Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
Yra du trupmenų pridėjimo tipai:
- Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais
- Pridedant trupmenas su skirtingus vardiklius
Pirma, išmokime pridėti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir vardiklį palikti nepakeistą. Pavyzdžiui, pridėkime trupmenas ir . Pridėkite skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei į picą dedate picą, gausite picą:
2 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .
Atsakymas buvo ne tinkama trupmena. Kai ateina užduoties pabaiga, įprasta atsikratyti netinkamų trupmenų. Norėdami atsikratyti netinkamos trupmenos, turite pasirinkti visą jos dalį. Mūsų atveju visa dalis lengvai išsiskiria – du padalinti iš dviejų, lygu vienas:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime apie picą, padalytą į dvi dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite vieną visą picą:
3 pavyzdys. Pridėkite trupmenas ir .
Vėlgi, sudedame skaitiklius ir vardiklį paliekame nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei į picą pridėsite daugiau picos, gausite picą:
4 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Skaitikliai turi būti pridėti, o vardiklis paliktas nepakeistas:
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picų į picą ir pridėsite daugiau picų, gausite 1 visą picą ir daugiau picų.
Kaip matote, nėra nieko sudėtingo pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais. Pakanka suprasti šias taisykles:
- Norėdami pridėti trupmenas su tuo pačiu vardikliu, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti vardiklį nepakeistą;
Sudėjus trupmenas su skirtingais vardikliais
Dabar išmokime pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais. Sudedant trupmenas, trupmenų vardikliai turi būti vienodi. Tačiau jie ne visada yra vienodi.
Pavyzdžiui, trupmenas galima pridėti, nes jos turi tuos pačius vardiklius.
Tačiau trupmenų negalima pridėti iš karto, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.
Yra keletas būdų, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Šiandien apžvelgsime tik vieną iš jų, nes kiti metodai pradedantiesiems gali pasirodyti sudėtingi.
Šio metodo esmė ta, kad pirmiausia ieškoma abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM padalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio, kad būtų gautas pirmasis papildomas koeficientas. Tą patį jie daro ir su antrąja trupmena – LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas.
Tada trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami iš jų papildomų koeficientų. Dėl šių veiksmų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, virsta trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas.
1 pavyzdys. Sudėkime trupmenas ir
Pirmiausia randame mažiausią bendrą abiejų trupmenų vardikų kartotinį. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 6
LCM (2 ir 3) = 6
Dabar grįžkime prie trupmenų ir . Pirmiausia padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaukite pirmąjį papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 6 iš 3, gausime 2.
Gautas skaičius 2 yra pirmasis papildomas daugiklis. Užrašome iki pirmosios trupmenos. Norėdami tai padaryti, padarykite nedidelę įstrižą liniją virš trupmenos ir užrašykite papildomą koeficientą, esantį virš jos:
Tą patį darome su antrąja trupmena. LCM padalijame iš antrosios trupmenos vardiklio ir gauname antrą papildomą koeficientą. LCM yra skaičius 6, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 6 iš 2, gausime 3.
Gautas skaičius 3 yra antrasis papildomas daugiklis. Užrašome iki antros trupmenos. Vėlgi, ant antrosios trupmenos padarome nedidelę įstrižą liniją ir užrašome papildomą koeficientą, esantį virš jos:
Dabar viską paruošėme papildymui. Belieka padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius iš jų papildomų koeficientų:
Atidžiai pažiūrėkite, prie ko priėjome. Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip pridėti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:
Tai užbaigia pavyzdį. Pasirodo pridėti.
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei pridėsite picą prie picos, gausite vieną visą picą ir kitą šeštadalį picos:
Trupmenų mažinimas iki to paties (bendro) vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę trupmenas ir iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios dvi frakcijos bus atstovaujamos tais pačiais picos gabalėliais. Skirtumas bus tik tas, kad šį kartą jie bus padalinti į lygias dalis (sumažinus iki to paties vardiklio).
Pirmame piešinyje pavaizduota trupmena (keturi gabalai iš šešių), o antrasis piešinys – trupmena (trys gabalai iš šešių). Pridėjus šiuos gabalus gauname (septynios dalys iš šešių). Ši trupmena netinkama, todėl paryškinome visą jos dalį. Rezultate gavome (vieną visą picą ir kitą šeštą picą).
