2. video apmācība: Piramīdas problēma. Piramīdas tilpums

3. video apmācība: Piramīdas problēma. Pareiza piramīda

Lekcija: Piramīda, tās pamatne, sānu ribas, augstums, sānu virsma; trīsstūrveida piramīda; regulāra piramīda

Piramīda, tās īpašības

Piramīda ir trīsdimensiju ķermenis, kura pamatnē ir daudzstūris, un visas tā skaldnes sastāv no trijstūriem.

Īpašs piramīdas gadījums ir konuss ar apli tā pamatnē.

Apskatīsim galvenos piramīdas elementus:

Apotēma- tas ir segments, kas savieno piramīdas augšdaļu ar sānu malas apakšējās malas vidu. Citiem vārdiem sakot, tas ir piramīdas malas augstums.

Attēlā redzami trīsstūri ADS, ABS, BCS, CDS. Ja paskatās uzmanīgi nosaukumos, var redzēt, ka katra trijstūra nosaukumā ir viens kopīgs burts - S. Tas nozīmē, ka visas sānu skaldnes (trijstūri) saplūst vienā punktā, ko sauc par piramīdas virsotni. .

Tiek saukts segments OS, kas savieno virsotni ar pamatnes diagonāļu krustpunktu (trijstūru gadījumā - augstumu krustpunktā). piramīdas augstums.

Diagonālā daļa ir plakne, kas iet cauri piramīdas augšdaļai, kā arī viena no pamatnes diagonālēm.

Tā kā piramīdas sānu virsma sastāv no trijstūriem, tad lai atrastu kopējais laukums sānu virsmu, jums jāatrod katras sejas laukums un jāsaskaita. Seju skaits un forma ir atkarīga no daudzstūra malu formas un lieluma, kas atrodas pie pamatnes.

Tiek saukta vienīgā piramīdas plakne, kas nepieder tās virsotnei pamata piramīdas.

Attēlā redzams, ka bāze ir paralelograms, tomēr tas var būt jebkurš patvaļīgs daudzstūris.

Īpašības:

Apsveriet pirmo piramīdas gadījumu, kurā tai ir vienāda garuma malas:

• Ap šādas piramīdas pamatni var novilkt apli. Ja jūs projicējat šādas piramīdas virsotni, tad tās projekcija atradīsies apļa centrā.
• Leņķi piramīdas pamatnē ir vienādi katrā pusē.
• Šajā gadījumā par pietiekamu nosacījumu tam, ka ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli, kā arī to, ka visas malas ir dažāda garuma, var uzskatīt par vienādiem leņķiem starp pamatni un katru šķautņu malu.

Ja jūs saskaraties ar piramīdu, kurā leņķi starp sānu malām un pamatni ir vienādi, tad šādas īpašības ir patiesas:

• Varēsiet aprakstīt apli ap piramīdas pamatni, kura virsotne projicēta precīzi centrā.
• Ja pievelciet katru augstuma sānu malu pie pamatnes, tad tās būs vienāda garuma.
• Lai atrastu šādas piramīdas sānu virsmas laukumu, pietiek atrast pamatnes perimetru un reizināt to ar pusi no augstuma garuma.
• S bp = 0,5P oc H.
• Piramīdu veidi.
• Atkarībā no tā, kurš daudzstūris atrodas piramīdas pamatnē, tie var būt trīsstūrveida, četrstūrveida utt. Ja piramīdas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris (ar vienādas puses), tad šādu piramīdu sauks par regulāru.

Regulāra trīsstūrveida piramīda

Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem gūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju. Apsvērsim, kas ir parastā piramīda un kādas īpašības tai piemīt. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju.

Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas α plaknē, un punkts P, kas neatrodas α plaknē (1. att.). Savienosim punktus P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. Mēs saņemam n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R un tā tālāk.

Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ...A n, sastāv no n-kvadrāts A 1 A 2...A n Un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 sauc n- ogļu piramīda. Rīsi. 1.

Rīsi. 1

Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).

R- piramīdas virsotne.

ABCD- piramīdas pamats.

RA- sānu riba.

AB- pamatnes riba.

No punkta R nometīsim perpendikulu RN uz bāzes plakni ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.

Rīsi. 2

Piramīdas pilna virsma sastāv no sānu virsmas, tas ir, visu sānu virsmu laukuma un pamatnes laukuma:

S pilna = S puse + S galvenā

Piramīdu sauc par pareizu, ja:

• tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
• segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tā augstums.

Paskaidrojums, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru

Apsveriet regulāru četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).

