პირამიდის საფუძველი არის რეგულარული სამკუთხედი. პირამიდა. პირამიდის ფორმულები და თვისებები

ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შესული ამოცანების განხილვას. ჩვენ უკვე შევისწავლეთ პრობლემები, სადაც მოცემულია პირობა და საჭიროა ვიპოვოთ მანძილი ორ მოცემულ წერტილს ან კუთხეს შორის.

პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, დარჩენილი სახეები სამკუთხედებია და მათ აქვთ საერთო წვერო.

რეგულარული პირამიდა არის პირამიდა, რომლის ფუძეზე დევს რეგულარული მრავალკუთხედი და მისი წვერო დაპროექტებულია ფუძის ცენტრში.

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა - ფუძე არის კვადრატი.პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებულია ფუძის (კვადრატის) დიაგონალების გადაკვეთის ადგილას.

ML - აპოთემა
∠MLO - დიედრული კუთხე პირამიდის ფუძესთან
∠MCO - კუთხე გვერდითი კიდესა და პირამიდის ფუძის სიბრტყეს შორის

ამ სტატიაში განვიხილავთ პრობლემებს ჩვეულებრივი პირამიდის გადასაჭრელად. თქვენ უნდა იპოვოთ რაიმე ელემენტი, გვერდითი ზედაპირის ფართობი, მოცულობა, სიმაღლე. რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა იცოდეთ პითაგორას თეორემა, პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობის ფორმულა და პირამიდის მოცულობის პოვნის ფორმულა.

სტატიაში "" წარმოგიდგენთ ფორმულებს, რომლებიც აუცილებელია სტერეომეტრიის ამოცანების გადასაჭრელად. ასე რომ, ამოცანები:

SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი,სწვერო, ᲘᲡᲔ = 51, A.C.= 136. იპოვეთ გვერდითი კიდეს.კ..

IN ამ შემთხვევაშისაფუძველი არის კვადრატი. ეს ნიშნავს, რომ AC და BD დიაგონალები ტოლია, ისინი იკვეთებიან და იკვეთებიან გადაკვეთის წერტილით. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვეულებრივ პირამიდაში მისი ზემოდან ჩამოშვებული სიმაღლე გადის პირამიდის ფუძის ცენტრში. ასე რომ, SO არის სიმაღლე და სამკუთხედისოცმართკუთხა. შემდეგ პითაგორას თეორემის მიხედვით:

როგორ ამოიღოთ ფესვი დიდი რიცხვი.

პასუხი: 85

თავად გადაწყვიტე:

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი, სწვერო, ᲘᲡᲔ = 4, A.C.= 6. იპოვეთ გვერდითი კიდე ს.კ..

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი, სწვერო, ს.კ. = 5, A.C.= 6. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ᲘᲡᲔ.

ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCDწერტილი ო- ბაზის ცენტრი, სწვერო, ᲘᲡᲔ = 4, ს.კ.= 5. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე A.C..

SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ., ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 7, ა ს.რ.= 16. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძისა და აპოთემის პერიმეტრის ნამრავლის ნახევარს (აპოთემა არის მისი წვეროდან გამოყვანილი რეგულარული პირამიდის გვერდითი ზედაპირის სიმაღლე):

ან შეგვიძლია ვთქვათ: პირამიდის გვერდითი ზედაპირის ფართობი ჯამის ტოლია სამი კვადრატიგვერდითი კიდეები. რეგულარული სამკუთხა პირამიდის გვერდითი სახეები არის თანაბარი ფართობის სამკუთხედები. Ამ შემთხვევაში:

პასუხი: 168

თავად გადაწყვიტე:

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ., ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 1, ა ს.რ.= 2. იპოვეთ გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC რ- ნეკნის შუა ძვ.წ., ს- ზედა. ცნობილია, რომ AB= 1, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 3. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ს.რ..

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC ლ- ნეკნის შუა ძვ.წ., ს- ზედა. ცნობილია, რომ SL= 2, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი არის 3. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე AB.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABC მ. სამკუთხედის ფართობი ABCარის 25, პირამიდის მოცულობა 100. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ.

პირამიდის ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი. Ამიტომაც მარის ბაზის ცენტრი დაᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ- რეგულარული პირამიდის სიმაღლეSABC. პირამიდის მოცულობა SABCუდრის: ნახვის ამოხსნა

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABCფუძის მედიანები იკვეთება წერტილში მ. სამკუთხედის ფართობი ABCუდრის 3, ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= 1. იპოვეთ პირამიდის მოცულობა.

ჩვეულებრივ სამკუთხა პირამიდაში SABCფუძის მედიანები იკვეთება წერტილში მ. პირამიდის მოცულობა არის 1, ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ= 1. იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ABC.

აქ დავასრულოთ. როგორც ხედავთ, პრობლემები წყდება ერთი ან ორი ნაბიჯით. სამომავლოდ განვიხილავთ სხვა პრობლემებს ამ ნაწილიდან, სადაც მოცემულია რევოლუციის ორგანოები, არ გამოტოვოთ!

Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

• აპოთემა- რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე, რომელიც გამოყვანილია მისი წვეროდან (გარდა ამისა, აპოთემა არის პერპენდიკულარულის სიგრძე, რომელიც ჩამოშვებულია რეგულარული მრავალკუთხედის შუადან მის ერთ-ერთ მხარეს);
• გვერდითი სახეები (ASB, BSC, CSD, DSA) - სამკუთხედები, რომლებიც ხვდებიან წვეროზე;
• გვერდითი ნეკნები ( ას , ბ.ს. , C.S. , დ.ს. ) — საერთო ასპექტებიგვერდითი კიდეები;
• პირამიდის მწვერვალი (ტ. ს) - წერტილი, რომელიც აკავშირებს გვერდითა ნეკნებს და რომელიც არ დევს ფუძის სიბრტყეში;
• სიმაღლე ( ᲘᲡᲔ ) - პერპენდიკულარული სეგმენტი, რომელიც გაყვანილია პირამიდის ზევით მისი ფუძის სიბრტყემდე (ასეთი სეგმენტის ბოლოები იქნება პირამიდის ზედა და პერპენდიკულარულის ფუძე);
• პირამიდის დიაგონალური მონაკვეთი- პირამიდის მონაკვეთი, რომელიც გადის ფუძის ზედა და დიაგონალზე;
• ბაზა (Ა Ბ Გ Დ) - მრავალკუთხედი, რომელიც არ ეკუთვნის პირამიდის წვეროს.

პირამიდის თვისებები.

1. როცა ყველა გვერდითი კიდე ერთი და იგივე ზომაა, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის მახლობლად წრის აღწერა მარტივია და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებული იქნება ამ წრის ცენტრში;
• გვერდითი ნეკნები ქმნიან თანაბარ კუთხეებს ფუძის სიბრტყესთან;
• უფრო მეტიც, პირიქითაც არის, ე.ი. როდესაც გვერდითი ნეკნები ყალიბდება ფუძის სიბრტყესთან თანაბარი კუთხეები, ან როდესაც წრე შეიძლება აღწეროს პირამიდის ფუძესთან და პირამიდის ზევით იქნება დაპროექტებული ამ წრის ცენტრში, რაც ნიშნავს, რომ პირამიდის ყველა გვერდითი კიდე ერთი და იგივე ზომისაა.

2. როდესაც გვერდით გვერდებს აქვთ დახრილობის კუთხე იმავე მნიშვნელობის ფუძის სიბრტყის მიმართ, მაშინ:

• პირამიდის ფუძის მახლობლად წრის აღწერა მარტივია და პირამიდის მწვერვალი დაპროექტებული იქნება ამ წრის ცენტრში;
• გვერდითი სახეების სიმაღლეები თანაბარია;
• გვერდითი ზედაპირის ფართობი უდრის ფუძის პერიმეტრის და გვერდითი სახის სიმაღლის ნამრავლს.

3. პირამიდის ირგვლივ შეიძლება იყოს სფეროს აღწერა, თუ პირამიდის ძირში არის მრავალკუთხედი, რომლის ირგვლივ წრე შეიძლება იყოს აღწერილი (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). სფეროს ცენტრი იქნება სიბრტყეების გადაკვეთის წერტილი, რომლებიც გადიან მათზე პერპენდიკულარულად პირამიდის კიდეების შუაში. ამ თეორემიდან ვასკვნით, რომ სფერო შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც ნებისმიერი სამკუთხა, ასევე ნებისმიერი რეგულარული პირამიდის გარშემო.

