Jau kurį laiką „TheBat“ (neaišku dėl kokios priežasties) integruota SSL sertifikatų duomenų bazė nustojo tinkamai veikti.

Tikrinus įrašą pasirodo klaida:

Nežinomas CA sertifikatas
Serveris seanso metu nepateikė šakninio sertifikato ir atitinkamas šakninis sertifikatas nerastas adresų knygoje.
Šis ryšys negali būti slaptas. Prašau
susisiekite su serverio administratoriumi.

Ir siūlomi atsakymų variantai – TAIP / NE. Ir taip kiekvieną kartą, kai siunčiate paštą.

Sprendimas

Tokiu atveju turite pakeisti S/MIME ir TLS diegimo standartą Microsoft CryptoAPI programoje TheBat!

Kadangi reikėjo sujungti visus failus į vieną, pirmiausia visus doc failus konvertavau į vieną pdf failą (naudodamas Acrobat programą), o tada per internetinį konverterį perkėliau į fb2. Taip pat galite konvertuoti failus atskirai. Formatai gali būti visiškai bet kokie (šaltinis) ir doc, ir jpg, ir net ZIP archyvas!

Svetainės pavadinimas atitinka esmę:) Online Photoshop.

Atnaujinimas 2015 m. gegužės mėn

Radau dar vieną puikią svetainę! Dar patogiau ir funkcionaliau sukurti visiškai savavališką koliažą! Ši svetainė yra http://www.fotor.com/ru/collage/. Naudoti sveikatai. Ir pati naudosiu.

Gyvenime susidūrė su elektrinių viryklių remontu. Jau daug ką padariau, daug išmokau, bet su plytelėmis kažkaip mažai ką bendrauju. Reikėjo pakeisti reguliatorių ir degiklių kontaktus. Iškilo klausimas - kaip nustatyti degiklio skersmenį ant elektrinės viryklės?

Atsakymas pasirodė paprastas. Nereikia nieko matuoti, galite ramiai iš akies nustatyti, kokio dydžio jums reikia.

Mažiausias degiklis yra 145 milimetrai (14,5 centimetro)

Vidutinis degiklis yra 180 milimetrų (18 centimetrų).

Ir galiausiai labiausiai didelis degiklis yra 225 milimetrai (22,5 centimetro).

Pakanka nustatyti dydį akimis ir suprasti, kokio skersmens jums reikia degiklio. Kai aš to nežinojau, aš sklandžiau su šiais dydžiais, nežinojau, kaip išmatuoti, kurį kraštą naršyti ir pan. Dabar aš išmintingas :) Tikiuosi, kad tai padėjo ir jums!

Gyvenime susidūriau su tokia problema. Manau, kad ne aš vienas.

Jei užduotyje būtina atlikti išsamų funkcijos f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 tyrimą su jos grafiko konstravimu, tada mes išsamiai apsvarstysime šį principą.

Norint išspręsti tokio tipo problemą, reikia naudoti pagrindinių elementariųjų funkcijų savybes ir grafikus. Tyrimo algoritmas apima šiuos veiksmus:

Apibrėžimo srities radimas

Kadangi tyrimai atliekami funkcijos srityje, būtina pradėti nuo šio žingsnio.

1 pavyzdys

Pateiktame pavyzdyje reikia rasti vardiklio nulius, kad juos būtų galima pašalinti iš DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Dėl to galite gauti šaknis, logaritmus ir pan. Tada g (x) 4 tipo lyginio laipsnio šaknies ODZ galima ieškoti pagal nelygybę g (x) ≥ 0 , logaritmo log a g (x) – pagal nelygybę g (x) > 0 .

ODZ ribų tyrimas ir vertikalių asimptotų radimas

Funkcijos ribose yra vertikalios asimptotės, kai vienpusės ribos tokiuose taškuose yra begalinės.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, apsvarstykite kraštinius taškus, lygius x = ± 1 2 .

