პრიმიტიული. განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი თვისებები ალგებრის გაკვეთილის მონახაზი (მე-11 კლასი) თემაზე. გაკვეთილის შეჯამება "ანტიწარმოებული და ინტეგრალი" გაკვეთილი ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მე-11 კლასი ორლოვა ე.ვ.

"ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი"

სლაიდი 1

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო : ანტიდერივატივის ცნების ჩამოყალიბება და კონსოლიდაცია, სხვადასხვა დონის ანტიდერივატიული ფუნქციების პოვნა.

განვითარება: მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარება, ანალიზის, შედარების, განზოგადების, სისტემატიზაციის ოპერაციებზე დაყრდნობით.

საგანმანათლებლო: ჩამოაყალიბოს სტუდენტების მსოფლმხედველობრივი შეხედულებები, აღზარდოს შედეგზე პასუხისმგებლობისგან, წარმატების განცდა.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, მულტიმედიური დაფა.

სწავლის მოსალოდნელი შედეგები:სტუდენტმა უნდა

წარმოებულის განმარტება

ანტიდერივატი განისაზღვრება ორაზროვნად.

იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციები უმარტივეს შემთხვევებში

შეამოწმეთ არის თუ არა ანტიდერივატი ფუნქციისთვის მოცემულ დროის ინტერვალზე.

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო სლაიდი 2

საშინაო დავალების შემოწმება

თემის მესიჯი, გაკვეთილის მიზანი, საგანმანათლებლო საქმიანობის ამოცანები და მოტივაცია.

საწერ დაფაზე:

წარმოებული -აწარმოებს "ახალ ფუნქციას".

ანტიდერივატი - პირველადი სურათი.

4. ცოდნის აქტუალიზაცია, ცოდნის სისტემატიზაცია შედარებით.

დიფერენციაცია-წარმოებულის მოძიება.

ინტეგრაცია არის ფუნქციის აღდგენა მოცემული წარმოებულის მიერ.

ახალი პერსონაჟების გაცნობა:

5. ორალური ვარჯიშები:სლაიდი 3

ქულების ნაცვლად, დააყენეთ ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს თანასწორობას.

მოსწავლეთა თვითტესტი.

მოსწავლეთა ცოდნის განახლება.

5. ახალი მასალის შესწავლა.

ა) საპასუხო მოქმედებები მათემატიკაში.

მასწავლებელი: მათემატიკაში არის 2 ურთიერთშებრუნებული ოპერაცია მათემატიკაში. მოდით შევხედოთ შედარებას. სლაიდი 4

ბ) ორმხრივი მოქმედებები ფიზიკაში.

მექანიკის განყოფილებაში განხილულია ორი ურთიერთშებრუნებული პრობლემა.

სიჩქარის პოვნა მატერიალური წერტილის მოძრაობის მოცემული განტოლების მიხედვით (ფუნქციის წარმოებულის პოვნა) და მოძრაობის ტრაექტორიის განტოლების პოვნა სიჩქარის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით.

გ) შემოღებულია ანტიწარმოებული, განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება

სლაიდი 5, 6

მასწავლებელი: იმისათვის, რომ დავალება უფრო დაზუსტდეს, უნდა გამოვასწოროთ საწყისი სიტუაცია.

დ) ანტიდერივატების ცხრილი სლაიდი 7

ამოცანები პრიმიტივის პოვნის უნარის ფორმირებისთვის - ჯგუფურად მუშაობა სლაიდი 8

ამოცანები უნარის ფორმირებისთვის, დაამტკიცოს, რომ ანტიდერივატი არის მოცემული ინტერვალის ფუნქციისთვის - წყვილი მუშაობა.

6.ფიზმუტკასლაიდი 9

7. ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება.სლაიდი 10

8. საშინაო დავალების დადგენასლაიდი 11

9. გაკვეთილის შეჯამება.სლაიდი 12

ფრონტალური გამოკითხვის დროს მოსწავლეებთან ერთად ხდება გაკვეთილის შედეგების შეჯამება, ახალი მასალის ცნების შეგნებული გაგება შეიძლება იყოს სმაილიკების სახით.

ყველაფერი გაიგო, ყველაფერი მოახერხა.

ნაწილობრივ ვერ გაიგო (ა), ვერ მოახერხა ყველაფრის გაკეთება.

Კლასი: 11

პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ, ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

ალგებრის გაკვეთილის ტექნოლოგიური რუკა მე-11 კლასი.

"ადამიანს შეუძლია აღიაროს თავისი შესაძლებლობები მხოლოდ მათი გამოყენების მცდელობით."
სენეკა უმცროსი.

საათების რაოდენობა განყოფილებაში: 10 საათი.

