Logaritmiskās identitātes bāze. Pamatlogaritmiskā identitāte

(no grieķu valodas λόγος — “vārds”, “attiecība” un ἀριθμός — “skaitlis”) b balstoties uz a(log α b) sauc par šādu skaitli c, Un b= a c, tas ir, ieraksta log α b=c Un b=ac ir līdzvērtīgi. Logaritmam ir jēga, ja a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Citiem vārdiem sakot logaritms cipariem b balstoties uz A formulēts kā eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).

No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x= log α b, ir ekvivalents vienādojuma a x =b atrisināšanai.

Piemēram:

log 2 8 = 3 , jo 8 = 2 3 .

Uzsvērsim, ka norādītais logaritma formulējums ļauj uzreiz noteikt logaritma vērtība, kad skaitlis zem logaritma zīmes darbojas kā noteikta bāzes pakāpe. Patiešām, logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b balstoties uz a vienāds Ar. Ir arī skaidrs, ka logaritmu tēma ir cieši saistīta ar tēmu skaitļa pilnvaras.

Tiek saukta logaritma aprēķināšana logaritms. Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiska darbība. Ņemot logaritmus, faktoru produkti tiek pārveidoti par terminu summām.

Potenciācija ir logaritma apgrieztā matemātiskā darbība. Potencēšanas laikā dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpei, kurā tiek veikta potenciācija. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru reizinājumu.

Diezgan bieži tiek izmantoti reāli logaritmi ar bāzēm 2 (binārais), Eilera skaitlis e ≈ 2,718 (dabiskais logaritms) un 10 (decimālskaitlis).

Šajā posmā ir ieteicams apsvērt logaritmu paraugižurnāls 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Un ierakstiem lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nav jēgas, jo pirmajā no tiem zem logaritma zīmes ir ievietots negatīvs skaitlis, otrajā - negatīvs skaitlis bāzē, bet trešajā - gan negatīvs skaitlis zem logaritma zīmes, gan vienība bāzē.

Logaritma noteikšanas nosacījumi.

Ir vērts atsevišķi apsvērt nosacījumus a > 0, a ≠ 1, b > 0.pie kuriem mēs iegūstam logaritma definīcija. Padomāsim, kāpēc šie ierobežojumi tika pieņemti. To mums palīdzēs vienādība ar formu x = log α b, ko sauc par pamata logaritmisko identitāti, kas tieši izriet no iepriekš sniegtās logaritma definīcijas.

Ņemsim nosacījumu a≠1. Tā kā viens pret jebkuru pakāpju ir vienāds ar vienu, tad vienādība x=log α b var pastāvēt tikai tad, kad b=1, bet log 1 1 būs jebkurš reāls skaitlis. Lai novērstu šo neskaidrību, mēs ņemam a≠1.

Pierādīsim nosacījuma nepieciešamību a>0. Plkst a=0 saskaņā ar logaritma formulējumu var pastāvēt tikai tad, kad b=0. Un attiecīgi tad žurnāls 0 0 var būt jebkurš reāls skaitlis, kas nav nulle, jo no nulles līdz jebkurai nullei atšķirīgai pakāpei ir nulle. Šo neskaidrību var novērst ar nosacījumu a≠0. Un tad, kad a<0 mums būtu jānoraida logaritma racionālo un iracionālo vērtību analīze, jo pakāpe ar racionālu un iracionālu eksponentu tiek definēta tikai nenegatīvām bāzēm. Šī iemesla dēļ nosacījums ir noteikts a>0.

UN pēdējais nosacījums b>0 izriet no nevienlīdzības a>0, jo x=log α b, un grāda vērtība ar pozitīvu bāzi a vienmēr pozitīvi.

Logaritmu iezīmes.

Logaritmi raksturīgs raksturīgs Iespējas, kas noveda pie to plašas izmantošanas, lai ievērojami atvieglotu rūpīgus aprēķinus. Pārejot “logaritmu pasaulē”, reizināšana tiek pārveidota par daudz vienkāršāku saskaitīšanu, dalīšana tiek pārveidota par atņemšanu, un eksponenci un saknes ekstrakcija tiek pārveidota attiecīgi par reizināšanu un dalīšanu ar eksponentu.

Logaritmu formulēšana un to vērtību tabula (par trigonometriskās funkcijas) pirmo reizi 1614. gadā publicēja skotu matemātiķis Džons Napiers. Logaritmiskās tabulas, ko citi zinātnieki palielināja un sīki izstrādāja, tika plaši izmantotas zinātniskajos un inženiertehniskajos aprēķinos, un tās bija aktuālas līdz elektronisko kalkulatoru un datoru izmantošanai.

Mēs turpinām pētīt logaritmus. Šajā rakstā mēs runāsim par logaritmu aprēķināšana, šo procesu sauc logaritms. Vispirms mēs sapratīsim logaritmu aprēķināšanu pēc definīcijas. Tālāk apskatīsim, kā tiek atrastas logaritmu vērtības, izmantojot to īpašības. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz logaritmu aprēķināšanu, izmantojot sākotnēji norādītās citu logaritmu vērtības. Visbeidzot, iemācīsimies izmantot logaritmu tabulas. Visa teorija ir nodrošināta ar piemēriem ar detalizētiem risinājumiem.