Tada reikia ištirti funkciją, kad būtų galima rasti vienpusę ribą. Tada gauname, kad: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = rib x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = rib x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Tai rodo, kad vienpusės ribos yra begalinės, o tai reiškia, kad tiesės x = ± 1 2 yra vertikalios grafiko asimptotės.

Funkcijų ir lyginių ar nelyginių tyrimas

Kai įvykdoma sąlyga y (- x) = y (x), funkcija laikoma lygine. Tai rodo, kad grafikas yra simetriškai O y atžvilgiu. Kai įvykdoma sąlyga y (- x) = - y (x), funkcija laikoma nelygine. Tai reiškia, kad simetrija eina koordinačių pradžios atžvilgiu. Jei bent viena nelygybė nepavyksta, gauname bendrosios formos funkciją.

Lygybės y (- x) = y (x) įvykdymas rodo, kad funkcija yra lygi. Statant reikia atsižvelgti į tai, kad bus simetrija O y atžvilgiu.

Nelygybei išspręsti naudojami didėjimo ir mažėjimo intervalai su sąlygomis f "(x) ≥ 0 ir f" (x) ≤ 0.

1 apibrėžimas

Stacionarūs taškai yra taškai, kurie išvestinę paverčia nuliu.

Kritiniai taškai yra vidiniai taškai iš srities, kurioje funkcijos išvestinė lygi nuliui arba jos nėra.

Priimant sprendimą reikia atsižvelgti į šiuos dalykus:

esamiems f "(x) > 0 formos nelygybės didėjimo ir mažėjimo intervalams kritiniai taškai į sprendinį neįtraukiami;
taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama be baigtinės išvestinės, turi būti įtraukti į didėjimo ir mažėjimo intervalus (pavyzdžiui, y \u003d x 3, kur taškas x \u003d 0 apibrėžia funkciją, išvestinė turi begalybės reikšmę šiuo metu y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 įtrauktas į didinimo intervalą);
siekiant išvengti nesutarimų, rekomenduojama naudotis matematine literatūra, kurią rekomenduoja Švietimo ministerija.

Kritinių taškų įtraukimas į didėjimo ir mažėjimo intervalus, jei jie atitinka funkcijos sritį.

2 apibrėžimas

Dėl nustatant funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, būtina rasti:

darinys;
kritiniai taškai;
suskaidyti apibrėžimo sritį kritinių taškų pagalba į intervalus;
nustatykite išvestinės ženklą kiekviename intervale, kur + yra padidėjimas ir - sumažėjimas.

3 pavyzdys

Raskite išvestinę srityje f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Sprendimas

Norėdami išspręsti jums reikia:

rasti stacionarius taškus, šiame pavyzdyje x = 0 ;
rasti vardiklio nulius, pavyzdyje reikšmė nulis, kai x = ± 1 2 .

Mes atskleidžiame taškus skaitinėje ašyje, kad nustatytume kiekvieno intervalo išvestinę. Norėdami tai padaryti, pakanka paimti bet kurį tašką iš intervalo ir atlikti skaičiavimą. Jei rezultatas teigiamas, grafike nubrėžiame +, o tai reiškia funkcijos padidėjimą, o - reiškia jos sumažėjimą.

Pavyzdžiui, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, o tai reiškia, kad pirmasis intervalas kairėje turi + ženklą. Apsvarstykite skaičių linija.

Atsakymas:

yra funkcijos padidėjimas intervale - ∞ ; - 1 2 ir (- 1 2 ; 0 ] ;
yra intervalo sumažėjimas [0; 1 2) ir 1 2; +∞ .

Diagramoje, naudojant + ir -, pavaizduotas funkcijos teigiamumas ir neigiamumas, o rodyklės rodo mažėjimą ir didėjimą.

Funkcijos ekstremumai yra taškai, kuriuose funkcija apibrėžiama ir per kuriuos išvestinė keičia ženklą.

4 pavyzdys

Jei apsvarstysime pavyzdį, kur x \u003d 0, tada funkcijos reikšmė jame yra f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kai išvestinės ženklas pasikeičia iš + į - ir eina per tašką x \u003d 0, tada taškas su koordinatėmis (0; 0) laikomas maksimaliu tašku. Pakeitus ženklą iš - į +, gauname minimalų tašką.