Atkreipkite dėmesį, kad šį pavyzdį aprašėme per daug išsamiai. IN švietimo įstaigų Nėra įprasta rašyti taip išsamiai. Turite mokėti greitai rasti abiejų vardiklių ir papildomų veiksnių LCM, taip pat greitai padauginti rastus papildomus veiksnius iš skaitiklių ir vardklių. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume parašyti taip:
Bet taip pat yra nugaros pusė medaliais. Jei pirmaisiais matematikos studijų etapais nedarote išsamių pastabų, tada pradeda atsirasti tokių klausimų. „Iš kur toks skaičius?“, „Kodėl trupmenos staiga virsta visiškai skirtingomis trupmenomis? «.
Kad būtų lengviau pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, galite naudoti šias nuoseklias instrukcijas:
- Raskite trupmenų vardiklių LCM;
- Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą;
- Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų;
- Pridėkite trupmenas, turinčias tuos pačius vardiklius;
- Jei atsakymas yra neteisinga trupmena, pasirinkite visą jo dalį;
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
.
Pasinaudokime aukščiau pateiktomis instrukcijomis.
1 veiksmas. Raskite trupmenų vardiklių LCM
Raskite abiejų trupmenų vardiklių LCM. Trupmenų vardikliai yra skaičiai 2, 3 ir 4
2 veiksmas. Padalinkite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio ir gaukite papildomą kiekvienos trupmenos koeficientą
Padalinkite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 2. Padalinkite 12 iš 2, gausime 6. Gavome pirmąjį papildomą koeficientą 6. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:
Dabar LCM padaliname iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Gauname antrą papildomą koeficientą 4. Rašome virš antrosios trupmenos:
Dabar LCM padaliname iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. 12 padaliname iš 4, gauname 3. Gauname trečiąjį papildomą koeficientą 3. Jį užrašome virš trečiosios trupmenos:
3 veiksmas. Trupmenų skaitiklius ir vardiklius padauginkite iš jų papildomų koeficientų
Skaitiklius ir vardiklius padauginame iš jų papildomų koeficientų:
4 veiksmas. Sudėkite trupmenas su tais pačiais vardikliais
Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Belieka pridėti šias trupmenas. Pridėkite:
Papildymas netilpo vienoje eilutėje, todėl likusią išraišką perkėlėme į kitą eilutę. Tai leidžiama matematikoje. Kai išraiška netelpa vienoje eilutėje, ji perkeliama į kitą eilutę, o pirmosios eilutės pabaigoje ir naujos eilutės pradžioje reikia dėti lygybės ženklą (=). Lygybės ženklas antroje eilutėje rodo, kad tai yra pirmoje eilutėje buvusios išraiškos tęsinys.
5 veiksmas. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, pasirinkite visą jo dalį
Mūsų atsakymas pasirodė esąs netinkama trupmena. Turime pabrėžti visą jo dalį. Mes pabrėžiame:
Gavome atsakymą
Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
Yra du trupmenų atėmimo tipai:
- Trupmenų su panašiais vardikliais atėmimas
- Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas
Pirma, išmokime atimti trupmenas su panašiais vardikliais. Čia viskas paprasta. Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, tačiau vardiklį palikite tą patį.
Pavyzdžiui, suraskime išraiškos reikšmę. Norėdami išspręsti šį pavyzdį, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį palikti nepakeistą. Padarykime tai:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į keturias dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.
Vėlgi, iš pirmosios trupmenos skaitiklio atimkite antrosios trupmenos skaitiklį ir palikite vardiklį nepakeistą:
Šį pavyzdį galima nesunkiai suprasti, jei prisiminsime picą, kuri yra padalinta į tris dalis. Jei pjaustysite picas iš picos, gausite picas:
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šis pavyzdys išspręstas lygiai taip pat, kaip ir ankstesni. Iš pirmosios trupmenos skaitiklio reikia atimti likusių trupmenų skaitiklius:
Kaip matote, atimant trupmenas su tais pačiais vardikliais nėra nieko sudėtingo. Pakanka suprasti šias taisykles:
- Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą, iš pirmosios trupmenos skaitiklio turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį, o vardiklį palikti nepakeistą;
- Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, tuomet reikia paryškinti visą jo dalį.
Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas
Pavyzdžiui, galite atimti trupmeną iš trupmenos, nes trupmenos turi tuos pačius vardiklius. Bet jūs negalite atimti trupmenos iš trupmenos, nes šios trupmenos turi skirtingus vardiklius. Tokiais atvejais trupmenos turi būti sumažintos iki to paties (bendro) vardiklio.
