Nežinant, kaip sumažinti trupmeną ir turint stabilių įgūdžių sprendžiant tokius pavyzdžius, labai sunku mokytis algebros mokykloje. Kuo toliau, tuo labiau tai trukdo jūsų pagrindinėms žinioms apie frakcijų mažinimą. nauja informacija. Pirmiausia atsiranda laipsniai, paskui faktoriai, kurie vėliau tampa daugianariais.
Kaip čia nesusipainioti? Kruopščiai įtvirtinkite ankstesnių temų įgūdžius ir palaipsniui pasiruoškite žinioms, kaip sumažinti trupmeną, kuri kiekvienais metais tampa vis sudėtingesnė.
Pagrindinės žinios
Be jų jūs negalėsite susidoroti su bet kokio lygio užduotimis. Norėdami suprasti, turite suprasti du paprastus dalykus. Pirma: jūs galite tik sumažinti veiksnius. Šis niuansas pasirodo labai svarbus, kai skaitiklyje arba vardiklyje atsiranda daugianario. Tada turite aiškiai atskirti, kur yra daugiklis, o kur yra priedas.
Antrasis punktas sako, kad bet koks skaičius gali būti pavaizduotas faktorių forma. Be to, sumažinimo rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklio ir vardiklio nebegalima sumažinti.
Paprastųjų trupmenų mažinimo taisyklės
Pirmiausia turėtumėte patikrinti, ar skaitiklis dalijasi iš vardiklio, ar atvirkščiai. Tada būtent šį skaičių reikia sumažinti. Tai paprasčiausias variantas.
Antrasis yra analizė išvaizda numeriai. Jei abu baigiasi vienu ar keliais nuliais, juos galima sutrumpinti 10, 100 ar tūkstančiu. Čia galite pastebėti, ar skaičiai yra lyginiai. Jei taip, galite saugiai sumažinti jį dviem.
Trečioji trupmenos mažinimo taisyklė yra skaitiklio ir vardiklio įtraukimas į pirminius veiksnius. Šiuo metu turite aktyviai panaudoti visas savo žinias apie skaičių dalijimosi požymius. Po šio išskaidymo belieka surasti visus pasikartojančius, juos padauginti ir sumažinti gautu skaičiumi.
Ką daryti, jei trupmenoje yra algebrinė išraiška?
Čia ir atsiranda pirmieji sunkumai. Nes čia atsiranda terminai, kurie gali būti identiški veiksniams. Labai noriu juos sumažinti, bet negaliu. Kad galėtumėte sumažinti algebrinę trupmeną, ją reikia konvertuoti taip, kad ji turėtų koeficientus.
Norėdami tai padaryti, turėsite atlikti kelis veiksmus. Gali tekti pereiti juos visus, o gal pirmasis pasiūlys tinkamą variantą.
Patikrinkite, ar skaitiklis ir vardiklis arba bet kuri jų išraiška skiriasi ženklu. Tokiu atveju tereikia iš skliaustų įdėti minus vieną. Tai sukuria vienodus veiksnius, kuriuos galima sumažinti.
Pažiūrėkite, ar galima pašalinti bendrąjį koeficientą iš daugianario be skliaustų. Galbūt dėl to atsiras skliaustas, kurį taip pat galima sutrumpinti, arba tai bus pašalintas monomas.
Pabandykite sugrupuoti monomiją, kad vėliau pridėtumėte prie jų bendrą veiksnį. Po to gali pasirodyti, kad bus veiksnių, kuriuos galima sumažinti, arba vėl bus pakartotas bendrų elementų skliausteliuose.
Pabandykite raštu apsvarstyti sutrumpintas daugybos formules. Su jų pagalba galite lengvai konvertuoti daugianario į veiksnius.
Veiksmų su trupmenomis su laipsniais seka
Norėdami lengvai suprasti klausimą, kaip sumažinti trupmeną galiomis, turite tvirtai prisiminti pagrindines operacijas su jais. Pirmasis iš jų yra susijęs su galių dauginimu. Tokiu atveju, jei pagrindai yra vienodi, rodikliai turi būti pridėti.