Išgaubtumas ir įgaubimas nustatomi sprendžiant formos f "" (x) ≥ 0 ir f "" (x) ≤ 0 nelygybes. Rečiau jie vartoja pavadinimą „išsipūtimas žemyn“, o ne „įgaubtas“, o „išsipūtęs“, o ne „išpūstas“.

3 apibrėžimas

Dėl nustatant įgaubimo ir išgaubimo tarpus būtina:

rasti antrą išvestinę;
rasti antrosios išvestinės funkcijos nulius;
suskaidyti apibrėžimo sritį taškais, atsirandančiais į intervalus;
nustatyti tarpo ženklą.

5 pavyzdys

Raskite antrąją išvestinę iš apibrėžimo srities.

Sprendimas

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Mes randame skaitiklio ir vardiklio nulius, kur, naudojant mūsų pavyzdį, gauname, kad vardiklio x nuliai yra ± 1 2

Dabar reikia sudėti taškus skaičių eilutėje ir nustatyti antrosios išvestinės iš kiekvieno intervalo ženklą. Mes tai gauname

Atsakymas:

funkcija yra išgaubta iš intervalo - 1 2 ; 12;
funkcija įgaubta iš tarpų - ∞ ; - 1 2 ir 1 2 ; +∞ .

4 apibrėžimas

Vingio taškas yra x 0 formos taškas; f(x0) . Kai ji turi funkcijos grafiko liestinę, tada, kai ji eina per x 0, funkcija keičia ženklą į priešingą.

Kitaip tariant, tai yra toks taškas, per kurį praeina antra išvestinė ir keičia ženklą, o pačiuose taškuose yra lygus nuliui arba jo nėra. Visi taškai laikomi funkcijos sritimi.

Pavyzdyje buvo matyti, kad vingio taškų nėra, nes antroji išvestinė, eidama per taškus x = ± 1 2, keičia ženklą. Jie savo ruožtu neįtraukti į apibrėžimo sritį.

Horizontalių ir įstrižų asimptotų radimas

Apibrėžiant funkciją begalybėje, reikia ieškoti horizontalių ir įstrižų asimptočių.

5 apibrėžimas

Įstrižai asimptotai brėžiamos naudojant tieses, gautas pagal lygtį y = k x + b, kur k = lim x → ∞ f (x) x ir b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Jei k = 0 ir b nėra lygus begalybei, matome, kad įstrižoji asimptotė tampa horizontaliai.

Kitaip tariant, asimptotės yra linijos, prie kurių funkcijos grafikas artėja prie begalybės. Tai prisideda prie greito funkcijos grafiko sudarymo.

Jei asimptotų nėra, bet funkcija apibrėžta abiejose begalybėse, reikia apskaičiuoti funkcijos ribą šiose begalybėse, kad suprastume, kaip elgsis funkcijos grafikas.

6 pavyzdys

Kaip pavyzdį apsvarstykite tai

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

yra horizontali asimptotė. Ištyrę funkciją, galite pradėti ją kurti.

Funkcijos reikšmės apskaičiavimas tarpiniuose taškuose

Kad braižymas būtų tiksliausias, tarpiniuose taškuose rekomenduojama rasti kelias funkcijos reikšmes.

7 pavyzdys

Iš mūsų nagrinėjamo pavyzdžio reikia rasti funkcijos reikšmes taškuose x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Kadangi funkcija yra lygi, gauname, kad reikšmės sutampa su reikšmėmis šiuose taškuose, tai yra, gauname x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Parašykime ir spręskime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Norint nustatyti funkcijos maksimumus ir minimumus, vingio taškus, tarpinius taškus, reikia sudaryti asimptotes. Patogiam žymėjimui fiksuojami didėjimo, mažėjimo, išgaubimo, įgaubimo intervalai. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Per pažymėtus taškus būtina nubrėžti grafiko linijas, kurios leis priartėti prie asimptočių, vadovaujantis rodyklėmis.