4. სფერო შეიძლება ჩაიწეროს პირამიდაში, თუ პირამიდის შიდა ორთავიანი კუთხეების ბისექტრული სიბრტყეები იკვეთება 1-ელ წერტილში (აუცილებელი და საკმარისი პირობა). ეს წერტილი გახდება სფეროს ცენტრი.

უმარტივესი პირამიდა.

კუთხის რაოდენობის მიხედვით პირამიდის ფუძე იყოფა სამკუთხედად, ოთხკუთხედად და ა.შ.

იქნება პირამიდა სამკუთხა, ოთხკუთხადა ასე შემდეგ, როდესაც პირამიდის საფუძველი არის სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. სამკუთხა პირამიდა არის ტეტრაჰედრონი - ტეტრაედონი. ოთხკუთხა - ხუთკუთხა და ა.შ.

მოსწავლეები პირამიდის კონცეფციას გეომეტრიის შესწავლამდე დიდი ხნით ადრე ხვდებიან. ბრალია მსოფლიოს ცნობილი დიდი ეგვიპტური საოცრება. ამიტომ, ამ მშვენიერი პოლიედრონის შესწავლის დაწყებისას, სტუდენტების უმეტესობა უკვე აშკარად წარმოიდგენს მას. ყველა ზემოხსენებულ ატრაქციონს სწორი ფორმა აქვს. Რა მოხდა რეგულარული პირამიდადა რა თვისებები აქვს მას შემდგომში განვიხილავთ.

კონტაქტში

განმარტება

პირამიდის საკმაოდ ბევრი განმარტება არსებობს. უძველესი დროიდან ის ძალიან პოპულარული იყო.

მაგალითად, ევკლიდემ ის განსაზღვრა, როგორც სხეულის ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყეებისგან, რომლებიც, დაწყებული ერთიდან, ხვდებიან გარკვეულ წერტილში.

ჰერონმა უფრო ზუსტი ფორმულირება მოგვცა. ის ამტკიცებდა, რომ ეს ის ფიგურა იყო აქვს ბაზა და სიბრტყეები სამკუთხედების სახით,ერთ წერტილში შეკრება.

ეყრდნობოდა თანამედროვე ინტერპრეტაცია, პირამიდა წარმოდგენილია როგორც სივრცითი პოლიედონი, რომელიც შედგება გარკვეული k-გონისა და k ბრტყელი ფიგურებისგან. სამკუთხა ფორმის, რომელსაც აქვს ერთი საერთო წერტილი.

მოდით შევხედოთ მას უფრო დეტალურად, რა ელემენტებისაგან შედგება:

• კ-გონი ითვლება ფიგურის საფუძვლად;
• გვერდითი ნაწილის კიდეების სახით გამოსულია 3-კუთხა ფორმები;
• ზედა ნაწილს, საიდანაც წარმოიქმნება გვერდითი ელემენტები, ეწოდება მწვერვალი;
• წვეროს დამაკავშირებელ ყველა სეგმენტს კიდეები ეწოდება;
• თუ სწორი ხაზი დაშვებულია წვეროდან ფიგურის სიბრტყემდე 90 გრადუსიანი კუთხით, მაშინ მისი ნაწილი, რომელიც შეიცავს შიდა სივრცეში, არის პირამიდის სიმაღლე;
• ნებისმიერ გვერდით ელემენტში, პერპენდიკულარული, რომელსაც აპოთემა ეწოდება, შეიძლება დახატოთ ჩვენი პოლიედრონის მხარეს.

კიდეების რაოდენობა გამოითვლება ფორმულით 2*k, სადაც k არის k-გონის გვერდების რაოდენობა. რამდენი სახე აქვს პოლიედრონს, როგორიცაა პირამიდა, შეიძლება განისაზღვროს გამოთქმის k+1 გამოყენებით.

Მნიშვნელოვანი!რეგულარული ფორმის პირამიდა არის სტერეომეტრიული ფიგურა, რომლის ფუძის სიბრტყე არის k-გონი თანაბარი გვერდებით.

ძირითადი თვისებები

სწორი პირამიდა აქვს მრავალი თვისება,რომლებიც მისთვის უნიკალურია. ჩამოვთვალოთ ისინი:

1. საფუძველი არის სწორი ფორმის ფიგურა.
2. პირამიდის კიდეებს, რომლებიც ზღუდავენ გვერდით ელემენტებს, აქვთ თანაბარი რიცხვითი მნიშვნელობები.
3. გვერდითი ელემენტები არის ტოლფერდა სამკუთხედები.
4. ფიგურის სიმაღლის ფუძე ეცემა მრავალკუთხედის ცენტრში, ხოლო იგი ერთდროულად არის ჩაწერილი და შემოხაზულის ცენტრალური წერტილი.
5. ყველა გვერდითი ნეკნი მიდრეკილია ფუძის სიბრტყისკენ იმავე კუთხით.
6. ყველა გვერდით ზედაპირს აქვს დახრილობის ერთი და იგივე კუთხე ფუძესთან შედარებით.

ყველა ჩამოთვლილი თვისების წყალობით, ელემენტების გამოთვლების შესრულება გაცილებით მარტივია. ზემოაღნიშნული თვისებებიდან გამომდინარე, ჩვენ ყურადღებას ვაქცევთ ორი ნიშანი:

1. იმ შემთხვევაში, როდესაც მრავალკუთხედი ჯდება წრეში, გვერდითა გვერდებს ექნებათ ფუძის თანაბარი კუთხეები.
2. მრავალკუთხედის გარშემო წრის აღწერისას, პირამიდის ყველა კიდეს, რომელიც გამოდის წვეროდან, ექნება თანაბარი სიგრძე და ფუძის თანაბარი კუთხე.

საფუძველი არის კვადრატი

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა - პოლიედონი, რომლის ფუძე არის კვადრატი.

მას აქვს ოთხი გვერდითი სახე, რომლებიც გარეგნულად ტოლფერდაა.

კვადრატი გამოსახულია სიბრტყეზე, მაგრამ ეფუძნება რეგულარული ოთხკუთხედის ყველა თვისებას.

მაგალითად, თუ საჭიროა კვადრატის გვერდის დაკავშირება მის დიაგონალთან, მაშინ გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა: დიაგონალი უდრის კვადრატის გვერდის ნამრავლს და კვადრატული ფესვის ორს.

ის ეფუძნება ჩვეულებრივ სამკუთხედს

სწორი სამკუთხა პირამიდა- პოლიედონი, რომლის ფუძე არის რეგულარული 3-გონი.

თუ ფუძე არის რეგულარული სამკუთხედი და გვერდითი კიდეები უდრის ფუძის კიდეებს, მაშინ ასეთი ფიგურა ტეტრაჰედრონს უწოდებენ.

ტეტრაედრის ყველა სახე ტოლგვერდაა 3 კუთხიანი. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე პუნქტი და არ დაკარგოთ დრო მათზე გაანგარიშებისას:

• ნეკნების დახრილობის კუთხე ნებისმიერი ფუძისკენ არის 60 გრადუსი;
• ყველა შიდა სახის ზომა ასევე 60 გრადუსია;
• ნებისმიერ სახეს შეუძლია იმოქმედოს როგორც ბაზა;
• , ფიგურის შიგნით დახატული, ეს თანაბარი ელემენტებია.

პოლიედრონის მონაკვეთები

ნებისმიერ პოლიედრონში არის რამდენიმე ტიპის განყოფილებაბინა. ხშირად სასკოლო გეომეტრიის კურსზე ისინი მუშაობენ ორთან:

• ღერძული;
• საფუძვლის პარალელურად.

ღერძული მონაკვეთი მიიღება პოლიედრონის გადაკვეთით თვითმფრინავთან, რომელიც გადის წვეროზე, გვერდით კიდეებსა და ღერძზე. ამ შემთხვევაში, ღერძი არის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე. ჭრის სიბრტყე შემოიფარგლება ყველა სახის გადაკვეთის ხაზებით, რის შედეგადაც წარმოიქმნება სამკუთხედი.

ყურადღება!ჩვეულებრივ პირამიდაში ღერძული განყოფილება არის ტოლფერდა სამკუთხედი.

თუ ჭრის თვითმფრინავი გადის ბაზის პარალელურად, მაშინ შედეგი არის მეორე ვარიანტი. ამ შემთხვევაში გვაქვს ფუძის მსგავსი განივი ფიგურა.

მაგალითად, თუ ძირში არის კვადრატი, მაშინ ფუძის პარალელურად მონაკვეთი ასევე იქნება კვადრატი, მხოლოდ მცირე ზომის.

ამ პირობებში პრობლემების გადაჭრისას ისინი იყენებენ ფიგურების მსგავსების ნიშნებს და თვისებებს. თალესის თეორემაზე დაფუძნებული. უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია მსგავსების კოეფიციენტის დადგენა.