Bendras vardiklis randamas naudojant tą patį principą, kurį naudojome pridėdami trupmenas su skirtingais vardikliais. Pirmiausia suraskite abiejų trupmenų vardklių LCM. Tada LCM dalijamas iš pirmosios trupmenos vardiklio ir gaunamas pirmasis papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš pirmosios trupmenos. Panašiai LCM dalijamas iš antrosios trupmenos vardiklio ir gaunamas antras papildomas koeficientas, kuris užrašomas virš antrosios trupmenos.
Tada trupmenos dauginamos iš papildomų koeficientų. Dėl šių operacijų trupmenos, kurios turėjo skirtingus vardiklius, paverčiamos trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas.
1 pavyzdys. Raskite posakio prasmę:
Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl jas reikia sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.
Pirmiausia randame abiejų trupmenų vardiklių LCM. Pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 12
LCM (3 ir 4) = 12
Dabar grįžkime prie trupmenų ir
Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš pirmosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalinkite 12 iš 3, gausime 4. Virš pirmosios trupmenos parašykite ketvertą:
Tą patį darome su antrąja trupmena. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 12, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 4. Padalinkite 12 iš 4, gausime 3. Ant antrosios trupmenos parašykite trejetą:
Dabar esame pasirengę atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:
Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Panagrinėkime šį pavyzdį iki galo:
Gavome atsakymą
Pabandykime pavaizduoti savo sprendimą naudodami piešinį. Jei išpjausite picą iš picos, gausite picą
Tai yra išsami sprendimo versija. Jei būtume mokykloje, šį pavyzdį turėtume išspręsti trumpiau. Toks sprendimas atrodytų taip:
Trupmenų sumažinimas iki bendro vardiklio taip pat gali būti pavaizduotas naudojant paveikslėlį. Sumažinę šias trupmenas iki bendro vardiklio, gavome trupmenas ir . Šios trupmenos bus pavaizduotos tomis pačiomis picos riekelėmis, tačiau šį kartą jos bus padalintos į lygias dalis (sumažintos iki to paties vardiklio):
Pirmoje nuotraukoje pavaizduota trupmena (aštuoni gabalėliai iš dvylikos), o antrame paveikslėlyje – trupmena (trys gabalai iš dvylikos). Iš aštuonių dalių iškirpę tris gabalus, gauname penkis gabalus iš dvylikos. Trupmena apibūdina šiuos penkis gabalus.
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę 
Šios trupmenos turi skirtingus vardiklius, todėl pirmiausia turite jas sumažinti iki to paties (bendro) vardiklio.
Raskime šių trupmenų vardiklių LCM.
Trupmenų vardikliai yra skaičiai 10, 3 ir 5. Mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra 30
LCM(10; 3; 5) = 30
Dabar kiekvienai frakcijai randame papildomų faktorių. Norėdami tai padaryti, padalykite LCM iš kiekvienos trupmenos vardiklio.
Raskime papildomą pirmosios trupmenos koeficientą. LCM yra skaičius 30, o pirmosios trupmenos vardiklis yra skaičius 10. 30 padaliname iš 10, gauname pirmąjį papildomą koeficientą 3. Jį rašome virš pirmosios trupmenos:
Dabar randame papildomą antrosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš antrosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o antrosios trupmenos vardiklis yra skaičius 3. Padalijus 30 iš 3, gauname antrą papildomą koeficientą 10. Rašome virš antrosios trupmenos:
Dabar randame papildomą trečiosios trupmenos koeficientą. Padalinkite LCM iš trečiosios trupmenos vardiklio. LCM yra skaičius 30, o trečiosios trupmenos vardiklis yra skaičius 5. Padalinkite 30 iš 5, gausime trečią papildomą koeficientą 6. Rašome virš trečiosios trupmenos:
Dabar viskas paruošta atimti. Belieka padauginti trupmenas iš jų papildomų veiksnių:
Priėjome išvados, kad trupmenos, turinčios skirtingus vardiklius, virto trupmenomis, turinčiomis tuos pačius (bendruosius) vardiklius. Ir mes jau žinome, kaip atimti tokias trupmenas. Užbaikime šį pavyzdį.
Pavyzdžio tęsinys netilps vienoje eilutėje, todėl tęsinį perkeliame į kitą eilutę. Nepamirškite apie lygybės ženklą (=) naujoje eilutėje:
Paaiškėjo, kad atsakymas yra įprasta trupmena, ir viskas, atrodo, mums tinka, bet tai yra pernelyg sudėtinga ir negražu. Turėtume tai padaryti paprasčiau. Ką galima padaryti? Galite sutrumpinti šią trupmeną.