დაბლოკვის თემა:ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გაკვეთილის წამყვანი თემა:ცოდნისა და ზოგადსაგანმანათლებლო უნარების ჩამოყალიბება ტიპიური, მიახლოებითი და მრავალდონიანი ამოცანების სისტემის მეშვეობით.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ანტიდერივატივის ცნების ჩამოყალიბება და კონსოლიდაცია, სხვადასხვა დონის ანტიდერივატიული ფუნქციების პოვნა.
განვითარება:მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარება, ანალიზის, შედარების, განზოგადების, სისტემატიზაციის ოპერაციებზე დაყრდნობით.
საგანმანათლებლო:ჩამოაყალიბოს სტუდენტების მსოფლმხედველობრივი შეხედულებები, აღზარდოს შედეგზე პასუხისმგებლობისგან, წარმატების განცდა.

გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის სწავლა.

სწავლების მეთოდები:ვერბალური, ვერბალურ-ვიზუალური, პრობლემური, ევრისტიკული.

სწავლის ფორმები:ინდივიდუალური, წყვილი, ჯგუფური, ზოგადი კლასი.

განათლების საშუალებები:ინფორმაცია, კომპიუტერი, ეპიგრაფი, მასალა.

სწავლის მოსალოდნელი შედეგები:სტუდენტმა უნდა

წარმოებულის განმარტება
ანტიდერივატი განისაზღვრება ორაზროვნად.

იპოვნეთ ანტიდერივატიული ფუნქციები უმარტივეს შემთხვევებში
შეამოწმეთ არის თუ არა ანტიდერივატი ფუნქციისთვის მოცემულ დროის ინტერვალზე.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

გაკვეთილის მიზნის დასახვა (2 წთ)
მომზადება ახალი მასალის შესასწავლად (3 წთ)
ახალი მასალის გაცნობა (25 წთ)
ნასწავლის საწყისი რეფლექსია და გამოყენება (10 წთ)
საშინაო დავალების დაყენება (2 წთ)
გაკვეთილის შეჯამება (3 წთ)
დაჯავშნე დავალებები.

გაკვეთილების დროს

1. თემის შეტყობინება, გაკვეთილის მიზანი, ამოცანები და სასწავლო აქტივობების მოტივაცია.

საწერ დაფაზე:

*** წარმოებული - „აწარმოებს“ ახალ ფუნქციას. პრიმიტიული - პირველადი გამოსახულება.

2. ცოდნის აქტუალიზაცია, ცოდნის სისტემატიზაცია შედარებით.

დიფერენციაცია-წარმოებულის მოძიება.

ინტეგრაცია არის ფუნქციის აღდგენა მოცემული წარმოებულის მიერ.

ახალი პერსონაჟების გაცნობა:

*ზეპირი სავარჯიშოები: ქულების ნაცვლად დააყენეთ რაიმე ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს თანასწორობას.(იხილეთ პრეზენტაცია) -ინდივიდუალური სამუშაო.

(ამ დროს 1 მოსწავლე დაფაზე წერს დიფერენციაციის ფორმულებს, 2 მოსწავლე - დიფერენცირების წესებს).

თვითშემოწმებას ახორციელებენ მოსწავლეები.(ინდივიდუალური სამუშაო)
მოსწავლეთა ცოდნის განახლება.

3. ახალი მასალის შესწავლა.

ა) საპასუხო მოქმედებები მათემატიკაში.

მასწავლებელი: მათემატიკაში არის 2 ურთიერთშებრუნებული ოპერაცია მათემატიკაში. მოდით შევხედოთ შედარებას.

ბ) ორმხრივი მოქმედებები ფიზიკაში.

მექანიკის განყოფილებაში განხილულია ორი ურთიერთშებრუნებული პრობლემა. სიჩქარის პოვნა მატერიალური წერტილის მოძრაობის მოცემული განტოლების მიხედვით (ფუნქციის წარმოებულის პოვნა) და მოძრაობის ტრაექტორიის განტოლების პოვნა სიჩქარის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი 1 გვერდი 140 - სახელმძღვანელოსთან მუშაობა (ინდივიდუალური სამუშაო).

წარმოებულის პოვნის პროცესს მოცემული ფუნქციის მიმართ დიფერენციაცია ეწოდება, ხოლო ინვერსიულ ოპერაციას, ანუ ფუნქციის პოვნის პროცესს მოცემულ წარმოებულთან მიმართებაში – ინტეგრაცია.

გ) შემოღებულია ანტიდერივატივის განმარტება.

ამოცანები პრიმიტივის პოვნის უნარის ფორმირებისთვის - ჯგუფურად მუშაობა. (იხილეთ პრეზენტაცია)

ამოცანები უნარის ფორმირებისთვის, დაამტკიცოს, რომ ანტიდერივატი არის მოცემული ინტერვალის ფუნქციისთვის - წყვილი მუშაობა. (იხილეთ პრეზენტაცია)

4. ნასწავლის პირველადი გააზრება და გამოყენება.

