ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედავთ სხვადასხვა ექსპონენციალურ უტოლობას და ვისწავლით მათი ამოხსნას უმარტივესების ამოხსნის ტექნიკის საფუძველზე. ექსპონენციური უტოლობები
1. ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და თვისებები
გავიხსენოთ ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ყველა ექსპონენციალური განტოლებისა და უტოლობის ამოხსნა ემყარება ამ თვისებებს.
ექსპონენციალური ფუნქციაარის ფორმის ფუნქცია, სადაც საფუძველი არის ხარისხი და x არის დამოუკიდებელი ცვლადი, არგუმენტი; y არის დამოკიდებული ცვლადი, ფუნქცია.
ბრინჯი. 1. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი
გრაფიკზე ნაჩვენებია მზარდი და კლებადი მაჩვენებლები, რაც ასახავს ექსპონენციალურ ფუნქციას ერთზე მეტი და ერთზე ნაკლები, მაგრამ ნულზე მეტი ფუძით, შესაბამისად.
ორივე მრუდი გადის წერტილში (0;1)
ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები:
დომენი: ;
მნიშვნელობების დიაპაზონი: ;
ფუნქცია მონოტონურია, იზრდება ერთად, მცირდება.
მონოტონური ფუნქცია იღებს მის თითოეულ მნიშვნელობას ერთი არგუმენტის მნიშვნელობით.
როდესაც, როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია იზრდება ნულიდან პლიუს უსასრულობამდე, ანუ არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობებისთვის გვაქვს მონოტონურად მზარდი ფუნქცია (). პირიქით, როდესაც არგუმენტი იზრდება მინუსიდან პლუს უსასრულობამდე, ფუნქცია მცირდება უსასრულობიდან ნულის ჩათვლით, ანუ არგუმენტის მოცემული მნიშვნელობებისთვის გვაქვს მონოტონურად კლებადი ფუნქცია ().
2. უმარტივესი ექსპონენციალური უტოლობები, ამოხსნის მეთოდი, მაგალითი
ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, წარმოგიდგენთ მარტივი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნის მეთოდს:
უტოლობების ამოხსნის ტექნიკა:
გრადუსების საფუძვლების გათანაბრება;
შეადარეთ მეტრიკა შენახვით ან შეცვლით საპირისპირო ნიშანიუთანასწორობები.
რთული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა ჩვეულებრივ მოიცავს მათ უმარტივეს ექსპონენციალურ უტოლობამდე შემცირებას.
ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, რაც ნიშნავს, რომ უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია:
მოდით გადავცვალოთ მარჯვენა მხარე ხარისხის თვისებების მიხედვით:
ხარისხის საფუძველი ერთზე ნაკლებია, უთანასწორობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს:
კვადრატული უტოლობის ამოსახსნელად ვხსნით შესაბამისს კვადრატული განტოლება:
ვიეტას თეორემის გამოყენებით ვიპოვით ფესვებს:
პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ.
ამრიგად, ჩვენ გვაქვს უთანასწორობის გამოსავალი:
ადვილი მისახვედრია, რომ მარჯვენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სიმძლავრე ნულის მაჩვენებლით:
ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, უთანასწორობის ნიშანი არ იცვლება, ვიღებთ:
გავიხსენოთ ასეთი უტოლობების ამოხსნის ტექნიკა.
განვიხილოთ წილადი-რაციონალური ფუნქცია:
ჩვენ ვპოულობთ განმარტების დომენს:
ფუნქციის ფესვების პოვნა:
ფუნქციას აქვს ერთი ფესვი, 
ჩვენ ვირჩევთ მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს და ვადგენთ ფუნქციის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალზე:
ბრინჯი. 2. ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები
ასე მივიღეთ პასუხი.
პასუხი: 
3. სტანდარტული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა
განვიხილოთ უტოლობები ერთი და იგივე მაჩვენებლებით, მაგრამ განსხვავებული საფუძვლებით.
ექსპონენციალური ფუნქციის ერთ-ერთი თვისება ის არის, რომ არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ის იღებს მკაცრად დადებით მნიშვნელობებს, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება დაიყოს ექსპონენციალურ ფუნქციად. მოცემული უტოლობა გავყოთ მის მარჯვენა მხარეს:
ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, უთანასწორობის ნიშანი შენარჩუნებულია.
მოდით ილუსტრაციულად წარმოვადგინოთ გამოსავალი:
სურათი 6.3 გვიჩვენებს ფუნქციების გრაფიკებს და . ცხადია, როცა არგუმენტი ნულზე მეტია, ფუნქციის გრაფიკი უფრო მაღალია, ეს ფუნქცია უფრო დიდია. როდესაც არგუმენტის მნიშვნელობები უარყოფითია, ფუნქცია უფრო დაბალია, ის უფრო მცირეა. თუ არგუმენტი ტოლია, ფუნქციები ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ეს წერტილიც არის მოცემული უტოლობის ამოხსნა.
ბრინჯი. 3. ილუსტრაცია მაგალითად 4
მოდით გადავცვალოთ მოცემული უტოლობა ხარისხის თვისებების მიხედვით:
აქ არის რამდენიმე მსგავსი ტერმინი:
მოდით გავყოთ ორივე ნაწილი:
ახლა ჩვენ ვაგრძელებთ ამოხსნას მე-4 მაგალითის მსგავსად, გავყოთ ორივე ნაწილი:
ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, უთანასწორობის ნიშანი რჩება:
4. ექსპონენციალური უტოლობების გრაფიკული ამოხსნა
მაგალითი 6 - უტოლობის ამოხსნა გრაფიკულად:
მოდით შევხედოთ ფუნქციებს მარცხენა და მარჯვენა მხარეს და ავაშენოთ გრაფიკი თითოეული მათგანისთვის.
ფუნქცია ექსპონენციალურია და იზრდება მისი განმარტების მთელ დომენზე, ანუ არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის.
ფუნქცია წრფივია და მცირდება მისი განმარტების მთელ დომენზე, ანუ არგუმენტის ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის.
თუ ეს ფუნქციები იკვეთება, ანუ სისტემას აქვს გამოსავალი, მაშინ ასეთი გამოსავალი უნიკალურია და ადვილად მისახვედრია. ამისათვის ჩვენ ვიმეორებთ მთელ რიცხვებზე ()
ადვილი მისახვედრია, რომ ამ სისტემის საფუძველია:
ამრიგად, ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება წერტილში ერთის ტოლი არგუმენტით.
ახლა პასუხი უნდა მივიღოთ. მოცემული უტოლობის მნიშვნელობა არის ის, რომ მაჩვენებელი უნდა იყოს მეტი ან ტოლი ხაზოვანი ფუნქცია, ანუ უფრო მაღალი იყოს ან დაემთხვა მას. პასუხი აშკარაა: (სურათი 6.4)
ბრინჯი. 4. ილუსტრაცია მაგალითად 6
ასე რომ, ჩვენ გადავხედეთ სხვადასხვა სტანდარტული ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნას. შემდეგ ჩვენ გადავდივართ უფრო რთული ექსპონენციალური უტოლობების განხილვაზე.
ბიბლიოგრაფია
Mordkovich A.G. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. - მ.: მნემოსინე. Muravin G. K., Muravin O. V. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. - მ.: ბუსტარდი. კოლმოგოროვი ა.ნ., აბრამოვი ა.მ., დუდნიცინი იუ.პ. და სხვ. ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. - მ.: განმანათლებლობა.
Მათემატიკა. მდ. მათემატიკა-გამეორება. com. დიფური. კემსუ. ru.