Lapas navigācija.

Logaritmu aprēķināšana pēc definīcijas

Vienkāršākajos gadījumos ir iespējams veikt diezgan ātri un vienkārši logaritma atrašana pēc definīcijas. Apskatīsim sīkāk, kā šis process notiek.

Tās būtība ir attēlot skaitli b formā a c, no kuras pēc logaritma definīcijas skaitlis c ir logaritma vērtība. Tas nozīmē, ka pēc definīcijas logaritma atrašanai atbilst šāda vienādību ķēde: log a b=log a a c =c.

Tātad logaritma aprēķināšana pēc definīcijas ir tāda skaitļa c atrašana, ka a c = b, un pats skaitlis c ir vēlamā logaritma vērtība.

Ņemot vērā informāciju iepriekšējos punktos, kad skaitlis zem logaritma zīmes ir dots ar noteiktu logaritma bāzes pakāpju, jūs varat uzreiz norādīt, ar ko logaritms ir vienāds - tas ir vienāds ar eksponentu. Parādīsim risinājumus piemēriem.

Piemērs.

Atrodiet log 2 2 −3, kā arī aprēķiniet skaitļa e 5,3 naturālo logaritmu.

Risinājums.

Logaritma definīcija ļauj uzreiz teikt, ka log 2 2 −3 =−3. Patiešām, skaitlis zem logaritma zīmes ir vienāds ar bāzi 2 līdz pakāpei –3.

Līdzīgi atrodam otro logaritmu: lne 5.3 =5.3.

Atbilde:

log 2 2 −3 = −3 un lne 5,3 =5,3.

Ja skaitlis b zem logaritma zīmes nav norādīts kā logaritma bāzes pakāpe, tad jums rūpīgi jāizpēta, vai ir iespējams izdomāt skaitļa b attēlojumu formā a c . Bieži vien šis attēlojums ir diezgan acīmredzams, it īpaši, ja skaitlis zem logaritma zīmes ir vienāds ar bāzi pakāpē 1, 2, vai 3, ...

Piemērs.

Aprēķiniet logaritmus log 5 25 , un .

Risinājums.

Ir viegli redzēt, ka 25=5 2, tas ļauj aprēķināt pirmo logaritmu: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pāriesim pie otrā logaritma aprēķināšanas. Skaitli var attēlot kā 7 pakāpju: (ja nepieciešams, skatieties). Tāpēc .

Pārrakstīsim trešo logaritmu šādu veidlapu. Tagad jūs to varat redzēt , no kā mēs to secinām . Tāpēc pēc logaritma definīcijas .

Īsumā risinājumu varētu uzrakstīt šādi: .

Atbilde:

log 5 25=2, Un .

Kad zem logaritma zīmes ir pietiekami liels dabiskais skaitlis, tad nenāktu par ļaunu to iekļaut galvenajos faktoros. Bieži vien palīdz attēlot šādu skaitli kā kādu logaritma bāzes pakāpju un tāpēc aprēķināt šo logaritmu pēc definīcijas.

Piemērs.

Atrodiet logaritma vērtību.

Risinājums.

Dažas logaritmu īpašības ļauj nekavējoties norādīt logaritmu vērtību. Šīs īpašības ietver viena logaritma īpašību un skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritma īpašību: log 1 1=log a a 0 =0 un log a a=log a a 1 =1. Tas ir, ja zem logaritma zīmes atrodas skaitlis 1 vai skaitlis a, kas vienāds ar logaritma bāzi, tad šajos gadījumos logaritmi ir attiecīgi vienādi ar 0 un 1.

Piemērs.

Ar ko ir vienādi logaritmi un log10?

Risinājums.

Tā kā , tad no logaritma definīcijas izriet .

Otrajā piemērā skaitlis 10 zem logaritma zīmes sakrīt ar tā bāzi, tāpēc decimāllogaritms desmit ir vienāds ar vienu, tas ir, lg10=lg10 1 =1.

Atbilde:

UN lg10=1 .

Ņemiet vērā, ka logaritmu aprēķins pēc definīcijas (par ko mēs runājām iepriekšējā punktā) nozīmē vienādības loga a a p =p izmantošanu, kas ir viena no logaritmu īpašībām.

Praksē, ja skaitlis zem logaritma zīmes un logaritma bāze ir viegli attēloti kā noteikta skaitļa pakāpe, ir ļoti ērti izmantot formulu , kas atbilst vienai no logaritmu īpašībām. Apskatīsim piemēru, kā atrast logaritmu, kas ilustrē šīs formulas izmantošanu.

Piemērs.

Aprēķiniet logaritmu.

Risinājums.

Atbilde:

.

Aprēķinos tiek izmantotas arī iepriekš neminētas logaritmu īpašības, taču par to mēs runāsim turpmākajos punktos.

