი, მიუთითებს უკიდურეს წერტილებზე. რადგან ზედა პარაბოლები, იმისდა მიუხედავად, მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ თუ ქვემოთ, არის ექსტრემალური წერტილი, გამოთვალეთ წარმოებული თქვენი ფუნქციისთვის. ზოგადი ფორმით ის გამოიყურება, როგორც f(x)=2ax+b. გაატოლეთ იგი ნულთან და მიიღეთ წვეროს კოორდინატები პარაბოლებითქვენი ფუნქციის შესაბამისი.

4. სცადეთ აღმოჩენა ზედა პარაბოლები, ისარგებლებს მისი თვისებებით, როგორიცაა სიმეტრია. ამისათვის იპოვნეთ გადაკვეთის წერტილები პარაბოლები x ღერძით, ფუნქციის გათანაბრება ნულთან (ჩანაცვლება y = 0). როდესაც ამოხსნით კვადრატულ განტოლებას, იპოვით x1 და x2. რადგან პარაბოლა სიმეტრიულია დირექტიკის მიმართ, რომელიც გადის ზედა, ეს წერტილები თანაბარი დაშორებით იქნება წვერის აბსცისისგან. მის აღმოსაჩენად წერტილებს შორის მანძილს ვყოფთ შუაზე: x = (Ix1-x2I)/2.

5. თუ რომელიმე მაჩვენებლი არის ნული (გარდა a), გამოთვალეთ წვეროს კოორდინატები პარაბოლებიგამარტივებული ფორმულების გამოყენებით. ვთქვათ, თუ b = 0, ანუ განტოლებას აქვს ფორმა y = ax^2 + c, მაშინ წვერო განლაგდება oy ღერძზე და მისი კოორდინატები იქნება (0; c) ტოლი. თუ არა მხოლოდ მაჩვენებელი b=0, არამედ c=0, მაშინ წვერო პარაბოლებიმდებარეობს სათავეში, წერტილი (0;0).

ვიდეო თემაზე

ერთი წერტილიდან დაწყებული, სწორი ხაზები ქმნიან კუთხეს, სადაც მათი საერთო წერტილი არის წვერო. თეორიული ალგებრის განყოფილებაში ხშირად არის პრობლემები, როდესაც ამის კოორდინატების პოვნა გჭირდებათ მწვერვალები, რათა შემდეგ განვსაზღვროთ წვეროზე გამავალი წრფის განტოლება.

ინსტრუქციები

1. სანამ დაიწყებთ კოორდინატების პოვნის პროცესს მწვერვალები, გადაწყვიტეთ საწყისი მონაცემები. აღიარეთ, რომ სასურველი წვერო ეკუთვნის სამკუთხედს ABC, რომელშიც ცნობილია დანარჩენი 2 წვერის კოორდინატები, ასევე რიცხვითი მნიშვნელობები კუთხეები, უდრის "e" და "k" მხარეს AB.

2. შეუთავსეთ ახალი სისტემაკოორდინატები AB სამკუთხედის ერთ-ერთ მხარეს ისე, რომ კოორდინატთა სისტემის წინასიტყვაობა ემთხვევა A წერტილს, რომლის კოორდინატები თქვენთვის ცნობილია. მეორე წვერო B განლაგდება OX ღერძზე და მისი კოორდინატებიც თქვენთვის ცნობილია. დაადგინეთ AB გვერდის სიგრძე OX ღერძის გასწვრივ კოორდინატების მიხედვით და აიღეთ ის ტოლი "m".

3. ჩამოწიეთ პერპენდიკულარი უცნობისგან მწვერვალები C შესაბამისად OX ღერძზე და სამკუთხედის AB მხარეს. შედეგად მიღებული სიმაღლე "y" განსაზღვრავს ერთ-ერთი კოორდინატის მნიშვნელობას მწვერვალები C OY ღერძის გასწვრივ. დავუშვათ, რომ სიმაღლე "y" ყოფს AB მხარეს ორ სეგმენტად, რომელიც ტოლია "x" და "m - x".

4. იმიტომ რომ შენ იცი ყველაფრის მნიშვნელობა კუთხეებისამკუთხედი, რაც ნიშნავს, რომ ცნობილია მათი ტანგენტების მნიშვნელობებიც. აიღეთ ტანგენტების მნიშვნელობები კუთხეები, AB სამკუთხედის გვერდის მიმდებარედ, ტოლია tan(e) და tan(k).