Საშინაო დავალება
1. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, კლასები 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. ამოხსენით უტოლობა:
3. უტოლობის ამოხსნა.
ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები არის ის, რომლებშიც უცნობია მოცემული მაჩვენებლით.
ექსპონენციური განტოლებების ამოხსნა ხშირად მოდის a x = a b განტოლების ამოხსნამდე, სადაც a > 0, a ≠ 1, x უცნობია. ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = b, რადგან შემდეგი თეორემა მართალია:
თეორემა. თუ a > 0, a ≠ 1 და a x 1 = a x 2, მაშინ x 1 = x 2.
დავასაბუთოთ განხილული განცხადება.
დავუშვათ, რომ ტოლობა x 1 = x 2 არ მოქმედებს, ე.ი. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია y = a x იზრდება და ამიტომ უტოლობა a x 1 უნდა დაკმაყოფილდეს< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. ორივე შემთხვევაში მივიღეთ წინააღმდეგობა a x 1 = a x 2 პირობასთან.
განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა.
ამოხსენით განტოლება 4 ∙ 2 x = 1.
გამოსავალი.
დავწეროთ განტოლება 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 სახით, საიდანაც მივიღებთ x + 2 = 0, ე.ი. x = -2.
უპასუხე. x = -2.
ამოხსენით განტოლება 2 3x ∙ 3 x = 576.
გამოსავალი.
ვინაიდან 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც 8 x ∙ 3 x = 24 2 ან როგორც 24 x = 24 2.
აქედან ვიღებთ x = 2.
უპასუხე. x = 2.
ამოხსენით განტოლება 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
გამოსავალი.
მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან საერთო კოეფიციენტის 3 x - 2-ის აღებით, მივიღებთ 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
საიდანაც 3 x - 2 = 1, ე.ი. x – 2 = 0, x = 2.
უპასუხე. x = 2.
ამოხსენით განტოლება 3 x = 7 x.
გამოსავალი.
ვინაიდან 7 x ≠ 0, განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც 3 x /7 x = 1, საიდანაც (3/7) x = 1, x = 0.
უპასუხე. x = 0.
ამოხსენით განტოლება 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.
გამოსავალი.
3 x = a-ს ჩანაცვლებით, ეს განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე a 2 – 4a – 45 = 0.
ამ განტოლების ამოხსნისას ვიპოვით მის ფესვებს: a 1 = 9 და 2 = -5, საიდანაც 3 x = 9, 3 x = -5.
განტოლებას 3 x = 9 აქვს ფესვი 2, ხოლო განტოლებას 3 x = -5 არ აქვს ფესვები, რადგან ექსპონენციალურ ფუნქციას არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები.
უპასუხე. x = 2.
ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა ხშირად მოდის a x > a b ან x უტოლობების ამოხსნაზე.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
მოდით შევხედოთ რამდენიმე პრობლემას.
უტოლობის ამოხსნა 3 x< 81.
გამოსავალი.
დავწეროთ უტოლობა 3 x სახით< 3 4 . Так как 3 >1, მაშინ ფუნქცია y = 3 x იზრდება.
ამიტომ, x-სთვის< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
ამრიგად, x-ზე< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
უპასუხე. X< 4.
ამოხსენით უტოლობა 16 x +4 x – 2 > 0.
გამოსავალი.
ავღნიშნოთ 4 x = t, შემდეგ მივიღებთ კვადრატული უტოლობა t2 + t – 2 > 0.
ეს უტოლობა მოქმედებს ტ< -2 и при t > 1.
ვინაიდან t = 4 x, მივიღებთ ორ უტოლობას 4 x< -2, 4 х > 1.
პირველ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები, რადგან 4 x > 0 ყველა x € R.
მეორე უტოლობას ვწერთ სახით 4 x > 4 0, საიდანაც x > 0.
უპასუხე. x > 0.
გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება (1/3) x = x – 2/3.
გამოსავალი.
1) ავაშენოთ y = (1/3) x და y = x – 2/3 ფუნქციების გრაფიკები.
2) ჩვენი ფიგურიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განხილული ფუნქციების გრაფიკები იკვეთება წერტილში აბსცისასთან x ≈ 1. შემოწმება ადასტურებს, რომ
x = 1 არის ამ განტოლების ფესვი:
(1/3) 1 = 1/3 და 1 – 2/3 = 1/3.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიპოვეთ განტოლების ერთ-ერთი ფესვი. 
3) ვიპოვოთ სხვა ფესვები ან დავამტკიცოთ, რომ არ არსებობს. ფუნქცია (1/3) x კლებადია, ხოლო ფუნქცია y = x – 2/3 იზრდება. ამიტომ, x > 1-ისთვის, პირველი ფუნქციის მნიშვნელობები 1/3-ზე ნაკლებია, ხოლო მეორე - 1/3-ზე მეტი; x-ზე< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 და x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
უპასუხე. x = 1.
გაითვალისწინეთ, რომ ამ ამოცანის ამოხსნიდან, კერძოდ, გამოდის, რომ უტოლობა (1/3) x > x – 2/3 დაკმაყოფილებულია x-ისთვის.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.
ბევრი ფიქრობს, რომ ექსპონენციური უტოლობები რაღაც რთული და გაუგებარია. და მათი ამოხსნის სწავლა თითქმის დიდი ხელოვნებაა, რომლის გაგება მხოლოდ რჩეულებს შეუძლიათ...
სრული სისულელეა! ექსპონენციური უტოლობები მარტივია. და ისინი ყოველთვის მარტივად წყდება. ისე, თითქმის ყოველთვის. :)
დღეს ჩვენ განვიხილავთ ამ თემას შიგნით და გარეთ. ეს გაკვეთილი ძალიან სასარგებლო იქნება მათთვის, ვინც ახლა იწყებს გაგებას ამ განყოფილებას სკოლის მათემატიკა. დავიწყოთ მარტივი ამოცანებით და გადავიდეთ უფრო მეტზე კომპლექსური საკითხები. დღეს რთული სამუშაო არ იქნება, მაგრამ ის, რასაც წაიკითხავთ, საკმარისი იქნება ყველა სახის ტესტსა და ტესტზე უთანასწორობის უმრავლესობის გადასაჭრელად. დამოუკიდებელი მუშაობა. და ამ შენს გამოცდაზეც.
როგორც ყოველთვის, დავიწყოთ განმარტებით. ექსპონენციალური უტოლობა არის ნებისმიერი უტოლობა, რომელიც შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის ყოველთვის შეიძლება შემცირდეს ფორმის უთანასწორობამდე
\[((a)^(x)) \gt b\]
სადაც $b$-ის როლი შეიძლება იყოს ჩვეულებრივი რიცხვი, ან შესაძლოა რაღაც უფრო მკაცრი. მაგალითები? Დიახ, თუ შეიძლება:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ ოთხკუთხედი ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\ quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\ბოლო (გასწორება)\]
ვფიქრობ, მნიშვნელობა გასაგებია: არის $((a)^(x))$ ექსპონენციალური ფუნქცია, მას ადარებენ რაღაცას და შემდეგ ითხოვენ $x$-ის პოვნას. Კერძოდ კლინიკური შემთხვევები$x$ ცვლადის ნაცვლად მათ შეუძლიათ დააყენონ რაიმე ფუნქცია $f\left(x \right)$ და ამით ოდნავ გაართულონ უტოლობა. :)
რა თქმა უნდა, ზოგიერთ შემთხვევაში უთანასწორობა შეიძლება უფრო სერიოზული აღმოჩნდეს. Მაგალითად:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
ან თუნდაც ეს:
ზოგადად, ასეთი უტოლობების სირთულე შეიძლება ძალიან განსხვავებული იყოს, მაგრამ საბოლოოდ ისინი მაინც მცირდება მარტივი კონსტრუქციით $((a)^(x)) \gt b$. და ჩვენ როგორმე გავარკვევთ ასეთ კონსტრუქციას (განსაკუთრებით კლინიკურ შემთხვევებში, როცა არაფერი გვახსენდება, ლოგარითმები დაგვეხმარება). ამიტომ, ახლა ჩვენ გასწავლით თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ ასეთი მარტივი კონსტრუქციები.
