Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Turpmāk “KU”. Draugi, šķiet, ka matemātikā nevar būt nekā vienkāršāka par šāda vienādojuma atrisināšanu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik daudz seansu pēc pieprasījuma mēnesī sniedz Yandex. Lūk, kas notika, skatieties:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, kāds tam sakars ar vasaru un kas notiks mācību gada laikā - būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas vienotajam valsts eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī sniegt savu ieguldījumu un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni, pamatojoties uz šo pieprasījumu; otrkārt, citos rakstos, kad uznāks tēma “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:

kur koeficienti a,bun c ir patvaļīgi skaitļi ar a≠0.

Skolas kursā materiāls tiek dots šādu veidlapu– vienādojumi ir sadalīti trīs klasēs:

1. Viņiem ir divas saknes.

2. *Ir tikai viena sakne.

3. Viņiem nav sakņu. Šeit ir īpaši vērts atzīmēt, ka tiem nav īstu sakņu

Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī “briesmīgā” vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

*Šīs formulas jāzina no galvas.

Jūs varat nekavējoties pierakstīt un atrisināt:

Piemērs:

1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Šajā sakarā, kad diskriminants ir vienāds ar nulli, skolas kurss saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Viss ir pareizi, tā ir, bet...

Šī ideja ir nedaudz nepareiza. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, jūs iegūstat divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, atbildē ir jāraksta divas saknes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā to var pierakstīt un teikt, ka ir viena sakne.

Tagad nākamais piemērs:

Kā zināms, negatīva skaitļa sakni nevar ņemt, tāpēc risinājumi iekšā šajā gadījumā Nē.

Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.

Kvadrātiskā funkcija.

Tas parāda, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c – doti skaitļi, ar a ≠ 0

Grafiks ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar “y”, kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) un neviens (diskriminants ir negatīvs). Sīkāka informācija par kvadrātiskā funkcija Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apskatīsim piemērus:

1. piemērs: Atrisiniet 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atbilde: x 1 = 8 x 2 = –12

*Varēja uzreiz dalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.

2. piemērs: Izlemiet x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2–4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mēs noskaidrojām, ka x 1 = 11 un x 2 = 11

Atbildē atļauts rakstīt x = 11.

Atbilde: x = 11

3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: nav risinājuma

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā; šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Nedaudz teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z = a + bi

kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a+bi – tas ir VIENS SKAITS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Mēs iegūstam divas konjugētas saknes.

Nepilns kvadrātvienādojums.

Apskatīsim īpašus gadījumus, kad koeficients “b” vai “c” ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tos var viegli atrisināt bez jebkādiem diskriminācijas līdzekļiem.

1. gadījums. Koeficients b = 0.

Vienādojums kļūst:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. gadījums. Koeficients c = 0.

Vienādojums kļūst:

Pārveidosim un faktorinizēsim:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.

Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv

a + b+ c = 0, Tas

- ja vienādojuma koeficientiem Ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība pastāv

a+ s =b, Tas

Šīs īpašības palīdz izlemt noteiktu veidu vienādojumi

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Likmes summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, kas nozīmē

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība ir spēkā a+ s =b, Līdzekļi

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 – bx + c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 +1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ja vienād. ax 2 + bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients “c” ir skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 – bx – c = 0 koeficients “b” ir vienāds ar (a 2 – 1), un koeficients c skaitliski vienāds ar koeficientu “a”, tad tā saknes ir vienādas

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, varam izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kopumā skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Vietas teorēma, turklāt. Tas ir ērti ar to, ka pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (izmantojot diskriminantu) var pārbaudīt iegūtās saknes. Es iesaku to darīt vienmēr.

TRANSPORTĒŠANAS METODE

Ar šo metodi koeficients “a” tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam “uzmests”, tāpēc to sauc "pārsūtīšanas" metode.Šo metodi izmanto, ja jūs varat viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja A± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Izmantojot Vietas teorēmu (2) vienādojumā, ir viegli noteikt, ka x 1 = 10 x 2 = 1

Iegūtās vienādojuma saknes ir jādala ar 2 (jo abi tika “izmesti” no x 2), mēs iegūstam

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.

(1) un (2) vienādojumu diskriminanti ir vienādi:

Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, jūs iegūstat tikai dažādus saucējus, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta x 2:

Otrajam (modificētajam) ir 2 reizes lielākas saknes.

Tāpēc rezultātu dalām ar 2.

*Ja pārrullēsim trīs, rezultātu dalīsim ar 3 utt.

Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie un vienotais valsts eksāmens.

Īsi pastāstīšu par tā nozīmi - IR JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu un diskriminējošo faktoru formulas jāzina no galvas. Daudzas no problēmām, kas iekļautas vienotā valsts eksāmena uzdevumos, ir saistītas ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).

