Kai kurioms matematikos problemoms spręsti reikia mokėti apskaičiuoti kvadratinės šaknies reikšmę. Tokios problemos apima antros eilės lygčių sprendimą. Šiame straipsnyje mes pristatysime efektyvus metodas skaičiavimai kvadratinės šaknys ir naudokite jį dirbdami su kvadratinės lygties šaknų formulėmis.
Kas yra kvadratinė šaknis?
Matematikoje ši sąvoka atitinka simbolį √. Istoriniai duomenys rodo, kad jis pirmą kartą buvo panaudotas maždaug XVI amžiaus pirmoje pusėje Vokietijoje (pirmasis vokiškas Christopho Rudolfo darbas apie algebrą). Mokslininkai mano, kad nurodytas simbolis yra transformuotas lotyniška raidė r (radix lotyniškai reiškia „šaknis“).
Bet kurio skaičiaus šaknis yra lygi reikšmei, kurios kvadratas atitinka radikaliąją išraišką. Matematikos kalba šis apibrėžimas atrodys taip: √x = y, jei y 2 = x.
Teigiamo skaičiaus šaknis (x > 0) taip pat yra teigiamas skaičius (y > 0), bet jei imsite neigiamo skaičiaus šaknį (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Štai du paprasti pavyzdžiai:
√9 = 3, nes 3 2 = 9; √(-9) = 3i, nes i 2 = -1.
Herono kartotinė formulė kvadratinių šaknų reikšmėms rasti
Aukščiau pateikti pavyzdžiai yra labai paprasti, ir juose nėra sunku apskaičiuoti šaknis. Iškyla sunkumų ieškant šakninių verčių bet kuriai vertei, kurios negalima pavaizduoti kaip kvadratą natūralusis skaičius, pavyzdžiui, √10, √11, √12, √13, jau nekalbant apie tai, kad praktiškai reikia rasti šaknis ne sveikiesiems skaičiams: pavyzdžiui √(12,15), √(8,5) ir taip toliau.
Visais aukščiau nurodytais atvejais reikia naudoti specialų kvadratinės šaknies apskaičiavimo metodą. Šiuo metu žinomi keli tokie metodai: pavyzdžiui, Taylor serijos išplėtimas, stulpelių padalijimas ir kai kurie kiti. Iš visų žinomi metodai Bene paprasčiausia ir veiksmingiausia yra naudoti Herono kartotinę formulę, kuri dar vadinama babilonietišku kvadratinių šaknų nustatymo metodu (yra įrodymų, kad senovės babiloniečiai ją naudojo savo praktiniuose skaičiavimuose).
Tegul reikia nustatyti √x reikšmę. Kvadratinės šaknies radimo formulė yra tokia kitas vaizdas:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kur lim n->∞ (a n) => x.
Iššifruokime šį matematinį žymėjimą. Norėdami apskaičiuoti √x, turėtumėte paimti tam tikrą skaičių a 0 (jis gali būti savavališkas, bet norėdami greitai gauti rezultatą, turėtumėte jį pasirinkti taip, kad (a 0) 2 būtų kuo arčiau x. Tada pakeiskite jį į nurodytą kvadratinės šaknies apskaičiavimo formulę ir gaukite naują skaičių a 1, kuris jau bus arčiau norimos reikšmės. Po to į reiškinį reikia pakeisti 1 ir gauti 2. Šią procedūrą reikia kartoti iki reikiamos reikšmės. tikslumas gaunamas.
Herono iteracinės formulės naudojimo pavyzdys
Aukščiau aprašytas tam tikro skaičiaus kvadratinės šaknies gavimo algoritmas daugeliui gali atrodyti gana sudėtingas ir painus, tačiau iš tikrųjų viskas pasirodo daug paprasčiau, nes ši formulė labai greitai susilieja (ypač jei pasirenkamas sėkmingas skaičius 0). .
Pateiksime paprastą pavyzdį: reikia apskaičiuoti √11. Pasirinkime 0 = 3, nes 3 2 = 9, kuris yra arčiau 11 nei 4 2 = 16. Pakeitę į formulę, gauname:
a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Tęsti skaičiavimus nėra prasmės, nes nustatėme, kad 2 ir 3 pradeda skirtis tik 5 skaitmenimis po kablelio. Taigi, formulę pritaikyti pakako tik 2 kartus, kad √11 būtų apskaičiuotas 0,0001 tikslumu.
Šiais laikais šaknims skaičiuoti plačiai naudojami skaičiuotuvai ir kompiuteriai, tačiau pravartu atsiminti pažymėtą formulę, kad būtų galima rankiniu būdu apskaičiuoti tikslią jų reikšmę.
Antros eilės lygtys
Supratimas, kas yra kvadratinė šaknis, ir gebėjimas ją apskaičiuoti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis. Šios lygtys vadinamos lygybėmis su vienu nežinomuoju, kurių bendra forma parodyta paveikslėlyje žemiau.
Čia c, b ir a reiškia kai kuriuos skaičius, o a neturi būti lygus nuliui, o c ir b reikšmės gali būti visiškai savavališkos, įskaitant lygias nuliui.
Bet kokios x reikšmės, atitinkančios paveiksle nurodytą lygybę, vadinamos jo šaknimis (šios sąvokos nereikėtų painioti su kvadratine šaknimi √). Kadangi nagrinėjama lygtis yra antros eilės (x 2), tada jos šaknys negali būti daugiau nei dvi. Pažiūrėkime toliau straipsnyje, kaip rasti šias šaknis.