მარტივი ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა
განვიხილოთ რაღაც ძალიან მარტივი. მაგალითად, ეს:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
ცხადია, მარჯვნივ რიცხვი შეიძლება გადაიწეროს ორის ხარისხად: $4=((2)^(2))$. ამრიგად, ორიგინალური უთანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს ძალიან მოსახერხებელი ფორმით:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
ახლა კი ხელები მტკივა, რომ "გადაკვეთა" ორი ძალების საფუძვლებში, რათა მივიღო პასუხი $x \gt 2$. მაგრამ სანამ რაიმეს გადავკვეთთ, გავიხსენოთ ორის ძალა:
\[((2)^(1))=2;\ quad ((2)^(2))=4;\ quad ((2)^(3))=8;\ quad ((2)^( 4))=16;...\]
როგორც ვხედავთ, ვიდრე უფრო დიდი რაოდენობაარის ექსპონენტში, რაც უფრო დიდია გამომავალი რიცხვი. "მადლობა, კაპ!" - წამოიძახებს ერთ-ერთი სტუდენტი. რამე განსხვავებულია? სამწუხაროდ, ეს ხდება. Მაგალითად:
\[((\left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ მარჯვნივ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
აქაც ყველაფერი ლოგიკურია: რაც უფრო დიდია ხარისხი, მით მეტჯერ მრავლდება რიცხვი 0,5 თავის თავზე (ანუ გაყოფილი შუაზე). ამრიგად, რიცხვების შედეგად მიღებული თანმიმდევრობა მცირდება, ხოლო პირველ და მეორე თანმიმდევრობას შორის განსხვავება მხოლოდ ბაზაშია:
- თუ $a \gt ხარისხის საფუძველია 1$, მაშინ $n$ მაჩვენებლის გაზრდით, ასევე გაიზრდება რიცხვი $((a)^(n))$;
- და პირიქით, თუ $0 \lt a \lt 1$, მაშინ $n$ მაჩვენებლის გაზრდით $((a)^(n))$ რიცხვი შემცირდება.
ამ ფაქტების შეჯამებით, ჩვენ ვიღებთ ყველაზე მნიშვნელოვან განცხადებას, რომელზედაც დაფუძნებულია ექსპონენციალური უტოლობების მთელი ამოხსნა:
თუ $a \gt 1$, მაშინ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ უტოლდება $x \gt n$-ის უტოლობას. თუ $0 \lt a \lt 1$, მაშინ უტოლობა $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ უდრის $x \lt n$ უტოლობას.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ბაზა ერთზე მეტია, შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ იგი - უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება. და თუ ბაზა ერთზე ნაკლებია, მაშინ მისი ამოღებაც შესაძლებელია, მაგრამ ამავე დროს მოგიწევთ უთანასწორობის ნიშნის შეცვლა.
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ არ განვიხილეთ ვარიანტები $a=1$ და $a\le 0$. რადგან ამ შემთხვევებში წარმოიქმნება გაურკვევლობა. ვთქვათ, როგორ გადავჭრათ $((1)^(x)) \gt 3$ ფორმის უტოლობა? ერთი ნებისმიერ ძალას კვლავ მისცემს ერთს - ჩვენ ვერასდროს მივიღებთ სამს ან მეტს. იმათ. არ არის გადაწყვეტილებები.
უარყოფითი მიზეზებით ყველაფერი კიდევ უფრო საინტერესოა. მაგალითად, განიხილეთ ეს უთანასწორობა:
\[((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(x)) \gt 4\]
ერთი შეხედვით ყველაფერი მარტივია:
მართალია? Მაგრამ არა! საკმარისია $x$-ის ნაცვლად რამდენიმე ლუწი და რამდენიმე კენტი რიცხვის ჩანაცვლება, რათა დარწმუნდეთ, რომ ამოხსნა არასწორია. Შეხედე:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \მარჯვნივ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(-2 \მარჯვნივ))^(7))=-128 \lt 4. \\\ბოლო (გასწორება)\]
როგორც ხედავთ, ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება. მაგრამ ასევე არის წილადი ძალა და სხვა სისულელეები. მაგალითად, როგორ შეუკვეთებდით გამოთვლას $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (მინუს ორი შვიდის ხარისხზე)? Არ არსებობს გზა!
ამიტომ, განსაზღვრულობისთვის, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა ექსპონენციალურ უტოლობაში (და განტოლებაში, სხვათა შორის, ასევე) $1\ne a \gt 0$. შემდეგ კი ყველაფერი ძალიან მარტივად წყდება:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & x \gt n\ოთხი \მარცხნივ(a \gt 1 \მარჯვნივ), \\ & x \lt n\ოთხი \მარცხნივ(0 \lt a \lt 1 \მარჯვნივ). \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]
ზოგადად, კიდევ ერთხელ დაიმახსოვრეთ მთავარი წესი: თუ ექსპონენციურ განტოლებაში ფუძე ერთზე მეტია, შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ იგი; ხოლო თუ ფუძე ერთზე ნაკლებია, მისი ამოღებაც შესაძლებელია, მაგრამ უთანასწორობის ნიშანი შეიცვლება.
გადაწყვეტილებების მაგალითები
ასე რომ, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მარტივ ექსპონენციალურ უტოლობას:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\ბოლო (გასწორება)\]
ძირითადი ამოცანა ყველა შემთხვევაში ერთი და იგივეა: უტოლობების შემცირება უმარტივეს ფორმამდე $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. ეს არის ზუსტად ის, რასაც ახლა ჩვენ გავაკეთებთ თითოეულ უტოლობასთან და ამავდროულად გავიმეორებთ გრადუსებისა და ექსპონენციალური ფუნქციების თვისებებს. მაშ, წავიდეთ!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
რისი გაკეთება შეგიძლია აქ? ისე, მარცხნივ უკვე გვაქვს საჩვენებელი გამოთქმა - არაფერი უნდა შეიცვალოს. მაგრამ მარჯვნივ არის რაღაც სისულელე: წილადი და თუნდაც ფესვი მნიშვნელში!
თუმცა, გავიხსენოთ წილადებთან და ხარისხებთან მუშაობის წესები:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\ბოლო (გასწორება)\]
Რას ნიშნავს? პირველი, ჩვენ შეგვიძლია მარტივად მოვიშოროთ წილადი მისი უარყოფითი მაჩვენებლის ხარისხად გადაქცევით. და მეორეც, რადგან მნიშვნელს აქვს ფესვი, კარგი იქნება მისი გადაქცევა ხარისხად - ამჯერად წილადის მაჩვენებლით.