Kaut kas ievērības cienīgs!

1. Vienādojuma rakstīšanas forma var būt “netieša”. Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 -5x + 10x 2 = 0.

Jums tas jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).

2. Atcerieties, ka x ir nezināms lielums un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Bibliogrāfiskais apraksts: Gasanovs A. R., Kuramšins A. A., Elkovs A. A., Šilņenkovs N. V., Ulanovs D. D., Šmeļeva O. V. Risinājuma metodes kvadrātvienādojumi// Jaunais zinātnieks. 2016. Nr.6.1. P. 17-20..03.2019).



Mūsu projekts ir par kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem. Projekta mērķis: iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus veidos, kas nav iekļauti skolas mācību programmā. Uzdevums: atrast visu iespējamie veidi atrisinot kvadrātvienādojumus un iemācoties tos izmantot pašiem un iepazīstināt ar šīm metodēm savus klasesbiedrus.

Kas ir “kvadrātvienādojumi”?

Kvadrātvienādojums- formas vienādojums cirvis2 + bx + c = 0, Kur a, b, c- daži cipari ( a ≠ 0), x- nezināms.

Skaitļus a, b, c sauc par kvadrātvienādojuma koeficientiem.

• a sauc par pirmo koeficientu;
• b sauc par otro koeficientu;
• c - bezmaksas dalībnieks.

Kurš bija pirmais, kurš “izgudroja” kvadrātvienādojumus?

Dažas algebriskās metodes lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanai bija zināmas pirms 4000 gadiem Senajā Babilonā. Seno Babilonijas māla tablešu atklāšana, kas datētas ar 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras, sniedz agrākos pierādījumus par kvadrātvienādojumu izpēti. Tās pašas tabletes satur metodes noteikta veida kvadrātvienādojumu risināšanai.

Nepieciešamību atrisināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar apgabalu atrašanu. zemes gabali un ar zemes darbi militāra rakstura, kā arī ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību.

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar risinājumiem, kas izklāstīti recepšu veidā, bez norādes par to, kā tie atrasti. Neskatoties uz augsts līmenis algebras attīstība Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgas metodes kvadrātvienādojumu risināšana.

Babilonijas matemātiķi aptuveni 4. gadsimtā pirms mūsu ēras. izmantoja kvadrāta komplementa metodi, lai atrisinātu vienādojumus ar pozitīvām saknēm. Apmēram 300.g.pmē Eiklīds nāca klajā ar vispārīgāku ģeometriskā risinājuma metodi. Pirmais matemātiķis, kurš algebriskās formulas veidā atrada risinājumus vienādojumiem ar negatīvām saknēm, bija Indijas zinātnieks. Brahmagupta(Indija, 7. gadsimts AD).

Brahmagupta noteica vispārīgu noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficienti šajā vienādojumā var būt arī negatīvi. Brahmaguptas likums būtībā ir tāds pats kā mūsu.

Indijā bija izplatīti publiski konkursi sarežģītu problēmu risināšanā. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu aptumšo zvaigznes, tā mācīts cilvēks aizēnos savu slavu publiskās sapulcēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas. Problēmas bieži tika izklāstītas poētiskā formā.

Algebriskā traktātā Al-Khwarizmi ir dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors saskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) “Kvadrāti ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 = bx.

2) “Kvadrāti ir vienādi ar skaitļiem”, t.i., ax2 = c.

3) “Saknes ir vienādas ar skaitli”, t.i., ax2 = c.

4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, t.i., ax2 + c = bx.

5) “Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli”, t.i., ax2 + bx = c.

6) “Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem”, t.i., bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitāmie, nevis atņemamie. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autors izklāsta metodes šo vienādojumu risināšanai, izmantojot al-jabr un al-mukabal metodes. Viņa lēmums, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējo. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, piemēram, ka, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu, Al-Khorezmi, tāpat kā visi matemātiķi līdz 17. gadsimtam, neņem vērā nulles atrisinājumu. laikam tāpēc, ka konkrētajā praksē uzdevumos tam nav nozīmes. Risinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, Al-Khwarizmi nosaka to risināšanas noteikumus, izmantojot konkrētus skaitliskos piemērus un pēc tam to ģeometriskos pierādījumus.

Veidlapas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc Al-Khwarizmi parauga Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas “Abaka grāmatā”, kas sarakstīta 1202. gadā. Itāļu matemātiķis Leonards Fibonači. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskie piemēri risinot problēmas un pirmais Eiropā ieviesa negatīvus skaitļus.