Logaritmu atrašana, izmantojot citus zināmos logaritmus

Šajā punktā sniegtā informācija turpina tēmu par logaritmu īpašību izmantošanu to aprēķināšanā. Bet šeit galvenā atšķirība ir tāda, ka logaritmu īpašības tiek izmantotas, lai izteiktu sākotnējo logaritmu cita logaritma izteiksmē, kura vērtība ir zināma. Skaidrības labad sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka mēs zinām, ka log 2 3≈1.584963, tad mēs varam atrast, piemēram, log 2 6, veicot nelielu transformāciju, izmantojot logaritma īpašības: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Iepriekš minētajā piemērā mums pietika ar produkta logaritma īpašību izmantošanu. Taču daudz biežāk ir nepieciešams izmantot plašāku logaritmu īpašību arsenālu, lai caur dotajiem aprēķinātu sākotnējo logaritmu.

Piemērs.

Aprēķiniet logaritmu no 27 līdz bāzei 60, ja zināt, ka log 60 2=a un log 60 5=b.

Risinājums.

Tātad mums jāatrod žurnāls 60 27 . Ir viegli redzēt, ka 27 = 3 3 , un sākotnējais logaritms, pateicoties jaudas logaritma īpašībai, var tikt pārrakstīts kā 3·log 60 3 .

Tagad redzēsim, kā izteikt log 60 3 zināmo logaritmu izteiksmē. Ar bāzi vienāda skaitļa logaritma īpašība ļauj uzrakstīt vienādību log 60 60=1. No otras puses, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tādējādi 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Tāpēc log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Visbeidzot, mēs aprēķinām sākotnējo logaritmu: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Atbilde:

log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Atsevišķi ir vērts pieminēt formulas nozīmi pārejai uz jaunu formas logaritma bāzi . Tas ļauj pāriet no logaritmiem ar jebkuru bāzi uz logaritmiem ar noteiktu bāzi, kuru vērtības ir zināmas vai ir iespējams tās atrast. Parasti no sākotnējā logaritma, izmantojot pārejas formulu, tie pāriet uz logaritmiem vienā no bāzēm 2, e vai 10, jo šīm bāzēm ir logaritmu tabulas, kas ļauj aprēķināt to vērtības ar noteiktu pakāpi. precizitāte. Nākamajā rindkopā mēs parādīsim, kā tas tiek darīts.

Logaritmu tabulas un to pielietojums

Aptuvenai logaritma vērtību aprēķināšanai var izmantot logaritmu tabulas. Visbiežāk izmantotā 2. bāzes logaritmu tabula ir tabula naturālie logaritmi un decimāllogaritmu tabula. Strādājot decimālo skaitļu sistēmā, ir ērti izmantot logaritmu tabulu, kuras pamatā ir desmit pamats. Ar tās palīdzību mēs iemācīsimies atrast logaritmu vērtības.

Piedāvātā tabula ļauj atrast skaitļu decimāllogaritmu vērtības no 1000 līdz 9999 (ar trim zīmēm aiz komata) ar precizitāti līdz desmit tūkstošdaļai. Mēs analizēsim logaritma vērtības atrašanas principu, izmantojot decimāllogaritmu tabulu konkrēts piemērs- tā ir skaidrāk. Atradīsim log1.256.

Decimālo logaritmu tabulas kreisajā kolonnā atrodam skaitļa 1,256 pirmos divus ciparus, tas ir, atrodam 1,2 (skaidrības labad šis skaitlis ir apvilkts ar zilu apli). Skaitļa 1.256 trešais cipars (5. cipars) atrodas pirmajā vai pēdējā rindā pa kreisi no dubultrindas (šis cipars ir apvilkts sarkanā krāsā). Sākotnējā skaitļa 1.256 ceturtais cipars (6. cipars) ir atrodams pirmajā vai pēdējā rindā pa labi no dubultrindas (šis cipars ir apvilkts ar zaļu līniju). Tagad mēs atrodam skaitļus logaritmu tabulas šūnās atzīmētās rindas un atzīmēto kolonnu krustpunktā (šie skaitļi ir izcelti apelsīns). Atzīmēto skaitļu summa dod vēlamo decimāllogaritma vērtību ar precizitāti līdz ceturtajai zīmei aiz komata, tas ir, log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Vai, izmantojot iepriekš minēto tabulu, ir iespējams atrast decimāllogaritmu vērtības skaitļiem, kuriem aiz komata ir vairāk nekā trīs cipari, kā arī tos, kas pārsniedz diapazonu no 1 līdz 9,999? Jā tu vari. Parādīsim, kā tas tiek darīts ar piemēru.

Aprēķināsim lg102.76332. Vispirms jums jāpieraksta numurs standarta formā: 102,76332=1,0276332·10 2. Pēc tam mantisa ir jānoapaļo līdz trešajai zīmei aiz komata 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, savukārt sākotnējais decimālais logaritms ir aptuveni vienāds ar iegūtā skaitļa logaritmu, tas ir, mēs ņemam log102.76332≈lg1.028·10 2. Tagad mēs izmantojam logaritma īpašības: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Visbeidzot no decimālo logaritmu tabulas atrodam logaritma lg1.028 vērtību lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Rezultātā viss logaritma aprēķināšanas process izskatās šādi: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Noslēgumā ir vērts atzīmēt, ka, izmantojot decimālo logaritmu tabulu, varat aprēķināt jebkura logaritma aptuveno vērtību. Lai to izdarītu, pietiek ar pārejas formulu, lai pārietu uz decimāllogaritmiem, atrastu to vērtības tabulā un veiktu atlikušos aprēķinus.