მოდით გამოვიყენოთ ეს მოქმედებები თანმიმდევრულად უტოლობის მარჯვენა მხარეს და ვნახოთ რა მოხდება:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \მარჯვნივ))^(-1))=(2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=(2)^ (-\frac(1)(3)))\]
ნუ დაგავიწყდებათ, რომ ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ამ გრადუსების მაჩვენებლები იკრიბება. და ზოგადად, ექსპონენციალურ განტოლებებთან და უტოლობებთან მუშაობისას, აბსოლუტურად აუცილებელია იცოდეთ ძალებთან მუშაობის უმარტივესი წესები მაინც:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\ მარცხენა (((a)^(x)) \მარჯვნივ))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\ბოლო (გასწორება)\]
სინამდვილეში, ჩვენ უბრალოდ გამოვიყენეთ ბოლო წესი. ამიტომ, ჩვენი თავდაპირველი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\მარჯვენა ისარი ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ ფრაკი (1) (3)))\]
ახლა ჩვენ ვაშორებთ ორს ბაზაზე. ვინაიდან 2 > 1, უტოლობის ნიშანი იგივე დარჩება:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \მარჯვნივ]. \\\ბოლო (გასწორება)\]
ეს არის გამოსავალი! მთავარი სირთულე საერთოდ არ არის ექსპონენციალურ ფუნქციაში, არამედ ორიგინალური გამოხატვის კომპეტენტურ ტრანსფორმაციაში: საჭიროა ფრთხილად და სწრაფად მიიყვანოთ იგი უმარტივეს ფორმამდე.
განვიხილოთ მეორე უტოლობა:
\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]
Ისე რა. აქ ათწილადი წილადები გველოდება. როგორც არაერთხელ ვთქვი, ნებისმიერ გამონათქვამში, რომელსაც აქვს ძალა, თქვენ უნდა მოიცილოთ ათწილადები - ეს ხშირად ერთადერთი გზაა სწრაფი და მარტივი გამოსავლის სანახავად. აქ ჩვენ მოვიშორებთ:
\[\begin(გასწორება) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\ left(\frac(1)(10) \ მარჯვნივ))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(10) \მარჯვნივ))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]
აქ ისევ გვაქვს უმარტივესი უტოლობა და თუნდაც 1/10 ფუძით, ე.ი. ერთზე ნაკლები. ჩვენ ვხსნით საფუძვლებს, პარალელურად ვცვლით ნიშანს "ნაკლებად" "მეტზე" და ვიღებთ:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
მივიღეთ საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: პასუხი არის ზუსტად კომპლექტი და არავითარ შემთხვევაში არ არის $x \lt -1$ ფორმის კონსტრუქცია. რადგან ფორმალურად, ასეთი კონსტრუქცია საერთოდ არ არის სიმრავლე, არამედ უტოლობა $x$ ცვლადთან მიმართებაში. დიახ, ეს ძალიან მარტივია, მაგრამ ეს არ არის პასუხი!
Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი. ეს უთანასწორობა სხვა გზითაც შეიძლება გადაიჭრას - ორივე მხარის ერთზე მეტი ფუძის სიმძლავრის შემცირებით. Შეხედე:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(((10)^(-1)) \მარჯვნივ))^(1-x)) \ lt ((\ მარცხნივ(((10)^(-1)) \მარჯვნივ))^(2))\მარჯვენა ისარი ((10)^(-1\cdot \left(1-x \მარჯვნივ)) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
ასეთი ტრანსფორმაციის შემდეგ ჩვენ კვლავ მივიღებთ ექსპონენციალურ უტოლობას, მაგრამ ფუძით 10 > 1. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გადავკვეთოთ ათეული - უტოლობის ნიშანი არ შეიცვლება. ჩვენ ვიღებთ:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
როგორც ხედავთ, პასუხი ზუსტად იგივე იყო. ამავდროულად, ჩვენ დავიცვათ თავი ნიშნის შეცვლის აუცილებლობისა და ზოგადად რაიმე წესის დამახსოვრებისგან. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
თუმცა, ამან არ შეგაშინოთ. რაც არ უნდა იყოს ინდიკატორებში, თავად უთანასწორობის გადაჭრის ტექნოლოგია იგივე რჩება. მაშასადამე, ჯერ აღვნიშნოთ, რომ 16 = 2 4. მოდით გადავიწეროთ საწყისი უტოლობა ამ ფაქტის გათვალისწინებით:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]
ჰოო! ჩვენ მივიღეთ ჩვეულებრივი კვადრატული უტოლობა! ნიშანი არსად შეცვლილა, რადგან საფუძველი ორია - რიცხვი ერთზე მეტი.
ფუნქციის ნულები რიცხვით წრფეზე
ჩვენ ვაწყობთ $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ ფუნქციის ნიშნებს - ცხადია, მისი გრაფიკი იქნება პარაბოლა ტოტებით ზემოთ, ამიტომ იქნება „პლუსები“. ”გვერდებზე. ჩვენ დაინტერესებული ვართ რეგიონით, სადაც ფუნქციონირებს ნულზე ნაკლები, ე.ი. $x\in \left(2;5 \მარჯვნივ)$ არის პასუხი თავდაპირველ პრობლემაზე.
და ბოლოს, განიხილეთ კიდევ ერთი უთანასწორობა:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
კვლავ ვხედავთ ექსპონენციალურ ფუნქციას ფუძეზე ათწილადი წილადით. გადავიყვანოთ ეს წილადი საერთო წილადად:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=(5)^(-1))\მარჯვენა ისარი \\ & \მარჯვენა ისარი ((0 ,2 )^(1+((x)^(2)))=((\მარცხნივ(((5)^(-1)) \მარჯვნივ))^(1+((x)^(2))) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \მარჯვნივ)))\ბოლო(გასწორება)\]
IN ამ შემთხვევაშიჩვენ გამოვიყენეთ ადრინდელი შენიშვნა - დავამცირეთ ფუძე 5 > 1 რიცხვამდე, რათა გავამარტივოთ ჩვენი შემდგომი ამოხსნა. იგივე გავაკეთოთ მარჯვენა მხარეს:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ მარჯვნივ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
მოდით გადავწეროთ ორიგინალური უტოლობა ორივე გარდაქმნის გათვალისწინებით:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\მარჯვენა ისარი ((5)^(-1\cdot \მარცხნივ(1+ ((x)^(2)) \მარჯვნივ)))\ge ((5)^(-2))\]
ბაზები ორივე მხარეს ერთნაირია და აღემატება ერთს. სხვა ტერმინები არ არის მარჯვნივ და მარცხნივ, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ „გადაკვეთეთ“ ხუთეულები და მივიღებთ ძალიან მარტივ გამოთქმას:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\ოთხი \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
აქ უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ. ბევრ სტუდენტს მოსწონს უბრალოდ ამონაწერი Კვადრატული ფესვიუტოლობის ორივე მხარეს და დაწერეთ რაღაც $x\le 1\მარჯვენა-ისარი x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. არავითარ შემთხვევაში არ უნდა გააკეთოთ ეს, რადგან ზუსტი კვადრატის ფესვი არის მოდული და არავითარ შემთხვევაში ორიგინალური ცვლადი:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\მარცხენა| x\მარჯვნივ|\]
თუმცა, მოდულებთან მუშაობა არ არის ყველაზე სასიამოვნო გამოცდილება, არა? ასე რომ, ჩვენ არ ვიმუშავებთ. ამის ნაცვლად, ჩვენ უბრალოდ გადავიტანთ ყველა ტერმინს მარცხნივ და ვხსნით ჩვეულებრივ უტოლობას ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\ quad ((x)_(2)) =-1; \\\ბოლო (გასწორება)$
ჩვენ კვლავ აღვნიშნავთ მიღებულ წერტილებს რიცხვით ხაზზე და ვუყურებთ ნიშნებს:
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: წერტილები დაჩრდილულია ვინაიდან ჩვენ ვხსნიდით არამკაცრ უტოლობას, გრაფიკის ყველა წერტილი დაჩრდილულია. ამიტომ, პასუხი იქნება: $x\in \left[ -1;1 \right]$ არ არის ინტერვალი, არამედ სეგმენტი.
