Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats x) kvadratas, o trečiosios (ar didesnės) laipsnio x neturėtų būti.

Daugelio lygčių sprendimas reiškia tikslų sprendimą kvadratines lygtis.

Išmokime nustatyti, kad tai yra kvadratinė lygtis, o ne kokia nors kita lygtis.

1 pavyzdys.

Atsikratykime vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkime iš

Viską perkelkime į kairė pusė ir išdėstykite terminus mažėjančia x laipsnių tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad ten yra, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Žiūrėkite, ji sumažinta – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

kvadratas;
kvadratas;
ne kvadratas;
ne kvadratas;
ne kvadratas;
kvadratas;
ne kvadratas;
kvadratas.

Matematikai visas kvadratines lygtis paprastai skirsto į šiuos tipus:

Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota- tai lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:
Jie yra neišsamūs, nes trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas!!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė lygtis, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Šis skirstymas nustatomas sprendimo metodais. Pažvelkime į kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Yra neišsamių kvadratinių lygčių tipai:

, šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
, šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
, šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia, kad jūs turite žinoti ir visada atsiminti, kad tai negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės pusės. Juk prisimeni, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kurios neturi šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos jos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia atsisakysime pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sunkiau (tik šiek tiek) nei šias.

Prisiminti, Bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Kiti metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant šį metodą yra labai paprastas, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį. Ypatingas dėmesysžengti žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminantą:

Tai reiškia, kad negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra lygties tipas, kuris vadinamas sumažinta (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma lygi, t.y. gauname pirmąją lygtį:

Ir produktas yra lygus:

Sudarykime ir išspręskime sistemą:

Ir. Suma yra lygi;
Ir. Suma yra lygi;
Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomasis, - kai kurie skaičiai ir.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei lygtis iš karto tampa tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje kėdės lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia pažvelkime į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus – jie paprastesni.

Galime išskirti šiuos lygčių tipus:

I., šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar pažvelkime į kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių įsiminti nereikia. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai užrašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Paskaičiuokime kairę lygties pusę ir raskime šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote šaknį iš diskriminanto šaknų formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

Jei, tada lygtis turi šaknis:
Jei, tada lygtis turi tas pačias šaknis, o iš tikrųjų vieną šaknį:
Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.
Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl tai įmanoma skirtingi kiekiaišaknys? Kreipkimės į geometrine prasme kvadratinė lygtis. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Ypatingu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nesikirsti su ašimi arba gali susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei, tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Šią lygtį galima išspręsti naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

Ir produktas yra lygus:

Išsirinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

Ir. Suma yra lygi;
Ir. Suma yra lygi;
Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Išsirinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą, ir patikrinkime, ar jų suma yra lygi:

ir: jie duoda iš viso.

ir: jie duoda iš viso. Norint gauti, pakanka tiesiog pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Todėl šaknų suma yra lygi jų modulių skirtumai.

Parinkime skaičių poras, kurios pateikia sandaugą ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas lygus – netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, šaknis su mažesniu moduliu turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, todėl šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Pažymime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatykime, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikta lygtis, kuri reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad pagal bent jau, viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys turi minuso ženklą.

Parinkime skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vietos teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad naudotumėte jį, turite atlikti veiksmus automatiškai. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo kūrinio:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: suma turi būti lygi, o sandauga turi būti lygi.

Bet kadangi turi būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai?

Turite perkelti visas sąlygas į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Gerai, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite vadovauti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia, kad pagrindinis koeficientas būtų lygus:

Puiku. Tada šaknų suma lygi ir sandaugai.