Tai užbaigia visą funkcijos tyrimą. Yra atvejų, kai sukonstruojamos kai kurios elementarios funkcijos, kurioms naudojamos geometrinės transformacijos.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kaip ištirti funkciją ir sudaryti jos grafiką?

Atrodo, pradedu suprasti sielos kupiną pasaulio proletariato lyderio, 55 tomų rinktinių kūrinių autoriaus veidą... Ilga kelionė prasidėjo nuo elementarios informacijos apie funkcijos ir grafikai, o dabar darbas sunkia tema baigiasi natūraliu rezultatu – straipsniu apie visą funkcijų tyrimą. Ilgai laukta užduotis suformuluota taip:

Ištirti funkciją diferencialinio skaičiavimo metodais ir, remiantis tyrimo rezultatais, sudaryti jos grafiką

Arba trumpai: išnagrinėkite funkciją ir nubrėžkite ją.

Kodėl tyrinėti? Paprastais atvejais mums nebus sunku susidoroti su elementariomis funkcijomis, nubraižyti grafiką, gautą naudojant elementarios geometrinės transformacijos ir tt Tačiau sudėtingesnių funkcijų savybės ir grafiniai atvaizdai toli gražu nėra akivaizdūs, todėl reikalingas visas tyrimas.

Pagrindiniai sprendimo žingsniai apibendrinti pamatinėje medžiagoje Funkcijų tyrimo schema, tai jūsų skyriaus vadovas. Manekenams reikia nuoseklaus temos paaiškinimo, kai kurie skaitytojai nežino, nuo ko pradėti ir kaip organizuoti studijas, o pažengusius studentus gali sudominti tik keli punktai. Bet kas bebūtumėte, mielas lankytojau, siūloma santrauka su nuorodomis į įvairias pamokas per trumpiausią įmanomą laiką nukreips ir nukreips jus dominančia kryptimi. Robotai nubraukė ašarą =) Vadovas buvo sudarytas pdf failo pavidalu ir užėmė deramą vietą puslapyje Matematinės formulės ir lentelės.

Funkcijos tyrimą suskirstiau į 5–6 taškus:

6) Papildomi taškai ir grafikas remiantis tyrimo rezultatais.

Kalbant apie galutinį veiksmą, manau, kad visi viską supranta – bus labai apmaudu, jei per kelias sekundes jis bus perbrauktas ir užduotis bus grąžinta peržiūrėti. TEISINGAS IR TIKSLAS BRĖŽINIS – pagrindinis sprendimo rezultatas! Labai tikėtina, kad tai „užslėps“ analitinius apsirikimus, o neteisingas ir (arba) aplaistytas grafikas sukels problemų net ir puikiai atlikus tyrimą.

Pažymėtina, kad kituose šaltiniuose tyrimo elementų skaičius, jų įgyvendinimo tvarka ir dizaino stilius gali gerokai skirtis nuo mano pasiūlytos schemos, tačiau dažniausiai to visiškai pakanka. Paprasčiausias uždavinio variantas susideda tik iš 2-3 žingsnių ir yra suformuluotas maždaug taip: „naršyti funkciją naudojant išvestinę ir braižyti“ arba „ištirti funkciją naudojant 1 ir 2 išvestinius, braižyti“.

Natūralu, kad jei jūsų mokymo vadove yra išsamiai išanalizuotas kitas algoritmas arba jūsų mokytojas griežtai reikalauja, kad laikytųsi jo paskaitų, turėsite šiek tiek pakoreguoti sprendimą. Ne sunkiau nei šakę pakeisti grandininio pjūklo šaukštu.

Patikrinkime funkciją lyginis / nelyginis:

Po to pateikiamas šablono prenumeratos atsisakymas:
, todėl ši funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Kadangi funkcija yra nuolatinė, vertikalių asimptočių nėra.

Įstrižų asimptotų taip pat nėra.

Pastaba : Primenu, kad kuo aukščiau augimo tvarka nei , taigi galutinė riba yra tiksliai " Pliusas begalybė“.