Šī grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas problēmas no šīs grāmatas tika izmantotas gandrīz visās Eiropas 14.-17. gadsimta mācību grāmatās. Vispārējs noteikums kvadrātvienādojumu atrisinājums, kas reducēts uz vienu kanonisku formu x2 + bх = с visām iespējamām zīmju un koeficientu kombinācijām b, c tika formulēts Eiropā 1544. gadā. M. Stīfels.

Kvadrātvienādojuma atrisināšanas formulas atvasināšana in vispārējs skats Vietai tas ir, bet Vjets atzina tikai pozitīvas saknes. itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli starp pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām tiek ņemtas vērā arī negatīvās saknes. Tikai 17. gs. pateicoties pūlēm Žirārs, Dekarts, Ņūtons un citi zinātnieki, kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst modernu formu.

Apskatīsim vairākus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus.

Standartmetodes kvadrātvienādojumu atrisināšanai no skolas mācību programma:

1. Vienādojuma kreisās puses faktorēšana.
2. Pilna kvadrāta izvēles metode.
3. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot formulu.
4. Grafiskais risinājums kvadrātvienādojums.
5. Vienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Sīkāk pakavēsimies pie reducētu un nereducētu kvadrātvienādojumu risinājuma, izmantojot Vietas teorēmu.

Atgādiniet, ka, lai atrisinātu iepriekš minētos kvadrātvienādojumus, pietiek atrast divus skaitļus, kuru reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu un kuru summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi.

Piemērs.x 2 -5x+6=0

Jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir 6 un kuru summa ir 5. Šie skaitļi būs 3 un 2.

Atbilde: x 1 =2, x 2 =3.

Taču šo metodi var izmantot arī vienādojumiem, kuru pirmais koeficients nav vienāds ar vienu.

Piemērs.3x 2 +2x-5=0

Ņemiet pirmo koeficientu un reiziniet to ar brīvo termiņu: x 2 +2x-15=0

Šī vienādojuma saknes būs skaitļi, kuru reizinājums ir vienāds ar - 15 un kuru summa ir vienāda ar - 2. Šie skaitļi ir 5 un 3. Lai atrastu sākotnējā vienādojuma saknes, iegūtās saknes sadaliet ar pirmo koeficientu.

Atbilde: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Vienādojumu risināšana, izmantojot "mest" metodi.

Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Reizinot abas puses ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Lai ax = y, no kurienes x = y/a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y 2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tās saknes 1 un 2, izmantojot Vietas teorēmu.

Beidzot iegūstam x 1 = y 1 /a un x 2 = y 2 /a.

Izmantojot šo metodi, koeficients a tiek reizināts ar brīvo terminu, it kā tam tiek “iemests”, tāpēc to sauc par “metiena” metodi. Šo metodi izmanto, ja jūs varat viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Piemērs.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Iemetīsim” koeficientu 2 brīvajam terminam un veiksim aizstāšanu un iegūsim vienādojumu y 2 - 11y + 30 = 0.

Saskaņā ar Vietas apgriezto teorēmu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atbilde: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības.

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ja a+ b + c = 0 (t.i., vienādojuma koeficientu summa ir nulle), tad x 1 = 1.

2. Ja a - b + c = 0 vai b = a + c, tad x 1 = - 1.

Piemērs.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Tā kā a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tad x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atbilde: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Piemērs.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jo a-b+c = 0 (132 - 247 +115 = 0), tad x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atbilde: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Kvadrātvienādojuma koeficientiem ir arī citas īpašības. bet to izmantošana ir sarežģītāka.

8. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu.

1. att. Nomogramma

Šī ir sena un šobrīd aizmirsta kvadrātvienādojumu risināšanas metode, kas ievietota krājuma 83. lpp.: Bradis V.M. Četru ciparu matemātikas tabulas. - M., Izglītība, 1990. gads.

XXII tabula. Nomogramma vienādojuma risināšanai z 2 + pz + q = 0. Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes no tā koeficientiem.

Nomogrammas līknes skala ir veidota pēc formulām (1. att.):

Ticot OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), no 1. att. trīsstūru līdzības SAN Un CDF mēs iegūstam proporciju

kas pēc aizstāšanas un vienkāršošanas dod vienādojumu z 2 + pz + q = 0, un vēstule z nozīmē jebkura punkta atzīmi izliektā skalā.

Rīsi. 2 Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu

Piemēri.

1) Vienādojumam z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8,0 un z 2 = 1,0

Atbilde:8,0; 1.0.

2) Izmantojot nomogrammu, mēs atrisinām vienādojumu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Sadalot šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogramma dod saknes z 1 = 4 un z 2 = 0,5.

Atbilde: 4; 0.5.

9. Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Piemērs.X 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39."