Antrasis yra padalijimas. Vėlgi, tiems, kurie turi tas pačias priežastis, rodiklius reikės atimti. Be to, reikia atimti iš dividendų skaičiaus, o ne atvirkščiai.
Trečias – eksponencija. Esant tokiai situacijai, rodikliai padauginami.
Sėkmingas mažinimas taip pat pareikalaus gebėjimo sumažinti galias iki vienodo pagrindo. Tai yra, pamatyti, kad keturi yra du kvadratai. Arba 27 – kubas iš trijų. Nes sumažinti 9 kvadratus ir 3 kubus yra sunku. Bet jei paversime pirmąją išraišką kaip (3 2) 2, tada redukcija bus sėkminga.
Šioje pamokoje išnagrinėsime pagrindinę trupmenos savybę, išsiaiškinsime, kurios trupmenos yra lygios viena kitai. Išmoksime sumažinti trupmenas, nustatyti, ar trupmeną galima sumažinti, ar ne, praktikuosime mažinti trupmenas ir išmoksime, kada naudoti susitraukimą, o kada ne.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci slapyvardis otanda consequatur cupiditate, ex id minimuma quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Ši informacija prieinama registruotiems vartotojams
Pagrindinė trupmenos savybė
Įsivaizduokite šią situaciją.
Prie stalo 3 asmuo ir 5 obuoliai Dalintis 5 obuoliai trims. Kiekvienas gauna \(\mathbf(\frac(5)(3))\) obuolių.
Ir prie kito stalo 3 žmogus ir taip pat 5 obuoliai Kiekvienas iš naujo \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Iš viso 10 obuoliai 6 Žmogus. Kiekvienas \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Bet tai tas pats.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Šios trupmenos yra lygiavertės.
Galite padvigubinti žmonių skaičių ir padvigubinti obuolių skaičių. Rezultatas bus toks pat.
Matematikoje jis suformuluotas taip:
Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus (nelygu 0), tada nauja trupmena bus lygi pradinei.
Ši savybė kartais vadinama " pagrindinė trupmenos savybė ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Pavyzdžiui, Kelias iš miesto į kaimą - 14 km.
Einame keliu ir kilometrų žymekliais nustatome nuvažiuotą atstumą. Nuėję šešias kolonas, šešis kilometrus, suprantame, kad įveikėme \(\mathbf(\frac(6)(14))\) atstumą.
Bet jei stulpų nematome (gal jie nebuvo sumontuoti), galime apskaičiuoti kelią naudodami elektros stulpus palei kelią. Jų 40 vienetų už kiekvieną kilometrą. Tai yra, iš viso 560 visą kelią. Šeši kilometrai – \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stulpai. Tai yra, mes praėjome 240 iš 560 stulpeliai-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
1 pavyzdys
Pažymėkite tašką koordinatėmis ( 5; 7 ) koordinačių plokštumoje XOY. Tai atitiks trupmeną \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Sujunkite koordinačių pradžią su gautu tašku. Sukurkite kitą tašką, kurio koordinatės yra dvigubai didesnės už ankstesnes. Kokią dalį gavai? Ar jie bus lygūs?
Sprendimas
Koordinačių plokštumos trupmeną galima pažymėti tašku. Norėdami pavaizduoti trupmeną \(\mathbf(\frac(5)(7))\), pažymėkite tašką koordinate 5 išilgai ašies Y Ir 7 išilgai ašies X. Nubrėžkime tiesią liniją nuo pradžios iki mūsų taško.