R- piramīdas virsotne. Piramīdas pamatne ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts PAR, diagonāļu krustošanās punkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.

Rīsi. 3

Paskaidrojums: pareizi n Trijstūrī ierakstītā apļa centrs un apļveida loka centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka virsotne tiek projicēta centrā.

No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms un ir norādīts h a.

1. regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas;

2. Sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Mēs sniegsim šo īpašību pierādījumu, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.

Ņemot vērā: PABCD- regulāra četrstūra piramīda,

ABCD- kvadrāts,

RO- piramīdas augstums.

Pierādīt:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Skat. att. 4.

Rīsi. 4

Pierādījums.

RO- piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs AS, VO, SO Un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.

Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = VO = CO = DO.

Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AS, VO, SO Un DO ir vienādi, kas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi no divām pusēm. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = RS = PD. 1. punkts ir pierādīts.

Segmenti AB Un Sv ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = PB = RS. Tātad trīsstūri AVR Un VSR — vienādsānu un vienādas no trim malām.

Līdzīgā veidā mēs atrodam, ka trīsstūri ABP, VCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kā tas ir jāpierāda 2. punktā.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:

Lai to pierādītu, izvēlēsimies parastu trīsstūrveida piramīdu.

Ņemot vērā: RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda.

AB = BC = AC.

RO- augstums.

Pierādīt: . Skatīt att. 5.

Rīsi. 5

Pierādījums.

RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Tas ir AB= AC = BC. Ļaujiet PAR- trijstūra centrs ABC, Tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris ABC. ievērojiet, tas .

Trīsstūri RAV, RVS, RSA- vienāds vienādsānu trijstūri(pēc īpašuma). U trīsstūrveida piramīda trīs sānu virsmas: RAV, RVS, RSA. Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukums ir:

S puse = 3S RAW

Teorēma ir pierādīta.

Parastas četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.

Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,

ABCD- kvadrāts,

r= 3 m,

RO- piramīdas augstums,

RO= 4 m.

Atrast: S puse. Skatīt att. 6.

Rīsi. 6

Risinājums.

Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.

Vispirms atradīsim pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.

Tad m.

Atrodiet laukuma perimetru ABCD ar 6 m malu:

Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet M- sānu vidus DC. Jo PAR- vidus BD, Tas (m).

Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. Tas ir, RM- mediāna un līdz ar to augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.

RO- piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs OM, guļ tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūris ROM.

Tagad mēs varam atrast piramīdas sānu virsmu:

Atbilde Platība: 60 m2.

Ap regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatni apvilktā riņķa rādiuss ir vienāds ar m. Sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.

Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,

AB = BC = SA,

R= m,

S puse = 18 m2.

Atrast: . Skatīt att. 7.

Rīsi. 7

Risinājums.

Taisnleņķa trīsstūrī ABC Ir dots ierobežotā apļa rādiuss. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusa likumu.

Zinot pusi regulārs trīsstūris(m), atradīsim tā perimetru.

Pēc teorēmas par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:

Atbilde: 4 m.

Tātad, mēs apskatījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, un mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.

Bibliogrāfija

1. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm(pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
2. Ģeometrija. 10-11 klase: Vispārējās izglītības mācību grāmata izglītības iestādēm/ Šarigins I.F. - M.: Bustards, 1999. - 208 lpp.: ill.
3. Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.

1. Interneta portāls "Yaklass" ()
2. Interneta portāls "Festivāls pedagoģiskās idejas"Pirmais septembris" ()
3. Interneta portāls “Slideshare.net” ()

Mājasdarbs

1. Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
2. Pierādīt, ka regulāras piramīdas nesavienotās malas ir perpendikulāras.
3. Atrodiet divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
4. RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.

Turpinām izskatīt Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā iekļautos uzdevumus. Mēs jau esam pētījuši problēmas, kur ir dots nosacījums un ir jāatrod attālums starp diviem dotajiem punktiem vai leņķis.

Piramīda ir daudzskaldnis, kura pamats ir daudzstūris, pārējās skaldnes ir trīsstūri, un tām ir kopīga virsotne.

Regulāra piramīda ir piramīda, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un tās virsotne ir projicēta pamatnes centrā.

Regulāra četrstūra piramīda - pamats ir kvadrāts Piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes diagonāļu (kvadrātveida) krustošanās punktā.

ML - apotēms
∠MLO - diedrāls leņķis piramīdas pamatnē
∠MCO - leņķis starp sānu malu un piramīdas pamatnes plakni

Šajā rakstā mēs aplūkosim problēmas, lai atrisinātu parasto piramīdu. Jāatrod kāds elements, sānu virsmas laukums, tilpums, augstums. Protams, jums jāzina Pitagora teorēma, piramīdas sānu virsmas laukuma formula un piramīdas tilpuma noteikšanas formula.