Kvadratinės lygties (formulės) šaknų radimas
Šis nagrinėjamo tipo lygybių sprendimo būdas dar vadinamas universaliuoju, arba diskriminaciniu metodu. Jis gali būti naudojamas bet kokioms kvadratinėms lygtims. Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė yra tokia:
Tai rodo, kad šaknys priklauso nuo kiekvieno iš trijų lygties koeficientų vertės. Be to, x 1 apskaičiavimas nuo x 2 skaičiavimo skiriasi tik ženklu prieš kvadratinę šaknį. Radikali išraiška, lygi b 2 - 4ac, yra ne kas kita, kaip nagrinėjamos lygybės diskriminantas. Kvadratinės lygties šaknų formulėje esantis diskriminantas vaidina svarbų vaidmenį, nes jis lemia sprendinių skaičių ir tipą. Taigi, jei jis lygus nuliui, bus tik vienas sprendinys, jei jis teigiamas, tai lygtis turi dvi realias šaknis ir galiausiai neigiamas diskriminantas veda į dvi kompleksines šaknis x 1 ir x 2.
Vietos teorema arba kai kurios antros eilės lygčių šaknų savybės
XVI amžiaus pabaigoje vienas iš šiuolaikinės algebros pradininkų, prancūzas, studijuodamas antros eilės lygtis, sugebėjo gauti jos šaknų savybes. Matematiškai juos galima parašyti taip:
x 1 + x 2 = -b / a ir x 1 * x 2 = c / a.
Abi lygybes gali lengvai gauti bet kas, tam tereikia atlikti atitinkamus matematinius veiksmus su šaknimis, gautomis per formulę su diskriminantu.
Šių dviejų išraiškų derinį galima pagrįstai vadinti antrąja kvadratinės lygties šaknų formule, kuri leidžia atspėti jos sprendinius nenaudojant diskriminanto. Čia reikia pažymėti, kad nors abi išraiškos visada galioja, jas patogu naudoti sprendžiant lygtį tik tuo atveju, jei ją galima koeficientuoti.
Užduotis įtvirtinti įgytas žinias
Išspręskime matematinę problemą, kurioje parodysime visus straipsnyje aptartus metodus. Problemos sąlygos yra tokios: reikia rasti du skaičius, kurių sandauga yra -13, o suma yra 4.
Ši sąlyga iš karto primena Vietos teoremą; naudodami kvadratinių šaknų ir jų sandaugos sumos formules rašome:
x 1 + x 2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c / a = -13.
Jei darysime prielaidą, kad a = 1, tai b = -4 ir c = -13. Šie koeficientai leidžia sukurti antros eilės lygtį:
x 2 - 4x - 13 = 0.
Naudokime formulę su diskriminantu ir gaukime šias šaknis:
x 1,2 = (4 ± √D) / 2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Tai yra, problema buvo sumažinta iki skaičiaus √68 radimo. Atkreipkite dėmesį, kad 68 = 4 * 17, tada, naudodami kvadratinės šaknies savybę, gauname: √68 = 2√17.
Dabar naudokime nagrinėjamą kvadratinės šaknies formulę: a 0 = 4, tada:
a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
Nereikia skaičiuoti 3, nes rastos reikšmės skiriasi tik 0,02. Taigi, √68 = 8,246. Pakeitę jį į formulę x 1,2, gauname:
x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 ir x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.
Kaip matome, rastų skaičių suma tikrai lygi 4, bet jei rasime jų sandaugą, tai bus lygi -12.999, o tai uždavinio sąlygas tenkina 0.001 tikslumu.
Mes ir toliau studijuojame temą " sprendžiant lygtis“ Mes jau susipažinome su tiesinėmis lygtimis ir pereiname prie pažinties kvadratines lygtis.
Pirmiausia pažiūrėsime, kas yra kvadratinė lygtis, kaip ji rašoma bendra forma ir pateiksime susijusius apibrėžimus. Po to mes naudosime pavyzdžius, norėdami išsamiai išnagrinėti, kaip sprendžiamos neišsamios kvadratinės lygtys. Toliau pereisime prie pilnųjų lygčių sprendimo, gausime šaknies formulę, susipažinsime su kvadratinės lygties diskriminantu ir apsvarstysime tipinių pavyzdžių sprendimus. Galiausiai atsekime ryšius tarp šaknų ir koeficientų.
Puslapio naršymas.
Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšys
Pirmiausia turite aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl logiška pradėti pokalbį apie kvadratines lygtis kvadratinės lygties apibrėžimu, taip pat su jais susijusiais apibrėžimais. Po to galite apsvarstyti pagrindinius kvadratinių lygčių tipus: redukuotas ir neredukuotas, taip pat pilnas ir nepilnas lygtis.
Kvadratinių lygčių apibrėžimas ir pavyzdžiai
Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis yra formos lygtis a x 2 +b x+c=0, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai, o a yra ne nulis.
Iš karto pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtimis. Taip yra dėl to, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.
Pateiktas apibrėžimas leidžia pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ir t.t. Tai yra kvadratinės lygtys.
Apibrėžimas.
Skaičiai a, b ir c vadinami kvadratinės lygties koeficientai a·x 2 +b·x+c=0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba didžiausiu, arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas, arba koeficientas x, o c yra laisvasis narys .
Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį, kurios forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, čia pirmaujantis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas lygus −2, o laisvasis narys lygus −3. Atkreipkite dėmesį, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, kaip ką tik pateiktame pavyzdyje, trumpoji kvadratinės lygties forma yra 5 x 2 −2 x −3=0, o ne 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .
Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) b yra lygūs 1 arba -1, jie paprastai nėra aiškiai išreikšti kvadratinėje lygtyje, o tai yra dėl tokio rašymo ypatumų. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 −y+3=0 pirmaujantis koeficientas yra vienas, o y koeficientas lygus −1.
Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys
Priklausomai nuo pirmaujančio koeficiento reikšmės, skiriamos redukuotos ir neredukuotos kvadratinės lygtys. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.
Apibrėžimas.
Vadinama kvadratinė lygtis, kurios pirmaujantis koeficientas yra 1 duota kvadratinė lygtis. Priešingu atveju kvadratinė lygtis yra nepaliestas.