თუ თვითმფრინავი ძირის პარალელურად არის გაყვანილი და ის წყვეტს ზედა ნაწილიპოლიჰედრონი, შემდეგ ქვედა ნაწილში მიიღება რეგულარული შეკვეცილი პირამიდა. შემდეგ იტყვიან, რომ დამსხვრეული მრავალკუთხედის ფუძეები მსგავსი მრავალკუთხედებია. ამ შემთხვევაში, გვერდითი სახეები არის ტოლფერდა ტრაპეცია. ღერძული მონაკვეთი ასევე ტოლფერდაა.

დამსხვრეული პოლიედრონის სიმაღლის დასადგენად საჭიროა სიმაღლის დახაზვა ღერძულ მონაკვეთში, ანუ ტრაპეციაში.

ზედაპირული ადგილები

ძირითადი გეომეტრიული ამოცანები, რომლებიც უნდა გადაწყდეს სასკოლო გეომეტრიის კურსში არის იპოვნეთ პირამიდის ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.

ზედაპირის ფართობის მნიშვნელობების ორი ტიპი არსებობს:

• გვერდითი ელემენტების ფართობი;
• მთელი ზედაპირის ფართობი.

თავად სახელიდანაც კარგად ჩანს რაზეც ვსაუბრობთ. გვერდითი ზედაპირი მოიცავს მხოლოდ გვერდით ელემენტებს. აქედან გამომდინარეობს, რომ მის მოსაძებნად, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ გვერდითი სიბრტყეების არეები, ანუ ტოლფერდა 3-გონების არეები. შევეცადოთ გამოვიტანოთ ფორმულა გვერდითი ელემენტების ფართობისთვის:

1. ტოლფერდა 3 კუთხის ფართობი არის Str=1/2(aL), სადაც a არის ფუძის მხარე, L არის აპოთემა.
2. გვერდითი სიბრტყეების რაოდენობა დამოკიდებულია ფუძეზე k-gon-ის ტიპზე. მაგალითად, ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდას აქვს ოთხი გვერდითი სიბრტყე. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია ოთხი ფიგურის ფართობის დამატება Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. გამოთქმა გამარტივებულია ამ გზით, რადგან მნიშვნელობა არის 4a = Rosn, სადაც Rosn არის ფუძის პერიმეტრი. და გამოთქმა 1/2*Rosn არის მისი ნახევარპერიმეტრი.
3. ასე რომ, დავასკვნით, რომ რეგულარული პირამიდის გვერდითი ელემენტების ფართობი უდრის ფუძის ნახევრად პერიმეტრის ნამრავლს და აპოთემას: Sside = Rosn * L.

პირამიდის მთლიანი ზედაპირის ფართობი შედგება გვერდითი სიბრტყეებისა და ფუძის ფართობების ჯამისაგან: Sp.p. = Sside + Sbas.

რაც შეეხება ფუძის ფართობს, აქ ფორმულა გამოიყენება მრავალკუთხედის ტიპის მიხედვით.

ჩვეულებრივი პირამიდის მოცულობატოლია საბაზისო სიბრტყის ფართობის ნამრავლისა და სიმაღლის გაყოფილი სამზე: V=1/3*Sbas*H, სადაც H არის პოლიედონის სიმაღლე.

რა არის ჩვეულებრივი პირამიდა გეომეტრიაში

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდის თვისებები

ჰიპოთეზა:ჩვენ გვჯერა, რომ პირამიდის ფორმის სრულყოფილება განპირობებულია მისი ფორმის თანდაყოლილი მათემატიკური კანონებით.

სამიზნე:შეისწავლეთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული, ახსენით მისი ფორმის სრულყოფილება.

Დავალებები:

1. მიეცით პირამიდის მათემატიკური განმარტება.

2. შეისწავლეთ პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული.

3. გაიგე, რა მათემატიკური ცოდნა შეიტანეს ეგვიპტელებმა თავიანთ პირამიდებში.

პირადი კითხვები:

1. რა არის პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული?

2. როგორ შეიძლება აიხსნას პირამიდის უნიკალური ფორმა მათემატიკური თვალსაზრისით?

3. რა ხსნის პირამიდის გეომეტრიულ საოცრებებს?

4. რა ხსნის პირამიდის ფორმის სრულყოფილებას?

პირამიდის განმარტება.

პირამიდა (ბერძნულიდან pyramis, გენ. pyramidos) - მრავალკუთხედი, რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი, ხოლო დარჩენილი სახეები - სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო (ნახაზი). ფუძის კუთხეების რაოდენობის მიხედვით, პირამიდები იყოფა სამკუთხა, ოთხკუთხა და ა.შ.

პირამიდა - მონუმენტური ნაგებობა, რომელსაც აქვს პირამიდის გეომეტრიული ფორმა (ზოგჯერ ასევე საფეხურიანი ან კოშკის ფორმის). პირამიდები ჰქვია ძველი ეგვიპტის ფარაონების გიგანტურ სამარხებს ძვ. ე., ისევე როგორც უძველესი ამერიკული ტაძრების კვარცხლბეკები (მექსიკაში, გვატემალაში, ჰონდურასში, პერუში), რომლებიც დაკავშირებულია კოსმოლოგიურ კულტებთან.

შესაძლებელია, რომ ბერძნული სიტყვა „პირამიდა“ მომდინარეობს ეგვიპტური გამოთქმიდან per-em-us, ანუ ტერმინიდან, რომელიც ნიშნავს პირამიდის სიმაღლეს. გამოჩენილი რუსი ეგვიპტოლოგი ვ. სტრუვე თვლიდა, რომ ბერძნული „პურამ...ჯ“ მომდინარეობს ძველი ეგვიპტური „პ“-მრ-დან.

ისტორიიდან. ატანასიანის ავტორთა სახელმძღვანელოში „გეომეტრია“ მასალის შესწავლით. ბუტუზოვმა და სხვებმა გავიგეთ, რომ: n-კუთხედი A1A2A3 შედგენილ მრავალედრონს ... An და n სამკუთხედი PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 ეწოდება პირამიდას. მრავალკუთხედი A1A2A3...An არის პირამიდის ფუძე, ხოლო სამკუთხედები PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 არის პირამიდის გვერდითი სახეები, P არის პირამიდის ზედა, სეგმენტები PA1, PA2,.. ., პან არის გვერდითი კიდეები.

თუმცა, პირამიდის ეს განმარტება ყოველთვის არ არსებობდა. მაგალითად, ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, ჩვენამდე მოღწეული თეორიული ტრაქტატების ავტორი მათემატიკის შესახებ, ევკლიდე, პირამიდას განსაზღვრავს, როგორც მყარ ფიგურას, რომელიც შემოიფარგლება სიბრტყეებით, რომლებიც გადადიან ერთი სიბრტყიდან ერთ წერტილამდე.

მაგრამ ეს განმარტება უკვე ძველ დროში გააკრიტიკეს. ასე რომ, ჰერონმა შემოგვთავაზა პირამიდის შემდეგი განმარტება: „ეს არის ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია ერთ წერტილში შეკრებილი სამკუთხედებით და რომლის ფუძე არის მრავალკუთხედი“.

ჩვენი ჯგუფი, ამ განმარტებების შედარების შემდეგ, მივიდა დასკვნამდე, რომ მათ არ აქვთ „ფონდის“ ცნების მკაფიო ფორმულირება.

ჩვენ გამოვიკვლიეთ ეს განმარტებები და ვიპოვნეთ ადრიენ მარი ლეჟანდრის განმარტება, რომელიც 1794 წელს თავის ნაშრომში „გეომეტრიის ელემენტები“ პირამიდას ასე განმარტავს: „პირამიდა არის მყარი ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთ წერტილში შეკრებილი სამკუთხედებით და მთავრდება სხვადასხვა მხარეს. ბრტყელი ბაზა. ”

როგორც ჩანს, ბოლო განმარტება იძლევა პირამიდის ნათელ წარმოდგენას, რადგან ის საუბრობს იმაზე, რომ ბაზა ბრტყელია. პირამიდის კიდევ ერთი განმარტება გამოჩნდა მე-19 საუკუნის სახელმძღვანელოში: „პირამიდა არის სიბრტყით გადაკვეთილი მყარი კუთხე“.

პირამიდა, როგორც გეომეტრიული სხეული.

რომ. პირამიდა არის მრავალკუთხედი, რომლის ერთი სახე (ფუძე) არის მრავალკუთხედი, დარჩენილი სახეები (გვერდები) არის სამკუთხედები, რომლებსაც აქვთ ერთი საერთო წვერო (პირამიდის წვერო).