Čia pasirinkti taip pat paprasta, kaip kriaušes gliaudyti: juk tai pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas narys yra neigiamas. Kuo tai ypatinga? Ir faktas yra tas, kad šaknys turės skirtingus ženklus. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o jų modulių skirtumą: šis skirtumas lygus, o produktas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką daryti pirmiausia? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turėtų būti lygi, o tai reiškia, kad minuso šaknis bus didesnė.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

Vietos teorema naudojama tik pateiktose kvadratinėse lygtyse.
Naudojant Vietos teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
Jei lygtis nepateikta arba nerandama tinkama laisvojo nario veiksnių pora, tada nėra sveikų šaknų ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Viso kvadrato parinkimo būdas

Jei visi terminai, kuriuose yra nežinomasis, yra pavaizduoti terminų forma iš sutrumpintų daugybos formulių - sumos arba skirtumo kvadratu, tada pakeitus kintamuosius, lygtis gali būti pateikta nepilnos kvadratinės lygties forma.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

IN bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tau nieko neprimena? Tai yra diskriminacinis dalykas! Būtent taip mes gavome diskriminuojančios formulę.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Kvadratinė lygtis- tai formos lygtis, kur - nežinomasis, - kvadratinės lygties koeficientai, - laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

jei koeficientas, lygtis atrodo taip: ,
jei yra laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
jei ir, lygtis atrodo taip: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškime nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

jei, tada lygtis neturi sprendinių,
jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokime diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

jei, tada lygtis turi šaknis, kurios randamos pagal formulę:
jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos kur lygtis) šaknų suma lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Sprendimas pasirenkant pilną kvadratą

Kvadratinės lygties problemos nagrinėjamos tiek mokyklos programoje, tiek universitetuose. Jie reiškia a*x^2 + b*x + c = 0 formos lygtis, kur x- kintamasis, a, b, c – konstantos; a<>0 . Užduotis – rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo taškai su abscisių (x) ašimi. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo taškų su abscisių ašimi. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje su šakomis į viršų arba apačioje su šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a didesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, o jei neigiamas, parabolės šakos nukreiptos žemyn.

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tai parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje, jei įgauna neigiamą reikšmę, tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b^2 iš abiejų pusių ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė. Jei ji teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuojamas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančios šaknys), kurį galima lengvai gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D = 0. Kai diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi realių šaknų. Tačiau kvadratinės lygties sprendiniai randami kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Panagrinėkime dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkime kvadratinę lygtį.Pati Vietos teorema nesunkiai išplaukia iš žymėjimo: jei turime formos kvadratinę lygtį tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktų dalykų formulė atrodys taip: Jei klasikinėje lygtyje konstanta a nėra lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vietos teoremą.

Faktoringo kvadratinės lygties grafikas

Tegul užduotis yra nustatyta: koeficientas kvadratinė lygtis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (rasti šaknis). Toliau rastąsias šaknis pakeisime kvadratinės lygties išplėtimo formule.Tai išspręs problemą.

Kvadratinės lygties uždaviniai

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite juos diskriminacinėje formulėje

Šaknis iš duota vertė yra lygus 14, jį lengva rasti skaičiuotuvu arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, su kuriais dažnai galima susidurti sprendžiant tokias problemas, sąrašą.
Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. Išspręskite lygtį

2x 2 +x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą

Autorius žinomos formulės kvadratinės lygties šaknų radimas

3 užduotis. Išspręskite lygtį

9x2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Diskriminanto nustatymas

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Raskite šaknų reikšmes naudodami formulę

4 užduotis. Išspręskite lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos matome, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra lygios

5 uždavinys Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų jo kraštinių sumai. Pažymime x kaip didesnę kraštinę, tada 18-x yra jos mažesnė pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18-x)=77;
arba
x 2 -18x+77=0.
Raskime lygties diskriminantą

Lygties šaknų apskaičiavimas

Jeigu x=11, Tai 18's = 7 , ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21s=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę lygtį 10x 2 -11x+3=0.

Sprendimas: Apskaičiuokime lygties šaknis, tam randame diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išskaidymo pagal šaknis formulę

Atidarę skliaustus gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , ar lygtis (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3 matome, kad ji neturi sprendimo. Toliau naudosime faktą, kad su nuliniu diskriminantu lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

Supaprastinkime ir prilyginkime nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą galima lengvai gauti naudojant Vietos teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprasta paieška nustatome, kad skaičiai 3,4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a=4 lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykime vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3, gauname tapatybę 0=0.
Apskaičiuokime diskriminantą

ir raskite a reikšmę, kuriai esant ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis

Nustatykime intervalus, kuriuose funkcija įgauna teigiamas reikšmes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3;1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite esmės a=0, kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygas

Praktikoje bus daug panašių užduočių, pabandykite užduotis išsiaiškinti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules; jų dažnai prireikia skaičiuojant skirtingos užduotys ir mokslai.