Piemēram, aprēķināsim log 2 3 . Saskaņā ar formulu pārejai uz jaunu logaritma bāzi mums ir . No decimālo logaritmu tabulas atrodam log3≈0,4771 un log2≈0,3010. Tādējādi .

Bibliogrāfija.

• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).

Skaitļa b (b > 0) logaritms uz bāzi a (a > 0, a ≠ 1)– eksponents, līdz kuram skaitlis a jāpalielina, lai iegūtu b.

B bāzes 10 logaritmu var uzrakstīt kā žurnāls(b), un logaritms uz bāzi e (dabiskais logaritms) ir ln(b).

Bieži izmanto, risinot uzdevumus ar logaritmiem:

Logaritmu īpašības

Ir četri galvenie logaritmu īpašības.

Lai a > 0, a ≠ 1, x > 0 un y > 0.

Īpašība 1. Produkta logaritms

Produkta logaritms vienāds ar logaritmu summu:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Īpašība 2. Koeficienta logaritms

Koeficienta logaritms vienāds ar logaritmu starpību:

log a (x / y) = log a x – log a y

Īpašība 3. Jaudas logaritms

Pakāpju logaritms vienāds ar jaudas un logaritma reizinājumu:

Ja logaritma bāze ir pakāpē, tad tiek piemērota cita formula:

Īpašība 4. Saknes logaritms

Šo īpašību var iegūt no pakāpes logaritma īpašības, jo jaudas n-tā sakne ir vienāda ar 1/n jaudu:

Formula konvertēšanai no logaritma vienā bāzē uz logaritmu citā bāzē

Šo formulu bieži izmanto arī, risinot dažādus logaritmu uzdevumus:

Īpašs gadījums:

Logaritmu (nevienādību) salīdzināšana

Pieņemsim, ka logaritmos ar vienādām bāzēm ir 2 funkcijas f(x) un g(x), un starp tām ir nevienlīdzības zīme:

Lai tos salīdzinātu, vispirms ir jāaplūko logaritmu a bāze:

• Ja a > 0, tad f(x) > g(x) > 0
• Ja 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kā atrisināt uzdevumus ar logaritmiem: piemēri

Problēmas ar logaritmiem iekļauts Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā 11. klasei 5. uzdevumā un 7. uzdevumā, uzdevumus ar risinājumiem varat atrast mūsu mājaslapas attiecīgajās sadaļās. Arī uzdevumi ar logaritmiem ir atrodami matemātikas uzdevumu bankā. Visus piemērus varat atrast, meklējot vietnē.

Kas ir logaritms

Logaritmi vienmēr ir ņemti vērā sarežģīta tēma skolas matemātikas kursā. Tur ir daudz dažādas definīcijas logaritms, bet nez kāpēc lielākā daļa mācību grāmatu izmanto vissarežģītāko un neveiksmīgāko no tiem.

Mēs definēsim logaritmu vienkārši un skaidri. Lai to izdarītu, izveidosim tabulu:

Tātad, mums ir divas pilnvaras.

Logaritmi - īpašības, formulas, kā atrisināt

Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums būs jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

argumenta x bāze a ir pakāpe, līdz kurai jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu skaitli x.

Apzīmējums: log a x = b, kur a ir bāze, x ir arguments, b ir tas, ar ko faktiski ir vienāds ar logaritmu.

Piemēram, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Ar tādiem pašiem panākumiem log 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.

Tiek izsaukta skaitļa logaritma atrašana noteiktai bāzei. Tātad, pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	žurnāls 2 16 = 4	žurnāls 2 32 = 5	žurnāls 2 64 = 6

Diemžēl ne visi logaritmi tiek aprēķināti tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur intervālā. Tā kā 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi jauc, kur ir pamats un kur arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši apskatiet attēlu:

Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir spēks, kurā jāiebūvē bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Es saviem skolēniem pastāstu šo brīnišķīgo likumu jau pirmajā stundā – un nerodas apjukums.

Kā skaitīt logaritmus

Esam izdomājuši definīciju – atliek vien iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

1. Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu eksponentu, līdz kurai tiek reducēta logaritma definīcija.
2. Pamatnei ir jāatšķiras no vienas, jo viena jebkurā pakāpē joprojām paliek viena. Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Tādus ierobežojumus sauc novads pieņemamām vērtībām (ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtība) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.