პირამიდის ზემოდან ფუძის სიბრტყემდე გამოყვანილ პერპენდიკულარს ეწოდება სიმაღლეთპირამიდები.

თვითნებური პირამიდის გარდა, არსებობს სწორი პირამიდარომლის ძირში არის რეგულარული მრავალკუთხედი და შეკვეცილი პირამიდა.

ფიგურაში არის პირამიდა PABCD, ABCD არის მისი საფუძველი, PO არის მისი სიმაღლე.

მთლიანი ზედაპირის ფართობი პირამიდა არის მისი ყველა სახის ფართობის ჯამი.

Sfull = Sside + Smain,სად მხარე– გვერდითი სახეების ფართობების ჯამი.

პირამიდის მოცულობა ნაპოვნია ფორმულით:

V=1/3Sbas. თ, სადაც სბას. - ბაზის ფართობი, თ- სიმაღლე.

რეგულარული პირამიდის ღერძი არის სწორი ხაზი, რომელიც შეიცავს მის სიმაღლეს.
Apothem ST არის ჩვეულებრივი პირამიდის გვერდითი სახის სიმაღლე.

რეგულარული პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი გამოიხატება შემდეგნაირად: გვერდითი. =1/2P თსადაც P არის ფუძის პერიმეტრი, თ- გვერდითი სახის სიმაღლე (რეგულარული პირამიდის აპოთემა). თუ პირამიდა იკვეთება A'B'C'D' სიბრტყით, ფუძის პარალელურად, მაშინ:

1) გვერდითი ნეკნები და სიმაღლე ამ სიბრტყით იყოფა პროპორციულ ნაწილებად;

2) განივი კვეთაში მიიღება მრავალკუთხედი A’B’C’D’, ფუძის მსგავსი;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

დამსხვრეული პირამიდის ფუძეები– მსგავსი მრავალკუთხედები ABCD და A`B`C`D`, გვერდითი სახეები ტრაპეციაა.

სიმაღლეშეკვეცილი პირამიდა - მანძილი ფუძეებს შორის.

შეკვეცილი მოცულობაპირამიდა გვხვდება ფორმულით:

V=1/3 თ(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> რეგულარული შეკვეცილი პირამიდის გვერდითი ზედაპირი გამოიხატება შემდეგნაირად: გვერდი. = ½(P+P') თსადაც P და P არის ფუძის პერიმეტრი, თ- გვერდითი სახის სიმაღლე (რეგულარული დამსხვრეული პირამის აპოთემა

პირამიდის მონაკვეთები.

პირამიდის მონაკვეთები მის მწვერვალზე გამავალი თვითმფრინავებით არის სამკუთხედები.

მონაკვეთს, რომელიც გადის პირამიდის ორ არამიმდებარე გვერდითი კიდეებით, ეწოდება დიაგონალური განყოფილება.

თუ მონაკვეთი გადის გვერდითი კიდეზე და ფუძის მხარეს წერტილში, მაშინ მისი კვალი პირამიდის ფუძის სიბრტყემდე იქნება ეს მხარე.

მონაკვეთი, რომელიც გადის პირამიდის პირისპირ წერტილზე და მოცემული მონაკვეთის კვალი საბაზო სიბრტყეზე, მაშინ კონსტრუქცია უნდა განხორციელდეს შემდეგნაირად:

· იპოვონ მოცემული სახის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი და პირამიდის მონაკვეთის კვალი და დაასახელონ იგი;

· ააგეთ სწორი ხაზი, რომელიც გაივლის მოცემულ წერტილს და მიღებულ გადაკვეთის წერტილს;

· გაიმეორეთ ეს ნაბიჯები შემდეგი სახეებისთვის.

, რომელიც შეესაბამება მართკუთხა სამკუთხედის კიდურების თანაფარდობას 4:3. ფეხების ეს თანაფარდობა შეესაბამება კარგად ცნობილ მართკუთხა სამკუთხედს გვერდებით 3:4:5, რომელსაც უწოდებენ "სრულყოფილ", "წმინდა" ან "ეგვიპტურ" სამკუთხედს. ისტორიკოსების აზრით, "ეგვიპტურ" სამკუთხედს მიენიჭა ჯადოსნური მნიშვნელობა. პლუტარქე წერდა, რომ ეგვიპტელები სამყაროს ბუნებას „წმინდა“ სამკუთხედს ადარებდნენ; მათ სიმბოლურად შეადარეს ვერტიკალური ფეხი ქმარს, ფუძე ცოლს, ჰიპოტენუზა კი იმას, რაც ორივესგან იბადება.

სამკუთხედისთვის 3:4:5 ტოლობა მართალია: 32 + 42 = 52, რომელიც გამოხატავს პითაგორას თეორემას. განა ეს არ იყო ეგვიპტელ ქურუმებს სამკუთხედის 3:4:5-ზე დაფუძნებული პირამიდის აღმართვით განმტკიცება? ძნელია იპოვოთ უფრო წარმატებული მაგალითი პითაგორას თეორემის საილუსტრაციოდ, რომელიც ეგვიპტელებისთვის ცნობილი იყო პითაგორას მიერ მის აღმოჩენამდე დიდი ხნით ადრე.

ამრიგად, ბრწყინვალე შემქმნელები ეგვიპტური პირამიდებიცდილობდნენ გაეოცებინათ შორეული შთამომავლები თავიანთი ცოდნის სიღრმით და ამას მიაღწიეს კეოპსის პირამიდის „მთავარ გეომეტრიულ იდეად“ „ოქროს“ არჩევით. მართკუთხა სამკუთხედი, ხოლო ხაფრეს პირამიდისთვის - "წმინდა" ან "ეგვიპტური" სამკუთხედი.

ძალიან ხშირად მეცნიერები თავიანთ კვლევებში იყენებენ ოქროს თანაფარდობის მქონე პირამიდების თვისებებს.

მათემატიკაში ენციკლოპედიური ლექსიკონიმოცემულია ოქროს განყოფილების შემდეგი განმარტება - ეს არის ჰარმონიული გაყოფა, დაყოფა უკიდურეს და საშუალო თანაფარდობით - AB სეგმენტის ორ ნაწილად გაყოფა ისე, რომ მისი დიდი ნაწილი AC არის საშუალო პროპორციული მთლიანი სეგმენტი AB და მისი. მცირე ნაწილი NE.

სეგმენტის ოქროს მონაკვეთის ალგებრული განსაზღვრა AB = აამცირებს განტოლების ამოხსნას a: x = x: (a – x), საიდანაც x დაახლოებით უდრის 0,62a-ს. x თანაფარდობა შეიძლება გამოისახოს წილადებით 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, სადაც 2, 3, 5, 8, 13, 21 ფიბონაჩის რიცხვებია.

AB სეგმენტის ოქროს მონაკვეთის გეომეტრიული კონსტრუქცია ხორციელდება შემდეგნაირად: B წერტილში აღდგენილია AB-ზე პერპენდიკულარული, მასზე ასახულია სეგმენტი BE = 1/2 AB, დაკავშირებულია A და E, DE =. BE გამორთულია და ბოლოს, AC = AD, შემდეგ თანასწორობა AB დაკმაყოფილებულია: CB = 2:3.

ოქროს რადიოხშირად გამოიყენება ხელოვნების ნიმუშებში, არქიტექტურაში და გვხვდება ბუნებაში. ნათელი მაგალითებიარის აპოლონ ბელვედერის სკულპტურა, პართენონი. პართენონის მშენებლობისას გამოყენებული იქნა შენობის სიმაღლის შეფარდება მის სიგრძესთან და ეს შეფარდება 0,618-ია. ჩვენს ირგვლივ არსებულ ობიექტებს ასევე აქვთ ოქროს თანაფარდობის მაგალითები, მაგალითად, მრავალი წიგნის აკინძებს აქვთ სიგანისა და სიგრძის თანაფარდობა 0,618-თან ახლოს. მცენარის საერთო ღეროზე ფოთლების განლაგების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ ყოველ ორ წყვილ ფოთლებს შორის მესამე მდებარეობს ოქროს თანაფარდობაზე (სლაიდები). თითოეულ ჩვენგანს "ხელში" "ატარებს" ოქროს თანაფარდობა - ეს არის თითების ფალანგების თანაფარდობა.