მაგალითები ამონახსნებით "იპოვე შეცდომა" - ინდივიდუალური სამუშაო.(იხილეთ პრეზენტაცია)

*** შეასრულეთ ჯვარედინი შემოწმება.

დასკვნა: ამ ამოცანების შესრულებისას ადვილი შესამჩნევია, რომ ანტიდერივატი განსაზღვრულია ორაზროვნად.

5. საშინაო დავალების დადგენა

წაიკითხეთ ახსნა-განმარტებითი ტექსტი თავი 4 პუნქტი 20, დაიმახსოვრეთ 1. პრიმიტიული, ამოხსენით No20.1 -20.5 (გ, დ) - სავალდებულო დავალება ყველასთვის No 20.6 (ბ), 20.7 (გ, დ), 20.8 ( ბ), 20.9 (ბ) - არჩევანის 4 მაგალითი.

6. გაკვეთილის შეჯამება.

ყველაფერი გაიგო, ყველაფერი მოახერხა.

ნაწილობრივ ვერ გაიგო (ა), ვერ მოახერხა ყველაფრის გაკეთება.

7. დაჯავშნე ამოცანები.

ზემოთ შემოთავაზებული ამოცანების მთელი კლასის მიერ ადრეული შესრულების შემთხვევაში, ყველაზე მომზადებული მოსწავლეების დასაქმებისა და განვითარების უზრუნველსაყოფად, ასევე დაგეგმილია დავალების გამოყენება No20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)

ლიტერატურა:

ა.გ. მორდკოვიჩი, პ.ვ. სემენოვი, ანალიზის ალგებრა, პროფილის დონე, ნაწილი 1, ნაწილი 2 პრობლემის წიგნი, მანველოვი S. G. "გაკვეთილის შემოქმედებითი განვითარების საფუძვლები".

გაკვეთილის თემა : პრიმიტიული. განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი თვისებები

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:

გააცნოს მოსწავლეებს ანტიწარმოებული და განუსაზღვრელი ინტეგრალის ცნებები, ანტიწარმოებულის ძირითადი თვისება და ანტიწარმოებულისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის წესები.

განვითარება:

დამოუკიდებელი მუშაობის უნარ-ჩვევების განვითარება,

გონებრივი აქტივობის, მათემატიკური მეტყველების გასააქტიურებლად.

საგანმანათლებლო:

შესრულებული სამუშაოს ხარისხსა და შედეგზე პასუხისმგებლობის გრძნობის ჩამოყალიბება;

აყალიბებს ანგარიშვალდებულებას საბოლოო შედეგზე.

ტიპი გაკვეთილი : ახალი ცოდნის შეტყობინებები

ჩატარების მეთოდი : ვერბალური, ვიზუალური, დამოუკიდებელი სამუშაო.

უსაფრთხოება გაკვეთილი :

მულტიმედიური აღჭურვილობა და პროგრამული უზრუნველყოფა პრეზენტაციებისა და ვიდეოების ჩვენებისთვის;

სახელმძღვანელო: მარტივი ინტეგრალების ცხრილი (კონსოლიდაციის ეტაპზე).

გაკვეთილის სტრუქტურა.

1. ორგანიზაციული მომენტი (2 მინ.)

საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია. (5 მინ.)

ახალი მასალის პრეზენტაცია. (50 მინ.)

შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია. (25 მინ.)

გაკვეთილის შეჯამება. ანარეკლი. (6 მინ.)

საშინაო დავალების შეტყობინება. (2 მინ.)

კურსის პროგრესი.

ორგანიზების დრო. (2 წუთი.)

სწავლების მეთოდები

სწავლების ტექნიკა

მასწავლებელი მიესალმება მოსწავლეებს, ამოწმებს დამსწრეებს აუდიტორიაში.

სტუდენტები სამუშაოდ ემზადებიან. უფროსი ავსებს ანგარიშს. ოფიცრები არიგებენ დარიგებებს.

საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია. 5 წუთი.)

სწავლების მეთოდები

სწავლების ტექნიკა

დღევანდელი გაკვეთილის თემა„ძველი.განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მისი თვისებები“.(სლაიდი 1)

ამ თემაზე ცოდნა გამოვიყენებთ შემდეგ გაკვეთილებზე გარკვეული ინტეგრალების, ბრტყელი ფიგურების უბნების პოვნისას. დიდი ყურადღება ეთმობა ინტეგრალურ გამოთვლებს უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში უმაღლესი მათემატიკის განყოფილებებში გამოყენებითი ამოცანების გადაჭრისას.

ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი არის ახალი მასალის შესწავლის გაკვეთილი, შესაბამისად ის იქნება თეორიული ხასიათის. გაკვეთილის მიზანია ინტეგრალური გამოთვლების შესახებ იდეების ჩამოყალიბება, მისი არსის გაგება, ანტიწარმოებულებისა და განუსაზღვრელი ინტეგრალების პოვნის უნარ-ჩვევების გამომუშავება.(სლაიდი 2)

მოსწავლეები წერენ გაკვეთილის თარიღს და თემას.

3. ახალი მასალის პრეზენტაცია (50 წთ)

სწავლების მეთოდები

სწავლების ტექნიკა

1. ცოტა ხნის წინ გავიარეთ თემა "ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულები". Მაგალითად:

ფუნქციის წარმოებულივ (x)= X 9 , ჩვენ ეს ვიცითვ ′(x)= 9x 8 . ახლა განვიხილავთ ფუნქციის პოვნის მაგალითს, რომლის წარმოებული ცნობილია.

დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს წარმოებულივ ′(x)= 6x 5 . წარმოებულის ცოდნის გამოყენებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის წარმოებულივ (x)= X 6 . ფუნქციას, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს მისი წარმოებულით, ეწოდება ანტიდერივატი.

განმარტება 1 : ფუნქცია ფ ( x ) ფუნქციისთვის ანტიდერივატი ეწოდება ვ ( x ) სეგმენტზე [ ა; ბ], თუ თანასწორობა მოქმედებს ამ სეგმენტის ყველა წერტილში = ვ ( x )

მაგალითი 1 (სლაიდი 4): მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერისთვისxϵ(-∞;+∞) ფუნქციაფ ( x ) = x 5 -5x ვ (x)=5 X 4 -5.

დადასტურება: ანტიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს

=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.

მაგალითი 2 (სლაიდი 5): მოდით დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერისთვისxϵ(-∞;+∞) ფუნქციაფ ( x )= არაარის ფუნქციის ანტიდერივატივ (x)= .

დაამტკიცეთ მოსწავლეებთან ერთად დაფაზე.

ჩვენ ვიცით, რომ წარმოებულის პოვნა ე.წდიფერენციაცია . ფუნქციის პოვნა მისი წარმოებულის მიხედვით გამოიძახებაინტეგრაცია. (სლაიდი 6). ინტეგრაციის მიზანია მოცემული ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის პოვნა.

მაგალითად: (სლაიდი 7)

ანტიდერივატივის ძირითადი თვისება:

თეორემა: თუფ ( x ) - ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიდერივატი ვ (X) X ინტერვალზე, მაშინ ამ ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე განისაზღვრება ფორმულით გ ( x )= ფ ( x )+ C სადაც C არის რეალური რიცხვი.

(სლაიდი 8) ანტიწარმოებულების ცხრილი

ანტიდერივატების პოვნის სამი წესი

წესი #1:თუ ფარსებობს ფუნქციის ანტიდერივატივ, ა გ- ორიგინალურიგ, მაშინ ფ+ გ- არსებობს პროტოტიპივ+ გ.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

წესი #2:თუ ფ- ორიგინალურივ, ა კარის მუდმივი, შემდეგ ფუნქციაკფ- ორიგინალურიკფ.

(კფ)’ = კფ’ = კფ

წესი #3:თუ ფ- ორიგინალურივ, ა კდა ბარის მუდმივები (), შემდეგ ფუნქცია

ანტიდერივატი ამისთვისვ(kx+ ბ).

ინტეგრალის ცნების ისტორია მჭიდრო კავშირშია კვადრატების პოვნის პრობლემებთან. ძველი საბერძნეთისა და რომის მათემატიკოსები უწოდებდნენ ამა თუ იმ ბრტყელი ფიგურის კვადრატის ამოცანებს, რომლებსაც ახლა ჩვენ ვუწოდებთ არეების გამოთვლის პრობლემებს. ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსთა მრავალი მნიშვნელოვანი მიღწევა ამ ამოცანების გადაჭრაში დაკავშირებულია ამოწურვის გამოყენებასთან. ევდოქსი კნიდოსელის მიერ შემოთავაზებული მეთოდი. ამ მეთოდით ევდოქსემ დაამტკიცა:

1. ორი წრის ფართობი დაკავშირებულია მათი დიამეტრის კვადრატებად.

2. კონუსის მოცულობა უდრის იმავე სიმაღლისა და ფუძის მქონე ცილინდრის მოცულობის 1/3-ს.

ევდოქსის მეთოდი დახვეწა არქიმედესმა და დაამტკიცა შემდეგი:

1. წრის ფართობის ფორმულის გამოყვანა.

2. სფეროს მოცულობა არის ცილინდრის მოცულობის 2/3.