Rakstā "" parāda formulas, kas nepieciešamas stereometrijas problēmu risināšanai. Tātad, uzdevumi:

SABCD punkts O- pamatnes centrs,S virsotne, SO = 51, A.C.= 136. Atrodiet sānu maluS.C..

IN šajā gadījumā pamats ir kvadrāts. Tas nozīmē, ka diagonāles AC un BD ir vienādas, tās krustojas un tiek dalītas ar krustpunktu. Ņemiet vērā, ka parastajā piramīdā augstums, kas nokritis no tās augšdaļas, iet caur piramīdas pamatnes centru. Tātad SO ir augstums un trīsstūrisSOCtaisnstūrveida. Tad saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Kā izvilkt sakni no liels skaits.

Atbilde: 85

Izlemiet paši:

Regulārā četrstūra piramīdā SABCD punkts O- pamatnes centrs, S virsotne, SO = 4, A.C.= 6. Atrodiet sānu malu S.C..

Regulārā četrstūra piramīdā SABCD punkts O- pamatnes centrs, S virsotne, S.C. = 5, A.C.= 6. Atrast segmenta garumu SO.

Regulārā četrstūra piramīdā SABCD punkts O- pamatnes centrs, S virsotne, SO = 4, S.C.= 5. Atrast segmenta garumu A.C..

SABC R- ribas vidusdaļa B.C., S- tops. Ir zināms, ka AB= 7, a S.R.= 16. Atrodiet sānu virsmas laukumu.

Regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma (apotēma ir regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas novilkts no tās virsotnes):

Vai arī mēs varam teikt tā: piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar summu trīs kvadrāti sānu malas. Regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu malas ir vienāda laukuma trijstūri. Šajā gadījumā:

Atbilde: 168

Izlemiet paši:

Regulārā trīsstūrveida piramīdā SABC R- ribas vidusdaļa B.C., S- tops. Ir zināms, ka AB= 1, a S.R.= 2. Atrodiet sānu virsmas laukumu.

Regulārā trīsstūrveida piramīdā SABC R- ribas vidusdaļa B.C., S- tops. Ir zināms, ka AB= 1, un sānu virsmas laukums ir 3. Atrodiet segmenta garumu S.R..

Regulārā trīsstūrveida piramīdā SABC L- ribas vidusdaļa B.C., S- tops. Ir zināms, ka SL= 2, un sānu virsmas laukums ir 3. Atrodiet segmenta garumu AB.

Regulārā trīsstūrveida piramīdā SABC M. Trijstūra laukums ABC ir 25, piramīdas tilpums ir 100. Atrodi segmenta garumu JAUNKUNDZE.

Piramīdas pamats ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc Mir pamatnes centrs unJAUNKUNDZE- regulāras piramīdas augstumsSABC. Piramīdas tilpums SABC vienāds: skatīt risinājumu

Regulārā trīsstūrveida piramīdā SABC pamatnes mediānas krustojas punktā M. Trijstūra laukums ABC vienāds ar 3, JAUNKUNDZE= 1. Atrast piramīdas tilpumu.

Regulārā trīsstūrveida piramīdā SABC pamatnes mediānas krustojas punktā M. Piramīdas tilpums ir 1, JAUNKUNDZE= 1. Atrodiet trīsstūra laukumu ABC.

Beigsim šeit. Kā redzat, problēmas tiek atrisinātas vienā vai divos posmos. Nākotnē mēs apsvērsim citas problēmas no šīs daļas, kur tiek doti revolūcijas ķermeņi, nepalaidiet to garām!

Es novēlu jums panākumus!

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Pirmais līmenis

Piramīda. Vizuālais ceļvedis (2019)

Kas ir piramīda?

Kā viņa izskatās?

Jūs redzat: piramīdas apakšā (viņi saka " pie pamatnes") kāds daudzstūris, un visas šī daudzstūra virsotnes ir savienotas ar kādu telpas punktu (šo punktu sauc par " virsotne»).

Visa šī struktūra joprojām ir sānu sejas, sānu ribas Un pamatnes ribas. Vēlreiz uzzīmēsim piramīdu kopā ar visiem šiem nosaukumiem:

Dažas piramīdas var izskatīties ļoti dīvaini, taču tās joprojām ir piramīdas.

Šeit, piemēram, ir pilnīgi “slīpi” piramīda.