რამდენიმე მათემატიკური პაპირუსების აღმოჩენის წყალობით, ეგვიპტოლოგებმა შეიტყვეს რაღაც ძველი ეგვიპტური გამოთვლისა და გაზომვის სისტემების შესახებ. მათში შემავალი ამოცანები წყვეტდნენ მწიგნობრები. ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი არის Rhind მათემატიკური პაპირუსი. ამ პრობლემების შესწავლით, ეგვიპტოლოგებმა გაიგეს, თუ როგორ უმკლავდებოდნენ ძველ ეგვიპტელებს წონის, სიგრძისა და მოცულობის ზომების გამოთვლისას წარმოქმნილი სხვადასხვა სიდიდეები, რომლებიც ხშირად მოიცავდა წილადებს, ასევე, როგორ ამუშავებდნენ კუთხეებს.

ძველი ეგვიპტელები იყენებდნენ კუთხეების გამოთვლის მეთოდს მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლისა და ფუძის თანაფარდობის საფუძველზე. ისინი გამოხატავდნენ ნებისმიერ კუთხეს გრადიენტის ენაზე. ფერდობის გრადიენტი გამოიხატა როგორც მთელი რიცხვის თანაფარდობა, რომელსაც ეწოდება "seced". მათემატიკაში ფარაონების ეპოქაში რიჩარდ პილინსი განმარტავს: „რეგულარული პირამიდის მიდრეკილება არის ოთხი სამკუთხა სახიდან რომელიმეს მიდრეკილება ფუძის სიბრტყეზე, რომელიც იზომება ჰორიზონტალური ერთეულების მე-n რიცხვით აწევის ვერტიკალურ ერთეულზე. . ამრიგად, გაზომვის ეს ერთეული ექვივალენტურია დახრილობის კუთხის ჩვენს თანამედროვე კოტანგენტს. მაშასადამე, ეგვიპტური სიტყვა „seced“ დაკავშირებულია ჩვენთან თანამედროვე სიტყვა"გრადიენტი"".

პირამიდების რიცხვითი გასაღები მდგომარეობს მათი სიმაღლის ფუძის თანაფარდობაში. პრაქტიკული თვალსაზრისით, ეს არის უმარტივესი გზა, რათა შეიქმნას შაბლონები, რომლებიც აუცილებელია პირამიდის მშენებლობის დროს დახრილობის სწორი კუთხის მუდმივად შესამოწმებლად.

ეგვიპტოლოგები სიამოვნებით დაგვარწმუნებენ, რომ თითოეულ ფარაონს სურდა გამოეხატა თავისი ინდივიდუალობა, აქედან გამომდინარეობს განსხვავებები თითოეული პირამიდის დახრილობის კუთხეებში. მაგრამ შეიძლება იყოს სხვა მიზეზი. შესაძლოა, მათ ყველას სურდათ განესახიერებინათ სხვადასხვა სიმბოლური ასოციაციები, რომლებიც იმალება სხვადასხვა პროპორციებში. თუმცა, ხაფრეს პირამიდის კუთხე (სამკუთხედზე დაფუძნებული (3:4:5) ჩანს რინდის მათემატიკური პაპირუსში პირამიდების მიერ წარმოდგენილ სამ ამოცანებში). ასე რომ, ეს დამოკიდებულება კარგად იყო ცნობილი ძველი ეგვიპტელებისთვის.

სამართლიანად რომ ვიყოთ ეგვიპტოლოგების მიმართ, რომლებიც ამტკიცებენ, რომ ძველ ეგვიპტელებს არ იცოდნენ 3:4:5 სამკუთხედის შესახებ, ჰიპოტენუზა 5-ის სიგრძე არასოდეს იყო ნახსენები. მაგრამ პირამიდებთან დაკავშირებული მათემატიკური ამოცანები ყოველთვის წყდება სეცედას კუთხის საფუძველზე - სიმაღლისა და ფუძის თანაფარდობა. ვინაიდან ჰიპოტენუზის სიგრძე არასოდეს იყო ნახსენები, დაასკვნეს, რომ ეგვიპტელები არასოდეს გამოთვლიდნენ მესამე მხარის სიგრძეს.

გიზას პირამიდებში გამოყენებული სიმაღლისა და ფუძის შეფარდება უდავოდ ცნობილი იყო ძველი ეგვიპტელებისთვის. შესაძლებელია, რომ თითოეული პირამიდისთვის ეს ურთიერთობები თვითნებურად იყო არჩეული. თუმცა, ეს ეწინააღმდეგება იმ მნიშვნელობას, რომელსაც ენიჭება რიცხვების სიმბოლიკა ყველა ტიპის ეგვიპტურში ვიზუალური ხელოვნება. ძალიან სავარაუდოა, რომ ასეთი ურთიერთობები მნიშვნელოვანი იყო, რადგან ისინი გამოხატავდნენ კონკრეტულ რელიგიურ იდეებს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გიზას მთელი კომპლექსი ექვემდებარებოდა თანმიმდევრულ დიზაინს, რომელიც შექმნილია გარკვეული ღვთაებრივი თემის ასახვაზე. ამით აიხსნება, თუ რატომ აირჩიეს დიზაინერებმა სამი პირამიდის სხვადასხვა კუთხე.

„ორიონის საიდუმლოში“ ბავვალმა და გილბერტმა წარმოადგინეს დამაჯერებელი მტკიცებულება, რომელიც აკავშირებს გიზას პირამიდებს თანავარსკვლავედის ორიონთან, განსაკუთრებით ორიონის სარტყლის ვარსკვლავებთან. იგივე თანავარსკვლავედი არის ისისისა და ოსირისის მითში და არსებობს საფუძველი, რომ თითოეული პირამიდა განიხილებოდეს როგორც სამი ძირითადი ღვთაებიდან ერთ-ერთის - ოსირისის, ისისისა და ჰორუსის წარმოდგენა.

"გეომეტრიული" სასწაულები.

ეგვიპტის გრანდიოზულ პირამიდებს შორის განსაკუთრებული ადგილიიღებს ფარაონ კეოფსის დიდი პირამიდა (ხუფუ). სანამ კეოპსის პირამიდის ფორმისა და ზომის ანალიზს დავიწყებთ, უნდა გავიხსენოთ ზომების რა სისტემას იყენებდნენ ეგვიპტელები. ეგვიპტელებს სიგრძის სამი ერთეული ჰქონდათ: „კუბიტი“ (466 მმ), რომელიც უდრის შვიდ „პალმს“ (66,5 მმ), რაც, თავის მხრივ, ოთხ „თითს“ (16,6 მმ) უდრიდა.

მოდით გავაანალიზოთ კეოპსის პირამიდის ზომები (ნახ. 2), უკრაინელი მეცნიერის ნიკოლაი ვასიუტინსკის შესანიშნავ წიგნში „ოქროს პროპორცია“ (1990) მოცემული არგუმენტების შემდეგ.

მკვლევართა უმეტესობა თანხმდება, რომ პირამიდის ფუძის გვერდის სიგრძე, მაგალითად, გფტოლია ლ= 233.16 მ. ეს მნიშვნელობა თითქმის ზუსტად შეესაბამება 500 "მუხლებს". 500 „იდაყვის“ სრული შესაბამისობა მოხდება, თუ „იდაყვის“ სიგრძე ჩაითვლება 0,4663 მ-ის ტოლი.

პირამიდის სიმაღლე ( ჰ) მკვლევარების მიერ სხვადასხვანაირად არის შეფასებული 146,6-დან 148,2 მ-მდე და პირამიდის მიღებული სიმაღლედან გამომდინარე, იცვლება მისი გეომეტრიული ელემენტების ყველა ურთიერთობა. რა არის პირამიდის სიმაღლის შეფასებებში განსხვავებების მიზეზი? ფაქტია, რომ, მკაცრად რომ ვთქვათ, კეოპსის პირამიდა შეკვეცილია. მისი ზედა პლატფორმა დღეს არის დაახლოებით 10'10 მ, მაგრამ ერთი საუკუნის წინ ის იყო 6'6 მ. ცხადია, პირამიდის მწვერვალი დაიშალა და ის არ შეესაბამება თავდაპირველს.

პირამიდის სიმაღლის შეფასებისას აუცილებელია ამის გათვალისწინება ფიზიკური ფაქტორი, როგორც სტრუქტურის „პროექტი“. უკან დიდი დროკოლოსალური წნევის გავლენის ქვეშ (ქვედა ზედაპირის 1 მ2-ზე 500 ტონას აღწევს), პირამიდის სიმაღლე შემცირდა თავდაპირველ სიმაღლესთან შედარებით.

რა იყო პირამიდის საწყისი სიმაღლე? ამ სიმაღლის აღდგენა შესაძლებელია პირამიდის ძირითადი „გეომეტრიული იდეის“ მოძიებით.

სურათი 2.