5. შეიყვანეთ AC და BC გვერდების გასწვრივ გამავალი 2 წრფის განტოლებები: y = tan(e) * x და y = tan(k) * (m – x). შემდეგ იპოვეთ ამ წრფეების გადაკვეთა გარდაქმნილი წრფის განტოლებების გამოყენებით: tan(e) = y/x და tan(k) = y/(m – x).

6. თუ ჩავთვალოთ, რომ tan(e)/tan(k) უდრის (y/x) /(y/ (m – x)) ან მოგვიანებით შემოკლებით „y“ – (m – x) / x, თქვენ მიიღებთ სასურველი მნიშვნელობების კოორდინატები ტოლია x = m / (tan(e)/tan(k) + e) და y = x * tan(e).

7. შემცვლელი მნიშვნელობები კუთხეები(e) და (k), ისევე როგორც AB = m გვერდის გამოვლენილი მნიშვნელობა x = m / (tan(e)/tan(k) + e) და y = x * tan(e) ).

8. გადაიყვანეთ ახალი კოორდინატთა სისტემა საწყის კოორდინატულ სისტემაში, რადგან მათ შორის დამყარდა ერთი-ერთზე მიმოწერა და მიიღეთ სასურველი კოორდინატები. მწვერვალებისამკუთხედი ABC.

ვიდეო თემაზე

ნაგაევა სვეტლანა ნიკოლაევნა, მათემატიკის მასწავლებელი MAOU "ლიცეუმის No1" ქალაქ ბერეზნიკში.

პროექტი ალგებრის გაკვეთილი მე-9 კლასში(ჰუმანიტარული პროფილი).

”ყველაზე ღრმა კვალი ტოვებს იმას, რაც ადამიანმა თავად აღმოაჩინა.” (დ. პოია.)

გაკვეთილის თემა:„პარაბოლას წვეროს კოორდინატების გამოთვლის ფორმულების წარმოშობა“.

გაკვეთილის მიზნები: საგანმანათლებლო :

Მოსალოდნელი შედეგი:

- მოსწავლეთა მიერ პრობლემის გაცნობიერება, მიღება და გადაწყვეტა;

ახალი ცოდნის მოპოვების გზების ფორმირება ფაქტების შედარებისა და შეჯახების გზით, მეთოდი კონკრეტულიდან ზოგადამდე;

ისწავლეთ პარაბოლის წვერის და სიმეტრიის ღერძის კოორდინატების ფორმულები y = ax 2 +bx+c ფორმის ფუნქციებისთვის.

გაკვეთილის ტიპი:დადგმის გაკვეთილი საგანმანათლებლო დავალება. სწავლების მეთოდები– ვიზუალური და საილუსტრაციო, ვერბალური, თანამშრომლობითი სწავლება, პრობლემაზე დაფუძნებული, კრიტიკული აზროვნების ტექნოლოგიის ელემენტები.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი, სადემონსტრაციო ეკრანი, პრეზენტაციის სლაიდები თემაზე: „პარაბოლის წვეროს კოორდინატების პოვნის ფორმულა“; A3 ფურცლები; ფერადი მარკერები.

ტექნიკა- სისტემა-აქტივობის მიდგომა.

გაკვეთილის ეტაპები:

ფსიქოლოგიური განწყობა (მოტივაცია).

განახლება ფონური ცოდნა(წარმატების სიტუაციის შექმნა).

პრობლემის ფორმულირება.

გაკვეთილის თემისა და მიზნის ფორმულირება.

პრობლემის გადაწყვეტა.

პრობლემის მოგვარების პროგრესის ანალიზი.

პრობლემის გადაჭრის შედეგების გამოყენება შემდგომ აქტივობებში.

გაკვეთილის შეჯამება (რეზიუმე მოსწავლის „თვალებით“, რეზიუმე მასწავლებლის „თვალებით“).

Საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს:

ფსიქოლოგიური განწყობა.

ამოცანა: ისწავლეთ ამოხსნა საერთო დავალებადა მუშაობა გუნდში (მუშაობა 5 კაციან ჯგუფებში).