Taškas, atitinkantis trupmeną \(\mathbf(\frac(10)(14))\), taip pat bus toje pačioje eilutėje
Jie yra lygiaverčiai: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Šis straipsnis tęsia algebrinių trupmenų konvertavimo temą: apsvarstykite tokį veiksmą kaip algebrinių trupmenų mažinimą. Apibrėžkime patį terminą, suformuluokime redukcijos taisyklę ir panagrinėkime praktinius pavyzdžius.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algebrinės trupmenos mažinimo reikšmė
Medžiagoje apie paprastąsias trupmenas nagrinėjome jo sumažinimą. Mes apibrėžėme trupmenos mažinimą kaip jos skaitiklio ir vardiklio padalijimą iš bendro koeficiento.
Algebrinės trupmenos sumažinimas yra panaši operacija.
1 apibrėžimas
Algebrinės trupmenos sumažinimas yra jo skaitiklio ir vardiklio padalijimas iš bendro koeficiento. Šiuo atveju, priešingai nei paprastosios trupmenos redukcija (bendrasis vardiklis gali būti tik skaičius), bendras algebrinės trupmenos skaitiklio ir vardiklio koeficientas gali būti daugianomas, ypač mononomas arba skaičius.
Pavyzdžiui, algebrinė trupmena 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 gali būti sumažinta skaičiumi 3, todėl gaunama: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Tą pačią trupmeną galime sumažinti kintamuoju x, ir tai suteiks mums išraišką 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Taip pat galima tam tikrą trupmeną sumažinti monomialu 3 x arba bet kuris iš daugianario x + 2 m, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y arba 3 x 2 + 6 x y.
Galutinis algebrinės trupmenos sumažinimo tikslas yra trupmena, didesnė nei paprastas tipas, geriausiu atveju, yra neredukuojama trupmena.
Ar visos algebrinės trupmenos turi būti redukuojamos?
Vėlgi, iš įprastų frakcijų medžiagų žinome, kad yra redukuojamų ir neredukuojamų frakcijų. Neredukuojamos trupmenos yra trupmenos, kurių skaitiklis ir vardiklis neturi bendrų faktorių, išskyrus 1.
Tas pats yra ir su algebrinėmis trupmenomis: jų skaitiklis ir vardiklis gali turėti bendrų faktorių arba ne. Bendrų veiksnių buvimas leidžia supaprastinti pradinę frakciją redukuojant. Kai nėra bendrų veiksnių, tam tikros trupmenos optimizuoti redukciniu metodu neįmanoma.
IN bendrieji atvejai Autorius duoto tipo Daliai gana sunku suprasti, ar ją galima sumažinti. Žinoma, kai kuriais atvejais bendras veiksnys tarp skaitiklio ir vardiklio yra akivaizdus. Pavyzdžiui, algebrinėje trupmenoje 3 x 2 3 y visiškai aišku, kad bendras koeficientas yra skaičius 3.
Trupmenoje - x · y 5 · x · y · z 3 taip pat iš karto suprantame, kad ją galima sumažinti x, y, arba x · y. Ir vis dėlto daug dažniau pasitaiko algebrinių trupmenų pavyzdžių, kai skaitiklio ir vardiklio bendras veiksnys nėra taip lengvai įžiūrimas, o dar dažniau jo tiesiog nėra.
Pavyzdžiui, trupmeną x 3 - 1 x 2 - 1 galime sumažinti x - 1, o nurodyto bendro koeficiento įraše nėra. Tačiau trupmenos x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 negalima sumažinti, nes skaitiklis ir vardiklis neturi bendro koeficiento.
Taigi algebrinės trupmenos redukuojamumo nustatymo klausimas nėra toks paprastas ir dažnai lengviau dirbti su tam tikros formos trupmena, nei bandyti išsiaiškinti, ar ji redukuojama. Šiuo atveju vyksta tokios transformacijos, kurios tam tikrais atvejais leidžia nustatyti bendrą skaitiklio ir vardiklio koeficientą arba padaryti išvadą apie trupmenos neredukuojamumą. Mes išsamiai išnagrinėsime šią problemą kitoje straipsnio pastraipoje.
Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė
Algebrinių trupmenų mažinimo taisyklė susideda iš dviejų nuoseklių veiksmų:
- rasti bendrus skaitiklio ir vardiklio veiksnius;
- jei tokių randama, frakcijos mažinimo veiksmas atliekamas tiesiogiai.