Taču tagad tiek aplūkotas tikai skaitliskās izteiksmes, kur nav nepieciešams zināt logaritma VA. Visus ierobežojumus problēmu autori jau ir ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiski vienādojumi un nevienādības, DL prasības kļūs obligātas. Galu galā pamats un arguments var saturēt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad apsvērsim vispārējā shēma logaritmu aprēķināšana. Tas sastāv no trim soļiem:

1. Izsakiet bāzi a un argumentu x kā pakāpju ar minimālo iespējamo bāzi, kas lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimālzīmēm;
2. Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x = a b ;
3. Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Tas pats ar decimāldaļas: ja jūs nekavējoties tos pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudz mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, izmantojot konkrētus piemērus:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā pieci pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Mēs saņēmām atbildi: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Mēs saņēmām atbildi: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Mēs saņēmām atbildi: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 7 14

1. Iedomāsimies bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nevar attēlot kā septiņu pakāpju, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
2. No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek skaitīts;
3. Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā jūs varat būt pārliecināts, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Tas ir ļoti vienkārši — vienkārši iekļaujiet to galvenajos faktoros. Ja paplašināšanai ir vismaz divi dažādi faktori, skaitlis nav precīza jauda.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļi ir precīzas pilnvaras: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - precīza pakāpe, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nav precīza jauda, ​​jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - precīza pakāpe;
35 = 7 · 5 - atkal nav precīza jauda;
14 = 7 · 2 - atkal nav precīza pakāpe;

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmskaitļi vienmēr ir paši precīzas pilnvaras.

Decimālais logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un simbols.

argumenta x ir logaritms līdz 10. bāzei, t.i. Jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x.

Piemēram, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.

Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ņemiet vērā, ka tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pazīstams ar šo apzīmējumu, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāllogaritmiem.

Dabiskais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kam ir savs apzīmējums. Dažos veidos tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Mēs runājam par naturālo logaritmu.

argumenta x ir logaritms uz bāzes e, t.i. jauda, ​​līdz kurai jāpalielina skaitlis e, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x.

Daudzi cilvēki jautās: kāds ir skaitlis e? Šis neracionāls skaitlis, viņa precīza vērtība nav iespējams atrast un ierakstīt. Es sniegšu tikai pirmos skaitļus:
e = 2,718281828459…

Mēs neiedziļināsimies sīkāk par to, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir naturālā logaritma bāze:
ln x = log e x

Tādējādi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Izņemot, protams, vienu: ln 1 = 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem.

Skatīt arī:

Logaritms. Logaritma īpašības (logaritma jauda).

Kā attēlot skaitli kā logaritmu?

Mēs izmantojam logaritma definīciju.

Logaritms ir eksponents, līdz kuram jāpaaugstina bāze, lai iegūtu skaitli zem logaritma zīmes.

Tādējādi, lai noteiktu skaitli c attēlotu kā logaritmu bāzei a, zem logaritma zīmes jāievieto pakāpe ar tādu pašu bāzi kā logaritma bāze un šis skaitlis c jāuzraksta kā eksponents:

Absolūti jebkuru skaitli var attēlot kā logaritmu - pozitīvu, negatīvu, veselu skaitli, daļskaitli, racionālu, iracionālu:

Lai nesajauktu a un c saspringtos testa vai eksāmena apstākļos, varat izmantot šādu iegaumēšanas noteikumu:

tas, kas ir apakšā, iet uz leju, kas ir augšā, iet uz augšu.

Piemēram, skaitlis 2 ir jāattēlo kā logaritms 3. bāzei.

Mums ir divi skaitļi - 2 un 3. Šie skaitļi ir bāze un eksponents, ko mēs rakstīsim zem logaritma zīmes. Atliek noteikt, kurš no šiem skaitļiem ir pierakstāms līdz pakāpes bāzei un kurš – uz augšu, līdz eksponentam.

Bāze 3 logaritma apzīmējumā atrodas apakšā, kas nozīmē, ka, attēlojot divus kā logaritmu 3. bāzei, mēs arī ierakstīsim 3 uz bāzi.

2 ir lielāks par trīs. Un otrās pakāpes apzīmējumā mēs rakstām virs trim, tas ir, kā eksponentu:

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Logaritmi

Logaritms pozitīvs skaitlis b balstoties uz a, Kur a > 0, a ≠ 1, sauc par eksponentu, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a, Iegūt b.

Logaritma definīcijaīsumā var uzrakstīt šādi:

Šī vienlīdzība ir spēkā b > 0, a > 0, a ≠ 1. To parasti sauc logaritmiskā identitāte.
Tiek izsaukta skaitļa logaritma atrašanas darbība pēc logaritma.

Logaritmu īpašības:

Produkta logaritms:

Koeficienta logaritms:

Logaritma bāzes aizstāšana:

Pakāpju logaritms:

Saknes logaritms:

Logaritms ar jaudas bāzi:

Decimāllogaritmi un naturālie logaritmi.

Decimālais logaritms skaitļi izsauc šī skaitļa logaritmu līdz 10 un raksta   lg b
Dabiskais logaritms skaitļus sauc par šī skaitļa logaritmu pret bāzi e, Kur e- iracionāls skaitlis, kas aptuveni vienāds ar 2,7. Tajā pašā laikā viņi raksta ln b.

Citas piezīmes par algebru un ģeometriju

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: log a x un log a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Baļķis 6 4 + baļķis 6 9.

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tie izrādās diezgan normāli cipari. Daudzi ir balstīti uz šo faktu pārbaudes darbi. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu precizējumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur stāvošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Dots logaritms log a x. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei.

Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. log a a = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. log a 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Tā kā a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Sāksim ar viena logaritma īpašības. Tās formulējums ir šāds: vienotības logaritms ir vienāds ar nulli, tas ir, log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Pierādījums nav grūts: tā kā a 0 =1 jebkuram a, kas atbilst iepriekš minētajiem nosacījumiem a>0 un a≠1, tad no logaritma definīcijas uzreiz izriet pierādāmā vienādība log a 1=0.

Sniegsim aplūkojamās īpašības pielietojuma piemērus: log 3 1=0, log1=0 un .

Pāriesim pie uz šādu īpašumu: skaitļa, kas vienāds ar bāzi, logaritms ir vienāds ar vienu, tas ir, log a a=1 ja a>0, a≠1. Patiešām, tā kā a 1 =a jebkuram a, tad pēc logaritma definīcijas log a a = 1.

Šīs logaritmu īpašības izmantošanas piemēri ir vienādības log 5 5=1, log 5.6 5.6 un lne=1.

Piemēram, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 un .

Divu pozitīvu skaitļu reizinājuma logaritms x un y ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu reizinājumu: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Pierādīsim reizinājuma logaritma īpašību. Sakarā ar grāda īpašībām a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, un tā kā pēc galvenās logaritmiskās identitātes log a x =x un log a y =y, tad log a x ·a log a y =x · y. Tādējādi log a x+log a y =x·y, no kura pēc logaritma definīcijas izriet pierādāmā vienādība.

Parādīsim piemērus, kā izmantot reizinājuma logaritma īpašību: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 un .

Produkta logaritma īpašību var vispārināt ar pozitīvu skaitļu x 1 , x 2 , …, x n galīga skaita n reizinājumu kā log a (x 1 · x 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Šo vienlīdzību var pierādīt bez problēmām.

Piemēram, reizinājuma naturālo logaritmu var aizstāt ar trīs skaitļu 4, e un naturālo logaritmu summu.

Divu pozitīvu skaitļu koeficienta logaritms x un y ir vienāds ar starpību starp šo skaitļu logaritmiem. Koeficienta logaritma īpašība atbilst formulai formā , kur a>0, a≠1, x un y ir daži pozitīvi skaitļi. Šīs formulas derīgums ir pierādīts, kā arī reizinājuma logaritma formula: kopš , tad pēc logaritma definīcijas.

Šeit ir piemērs, kā izmantot šo logaritma rekvizītu: .

Pāriesim pie jaudas logaritma īpašība. Pakāpes logaritms ir vienāds ar eksponenta reizinājumu un šīs pakāpes bāzes moduļa logaritmu. Uzrakstīsim šo pakāpju logaritma īpašību kā formulu: log a b p =p·log a |b|, kur a>0, a≠1, b un p ir tādi skaitļi, ka pakāpei b p ir jēga un b p >0.

Vispirms mēs pierādām šo īpašību pozitīvajam b. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj attēlot skaitli b kā log a b , tad b p =(a log a b) p , un iegūtā izteiksme, pateicoties jaudas īpašībai, ir vienāda ar p·log a b . Tātad nonākam pie vienādības b p =a p·log a b, no kuras pēc logaritma definīcijas secinām, ka log a b p =p·log a b.

Atliek pierādīt šo īpašību negatīvam b. Šeit mēs atzīmējam, ka izteiksmei log a b p negatīvam b ir jēga tikai pāra eksponentiem p (jo pakāpes b p vērtībai jābūt lielākai par nulli, pretējā gadījumā logaritmam nebūs jēgas), un šajā gadījumā b p =|b| lpp. Tad b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, no kurienes log a b p =p·log a |b| .

Piemēram, un ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Tas izriet no iepriekšējā īpašuma logaritma īpašība no saknes: n-tās saknes logaritms ir vienāds ar daļas 1/n reizinājumu ar radikālas izteiksmes logaritmu, tas ir, , kur a>0, a≠1, n ir naturāls skaitlis, kas lielāks par vienu, b>0.

Pierādījums balstās uz vienādību (sk.), kas ir spēkā jebkuram pozitīvam b, un pakāpju logaritma īpašību: .

Šeit ir šī īpašuma izmantošanas piemērs: .

Tagad pierādīsim formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi laipns . Lai to izdarītu, pietiek pierādīt vienādības log c b=log a b·log c a pamatotību. Pamatlogaritmiskā identitāte ļauj mums attēlot skaitli b kā log a b , tad log c b=log c a log a b . Atliek izmantot pakāpes logaritma īpašību: log c a log a b =log a b log c a. Tas pierāda vienādību log c b=log a b·log c a, kas nozīmē, ka ir pierādīta arī formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi.

Parādīsim dažus piemērus, kā izmantot šo logaritmu īpašību: un .

Formula pārejai uz jaunu bāzi ļauj pāriet uz darbu ar logaritmiem, kuriem ir “ērta” bāze. Piemēram, to var izmantot, lai pārietu uz naturālajiem vai decimāldaļskaitļa logaritmiem, lai jūs varētu aprēķināt logaritma vērtību no logaritmu tabulas. Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi dažos gadījumos ļauj arī atrast noteiktā logaritma vērtību, ja ir zināmas dažu logaritmu vērtības ar citām bāzēm.