Norėdami sumažinti trupmeną, jos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš (GCD) iš skaičių 20 ir 30.
Taigi, randame skaičių 20 ir 30 gcd:
Dabar grįžtame prie savo pavyzdžio ir trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliname iš rasto gcd, tai yra iš 10
Gavome atsakymą
Trupmenos padauginimas iš skaičiaus
Norėdami padauginti trupmeną iš skaičiaus, reikia padauginti nurodytos trupmenos skaitiklį iš to skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį.
1 pavyzdys. Padauginkite trupmeną iš skaičiaus 1.
Padauginkite trupmenos skaitiklį iš skaičiaus 1
Įrašą galima suprasti kaip pusę 1 karto. Pavyzdžiui, jei vieną kartą paimsite picą, gausite picą
Iš daugybos dėsnių žinome, kad sukeitus daugiklį ir koeficientą sandauga nepasikeis. Jei išraiška parašyta kaip , sandauga vis tiek bus lygi . Vėlgi, sveikojo skaičiaus ir trupmenos dauginimo taisyklė veikia:
Šį žymėjimą galima suprasti kaip pusę vieno. Pavyzdžiui, jei yra 1 visa pica ir paimame pusę jos, tada turėsime picą:
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite trupmenos skaitiklį iš 4
Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:
Išraišką galima suprasti kaip du ketvirčius 4 kartus. Pavyzdžiui, jei paimsite 4 picas, gausite dvi visas picas
Ir jei sukeisime daugiklį ir daugiklį, gausime išraišką . Jis taip pat bus lygus 2. Ši išraiška gali būti suprantama kaip dvi picos iš keturių ištisų picų:
Trupmenų dauginimas
Norėdami padauginti trupmenas, turite padauginti jų skaitiklius ir vardiklius. Jei pasirodo, kad atsakymas yra netinkama trupmena, turite paryškinti visą jo dalį.
1 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę.
Gavome atsakymą. Patartina šią dalį sumažinti. Frakcija gali būti sumažinta 2. Tada galutinis tirpalas bus tokios formos:
Posakį galima suprasti kaip picos paėmimą iš pusės picos. Tarkime, kad turime pusę picos:
Kaip paimti du trečdalius iš šios pusės? Pirmiausia turite padalyti šią pusę į tris lygias dalis:
Ir paimkite du iš šių trijų dalių:
Gaminsime picą. Prisiminkite, kaip pica atrodo padalinta į tris dalis:
Vienas šios picos gabalas ir du mūsų paimti gabalai bus vienodo dydžio:
Kitaip tariant, mes kalbame apie tokio pat dydžio picą. Todėl išraiškos reikšmė yra
2 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:
Atsakymas buvo netinkama trupmena. Pabrėžkime visą jo dalį:
3 pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę
Padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį iš antrosios trupmenos vardiklio:
Atsakymas pasirodė taisyklinga trupmena, bet būtų gerai, jei ji būtų sutrumpinta. Norėdami sumažinti šią trupmeną, šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį turite padalyti iš didžiausio skaičių 105 ir 450 bendrojo daliklio (GCD).
Taigi, suraskime skaičių 105 ir 450 gcd:
Dabar savo atsakymo skaitiklį ir vardiklį padalijame iš gcd, kurį dabar radome, tai yra iš 15
Sveikąjį skaičių pavaizduoti kaip trupmeną
Bet koks sveikas skaičius gali būti pavaizduotas trupmena. Pavyzdžiui, skaičius 5 gali būti pavaizduotas kaip . Tai nepakeis penkių reikšmės, nes posakis reiškia „skaičius penkis padalytas iš vieno“, o tai, kaip žinome, yra lygi penkiems:
Abipusiai skaičiai
Dabar susipažinsime su labai įdomi tema matematikoje. Tai vadinama „atvirkštiniais skaičiais“.
Apibrėžimas. Atvirkščiai į skaičiųa yra skaičius, kurį padauginus iša duoda vieną.
Pakeiskime šį apibrėžimą vietoj kintamojo a numerį 5 ir pabandykite perskaityti apibrėžimą:
Atvirkščiai į skaičių 5 yra skaičius, kurį padauginus iš 5 duoda vieną.