Patogiausias būdas rasti bendruosius vardiklius yra apskaičiuoti polinomus, esančius tam tikros algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Tai leidžia iš karto aiškiai matyti bendrų veiksnių buvimą ar nebuvimą.
Pats algebrinės trupmenos mažinimo veiksmas yra pagrįstas pagrindine algebrinės trupmenos savybe, išreikšta lygybe neapibrėžta, kur a, b, c yra kai kurie daugianariai, o b ir c yra ne nulis. Pirmiausia reikia sumažinti trupmeną iki formos a · c b · c, kurioje iš karto pastebime bendrą veiksnį c. Antras žingsnis – atlikti sumažinimą, t.y. perėjimas į a b formos trupmeną.
Tipiški pavyzdžiai
Nepaisant tam tikro akivaizdumo, paaiškinkime ypatinga byla kai algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra lygūs. Panašios trupmenos yra identiškos 1 visame šios trupmenos kintamųjų ODZ:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Nes bendrosios trupmenos yra ypatingas algebrinių trupmenų atvejis, prisiminkime, kaip atliekamas jų sumažinimas. Natūralūs skaičiai, įrašyti į skaitiklį ir vardiklį, įtraukiami į pirminius veiksnius, tada bendrieji veiksniai atšaukiami (jei yra).
Pavyzdžiui, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Paprastų identiškų veiksnių sandaugą galima užrašyti kaip laipsnius, o trupmenos mažinimo procese panaudoti laipsnių dalijimo identiškomis bazėmis savybę. Tada aukščiau pateiktas sprendimas būtų toks:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(skaitiklis ir vardiklis padalintas iš bendro koeficiento 2 2 3). Arba aiškumo dėlei, remdamiesi daugybos ir padalijimo savybėmis, sprendiniui suteikiame tokią formą:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Pagal analogiją atliekamas algebrinių trupmenų redukavimas, kuriame skaitiklis ir vardiklis turi monomius su sveikųjų skaičių koeficientais.
1 pavyzdys
Duota algebrinė trupmena - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Jį reikia sumažinti.
Sprendimas
Galima parašyti tam tikros trupmenos skaitiklį ir vardiklį kaip paprastų veiksnių ir kintamųjų sandaugą, o tada atlikti redukciją:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Tačiau racionalesnis būdas būtų rašyti sprendimą kaip išraišką su galiomis:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Atsakymas:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Kai algebrinės trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra trupmeniniai skaitiniai koeficientai, galimi du tolesnių veiksmų būdai: arba padalinti šiuos trupmeninius koeficientus atskirai, arba pirmiausia atsikratyti trupmeninių koeficientų, skaitiklį ir vardiklį padauginus iš tam tikro natūralusis skaičius. Paskutinė transformacija atliekama dėl pagrindinės algebrinės trupmenos savybės (apie tai galite perskaityti straipsnyje „Algebrinės trupmenos sumažinimas iki naujo vardiklio“).
2 pavyzdys
Pateikta trupmena yra 2 5 x 0, 3 x 3. Jį reikia sumažinti.
Sprendimas
Sumažinti trupmeną galima taip:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Pabandykime problemą išspręsti kitaip, pirmiausia atsikratę trupmeninių koeficientų – skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš šių koeficientų vardiklių mažiausio bendro kartotinio, t.y. LCM (5, 10) = 10. Tada gauname:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 x 3 x 2.
Atsakymas: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Kai sumažiname algebrines trupmenas bendras vaizdas, kuriame skaitikliai ir vardikliai gali būti vienanariai arba daugianariai, gali kilti problemų, kai bendras veiksnys ne visada matomas iš karto. Arba, be to, jis tiesiog neegzistuoja. Tada, norint nustatyti bendrą koeficientą arba užfiksuoti jo nebuvimo faktą, į faktorių įtraukiamas algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis.
3 pavyzdys
Pateikiama racionalioji trupmena 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Jį reikia sumažinti.