1837 წელს ინგლისელმა პოლკოვნიკმა გ.უაიზმა გაზომა პირამიდის სახეების დახრილობის კუთხე: ის ტოლი აღმოჩნდა. ა= 51°51". ეს მნიშვნელობა დღესაც აღიარებულია მკვლევართა უმეტესობის მიერ. მითითებული კუთხის მნიშვნელობა შეესაბამება ტანგენტს (tg ა), უდრის 1.27306. ეს მნიშვნელობა შეესაბამება პირამიდის სიმაღლის თანაფარდობას ACმისი ბაზის ნახევარზე C.B.(ნახ.2), ანუ A.C. / C.B. = ჰ / (ლ / 2) = 2ჰ / ლ.

და აქ მკვლევარებს დიდი სიურპრიზი ელოდნენ!.png" width="25" height="24">= 1.272. ამ მნიშვნელობის შედარება tg მნიშვნელობასთან ა= 1.27306, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს მნიშვნელობები ძალიან ახლოს არის ერთმანეთთან. თუ ავიღებთ კუთხეს ა= 51°50", ანუ შეამცირეთ ის მხოლოდ ერთი რკალის წუთით, შემდეგ კი მნიშვნელობა აგახდება 1.272-ის ტოლი, ანუ დაემთხვევა მნიშვნელობას. უნდა აღინიშნოს, რომ 1840 წელს გ. უაიზმა გაიმეორა მისი გაზომვები და განმარტა, რომ კუთხის მნიშვნელობა ა=51°50"

ამ გაზომვებმა მკვლევარები მიიყვანა შემდეგ ძალიან საინტერესო ჰიპოთეზამდე: ქეოპსის პირამიდის სამკუთხედი ACB დაფუძნებული იყო AC მიმართებაში / C.B. = = 1,272!

ახლა განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABC, რომელშიც ფეხების თანაფარდობა A.C. / C.B.= (ნახ. 2). თუ ახლა მართკუთხედის გვერდების სიგრძეები ABCდანიშნოს მიერ x, წ, ზ, და ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თანაფარდობა წ/x= , შემდეგ პითაგორას თეორემის შესაბამისად სიგრძე ზშეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

თუ მივიღებთ x = 1, წ= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

სურათი 3."ოქროს" მართკუთხა სამკუთხედი.

მართკუთხა სამკუთხედი, რომელშიც გვერდები დაკავშირებულია როგორც ტ:ოქროსფერი" მართკუთხა სამკუთხედი.

მაშინ, თუ საფუძვლად ავიღებთ ჰიპოთეზას, რომ კეოპსის პირამიდის მთავარი „გეომეტრიული იდეა“ არის „ოქროს“ მართკუთხა სამკუთხედი, მაშინ აქედან ადვილად შეგვიძლია გამოვთვალოთ კეოპსის პირამიდის „დიზაინის“ სიმაღლე. ის უდრის:

H = (L/2) ´ = 148,28 მ.

ახლა მოდით გამოვიტანოთ კეოპსის პირამიდის რამდენიმე სხვა მიმართება, რომელიც გამომდინარეობს "ოქროს" ჰიპოთეზიდან. კერძოდ, ჩვენ ვიპოვით პირამიდის გარე ფართობის თანაფარდობას მისი ფუძის ფართობთან. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ ფეხის სიგრძეს C.B.ერთეულზე, ანუ: C.B.= 1. მაგრამ შემდეგ პირამიდის ფუძის გვერდის სიგრძე გფ= 2 და ბაზის ფართობი EFGHთანაბარი იქნება SEFGH = 4.

ახლა გამოვთვალოთ კეოპსის პირამიდის გვერდითი სახის ფართობი SD. სიმაღლიდან გამომდინარე ABსამკუთხედი AEFტოლია ტ, მაშინ გვერდითი სახის ფართობი ტოლი იქნება SD = ტ. მაშინ პირამიდის ოთხივე გვერდითი სახის საერთო ფართობი 4-ის ტოლი იქნება ტდა პირამიდის მთლიანი გარე ფართობის თანაფარდობა ფუძის ფართობთან იქნება ოქროს თანაფარდობის ტოლი! სწორედ ეს არის - კეოპსის პირამიდის მთავარი გეომეტრიული საიდუმლო!

კეოპსის პირამიდის "გეომეტრიული სასწაულების" ჯგუფი მოიცავს პირამიდის სხვადასხვა განზომილებებს შორის ურთიერთობის რეალურ და შორეულ თვისებებს.

როგორც წესი, ისინი მიიღება გარკვეული „მუდმივების“ ძიებაში, კერძოდ, რიცხვის „პი“ (ლუდოლფოს რიცხვი), უდრის 3,14159...; საფუძველი ბუნებრივი ლოგარითმები„ე“ (ნეპერის რიცხვი), უდრის 2,71828...; რიცხვი „F“, „ოქროს მონაკვეთის“ რიცხვი, ტოლია, მაგალითად, 0,618... და ა.შ.

შეგიძლიათ დაასახელოთ, მაგალითად: 1) ჰეროდოტეს საკუთრება: (სიმაღლე)2 = 0,5 ხელოვნება. ძირითადი x აპოთემა; 2) V-ის საკუთრება ფასი: სიმაღლე: 0,5 სახ. ბაზა = "F"-ის კვადრატული ფესვი; 3) M. Eist-ის საკუთრება: ფუძის პერიმეტრი: 2 სიმაღლე = „პი“; განსხვავებული ინტერპრეტაციით - 2 ს.კ. ძირითადი : სიმაღლე = „პი“; 4) გ-ის საკუთრება: შემოხაზული წრის რადიუსი: 0,5 მტ. ძირითადი = "F"; 5) K. Kleppisch-ის საკუთრება: (მუხ. მთავარი.)2: 2(ხელ. მთავარი. x აპოთემა) = (ხელ. მთავარი. ვ. აპოთემა) = 2(ხელ. მთავარი. x აპოთემა) : ((2 მუხ. .ბაზა X აპოთემა) + (ხელტ.ბაზა)2). და ა.შ. თქვენ შეგიძლიათ მრავალი ასეთი თვისება მოიფიქროთ, განსაკუთრებით თუ დააკავშირებთ ორ მიმდებარე პირამიდას. მაგალითად, როგორც „ა.არეფიევის თვისებები“ შეიძლება აღინიშნოს, რომ კეოფსის პირამიდისა და ხაფრეს პირამიდის მოცულობებში განსხვავება ორჯერ უდრის მიკერინის პირამიდის მოცულობას...

ბევრი საინტერესო დებულებებიკერძოდ, პირამიდების აგება „ოქროს თანაფარდობის“ მიხედვით აღწერილია დ.ჰამბიჯის წიგნებში „დინამიური სიმეტრია არქიტექტურაში“ და მ.გიკი „პროპორციების ესთეტიკა ბუნებასა და ხელოვნებაში“. შეგახსენებთ, რომ „ოქროს კვეთა“ არის სეგმენტის დაყოფა ისეთ თანაფარდობაში, რომ A ნაწილი იმდენჯერ მეტია B ნაწილზე, რამდენჯერ A არის პატარა მთელ სეგმენტზე A + B. შეფარდება A/B. უდრის რიცხვს „F“ == 1.618... „ოქროს თანაფარდობის“ გამოყენება მითითებულია არა მხოლოდ ცალკეულ პირამიდებში, არამედ გიზას პირამიდების მთელ კომპლექსში.

თუმცა, ყველაზე საინტერესო ის არის, რომ ერთი და იგივე კეოპსის პირამიდა უბრალოდ „არ შეიძლება“ შეიცავდეს ამდენ შესანიშნავ თვისებას. გარკვეული ქონების სათითაოდ აღებისას შეიძლება მისი „მორგება“, მაგრამ ყველა ერთდროულად არ ჯდება - არ ემთხვევა ერთმანეთს, ეწინააღმდეგება ერთმანეთს. ამიტომ, თუ, მაგალითად, ყველა თვისების შემოწმებისას, თავდაპირველად პირამიდის ფუძის ერთსა და იმავე მხარეს ავიღებთ (233 მ), მაშინ განსხვავებული თვისებების მქონე პირამიდების სიმაღლეც იქნება განსხვავებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არსებობს პირამიდების გარკვეული „ოჯახი“, რომლებიც გარეგნულად ქეოპსის მსგავსია, მაგრამ შეესაბამება სხვადასხვა თვისებები. გაითვალისწინეთ, რომ არაფერია განსაკუთრებული სასწაული "გეომეტრიულ" თვისებებში - ბევრი რამ წარმოიქმნება მხოლოდ ავტომატურად, თავად ფიგურის თვისებებიდან. "სასწაული" უნდა ჩაითვალოს მხოლოდ ის, რაც აშკარად შეუძლებელი იყო ძველი ეგვიპტელებისთვის. ეს, კერძოდ, მოიცავს "კოსმოსურ" სასწაულებს, რომლებშიც კეოპსის პირამიდის ან გიზას პირამიდის კომპლექსის გაზომვები შედარებულია ზოგიერთ ასტრონომიულ გაზომვებთან და მითითებულია "ლუწი" რიცხვები: მილიონჯერ ნაკლები, მილიარდჯერ ნაკლები და ასე შემდეგ. განვიხილოთ რამდენიმე „კოსმიური“ ურთიერთობა.