Un vēl nedaudz par nosaukumiem: ja piramīdas pamatnē ir trijstūris, tad piramīdu sauc par trīsstūri, ja četrstūri, tad četrstūri, un ja ir simtstūris, tad... uzminiet paši. .

Tajā pašā laikā punkts, kur tas nokrita augstums, zvanīja augstuma pamatne. Lūdzu, ņemiet vērā, ka “greizajās” piramīdās augstums var pat nonākt ārpus piramīdas. Kā šis:

Un tajā nav nekā slikta. Tas izskatās kā strups trīsstūris.

Pareiza piramīda.

Daudz sarežģīti vārdi? Atšifrēsim: “Pamatā - pareizi” - tas ir saprotams. Tagad atcerēsimies, ka regulāram daudzstūrim ir centrs - punkts, kas ir un centrs un .

Vārdi “augšpuse tiek projicēta pamatnes centrā” nozīmē, ka augstuma pamatne precīzi iekrīt pamatnes centrā. Paskaties, cik gluds un gudrs tas izskatās regulāra piramīda.

Sešstūrains: pie pamatnes ir regulārs sešstūris, virsotne projicēta pamatnes centrā.

Četrstūrveida: pamatne ir kvadrāts, augšdaļa tiek projicēta līdz šī kvadrāta diagonāļu krustpunktam.

Trīsstūrveida: pamatnē ir regulārs trijstūris, virsotne tiek projicēta līdz šī trijstūra augstumu (tās arī ir mediānas un bisektrise) krustošanās punktam.

Ļoti regulāras piramīdas svarīgas īpašības:

Labajā piramīdā

• visas sānu malas ir vienādas.
• visas sānu skaldnes ir vienādsānu trīsstūri, un visi šie trīsstūri ir vienādi.

Piramīdas tilpums

Galvenā piramīdas tilpuma formula:

No kurienes tieši tas nāca? Tas nav tik vienkārši, un sākumā vienkārši jāatceras, ka piramīdai un konusam formulā ir tilpums, bet cilindram nav.

Tagad aprēķināsim populārāko piramīdu apjomu.

Lai pamatnes mala ir vienāda un sānu mala ir vienāda. Mums jāatrod un.

Šī ir regulāra trīsstūra laukums.

Atcerēsimies, kā meklēt šo apgabalu. Mēs izmantojam apgabala formulu:

Mums “ ” ir tas, un “ ” ir arī šis, eh.

Tagad atradīsim to.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu par

Kāda atšķirība? Šis ir apkārtmērs, jo piramīdapareizi un līdz ar to arī centrs.

Tā kā - arī mediānu krustošanās punkts.

(Pitagora teorēma priekš)

Aizstāsim to ar formulu for.

Un aizstāsim visu ar tilpuma formulu:

Uzmanību: ja jums ir parasts tetraedrs (t.i.), tad formula izrādās šāda:

Lai pamatnes mala ir vienāda un sānu mala ir vienāda.

Šeit nav jāmeklē; Galu galā bāze ir kvadrāts, un tāpēc.

Mēs to atradīsim. Saskaņā ar Pitagora teorēmu par

Vai mēs zinām? Gandrīz. Skaties:

(mēs to redzējām, skatoties uz to).

Aizstāt formulā:

Un tagad mēs aizstājam tilpuma formulu.

Ļaujiet pamatnes pusei būt vienādai un sānu malai.

Kā atrast? Paskatieties, sešstūris sastāv no tieši sešiem identiskiem regulāriem trijstūriem. Mēs jau esam meklējuši regulāra trīsstūra laukumu, aprēķinot regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpumu; šeit mēs izmantojam atrasto formulu.

Tagad atradīsim (to).

Saskaņā ar Pitagora teorēmu par

Bet kāda tam nozīme? Tas ir vienkārši, jo (un arī visiem pārējiem) ir taisnība.

Aizstāsim:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)(a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMĪDA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Piramīda ir daudzskaldnis, kas sastāv no jebkura plakana daudzstūra (), punkta, kas neatrodas pamatnes plaknē (piramīdas augšdaļa) un visiem segmentiem, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes punktiem (sānu malām).

No piramīdas augšdaļas uz pamatnes plakni nokrita perpendikuls.

Pareiza piramīda- piramīda, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un piramīdas augšdaļa ir izvirzīta pamatnes centrā.

Parastās piramīdas īpašības:

• Parastā piramīdā visas sānu malas ir vienādas.
• Visas sānu skaldnes ir vienādsānu trīsstūri, un visi šie trīsstūri ir vienādi.