Ar galima rasti skaičių, kurį padauginus iš 5 gaunamas vienas? Pasirodo, tai įmanoma. Įsivaizduokime penkis kaip trupmeną:
Tada padauginkite šią trupmeną iš savęs, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Kitaip tariant, padauginkime trupmeną iš pačios, tik aukštyn kojomis:
Kas bus dėl to? Jei ir toliau spręstume šį pavyzdį, gautume vieną:
Tai reiškia, kad atvirkštinis skaičius 5 yra skaičius , nes padauginę 5 iš gausite vieną.
Skaičiaus atvirkštinę vertę taip pat galima rasti bet kuriam kitam sveikajam skaičiui.
Taip pat galite rasti bet kurios kitos trupmenos atvirkštinį koeficientą. Norėdami tai padaryti, tiesiog apverskite.
Trupmenos dalijimas iš skaičiaus
Tarkime, kad turime pusę picos:
Padalinkime jį po lygiai tarp dviejų. Kiek picos gaus kiekvienas žmogus?
Matyti, kad padalijus pusę picos gavosi du vienodi gabalėliai, kurių kiekvienas sudaro po picą. Taigi visi gauna picą.
Trupmenų padalijimas atliekamas naudojant reciprokines vertes. Abipusiai skaičiai leidžia dalybas pakeisti daugyba.
Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus, turite padauginti trupmeną iš daliklio atvirkštinės vertės.
Pagal šią taisyklę užrašysime savo pusės picos padalijimą į dvi dalis.
Taigi, jums reikia padalyti trupmeną iš skaičiaus 2. Čia dividendas yra trupmena, o daliklis yra skaičius 2.
Norėdami padalyti trupmeną iš skaičiaus 2, turite šią trupmeną padauginti iš daliklio 2 atvirkštinės vertės. Daliklio 2 atvirkštinė vertė yra trupmena. Taigi reikia padauginti iš
) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).
Trupmenų dauginimo formulė:
Pavyzdžiui:
Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.
Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.
Trupmenų, susijusių su natūraliaisiais skaičiais, dalyba.
Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:
Mišrių trupmenų dauginimas.
Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:
- mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
- trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
- sumažinti frakciją;
- Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišriąja trupmena.
Pastaba! Norėdami padauginti mišrią trupmeną iš kitos mišrios trupmenos, pirmiausia turite jas konvertuoti į netinkamų trupmenų formą, o tada padauginti pagal paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę.
Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.
Gali būti patogiau naudoti antrąjį bendrosios trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.
Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūralusis skaičius Iš šio skaičiaus reikia padalyti trupmenos vardiklį, o skaitiklį palikti nepakeistą.
Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.
Daugiaaukštės trupmenos.
Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:
Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:
Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.
Pastaba, Pavyzdžiui:
Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:
Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:
1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.
2. Užduotyse su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastųjų trupmenų formą.
3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.
4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.
5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.
Veiksmai su trupmenomis. Šiame straipsnyje apžvelgsime pavyzdžius, viską išsamiai su paaiškinimais. Mes apsvarstysime paprastas trupmenas. Dešimtaines pažiūrėsime vėliau. Rekomenduoju žiūrėti viską ir studijuoti paeiliui.
1. Trupmenų suma, trupmenų skirtumas.
Taisyklė: sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais, gaunama trupmena – kurios vardiklis lieka toks pat, o jo skaitiklis bus lygus trupmenų skaitiklių sumai.
Taisyklė: skaičiuodami skirtumą tarp trupmenų su vienodais vardikliais, gauname trupmeną - vardiklis lieka toks pat, o antrosios skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.
Formalus trupmenų su vienodais vardikliais sumos ir skirtumo žymėjimas:
Pavyzdžiai (1):
Aišku, kad kai pateikiamos paprastosios trupmenos, tada viskas paprasta, o jei jos sumaišomos? Nieko sudėtingo...
1 variantas– galite konvertuoti juos į paprastus ir tada apskaičiuoti.
2 variantas– galite „dirbti“ atskirai su sveikosiomis ir trupmeninėmis dalimis.
Pavyzdžiai (2):
Daugiau:
Ką daryti, jei pateikiamas dviejų mišrių trupmenų skirtumas ir pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis už antrosios trupmenos skaitiklį? Taip pat galite veikti dviem būdais.
Pavyzdžiai (3):
*Pavertė į paprastąsias trupmenas, apskaičiavo skirtumą, gautą netinkamą trupmeną pavertė mišriąja trupmena.