ყველა მიღწევა დადასტურდა დიდი მათემატიკოსების მიერ ინტეგრალის გამოყენებით.

დავუბრუნდეთ თეორემა 1-ს და გამოვიტანოთ ახალი განმარტება.

განმარტება 2 : გამოხატულება ფ ( x ) + C , სად C - თვითნებური მუდმივი, რომელსაც ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი და აღინიშნება სიმბოლოთი

განმარტებიდან გვაქვს:

(1)

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალივ(x), ამრიგად, არის ყველა ანტიდერივატიული ფუნქციის ნაკრებივ(x) .

ტოლობაში (1), ფუნქციავ(x) ეწოდება ინტეგრანდ და გამოხატვა ვ(x) dx– ინტეგრანდ , ცვლადი x – ინტეგრაციის ცვლადი , ვადა C - ინტეგრაციის მუდმივი .

ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის ინვერსია. იმისათვის, რომ შევამოწმოთ ინტეგრაცია სწორია თუ არა, საკმარისია შედეგის დიფერენცირება და ინტეგრანის მიღება.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

ანტიდერივატივის განმარტებიდან გამომდინარე, მარტივია შემდეგის დამტკიცებაგანუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციას პლუს თვითნებური მუდმივი

ორი ან მეტი ფუნქციის ალგებრული ჯამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი მათი ინტეგრალების ალგებრული ჯამის ტოლია

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან, ანუ თუა= კონსტ, მაშინ

მოსწავლეები ჩაწერენ ლექციას მასალათა და მასწავლებლის განმარტებით. ანტიდერივატებისა და ინტეგრალების თვისებების დამტკიცებისას იყენებენ ცოდნას დიფერენციაციის თემაზე.

4. მარტივი ინტეგრალების ცხრილი

1. ,( ნ -1) 2.

3. 4.

5. 6.

ამ ცხრილში მოცემული ინტეგრალები ეწოდებაცხრილის . ჩვენ აღვნიშნავთ ფორმული 1-ის განსაკუთრებულ შემთხვევას:

აქ არის კიდევ ერთი აშკარა ფორმულა:

ალგებრის გაკვეთილი მე-12 კლასში.

გაკვეთილის თემა: „ანტიპრიმიტიული. ინტეგრალური"

მიზნები:

საგანმანათლებლო

ამ თემაზე მასალის განზოგადება და კონსოლიდაცია: ანტიდერივატივის განმარტება და თვისება, ანტიწარმოებულების ცხრილი, ანტიწარმოებულების პოვნის წესები, ინტეგრალის ცნება, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ფიგურების ფართობის გამოთვლა. ცოდნისა და უნარების სისტემის ასიმილაციის დიაგნოსტიკა და მისი გამოყენება სტანდარტული დონის პრაქტიკული დავალებების შესასრულებლად მაღალ დონეზე გადასვლასთან ერთად, ხელი შეუწყოს ანალიზის, შედარების, დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარებას.

საგანმანათლებლო

შეასრულოს გაზრდილი სირთულის ამოცანები, განავითაროს ზოგადი სწავლის უნარები და ასწავლოს აზროვნება, კონტროლი და თვითკონტროლი

აღმზრდელებს

განათლება, პოზიტიური დამოკიდებულება სწავლისადმი, მათემატიკის მიმართ

გაკვეთილის ტიპი: ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია

მუშაობის ფორმები: ჯგუფური, ინდივიდუალური, დიფერენცირებული

აღჭურვილობა: ბარათები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის, დიფერენცირებული სამუშაოსთვის, თვითკონტროლის ფურცელი, პროექტორი.

გაკვეთილების დროს

ორგანიზების დრო

გაკვეთილის მიზნები და ამოცანები: მასალის შეჯამება და კონსოლიდაცია თემაზე „ანტიპრიმიტიული. ინტეგრალი - ანტიდერივატივის განმარტება და თვისება, ანტიწარმოებულების ცხრილი, ანტიდერივატების პოვნის წესები, ინტეგრალის კონცეფცია, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, ფიგურების ფართობის გამოთვლა. ცოდნისა და უნარების სისტემის ასიმილაციის დიაგნოსტიკა და მისი გამოყენება სტანდარტული დონის პრაქტიკული დავალებების შესასრულებლად მაღალ დონეზე გადასვლასთან ერთად, ხელი შეუწყოს ანალიზის, შედარების, დასკვნების გამოტანის უნარის განვითარებას.

გაკვეთილი ჩატარდება თამაშის სახით.

წესები:

გაკვეთილი შედგება 6 ეტაპისგან. თითოეული ეტაპი ღირს გარკვეული რაოდენობის ქულები. შეფასების ფურცელში თქვენ ადგენთ ქულებს თქვენი სამუშაოსთვის ყველა ეტაპზე.