ბიჭებო, ბოლო ოთხი გაკვეთილის განმავლობაში ჩვენ ვსწავლობთ კვადრატულ ფუნქციას, მაგრამ ჩვენი ცოდნა ჯერ არ არის ბოლომდე დასრულებული, ამიტომ ვაგრძელებთ კვადრატული ფუნქციის შესწავლას, რათა ვისწავლოთ რაიმე ახალი ამ ფუნქციის შესახებ.

მოსწავლეთა მოტივაცია დამოუკიდებლად ჩამოაყალიბონ გაკვეთილის თემა და მიზანი.

ფუნქცია
და მისი განრიგი.

;
;

გრაფიკული ფუნქციების გარეშე შეგვიძლია ვუპასუხოთ კითხვებს:

რა არის ფუნქციების გრაფიკი?

რომელი წრფეა სიმეტრიის ღერძი (თუ ის არსებობს)?

3. არის თუ არა წვერო, როგორია მისი კოორდინატები?

მინდა ვიცოდე

ცხრილი ივსება გაკვეთილის მიმდინარეობისას.

მოსწავლეთა საბაზისო ცოდნისა და უნარების განახლება.Გახურება. 1. მოათავსეთ ყველაზე მაღალი კოეფიციენტი ფრჩხილებიდან: 5x 2 + 25x -5; ცული 2 + bx + c. 2. აირჩიეთ ორმაგი ნამრავლი: ab; ნაჯახი; ბ/ა. 3.კვადრატი: ბ/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.ალგებრული ჯამის სახით წარმოდგენა: a – c; x –(- b/2a).

ახსენით როგორ, იცოდეთ ფუნქციის გრაფიკის ტიპიწ =ƒ( x ) შექმენით ფუნქციების გრაფიკები:

ა ) წ =ƒ(x - ა) , - ღერძის გასწვრივ მარჯვნივ ერთეულების პარალელური თარგმნის გამოყენებით X;

ბ) წ =ƒ(x) + ბ, - ღერძის გასწვრივ პარალელური გადაყვანის b ერთეულების გამოყენებით წ;

V) წ =ƒ(x- ა) +ბ, ↔ ჩართულია აერთეული, ↕ მიერ ბერთეულები;

დ) როგორ გამოვსახოთ ფუნქცია წ = (x - 2) 2 + 3 ? როგორია მისი განრიგი?

დაასახელეთ პარაბოლის წვერო.
გრაფიკი არის პარაბოლა წ = x 2 წვეროსთან ერთად (2; 3 ).

მიეცით პარაბოლის წვეროს კოორდინატები: y=x - 4x + 5 ( პრობლემა). რატომ არის შეუძლებელია პარაბოლის წვეროს კოორდინატების დადგენა ფუნქციის ტიპის მიხედვით?(კვადრატულ ფუნქციას განსხვავებული ფორმა აქვს).

მოსწავლეთა აქტივობები:

მეტყველების სტრუქტურების აგება ფუნქციური ტერმინოლოგიის გამოყენებით.

პასუხების განხილვა. ისინი ადარებენ, ადარებენ ადრე შესწავლილ ფუნქციებს, ირჩევენ და წერენ დაფაზე იმ ცოდნას და უნარებს, რომლებიც შეიძლება დასჭირდეთ პრობლემის გადასაჭრელად სვეტში „ვიცი“:

სვეტში "მინდა ვიცოდე": წვერო, პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი
.

სტუდენტებს შეუძლიათ დაწერონ ფუნქციები "ვიცი" და "მინდა ვიცოდე" სვეტებში როგორც ზოგადად, ასევე განსაკუთრებულ შემთხვევებში. საგანმანათლებლო პრობლემის ფორმულირება: იპოვეთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატები, თუ კვადრატული ფუნქცია მოცემულია ზოგადი ფორმით. წ = ნაჯახი + bx + გ. მოსწავლეები აყალიბებენ და წერენ გაკვეთილის თემას და მიზანს რვეულში.(პარაბოლის წვეროს კოორდინატების გამოთვლის ფორმულების გამოყვანა. ისწავლეთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატების ახლებურად პოვნა - ფორმულების გამოყენებით).

პრობლემის გადაწყვეტა.