Bieži lietots īpašs gadījums formulas pārejai uz jaunu logaritma bāzi ar formas c=b . Tas parāda, ka log a b un log b a – . Piemēram, .

Bieži tiek izmantota arī formula , kas ir ērti logaritma vērtību atrašanai. Lai apstiprinātu savus vārdus, mēs parādīsim, kā to var izmantot, lai aprēķinātu formas logaritma vērtību. Mums ir . Lai pierādītu formulu pietiek ar formulu pārejai uz jaunu logaritma a bāzi: .

Atliek pierādīt logaritmu salīdzināšanas īpašības.

Pierādīsim, ka jebkuriem pozitīviem skaitļiem b 1 un b 2, b 1 log a b 2 un a>1 – nevienādības log a b 1

Visbeidzot, atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām logaritmu īpašībām. Aprobežosimies ar tās pirmās daļas pierādījumu, tas ir, mēs pierādīsim, ka, ja a 1 >1, a 2 >1 un a 1 1 ir patiess log a 1 b> log a 2 b . Pārējie apgalvojumi par šo logaritmu īpašību tiek pierādīti pēc līdzīga principa.

Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka 1 >1, 2 >1 un 1 1 ir patiess log a 1 b≤log a 2 b . Pamatojoties uz logaritmu īpašībām, šīs nevienādības var pārrakstīt kā Un attiecīgi, un no tiem izriet, ka attiecīgi log b a 1 ≤log b a 2 un log b a 1 ≥log b a 2. Tad atbilstoši pakāpju īpašībām ar vienādām bāzēm ir jāsaglabā vienādības b log b a 1 ≥b log b a 2 un b log b a 1 ≥b log b a 2, tas ir, a 1 ≥a 2 . Tātad mēs nonācām pie pretrunas ar nosacījumu a 1

Bibliogrāfija.

• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10. - 11. klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehnikumos).

Instrukcijas

Uzrakstiet doto logaritmisko izteiksmi. Ja izteiksmē tiek izmantots 10 logaritms, tad tā apzīmējums tiek saīsināts un izskatās šādi: lg b ir decimālais logaritms. Ja logaritma bāze ir skaitlis e, tad ierakstiet izteiksmi: ln b – naturālais logaritms. Tiek saprasts, ka jebkura rezultāts ir jauda, ​​līdz kurai jāpaaugstina bāzes skaitlis, lai iegūtu skaitli b.

Meklējot divu funkciju summu, tās vienkārši jāatšķir pa vienam un jāsaskaita rezultāti: (u+v)" = u"+v";

Meklējot divu funkciju reizinājuma atvasinājumu, ir jāreizina pirmās funkcijas atvasinājums ar otro un jāsaskaita otrās funkcijas atvasinājums, kas reizināts ar pirmo funkciju: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Lai atrastu divu funkciju koeficienta atvasinājumu, no dividenžu atvasinājuma, kas reizināts ar dalītāja funkciju, ir jāatņem dalītāja atvasinājuma reizinājums, kas reizināts ar dividendes funkciju, un jādala tas viss ar dalītāja funkciju kvadrātā. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ja ir dota kompleksa funkcija, tad jāreizina iekšējās funkcijas atvasinājums un ārējās funkcijas atvasinājums. Lai y=u(v(x)), tad y"(x)=y"(u)*v"(x).

Izmantojot iepriekš iegūtos rezultātus, jūs varat atšķirt gandrīz jebkuru funkciju. Tātad, aplūkosim dažus piemērus:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ir arī problēmas, kas saistītas ar atvasinājuma aprēķināšanu punktā. Lai ir dota funkcija y=e^(x^2+6x+5), jāatrod funkcijas vērtība punktā x=1.
1) Atrodiet funkcijas atvasinājumu: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Aprēķiniet funkcijas vērtību dotajā punktā y"(1)=8*e^0=8

Video par tēmu

Noderīgs padoms

Apgūstiet elementāro atvasinājumu tabulu. Tas ievērojami ietaupīs laiku.

Avoti:

• konstantes atvasinājums

Tātad, kāda ir atšķirība starp iracionālu un racionālu vienādojumu? Ja nezināmais mainīgais atrodas zem kvadrātsaknes zīmes, tad vienādojums tiek uzskatīts par neracionālu.

Instrukcijas

Galvenā metode šādu vienādojumu risināšanai ir abu pušu konstruēšanas metode vienādojumi kvadrātā. Tomēr. tas ir dabiski, pirmā lieta, kas jums jādara, ir atbrīvoties no zīmes. Šī metode nav tehniski sarežģīta, taču dažreiz tā var radīt nepatikšanas. Piemēram, vienādojums ir v(2x-5)=v(4x-7). Kvadrājot abas puses, jūs iegūstat 2x-5=4x-7. Atrisināt šādu vienādojumu nav grūti; x=1. Bet skaitlis 1 netiks dots vienādojumi. Kāpēc? Vienādojumā aizstājiet vienu, nevis vērtību x. Un labajā un kreisajā pusē būs izteiksmes, kurām nav jēgas, tas ir. Šī vērtība nav derīga kvadrātsaknei. Tāpēc 1 ir sveša sakne, un tāpēc šim vienādojumam nav sakņu.