Sprendimas
Suskaičiuokime daugianario skaitiklį ir vardiklį. Išdėkime jį iš skliaustų:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Matome, kad skliausteliuose esanti išraiška gali būti konvertuojama naudojant sutrumpintas daugybos formules:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Aiškiai matyti, kad trupmeną galima sumažinti bendru koeficientu b 2 (a + 7). Sumažinkime:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Parašykime trumpą sprendimą be paaiškinimo kaip lygybių grandinę:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Atsakymas: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Pasitaiko, kad bendrus veiksnius slepia skaitiniai koeficientai. Tada, mažinant trupmenas, optimalu skliausteliuose dėti didesnių skaitiklio ir vardiklio laipsnių skaitinius veiksnius.
4 pavyzdys
Duota algebrinė trupmena 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Jei įmanoma, būtina jį sumažinti.
Sprendimas
Iš pirmo žvilgsnio skaitiklis ir vardiklis neturi bendro vardiklio. Tačiau pabandykime konvertuoti duotąją trupmeną. Iš skaitiklio išimkime koeficientą x:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Dabar galite pamatyti tam tikrą panašumą tarp išraiškos skliausteliuose ir išraiškos vardiklyje dėl x 2 y . Išimkime šių daugianario didesniųjų laipsnių skaitinius koeficientus:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Dabar matomas bendras veiksnys, atliekame sumažinimą:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Atsakymas: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Pabrėžkime, kad racionaliųjų trupmenų mažinimo įgūdis priklauso nuo gebėjimo koeficientuoti daugianario.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Taigi mes priėjome prie sumažinimo. Čia taikoma pagrindinė trupmenos savybė. BET! Ne taip paprasta. Su daugybe trupmenų (įskaitant ir iš mokyklos kurso) su jais visiškai įmanoma apsieiti. O jeigu imtume trupmenas, kurios yra „staigesnės“? Pažiūrėkime iš arčiau! Rekomenduoju žiūrėti į medžiagas su trupmenomis.Taigi, mes jau žinome, kad trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti ir padalyti iš to paties skaičiaus, trupmena nepasikeis. Apsvarstykite tris būdus:
Prieikite prie vieno.
Norėdami sumažinti, padalinkite skaitiklį ir vardiklį iš bendras daliklis. Pažiūrėkime į pavyzdžius:
Sutrumpinkime:
Pateiktuose pavyzdžiuose iš karto matome, kokius daliklius imti redukuoti. Procesas paprastas – einame per 2,3,4,5 ir pan. Daugumoje mokyklinių kursų pavyzdžių to visiškai pakanka. Bet jei tai trupmena:
Čia daliklių parinkimo procesas gali užtrukti ilgai;). Žinoma, tokie pavyzdžiai nepatenka į mokyklos programą, bet reikia mokėti su jais susidoroti. Žemiau apžvelgsime, kaip tai daroma. Kol kas grįžkime prie etatų mažinimo proceso.
Kaip aptarta aukščiau, norėdami sumažinti trupmeną, padalinome iš bendro (-ių) daliklio (-ų), kurį (-ius) nustatėme. Viskas teisinga! Tereikia pridėti skaičių dalijimosi ženklus:
- jei skaičius lyginis, tada jis dalijasi iš 2.
- jei skaičius iš paskutinių dviejų skaitmenų dalijasi iš 4, tada pats skaičius dalijasi iš 4.
— jei skaičių sudarančių skaitmenų suma dalijasi iš 3, tai pats skaičius dalijasi iš 3. Pavyzdžiui, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvylika dalijasi iš 3, taigi 123031 dalijasi iš 3.
- jei skaičius baigiasi 5 arba 0, tada skaičius dalijasi iš 5.
— jei skaičių sudarančių skaitmenų suma dalijasi iš 9, tai pats skaičius dalijasi iš 9. Pavyzdžiui, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Aštuoniolika dalijasi iš 9, o tai reiškia, kad 623032 dalijasi iš 9.
