Skirtingų figūrų plotai ir tūriai. Kaip rasti tūrį kubiniais metrais

Bet kurį geometrinį kūną galima apibūdinti paviršiaus plotu (S) ir tūriu (V). Plotas ir tūris nėra tas pats dalykas. Pavyzdžiui, objektas gali turėti santykinai mažą V ir didelę S raidę, taip veikia žmogaus smegenys. Apskaičiuokite šiuos rodiklius paprastai geometrines figūras daug paprasčiau.

Lygiagretusis vamzdis: apibrėžimas, tipai ir savybės

Lygiagretainis yra keturkampė prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis. Kodėl jums gali prireikti formulės figūros tūriui rasti? Knygos, pakavimo dėžės ir daug kitų dalykų iš Kasdienybė. Gyvenamųjų ir biurų pastatų kambariai dažniausiai yra stačiakampiai gretasieniai. Norint įrengti vėdinimą, oro kondicionavimą ir nustatyti šildymo elementų skaičių patalpoje, reikia apskaičiuoti patalpos tūrį.

Figūra turi 6 paviršius - lygiagretainius ir 12 briaunų; du atsitiktinai parinkti paviršiai vadinami pagrindais. Lygiagretainis gali būti kelių tipų. Skirtumai atsiranda dėl kampų tarp gretimų kraštų. Skirtingų daugiakampių V suradimo formulės šiek tiek skiriasi.

Jei 6 geometrinės figūros paviršiai yra stačiakampiai, tada ji taip pat vadinama stačiakampiu. Kubas yra ypatinga byla gretasienis, kurio visi 6 paviršiai yra lygūs kvadratai. Šiuo atveju, norėdami rasti V, turite sužinoti tik vienos kraštinės ilgį ir pakelti ją į trečią laipsnį.

Norėdami išspręsti problemas, jums reikės žinių ne tik apie paruoštas formules, bet ir apie figūros savybes. Stačiakampės prizmės pagrindinių savybių sąrašas yra mažas ir labai lengvai suprantamas:

Priešingos figūros pusės yra lygios ir lygiagrečios. Tai reiškia, kad priešais esantys šonkauliai yra vienodo ilgio ir pasvirimo kampo.
Visi dešiniojo gretasienio šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.
Keturios pagrindinės geometrinės figūros įstrižainės susikerta viename taške ir juo dalijamos pusiau.
Gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus figūros matmenų kvadratų sumai (iš Pitagoro teoremos).

Pitagoro teorema teigia, kad stačiojo trikampio kraštinėse pastatytų kvadratų plotų suma yra lygi trikampio, pastatyto ant to paties trikampio hipotenuzės, plotui.

Paskutinio turto įrodymą galite pamatyti žemiau esančiame paveikslėlyje. Problemos sprendimo procesas yra paprastas ir nereikalauja išsamių paaiškinimų.

Stačiakampio gretasienio tūrio formulė

Visų tipų geometrinių figūrų radimo formulė yra ta pati: V=S*h, kur V – reikiamas tūris, S – gretasienio pagrindo plotas, h – aukštis, nuleistas nuo priešingos viršūnės ir statmenai pagrindui. Stačiakampyje h sutampa su viena iš figūros kraštinių, todėl norint rasti stačiakampės prizmės tūrį, reikia padauginti tris matmenis.

Tūris paprastai išreiškiamas cm3. Žinant visas tris a, b ir c reikšmes, rasti figūros tūrį visai nėra sunku. Dažniausia unifikuoto valstybinio egzamino problema yra gretasienio tūrio arba įstrižainės paieška. Išspręskite daugelį tipiškų Vieningų valstybinių egzaminų užduotys Tai neįmanoma be stačiakampio tūrio formulės. Užduoties pavyzdys ir jos sprendimo dizainas parodytas paveikslėlyje žemiau.