Aplūkosim kvadrātu ar malu x, tā malās ir izveidoti taisnstūri tā, lai katra otra mala būtu 2,5, tāpēc katra laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūto skaitli papildina ar jaunu kvadrātu ABCD, veidojot četrus vienādus kvadrātus stūros, katra mala ir 2,5 un laukums ir 6,25

Rīsi. 3 Grafiskā metode vienādojuma x 2 + 10x = 39 atrisināšanai

Kvadrāta ABCD laukumu S var attēlot kā laukumu summu no: sākotnējā kvadrāta x 2, četriem taisnstūriem (4∙2,5x = 10x) un četriem papildu kvadrātiem (6,25∙4 = 25), t.i. S = x 2 + 10x = 25. Aizstājot x 2 + 10x ar skaitli 39, iegūstam, ka S = 39 + 25 = 64, kas nozīmē, ka kvadrāta mala ir ABCD, t.i. segments AB = 8. Sākotnējā kvadrāta vajadzīgajai malai x iegūstam

10. Vienādojumu risināšana, izmantojot Bezout teorēmu.

Bezout teorēma. Atlikušais polinoma P(x) dalījums ar binomiālu x - α ir vienāds ar P(α) (tas ir, P(x) vērtība pie x = α).

Ja skaitlis α ir polinoma P(x) sakne, tad šis polinoms dalās ar x -α bez atlikuma.

Piemērs.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Sadaliet P(x) ar (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 vai x-3=0, x=3; Atbilde: x1 =2, x2 =3.

Secinājums: Spēja ātri un racionāli atrisināt kvadrātvienādojumus ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu vairāk sarežģīti vienādojumi, piemēram, frakcionēti racionālie vienādojumi, vienādojumi augstākas pakāpes, bikvadrātiskie vienādojumi un vidusskolā trigonometriskie, eksponenciālie un logaritmiskie vienādojumi. Izpētot visas atrastās kvadrātvienādojumu risināšanas metodes, mēs varam ieteikt saviem klasesbiedriem papildus standarta metodēm atrisināt ar pārsūtīšanas metodi (6) un atrisināt vienādojumus, izmantojot koeficientu īpašību (7), jo tie ir pieejamāki. uz izpratni.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Četru ciparu matemātikas tabulas. - M., Izglītība, 1990. gads.
2. Algebra 8. klase: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teljakovskis, 15. izd., pārstrādāts. - M.: Izglītība, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā. Rokasgrāmata skolotājiem. / Red. V.N. Jaunāks. - M.: Izglītība, 1964. gads.

Vienkārši. Pēc formulām un skaidriem, vienkāršiem noteikumiem. Pirmajā posmā

nepieciešams dot doto vienādojumu standarta formā, t.i. uz formu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jāveic pirmais posms. Vissvarīgākais ir darīt to pareizi

noteikt visus koeficientus, A, b Un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējošs . Kā redzat, lai atrastu X, mēs

mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojums. Vienkārši uzmanīgi ievietojiet to

vērtības a, b un c Mēs aprēķinām pēc šīs formulas. Mēs aizstājam ar viņu zīmes!

Piemēram, vienādojumā:

A =1; b = 3; c = -4.

Mēs aizstājam vērtības un rakstām:

Piemērs ir gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Biežākās kļūdas ir sajaukšana ar zīmju vērtībām a, b Un Ar. Pareizāk sakot, ar aizstāšanu

negatīvās vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit palīgā nāk detalizēts formulas ieraksts

ar konkrētiem cipariem. Ja jums ir problēmas ar aprēķiniem, dariet to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Mēs visu aprakstām detalizēti, rūpīgi, neko nepalaižot garām ar visām zīmēm un iekavām:

Kvadrātvienādojumi bieži izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu.

Pirmā tikšanās. Pirms tam neesiet slinks kvadrātvienādojuma atrisināšana izveidojiet to standarta formā.

Ko tas nozīmē?

Pieņemsim, ka pēc visām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt saknes formulu! Jūs gandrīz noteikti sajauksit izredzes a, b un c.

Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms X kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais termiņš. Kā šis:

Atbrīvojieties no mīnusa. Kā? Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Bet tagad var droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru risināt.

Izlemiet paši. Tagad jums vajadzētu būt saknēm 2 un -1.

Uzņemšana otrā. Pārbaudiet saknes! Autors Vietas teorēma.

Lai atrisinātu dotos kvadrātvienādojumus, t.i. ja koeficients

x 2 +bx+c=0,

Tadx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Pilnīgam kvadrātvienādojumam, kurā a≠1:

x 2+bx+c=0,

dala visu vienādojumu ar A:

→ →

Kur x 1 Un x 2 - vienādojuma saknes.

Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Pavairot

vienādojums ar kopsaucēju.

Secinājums. Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu izveidojam standarta formā un izveidojam Pa labi.