Pagal šis apibrėžimas, kvadratinės lygtys x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 ir kt. – duota, kiekviename iš jų pirmasis koeficientas lygus vienetui. A 5 x 2 −x−1=0 ir kt. - neredukuotos kvadratinės lygtys, kurių pirmaujantys koeficientai skiriasi nuo 1.
Iš bet kurios nesumažintos kvadratinės lygties, padalijus abi puses iš pirmaujančio koeficiento, galite pereiti prie redukuotos. Šis veiksmas yra lygiavertė transformacija, tai yra, tokiu būdu gauta sumažinta kvadratinė lygtis turi tas pačias šaknis kaip ir pradinė neredukuota kvadratinė lygtis, arba, kaip ji, neturi šaknų.
Pažiūrėkime į pavyzdį, kaip atliekamas perėjimas iš neredukuotos kvadratinės lygties į redukuotą.
Pavyzdys.
Iš lygties 3 x 2 +12 x−7=0 pereikite prie atitinkamos sumažintos kvadratinės lygties.
Sprendimas.
Mums tereikia padalyti abi pradinės lygties puses iš pirmaujančio koeficiento 3, jis yra ne nulis, kad galėtume atlikti šį veiksmą. Turime (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kuris yra tas pats, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0, o tada (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, iš kur . Taip gavome redukuotą kvadratinę lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei.
Atsakymas:
Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys
Kvadratinės lygties apibrėžime yra sąlyga a≠0. Ši sąlyga būtina, kad lygtis a x 2 + b x + c = 0 būtų kvadratinė, nes kai a = 0 ji iš tikrųjų tampa b x + c = 0 formos tiesine lygtimi.
Kalbant apie koeficientus b ir c, jie gali būti lygūs nuliui tiek atskirai, tiek kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama nepilna.
Apibrėžimas.
Vadinama kvadratine lygtimi a x 2 +b x+c=0 Nebaigtas, jei bent vienas iš koeficientų b, c yra lygus nuliui.
Savo ruožtu
Apibrėžimas.
Pilna kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje visi koeficientai skiriasi nuo nulio.
Tokie vardai buvo suteikti neatsitiktinai. Tai paaiškės iš tolesnių diskusijų.
Jei koeficientas b lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis įgauna formą a·x 2 +0·x+c=0 ir yra lygiavertė lygčiai a·x 2 +c=0. Jei c=0, tai yra, kvadratinė lygtis turi formą a·x 2 +b·x+0=0, tada ją galima perrašyti kaip a·x 2 +b·x=0. O su b=0 ir c=0 gauname kvadratinę lygtį a·x 2 =0. Gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų. Iš čia ir kilo jų pavadinimas – nepilnos kvadratinės lygtys.
Taigi lygtys x 2 +x+1=0 ir −2 x 2 −5 x+0.2=0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai, o x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.
Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas
Iš ankstesnėje pastraipoje pateiktos informacijos matyti, kad yra trijų tipų nepilnos kvadratinės lygtys:
- a·x 2 =0, jį atitinka koeficientai b=0 ir c=0;
- ax2 +c=0, kai b=0;
- ir a·x 2 +b·x=0, kai c=0.
Panagrinėkime eilės tvarka, kaip sprendžiamos kiekvieno iš šių tipų nepilnos kvadratinės lygtys.
a x 2 =0
Pradėkime nuo nepilnų kvadratinių lygčių, kuriose koeficientai b ir c lygūs nuliui, tai yra a x 2 =0 formos lygtimis. Lygtis a·x 2 =0 yra lygiavertė lygčiai x 2 =0, kuri gaunama iš originalo, padalijus abi dalis iš nulinio skaičiaus a. Akivaizdu, kad lygties x 2 =0 šaknis yra lygi nuliui, nes 0 2 =0. Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama tuo, kad bet kuriam nuliniam skaičiui p galioja nelygybė p 2 >0, o tai reiškia, kad esant p≠0 lygybė p 2 =0 niekada nepasiekiama.
Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 =0 turi vieną šaknį x=0.
Kaip pavyzdį pateikiame nepilnos kvadratinės lygties −4 x 2 =0 sprendinį. Ji atitinka lygtį x 2 =0, jos vienintelė šaknis yra x=0, todėl pradinė lygtis turi vieną šaknies nulį.
Trumpas sprendimas šiuo atveju gali būti parašytas taip:
−4 x 2 =0,
x 2 = 0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos nepilnos kvadratinės lygtys, kuriose koeficientas b lygus nuliui ir c≠0, tai yra a x 2 +c=0 formos lygtys. Žinome, kad termino perkėlimas iš vienos lygties pusės į kitą su priešingas ženklas, taip pat padalijus abi lygties puses iš ne nulinio skaičiaus, gaunama lygiavertė lygtis. Todėl galime atlikti tokias lygiavertes nepilnos kvadratinės lygties a x 2 +c=0 transformacijas:
- perkelkite c į dešinę pusę, taip gaunama lygtis a x 2 =-c,
- ir padalinti abi puses iš a, gauname .
Gauta lygtis leidžia daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo a ir c reikšmių, išraiškos reikšmė gali būti neigiama (pavyzdžiui, jei a=1 ir c=2, tada ) arba teigiama (pavyzdžiui, jei a=–2 ir c=6, tada ), jis nėra nulis , nes pagal sąlygą c≠0. Pažvelkime į atvejus atskirai.
Jei , tai lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kurio skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai , tada bet kuriam skaičiui p lygybė negali būti teisinga.
Jei , tada situacija su lygties šaknimis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisiminsime apie , tada lygties šaknis iš karto tampa akivaizdi; tai yra skaičius, nes . Nesunku atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, iš tikrųjų . Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurias galima parodyti, pavyzdžiui, prieštaravimu. Padarykime tai.