Tātad iracionāls vienādojums tiek atrisināts, izmantojot abas tā malas kvadrātā. Un, atrisinot vienādojumu, ir nepieciešams nogriezt svešas saknes. Lai to izdarītu, aizstājiet atrastās saknes sākotnējā vienādojumā.

Apsveriet vēl vienu.
2х+vх-3=0
Protams, šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot to pašu vienādojumu kā iepriekšējo. Pārvietojiet savienojumus vienādojumi, kuriem nav kvadrātsaknes, uz labo pusi un pēc tam izmantojiet kvadrātošanas metodi. atrisiniet iegūto racionālo vienādojumu un saknes. Bet arī citu, elegantāku. Ievadiet jaunu mainīgo; vх=y. Attiecīgi jūs saņemsiet vienādojumu formā 2y2+y-3=0. Tas ir, parasts kvadrātvienādojums. Atrodi tās saknes; y1=1 un y2=-3/2. Tālāk atrisiniet divus vienādojumi vх=1; vх=-3/2. Otrajam vienādojumam nav sakņu; no pirmā mēs atklājam, ka x = 1. Neaizmirstiet pārbaudīt saknes.

Identitātes atrisināšana ir pavisam vienkārša. Lai to izdarītu, ir jāveic identiskas transformācijas, līdz tiek sasniegts izvirzītais mērķis. Tādējādi ar vienkāršu aritmētisko darbību palīdzību tiks atrisināta izvirzītā problēma.

Jums būs nepieciešams

• - papīrs;
• - pildspalva.

Instrukcijas

Vienkāršākie no šādiem pārveidojumiem ir algebriski saīsināti reizinājumi (piemēram, summas kvadrāts (starpība), kvadrātu starpība, summa (starpība), summas kubs (starpība)). Turklāt ir daudz trigonometrisko formulu, kas būtībā ir vienas un tās pašas identitātes.

Patiešām, divu vārdu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā kvadrātu plus divreiz pirmā reizinājums ar otro un plus otrā kvadrāts, tas ir, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vienkāršojiet abus

Risinājuma vispārīgie principi

Atkārtojiet no matemātiskās analīzes vai augstākās matemātikas mācību grāmatas, kas ir noteikts integrālis. Kā zināms, noteikta integrāļa risinājums ir funkcija, kuras atvasinājums dos integrandu. Šo funkciju sauc par antiderivatīvu. Pamatojoties uz šo principu, tiek konstruēti galvenie integrāļi.
Pēc integranda veida nosakiet, kurš no tabulas integrāļiem ir piemērots šajā gadījumā. To ne vienmēr ir iespējams noteikt uzreiz. Bieži vien tabulas forma kļūst pamanāma tikai pēc vairākām transformācijām, lai vienkāršotu integrandu.

Mainīgo aizstāšanas metode

Ja integrands ir trigonometriska funkcija, kuras arguments ir polinoms, mēģiniet izmantot mainīgo maiņas metodi. Lai to izdarītu, aizvietojiet polinomu integranda argumentā ar kādu jaunu mainīgo. Pamatojoties uz saistību starp jaunajiem un vecajiem mainīgajiem, nosakiet jaunās integrācijas robežas. Atšķirot šo izteiksmi, atrodiet jauno diferenciāli . Tādējādi jūs iegūsit jaunu iepriekšējā integrāļa formu, tuvu vai pat atbilstošu kādai tabulas formai.

Otrā veida integrāļu atrisināšana

Ja integrālis ir otrā veida integrālis, integrāda vektora forma, tad jums būs jāizmanto noteikumi pārejai no šiem integrāļiem uz skalārajiem. Viens no šādiem noteikumiem ir Ostrogradska-Gausa attiecības. Šis likums ļauj mums pāriet no noteiktas vektora funkcijas rotora plūsmas uz trīskāršo integrāli pār dotā vektora lauka diverģenci.

Integrācijas ierobežojumu aizstāšana

Pēc antiatvasinājuma atrašanas ir nepieciešams aizstāt integrācijas robežas. Vispirms aizstājiet augšējās robežas vērtību antiatvasinājuma izteiksmē. Jūs saņemsiet kādu numuru. Pēc tam no iegūtā skaitļa atņem citu skaitli, kas iegūts no apakšējās robežas, uz antiatvasinājumu. Ja viena no integrācijas robežām ir bezgalība, tad, aizstājot to antiderivatīvā funkcijā, ir jāiet līdz robežai un jāatrod, uz ko tiecas izteiksme.
Ja integrālis ir divdimensiju vai trīsdimensiju, tad integrācijas robežas būs jāattēlo ģeometriski, lai saprastu, kā novērtēt integrāli. Patiešām, piemēram, trīsdimensiju integrāļa gadījumā integrācijas robežas var būt veselas plaknes, kas ierobežo integrējamo tilpumu.