*Mes suskirstėme jį į sveikąsias ir trupmenines dalis, gavome trejetą, tada pateikėme 3 kaip 2 ir 1 sumą, o vieną pateikiame kaip 11/11, tada nustatėme skirtumą tarp 11/11 ir 7/11 ir apskaičiavome rezultatą. . Aukščiau pateiktų transformacijų prasmė yra paimti (pasirinkti) vienetą ir pateikti jį trupmenos pavidalu su mums reikalingu vardikliu, tada iš šios trupmenos galime atimti kitą.
Kitas pavyzdys:
Išvada: yra universalus metodas - norint apskaičiuoti mišrių trupmenų su vienodais vardikliais sumą (skirtumą), jas visada galima konvertuoti į netinkamas, tada atlikti būtinus veiksmus. Po to, jei rezultatas yra netinkama trupmena, konvertuojame ją į mišrią trupmeną.
Aukščiau pažvelgėme į pavyzdžius su trupmenomis, kurių vardikliai yra vienodi. Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tokiu atveju trupmenos sumažinamos iki to paties vardiklio ir atliekamas nurodytas veiksmas. Norint pakeisti (pakeisti) trupmeną, naudojama pagrindinė trupmenos savybė.
Pažvelkime į paprastus pavyzdžius:
Šiuose pavyzdžiuose iš karto matome, kaip vieną iš trupmenų galima transformuoti, kad būtų gauti vienodi vardikliai.
Jei nurodysime būdus, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio, vadinsime tai PIRMAS METODAS.
Tai yra, iš karto „vertindami“ trupmeną turite išsiaiškinti, ar šis metodas veiks - patikriname, ar didesnis vardiklis dalijasi iš mažesnio. O jei dalijasi, tada atliekame transformaciją – skaitiklį ir vardiklį padauginame taip, kad abiejų trupmenų vardikliai taptų lygūs.
Dabar pažvelkite į šiuos pavyzdžius:
Šis metodas jiems netaikomas. Taip pat yra būdų, kaip sumažinti trupmenas iki bendro vardiklio; apsvarstykime juos.
ANTRAS metodas.
Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš antrosios vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš pirmosios:
*Tiesą sakant, mes sumažiname trupmenas, kad susidarytų, kai vardikliai tampa lygūs. Toliau naudojame taisyklę, kad sudėtų trupmenas su vienodais vardikliais.
Pavyzdys:
*Šį metodą galima pavadinti universaliu ir jis visada veikia. Vienintelis trūkumas yra tas, kad atlikus skaičiavimus galite gauti dalį, kurią reikės dar labiau sumažinti.
Pažiūrėkime į pavyzdį:
Matyti, kad skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš 5:
TREČIAS metodas.
Turite rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Tai bus bendras vardiklis. Koks čia skaičius? Tai mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaičiaus.
Žiūrėkite, čia yra du skaičiai: 3 ir 4, yra daug skaičių, kurie iš jų dalijasi - tai yra 12, 24, 36, ... Mažiausias iš jų yra 12. Arba 6 ir 15, jie dalijasi iš 30, 60, 90... Mažiausias yra 30. Kyla klausimas – kaip nustatyti šį mažiausią bendrą kartotinį?
Yra aiškus algoritmas, tačiau dažnai tai galima padaryti iš karto be skaičiavimų. Pavyzdžiui, pagal aukščiau pateiktus pavyzdžius (3 ir 4, 6 ir 15) algoritmo nereikia, paėmėme didelius skaičius (4 ir 15), padvigubinome ir pamatėme, kad jie dalijasi iš antrojo skaičiaus, bet skaičių poros gali būti kiti, pavyzdžiui, 51 ir 119.
Algoritmas. Norėdami nustatyti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį, turite:
- išskaidykite kiekvieną skaičių į PAPRASTUS veiksnius
— užrašykite DIDESNIŲJŲ iš jų skaidymą
- padauginkite jį iš kitų skaičių TRŪKSTAMŲ faktorių
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
50 ir 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
skilimo metu daugiau trūksta vieno penketuko
=> LCM(50,60) = 2,2∙3∙5∙5 = 300
48 ir 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
išplečiant didesnį skaičių trūksta dviejų ir trijų
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Mažiausias bendras dviejų pirminių skaičių kartotinis yra jų sandauga
Klausimas! Kodėl naudinga rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, nes galite naudoti antrąjį metodą ir tiesiog sumažinti gautą trupmeną? Taip, tai įmanoma, bet ne visada patogu. Pažiūrėkite į skaičių 48 ir 72 vardiklį, jei juos tiesiog padauginsite iš 48∙72 = 3456. Sutiksite, kad su mažesniais skaičiais dirbti maloniau.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
didesnio skaičiaus išplėtimui trūksta trigubo
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Dabar naudokime pirmąjį metodą:
*Pažiūrėkite į skaičiavimų skirtumus, pirmu atveju jų yra minimumas, o antruoju reikia dirbti atskirai ant popieriaus lapo ir net gautą trupmeną reikia sumažinti. LOC radimas labai supaprastina darbą.