Išsiaiškinkime, kaip funkcija veikia begalybėje:

Kitaip tariant, jei einame į dešinę, tai grafikas eina be galo aukštyn, jei einame į kairę, be galo toli žemyn. Taip, viename įraše taip pat yra dvi ribos. Jei jums sunku iššifruoti ženklus, apsilankykite pamokoje apie be galo mažos funkcijos.

Taigi funkcija neapribota iš viršaus ir neapribota iš apačios. Atsižvelgiant į tai, kad lūžio taškų neturime, tampa aišku ir funkcijų diapazonas: taip pat yra bet koks tikrasis skaičius.

NAUDINGA TECHNIKA

Kiekvienas užduoties veiksmas suteikia naujos informacijos apie funkcijos grafiką, todėl sprendimo eigoje patogu naudoti savotišką IŠKLAIDYMĄ. Nubraižykime Dekarto koordinačių sistemą. Kas tikrai žinoma? Pirma, grafikas neturi asimptotų, todėl nereikia brėžti tiesių. Antra, mes žinome, kaip funkcija veikia begalybėje. Remiantis analize, darome pirmąjį apytikslį:

Atkreipkite dėmesį, kad iš tikrųjų tęstinumą funkcija ir faktas, kad , grafikas turi kirsti ašį bent kartą. O gal yra keli susikirtimo taškai?

3) Funkcijos nuliai ir pastovaus ženklo intervalai.

Pirmiausia suraskite grafiko susikirtimo tašką su y ašimi. Tai paprasta. Funkcijos reikšmę reikia apskaičiuoti, kai:

Pusiau virš jūros lygio.

Norėdami rasti susikirtimo su ašimi taškus (funkcijos nulius), turite išspręsti lygtį, ir čia mūsų laukia nemaloni staigmena:

Pabaigoje slepiasi nemokamas narys, o tai gerokai apsunkina užduotį.

Tokia lygtis turi bent vieną realią šaknį ir dažniausiai ši šaknis yra neracionali. Pačioje baisiausioje pasakoje mūsų laukia trys paršiukai. Lygtį galima išspręsti naudojant vadinamąjį Cardano formulės, tačiau popieriaus žala prilygsta beveik visam tyrimui. Šiuo atžvilgiu protingiau žodžiu arba juodraštyje pabandyti pasiimti bent vieną visasšaknis. Patikrinkime, ar šie skaičiai yra:
- netinka;
- yra!

Čia pasisekė. Gedimo atveju taip pat galite išbandyti ir, o jei šie skaičiai netinka, baiminuosi, kad yra labai mažai šansų rasti pelningą lygties sprendimą. Tuomet geriau tyrimo tašką praleisti visiškai – galbūt kas nors paaiškės paskutiniame žingsnyje, kai prasiskverbs papildomi taškai. O jei šaknys (šaknys) aiškiai „blogos“, tai apie ženklų pastovumo intervalus geriau kukliai nutylėti ir tiksliau užbaigti piešinį.

Tačiau mes turime gražią šaknį, todėl dalijame daugianarį be likučio:

Dauginamo padalijimo iš daugianario algoritmas išsamiai aptariamas pirmame pamokos pavyzdyje. Sudėtingos ribos.

Dėl to kairioji pradinės lygties pusė plečiasi į produktą:

O dabar šiek tiek apie sveiką gyvenimo būdą. Žinoma, aš tai suprantu kvadratines lygtis reikia išspręsti kiekvieną dieną, tačiau šiandien padarysime išimtį: lygtį turi dvi tikras šaknis.

Skaičių eilutėje pavaizduojame rastas reikšmes ir intervalo metodas apibrėžkite funkcijos požymius:

og Taigi, ant intervalų esanti diagrama
žemiau x ašies ir intervalais - virš šios ašies.

Gauti rezultatai leidžia patobulinti išdėstymą, o antrasis grafiko apytikslis vaizdas atrodo taip:

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos intervale turi būti bent vienas maksimumas ir bent vienas minimumas intervale. Bet nežinia kiek kartų, kur ir kada grafikas „apsuks“. Beje, funkcija gali turėti be galo daug kraštutinumai.