Bibliografinis aprašymas: Gasanovas A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai // Jaunasis mokslininkas. 2016. Nr 6.1. P. 17-20..02.2019).

Mūsų projektas yra apie kvadratinių lygčių sprendimo būdus. Projekto tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis į mokyklos programą neįtrauktais būdais. Užduotis: surask viską galimi būdai spręsti kvadratines lygtis ir išmokti jomis naudotis pačiam bei supažindinti su šiais metodais savo klasės draugus.

Kas yra „kvadratinės lygtys“?

Kvadratinė lygtis- formos lygtis kirvis2 + bx + c = 0, Kur a, b, c- kai kurie skaičiai ( a ≠ 0), x- nežinomas.

Skaičiai a, b, c vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

a vadinamas pirmuoju koeficientu;
b vadinamas antruoju koeficientu;
c - laisvas narys.

Kas pirmasis „išrado“ kvadratines lygtis?

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos prieš 4000 metų Senovės Babilone. Senovės Babilono molio lentelių, datuotų kažkur tarp 1800 ir 1600 m. pr. Kr., atradimas yra ankstyviausias kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tose pačiose tabletėse yra tam tikrų tipų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su vietovių paieška. žemės sklypai ir su žemės darbai karinio pobūdžio, taip pat su pačios astronomijos ir matematikos raida.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma išdėstytų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukštas lygis Algebros raida Babilone, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrieji metodai sprendžiant kvadratines lygtis.

Babilono matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. naudojo kvadrato komplemento metodą, kad išspręstų lygtis su teigiamomis šaknimis. Maždaug 300 m.pr.Kr Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo būdą. Pirmasis matematikas, radęs lygčių su neigiamomis šaknimis sprendimus algebrinės formulės pavidalu, buvo indų mokslininkas. Brahmagupta(Indija, VII a. po Kr.).

Brahmagupta išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax2 + bx = c, a>0

Šios lygties koeficientai taip pat gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės yra tokia pati kaip mūsų.

Indijoje buvo įprasti vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu užtemdo žvaigždes, taip išmokęs žmogus užtemdys jo šlovę viešuose susirinkimuose siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas. Problemos dažnai buvo pateikiamos poetine forma.

Algebriniame traktate Al-Khwarizmi pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius suskaičiuoja 6 lygčių tipus, jas išreikšdamas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiams“, ty ax2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax2 = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys yra lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė vartojimo neigiami skaičiai, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendimų. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-mukabal metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khorezmi, kaip ir visi matematikai iki XVII a., neatsižvelgia į nulinį sprendimą. tikriausiai todėl, kad konkrečioje praktikoje tai neturi reikšmės užduotyse. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo pateiktos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebriniai pavyzdžiai sprendžiant problemas ir pirmasis Europoje įvedė neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos problemų buvo panaudotos beveik visuose XIV–XVII a. Europos vadovėliuose. Pagrindinė taisyklė kvadratinių lygčių sprendimas, redukuotas į vieną kanoninę formą x2 + bх = с visoms galimoms ženklų ir koeficientų kombinacijoms b, c buvo suformuluotas Europoje 1544 m. M. Stiefel.

Kvadratinės lygties bendros formos sprendimo formulės išvedimą galima gauti iš Viète, tačiau Viète atpažino tik teigiamas šaknis. italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli tarp pirmųjų XVI a. Be teigiamų, atsižvelgiama ir į neigiamas šaknis. Tik XVII a. pastangų dėka Girardas, Dekartas, Niutonas ir kitų mokslininkų, kvadratinių lygčių sprendimo metodas įgauna šiuolaikinę formą.

Pažvelkime į kelis kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Standartiniai kvadratinių lygčių sprendimo metodai iš mokyklos mokymo programa:

Kairiosios lygties pusės faktorinavimas.
Viso kvadrato pasirinkimo būdas.
Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant formulę.
Grafinis sprendimas kvadratinė lygtis.
Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Išsamiau apsistokime ties redukuotų ir neredukuotų kvadratinių lygčių sprendimu, naudodamiesi Vietos teorema.