Daugiau pavyzdžių:
*Antrame pavyzdyje aišku, kad mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 40 ir 60, yra 120.
REZULTATAS! BENDRAS SKAIČIAVIMO ALGORITMAS!
— trupmenas sumažiname į paprastas, jei yra sveikoji dalis.
- trupmenas suvedame į bendrą vardiklį (pirmiausia žiūrime, ar vienas vardiklis dalijasi iš kito; jei dalijasi, tada padauginame šios kitos trupmenos skaitiklį ir vardiklį; jei jis nedalomas, veikiame kitais metodais nurodyta aukščiau).
- Gavę trupmenas su vienodais vardikliais, atliekame operacijas (sudėti, atimti).
- jei reikia, sumažiname rezultatą.
- jei reikia, tada pasirinkite visą dalį.
2. Trupmenų sandauga.
Taisyklė paprasta. Dauginant trupmenas, jų skaitikliai ir vardikliai dauginami:
Pavyzdžiai:
Šiame straipsnyje matematikos ir fizikos mokytojas pasakoja, kaip atlikti pagrindines operacijas paprastosios trupmenos: sudėtis ir atimtis, daugyba ir dalyba. Sužinokite, kaip pateikti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną ir atvirkščiai, taip pat kaip sumažinti trupmenas.
Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas
Leiskite jums tai priminti vardiklis trupmena yra skaičius, kuris yra iš apačios, A skaitiklis- esantis numeris aukščiau nuo trupmeninės linijos. Pavyzdžiui, trupmenoje skaičius yra skaitiklis, o skaičius yra vardiklis.
Bendras vardiklis yra mažiausias įmanomas skaičius, kuris dalijasi ir iš pirmosios trupmenos vardiklio, ir iš antrosios trupmenos vardiklio.
1 pavyzdys. Pridėkite dvi trupmenas: .
Naudokime aukščiau aprašytą algoritmą:
1) Mažiausias skaičius, kuris dalijasi ir iš pirmosios trupmenos vardiklio, ir iš antrosios trupmenos vardiklio, yra lygus . Šis skaičius bus bendras vardiklis. Dabar reikia sujungti abi trupmenas į bendrą vardiklį.
2) Sudėkite gautas frakcijas: 
.
Paprastųjų trupmenų dauginimas
Kitaip tariant, visiems realiesiems skaičiams , , , galioja ši lygybė:
2 pavyzdys. Padauginkite trupmenas: .
Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame aukščiau pateiktą formulę: 
.
Dalijimosi trupmenos
Kitaip tariant, visiems realiesiems skaičiams , , , , galioja ši lygybė:
3 pavyzdys. Padalinkite trupmenas: .
Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame aukščiau pateiktą formulę: 
.
Mišraus skaičiaus pavaizdavimas kaip netinkamoji trupmena
Dabar išsiaiškinkime, ką daryti, jei reikia atlikti bet kokią operaciją su trupmenomis, pateiktomis mišrių skaičių pavidalu. Tokiu atveju pirmiausia turite pateikti mišrius skaičius kaip netinkamas trupmenas, o tada atlikti reikiamą operaciją.
Leiskite jums tai priminti negerai Vadinama trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.
Taip pat prisiminkite, kad turi mišrų skaičių trupmena Ir visa dalis. Pavyzdžiui, mišraus skaičiaus trupmeninė dalis lygi , o sveikoji dalis lygi .
4 pavyzdys. Išreikškite mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną.
Naudokime aukščiau pateiktą algoritmą: 
.
5 pavyzdys. Netinkamą trupmeną pavaizduokite kaip mišrų skaičių.