1 pastaba. Stačiakampės prizmės paviršiaus plotą galima rasti trijų figūros paviršių: pagrindo (ab) ir dviejų gretimų šoninių paviršių (bc + ac) plotų sumą padauginus iš 2.

Užrašas 2. Šoninių paviršių paviršiaus plotą galima lengvai nustatyti padauginus pagrindo perimetrą iš gretasienio aukščio.

Remiantis pirmąja gretasienio savybe AB = A1B1, o paviršius B1D1 = BD. Remiantis Pitagoro teoremos išvadomis, visų kampų suma taisyklingas trikampis yra lygi 180°, o koja, esanti priešais 30° kampą, lygi hipotenuzei. Pritaikius šias žinias trikampiui, nesunkiai galime rasti kraštinių AB ir AD ilgį. Tada gautas vertes padauginame ir apskaičiuojame gretasienio tūrį.

Pasvirusio gretasienio tūrio nustatymo formulė

Norint rasti pasvirusio gretasienio tūrį, reikia padauginti figūros pagrindo plotą iš aukščio, nuleisto iki nurodyto pagrindo iš priešingo kampo.

Taigi reikiamą V galima pavaizduoti h forma – lapų, kurių bazinis plotas S, skaičius, taigi kaladės tūris susideda iš visų kortų V.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Vieno egzamino užduotys turi būti įvykdytos per tam tikrą laiką. Įprastų užduočių, kaip taisyklė, nėra didelis kiekis skaičiavimai ir sudėtingos trupmenos. Dažnai mokinio klausiama, kaip rasti netaisyklingos geometrinės figūros tūrį. Tokiais atvejais turėtumėte atsiminti paprastą taisyklę, kad bendras tūris yra lygus sudedamųjų dalių Vs sumai.

Kaip matote iš aukščiau esančio pavyzdžio, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Atliekant užduotis iš sudėtingesnių skyrių, reikia žinoti Pitagoro teoremą ir jos pasekmes, taip pat figūros įstrižainės ilgio formulę. Norint sėkmingai išspręsti testo užduotis, pakanka iš anksto susipažinti su tipinių problemų pavyzdžiais.

Išmatuokite visus reikiamus atstumus metrais. Daugelio trimačių figūrų tūrį galima lengvai apskaičiuoti naudojant atitinkamas formules. Tačiau visos reikšmės, pakeistos į formules, turi būti matuojamos metrais. Todėl prieš įtraukdami reikšmes į formulę įsitikinkite, kad jos visos išmatuotos metrais arba ar konvertavote kitus matavimo vienetus į metrus.

1 mm = 0,001 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m

Norėdami apskaičiuoti stačiakampių figūrų (kubo, kubo) tūrį, naudokite formulę: tūris = L × W × H(ilgis padaugintas plotis padaugintas aukštis). Ši formulė gali būti laikoma vieno iš figūros paviršių paviršiaus ploto ir šiam veidui statmenos briaunos sandauga.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime kambario, kurio ilgis 4 m, plotis 3 m ir aukštis 2,5 m, tūrį. Norėdami tai padaryti, tiesiog padauginkite ilgį iš pločio ir aukščio:
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Šios patalpos tūris yra 30 m 3.
Kubas yra trimatė figūra, kurios visos kraštinės yra lygios. Taigi, kubo tūrio apskaičiavimo formulę galima parašyti taip: tūris = L 3 (arba W 3, arba H 3).

Norėdami apskaičiuoti figūrų tūrį cilindro pavidalu, naudokite formulę: pi× R 2 × H. Apskaičiuojant cilindro tūrį, apskritimo pagrindo plotas padauginamas iš cilindro aukščio (arba ilgio). Raskite apskritimo pagrindo plotą padauginę pi (3.14) iš apskritimo spindulio kvadrato (R) (spindulys yra atstumas nuo apskritimo centro iki bet kurio taško, esančio ant šio apskritimo). Tada gautą rezultatą padauginkite iš cilindro aukščio (H) ir gausite cilindro tūrį. Visos vertės matuojamos metrais.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime 1,5 m skersmens ir 10 m gylio šulinio tūrį, skersmenį padalinkite iš 2, kad gautumėte spindulį: 1,5/2 = 0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Šulinio tūris yra 17,66 m 3.