2. Ja X kvadrātā priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, visu reizinot

vienādojumi ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo

faktors.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar

Pirmais līmenis

Kvadrātvienādojumi. Visaptveroša rokasgrāmata (2019)

Terminā “kvadrātvienādojums” atslēgas vārds ir “kvadrātvienādojums”. Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti jāietver mainīgais (tas pats x) kvadrātā, un tajā nedrīkst būt x līdz trešajai (vai lielākai) pakāpei.

Daudzu vienādojumu risinājums ir kvadrātvienādojumu atrisināšana.

Mācīsimies noteikt, ka šis ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits vienādojums.

1. piemērs.

Atbrīvosimies no saucēja un reiziināsim katru vienādojuma biedru ar

Pārvietosim visu uz kreiso pusi un sakārtosim terminus dilstošā X pakāpju secībā

Tagad mēs varam ar pārliecību teikt, ka šis vienādojums ir kvadrātisks!

2. piemērs.

Reiziniet kreiso un labo pusi ar:

Šis vienādojums, lai gan sākotnēji tajā bija, nav kvadrātisks!

3. piemērs.

Sareizināsim visu ar:

Baisi? Ceturtā un otrā pakāpe... Tomēr, ja mēs veiksim nomaiņu, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:

4. piemērs.

Šķiet, ka tā ir, bet paskatīsimies tuvāk. Pārvietosim visu uz kreiso pusi:

Redziet, tas ir samazināts – un tagad tas ir vienkāršs lineārs vienādojums!

Tagad mēģiniet pats noteikt, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātvienādojumi un kuri nav:

Piemēri:

Atbildes:

1. kvadrāts;
2. kvadrāts;
3. nav kvadrātveida;
4. nav kvadrātveida;
5. nav kvadrātveida;
6. kvadrāts;
7. nav kvadrātveida;
8. kvadrāts.

Matemātiķi visus kvadrātvienādojumus parasti iedala šādos veidos:

• Pilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins c nav vienādi ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgiem kvadrātvienādojumiem ir dota- tie ir vienādojumi, kuros koeficients (vienādojums no pirmā piemēra ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)

• Nepilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

  Tie ir nepilnīgi, jo tiem trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr jābūt x kvadrātā!!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrātvienādojums, bet gan kāds cits vienādojums.

Kāpēc viņi izdomāja šādu sadalījumu? Šķiet, ka ir X kvadrātā, un labi. Šo iedalījumu nosaka risināšanas metodes. Apskatīsim katru no tiem sīkāk.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Pirmkārt, pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai – tie ir daudz vienkāršāki!

Pastāv nepilnu kvadrātvienādojumu veidi:

1. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
2. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
3. , šajā vienādojumā koeficients un brīvais termins ir vienādi.

1. i. Tā kā mēs zinām, kā ņemt kvadrātsakni, izteiksim no šī vienādojuma

Izteiciens var būt gan negatīvs, gan pozitīvs. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu.

Un ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir zināt un vienmēr atcerēties, ka mazāk nevar būt.

Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tagad atliek tikai izvilkt sakni no kreisās un labās puses. Galu galā, jūs atceraties, kā iegūt saknes?

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!!!

6. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

7. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu!

Šādiem vienādojumiem, kuriem nav sakņu, matemātiķi izdomāja īpašu ikonu - (tukšs komplekts). Un atbildi var uzrakstīt šādi:

Atbilde:

Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav nekādu ierobežojumu, jo mēs neizņēmām sakni.
8. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Tādējādi

Šim vienādojumam ir divas saknes.

Atbilde:

Vienkāršākais nepilnīgo kvadrātvienādojumu veids (lai gan tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Šeit mēs iztiksim no piemēriem.

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana

Atgādinām, ka pilns kvadrātvienādojums ir formas vienādojuma vienādojums, kur

Pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz grūtāka (tikai nedaudz) nekā šie.

Atcerieties, Jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Citas metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, taču, ja rodas problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.

1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot šo metodi, ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.

Ja, tad vienādojumam ir sakne. Īpaša uzmanība sper soli. Diskriminants () norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad solī esošā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs tikai sakne.
• Ja, tad mēs nevarēsim izdalīt diskriminanta sakni solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.

9. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

1. darbība mēs izlaižam.

2. darbība.

Mēs atrodam diskriminantu:

Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas saknes.

3. darbība.

Atbilde:

10. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.

2. darbība.

Mēs atrodam diskriminantu:

Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne.

Atbilde:

11. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir uzrādīts standarta formā, tātad 1. darbība mēs izlaižam.

2. darbība.

Mēs atrodam diskriminantu:

Tas nozīmē, ka mēs nevarēsim iegūt diskriminanta sakni. Vienādojumam nav sakņu.

Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.