Ką tik paskelbtos lygties šaknis pažymėkime x 1 ir −x 1 . Tarkime, kad lygtis turi dar vieną šaknį x 2, kuri skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir −x 1. Yra žinoma, kad jos šaknis pakeitus lygtimi, o ne x, lygtis paverčiama teisinga skaitine lygybe. Jei x 1 ir −x 1 turime , o x 2 turime . Skaičių lygybių savybės leidžia atlikti teisingų skaitinių lygčių etapo atėmimą, todėl atėmus atitinkamas lygybių dalis gaunama x 1 2 −x 2 2 =0. Veiksmų su skaičiais savybės leidžia gautą lygybę perrašyti į (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Žinome, kad dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš jų yra lygus nuliui. Todėl iš gautos lygybės išplaukia, kad x 1 −x 2 =0 ir (arba) x 1 +x 2 =0, kuris yra tas pats, x 2 =x 1 ir (arba) x 2 = −x 1. Taigi mes priėjome prie prieštaravimo, nes pradžioje sakėme, kad lygties x 2 šaknis skiriasi nuo x 1 ir −x 1. Tai įrodo, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus ir .
Apibendrinkime šioje pastraipoje pateiktą informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 +c=0 yra lygiavertė lygčiai, kuri
- neturi šaknų, jei
- turi dvi šaknis ir , jei .
Panagrinėkime a·x 2 +c=0 formos nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.
Pradėkime nuo kvadratinės lygties 9 x 2 +7=0. Perkėlus laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, jis įgis formą 9 x 2 =−7. Padalinę abi gautos lygties puses iš 9, gauname . Kadangi dešinėje pusėje pasirodė neigiamas skaičius, tada ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 +7=0 neturi šaknų.
Išspręskime dar vieną nepilną kvadratinę lygtį −x 2 +9=0. Devynetuką perkeliame į dešinę pusę: −x 2 =−9. Dabar padalijame abi puses iš −1, gauname x 2 =9. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio darome išvadą, kad arba . Tada užrašome galutinį atsakymą: nepilna kvadratinė lygtis −x 2 +9=0 turi dvi šaknis x=3 arba x=−3.
a x 2 +b x=0
Belieka išspręsti paskutinio tipo nepilnų kvadratinių lygčių, kai c=0, sprendimą. Neišsamios kvadratinės lygtys, kurių forma yra a x 2 + b x = 0, leidžia išspręsti faktorizavimo metodas. Akivaizdu, kad galime, esantys kairėje lygties pusėje, kuriai pakanka iš skliaustų išimti bendrą koeficientą x. Tai leidžia pereiti nuo pradinės nepilnos kvadratinės lygties prie lygiavertės x·(a·x+b)=0 formos lygties. Ir ši lygtis yra lygiavertė aibei dviejų lygčių x=0 ir a·x+b=0, iš kurių pastaroji yra tiesinė ir turi šaknį x=-b/a.
Taigi nepilna kvadratinė lygtis a·x 2 +b·x=0 turi dvi šaknis x=0 ir x=−b/a.
Norėdami konsoliduoti medžiagą, išanalizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.
Pavyzdys.
Išspręskite lygtį.
Sprendimas.
Išėmus x iš skliaustų gaunama lygtis . Tai lygi dviem lygtims x=0 ir . Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį: , ir mišrų skaičių padaliname iš bendroji trupmena, mes randame . Todėl pradinės lygties šaknys yra x=0 ir .
Įgijus reikiamą praktiką, galima trumpai parašyti tokių lygčių sprendinius:
Atsakymas:
x=0 , .
Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė
Norėdami išspręsti kvadratines lygtis, yra šaknies formulė. Užsirašykime kvadratinės lygties šaknų formulė:, kur D=b 2 −4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas. Įrašas iš esmės reiškia, kad .
Naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknies formulė ir kaip ji naudojama ieškant kvadratinių lygčių šaknų. Išsiaiškinkime tai.
Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas
Išspręskime kvadratinę lygtį a·x 2 +b·x+c=0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:
- Abi šios lygties puses galime padalyti iš ne nulinio skaičiaus a, todėl gaunama tokia kvadratinė lygtis.
- Dabar pasirinkite visą kvadratą jo kairėje pusėje: . Po to lygtis įgis formą .
- Šiame etape paskutinius du terminus galima perkelti į dešinę su priešingu ženklu, turime .
- Taip pat pakeiskime išraišką dešinėje pusėje: .
Dėl to gauname lygtį, kuri yra lygiavertė pradinei kvadratinei lygčiai a·x 2 +b·x+c=0.
Analogiškos formos lygtis jau išsprendėme ankstesnėse pastraipose, kai nagrinėjome. Tai leidžia jums padaryti tokias išvadas apie lygties šaknis:
- jei , tai lygtis neturi realių sprendinių;
- jei , tada lygtis turi formą , todėl , Iš kurios matoma tik jos šaknis;
- jei , tada arba , kuris yra tas pats kaip arba , Tai yra, lygtis turi dvi šaknis.
Taigi lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, taigi ir pradinė kvadratinė lygtis, priklauso nuo išraiškos ženklo dešinėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklą lemia skaitiklio ženklas, nes vardiklis 4·a 2 visada yra teigiamas, tai yra išraiškos b 2 −4·a·c ženklas. Ši išraiška b 2 −4 a c buvo vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ir nurodytas laišku D. Iš čia aiški diskriminanto esmė – pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turi realias šaknis, o jei taip, koks jų skaičius – vienas ar du.
Grįžkime prie lygties ir perrašykime ją diskriminaciniu žymėjimu: . Ir mes darome išvadas:
- jei D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- jei D=0, tai ši lygtis turi vieną šaknį;
- galiausiai, jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis arba, kurią galima perrašyti į formą arba, o išplėtus ir suvedus trupmenas į bendrą vardiklį gauname.
Taigi išvedėme kvadratinės lygties šaknų formules, jos atrodo kaip , kur diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D=b 2 −4·a·c.