მოსწავლეთა აქტივობები: „ძველი“ ცოდნის ახალ ცოდნასთან შედარებისას მოსწავლეებს სთხოვენ გამოყოს სრული კვადრატი. ჩართულია კონკრეტული მაგალითები
;
და შესაბამისად მიიღეთ
;
. იპოვეთ წვერის კოორდინატები და სიმეტრიის ღერძის განტოლება.მათ ესმით, რომ გაართვეს თავი დავალებას, რადგან მოიტანა ახალი თვისებანაცნობ სახეს.

მოსწავლეები ამოიცნობენ სრულ კვადრატს ფუნქციისთვის.
; , შეადარეთ მიღებული შედეგი, გამოიტანეთ დასკვნა ამ ფუნქციის საფუძველზე. იპოვეთ წვერის კოორდინატები და სიმეტრიის ღერძი.

შეგიძლიათ დაასახელოთ პარაბოლის წვერო და ღერძი, თუ ფუნქცია მოცემულია ზოგადი ფორმით
სრული კვადრატის ხაზგასმის გარეშე? როგორ მოიქცევით ამ შემთხვევაში? და როგორ გამოვიყენოთ თქვენი წინა გამოცდილება პარაბოლის წვეროსა და ღერძის პოვნაში?

მოსწავლეთა აქტივობები:

არსებული ცოდნისა და გამოცდილების საფუძველზე, მოსწავლეები იწყებენ იმის გაგებას, რომ მათ სჭირდებათ უფრო შორს წასვლა, კონკრეტულიდან ზოგადამდე და მტკიცებულებების განხორციელება ზოგადი ფორმით.

ჩნდება ახალი სირთულეები. გამოსავალი ჩნდება ჯგუფებში: . პრობლემის მოგვარების პროგრესის ანალიზი.თითოეული ჯგუფიდან ისმის თითო წარმომადგენელი.

შეადარეთ და გააანალიზეთ ჩანაწერები
და
რვეულში იწერება დასმული პრობლემის ერთი ზოგადი გადაწყვეტა - ფორმულები პარაბოლის წვეროს კოორდინატებისთვის.
.

მოსწავლეები ასკვნიან: წვერის და პარაბოლის ღერძის კოორდინატები ფუნქციისთვის
შეიძლება რაციონალური გზით მოიძებნოს.

პრობლემის გადაჭრის შედეგების გამოყენება შემდგომ აქტივობებში.

მოსწავლეთა აქტივობები:

ამოცანების ამოხსნა No121 სახელმძღვანელოდან; 123. იპოვეთ პარაბოლის წვეროს კოორდინატები ახალი რაციონალური გზით. ჩაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

შეჯამება (ასახვა) საგანმანათლებლო საქმიანობაგაკვეთილზე).

დავუბრუნდეთ ცხრილს და შეავსოთ სვეტი „ნასწავლი“.

გაკვეთილის შეჯამება სტუდენტების თვალით:

ᲛᲘᲜᲓᲐ ᲕᲘᲪᲝᲓᲔ

5. მე ვიცი როგორ გავაფორმო ეს ფუნქციები

6. ვიცი როგორ ვიპოვო ამ პარაბოლების წვეროების კოორდინატები და პარაბოლის ღერძი

7. სრული კვადრატის შერჩევის მეთოდი

8. როგორ მოვძებნოთ წვეროების კოორდინატები, პარაბოლას ღერძი.

2. პარაბოლის სიმეტრიის ღერძის განტოლება

1. პარაბოლას წვეროს კოორდინატები

2.როგორ გამოვიტანოთ ფორმულა

3. რაციონალური გზა პარაბოლის ღერძის და პარაბოლის წვეროს კოორდინატების მოსაძებნად

შედეგი "მასწავლებლის თვალით":

გაკვეთილის მიზანი მიღწეულია.

მოსწავლეებმა გააცნობიერეს, მიიღეს და გადაჭრეს პრობლემა.

საგანმანათლებლო პრობლემის გადაჭრის პროცესში მოსწავლეებმა მიიღეს არა მხოლოდ ახალი ცოდნა: კვადრატული ტრინომის კოეფიციენტების დამოკიდებულება და პარაბოლის წვეროს კოორდინატები, სიმეტრიის ღერძის განტოლება, არამედ ყველაზე მნიშვნელოვანი რამ გაკვეთილი არის ახალი ცოდნის მიღების, პრობლემის დამოუკიდებელი ანალიზისა და უცნობის პოვნის განზოგადებული გზების ფორმირება.