ეტაპი 1. თეორიული. მათემატიკური კარნახი „Tic-tac-toe“.

ეტაპი 2. პრაქტიკული. დამოუკიდებელი მუშაობა. იპოვეთ ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები.

ეტაპი 3. "მმ კარგია, მაგრამ 2 უკეთესია." რვეულებში მუშაობა და 2 მოსწავლე დაფის ბორბლებზე. იპოვეთ ფუნქციის ანტიდერივატი, რომლის გრაფიკი გადის A წერტილზე).

4.სცენა. "შეასწორე შეცდომები".

5. ეტაპი. „სიტყვის შედგენა“ ინტეგრალების გამოთვლა.

6. ეტაპი. "იჩქარეთ ნახვა." ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების ფართობების გამოთვლა.

2. შეფასების ფურცელი.

მათემატიკური

კარნახი

დამოუკიდებელი მუშაობა

ზეპირი პასუხი

შეასწორეთ შეცდომები

შეადგინე სიტყვა

იჩქარეთ ნახვა

9 ქულა

5+1 ქულა

1 ქულა

5 ქულა

20 ქულა

3 წთ.

5 წუთი.

6 წთ

2. ცოდნის განახლება:

ეტაპი. თეორიული. მათემატიკური კარნახი "Tic-tac-toe"

თუ განცხადება მართალია - X, თუ მცდარი - 0

ფუნქცია ფ(x) ეწოდება ანტიწარმოებულს მოცემულ ინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალიდან ყველა х ტოლია

სიმძლავრის ფუნქციის ანტიდერივატი ყოველთვის არის სიმძლავრის ფუნქცია

ნაერთის ფუნქციის ანტიდერივატი

ეს არის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა

მრუდი ტრაპეციის ფართობი

ფუნქციების ჯამის ანტიდერივატი = მოცემულ ინტერვალზე განხილული ანტიწარმოებულების ჯამი

ანტიდერივატიული ფუნქციების გრაფიკები მიიღება X ღერძის გასწვრივ პარალელური გადათარგმნით C მუდმივით.

რიცხვის ნამრავლი ფუნქციაზე ტოლია ამ რიცხვის ნამრავლის მოცემული ფუნქციის ანტიწარმოებულზე.

ყველა ანტიდერივატივის კომპლექტს აქვს ფორმა

ზეპირი პასუხი - 1 ქულა

სულ 9 ქულა

3. კონსოლიდაცია და განზოგადება

2 ეტაპი . დამოუკიდებელი მუშაობა.

"მაგალითები უკეთ ასწავლიან, ვიდრე თეორია."

ისააკ ნიუტონი

იპოვეთ ყველა ანტიდერივატივის ნაკრები:

1 ვარიანტი

ყველა პრიმიტივის ნაკრები ყველა პრიმიტივის ნაკრები

ვარიანტი

ყველა პრიმიტივის ნაკრები ყველა პრიმიტივის ნაკრები

Საკუთარი თავის გამოცდა.

სწორად შესრულებული დავალებისთვის

ვარიანტი 1 - 5 ქულა,

ვარიანტი 2 +1 ქულა

1 ქულა დამატებით.

ეტაპი . "გონება კარგია, a - 2 უკეთესია."

იმუშავეთ ორი მოსწავლის დაფის ბორბლებზე და ყველა დანარჩენი რვეულებში.

ვარჯიში

1 ვარიანტი. იპოვეთ ფუნქციის ანტიდერივატი, რომლის გრაფიკი გადის A წერტილში (3; 2)

ვარიანტი 2. იპოვეთ ფუნქციის ანტიწარმოებული, რომლის გრაფიკი გადის საწყისზე.

ურთიერთდამოწმება.

სწორი ამოხსნისთვის -5 ქულა.

ეტაპი . თუ გინდა, დაიჯერე - თუ გინდა, შეამოწმე.

დავალება: შეასწორეთ შეცდომები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში.

იპოვნეთ სავარჯიშოები შეცდომით:

სცენა . შეადგინე სიტყვა.

გამოთვალეთ ინტეგრალები

1 ვარიანტი.

ვარიანტი.

პასუხი: ბრავო

Საკუთარი თავის გამოცდა. სწორად შესრულებული ამოცანისთვის - 5 ქულა.

ეტაპი. "იჩქარეთ ნახვა."

გაანგარიშება ხაზებით შემოსაზღვრული ფიგურების არეები.

დავალება: დახაზეთ ფიგურა და გამოთვალეთ მისი ფართობი.

2 ქულა

4 ქულა

6 ქულა

მოწმდება ინდივიდუალურად მასწავლებელთან.