Atbilde: nav sakņu

2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Ja atceraties, ir vienādojuma veids, ko sauc par reducētu (kad koeficients a ir vienāds ar):

Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu:

Sakņu summa dota kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds.

12. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo .

Vienādojuma sakņu summa ir vienāda, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:

Un produkts ir vienāds ar:

Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:

• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Atbilde: ; .

13. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

14. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ir dots vienādojums, kas nozīmē:

Atbilde:

Kvadrātvienādojumi. VIDĒJAIS LĪMENIS

Kas ir kvadrātvienādojums?

Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - daži skaitļi un.

Skaitli sauc par lielāko vai pirmais koeficients kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, A - bezmaksas dalībnieks.

Kāpēc? Jo, ja vienādojums uzreiz kļūst lineārs, jo pazudīs.

Šajā gadījumā un var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi termini ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigts.

Dažādu veidu kvadrātvienādojumu risinājumi

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

Vispirms apskatīsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes – tās ir vienkāršākas.

Mēs varam atšķirt šādus vienādojumu veidus:

I., šajā vienādojumā koeficients un brīvais loceklis ir vienādi.

II. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.

III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.

Tagad apskatīsim risinājumu katram no šiem apakštipiem.

Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc:

ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu;

ja mums ir divas saknes

Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka tas nevar būt mazāks.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!

Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu.

Lai īsi pierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšas kopas ikonu.

Atbilde:

Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.

Atbilde:

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:

Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.

Piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Aprēķināsim vienādojuma kreiso pusi un atradīsim saknes:

Atbilde:

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

1. Diskriminants

Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Vai sakņu formulā pamanījāt sakni no diskriminanta? Bet diskriminants var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad vienādojumam ir saknes:
• Ja, tad vienādojumam ir vienādas saknes un faktiski viena sakne:

  Šādas saknes sauc par dubultsaknēm.

• Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Kāpēc tas ir iespējams dažādi daudzumi saknes? Pievērsīsimies ģeometriskā sajūta kvadrātvienādojums. Funkcijas grafiks ir parabola:

Īpašā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums, . Tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisu asi (asi). Parabola var nekrustoties ar asi vispār vai var šķērsot to vienā (ja parabolas virsotne atrodas uz ass) vai divos punktos.

Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un ja, tad uz leju.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Atbilde: .

Atbilde:

Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Atbilde: .

2. Vietas teorēma

Vietas teorēmas izmantošana ir ļoti vienkārša: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo biedru, un summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.

Ir svarīgi atcerēties, ka Vietas teorēmu var izmantot tikai reducēti kvadrātvienādojumi ().

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu, jo . Citi koeficienti: ; .

Vienādojuma sakņu summa ir:

Un produkts ir vienāds ar:

Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda ar;
• Un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Tādējādi un ir mūsu vienādojuma saknes.

Atbilde: ; .

2. piemērs:

Risinājums:

Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

un: viņi dod kopā.

un: viņi dod kopā. Lai iegūtu, pietiek vienkārši nomainīt domājamo sakņu pazīmes: un galu galā produktu.

Atbilde:

3. piemērs:

Risinājums:

Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra ir pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir vienāda ar to moduļu atšķirības.

Atlasīsim skaitļu pārus, kas dod reizinājumu un kuru starpība ir vienāda ar:

un: to atšķirība ir vienāda - neder;

un: - nav piemērots;

un: - nav piemērots;

un: - piemērots. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei ar mazāko moduli jābūt negatīvai: . Mēs pārbaudām:

Atbilde:

4. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Ir dots vienādojums, kas nozīmē:

Brīvais termins ir negatīvs, un tāpēc sakņu reizinājums ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra ir pozitīva.

Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam noteiksim, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:

Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:

Atbilde:

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Ir dots vienādojums, kas nozīmē:

Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka saskaņā ar vismaz, viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tas nozīmē, ka abām saknēm ir mīnusa zīme.

Atlasīsim skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:

Acīmredzot saknes ir skaitļi un.

Atbilde:

Piekrītu, ir ļoti ērti izdomāt saknes mutiski, nevis skaitīt šo šķebinošo diskriminantu. Centieties pēc iespējas biežāk izmantot Vietas teorēmu.

Bet Vietas teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai jūs gūtu labumu no tā izmantošanas, jums ir jāaktivizē darbības. Un šim nolūkam atrisiniet vēl piecus piemērus. Bet nekrāpieties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma:

Patstāvīga darba uzdevumu risinājumi:

Uzdevums 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Saskaņā ar Vietas teorēmu:

Kā parasti, atlasi sākam ar gabalu:

Nav piemērots, jo daudzums;

: summa ir tieši tāda, kāda jums nepieciešama.

Atbilde: ; .

2. uzdevums.

Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai jābūt vienādai, un reizinājumam jābūt vienādam.