Საშინაო დავალება: პუნქტი 7 No122 ;127(ბ) ;128.

P.S. წარმოდგენილი გაკვეთილი ჩატარდა 2014 წლის 15 ოქტომბერს მათემატიკის მასწავლებლებისთვის საქალაქო სემინარის ფარგლებში თემაზე „UDL-ის ფორმირება მათემატიკის გაკვეთილებზე“.

სტადიაზე „შედეგების გამოყენება...“ სახელმძღვანელოდან ამოცანების ამოხსნისას, ზოგიერთმა მოსწავლემ დაიწყო მათი „აღმოჩენის“ ღირებულების გაგება: მეტი მარტივი გზაწვეროს კოორდინატების და სიმეტრიის ღერძის განტოლების პოვნა, სხვები კი არ მალავდნენ სიხარულს, რადგან არ იყო საჭირო „ტანჯვა“ სრული კვადრატის იზოლირებით. მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ჩვენ თვითონ გავაკეთეთ ყველაფერი!

პარაბოლა არის მათემატიკის, ფიზიკის და სხვა მეცნიერებების სამყაროში. ხელოვნური თანამგზავრები მოძრაობენ პარაბოლის ტრაექტორიის გასწვრივ და ტოვებენ მას მზის სისტემა, ბურთი ფრენბურთის თამაშისას ასევე აღწერს მის ტრაექტორიას. თქვენ უნდა შეძლოთ პარაბოლის აგება. და იმისთვის, რომ ეს მარტივი იყოს, თქვენ უნდა იცოდეთ როგორ იპოვოთ პარაბოლის წვერო.

y = ax 2 + bx + c ფუნქციის გრაფიკს, სადაც a არის პირველი კოეფიციენტი, b არის მეორე კოეფიციენტი, c არის თავისუფალი წევრი, ეწოდება პარაბოლა. მაგრამ ყურადღება მიაქციეთ, რომ a ≠0.

პარაბოლას თითოეულ წერტილს აქვსმას სიმეტრიულია ერთი წერტილის გარდა და ამ წერტილს წვერო ეწოდება. იმისათვის, რომ იპოვოთ წერტილი, რომელიც არის წვერო, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ რა წერტილი არის გრაფიკზე. წერტილი გრაფიკზე არის სპეციფიკური კოორდინატი აბსცისა და ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. იგი აღინიშნება როგორც (x; y). მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ მოვძებნოთ ძვირფასი ნომრები.

პირველი გზა

თუ გსურთ იცოდეთ როგორ სწორად გამოთვალოთ წვეროს კოორდინატები, მაშინ მხოლოდ ფორმულა x0 = -b/2a უნდა ისწავლოთ. მიღებული რიცხვის ფუნქციაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ y0.

მაგალითად, y =x 2 –8 x +15;

იპოვეთ პირველი, მეორე კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრი;

a =1, b =-8, c =15;

ჩაანაცვლეთ a და b მნიშვნელობები ფორმულაში;

x0=8/2=4;

y მნიშვნელობების გამოთვლა;

y0 = 16–32+15 = -1;

ეს ნიშნავს, რომ წვერო არის წერტილში (4;-1).

პარაბოლის ტოტები სიმეტრიულია სიმეტრიის ღერძის მიმართ, რომელიც გადის პარაბოლის წვეროზე. განტოლების ფესვების ცოდნით, შეგიძლიათ მარტივად გამოთვალოთ პარაბოლას წვეროს აბსციზა. დავუშვათ, რომ k და n არის კვადრატული განტოლების ფესვები. მაშინ x0 წერტილი თანაბრად არის დაშორებული k და n წერტილებისგან და მისი გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულით: x0 = (k + n)/2.

მოდით შევხედოთ მაგალითს y =x 2 –6x+5

1) უდრის ნულს:

x 2 –6x+5=0.

2) იპოვეთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით: D = b 2 –4 ac:

D =36–20=16.

3) იპოვეთ განტოლების ფესვები ფორმულის გამოყენებით (-b±√ D)/2a:

1 - პირველი ფესვი;
5 არის მეორე ფესვი.