ზოგადად, მინდა აღვნიშნო, რომ არაფერია რთული ექსპონენციურ უტოლობაში. ყველა ტრანსფორმაციის მნიშვნელობა, რომელიც ჩვენ დღეს განვახორციელეთ, მოდის მარტივ ალგორითმამდე:
- იპოვნეთ საფუძველი, რომლითაც ყველა ხარისხს დავამცირებთ;
- ფრთხილად შეასრულეთ გარდაქმნები $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ფორმის უტოლობის მისაღებად. რა თქმა უნდა, $x$ და $n$ ცვლადების ნაცვლად შეიძლება ბევრად მეტი იყოს რთული ფუნქციები, მაგრამ მნიშვნელობა არ შეიცვლება;
- გადაკვეთეთ გრადუსების საფუძვლები. ამ შემთხვევაში, უთანასწორობის ნიშანი შეიძლება შეიცვალოს, თუ ბაზა $a \lt 1$.
სინამდვილეში, ეს არის უნივერსალური ალგორითმი ყველა ასეთი უტოლობის გადასაჭრელად. და ყველაფერი, რასაც ისინი გეტყვიან ამ თემაზე, არის მხოლოდ კონკრეტული ტექნიკა და ხრიკები, რომლებიც გაამარტივებს და დააჩქარებს ტრანსფორმაციას. ერთ-ერთ ამ ტექნიკაზე ახლა ვისაუბრებთ. :)
რაციონალიზაციის მეთოდი
განვიხილოთ უტოლობების კიდევ ერთი ნაკრები:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\ left(\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \მარჯვნივ))^(16-x)); \\ & ((\ მარცხნივ(3-2\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
მაშ, რა არის მათში განსაკუთრებული? ისინი მსუბუქი. თუმცა, გაჩერდი! არის თუ არა რიცხვი π გაზრდილი გარკვეულ სიმძლავრემდე? Რა სისულელეა?
როგორ გავზარდოთ რიცხვი $2\sqrt(3)-3$ სიმძლავრემდე? ან $3-2\sqrt(2)$? პრობლემური მწერლები აშკარად სვამდნენ ძალიან ბევრ კუნელს, სანამ სამუშაოზე დაჯდებოდნენ. :)
სინამდვილეში, ამ ამოცანებში არაფერია საშინელი. შეგახსენებთ: ექსპონენციალური ფუნქცია არის $((a)^(x))$ ფორმის გამოხატულება, სადაც $a$ ფუძე არის ნებისმიერი დადებითი რიცხვი ერთის გარდა. რიცხვი π დადებითია - ეს უკვე ვიცით. რიცხვები $2\sqrt(3)-3$ და $3-2\sqrt(2)$ ასევე დადებითია - ადვილი მისახვედრია, თუ შეადარებთ მათ ნულს.
გამოდის, რომ ყველა ეს "შეშინებული" უთანასწორობა არ განსხვავდება ზემოთ განხილული მარტივისგან? და ისინიც ასე წყდება? დიახ, ეს აბსოლუტურად სწორია. თუმცა, მათი მაგალითის გამოყენებით, მსურს განვიხილო ერთი ტექნიკა, რომელიც მნიშვნელოვნად ზოგავს დროს დამოუკიდებელ სამუშაოსა და გამოცდებზე. ჩვენ ვისაუბრებთ რაციონალიზაციის მეთოდზე. ასე რომ, ყურადღება:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ფორმის ნებისმიერი ექსპონენციალური უტოლობა უდრის $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \" მარჯვნივ) \gt 0 $.
ეს არის მთელი მეთოდი. :) გეგონა, რომ რაიმე სხვა თამაში იქნებოდა? მსგავსი არაფერი! მაგრამ ეს მარტივი ფაქტი, რომელიც სიტყვასიტყვით ერთ სტრიქონშია დაწერილი, მნიშვნელოვნად გაამარტივებს ჩვენს მუშაობას. Შეხედე:
\[\begin(მატრიცა) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\ტექსტი( ))^((x)^(2))-3x+2)) \\ \ქვემოთ \\ \მარცხნივ(x+7-\მარცხნივ(((x)^(2)) -3x+2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end (მატრიცა)\]
ასე რომ, აღარ არსებობს ექსპონენციალური ფუნქციები! და თქვენ არ უნდა გახსოვდეთ, ნიშანი იცვლება თუ არა. მაგრამ ჩნდება ახალი პრობლემა: რა ვუყოთ გაფუჭებულ მულტიპლიკატორს \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? ჩვენ არ ვიცით რაზეა საუბარი ზუსტი ღირებულებარიცხვები π. თუმცა, კაპიტანი აშკარად მიანიშნებს:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\დაახლოებით 3.14... \gt 3\მარჯვენა arrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
ზოგადად, π-ის ზუსტი მნიშვნელობა ნამდვილად არ გვეხება - ჩვენთვის მხოლოდ მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ნებისმიერ შემთხვევაში $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, ტ .ე. ეს არის დადებითი მუდმივი და ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ უტოლობის ორივე მხარე მასზე:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\ოთხი \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \მარცხნივ(x-5 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (x+1 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]
როგორც ხედავთ, გარკვეულ მომენტში უნდა გავყოთ მინუს ერთზე - და შეიცვალა უთანასწორობის ნიშანი. ბოლოს გავაფართოვე კვადრატული ტრინომიალი ვიეტას თეორემის გამოყენებით - აშკარაა, რომ ფესვები უდრის $((x)_(1))=5$ და $((x)_(2))=-1$. . შემდეგ ყველაფერი წყდება კლასიკური ინტერვალის მეთოდით:
უტოლობის ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით ყველა წერტილი ამოღებულია, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრია. ჩვენ გვაინტერესებს უარყოფითი მნიშვნელობების მქონე რეგიონი, ამიტომ პასუხი არის $x\in \left(-1;5 \right)$. ეგაა გამოსავალი. :)
გადავიდეთ შემდეგ დავალებაზე:
\[((\ მარცხნივ(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
აქ ყველაფერი ზოგადად მარტივია, რადგან მარჯვნივ არის ერთეული. და ჩვენ გვახსოვს, რომ ერთი არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ამაღლებულია ნულოვან ხარისხზე. მაშინაც კი, თუ ეს რიცხვი არის ირაციონალური გამოხატულება მარცხნივ ბაზაზე:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\მარცხნივ(2 \sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(0)); \\ & ((\ მარცხნივ(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \მარჯვნივ))^(0)); \\\ბოლო (გასწორება)\]
კარგი, მოდით რაციონალიზაცია:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\ ]
რჩება მხოლოდ ნიშნების გარკვევა. ფაქტორი $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ არ შეიცავს $x$ ცვლადს - ის უბრალოდ მუდმივია და უნდა გავარკვიოთ მისი ნიშანი. ამისათვის გაითვალისწინეთ შემდეგი:
\[\begin(მატრიცა) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \ქვემოთ \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \მარჯვნივ)=0 \\\ბოლო(მატრიცა)\]
გამოდის, რომ მეორე ფაქტორი არის არა მხოლოდ მუდმივი, არამედ უარყოფითი მუდმივი! და მასზე გაყოფისას, ორიგინალური უთანასწორობის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\ მარცხნივ (x-2 \მარჯვნივ) \gt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]
ახლა ყველაფერი სრულიად აშკარა ხდება. მარჯვნივ კვადრატული ტრინომის ფესვებია: $((x)_(1))=0$ და $((x)_(2))=2$. ჩვენ აღვნიშნავთ მათ რიცხვით ხაზზე და ვუყურებთ $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ ფუნქციის ნიშნებს:
შემთხვევა, როცა გვაინტერესებს გვერდითი ინტერვალები ჩვენ გვაინტერესებს პლუსის ნიშნით მონიშნული ინტერვალები. რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა:
გადავიდეთ შემდეგ მაგალითზე:
\[((\left(\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ მარჯვნივ))^(16-x))\]
ისე, აქ ყველაფერი სრულიად აშკარაა: ფუძეები შეიცავს იმავე რაოდენობის ძალას. ამიტომ ყველაფერს მოკლედ დავწერ:
\[\begin(მატრიცა) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ქვემოთ \\ ((\ მარცხნივ(((3)^(-1)) \მარჯვნივ))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\ მარცხნივ(((3)^(-2)) \მარჯვნივ))^(16-x)) \\\ბოლო(მატრიცა)\]
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \მარჯვნივ)) \gt ((3)^(-2\cdot \ მარცხენა (16-x \მარჯვნივ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \მარცხნივ(x+8 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x-4 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]
როგორც ხედავთ, ტრანსფორმაციის პროცესში გვიწევდა გამრავლება უარყოფითი რიცხვიასე რომ, უთანასწორობის ნიშანი შეიცვალა. ბოლოს ისევ ვიეტას თეორემა გამოვიყენე კვადრატული ტრინომის გასამრავლებლად. შედეგად, პასუხი იქნება შემდეგი: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ამის გადამოწმება ნებისმიერს შეუძლია რიცხვითი წრფის დახატვით, წერტილების მონიშვნა და ნიშნების დათვლა. იმავდროულად, ჩვენ გადავალთ ბოლო უთანასწორობაზე ჩვენი "ნაკრებიდან":
\[((\ მარცხნივ(3-2\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
როგორც ხედავთ, ბაზაზე ისევ არის ირაციონალური რიცხვი, და მარჯვნივ არის ისევ ერთი. ამიტომ, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ექსპონენციალურ უტოლობას შემდეგნაირად:
\[((\ მარცხნივ(3-2\sqrt(2) \მარჯვნივ))^(3x-((x)^(2))) \lt ((\ left(3-2\sqrt(2) \ მარჯვენა))^(0))\]
ჩვენ ვიყენებთ რაციონალიზაციას:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \მარჯვნივ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end (გასწორება)\ ]
თუმცა, აშკარაა, რომ $1-\sqrt(2) \lt 0$, ვინაიდან $\sqrt(2)\დაახლოებით 1,4... \gt 1$. მაშასადამე, მეორე ფაქტორი კვლავ უარყოფითი მუდმივია, რომლითაც შეიძლება დაიყოს უტოლობის ორივე მხარე:
\[\ დასაწყისი(მატრიცა) \left(3x-((x)^(2))-0 \მარჯვნივ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \ქვემოთ. \\ბოლო (მატრიცა)\]
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\ quad \მარცხნივ| \cdot \left(-1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\ მარცხნივ(x-3 \მარჯვნივ) \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]
სხვა ბაზაზე გადასვლა
ექსპონენციური უტოლობების ამოხსნის ცალკე პრობლემაა „სწორი“ საფუძვლის ძიება. სამწუხაროდ, ყოველთვის არ არის აშკარა ერთი შეხედვით დავალების შესრულებისას, რა უნდა იქნას მიღებული, როგორც საფუძველი და რა უნდა გააკეთოს ამ საფუძვლის ხარისხის მიხედვით.
მაგრამ არ ინერვიულოთ: აქ არ არის ჯადოსნური ან "საიდუმლო" ტექნოლოგია. მათემატიკაში ნებისმიერი უნარი, რომლის ალგორითმიზაცია შეუძლებელია, ადვილად შეიძლება განვითარდეს პრაქტიკით. მაგრამ ამისთვის მოგიწევთ პრობლემების გადაჭრა სხვადასხვა დონეზესირთულეები. მაგალითად, ასე:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\ მარცხნივ(\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\ მარცხნივ(0,16 \მარჯვნივ))^(1+2x))\cdot ((\ left(6,25 \მარჯვნივ))^(x))\ge 1; \\ & ((\ left(\frac(27)(\sqrt(3)) \მარჯვნივ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ დასასრული (გასწორება)\]
რთული? საშინელი? ეს უფრო ადვილია, ვიდრე ქათმის ასფალტზე დარტყმა! Მოდი ვცადოთ. პირველი უტოლობა:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
ხო, მგონი აქ ყველაფერი გასაგებია:
ჩვენ თავიდან ვწერთ თავდაპირველ უტოლობას, ვამცირებთ ყველაფერს ორზე:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ(2-1 \მარჯვნივ) \lt 0\]
დიახ, დიახ, სწორად გსმენიათ: მე უბრალოდ გამოვიყენე ზემოთ აღწერილი რაციონალიზაციის მეთოდი. ახლა ჩვენ უნდა ვიმუშაოთ ფრთხილად: გვაქვს წილად-რაციონალური უტოლობა (ეს არის ის, რომელსაც აქვს ცვლადი მნიშვნელში), ასე რომ, სანამ რაიმეს ნულთან გავაიგივებთ, ყველაფერი უნდა მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე და მოვიშოროთ მუდმივი ფაქტორი. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]
ახლა ჩვენ ვიყენებთ სტანდარტული მეთოდიინტერვალებით. მრიცხველის ნულები: $x=\pm 4$. მნიშვნელი ნულამდე მიდის მხოლოდ მაშინ, როდესაც $x=0$. სულ სამი წერტილია, რომლებიც უნდა მოინიშნოს რიცხვთა წრფეზე (ყველა წერტილი მიმაგრებულია, რადგან უტოლობის ნიშანი მკაცრია). ჩვენ ვიღებთ:
უფრო რთული შემთხვევა: სამი ფესვი როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, დაჩრდილვა აღნიშნავს იმ ინტერვალებს, რომლებშიც მარცხნივ გამოხატულება უარყოფით მნიშვნელობებს იღებს. ამიტომ, საბოლოო პასუხი ერთდროულად ორ ინტერვალს მოიცავს:
ინტერვალების ბოლოები არ შედის პასუხში, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა მკაცრი იყო. არცერთი დამატებითი შემოწმებებიეს პასუხი არ არის საჭირო. ამასთან დაკავშირებით, ექსპონენციური უტოლობები გაცილებით მარტივია, ვიდრე ლოგარითმული: არ არის ODZ, არანაირი შეზღუდვა და ა.შ.
გადავიდეთ შემდეგ დავალებაზე:
\[((\ მარცხენა (\frac(1)(3) \მარჯვნივ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
აქაც არ არის პრობლემები, რადგან ჩვენ უკვე ვიცით, რომ $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, ამიტომ მთელი უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(((3)^(-1)) \მარჯვნივ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\მარჯვენა ისარი ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]
გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მესამე სტრიქონში გადავწყვიტე არ დავკარგო დრო წვრილმანებზე და დაუყოვნებლივ გავყო ყველაფერი (−2-ზე). მინული პირველ ფრჩხილში შევიდა (ახლა ყველგან პლიუსებია) და ორი შემცირდა მუდმივი ფაქტორით. ეს არის ზუსტად ის, რაც უნდა გააკეთოთ, როდესაც ამზადებთ რეალურ ჩვენებებს დამოუკიდებელ და ტესტები— არ არის საჭირო ყოველი მოქმედებისა და ტრანსფორმაციის აღწერა.