Norėdami apskaičiuoti rutulio tūrį, naudokite formulę: 4/3 x pi× R 3 . Tai reiškia, kad reikia žinoti tik rutulio spindulį (R).

Pavyzdžiui, apskaičiuokime garsumą karšto oro balionas kurių skersmuo 10 m. Skersmenį padalinkite iš 2, kad gautumėte spindulį: 10/2=5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) × 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Baliono tūris yra 523,6 m 3.

Norėdami apskaičiuoti kūgio formos figūrų tūrį, naudokite formulę: 1/3 x pi× R 2 × H. Kūgio tūris lygus 1/3 vienodo aukščio ir spindulio cilindro tūrio.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime 3 cm spindulio ir 15 cm aukščio ledų kūgio tūrį, pavertę metrais, gauname: atitinkamai 0,03 m ir 0,15 m.
- 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
- = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Ledų kūgio tūris yra 0,000141 m 3.

Norėdami apskaičiuoti netaisyklingų formų tūrį, naudokite kelias formules. Norėdami tai padaryti, pabandykite suskaidyti figūrą į kelias tinkamos formos figūras. Tada suraskite kiekvienos tokios figūros tūrį ir sudėkite rezultatus.

Pavyzdžiui, apskaičiuokime mažos klėties tūrį. Sandėlis turi cilindrinį korpusą, kurio aukštis 12 m, spindulys 1,5 m. Sandėlyje taip pat yra kūginis stogas, kurio aukštis 1 m. Skaičiuodami stogo tūrį atskirai ir kėbulo tūrį atskirai, mes galite rasti bendrą klėties tūrį:
- pi × R 2 × H + 1/3 × pi × R 2 × H
- (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 × (3,14) × 1,5 × 1
- = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 × (3,14) × 2,25 × 1
- = (3,14) × 27 + 1/3 × (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Sandėlio tūris lygus 87,178 m 3.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematikos. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti būdai Vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas temas, reikalingas sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį matematikos egzaminą 60-65 balais. Visiškai visos profilio vieningo valstybinio matematikos egzamino 1-13 užduotys. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 m. reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, erdvinės vaizduotės ugdymas. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Aiškūs sudėtingų sąvokų paaiškinimai. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.

O senovės egiptiečiai naudojo įvairių figūrų plotų skaičiavimo metodus, panašius į mūsų metodus.

Mano knygose "Pradžia" garsus senovės graikų matematikas Euklidas aprašė gana didelis skaičius daugelio geometrinių figūrų plotų skaičiavimo metodai. Pirmieji rankraščiai Rusijoje su geometrine informacija buvo parašyti XVI a. Juose aprašomos įvairių formų figūrų plotų radimo taisyklės.

Šiandien su pagalba šiuolaikiniai metodai galite labai tiksliai rasti bet kurios figūros plotą.

Panagrinėkime vieną iš paprasčiausių figūrų – stačiakampį – ir jo ploto nustatymo formulę.

Stačiakampio ploto formulė

Panagrinėkime figūrą (1 pav.), kurią sudaro $8$ kvadratai, kurių kraštinės $1$ cm. Vieno kvadrato, kurio kraštinė yra $1$ cm, plotas vadinamas kvadratiniu centimetru ir parašytas $1\ cm^2 $.

Šios figūros plotas (1 pav.) bus lygus $8\cm^2$.

Figūros, kurią galima padalyti į kelis kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$ (pavyzdžiui, $p$), plotas bus lygus $p\ cm^2$.