Bet tā kā tam jābūt nevis, bet, mēs mainām sakņu zīmes: un (kopā).

Atbilde: ; .

3. uzdevums.

Hmm... Kur tas ir?

Visi termini ir jāpārvieto vienā daļā:

Sakņu summa ir vienāda ar produktu.

Labi, beidz! Vienādojums nav dots. Bet Vietas teorēma ir piemērojama tikai dotajos vienādojumos. Tātad vispirms jums ir jāsniedz vienādojums. Ja nevarat vadīt, atsakieties no šīs idejas un atrisiniet to citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu). Atgādināšu, ka dot kvadrātvienādojumu nozīmē padarīt vadošo koeficientu vienādu:

Lieliski. Tad sakņu summa ir vienāda ar un reizinājumu.

Šeit izvēlēties ir tikpat vienkārši kā bumbieru lobīšanu: galu galā tas ir pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).

Atbilde: ; .

4. uzdevums.

Bezmaksas dalībnieks ir negatīvs. Kas šajā ir īpašs? Un fakts ir tāds, ka saknēm būs dažādas zīmes. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.

Tātad, saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Vietas teorēma saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un kopš.

Atbilde: ; .

5. uzdevums.

Kas jums jādara vispirms? Tieši tā, sniedziet vienādojumu:

Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to starpībai jābūt vienādai ar:

Saknes ir vienādas ar un, bet viena no tām ir mīnus. Kuru? To summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka mīnusam būs lielāka sakne.

Atbilde: ; .

Ļaujiet man apkopot:

1. Vietas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
2. Izmantojot Vietas teorēmu, jūs varat atrast saknes pēc atlases, mutiski.
3. Ja vienādojums nav dots vai nav atrasts piemērots brīvā termina faktoru pāris, tad nav veselu sakņu, un tas ir jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).

3. Pilna kvadrāta izvēles metode

Ja visi termini, kas satur nezināmo, ir attēloti terminu veidā no saīsinātām reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrātā -, tad pēc mainīgo aizstāšanas vienādojumu var uzrādīt nepilnīga veida kvadrātvienādojuma veidā.

Piemēram:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:.

Risinājums:

Atbilde:

2. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:.

Risinājums:

Atbilde:

Kopumā transformācija izskatīsies šādi:

Tas nozīmē:.

Tev neko neatgādina? Tā ir diskriminējoša lieta! Tieši tā mēs ieguvām diskriminējošās formulas.

Kvadrātvienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Kvadrātvienādojums- tas ir formas vienādojums, kur - nezināmais, - kvadrātvienādojuma koeficienti, - brīvais termins.

Pilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.

Samazināts kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir: .

Nepilns kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

• ja koeficients, vienādojums izskatās šādi: ,
• ja ir brīvs termins, vienādojumam ir šāda forma: ,
• ja un, vienādojums izskatās šādi: .

1. Algoritms nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai

1.1. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

1) Izteiksim nezināmo: ,

2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:

• ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu,
• ja, tad vienādojumam ir divas saknes.

1.2. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

1) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām: ,

2) reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:

1.3. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne: .

2. Algoritms pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšanai ar formu kur

2.1. Risinājums, izmantojot diskriminantu

1) Sakārtosim vienādojumu standarta formā: ,

2) Aprēķināsim diskriminantu, izmantojot formulu: , kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:

3) Atrodiet vienādojuma saknes:

• ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam nav sakņu.

2.2. Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu

Reducētā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , A.

2.3. Risinājums ar pilna kvadrāta izvēles metodi

Ja formas kvadrātvienādojumam ir saknes, tad to var uzrakstīt formā: .

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, uzņemšanai koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā - 299 rubļi.
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - 499 rubļi.

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

IN mūsdienu sabiedrība spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur mainīgo kvadrātu, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Pierādījumus tam var atrast jūras un upju laivas, lidmašīnas un raķetes. Izmantojot šādus aprēķinus, kustības trajektorijas visvairāk dažādi ķermeņi, ieskaitot kosmosa objektus. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami pārgājienos, sporta pasākumos, veikalos, veicot pirkumus un citās ļoti izplatītās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi tās komponentfaktoros

Vienādojuma pakāpi nosaka izteiksmē ietvertā mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātisko.

Ja runājam formulu valodā, tad norādītos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest formā, kad kreisā puse izteiksme sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam trūkst viena no tā sastāvdaļām, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar šādu problēmu risinājumu, kuru mainīgo vērtības ir viegli atrast.

Ja izteiksmes labajā pusē ir divi vārdi, precīzāk ax 2 un bx, vienkāršākais veids, kā atrast x, ir izlikt mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Pēc tam kļūst acīmredzams, ka vai nu x=0, vai arī problēma rodas, lai atrastu mainīgo no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums nosaka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.