Su jų pagalba, naudodami teigiamą diskriminantą, galite apskaičiuoti abi realiąsias kvadratinės lygties šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, abi formulės suteikia tą pačią šaknies reikšmę, atitinkančią unikalų kvadratinės lygties sprendimą. O naudojant neigiamą diskriminantą, bandydami panaudoti kvadratinės lygties šaknų formulę, susiduriame su neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimu, o tai peržengia mūsų taikymo sritį ir mokyklos mokymo programa. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturi tikrų šaknų, bet turi porą kompleksinis konjugatasšaknis, kurias galima rasti naudojant tas pačias šaknų formules, kurias gavome.
Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas
Praktiškai spręsdami kvadratines lygtis galite iš karto naudoti šaknies formulę, kad apskaičiuotumėte jų reikšmes. Bet tai labiau susiję su sudėtingų šaknų paieška.
Tačiau mokykliniame algebros kurse paprastai kalbame ne apie sudėtingas, o apie realias kvadratinės lygties šaknis. Tokiu atveju, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, patartina pirmiausia rasti diskriminantą, įsitikinti, kad jis yra neneigiamas (kitaip galime daryti išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), ir tik tada apskaičiuokite šaknų reikšmes.
Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia mums rašyti kvadratinės lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 +b x+c=0, turite:
- naudodamiesi diskriminantinės formulės D=b 2 −4·a·c, apskaičiuokite jos reikšmę;
- padaryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, jei diskriminantas yra neigiamas;
- apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę, jei D=0;
- Raskite dvi realias kvadratinės lygties šaknis naudodami šaknies formulę, jei diskriminantas yra teigiamas.
Čia tik pažymime, kad jei diskriminantas yra lygus nuliui, taip pat galite naudoti formulę; ji duos tokią pačią reikšmę kaip .
Galite pereiti prie kvadratinių lygčių sprendimo algoritmo naudojimo pavyzdžių.
Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai
Panagrinėkime trijų kvadratinių lygčių sprendinius su teigiamu, neigiamu ir nuliniu diskriminantu. Išnagrinėjus jų sprendimą, pagal analogiją bus galima išspręsti bet kurią kitą kvadratinę lygtį. Pradėkime.
Pavyzdys.
Raskite lygties x 2 šaknis +2·x−6=0.
Sprendimas.
Šiuo atveju turime tokius kvadratinės lygties koeficientus: a=1, b=2 ir c=−6. Pagal algoritmą pirmiausia reikia apskaičiuoti diskriminantą, tam pakeičiame nurodytus a, b ir c į diskriminanto formulę, turime D=b 2 –4·a·c=2 2 –4·1·(–6)=4+24=28. Kadangi 28>0, tai yra, diskriminantas yra didesnis už nulį, kvadratinė lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami šaknies formulę, gauname , čia galite supaprastinti gautas išraiškas darydami perkeliant daugiklį už šaknies ženklo po to sumažinama frakcija:
Atsakymas:
Pereikime prie kito tipinio pavyzdžio.
Pavyzdys.
Išspręskite kvadratinę lygtį −4 x 2 +28 x−49=0 .
Sprendimas.
Pradedame rasdami diskriminantą: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, kurią randame kaip , tai yra,
Atsakymas:
x=3,5.
Belieka apsvarstyti galimybę išspręsti kvadratines lygtis su neigiamu diskriminantu.
Pavyzdys.
Išspręskite lygtį 5·y 2 +6·y+2=0.
Sprendimas.
Štai kvadratinės lygties koeficientai: a=5, b=6 ir c=2. Mes pakeičiame šias reikšmes į diskriminacinę formulę, kurią turime D=b 2 –4·a·c=6 2 –4·5·2=36–40=–4. Diskriminantas yra neigiamas, todėl ši kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.
Jei reikia nurodyti sudėtingas šaknis, naudokite gerai žinoma formulė kvadratinės lygties šaknis ir atlikti operacijos su kompleksiniais skaičiais:
Atsakymas:
nėra tikrų šaknų, sudėtingos šaknys yra: .
Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad jei kvadratinės lygties diskriminantas yra neigiamas, tada mokykloje jie paprastai iš karto užrašo atsakymą, kuriame nurodo, kad nėra tikrų šaknų, o sudėtingų šaknų nerandama.
Net antrojo koeficiento šakninė formulė
Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D=b 2 −4·a·c, leidžia gauti kompaktiškesnės formos formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lyginiu x koeficientu (arba tiesiog su a koeficientas, kurio forma, pavyzdžiui, 2·n, arba 14· ln5=2·7·ln5 ). Išveskime ją.
Tarkime, reikia išspręsti kvadratinę lygtį, kurios formos a x 2 +2 n x+c=0. Raskime jo šaknis pagal mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame diskriminantą D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), tada naudojame šaknies formulę:
Išraišką n 2 −a c pažymėkime kaip D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n įgis tokią formą 
, kur D 1 =n 2 −a·c.
Nesunku pastebėti, kad D=4·D 1 arba D 1 =D/4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminanto dalis. Aišku, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas. Tai yra, ženklas D 1 taip pat yra kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.
Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu 2 · n, jums reikia
- Apskaičiuokite D 1 =n 2 −a·c ;
- Jei D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Jei D 1 =0, tada formule apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį;
- Jei D 1 >0, tada pagal formulę raskite dvi realias šaknis.
Apsvarstykite galimybę išspręsti pavyzdį naudodami šioje pastraipoje gautą šaknies formulę.
Pavyzdys.
Išspręskite kvadratinę lygtį 5 x 2 −6 x −32=0 .
Sprendimas.
Antrasis šios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2·(−3) . Tai yra, galite perrašyti pradinę kvadratinę lygtį į formą 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, čia a=5, n=-3 ir c=-32, ir apskaičiuoti ketvirtąją kvadratinės lygties dalį. diskriminuojantis: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kadangi jos reikšmė yra teigiama, lygtis turi dvi realias šaknis. Raskime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:
Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinės lygties šaknims buvo galima naudoti įprastą formulę, tačiau šiuo atveju tektų atlikti daugiau skaičiavimo darbų.