შემდეგი, ინტერვალების ნაცნობი მეთოდი თამაშში შედის. მრიცხველი ნულები: მაგრამ არ არსებობს. რადგან დისკრიმინანტი უარყოფითი იქნება. თავის მხრივ, მნიშვნელი აღდგება მხოლოდ $x=0$-ზე - ისევე როგორც წინა დროს. გასაგებია, რომ $x=0$-დან მარჯვნივ წილადი მიიღებს დადებით მნიშვნელობებს, ხოლო მარცხნივ - უარყოფითს. ვინაიდან ჩვენ გვაინტერესებს უარყოფითი მნიშვნელობები, საბოლოო პასუხია: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\ მარცხნივ(0.16 \მარჯვნივ))^(1+2x))\cdot ((\ left(6.25 \მარჯვნივ))^(x))\ge 1\]
რა უნდა გააკეთოთ ათობითი წილადებთან ექსპონენციალურ უტოლობებში? ეს მართალია: მოიშორეთ ისინი, გადააკეთეთ ისინი ჩვეულებრივებად. აქ ჩვენ ვთარგმნით:
\[\begin(გასწორება) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\rightarrow ((\ მარცხნივ(0.16 \მარჯვნივ))^(1+2x)) =((\ მარცხენა (\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\rightarrow ((\ მარცხნივ(6.25 \მარჯვნივ))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\მარჯვნივ))^(x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]
რა მივიღეთ ექსპონენციალური ფუნქციების საფუძვლებში? და მივიღეთ ორი ურთიერთშებრუნებული რიცხვი:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ მარჯვნივ))^(x))=((\ მარცხნივ (((\ მარცხნივ(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(-1)) \მარჯვნივ))^(x))=((\ მარცხენა (\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(-x))\]
ამრიგად, თავდაპირველი უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(1+2x))\cdot ((\ მარცხნივ(\frac(4)(25) \მარჯვნივ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\ მარცხნივ(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(1+2x+\მარცხნივ(-x \მარჯვნივ)))\ge ((\ left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(0)); \\ & ((\ მარცხნივ(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(0) ). \\\ბოლო (გასწორება)\]
რა თქმა უნდა, ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები იკრიბება, რაც მოხდა მეორე სტრიქონში. გარდა ამისა, ჩვენ წარმოვადგინეთ ერთეული მარჯვნივ, ასევე, როგორც სიმძლავრე 4/25 ბაზაში. რჩება მხოლოდ რაციონალიზაცია:
\[((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \მარჯვნივ))^(0)) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+1-0 \მარჯვნივ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \მარჯვნივ)\ge 0\]
გაითვალისწინეთ, რომ $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, ე.ი. მეორე ფაქტორი უარყოფითი მუდმივია და მასზე გაყოფისას უთანასწორობის ნიშანი შეიცვლება:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+1-0\le 0\მარჯვენა ისარი x\le -1; \\ & x\in \ მარცხნივ(-\infty ;-1 \მარჯვნივ]. \\\ბოლო (გასწორება)\]
დაბოლოს, ბოლო უტოლობა მიმდინარე „ნაკრებიდან“:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \მარჯვნივ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
პრინციპში, ამოხსნის იდეა აქაც ნათელია: უტოლობაში შემავალი ყველა ექსპონენციალური ფუნქცია უნდა შემცირდეს „3“-მდე. მაგრამ ამისათვის თქვენ მოგიწევთ ცოტათი შეაერთოთ ფესვები და ძალები:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\ოთხი 81=((3)^(4)). \\\ბოლო (გასწორება)\]
ამ ფაქტების გათვალისწინებით, თავდაპირველი უთანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ((3)^(\frac(8)(3))) \მარჯვნივ))^(-x)) \lt ((\მარცხნივ((3) ^(2))\მარჯვნივ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]
ყურადღება მიაქციეთ გამოთვლების მე-2 და მე-3 სტრიქონებს: სანამ უტოლობასთან რაიმეს გააკეთებთ, აუცილებლად მიიტანეთ ის იმ ფორმამდე, რაზეც გაკვეთილის თავიდანვე ვისაუბრეთ: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. მანამ, სანამ მარცხნივ ან მარჯვნივ გაქვთ რამდენიმე მარცხენა ფაქტორი, დამატებითი მუდმივები და ა.შ. არ შეიძლება განხორციელდეს საფუძვლების რაციონალიზაცია ან „გადაკვეთა“.! უამრავი დავალება შესრულებულია არასწორად ამ მარტივი ფაქტის გაუგებრობის გამო. მე თვითონ გამუდმებით ვაკვირდები ამ პრობლემას ჩემს სტუდენტებთან, როცა ახლა ვიწყებთ ექსპონენციალური და ლოგარითმული უტოლობების ანალიზს.
მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. შევეცადოთ ამჯერად რაციონალიზაციის გარეშე გავაკეთოთ. გავიხსენოთ: ხარისხის საფუძველი ერთზე მეტია, ამიტომ სამეულების უბრალოდ გადაკვეთა შესაძლებელია - უთანასწორობის ნიშანი არ შეიცვლება. ჩვენ ვიღებთ:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\ბოლო (გასწორება)\]
Სულ ეს არის. საბოლოო პასუხი: $x\in \left(-\infty ;3 \მარჯვნივ)$.
სტაბილური გამოხატვის იზოლირება და ცვლადის ჩანაცვლება
დასასრულს, მე გთავაზობთ კიდევ ოთხი ექსპონენციალური უტოლობის ამოხსნას, რომლებიც უკვე საკმაოდ რთულია მოუმზადებელი სტუდენტებისთვის. მათთან გამკლავებისთვის, თქვენ უნდა გახსოვდეთ ხარისხებთან მუშაობის წესები. კერძოდ, საერთო ფაქტორების ფრჩხილებიდან ამოღება.
მაგრამ ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ ვისწავლოთ იმის გაგება, თუ რა შეიძლება ზუსტად ამოიღოთ ფრჩხილებიდან. ასეთ გამონათქვამს ეწოდება სტაბილური - ის შეიძლება აღინიშნოს ახალი ცვლადით და ამით მოვიშოროთ ექსპონენციალური ფუნქცია. ასე რომ, მოდით შევხედოთ დავალებებს:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\ მარცხნივ(0.5 \მარჯვნივ))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\ბოლო(გასწორება)\]
დავიწყოთ პირველივე ხაზიდან. მოდით დავწეროთ ეს უტოლობა ცალკე:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
გაითვალისწინეთ, რომ $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, ამიტომ მარჯვენა მხარე შეიძლება გადაიწეროს:
გაითვალისწინეთ, რომ უტოლობაში $((5)^(x+1))$-ის გარდა სხვა ექსპონენციალური ფუნქციები არ არის. და ზოგადად, ცვლადი $x$ სხვაგან არ ჩანს, ამიტომ შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი: $((5)^(x+1))=t$. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
ვუბრუნდებით საწყის ცვლადს ($t=((5)^(x+1))$), და ამავე დროს გვახსოვს, რომ 1=5 0 . Ჩვენ გვაქვს:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
ეს არის გამოსავალი! პასუხი: $x\in \left[ -1;+\infty \მარჯვნივ)$. გადავიდეთ მეორე უტოლობაზე:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
აქ ყველაფერი იგივეა. გაითვალისწინეთ, რომ $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . მერე მარცხენა მხარეშეიძლება გადაწეროთ:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \მარჯვნივ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\მარჯვენა ისარი x\in \მარცხნივ[ 2;+\infty \მარჯვნივ). \\\ბოლო (გასწორება)\]
დაახლოებით ასე უნდა შეადგინოთ გამოსავალი რეალური ტესტებისა და დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.
