neracionalus skaičius- tai tikras numeris, kuris nėra racionalus, tai yra, negali būti pavaizduotas kaip trupmena, kur yra sveikieji skaičiai, . Neracionalus skaičius gali būti pavaizduotas kaip begalinis nesikartojantis dešimtainis skaičius.
Iracionaliųjų skaičių rinkinys paprastai žymimas didžiąja lotyniška raide, paryškinta be šešėlių. Taigi: , t.y. neracionaliųjų skaičių rinkinys yra realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių skirtumas.
Apie neracionaliųjų skaičių egzistavimą, tiksliau atkarpas, kurios yra nesuderinamos su vienetinio ilgio atkarpa, žinojo jau senovės matematikai: žinojo, pavyzdžiui, įstrižainės ir kvadrato kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta skaičiaus neracionalumui.
Savybės
- Bet kuris realusis skaičius gali būti parašytas kaip begalinė dešimtainė trupmena, o neracionalūs skaičiai ir tik jie rašomi kaip neperiodinės begalinės dešimtainės trupmenos.
- Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind pjūvius racionaliųjų skaičių, kurių skaičius nėra didžiausias žemesnėje klasėje, o mažesnis - viršutinėje klasėje.
- Kiekvienas tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
- Kiekvienas neracionalus skaičius yra algebrinis arba transcendentinis.
- Iracionaliųjų skaičių aibė yra visur tanki tikroje tiesėje: tarp bet kurių dviejų skaičių yra iracionalusis skaičius.
- Iracionaliųjų skaičių aibės tvarka yra izomorfinė realiųjų transcendentinių skaičių aibės tvarkai.
- Iracionaliųjų skaičių aibė yra neskaičiuojama, yra antrosios kategorijos aibė.
Pavyzdžiai
| Neracionalūs skaičiai - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Neracionalūs yra:
Iracionalumo įrodymo pavyzdžiai
2 šaknis
Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis vaizduojamas kaip neredukuojama trupmena, kur yra sveikasis skaičius ir yra natūralusis skaičius. Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:
.Iš to išplaukia, kad net, vadinasi, net ir . Tegul kur visuma. Tada
Todėl net, todėl net ir . Mes gavome tai ir esame lygūs, o tai prieštarauja trupmenos neredukuojamumui. Taigi pirminė prielaida buvo klaidinga ir yra neracionalus skaičius.
Dvejetainis skaičiaus 3 logaritmas
Tarkime priešingai: jis yra racionalus, tai yra, jis vaizduojamas kaip trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai. Nuo , ir gali būti vertinami teigiamai. Tada
Bet aišku, keista. Gauname prieštaravimą.
e
Istorija
Iracionaliųjų skaičių sampratą netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) nustatė, kad kai kurių natūraliųjų skaičių, tokių kaip 2 ir 61, kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos.
Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas paprastai priskiriamas Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.), pitagoriečiui, kuris šį įrodymą rado tyrinėdamas pentagramos kraštinių ilgius. Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, o tai yra sveikasis skaičius kartų, įtrauktų į bet kurį segmentą. Tačiau Hipasas teigė, kad nėra vieno ilgio vieneto, nes jo egzistavimo prielaida sukelia prieštaravimą. Jis parodė, kad jei lygiašonio stačiojo trikampio hipotenuzoje yra sveikasis skaičius vienetinių atkarpų, tai šis skaičius turi būti ir lyginis, ir nelyginis tuo pačiu metu. Įrodymas atrodė taip:
- Lygiašonio stačiakampio trikampio hipotenuzės ilgio ir kojos ilgio santykis gali būti išreikštas kaip a:b, kur a ir b pasirinktas kaip galimas mažiausias.
- Pagal Pitagoro teoremą: a² = 2 b².
- Nes a² lygus, a turi būti lyginis (nes nelyginio skaičiaus kvadratas būtų nelyginis).
- Tiek, kiek a:b nesumažinamas b turi būti nelyginis.
- Nes a net, žymėti a = 2y.
- Tada a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², todėl b tada yra lygus b net.