Atsakymas:
Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas
Kartais prieš pradedant skaičiuoti kvadratinės lygties šaknis naudojant formules, nepakenks užduoti klausimą: „Ar galima supaprastinti šios lygties formą? Sutikite, kad skaičiavimų požiūriu kvadratinę lygtį 11 x 2 −4 x−6=0 išspręsti bus lengviau nei 1100 x 2 −400 x−600=0.
Paprastai kvadratinės lygties formos supaprastinimas pasiekiamas padauginus arba padalijus abi puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje buvo galima supaprastinti lygtį 1100 x 2 −400 x −600=0, padalijus abi puses iš 100.
Panaši transformacija atliekama su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra . Šiuo atveju abi lygties pusės paprastai dalijamos iš absoliučių jo koeficientų verčių. Pavyzdžiui, paimkime kvadratinę lygtį 12 x 2 −42 x+48=0. absoliučios jo koeficientų reikšmės: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijus iš 6, gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 −7 x+8=0.
Ir padauginus abi kvadratinės lygties puses paprastai atsisakoma trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas pagal jo koeficientų vardiklius. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties pusės yra padaugintos iš LCM(6, 3, 1)=6, tada ji įgis paprastesnę formą x 2 +4·x−18=0.
Baigdami šį punktą pažymime, kad jie beveik visada atsikrato minuso esant didžiausiam kvadratinės lygties koeficientui, pakeisdami visų narių ženklus, o tai atitinka abiejų pusių padauginimą (arba padalijimą) iš −1. Pavyzdžiui, paprastai nuo kvadratinės lygties −2 x 2 −3 x+7=0 pereinama prie sprendinio 2 x 2 +3 x−7=0 .
Kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšys
Kvadratinės lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per jos koeficientus. Remdamiesi šaknies formule, galite gauti kitus ryšius tarp šaknų ir koeficientų.
Labiausiai žinomos ir taikomos formulės iš Vietos teoremos yra formos ir . Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pažvelgę į kvadratinės lygties 3 x 2 −7 x + 22 = 0 formą, iš karto galime pasakyti, kad jos šaknų suma lygi 7/3, o šaknų sandauga lygi 22 /3.
Naudodami jau parašytas formules, galite gauti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų jungčių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą galite išreikšti jos koeficientais: .
Bibliografija.
- Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovičius. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
“, tai yra, pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje apžvelgsime kas vadinama kvadratine lygtimi ir kaip tai išspręsti.
Kas yra kvadratinė lygtis?
Svarbu!
Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią nežinomybės laipsnį.
Jei didžiausia galia, kurioje nežinomasis, yra "2", tada turite kvadratinę lygtį.
Kvadratinių lygčių pavyzdžiai
- 5x 2 – 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Svarbu! Bendra kvadratinės lygties forma atrodo taip:
A x 2 + b x + c = 0
„a“, „b“ ir „c“ yra pateikti skaičiai.- „a“ yra pirmasis arba didžiausias koeficientas;
- „b“ yra antrasis koeficientas;
- „c“ yra nemokamas narys.
Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c = 0“ forma.
Pabandykime nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.
| Lygtis | Šansai | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = −8
Kaip išspręsti kvadratines lygtis
Skirtingai nuo tiesinių lygčių, kvadratinėms lygtims spręsti naudojamas specialus metodas. šaknų paieškos formulė.
Prisiminti!
Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:
- kvadratinę lygtį sumažinkite iki bendra išvaizda"ax 2 + bx + c = 0". Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;
- naudokite formulę šaknims:
Pažvelkime į pavyzdį, kaip naudoti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.
X 2 - 3x - 4 = 0
Lygtis „x 2 − 3x − 4 = 0“ jau redukuota į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.
Nustatykime šios lygties koeficientus „a“, „b“ ir „c“.
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
Jis gali būti naudojamas bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.
Formulėje “x 1;2 = ” radikali išraiška dažnai pakeičiama
„b 2 – 4ac“ – raidė „D“ ir vadinama diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.
Pažvelkime į kitą kvadratinės lygties pavyzdį.
x 2 + 9 + x = 7x
Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia sumažinkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Dabar galite naudoti šaknų formulę.
X 1; 2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Atsakymas: x = 3
Kartais kvadratinės lygtys neturi šaknų. Ši situacija atsiranda, kai formulės šaknyje yra neigiamas skaičius.
Tikiuosi, kad išstudijavę šį straipsnį sužinosite, kaip rasti visos kvadratinės lygties šaknis.
Naudojant diskriminantą sprendžiamos tik pilnos kvadratinės lygtys, nepilnoms kvadratinėms lygtims spręsti naudojami kiti metodai, kuriuos rasite straipsnyje „Nepilnių kvadratinių lygčių sprendimas“.
Kokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnosiomis? Tai ax 2 + b x + c = 0 formos lygtys, kur koeficientai a, b ir c nėra lygūs nuliui. Taigi, norėdami išspręsti visą kvadratinę lygtį, turime apskaičiuoti diskriminantą D.
D = b 2 – 4ac.
Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, surašysime atsakymą.
Jei diskriminantas yra neigiamas skaičius (D< 0),то корней нет.
Jei diskriminantas lygus nuliui, tai x = (-b)/2a. Kai diskriminantas yra teigiamas skaičius (D > 0),
tada x 1 = (-b - √D)/2a ir x 2 = (-b + √D)/2a.
Pavyzdžiui. Išspręskite lygtį x 2– 4x + 4 = 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Atsakymas: 2.
Išspręskite 2 lygtį x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Atsakymas: nėra šaknų.
Išspręskite 2 lygtį x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5
x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1
Atsakymas: – 3,5; 1.
Taigi įsivaizduokime pilnų kvadratinių lygčių sprendimą naudodami 1 paveiksle pateiktą diagramą.