აბა, ვცადოთ რაღაც უფრო რთული. მაგალითად, აქ არის უთანასწორობა:
\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
რა პრობლემაა აქ? პირველ რიგში, მარცხნივ ექსპონენციალური ფუნქციების საფუძვლები განსხვავებულია: 5 და 25. თუმცა, 25 = 5 2, ასე რომ, პირველი წევრი შეიძლება გარდაიქმნას:
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((25)^(x+1.5))=((\მარცხნივ(((5)^(2)) \მარჯვნივ))^(x+1.5))= ((5) ^ (2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end (გასწორება )\]
როგორც ხედავთ, თავიდან ყველაფერი ერთსა და იმავე ბაზაზე მოვიყვანეთ, შემდეგ კი შევამჩნიეთ, რომ პირველი წევრი ადვილად შეიძლება შემცირდეს მეორეზე - თქვენ უბრალოდ უნდა გააფართოვოთ მაჩვენებლები. ახლა შეგიძლიათ უსაფრთხოდ შემოიტანოთ ახალი ცვლადი: $((5)^(2x+2))=t$ და მთელი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\ბოლო (გასწორება)\]
და ისევ, არანაირი სირთულე! საბოლოო პასუხი: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. დღევანდელ გაკვეთილზე გადავიდეთ საბოლოო უთანასწორობაზე:
\[((\მარცხნივ(0.5 \მარჯვნივ))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]
პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ, რა თქმა უნდა, ათობითიპირველი ხარისხის ბაზაზე. აუცილებელია მისგან თავის დაღწევა და ამავდროულად ყველა ექსპონენციური ფუნქციის ერთსა და იმავე ბაზაზე მიტანა - ნომერი "2":
\[\ დასაწყისი(გასწორება) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\მარჯვენა ისარი ((\მარცხნივ(0.5 \მარჯვნივ))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \მარჯვნივ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\მარჯვენა ისარი ((16)^(x+1.5))=((\ მარცხნივ(((2)^(4)) \მარჯვნივ))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\ბოლო(გასწორება)\]
კარგია, ჩვენ გადავდგით პირველი ნაბიჯი - ყველაფერი ერთსა და იმავე საფუძველამდე მიგვიყვანს. ახლა თქვენ უნდა აირჩიოთ სტაბილური გამოხატულება. გაითვალისწინეთ, რომ $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. თუ შემოვიყვანთ ახალ ცვლადს $((2)^(4x+6))=t$, მაშინ თავდაპირველი უტოლობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\ბოლო (გასწორება)\]
ბუნებრივია, შეიძლება გაჩნდეს კითხვა: როგორ აღმოვაჩინეთ, რომ 256 = 2 8? სამწუხაროდ, აქ თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ ორის (და ამავდროულად სამისა და ხუთის) ძალა. ან 256 გაყავით 2-ზე (შეგიძლიათ გაყოთ, რადგან 256 ლუწი რიცხვია) სანამ შედეგს არ მივიღებთ. ეს დაახლოებით ასე გამოიყურება:
\[\ დასაწყისი (გასწორება) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(გასწორება )\]
იგივე ეხება სამს (ნომრები 9, 27, 81 და 243 მისი ხარისხებია), და შვიდთან (49 და 343 რიცხვები ასევე კარგი იქნება დასამახსოვრებლად). ხუთეულს ასევე აქვს "ლამაზი" ხარისხი, რომელიც უნდა იცოდეთ:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5) ^ (5)) = 3125. \\\ბოლო (გასწორება)\]
რა თქმა უნდა, სურვილის შემთხვევაში, ყველა ეს რიცხვი შეიძლება აღდგეს თქვენს გონებაში უბრალოდ მათი ერთმანეთზე ზედიზედ გამრავლებით. თუმცა, როდესაც თქვენ უნდა ამოხსნათ რამდენიმე ექსპონენციალური უტოლობა და ყოველი შემდეგი უფრო რთულია, ვიდრე წინა, მაშინ ბოლო, რაზეც გსურთ იფიქროთ, არის ზოგიერთი რიცხვის სიძლიერე. და ამ თვალსაზრისით, ეს პრობლემები უფრო რთულია, ვიდრე "კლასიკური" უტოლობები, რომლებიც წყდება ინტერვალის მეთოდით.
და x = b არის უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლება. მასში ანულზე მეტი და აარ უდრის ერთს.
ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა
ექსპონენციური ფუნქციის თვისებებიდან ვიცით, რომ მისი მნიშვნელობების დიაპაზონი შემოიფარგლება პოზიტივით რეალური რიცხვები. მაშინ თუ b = 0, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. იგივე სიტუაციაა განტოლებაში, სადაც b
ახლა დავუშვათ, რომ b>0. თუ ექსპონენციალურ ფუნქციაში ფუძე აარის ერთიანობაზე მეტი, მაშინ ფუნქცია გაიზრდება განმარტების მთელ დომენზე. თუ ფუძის ექსპონენციალურ ფუნქციაში ადაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა 0 ამის საფუძველზე და ფესვის თეორემის გამოყენებით აღმოვაჩენთ, რომ განტოლებას a x = b აქვს ერთი ფესვი, b>0 და დადებითი აარ უდრის ერთს. მის საპოვნელად, თქვენ უნდა წარმოადგინოთ b, როგორც b = a c. განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი: ამოხსენით განტოლება 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 25. წარმოვიდგინოთ 25, როგორც 5 2, მივიღებთ: 5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 . ან რა არის ექვივალენტი: x 2 - 2 * x - 1 = 2. მიღებულ კვადრატულ განტოლებას ვხსნით რომელიმე ცნობილი მეთოდები. ვიღებთ ორ ფესვს x = 3 და x = -1. პასუხი: 3;-1. ამოვხსნათ განტოლება 4 x - 5*2 x + 4 = 0. გავაკეთოთ ჩანაცვლება: t=2 x და მივიღოთ შემდეგი კვადრატული განტოლება: t 2 - 5 * t + 4 = 0. ახლა ჩვენ ვხსნით განტოლებებს 2 x = 1 და 2 x = 4. პასუხი: 0; 2. უმარტივესი ექსპონენციური უტოლობების ამოხსნა ასევე ემყარება გაზრდის და კლების ფუნქციების თვისებებს. თუ ექსპონენციურ ფუნქციაში a ბაზა ერთზე მეტია, მაშინ ფუნქცია გაიზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე. თუ ფუძის ექსპონენციალურ ფუნქციაში აშემდეგი პირობა დაკმაყოფილებულია 0 განვიხილოთ მაგალითი: ამოხსენით უტოლობა (0.5) (7 - 3*x)< 4. გაითვალისწინეთ, რომ 4 = (0.5) 2 . მაშინ უტოლობა მიიღებს ფორმას (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. ვიღებთ: 7 - 3*x>-2. აქედან გამომდინარე: x<3. პასუხი: x<3. თუ უტოლობაში ფუძე ერთზე მეტი იყო, მაშინ ფუძის მოშორებისას არ იქნება საჭირო უტოლობის ნიშნის შეცვლა.
მაშინ აშკარაა, რომ თანიქნება a x = a c განტოლების ამონახსნი.
ჩვენ ამ განტოლებას ვხსნით რომელიმე ცნობილი მეთოდის გამოყენებით. ჩვენ ვიღებთ ფესვებს t1 = 1 t2 = 4ექსპონენციალური უტოლობების ამოხსნა
Ჩატვირთვა...