- Tačiau buvo įrodyta, kad b nelyginis. Prieštaravimas.
Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakomas), tačiau, pasak legendų, Hipasui nebuvo parodyta derama pagarba. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atrado kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio. “ Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.
Neracionalūs skaičiai žmonėms buvo žinomi nuo seniausių laikų. Keletą šimtmečių prieš mūsų erą indų matematikas Manava išsiaiškino, kad kai kurių skaičių (pavyzdžiui, 2) kvadratinės šaknys negali būti aiškiai išreikštos.
Šis straipsnis yra savotiška įvadinė pamoka tema „Neracionalūs skaičiai“. Pateiksime neracionaliųjų skaičių apibrėžimą ir pavyzdžius su paaiškinimu, taip pat išsiaiškinsime, kaip nustatyti, ar tam tikras skaičius yra neracionalus.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Neracionalūs skaičiai. Apibrėžimas
Pats pavadinimas „neracionalūs skaičiai“ mums tarsi siūlo apibrėžimą. Iracionalusis skaičius yra tikrasis skaičius, kuris nėra racionalus. Kitaip tariant, tokio skaičiaus negalima pavaizduoti kaip trupmeną m n , kur m yra sveikas skaičius, o n yra natūralusis skaičius.
Apibrėžimas. Neracionalūs skaičiai
Neracionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kurie dešimtainiu žymėjimu yra begalinės nesikartojančios dešimtainės trupmenos.
Iracionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip begalinė neperiodinė trupmena. Iracionaliųjų skaičių aibė žymima $I$ ir lygi: $I=R / Q$ .
pavyzdžiui. Neracionalūs skaičiai yra:
Operacijos su neracionaliais skaičiais
Iracionaliųjų skaičių aibėje galima įvesti keturias pagrindines aritmetines operacijas: sudėtį, atimtį, daugybą ir padalijimą; bet nė vienai iš išvardytų operacijų neracionaliųjų skaičių aibė neturi uždarymo savybės. Pavyzdžiui, dviejų neracionaliųjų skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
pavyzdžiui. Raskite dviejų neracionalių skaičių $0,1010010001 \ldots$ ir $0,0101101110 \ldots$ sumą. Pirmąjį iš šių skaičių sudaro vienetų seka, atskirta atitinkamai vienu nuliu, dviem nuliais, trimis nuliais ir pan., antrasis - nulių seka, tarp kurių vienas vienas, du vienetai, trys vienetai ir t.t. yra išdėstyti:
$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Taigi dviejų pateiktų neracionaliųjų skaičių suma yra skaičius $\frac(1)(9)$ , kuris yra racionalus.
Pavyzdys
Pratimas.Įrodykite, kad skaičius $\sqrt(3)$ yra neracionalus.
Įrodymas. Naudosime įrodinėjimo prieštaravimu metodą. Tarkime, kad $\sqrt(3)$ yra racionalus skaičius, tai yra, jį galima pavaizduoti kaip trupmeną $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , kur $m$ ir $n$ yra pirminiai natūraliųjų skaičių skaičiai.
Gauname abi lygybės puses kvadratu
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Rodyklė į kairę 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Skaičius 3$\cdot n^(2)$ dalijasi iš 3. Todėl $m^(2)$, taigi ir $m$, dalijasi iš 3. Pateikus $m=3 \cdot k$, lygybė $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ gali būti parašytas kaip
$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Rodyklė kairėn 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftright rodyklė n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Iš paskutinės lygybės išplaukia, kad $n^(2)$ ir $n$ dalijasi iš 3, todėl trupmeną $\frac(m)(n)$ galima sumažinti 3. Tačiau darant prielaidą, trupmena $\ frac(m)(n)$ yra neredukuojamas. Gautas prieštaravimas įrodo, kad skaičius $\sqrt(3)$ negali būti pavaizduotas kaip trupmena $\frac(m)(n)$ ir todėl yra neracionalus.
Q.E.D.