ერთ-ერთი განცხადება ასეთია: „თუ პირამიდის ფუძის გვერდს გაყოფთ წლის ზუსტ სიგრძეზე, მიიღებთ დედამიწის ღერძის ზუსტად 10 მემილიონედს“. გამოთვალეთ: გავყოთ 233 365-ზე, მივიღებთ 0,638-ს. დედამიწის რადიუსი 6378 კმ-ია.

სხვა განცხადება რეალურად წინას საპირისპიროა. ფ. ნოეტლინგმა აღნიშნა, რომ თუ გამოვიყენებთ მის მიერ გამოგონილ „ეგვიპტურ კუბიტს“, მაშინ პირამიდის გვერდი შეესატყვისება „მზის წლის ყველაზე ზუსტ ხანგრძლივობას, რომელიც გამოხატულია დღის დაახლოებით მილიარდი ნაწილით“ - 365,540. 903.777.

პ სმიტის განცხადება: „პირამიდის სიმაღლე დედამიწიდან მზემდე მანძილის ზუსტად მილიარდი ნაწილია“. მიუხედავად იმისა, რომ სიმაღლე ჩვეულებრივ აღებულია 146,6 მ, სმიტმა აიღო როგორც 148,2 მ. თანამედროვე რადარის გაზომვების მიხედვით, დედამიწის ორბიტის ნახევრად მთავარი ღერძი არის 149,597,870 + 1,6 კმ. ეს არის საშუალო მანძილი დედამიწიდან მზემდე, მაგრამ პერიჰელიონში ის 5000000 კილომეტრით ნაკლებია ვიდრე აფელიონზე.

ბოლო საინტერესო განცხადება:

„როგორ შეგვიძლია ავხსნათ, რომ კეოპსის, ხაფრეს და მიკერინუსის პირამიდების მასები ერთმანეთთან დაკავშირებულია, როგორც პლანეტების დედამიწა, ვენერა, მარსი? გამოვთვალოთ. სამი პირამიდის მასებია: ხაფრე - 0,835; ხეოპსი - 1000; მიკერინი - 0,0915. სამი პლანეტის მასების შეფარდება: ვენერა - 0,815; დედამიწა - 1000; მარსი - 0,108.

ასე რომ, მიუხედავად სკეპტიციზმისა, ჩვენ აღვნიშნავთ განცხადებების აგების ცნობილ ჰარმონიას: 1) პირამიდის სიმაღლე, როგორც „კოსმოსში მიმავალი ხაზი“, შეესაბამება დედამიწიდან მზემდე მანძილს; 2) პირამიდის ფუძის მხარე, ყველაზე ახლოს "სუბსტრატთან", ანუ დედამიწასთან, პასუხისმგებელია დედამიწის რადიუსზე და დედამიწის მიმოქცევაზე; 3) პირამიდის მოცულობები (წაკითხული - მასები) შეესაბამება დედამიწასთან ყველაზე ახლოს მყოფი პლანეტების მასების თანაფარდობას. მსგავსი „შიფრა“ შეიძლება მოიძებნოს, მაგალითად, კარლ ფონ ფრიშის მიერ გაანალიზებულ ფუტკრის ენაზე. თუმცა ამ საკითხზე კომენტარისგან ჯერჯერობით თავს შევიკავებთ.

პირამიდის ფორმა

პირამიდების ცნობილი ტეტრაედრული ფორმა მაშინვე არ წარმოიშვა. სკვითები სამარხებს აკეთებდნენ თიხის ბორცვების - ბორცვების სახით. ეგვიპტელები ააგეს ქვის „ბორცვები“ - პირამიდები. ეს პირველად მოხდა ზემო და ქვემო ეგვიპტის გაერთიანების შემდეგ, ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 28-ე საუკუნეში, როდესაც მესამე დინასტიის დამაარსებელს, ფარაონ ჯოზერს (ზოზერს) ქვეყნის ერთიანობის განმტკიცების დავალება შეექმნა.

და აქ, ისტორიკოსების აზრით, მეფის „განღმერთების ახალმა კონცეფციამ“ მნიშვნელოვანი როლი ითამაშა ცენტრალური ძალაუფლების განმტკიცებაში. მიუხედავად იმისა, რომ სამეფო სამარხები გამოირჩეოდა უფრო დიდი ბრწყინვალებით, ისინი, პრინციპში, არ განსხვავდებოდნენ სასამართლოს დიდებულთა საფლავებისგან; ეს იყო იგივე ნაგებობები - მასტაბა. მუმიის შემცველი სარკოფაგის მქონე კამერის ზემოთ, პატარა ქვების მართკუთხა ბორცვი იყო ჩამოსხმული, სადაც შემდეგ იყო განთავსებული დიდი ქვის ბლოკებისგან დამზადებული პატარა შენობა - "მასტაბა" (არაბულად - "სკამი"). ფარაონმა ჯოსერმა პირველი პირამიდა აღმართა მისი წინამორბედის, სანახტის მასტაბას ადგილზე. იგი საფეხურიანი იყო და წარმოადგენდა თვალსაჩინო გარდამავალ ეტაპს ერთი არქიტექტურული ფორმიდან მეორეზე, მასტაბადან პირამიდამდე.

ამ გზით ბრძენი და არქიტექტორი იმჰოტეპმა, რომელიც მოგვიანებით ჯადოქარად მიიჩნიეს და ბერძნებმა ღმერთ ასკლეპიუსთან გაიგივეს, ფარაონი "გაზარდა". თითქოს ზედიზედ ექვსი მასტაბა დაუდგეს. უფრო მეტიც, პირველ პირამიდას ეკავა 1125 x 115 მეტრი ფართობი, სავარაუდო სიმაღლე 66 მეტრი (ეგვიპტური სტანდარტების მიხედვით - 1000 „პალმა“). თავდაპირველად, არქიტექტორმა მასტაბის აშენება დაგეგმა, მაგრამ არა წაგრძელებული, არამედ გეგმით კვადრატული. მოგვიანებით ის გაფართოვდა, მაგრამ რადგან გაფართოება უფრო დაბალი იყო, ჩანდა, რომ ორი ნაბიჯი იყო.

ამ ვითარებამ არ დააკმაყოფილა არქიტექტორი და უზარმაზარი ბრტყელი მასტაბის ზედა პლატფორმაზე იმჰოტეპმა კიდევ სამი მოათავსა, თანდათან კლებულობდა ზევით. სამარხი მდებარეობდა პირამიდის ქვეშ.

ცნობილია კიდევ რამდენიმე საფეხურიანი პირამიდა, მაგრამ მოგვიანებით მშენებლები გადავიდნენ ჩვენთვის უფრო ნაცნობი ტეტრაედრული პირამიდების აგებაზე. თუმცა, რატომ არა სამკუთხა ან, ვთქვათ, რვაკუთხა? არაპირდაპირ პასუხს იძლევა ის ფაქტი, რომ თითქმის ყველა პირამიდა იდეალურად არის ორიენტირებული ოთხი კარდინალური მიმართულებით და, შესაბამისად, აქვს ოთხი მხარე. გარდა ამისა, პირამიდა იყო "სახლი", ოთხკუთხა სამარხი კამერის გარსი.

მაგრამ რამ განსაზღვრა სახეების დახრილობის კუთხე? წიგნში "პროპორციების პრინციპი" მთელი თავი ეძღვნება ამას: "რას შეეძლო დაედგინა პირამიდების დახრილობის კუთხეები". კერძოდ, მითითებულია, რომ „გამოსახულება, რომელზედაც მიზიდავს ძველი სამეფოს დიდი პირამიდები, არის სამკუთხედი, რომლის მწვერვალზე სწორი კუთხეა.

სივრცეში, ეს არის ნახევრად ოქტაედონი: პირამიდა, რომელშიც ფუძის კიდეები და მხარეები თანაბარია, სახეები - ტოლგვერდა სამკუთხედებიამ თემაზე გარკვეული მოსაზრებები მოცემულია ჰემბიჯის, გიკის და სხვათა წიგნებში.