Kitaip tariant, figūros plotas bus lygus tiek $cm^2$, į kiek kvadratų, kurių kraštinė yra $1\ cm$, šią figūrą galima padalyti.

Panagrinėkime stačiakampį (2 pav.), kurį sudaro $3$ juostelės, kurių kiekviena padalinta į $5$ kvadratus, kurių kraštinė yra $1\ cm$. visas stačiakampis susideda iš $5\cdot 3=15$ tokių kvadratų, o jo plotas yra $15\cm^2$.

1 paveikslas.

2 pav.

Figūrų plotas paprastai žymimas raide $S$.

Norėdami rasti stačiakampio plotą, turite padauginti jo ilgį iš pločio.

Jei jo ilgį pažymėsime raide $a$, o plotį - raide $b$, tada stačiakampio ploto formulė atrodys taip:

1 apibrėžimas

Figūros vadinamos lygus jei, uždėjus viena ant kitos, skaičiai sutampa. Turi vienodus skaičius lygių plotų ir vienodi perimetrai.

Figūros plotą galima rasti kaip jos dalių plotų sumą.

1 pavyzdys

Pavyzdžiui, paveikslėlyje $3$ stačiakampis $ABCD$ yra padalintas į dvi dalis linija $KLMN$. Vienos dalies plotas yra $12\ cm^2$, o kitos - $9\ cm^2$. Tada stačiakampio $ABCD$ plotas bus lygus $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Raskite stačiakampio plotą naudodami formulę:

Kaip matote, abiem metodais rastos sritys yra lygios.

3 pav.

4 pav.

Linijos atkarpa $AC$ padalija stačiakampį į du vienodus trikampius: $ABC$ ir $ADC$. Tai reiškia, kad kiekvieno trikampio plotas yra lygus pusei viso stačiakampio ploto.

2 apibrėžimas

Stačiakampis su lygios pusės paskambino kvadratas.

Jei kvadrato kraštinę pažymime raide $a$, tada kvadrato plotas bus rastas pagal formulę:

Taigi skaičiaus $a$ pavadinimo kvadratas.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei kvadrato kraštinė yra $5 $ cm, tada jo plotas yra:

Apimtys

Vystantis prekybai ir statyboms dar senovės civilizacijų laikais, atsirado poreikis rasti apimtis. Matematikoje yra geometrijos šaka, nagrinėjanti erdvines figūras, vadinama stereometrija. Šios atskiros matematikos šakos paminėjimai buvo rasti jau $IV$ amžiuje prieš Kristų.

Senovės matematikai sukūrė paprastų figūrų – kubo ir gretasienio – tūrio apskaičiavimo metodą. Visi tų laikų pastatai buvo tokios formos. Tačiau vėliau buvo rasti metodai sudėtingesnių formų figūrų tūriui apskaičiuoti.

Stačiakampio gretasienio tūris

Jei užpildysite formą šlapiu smėliu ir apverssite, gausite trimatė figūra, kuriai būdingas tūris. Jei padarysite kelias tokias figūras naudodami tą pačią formą, gausite vienodo tūrio figūras. Jei užpildysite formą vandeniu, vandens tūris ir smėlio figūros tūris taip pat bus lygus.

5 pav.

Galite palyginti dviejų indų tūrius, pripildydami vieną vandens ir supildami į antrąjį indą. Jei antrasis indas yra visiškai užpildytas, indai yra vienodo tūrio. Jei vandens lieka pirmajame, tada pirmojo indo tūris yra didesnis nei antrojo. Jei pilant vandenį iš pirmojo indo nepavyksta visiškai užpildyti antrojo indo, tai pirmojo indo tūris yra mažesnis už antrojo.

Tūris matuojamas naudojant šiuos vienetus:

$mm^3$ – kubinis milimetras,

$cm^3$ – kubinis centimetras,

$dm^3$ – kubinis decimetras,

$m^3$ – kubinis metras,

$km^3$ -- kubinis kilometras.