4) Funkcijos didinimas, sumažėjimas ir ekstremumai.

Raskime kritinius taškus:

Ši lygtis turi dvi realias šaknis. Sudėkime juos į skaičių eilutę ir nustatykime išvestinės ženklus:

Todėl funkcija padidėja ir sumažėja .
Kai funkcija pasiekia maksimumą: .
Kai funkcija pasiekia minimumą: .

Nustatyti faktai nukreipia mūsų šabloną į gana griežtą sistemą:

Nereikia nė sakyti, kad diferencialinis skaičiavimas yra galingas dalykas. Galiausiai panagrinėkime grafiko formą:

5) Išgaubtumo, įgaubimo ir vingio taškai.

Raskite antrosios išvestinės kritinius taškus:

Apibrėžkime ženklus:

Funkcijų grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas . Apskaičiuokime vingio taško ordinates: .

Beveik viskas išsiaiškinta.

6) Belieka rasti papildomų taškų, kurie padės tiksliau sudaryti grafiką ir atlikti savitikrą. Šiuo atveju jų nedaug, tačiau nepamiršime:

Atlikime piešinį:

Posūkio taškas pažymėtas žaliai, papildomi taškai pažymėti kryželiu. Kubinės funkcijos grafikas yra simetriškas jos vingio taškui, kuris visada yra tiksliai viduryje tarp maksimumo ir minimumo.

Vykdydamas užduotį pateikiau tris hipotetinius tarpinius brėžinius. Praktiškai užtenka nubraižyti koordinačių sistemą, pažymėti rastus taškus ir po kiekvieno tyrimo taško mintyse išsiaiškinti, kaip galėtų atrodyti funkcijos grafikas. Gerą pasirengimo lygį turintiems studentams nebus sunku atlikti tokią analizę vien mintyse, neįtraukiant juodraščio.

Jei norite rasti atskirą sprendimą:

2 pavyzdys

Ištirkite funkciją ir sukurkite grafiką.

Čia viskas greičiau ir smagiau, apytikslis finišo pavyzdys pamokos pabaigoje.

Daug paslapčių atskleidžiama tiriant trupmenines racionalias funkcijas:

3 pavyzdys

Diferencialinio skaičiavimo metodais ištirti funkciją ir, remiantis tyrimo rezultatais, sudaryti jos grafiką.

Sprendimas: pirmasis tyrimo etapas niekuo nepaprasto nesiskiria, išskyrus skylę apibrėžimo srityje:

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, domenas: .

, todėl ši funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

Funkcijos grafiką sudaro dvi ištisinės šakos, esančios kairėje ir dešinėje pusplokštumose – tai bene svarbiausia 1 pastraipos išvada.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

a) Vienpusių ribų pagalba tiriame funkcijos elgseną šalia įtartino taško, kur vertikali asimptotė turi būti aiškiai:

Iš tiesų, funkcijos išlieka begalinis tarpas taške
o tiesi linija (ašis) yra vertikali asimptota grafikos menai.

b) Patikrinkite, ar nėra įstrižų asimptotų:

Taip, linija yra įstrižas asimptotas grafika, jei .

Nėra prasmės analizuoti ribas, nes jau aišku, kad funkcija glėbyje su savo įstriža asimptote neapribota iš viršaus ir neapribota iš apačios.

Antrasis tyrimo punktas atnešė daug svarbios informacijos apie funkciją. Padarykime apytikslį eskizą:

Išvada Nr. 1 susijusi su ženklų pastovumo intervalais. Prie „minuso begalybės“ funkcijos grafikas yra vienareikšmiškai žemiau x ašies, o ties „pliuso begalybe“ – virš šios ašies. Be to, vienpusės ribos mums pasakė, kad taško kairėje ir dešinėje funkcija taip pat yra didesnė už nulį. Atkreipkite dėmesį, kad kairėje pusplokštumoje grafikas turi kirsti x ašį bent vieną kartą. Dešinėje pusplokštumoje funkcijos nulių gali nebūti.