Prisiminkite, kad aukščiau nurodytoms kvadratinėms lygtims išspręsti pakanka rasti du skaičius, kurių sandauga yra lygi laisvajam nariui, o suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x 2 -5x+6=0

Reikia rasti skaičius, kurių sandauga yra 6, o suma – 5. Šie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: x 1 =2, x 2 =3.

Bet jūs taip pat galite naudoti šį metodą lygtims, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus vienetui.

Pavyzdys.3x 2 +2x-5=0

Paimkite pirmąjį koeficientą ir padauginkite jį iš laisvojo nario: x 2 +2x-15=0

Šios lygties šaknys bus skaičiai, kurių sandauga lygi – 15, o suma lygi – 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3. Norėdami rasti pradinės lygties šaknis, gautas šaknis padalinkite iš pirmojo koeficiento.

Atsakymas: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lygčių sprendimas „metimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Abi puses padauginę iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y 2 + by + ac = 0, lygiavertę duotajai. Jo šaknis 1 ir 2 randame naudodami Vietos teoremą.

Galiausiai gauname x 1 = y 1 /a ir x 2 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas a dauginamas iš laisvojo termino, tarsi jam „įmestas“, todėl jis vadinamas „metimo“ metodu. Šis metodas naudojamas, kai lygties šaknis galima lengvai rasti naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Išmeskime“ koeficientą 2 į laisvąjį dėmenį, pakeiskime ir gaukime lygtį y 2 - 11y + 30 = 0.

Pagal atvirkštinę Vietos teoremą

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atsakymas: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Jei a+ b + c = 0 (t.y. lygties koeficientų suma lygi nuliui), tai x 1 = 1.

2. Jei a - b + c = 0 arba b = a + c, tai x 1 = - 1.

Pavyzdys.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Kadangi a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tai x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atsakymas: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x 2 + 247x + 115 = 0

Nes a-b+c = 0 (132 - 247 +115 = 0), tada x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Yra ir kitų kvadratinės lygties koeficientų savybių. bet jų naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

1 pav. Nomograma

Tai senas ir šiuo metu pamirštas kvadratinių lygčių sprendimo būdas, patalpintas rinkinio 83 p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Nomograma lygčiai išspręsti z 2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, iš jos koeficientų nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (1 pav.):

Tikėdamas OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), iš 1 pav. trikampių panašumai SAN Ir CDF gauname proporciją

kuri po pakeitimų ir supaprastinimų duoda lygtį z 2 + pz + q = 0, ir laiškas z reiškia bet kurio taško ženklą lenktoje skalėje.

Ryžiai. 2 Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z 2 – 9z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8,0 ir z 2 = 1,0

Atsakymas:8,0; 1.0.

2) Naudodami nomogramą išsprendžiame lygtį

2z 2 – 9z + 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramoje pateikiamos šaknys z 1 = 4 ir z 2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

9. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas.

Pavyzdys.X 2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose sukonstruoti stačiakampiai taip, kad kiekvieno iš jų kita pusė būtų 2,5, todėl kiekvieno plotas yra 2,5x. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose pastatant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas 6,25

Ryžiai. 3 Grafinis lygties x 2 + 10x = 39 sprendimo metodas

Kvadrato ABCD plotas S gali būti pavaizduotas kaip: pradinio kvadrato x 2, keturių stačiakampių (4∙2,5x = 10x) ir keturių papildomų kvadratų (6,25∙4 = 25) suma, t.y. S = x 2 + 10x = 25. Pakeitę x 2 + 10x skaičiumi 39, gauname, kad S = 39 + 25 = 64, vadinasi, kvadrato kraštinė yra ABCD, t.y. atkarpa AB = 8. Pradinio kvadrato reikiamai kraštinei x gauname

10. Lygčių sprendimas naudojant Bezout teoremą.

Bezouto teorema. Polinomo P(x) dalijimo iš dvejetainio x - α likusioji dalis yra lygi P(α) (tai yra P(x) reikšmė, kai x = α).

Jei skaičius α yra daugianario P(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Padalinkite P(x) iš (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1 = 0; x=1 arba x-3=0, x=3; Atsakymas: x1 =2, x2 =3.