Naudodami šias formules galite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį. Jums tiesiog reikia būti atsargiems lygtis buvo parašyta kaip standartinės formos daugianario
A x 2 + bx + c, kitaip galite padaryti klaidą. Pavyzdžiui, rašydami lygtį x + 3 + 2x 2 = 0, galite klaidingai nuspręsti, kad
a = 1, b = 3 ir c = 2. Tada
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ir tada lygtis turi dvi šaknis. Ir tai netiesa. (Žr. 2 pavyzdžio sprendimą aukščiau).
Todėl, jei lygtis parašyta ne kaip standartinės formos daugianario, pirmiausia visa kvadratinė lygtis turi būti parašyta kaip standartinės formos daugianomas (pirmas turėtų būti monomas su didžiausiu eksponentu, t. y. A x 2 , tada su mažiau – bx ir tada laisvas narys Su.
Sprendžiant sumažintą kvadratinę lygtį ir kvadratinę lygtį su lyginiu koeficientu antrajame dėme, galite naudoti kitas formules. Susipažinkime su šiomis formulėmis. Jei pilnoje kvadratinėje lygtyje antrasis narys turi lyginį koeficientą (b = 2k), tada lygtį galite išspręsti naudodami 2 paveikslo diagramoje parodytas formules.
Pilna kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei koeficientas at x 2 yra lygi vienetui ir lygtis įgauna formą x 2 + px + q = 0. Tokią lygtį galima pateikti sprendiniui arba ją galima gauti visus lygties koeficientus padalijus iš koeficiento A, stovi prie x 2 .
3 paveiksle parodyta sumažinto kvadrato sprendimo schema 
lygtys. Pažvelkime į šiame straipsnyje aptartų formulių taikymo pavyzdį.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Išspręskime šią lygtį naudodami 1 paveikslo diagramoje parodytas formules.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3
Galite pastebėti, kad x koeficientas šioje lygtyje yra lyginis skaičius, tai yra b = 6 arba b = 2k, iš kur k = 3. Tada pabandykime išspręsti lygtį naudodami D paveikslo diagramoje pateiktas formules. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3. Pastebėję, kad visi šios kvadratinės lygties koeficientai dalijasi iš 3 ir atlikę padalijimą, gauname sumažintą kvadratinę lygtį x 2 + 2x – 2 = 0 Išspręskite šią lygtį naudodami sumažintos kvadratinės formules. 
lygtys 3 pav.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Atsakymas: –1 – √3; –1 + √3.
Kaip matome, sprendžiant šią lygtį pagal įvairios formulės gavome tą patį atsakymą. Todėl gerai įsisavinę 1 paveikslo diagramoje parodytas formules, visada galėsite išspręsti bet kurią pilną kvadratinę lygtį.
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.
Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0.
Taikykime kvadratiniam trinariui ax 2 + bx + c tas pačias transformacijas, kurias atlikome § 13, kai įrodėme teoremą, kad funkcijos y = ax 2 + bx + c grafikas yra parabolė.
Mes turime
Paprastai išraiška b 2 - 4ac žymima raide D ir vadinama kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 diskriminantu (arba kvadratinio trinalio ax + bx + c diskriminantu).
Taigi
Tai reiškia, kad kvadratinė lygtis ax 2 + jie + c = O gali būti perrašyta forma
Bet kurią kvadratinę lygtį galima paversti forma (1), o tai patogu, kaip dabar matysime, norint nustatyti kvadratinės lygties šaknų skaičių ir rasti šias šaknis.
Įrodymas. Jeigu D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время kairė pusė(1) lygtis paima neneigiamas reikšmes bet kuriai x vertei. Tai reiškia, kad nėra vienos x reikšmės, kuri patenkintų (1) lygtį, todėl (1) lygtis neturi šaknų.
1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Sprendimas. Čia a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Kadangi D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Įrodymas. Jei D = 0, tada (1) lygtis įgauna formą
yra vienintelė lygties šaknis.
1 pastaba.
Ar prisimenate, kad x = - yra parabolės viršūnės abscisė, kuri yra funkcijos y = ax 2 + jie + c grafikas? Kodėl tai
reikšmė pasirodė esanti vienintelė kvadratinės lygties šaknis ax 2 + jie + c - 0? „Karstas“ atsidaro paprastai: jei D yra 0, tada, kaip nustatėme anksčiau,
Tos pačios funkcijos grafikas 
yra parabolė, kurios viršūnė yra taške (žr., pavyzdžiui, 98 pav.). Tai reiškia, kad parabolės viršūnės abscisė ir vienintelė kvadratinės lygties šaknis, kai D = 0, yra tas pats skaičius.
2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Sprendimas. Čia a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.
Kadangi D = 0, tai pagal 2 teoremą ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę
Atsakymas: 2.5.
Užrašas 2.
Atminkite, kad 4x 2 - 20x +25 yra tobulas kvadratas: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Jei būtume tai pastebėję iš karto, lygtį būtume išsprendę taip: (2x - 5) 2 = 0, vadinasi, 2x - 5 = 0, iš kurios gauname x = 2,5. Apskritai, jei D = 0, tada
ax 2 + bx + c = – tai pažymėjome anksčiau 1 pastaboje.
Jei D > 0, tai kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules
Įrodymas. Perrašykime kvadratinę lygtį ax 2 + b x + c = 0 į formą (1)
Padėkime 
Pagal sąlygą D > 0, o tai reiškia, kad dešinioji lygties pusė yra teigiamas skaičius. Tada iš (2) lygties gauname tai
Taigi duota kvadratinė lygtis turi dvi šaknis:
3 pastaba.
Matematikoje retai pasitaiko, kad įvestas terminas neturi, vaizdžiai tariant, kasdieninio fono. Imkimės kažko naujo
sąvoka – diskriminuojanti. Prisiminkite žodį „diskriminacija“. Ką tai reiškia? Tai reiškia vienų pažeminimą, o kitų – išaukštinimą, t.y. kitoks požiūris
įvairiems žmonėms. Abu žodžiai (diskriminuojantis ir diskriminuojantis) kilę iš lotyniško žodžio discriminan – „diskriminuojantis“. Diskriminantas išskiria kvadratines lygtis pagal šaknų skaičių.