Trupmenines išraiškas vaikui sunku suprasti. Dauguma žmonių turi sunkumų. Studijuodamas temą „trupmenų su sveikaisiais skaičiais pridėjimas“, vaikas patenka į stuporą, jam sunku išspręsti problemą. Daugelyje pavyzdžių prieš atliekant veiksmą reikia atlikti daugybę skaičiavimų. Pavyzdžiui, konvertuokite trupmenas arba pakeiskite netinkamą trupmeną į tinkamą trupmeną.
Aiškiai tai paaiškinkime vaikui. Imkime tris obuolius, iš kurių du bus sveiki, o trečią supjaustykime į 4 dalis. Atskirkite vieną griežinėlį nuo supjaustyto obuolio, o likusius tris padėkite šalia dviejų sveikų vaisių. Iš vienos pusės gauname ¼ obuolio, o iš kitos – 2 ¾. Jei juos sujungsime, gausime tris obuolius. Pabandykime 2 ¾ obuolių sumažinti ¼, tai yra, nuimkite kitą griežinėlį, gausime 2 2/4 obuolių.
Pažvelkime atidžiau į operacijas su trupmenomis, kuriose yra sveikųjų skaičių:
Pirmiausia prisiminkime trupmeninių išraiškų su bendru vardikliu skaičiavimo taisyklę:
Iš pirmo žvilgsnio viskas paprasta ir paprasta. Bet tai taikoma tik posakiams, kurių nereikia konvertuoti.
Kaip rasti išraiškos vertę, kai vardikliai skiriasi
Kai kuriose užduotyse reikia rasti posakio, kuriame vardikliai skiriasi, reikšmę. Pažvelkime į konkretų atvejį:
3 2/7+6 1/3
Raskime šios išraiškos reikšmę radę bendrą dviejų trupmenų vardiklį.
Skaičiams 7 ir 3 tai yra 21. Sveikąsias dalis paliekame tokias pačias, o trupmenines dalis paverčiame iki 21, tam padauginame pirmąją trupmeną iš 3, antrąją iš 7 ir gauname:
6/21+7/21, nepamirškite, kad negalima konvertuoti ištisų dalių. Dėl to gauname dvi trupmenas su tuo pačiu vardikliu ir apskaičiuojame jų sumą:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ką daryti, jei pridėjimo rezultatas yra netinkama trupmena, kuri jau turi sveikąją dalį:
2 1/3+3 2/3
IN tokiu atveju Sudedame visas dalis ir trupmenines dalis, gauname:
5 3/3, kaip žinote, 3/3 yra vienas, o tai reiškia 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Surasti sumą aišku, pažiūrėkime į atimtį:
Iš viso to, kas pasakyta, seka operacijų su mišriais skaičiais taisyklė:
- Jei reikia atimti sveikąjį skaičių iš trupmeninės išraiškos, antrojo skaičiaus nereikia vaizduoti trupmenos, užtenka operaciją atlikti tik su sveikosiomis dalimis.
Pabandykime patys apskaičiuoti posakių reikšmę:
Pažvelkime atidžiau į pavyzdį po raide „m“:
4 5/11-2 8/11, pirmosios trupmenos skaitiklis yra mažesnis nei antrosios. Norėdami tai padaryti, pasiskoliname vieną sveikąjį skaičių iš pirmosios trupmenos, gauname
3 5/11+11/11=3 visa 16/11, iš pirmosios trupmenos atimkite antrąją:
3 11/16-2 8/11=1 visa 8/11
- Būkite atsargūs atlikdami užduotį, nepamirškite netinkamų trupmenų paversti mišriomis trupmenomis, paryškindami visą dalį. Norėdami tai padaryti, turite padalyti skaitiklio reikšmę iš vardiklio vertės, tada tai, kas atsitiks, pakeičia visą dalį, likusi dalis bus skaitiklis, pavyzdžiui:
19/4=4 ¾, patikrinkime: 4*4+3=19, vardiklis 4 lieka nepakitęs.
Apibendrinti:
Prieš pradedant užduotį, susijusią su trupmenomis, reikia išanalizuoti, kokia tai išraiška, kokias transformacijas reikia atlikti trupmenoje, kad sprendimas būtų teisingas. Ieškokite racionalesnio sprendimo. Neik sunkiausiu keliu. Suplanuokite visus veiksmus, pirmiausia išspręskite juos juodraštyje, tada perkelkite į savo mokyklinį sąsiuvinį.
Kad išvengtumėte painiavos sprendžiant trupmenines išraiškas, turite laikytis nuoseklumo taisyklės. Viską spręskite atsargiai, neskubėdami.
Įkeliama...