Išvada: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratines lygtis tiesiog būtinas norint išspręsti daugiau sudėtingos lygtys, pavyzdžiui, trupmeninės racionalios lygtys, lygtys aukštesni laipsniai, bikvadratinės lygtys ir vidurinės mokyklos trigonometrinės, eksponentinės ir logaritminės lygtys. Išstudijavę visus rastus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, galime patarti savo klasės draugams, be standartinių metodų, spręsti perkėlimo metodu (6) ir spręsti lygtis naudojant koeficientų savybę (7), nes jos yra labiau prieinamos. iki supratimo.

Literatūra:

Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematikos lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.
Algebra 8 klasė: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. red. S. A. Telyakovsky 15-asis leidimas, pataisytas. - M.: Švietimas, 2015 m
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. Vadovas mokytojams. / Red. V.N. Jaunesnis. - M.: Išsilavinimas, 1964 m.

Yra žinoma, kad tai yra tam tikra lygybės ax 2 + bx + c = o versija, kur a, b ir c yra tikrieji nežinomo x koeficientai, o kur a ≠ o, o b ir c bus nuliai - vienu metu arba atskirai. Pavyzdžiui, c = o, b ≠ o arba atvirkščiai. Beveik prisiminėme kvadratinės lygties apibrėžimą.

Antrojo laipsnio trinaris yra nulis. Jo pirmasis koeficientas a ≠ o, b ir c gali turėti bet kokias reikšmes. Tada kintamojo x reikšmė bus tada, kai pakeitimas pavers jį teisinga skaitine lygybe. Sutelkime dėmesį į realias šaknis, nors lygtys gali būti ir sprendiniai.Įprasta lygtį vadinti užbaigta, kurioje nė vienas iš koeficientų nėra lygus o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Išspręskime pavyzdį. 2x 2 -9x-5 = oi, mes randame
D = 81 + 40 = 121,
D yra teigiamas, o tai reiškia, kad yra šaknų, x 1 = (9+√121):4 = 5, o antrasis x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Patikrinimas padės įsitikinti, ar jie teisingi.

Čia yra žingsnis po žingsnio kvadratinės lygties sprendimas

Naudodami diskriminantą, galite išspręsti bet kurią lygtį, kurios kairėje pusėje yra žinomas kvadratinis trinaris ≠ o. Mūsų pavyzdyje. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Panagrinėkime, kas yra nepilnos antrojo laipsnio lygtys

ax 2 +in = o. Laisvasis narys, koeficientas c ties x 0, čia yra lygus nuliui, ≠ o.
Kaip išspręsti nepilną tokio tipo kvadratinę lygtį? Išimkime x iš skliaustų. Prisiminkime, kai dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui.
x(ax+b) = o, tai gali būti, kai x = o arba kai ax+b = o.
Išsprendę antrąjį, turime x = -в/а.
Dėl to turime šaknis x 1 = 0, pagal skaičiavimus x 2 = -b/a.
Dabar x koeficientas lygus o, o c nelygus (≠) o.
x 2 +c = o. Perkelkime c į dešinę lygybės pusę, gausime x 2 = -с. Ši lygtis turi tik tikras šaknis, kai -c yra teigiamas skaičius (c ‹ o),
Tada x 1 yra atitinkamai lygus √(-c), x 2 yra -√(-c). Priešingu atveju lygtis iš viso neturi šaknų.
Paskutinis variantas: b = c = o, tai yra, ax 2 = o. Natūralu, kad tokia paprasta lygtis turi vieną šaknį, x = o.

Ypatingi atvejai

Pažiūrėjome, kaip išspręsti neišsamią kvadratinę lygtį, o dabar paimkime bet kokius tipus.