Antras požiūris.
Trumpai tariant, iš tikrųjų visas veiksmas yra susijęs su skaitiklio ir vardiklio faktorinavimu, o tada skaitiklio ir vardiklio lygių koeficientų sumažinimu (šis metodas yra pirmojo metodo pasekmė):
Vizualiai, siekiant išvengti painiavos ir klaidų, lygiaverčiai veiksniai tiesiog nubraukiami. Klausimas – kaip apskaičiuoti skaičių? Visus daliklius reikia nustatyti ieškant. Tai atskira tema, nesudėtinga, informacijos ieškokite vadovėlyje ar internete. Su faktoringo skaičiais, esančiais mokyklos trupmenose, nesusidursite su didelėmis problemomis.
Formaliai mažinimo principas gali būti parašytas taip:
Prieiti prie trijų.
Čia įdomiausia pažengusiems ir norintiems jais tapti. Sumažinkime trupmeną 143/273. Išbandykite patys! Na, kaip tai greitai atsitiko? Dabar žiūrėk!
Apverčiame (pakeičiame skaitiklio ir vardiklio vietas). Gautą trupmeną padaliname kampu ir paverčiame mišriu skaičiumi, tai yra, pasirenkame visą dalį:
Jau lengviau. Matome, kad skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti 13:
Dabar nepamirškite dar kartą apversti trupmenos, užsirašykime visą grandinę:
Patikrinta – užtrunka mažiau laiko nei daliklių paieška ir tikrinimas. Grįžkime prie mūsų dviejų pavyzdžių:
Pirmas. Padalinkite kampu (ne skaičiuoklėje), gauname:
Žinoma, ši dalis yra paprastesnė, tačiau sumažinimas vėl yra problema. Dabar atskirai analizuojame trupmeną 1273/1463 ir apverčiame:
Čia lengviau. Galime svarstyti daliklį, pavyzdžiui, 19. Likusieji netinka, aišku: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurray! Užsirašykime:
Kitas pavyzdys. Sutrumpinkime 88179/2717.
Padalijus, gauname:
Atskirai analizuojame frakciją 1235/2717 ir apverčiame:
Galime apsvarstyti daliklį, pvz., 13 (iki 13 netinka):
Skaitiklis 247:13=19 Vardiklis 1235:13=95
*Proceso metu pamatėme dar vieną daliklį, lygų 19. Pasirodo, kad:
Dabar užrašome pradinį numerį:
Ir nesvarbu, kas trupmenoje yra didesnis - skaitiklis ar vardiklis, jei jis yra vardiklis, tada mes jį apverčiame ir elgiamės taip, kaip aprašyta. Tokiu būdu galime sumažinti bet kurią trupmeną, o trečiasis metodas gali būti vadinamas universaliu.
Žinoma, du aukščiau aptarti pavyzdžiai nėra paprasti pavyzdžiai. Išbandykime šią technologiją su „paprastomis“ trupmenomis, kurias jau svarstėme:
Du ketvirčiai.
Septyniasdešimt du šešiasdešimtieji. Skaitiklis yra didesnis už vardiklį; nereikia jo keisti:
Žinoma, tokiems paprastiems pavyzdžiams buvo taikomas trečiasis metodas tiesiog kaip alternatyva. Metodas, kaip jau minėta, yra universalus, tačiau nėra patogus ir tinkamas visoms frakcijoms, ypač paprastoms.
Frakcijų įvairovė didžiulė. Svarbu suprasti principus. Tiesiog nėra griežtos darbo su trupmenomis taisyklės. Pažiūrėjome, sugalvojome, kaip būtų patogiau pasielgti, ir judėjome į priekį. Praktikuojant įgūdžiai ateis ir jūs suskaldysite juos kaip sėklas.
Išvada:
Jei matote bendrą (-ius) skaitiklio ir vardiklio daliklį (-ius), naudokite juos, kad sumažintumėte.