ყველა დავალების სწორად შესრულებისთვის - 20 ქულა

შეჯამება:

გაკვეთილი მოიცავდა ძირითად კითხვებს

ღია გაკვეთილი თემაზე

« ზოგადი და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები”.

2 საათი.

11ა კლასი მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლით

პრობლემის პრეზენტაცია.

პრობლემის ძიების სასწავლო ტექნოლოგიები.

პირველადი და განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

გაკვეთილის მიზანი:

გონებრივი აქტივობის გააქტიურება;

წვლილი შეიტანოს კვლევის მეთოდების ათვისებაში

- ცოდნის უფრო მყარი ასიმილაციის უზრუნველსაყოფად.

გაკვეთილის მიზნები:

ანტიდერივატივის ცნების გაცნობა;
დაამტკიცოს თეორემა მოცემული ფუნქციისთვის ანტიწარმოებულთა სიმრავლის შესახებ (ანტიწარმოებულის განმარტების გამოყენებით);
გააცნოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტება;
დაამტკიცოს განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები;
განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენების უნარ-ჩვევების გამომუშავება.

წინასწარი სამუშაოები:

გაიმეორეთ დიფერენცირების წესები და ფორმულები
დიფერენციალური კონცეფცია.

გაკვეთილების დროს
შემოთავაზებულია პრობლემების გადაჭრა. პრობლემები იწერება დაფაზე.

მოსწავლეები აძლევენ პასუხებს 1, 2 ამოცანების ამოხსნაზე.

(დიფერენციალური გამოყენების შესახებ პრობლემების გადაჭრის გამოცდილების განახლება

ციტირება).

1. სხეულის მოძრაობის კანონი S(t) , იპოვეთ მისი მყისიერი

სიჩქარე ნებისმიერ დროს.

- V(t) = S(t).
2. იმის ცოდნა, რომ მიედინება ელექტროენერგიის რაოდენობა

გამტარის მეშვეობით გამოიხატება ფორმულით q (t) = 3t - 2 ტ,

გამოიყვანეთ ფორმულა დენის სიძლიერის გამოსათვლელად ნებისმიერში

დროში თ.

- I (t) = 6t - 2.

3 . მოძრავი სხეულის სიჩქარის ცოდნა დროის ყოველ მომენტში

მე, ვიპოვო მისი მოძრაობის კანონი.

იმის ცოდნა, რომ დირიჟორზე გამავალი დენის სიძლიერე ნებისმიერში

ბრძოლის წერტილი დროში I (t) = 6t - 2, გამოიღეთ ფორმულა

გავლილი ელექტროენერგიის რაოდენობის განსაზღვრა

დირიჟორის მეშვეობით.
მასწავლებელი: შესაძლებელია თუ არა 3 და 4 ამოცანების ამოხსნა გამოყენებით

თანხები რაც გვაქვს?

(პრობლემური სიტუაციის შექმნა).
სტუდენტის გამოცნობა:
- ამ პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ოპერაციის დანერგვა,

დიფერენციაციის საპირისპირო.

დიფერენციაციის ოპერაცია ადარებს მოცემულს

ფუნქცია F (x) მისი წარმოებული.

F(x) = f(x).

მასწავლებელი: რა არის დიფერენცირების ამოცანა?

სტუდენტების დასკვნა:

მოცემული f (x) ფუნქციის საფუძველზე იპოვეთ ასეთი ფუნქცია

F (x) რომლის წარმოებული არის f (x) , ე.ი.
f(x) = F(x) .

ამ ოპერაციას უფრო ზუსტად ინტეგრაცია ჰქვია

განუსაზღვრელი ინტეგრაცია.

მათემატიკის განყოფილებას, რომელიც შეისწავლის ფუნქციების ინტეგრირების მოქმედების თვისებებს და მის გამოყენებას ფიზიკასა და გეომეტრიაში ამოცანების ამოხსნისას, ეწოდება ინტეგრალური გამოთვლა.
ინტეგრალური კალკულუსი არის მათემატიკური ანალიზის განყოფილება, დიფერენციალურ გამოთვლებთან ერთად ის ქმნის მათემატიკური ანალიზის აპარატის საფუძველს.

ინტეგრალური გაანგარიშება წარმოიშვა საბუნებისმეტყველო და მათემატიკაში მრავალი პრობლემის განხილვის შედეგად. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი არის ფიზიკური პრობლემა განსაზღვრულ დროში გავლილი მანძილის განსაზღვრის შესახებ ცნობილი, მაგრამ შესაძლოა ცვლადი მოძრაობის სიჩქარის გასწვრივ და ბევრად უფრო უძველესი პრობლემა - გეომეტრიული ფიგურების ფართობისა და მოცულობის გამოთვლა.