3 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Sprendimas. Čia a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Kadangi D > 0, tai pagal 3 teoremą ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šios šaknys randamos pagal (3) formules.
Tiesą sakant, mes sukūrėme tokią taisyklę:
Lygties sprendimo taisyklė
ax 2 + bx + c = 0
Ši taisyklė yra universali, ji taikoma tiek pilnoms, tiek nepilnoms kvadratinėms lygtims. Tačiau nepilnos kvadratinės lygtys paprastai nėra išsprendžiamos naudojant šią taisyklę, patogiau jas išspręsti, kaip darėme ankstesnėje pastraipoje.
4 pavyzdys. Išspręskite lygtis:
a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.
Sprendimas. a) Čia a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.
Kadangi D > 0, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Šias šaknis randame naudodami formules (3)
B) Kaip rodo patirtis, patogiau nagrinėti kvadratines lygtis, kuriose pirmaujantis koeficientas yra teigiamas. Todėl pirmiausia abi lygties puses padauginame iš -1, gauname
9x 2 - 6x + 1 = 0.
Čia a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Kadangi D = 0, ši kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. Ši šaknis randama pagal formulę x = -. Reiškia,
Šią lygtį būtų galima išspręsti kitaip: kadangi
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, tada gauname lygtį (Зх - I) 2 = 0, iš kur randame Зх - 1 = 0, t.y. x = .
c) Čia a = 2, b = - 1, c = 3,5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3,5 = 1 - 28 = - 27. Kadangi D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Matematikai – praktiški, ekonomiški žmonės. Kodėl, sakoma, kvadratinei lygčiai išspręsti naudojama tokia ilga taisyklė, geriau iš karto parašyti bendrą formulę:
Jei paaiškėja, kad diskriminantas D = b 2 - 4ac yra neigiamas skaičius, tai parašyta formulė neturi prasmės (po kvadratinės šaknies ženklu yra neigiamas skaičius), vadinasi, nėra šaknų. Jei paaiškėja, kad diskriminantas yra lygus nuliui, tada gauname
Tai yra, viena šaknis (jie taip pat sako, kad kvadratinė lygtis šiuo atveju turi dvi identiškas šaknis:
Galiausiai, jei paaiškėja, kad b 2 - 4ac > 0, tada gauname dvi šaknis x 1 ir x 2, kurios apskaičiuojamos naudojant tas pačias formules (3), kaip nurodyta aukščiau.
Pats skaičius šiuo atveju yra teigiamas (kaip ir bet kuris Kvadratinė šaknis nuo teigiamo skaičiaus), o prieš jį esantis dvigubas ženklas reiškia, kad vienu atveju (kai randama x 1) šis teigiamas skaičius pridedamas prie skaičiaus - b, o kitu atveju (kai randamas x 2) šis teigiamas skaičius yra pašalintas
skaityti iš skaičiaus - b.
Jūs turite pasirinkimo laisvę. Ar norite išsamiai išspręsti kvadratinę lygtį naudodami aukščiau suformuluotą taisyklę; Jei norite, iš karto užsirašykite (4) formulę ir naudokite ją, kad padarytumėte reikiamas išvadas.
5 pavyzdys. Išspręskite lygtis:
Sprendimas, a) Žinoma, galite naudoti (4) arba (3) formules, atsižvelgiant į tai, kad tokiu atveju 
Bet kam daryti dalykus su trupmenomis, kai lengviau ir, svarbiausia, maloniau tvarkyti sveikuosius skaičius? Atsikratykime vardiklių. Norėdami tai padaryti, turite padauginti abi lygties puses iš 12, tai yra, iš mažiausio bendrųjų trupmenų, kurie naudojami kaip lygties koeficientai, vardiklio. Mes gauname
iš kur 8x 2 + 10x - 7 = 0.
Dabar naudokime formulę (4)
B) Vėl turime lygtį su trupmeniniais koeficientais: a = 3, b = - 0,2, c = 2,77. Padauginkime abi lygties puses iš 100, tada gausime lygtį su sveikųjų skaičių koeficientais:
300 x 2 – 20 x + 277 = 0.
Tada naudojame formulę (4):
Paprastas skaičiavimas rodo, kad diskriminantas (radikalioji išraiška) yra neigiamas skaičius. Tai reiškia, kad lygtis neturi šaknų.
6 pavyzdys. Išspręskite lygtį 
Sprendimas. Čia, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, geriau veikti pagal taisyklę, o ne pagal sutrumpintą formulę (4).
Turime a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Kadangi D > 0, kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurių ieškosime naudodami formules (3)
7 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x 2 – (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0
Sprendimas. Ši kvadratinė lygtis skiriasi nuo visų iki šiol nagrinėtų kvadratinių lygčių tuo, kad koeficientai yra ne konkretūs skaičiai, o raidinės išraiškos. Tokios lygtys vadinamos lygtimis su raidžių koeficientais arba lygtimis su parametrais. Šiuo atveju parametras (raidė) p įtraukiamas į antrąjį koeficientą ir laisvąjį lygties narį.
Raskime diskriminantą:
8 pavyzdys. Išspręskite lygtį px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Sprendimas. Tai taip pat lygtis su parametru p, tačiau, skirtingai nei ankstesniame pavyzdyje, jos negalima iš karto išspręsti naudojant (4) arba (3) formules. Faktas yra tas, kad nurodytos formulės yra taikomos kvadratinėms lygtims, tačiau mes dar negalime to pasakyti apie pateiktą lygtį. Iš tiesų, kas, jei p = 0? Tada
lygtis bus 0 formos. x 2 + (1-0)x- 1 = 0, t.y. x - 1 = 0, iš kurio gauname x = 1. Dabar, jei tikrai žinote, kad , tuomet galite pritaikyti kvadrato šaknų formules lygtis:
Įkeliama...