Visi racionalūs skaičiai gali būti pavaizduoti kaip bendroji trupmena. Tai taikoma sveikiesiems skaičiams (pavyzdžiui, 12, -6, 0) ir paskutinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,5; -3,8921) ir begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,11(23); -3 , (87) )).
bet begalinis nepasikartojantis dešimtainis skaičius negali būti vaizduojamos kaip paprastosios trupmenos. Tai jie tokie neracionalūs skaičiai(t. y. neracionalu). Tokio skaičiaus pavyzdys yra π, kuris yra maždaug lygus 3,14. Tačiau, kam jis tiksliai lygus, neįmanoma nustatyti, nes po skaičiaus 4 yra begalė kitų skaičių, kuriuose negalima atskirti pasikartojančių laikotarpių. Tuo pačiu metu, nors skaičius π negali būti tiksliai išreikštas, jis turi specifinę geometrinę reikšmę. Skaičius π yra bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio santykis. Taigi gamtoje egzistuoja iracionalūs skaičiai, kaip ir racionalieji skaičiai.
Kitas neracionaliųjų skaičių pavyzdys yra teigiamų skaičių kvadratinės šaknys. Iš vienų skaičių ištraukus šaknis, gaunamos racionalios reikšmės, iš kitų – neracionalios. Pavyzdžiui, √4 = 2, ty 4 šaknis yra racionalus skaičius. Tačiau √2, √5, √7 ir daugelis kitų lemia neracionalius skaičius, tai yra, juos galima išgauti tik apytiksliai, suapvalintais iki tam tikro skaičiaus po kablelio. Šiuo atveju trupmena gaunama neperiodinė. Tai yra, neįmanoma tiksliai ir neabejotinai pasakyti, kokia yra šių skaičių šaknis.
Taigi √5 yra skaičius tarp 2 ir 3, nes √4 = 2 ir √9 = 3. Taip pat galime daryti išvadą, kad √5 yra arčiau 2 nei 3, nes √4 yra arčiau √5 nei √9 √5. Iš tiesų, √5 ≈ 2,23 arba √5 ≈ 2,24.
Iracionalūs skaičiai gaunami ir kituose skaičiavimuose (ir ne tik išgaunant šaknis), jie yra neigiami.
Kalbant apie neracionalius skaičius, galime teigti, kad nesvarbu, kokį vienetinį segmentą imtume išmatuoti tokiu skaičiumi išreikštą ilgį, mes jo tikrai negalėsime išmatuoti.
Aritmetinėse operacijose neracionalieji skaičiai gali dalyvauti kartu su racionaliais. Tuo pačiu metu yra keletas dėsningumų. Pavyzdžiui, jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja tik racionalieji skaičiai, tada rezultatas visada yra racionalus skaičius. Jei operacijoje dalyvauja tik neracionalieji, tai vienareikšmiškai pasakyti, ar pasirodys racionalus, ar neracionalus skaičius, neįmanoma.
Pavyzdžiui, jei padauginate du neracionalius skaičius √2 * √2, gausite 2 - tai yra racionalus skaičius. Kita vertus, √2 * √3 = √6 yra neracionalus skaičius.
Jei aritmetinis veiksmas apima racionalųjį ir neracionalųjį skaičių, tada bus gautas iracionalus rezultatas. Pavyzdžiui, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17–4.
Kodėl √17 – 4 yra neracionalus skaičius? Įsivaizduokite, kad gaunate racionalųjį skaičių x. Tada √17 = x + 4. Bet x + 4 yra racionalusis skaičius, nes manėme, kad x yra racionalus. Skaičius 4 taip pat yra racionalus, taigi x + 4 yra racionalus. Tačiau racionalusis skaičius negali būti lygus iracionaliajam √17. Todėl prielaida, kad √17 - 4 duoda racionalų rezultatą, yra neteisinga. Aritmetinės operacijos rezultatas bus neracionalus.
Tačiau yra šios taisyklės išimtis. Jei neracionalųjį skaičių padauginsime iš 0, gausime racionalųjį skaičių 0.
Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas
Neracionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kurie dešimtainiu žymėjimu yra begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.