რა უპირატესობა აქვს ნახევრად ოქტაედრონულ კუთხეს? არქეოლოგებისა და ისტორიკოსების აღწერილობების მიხედვით, ზოგიერთი პირამიდა საკუთარი სიმძიმით ჩამოინგრა. საჭირო იყო „გამძლეობის კუთხე“, ენერგიულად ყველაზე საიმედო კუთხე. წმინდა ემპირიულად, ეს კუთხე შეიძლება იქნას აღებული მწვერვალის კუთხიდან დამსხვრეული მშრალი ქვიშის გროვაში. მაგრამ ზუსტი მონაცემების მისაღებად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მოდელი. აიღეთ ოთხი მყარად დამაგრებული ბურთი, თქვენ უნდა მოათავსოთ მათზე მეხუთე და გაზომოთ დახრილობის კუთხეები. თუმცა, აქ შეგიძლიათ შეცდომა დაუშვათ, ამიტომ თეორიული გამოთვლა დაგეხმარებათ: თქვენ უნდა დააკავშიროთ ბურთების ცენტრები ხაზებით (გონებრივად). საფუძველი იქნება კვადრატი, რომლის გვერდი უდრის ორჯერ რადიუსს. კვადრატი იქნება მხოლოდ პირამიდის საფუძველი, რომლის კიდეების სიგრძე ასევე უდრის ორჯერ რადიუსს.

ამრიგად, ბურთების მჭიდრო შეფუთვა, როგორიცაა 1:4, მოგვცემს ჩვეულებრივ ნახევრად ოქტაედრონს.

თუმცა, რატომ არ ინარჩუნებს მას მსგავსი ფორმისკენ მიზიდული მრავალი პირამიდა? პირამიდები ალბათ დაბერებულია. ცნობილი გამონათქვამის საწინააღმდეგოდ:

„მსოფლიოში ყველაფერს ეშინია დროის და დროს ეშინია პირამიდების“, პირამიდების შენობები უნდა დაბერდეს, მათში შეიძლება მოხდეს და უნდა მოხდეს არა მხოლოდ გარეგანი ამინდის პროცესები, არამედ შინაგანი „შემცირების“ პროცესებიც. გამოიწვიოს პირამიდების დაბლა. შეკუმშვა ასევე შესაძლებელია, რადგან, როგორც დ. დავიდოვიცის ნაშრომიდან ირკვევა, ძველი ეგვიპტელები იყენებდნენ კირის ჩიპებისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „ბეტონისგან“ ბლოკების დამზადების ტექნოლოგიას. ზუსტად მსგავსმა პროცესებმა შეიძლება აიხსნას კაიროს სამხრეთით 50 კმ-ში მდებარე საშუალო პირამიდის განადგურების მიზეზი. ის 4600 წლისაა, ძირის ზომებია 146 x 146 მ, სიმაღლე 118 მ. „რატომ არის ასე დამახინჯებული?“ კითხულობს ვ.ზამაროვსკი, „ჩვეული ცნობები დროის დესტრუქციულ ეფექტებზე და „ქვის სხვა შენობებისთვის გამოყენებაზე“ აქ არ არის შესაფერისი.

ბოლოს და ბოლოს, მისი ბლოკებისა და მოსაპირკეთებელი ფილების უმეტესობა დღემდე შემორჩენილია, მის ძირში ნანგრევებში.“ როგორც დავინახავთ, რიგი დებულებები გვაფიქრებინებს, რომ კეოპსის ცნობილი პირამიდაც „დაიჭედა“. ნებისმიერ შემთხვევაში, ყველა უძველეს სურათზე პირამიდები ხაზგასმულია ...

პირამიდების ფორმა ასევე შეიძლებოდა წარმოქმნილიყო იმიტაციით: ზოგიერთი ბუნებრივი ნიმუში, "სასწაული სრულყოფილება", ვთქვათ, ზოგიერთი კრისტალები რვაადარის სახით.

მსგავსი კრისტალები შეიძლება იყოს ალმასის და ოქროს კრისტალები. დამახასიათებელი დიდი რიცხვი"გადახურვის" ნიშნები ისეთი ცნებებისთვის, როგორიცაა ფარაონი, მზე, ოქრო, ბრილიანტი. ყველგან - კეთილშობილი, ბრწყინვალე (ბრწყინვალე), დიდებული, უნაკლო და ა.შ. მსგავსება შემთხვევითი არ არის.

მზის კულტი, როგორც ცნობილია, რელიგიის მნიშვნელოვანი ნაწილი იყო Უძველესი ეგვიპტე. „როგორც არ უნდა ვთარგმნოთ ყველაზე დიდი პირამიდების სახელს“, - აღნიშნავს ერთ-ერთი თანამედროვე სახელმძღვანელო, „ხუფუს ცა“ ან „ხუფუს ცაში“, ეს ნიშნავს, რომ მეფე მზეა. თუ ხუფუმ თავისი ძალაუფლების ბრწყინვალებით თავი მეორე მზედ წარმოიდგინა, მაშინ მისი ვაჟი ჯედეფ-რა გახდა ეგვიპტის მეფეებიდან პირველი, ვინც საკუთარ თავს "რას ძე", ანუ მზის ძე უწოდა. თითქმის ყველა ხალხში მზე სიმბოლური იყო "მზის მეტალით", ოქროთი. "ნათელი ოქროს დიდი დისკი" - ასე უწოდეს ეგვიპტელები ჩვენს დღის სინათლეს. ეგვიპტელებმა მშვენივრად იცოდნენ ოქრო, მათ იცოდნენ მისი მშობლიური ფორმები, სადაც ოქროს კრისტალები შეიძლება გამოჩნდნენ რვაადრეების სახით.

"მზის ქვა" - ბრილიანტი - ასევე საინტერესოა აქ, როგორც "ფორმების ნიმუში". ალმასის სახელი მოვიდა ზუსტად არაბული სამყაროდან, "ალმასი" - ყველაზე რთული, ყველაზე მყარი, ურღვევი. ძველმა ეგვიპტელებმა საკმაოდ კარგად იცოდნენ ალმასი და მისი თვისებები. ზოგიერთი ავტორის აზრით, ბურღვისთვის ისინი ბრინჯაოს მილებსაც კი იყენებდნენ ბრილიანტის საჭრელებით.

ამჟამად ბრილიანტის მთავარი მიმწოდებელია სამხრეთ აფრიკა, მაგრამ დასავლეთ აფრიკა ასევე მდიდარია ბრილიანტებით. მალის რესპუბლიკის ტერიტორიას "ბრილიანტის მიწასაც" უწოდებენ. იმავდროულად, სწორედ მალის ტერიტორიაზე ცხოვრობენ დოგონები, რომლებთანაც პალეოვიზიტის ჰიპოთეზის მომხრეები ბევრ იმედს ამყარებენ (იხ. ქვემოთ). ბრილიანტები არ შეიძლებოდა ყოფილიყო ძველი ეგვიპტელების ამ რეგიონთან კონტაქტების მიზეზი. თუმცა, ასე თუ ისე, შესაძლებელია, რომ სწორედ ალმასის და ოქროს კრისტალების ოქტაედრების კოპირებით, ძველმა ეგვიპტელებმა ამით განაღმერთეს ფარაონები, ალმასის მსგავსი „ურღვევი“ და ოქროვით „ბრწყინვალე“, მზის შვილები, რომლებიც მხოლოდ შესადარებელია. ბუნების ყველაზე საოცარ ქმნილებებამდე.

დასკვნა:

პირამიდის, როგორც გეომეტრიული სხეულის შესწავლისას, მისი ელემენტებისა და თვისებების გაცნობის შემდეგ, დავრწმუნდით პირამიდის ფორმის სილამაზის შესახებ მოსაზრების მართებულობაში.

ჩვენი კვლევის შედეგად მივედით დასკვნამდე, რომ ეგვიპტელებმა, შეაგროვეს ყველაზე ღირებული მათემატიკური ცოდნა, განასახიერეს იგი პირამიდაში. მაშასადამე, პირამიდა ნამდვილად არის ბუნებისა და ადამიანის ყველაზე სრულყოფილი ქმნილება.

ბიბლიოგრაფია

„გეომეტრია: სახელმძღვანელო. 7-9 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები\ და სხვა - მე-9 გამოცემა - მ.: განათლება, 1999 წ

მათემატიკის ისტორია სკოლაში, M: “Prosveshchenie”, 1982 წ.

გეომეტრია 10-11 კლასები, მ: „განმანათლებლობა“, 2000 წ

პიტერ ტომპკინსი "კეოპსის დიდი პირამიდის საიდუმლოებები", M: "ცენტროპოლიგრაფი", 2005 წ.

ინტერნეტ რესურსები

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html