Visoje kvadratinėje lygtyje antrasis x koeficientas yra lyginis skaičius.
Tegu k = o.5b. Turime diskriminanto ir šaknų skaičiavimo formules.
D/4 = k 2 - ac, šaknys apskaičiuojamos kaip x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o.
x = -k/a, kai D = o.
D ‹ o šaknų nėra.
Pateikiamos kvadratinės lygtys, kai x kvadrato koeficientas lygus 1, jos dažniausiai rašomos x 2 + рх + q = o. Jiems taikomos visos aukščiau pateiktos formulės, tačiau skaičiavimai yra šiek tiek paprastesni.
Pavyzdys, x 2 -4x-9 = 0. Apskaičiuokite D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
Be to, jį lengva pritaikyti duotiesiems.. Sako, kad lygties šaknų suma lygi -p, antrasis koeficientas su minusu (reikšmė priešingas ženklas), o tų pačių šaknų sandauga bus lygi q, laisvajam nariui. Pažiūrėkite, kaip lengva būtų žodžiu nustatyti šios lygties šaknis. Neredukuotiems koeficientams (visiems nuliui nelygiems koeficientams) ši teorema taikytina taip: suma x 1 + x 2 lygi -b/a, sandauga x 1 · x 2 lygi c/a.

Laisvojo nario c ir pirmojo koeficiento a suma lygi koeficientui b. Šioje situacijoje lygtis turi bent vieną šaknį (lengva įrodyti), pirmoji būtinai lygi -1, o antroji -c/a, jei tokia yra. Galite patys patikrinti, kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį. Lengva kaip pyragas. Koeficientai gali būti tam tikruose tarpusavio santykiuose

x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
Visų koeficientų suma lygi o.
Tokios lygties šaknys yra 1 ir c/a. Pavyzdys, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Yra daugybė kitų būdų, kaip išspręsti įvairias antrojo laipsnio lygtis. Pavyzdžiui, čia yra metodas, kaip iš tam tikro daugianario išgauti visą kvadratą. Yra keletas grafinių metodų. Kai dažnai susiduriate su tokiais pavyzdžiais, išmoksite juos „spausti“ kaip sėklas, nes visi metodai ateina į galvą automatiškai.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 arba x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Išmokus spręsti pirmojo laipsnio lygtis, žinoma, norisi dirbti su kitais, ypač su antrojo laipsnio lygtimis, kurios kitaip vadinamos kvadratinėmis.

Kvadratinės lygtys yra lygtys ax² + bx + c = 0, kur kintamasis yra x, skaičiai yra a, b, c, kur a nėra lygus nuliui.

Jei kvadratinėje lygtyje vienas ar kitas koeficientas (c arba b) yra lygus nuliui, tada ši lygtis bus klasifikuojama kaip nepilna kvadratinė lygtis.

Kaip išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, jei studentai iki šiol sugebėjo išspręsti tik pirmojo laipsnio lygtis? Apsvarstykite nepilnas kvadratines lygtis skirtingi tipai ir paprastų būdų juos išspręsti.

a) Jei koeficientas c lygus 0, o koeficientas b nelygus nuliui, tada ax ² + bx + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² + bx = 0.

Norint išspręsti tokią lygtį, reikia žinoti nepilnos kvadratinės lygties sprendimo formulę, kurią sudaro kairiosios jos pusės faktorinavimas ir vėliau sąlyga, kad sandauga yra lygi nuliui.

Pavyzdžiui, 5x² - 20x = 0. Kairiąją lygties pusę koeficientuojame, atlikdami įprastą matematinį veiksmą: bendrąjį koeficientą išimame iš skliaustų

5x (x - 4) = 0

Mes naudojame sąlygą, kad produktai yra lygūs nuliui.

5 x = 0 arba x - 4 = 0

Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 0; antroji šaknis yra 4.

b) Jei b = 0, o laisvasis narys nėra lygus nuliui, tai lygtis ax ² + 0x + c = 0 redukuojama į lygtį, kurios formos ax ² + c = 0. Lygtys sprendžiamos dviem būdais. : a) skaičiuojant kairėje pusėje esančios lygties daugianarį ; b) naudojant aritmetikos savybes kvadratinė šaknis. Tokią lygtį galima išspręsti vienu iš būdų, pavyzdžiui:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atsakymas bus toks: pirmoji šaknis yra 5/2; antroji šaknis lygi - 5/2.

c) Jei b lygus 0, o c lygus 0, tai ax ² + 0 + 0 = 0 redukuojama į lygtį, kurios forma yra ax ² = 0. Tokioje lygtyje x bus lygus 0.

Kaip matote, nepilnos kvadratinės lygtys gali turėti ne daugiau kaip dvi šaknis.