რა არის ამ ინვერსიული ოპერაციის გაურკვევლობა, გასარკვევია.
მოდით შემოვიტანოთ განმარტება. (მოკლედ სიმბოლურად იწერება

Მაგიდაზე).

განმარტება 1. ფუნქცია F (x) განსაზღვრულია რაღაც ინტერვალზე

ke X, ეწოდება ანტიწარმოებულს მოცემული ფუნქციისთვის

ერთსა და იმავე ინტერვალზე, თუ ყველა x X

თანასწორობა

F(x) = f (x) ან d F(x) = f (x) dx .
Მაგალითად. (x) = 2x, ეს ტოლობა გულისხმობს, რომ ფუნქცია

x არის ანტიდერივატი მთელ რიცხვთა წრფეზე

2x ფუნქციისთვის.

ანტიდერივატის განმარტების გამოყენებით შეასრულეთ სავარჯიშო

No2 (1,3,6) . შეამოწმეთ, რომ ფუნქცია F არის ანტიდერივატი

noah f ფუნქციისთვის, თუ

1) F(x) =

2 cos 2x , f (x) = x

- 4 ცოდვა 2x.

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 ცოდვა 5x.

3) F(x) = x sin x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.

მაგალითების გადაწყვეტილებები იწერება დაფაზე სტუდენტების მიერ, კომენტარები

თქვენი ქმედებების მართვა.

არის თუ არა ფუნქცია x ერთადერთი ანტიწარმოებული

ფუნქციისთვის 2x?

მოსწავლეები აძლევენ მაგალითებს

x + 3; x - 92 და ა.შ. ,

მოსწავლეები აკეთებენ საკუთარ დასკვნებს:
ყველა ფუნქციას აქვს უსასრულოდ ბევრი ანტიდერივატი.
x + C ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია, სადაც C არის რაღაც რიცხვი,

არის x-ის ანტიწარმოებული.

ანტიდერივატიული თეორემა იწერება რვეულში კარნახით

მასწავლებლები.

თეორემა. თუ f ფუნქციას აქვს ანტიდერივატი ინტერვალზე

F, შემდეგ ნებისმიერი C რიცხვისთვის ფუნქცია F + C ასევე

არის f-ის ანტიწარმოებული. სხვა პრიმიტივები

ფუნქცია f X-ზე არ არის.

მტკიცებულებას ახორციელებენ მოსწავლეები მასწავლებლის ხელმძღვანელობით.
ა) იმიტომ F არის f-ის ანტიდერივატი X ინტერვალზე, მაშინ

F(x) = f(x) ყველა x X-ისთვის.

მაშინ x X-ისთვის ნებისმიერი C გვაქვს:

(F(x) + C) = f(x) . ეს ნიშნავს, რომ F (x) + C ასევე არის

ანტიწარმოებული f X-ზე.

ბ) დავამტკიცოთ, რომ X-ზე სხვა ანტიწარმოებულებისთვის არის f ფუნქცია

არ აქვს.

დავუშვათ, რომ Ф ასევე არის ანტიწარმოებული f-სთვის X-ზე.

მაშინ Ф(x) = f (x) და ამიტომ ყველა x X გვაქვს:

Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, შესაბამისად

Ф - F მუდმივია X-ზე. მოდით, Ф (x) - F (x) = C, მაშინ

Ф (x) = F (x) + C, ამიტომ ნებისმიერი ანტიწარმოებული

F ფუნქციას X-ზე აქვს F + C ფორმა.

მასწავლებელი: რა ამოცანაა ყველა პროტოტიპის პოვნა

ამ ფუნქციისთვის?

სტუდენტები გამოდიან შემდეგ დასკვნამდე:

ყველა ანტიდერივატივის პოვნის პრობლემა მოგვარებულია

რომელიმეს პოვნა: თუ ასეთი ა

აღმოჩენილია განსხვავებული, შემდეგ მისგან მიიღება ნებისმიერი სხვა

მუდმივის დამატება.

მასწავლებელი აყალიბებს განუსაზღვრელი ინტეგრალის განმარტებას.
განმარტება 2. f ფუნქციის ყველა ანტიდერივატივის სიმრავლე

ამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ეწოდება

ფუნქციები.
Დანიშნულება.
; - იკითხება ინტეგრალი.
= F (x) + C, სადაც F არის ერთ-ერთი ანტიდერივატი

რადგან f , C გადის სიმრავლეს

რეალური რიცხვები.

ვ - ინტეგრანტი;

f (x)dx - ინტეგრანდ;

x - ინტეგრაციის ცვლადი;

C არის ინტეგრაციის მუდმივი.
მოსწავლეები დამოუკიდებლად სწავლობენ სახელმძღვანელოდან განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს და წერენ რვეულში.

მოსწავლეები წერენ ამონახსნებს რვეულებში, მუშაობენ დაფაზე