Jei žinote, kaip greitai suskaičiuoti skaičių, tada koeficientuokite skaitiklį ir vardiklį, tada sumažinkite.
Jei negalite nustatyti bendro daliklio, naudokite trečiąjį metodą.
*Norint sumažinti trupmenas, svarbu įsisavinti redukavimo principus, suprasti pagrindinę trupmenos savybę, žinoti sprendimo būdus ir būti itin atidiems atliekant skaičiavimus.
Ir prisimink! Įprasta trupmeną mažinti tol, kol ji sustos, tai yra mažinti tol, kol yra bendras daliklis.
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.
Jis pagrįstas jų pagrindine savybe: jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra padalinti iš to paties nenulinio daugianario, tada bus gauta lygi trupmena.
Galite tik sumažinti daugiklius!
Daugiavardžių nariai negali būti trumpinami!
Norint sumažinti algebrinę trupmeną, skaitiklio ir vardiklio daugianariai pirmiausia turi būti koeficientai.
Pažvelkime į trupmenų mažinimo pavyzdžius.
Trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra monomijų. Jie atstovauja dirbti(skaičiai, kintamieji ir jų galios), daugikliai galime sumažinti.
Skaičius sumažiname jų didžiausiu bendruoju dalikliu, ty iš didžiausias skaičius, iš kurių kiekvienas iš šių skaičių yra padalintas. 24 ir 36 tai yra 12. Sumažinus iš 24 lieka 2, o iš 36 - 3.
Mes sumažiname laipsnius laipsniu su mažiausiu indeksu. Sumažinti trupmeną reiškia padalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties daliklio ir atimti rodiklius.
a² ir a⁷ sumažinami iki a². Šiuo atveju a² skaitiklyje lieka vienas (1 rašome tik tuo atveju, kai po redukavimo nebelieka kitų faktorių. Iš 24 lieka 2, todėl iš a² likęs 1 nerašome). Iš a⁷ po sumažinimo lieka a⁵.
b ir b sumažinami b; gauti vienetai nerašomi.
c³º ir c⁵ sutrumpinami iki c⁵. Iš c³º tai, kas lieka, yra c²⁵, iš c⁵ yra vienas (mes to nerašome). Taigi,
Šios algebrinės trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai. Negalite atšaukti daugianario terminų! (negalite sumažinti, pavyzdžiui, 8x² ir 2x!). Norėdami sumažinti šią dalį, jums reikia. Skaitiklis turi bendrą koeficientą 4x. Išimkime jį iš skliaustų:
Tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi tą patį koeficientą (2x-3). Šiuo koeficientu sumažiname trupmeną. Skaitiklyje gavome 4x, vardiklyje - 1. Pagal 1 algebrinių trupmenų savybę trupmena lygi 4x.
Galite tik sumažinti veiksnius (negalite sumažinti šios dalies 25x²!). Todėl trupmenos skaitiklio ir vardiklio polinomai turi būti koeficientai.
Skaitiklis yra visas sumos kvadratas, vardiklis yra kvadratų skirtumas. Išskaidę naudojant sutrumpintas daugybos formules, gauname:
Sumažiname trupmeną (5x+1) (kad tai padarytumėte, skaitiklyje du išbraukite kaip eksponentą, palikdami (5x+1)² (5x+1)):
Skaitiklis turi bendrą koeficientą 2, išimkime jį iš skliaustų. Vardiklis yra kubelių skirtumo formulė:
Dėl išplėtimo skaitiklis ir vardiklis gavo tą patį koeficientą (9+3a+a²). Juo sumažiname trupmeną:
Dauginamą skaitiklyje sudaro 4 nariai. pirmąjį terminą su antruoju, trečiąjį su ketvirtuoju ir pašalinkite bendrą koeficientą x² iš pirmųjų skliaustų. Vardiklį išskaidome naudodami kubų sumos formulę:
Skaitiklyje išimkime bendrą koeficientą (x+2) iš skliaustų:
Sumažinkite trupmeną (x+2):
Įkeliama...