Piemērs

x=0 vai 8x - 3 = 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas ņemts par koordinātu sākumpunktu. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, var uzzināt laiku, kas paiet no ķermeņa pacelšanās brīža līdz krišanas brīdim, kā arī daudzus citus lielumus. Bet mēs par to runāsim vēlāk.

Izteiksmes faktorēšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt šīs problēmas sarežģītākos gadījumos. Apskatīsim šāda veida kvadrātvienādojumu risināšanas piemērus.

X 2 — 33x + 200 = 0

Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigts. Vispirms pārveidosim izteiksmi un faktoros to. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu risināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Faktorējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x+1), (x-3) un (x+). 3).

Rezultātā kļūst skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; -1; 3.

Kvadrātsakne

Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas burtu valodā attēlota tā, ka labā puse tiek konstruēta no komponentiem ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termiņš tiek pārsūtīts uz labā puse, un pēc tam kvadrātsakne tiek ņemta no abām vienādības pusēm. Jāatzīmē, ka šajā gadījumā vienādojumam parasti ir divas saknes. Vienīgie izņēmumi var būt vienādības, kas vispār nesatur vārdu ar, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senatnē, jo matemātikas attīstību tajos tālajos laikos lielā mērā noteica nepieciešamība ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Mums arī jāapsver piemēri kvadrātvienādojumu risināšanai, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir par 16 metriem lielāks nekā platums. Objekta garums, platums un perimetrs ir jānoskaidro, ja zināt, ka tās platība ir 612 m2.

Lai sāktu, vispirms izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim ar x laukuma platumu, tad tā garums būs (x+16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x(x+16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumiem ir 612. Tas nozīmē, ka x(x+16) = 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšanu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar veikt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas dažādas metodes.

Diskriminējošais

Vispirms veiksim nepieciešamās pārvērtības, tad izskatsšī izteiksme izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi formā, kas atbilst iepriekš norādītajam standartam, kur a=1, b=16, c=-612.

Tas varētu būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek veikti saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šis palīglielums ne tikai ļauj atrast vajadzīgos daudzumus otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka daudzumu iespējamie varianti. Ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā diskriminants ir vienāds ar: 256 - 4(-612) = 2704. Tas liek domāt, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt k, kvadrātvienādojumu risināšana jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrs variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala izmērus nevar izmērīt negatīvos daudzumos, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18 +16=34, un perimetrs 2(34+ 18)=104(m2).

Piemēri un uzdevumi

Mēs turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Vairāku no tiem piemēri un detalizēti risinājumi tiks sniegti turpmāk.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Pārvietosim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūsim vienādojuma veidu, ko parasti sauc par standartu, un pielīdzināsim to nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Saskaitot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D = 49 - 48 = 1. Tas nozīmē, ka mūsu vienādojumam būs divas saknes. Aprēķināsim tos pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais ar 1.

2) Tagad atrisināsim cita veida noslēpumus.

Noskaidrosim, vai šeit ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, reducēsim polinomu līdz atbilstošajai parastajai formai un aprēķināsim diskriminantu. Iepriekš minētajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo tā nemaz nav problēmas būtība. Šajā gadījumā D = 16 - 20 = -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.

Vietas teorēma

Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek ņemta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Viņa ir nosaukta pēc viņa vārda, kurš dzīvoja 16. gadsimtā Francijā un izveidoja spožu karjeru, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.

Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma saknes skaitliski summējas ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Izmantosim Vietas teorēmu, kas iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgās vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabola grafiks un vienādojums

Kvadrātfunkciju un kvadrātvienādojumu jēdzieni ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādas attiecības, kas uzzīmētas kā grafiks, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura rodas tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātvienādojumus. Šo metodi sauc par grafisko. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast, izmantojot tikko doto formulu x 0 = -b/2a. Un, aizstājot iegūto vērtību sākotnējā funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder ordinātu asij.

Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi

Kvadrātvienādojumu risināšanai ir daudz piemēru, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apskatīsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Ir arī pretējais. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk izveidot grafiku.

No vēstures

Izmantojot vienādojumus, kas satur kvadrātveida mainīgo, vecos laikos viņi ne tikai veica matemātiskos aprēķinus un noteica ģeometrisko figūru laukumus. Senajiem cilvēkiem šādi aprēķini bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.

Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras. Protams, viņu aprēķini radikāli atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi smalkumi, ko zina jebkurš mūsdienu skolēns.

Varbūt pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Baudhajama sāka risināt kvadrātvienādojumus. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus ēras. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē līdzīgi jautājumi interesēja arī ķīniešu matemātiķus. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.