4) გამოთვალეთ:

x0 =(5+1)/2=3

მეორე გზა

სრული კვადრატის დასრულება შესანიშნავი გზაა იმის გასარკვევად, თუ სად მდებარეობს წვერო. ამ მეთოდის გამოყენებით, თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ x და y წერტილები ერთდროულად, x საწყის მაგალითში ჩანაცვლების გარეშე. განვიხილოთ ეს მეთოდი ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით: y=x 2 +8 x +10.

1. ჯერ უნდა გააიგივოთ გამოხატულება ცვლადთან 0. შემდეგ გადაიტანეთ c-ზე მარჯვენა მხარეთან საპირისპირო ნიშანი, ანუ ვიღებთ გამონათქვამს x 2 + 8x = -10.

2. ახლა მარცხენა მხარეს თქვენ უნდა გააკეთოთ სრული მოედანი. ამისათვის გამოთვალეთ (b/2) 2 და გაზარდეთ განტოლების შედეგის ორივე მხარე. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეცვალოთ 8 ნაცვლად b.

მივიღებთ 16-ს. ახლა დაამატეთ ეს რიცხვი განტოლების ორივე მხარეს:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. ჩანს, რომ მიღებული გამოხატულება არის სრულყოფილი კვადრატი. ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით: (x + 4) 2 = 6.

4. გამოიყენეთ ეს გამოთქმა პარაბოლის წვეროს კოორდინატების საპოვნელად. x-ის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გაატოლოთ ის 0-ზე. ვიღებთ x = -4. y კოორდინატი უდრის მარჯვენა მხარეს, ანუ y =6. ამ განტოლების პარაბოლის წვეროა (-4, 6).

მესამე გზა

თუ იცით, რა არის წარმოებული, მაშინ თქვენთვის სხვა ფორმულაა. მიუხედავად იმისა, თუ სად არის პარაბოლის წერტილის „რქები“, მისი მწვერვალი არის უკიდურესი წერტილი. ამ მეთოდისთვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ალგორითმი:

1. პირველი წარმოებულის პოვნა ფორმულის გამოყენებით f"(x) = (ax² + bx + c)' = 2ax + b.

2. წარმოებულის გათანაბრება 0-თან. შედეგად მიიღებთ 0 = 2ax + b, აქედან შეგიძლიათ იპოვოთ ის, რაც გვაინტერესებს.

განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად.

მოცემულია ფუნქცია y = 4x²+16x-17;

წარმოებულს ვწერთ და ვატოლებთ ნულს.

f"(x) = (4x²+16x-17)' = 8x+16 =0

აგებისას ყველაზე რთულია ფუნქციის წერტილების სწორად პოვნა. დეტალური მშენებლობისთვის, თქვენ უნდა გამოთვალოთ 5-7 ქულა (ეს საკმარისია სკოლის კურსისთვის). ამისათვის აირჩიეთ გარკვეული მნიშვნელობა x და ჩაანაცვლეთ იგი ამ ფუნქციაში. გამოთვლების შედეგი იქნება წერტილების რაოდენობა ორდინატთა ღერძის გასწვრივ. ამის შემდეგ მიღებულ წერტილებს ვათავსებთ კოორდინატულ სიბრტყეზე. შედეგად ვიღებთ პარაბოლას.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ პუნქტების პოვნის საკითხი, რომლებიც უნდა აღინიშნოს. მაგალითად, ავიღოთ ფუნქცია y =-x 2 +11 x -24 წვეროსთან ერთად (5.5;-6.25).

1) ააგეთ მაგიდა

იპოვეთ შანსები სწორად.

დაწერეთ შუალედური გამოთვლები ქაღალდზე. ეს არამარტო გაგიადვილებთ მწვერვალის პოვნას, არამედ დაგეხმარებათ თქვენი შეცდომების პოვნაში.

გააკეთე ყველაფერი ეტაპობრივად. დაიცავით ალგორითმი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ:

თქვენ უნდა შეამოწმოთ სწორია თუ არა თქვენი გადაწყვეტილება.
უნდა დამშვიდდე. ნებისმიერი მათემატიკური ამოცანის ამოხსნას გამოცდილება სჭირდება. უბრალოდ უნდა დამუშავდეს ამ თემას, და მაშინ აუცილებლად მიაღწევ წარმატებას.

ვიდეო

ეს ვიდეო დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორ იპოვოთ პარაბოლის წვერო

არ მიგიღიათ პასუხი თქვენს კითხვაზე? შესთავაზეთ თემა ავტორებს.