Taigi, pavyzdžiui, skaičiai, gauti paėmus natūraliųjų skaičių kvadratinę šaknį, yra neracionalūs ir nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Tačiau ne visi neracionalieji skaičiai gaunami ištraukus kvadratines šaknis, nes skaičius „pi“, gautas padalijus, taip pat yra neracionalus, ir vargu ar jį gausite bandydami ištraukti kvadratinę šaknį iš natūraliojo skaičiaus.
Iracionaliųjų skaičių savybės
Skirtingai nei skaičiai, rašomi begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis, tik neracionalūs skaičiai rašomi neperiodinėmis begalinėmis dešimtainėmis trupmenomis.
Dviejų neneigiamų iracionaliųjų skaičių suma galiausiai gali būti racionalusis skaičius.
Iracionalieji skaičiai apibrėžia racionaliųjų skaičių aibėje esančias Dedekind dalis, kurių žemesnėje klasėje nėra didžiausio skaičiaus, o viršutinėje – mažesnio.
Bet koks tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
Visi neracionalūs skaičiai yra arba algebriniai, arba transcendentiniai.
Iracionaliųjų skaičių aibė eilutėje yra tankiai supakuota, o tarp bet kurių dviejų jos skaičių turi būti iracionalusis skaičius.
Iracionaliųjų skaičių aibė yra begalinė, neskaičiuojama ir yra 2 kategorijos aibė.
Atliekant bet kokią aritmetinę operaciją su racionaliaisiais skaičiais, išskyrus dalijimą iš 0, jos rezultatas bus racionalusis skaičius.
Pridedant racionalųjį skaičių prie neracionaliojo skaičiaus, rezultatas visada yra neracionalusis skaičius.
Sudėjus iracionaliuosius skaičius, galime gauti racionalųjį skaičių.
Iracionaliųjų skaičių aibė nėra lyginė.
Skaičiai nėra neracionalūs
Kartais gana sunku atsakyti į klausimą, ar skaičius yra neracionalus, ypač tais atvejais, kai skaičius yra dešimtainės trupmenos arba skaitinės išraiškos, šaknies ar logaritmo pavidalu.
Todėl nebus nereikalinga žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Jei vadovausimės iracionaliųjų skaičių apibrėžimu, tai jau žinome, kad racionalieji skaičiai negali būti neracionalūs.
Neracionalūs skaičiai nėra:
Pirma, visi natūralieji skaičiai;
Antra, sveikieji skaičiai;
Trečia, paprastosios trupmenos;
Ketvirta, skirtingi mišrūs skaičiai;
Penkta, tai yra begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.
Be visų pirmiau minėtų dalykų, bet koks racionaliųjų skaičių derinys, kurį atlieka aritmetinių operacijų ženklai, pvz., +, -, , :, negali būti neracionalusis skaičius, nes tokiu atveju taip pat bus dviejų racionaliųjų skaičių rezultatas. būti racionaliu skaičiumi.
Dabar pažiūrėkime, kurie iš skaičių yra neracionalūs:
Ar žinote, kad egzistuoja fanų klubas, kuriame šio paslaptingo matematinio reiškinio gerbėjai ieško vis daugiau informacijos apie Pi, bandydami įminti jo paslaptį? Šio klubo nariu gali tapti bet kuris asmuo, mintinai žinantis tam tikrą Pi skaičių po kablelio;
Ar žinojote, kad Vokietijoje, saugomoje UNESCO, yra Castadel Monte rūmai, kurių proporcijų dėka galite apskaičiuoti Pi. Šiam numeriui karalius Frydrichas II skyrė ištisus rūmus.
Pasirodo, Babelio bokšto statyboje jie bandė panaudoti skaičių Pi. Tačiau mūsų labai apgailestaujame, kad tai lėmė projekto žlugimą, nes tuo metu tikslus Pi vertės apskaičiavimas nebuvo pakankamai ištirtas.
Dainininkė Kate Bush savo naujame diske įrašė dainą pavadinimu „Pi“, kurioje skambėjo šimtas dvidešimt keturi skaičiai iš garsiosios skaičių serijos 3, 141 ... ..
Įkeliama...