Išvada Nr. 2 yra ta, kad funkcija didėja taške ir į kairę nuo jo (eina „iš apačios į viršų“). Į dešinę nuo šio taško funkcija mažėja (eina „iš viršaus į apačią“). Dešinėje grafiko šakoje tikrai turi būti bent vienas minimumas. Kairėje kraštutinumai negarantuojami.

Išvadoje Nr. 3 pateikiama patikima informacija apie grafiko įdubimą taško kaimynystėje. Kol kas nieko negalime pasakyti apie išgaubimą/įgaubtumą begalybėje, nes linija gali būti prispausta prie savo asimptotės tiek iš viršaus, tiek iš apačios. Apskritai, šiuo metu yra analitinis būdas tai išsiaiškinti, tačiau diagramos forma „už nieką“ taps aiškesnė vėliau.

Kodėl tiek daug žodžių? Norėdami kontroliuoti tolesnius tyrimo taškus ir išvengti klaidų! Tolesni skaičiavimai neturėtų prieštarauti padarytoms išvadoms.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, funkcijos pastovaus ženklo intervalai.

Funkcijos grafikas nekerta ašies.

Naudodami intervalo metodą nustatome ženklus:

, jei ;
, jei .

Pastraipos rezultatai visiškai atitinka 1 išvadą. Po kiekvieno veiksmo pažiūrėkite į juodraštį, mintyse peržiūrėkite tyrimą ir užbaikite nubraižyti funkcijos grafiką.

Šiame pavyzdyje skaitiklis dalijamas iš termino iš vardiklio, o tai labai naudinga diferencijuojant:

Tiesą sakant, tai jau buvo padaryta ieškant asimptotų.

- kritinis taškas.

Apibrėžkime ženklus:

padidėja iki ir sumažėja iki

Kai funkcija pasiekia minimumą: .

Taip pat nebuvo jokių neatitikimų su išvada Nr. 2 ir, greičiausiai, einame teisingu keliu.

Tai reiškia, kad funkcijos grafikas yra įgaubtas visoje apibrėžimo srityje.

Puiku – ir nieko piešti nereikia.

Posūkio taškų nėra.

Įdubimas atitinka 3 išvadą, be to, tai rodo, kad begalybėje (ir ten, ir ten) yra funkcijos grafikas aukščiau jo pasvirusi asimptote.

6) Sąžiningai užduotį prisegsime papildomais taškais. Čia turime sunkiai dirbti, nes iš tyrimo žinome tik du punktus.

Ir nuotrauka, kurią tikriausiai daugelis jau seniai pateikė:

Atliekant užduotį reikia pasirūpinti, kad tarp tyrimo etapų nebūtų prieštaravimų, tačiau kartais situacija yra skubi ar net beviltiška aklavietė. Čia analitika „nesusilieja“ – ir tiek. Tokiu atveju rekomenduoju avarinę techniką: surandame kuo daugiau grafikui priklausančių taškų (kiek užtenka kantrybės), pažymime juos koordinačių plokštumoje. Grafinė rastų verčių analizė daugeliu atvejų parodys, kur yra tiesa, o kur melas. Be to, grafiką galima iš anksto sukurti naudojant kokią nors programą, pavyzdžiui, toje pačioje „Excel“ (aišku, kad tam reikia įgūdžių).

4 pavyzdys

Diferencialinio skaičiavimo metodais ištirkite funkciją ir nubraižykite jos grafiką.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Jame savikontrolę sustiprina funkcijos tolygumas – grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu, ir jei kas nors jūsų tyrime prieštarauja šiam faktui, ieškokite klaidos.

Lyginę arba nelyginę funkciją galima ištirti tik , o tada galima naudoti grafiko simetriją. Šis sprendimas yra optimalus, bet atrodo, mano nuomone, labai neįprastai. Asmeniškai aš vertinu visą skaitinę ašį, bet vis tiek randu papildomų taškų tik dešinėje:

5 pavyzdys

Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir nubraižykite jos grafiką.

Sprendimas: smarkiai puolė:

1) Funkcija apibrėžta ir tęstinė visoje realioje eilutėje: .

Tai reiškia, kad ši funkcija yra nelyginė, jos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu.

Akivaizdu, kad funkcija yra neperiodinė.

2) Asimptotės, funkcijos elgsena begalybėje.

Kadangi funkcija yra nuolatinė, vertikalių asimptočių nėra

Paprastai funkcijai, kurioje yra eksponentas atskirti„pliuso“ ir „minuso begalybės“ tyrimas, tačiau mūsų gyvenimą palengvina vien grafiko simetrija – arba yra asimptotė kairėje ir dešinėje, arba jos nėra. Todėl abi begalinės ribos gali būti išdėstytos viename įraše. Sprendimo eigoje naudojame L'Hopital taisyklė:

Tiesi linija (ašis) yra horizontali grafiko asimptotė ties .

Atkreipkite dėmesį, kaip gudriai išvengiau viso įstrižos asimptotės paieškos algoritmo: riba yra gana legali ir paaiškina funkcijos elgseną begalybėje, o horizontalioji asimptotė buvo rasta „tarsi tuo pačiu metu“.

Dėl tęstinumo ir horizontalios asimptotės egzistavimo išplaukia, kad funkcija apribotas iš viršaus ir apribotas iš apačios.

3) Grafo susikirtimo taškai su koordinačių ašimis, pastovumo intervalai.

Čia taip pat sutrumpiname sprendimą:
Grafikas eina per pradžią.

Kitų susikirtimo taškų su koordinačių ašimis nėra. Be to, pastovumo intervalai yra akivaizdūs, o ašies negalima nubrėžti: , tai reiškia, kad funkcijos ženklas priklauso tik nuo "x":
, jei ;
, jei.

4) funkcijos didėjimas, mažėjimas, ekstremumai.

yra kritiniai taškai.

Taškai yra simetriški nuliui, kaip ir turėtų būti.

Apibrėžkime išvestinės požymius:

Funkcija didėja intervalais ir mažėja intervalais

Kai funkcija pasiekia maksimumą: .

Dėl turto (funkcijos keistumas) minimumo galima praleisti:

Kadangi funkcija mažėja intervale , akivaizdu, kad grafikas yra "minus begalybėje" pagal su savo asimptote. Ant intervalo funkcija taip pat mažėja, tačiau čia yra atvirkščiai - perėjus per maksimalų tašką, linija artėja prie ašies iš viršaus.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, taip pat matyti, kad funkcijos grafikas yra išgaubtas ties „minus begalybe“, o įgaubtas ties „pliuso begalybe“.

Po šio tyrimo taško taip pat buvo nubrėžta funkcijos reikšmių sritis:

Jei nesupratote kokių nors punktų, dar kartą raginu savo sąsiuvinyje nubrėžti koordinačių ašis ir su pieštuku rankose iš naujo išanalizuoti kiekvieną užduoties išvadą.

5) Grafo išgaubtumas, įdubimas, linksniai.

yra kritiniai taškai.

Taškų simetrija išsaugoma ir, greičiausiai, neklystame.

Apibrėžkime ženklus:

Funkcijos grafikas yra išgaubtas ir įgaubtas .

Buvo patvirtintas išgaubimas / įgaubimas kraštutiniais intervalais.

Visuose kritiniuose grafiko taškuose yra linksnių. Raskime vingio taškų ordinates, dar kartą sumažindami skaičiavimų skaičių, naudodami funkcijos nelygumą:

Rešebnikas Kuznecovas.
III Grafikai

7 užduotis. Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir sukurkite jos grafiką.

Prieš pradėdami atsisiųsti parinktis, pabandykite išspręsti problemą pagal toliau pateiktą 3 parinkties pavyzdį. Kai kurios parinktys archyvuojamos .rar formatu

7.3 Atlikite išsamų funkcijos tyrimą ir nubraižykite jį