Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savāktie Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesas kārtībā, in tiesa, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedriski svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Kā zināms, reizinot izteiksmes ar pakāpēm, to eksponenti vienmēr summējas (a b *a c = a b+c). Šo matemātisko likumu atvasināja Arhimēds, un vēlāk, 8. gadsimtā, matemātiķis Virasens izveidoja veselo skaitļu eksponentu tabulu. Tieši viņi kalpoja turpmākai logaritmu atklāšanai. Šīs funkcijas izmantošanas piemērus var atrast gandrīz visur, kur nepieciešams vienkāršot apgrūtinošo reizināšanu ar vienkāršu saskaitīšanu. Ja veltīsit 10 minūtes šī raksta lasīšanai, mēs jums paskaidrosim, kas ir logaritmi un kā ar tiem strādāt. Vienkāršā un pieejamā valodā.
Definīcija matemātikā
Logaritms ir šādas formas izteiksme: log a b=c, tas ir, jebkura nenegatīva skaitļa (tas ir jebkura pozitīva) logaritms “b” līdz tā bāzei “a” tiek uzskatīts par pakāpju “c”. ”, līdz kuram jāpaaugstina bāze “a”, lai galu galā iegūtu vērtību “b”. Analizēsim logaritmu, izmantojot piemērus, pieņemsim, ka ir izteiksme log 2 8. Kā atrast atbildi? Tas ir ļoti vienkārši, jums ir jāatrod tāda jauda, lai no 2 līdz vajadzīgajai jaudai iegūtu 8. Pēc dažu aprēķinu veikšanas galvā mēs iegūstam skaitli 3! Un tā ir taisnība, jo 2 līdz 3 dod atbildi kā 8.
Logaritmu veidi
Daudziem skolēniem un studentiem šī tēma šķiet sarežģīta un nesaprotama, taču patiesībā logaritmi nemaz nav tik biedējoši, galvenais ir saprast to vispārējo nozīmi un atcerēties to īpašības un dažus noteikumus. Ir trīs atsevišķas sugas logaritmiskās izteiksmes:
- Naturālais logaritms ln a, kur bāze ir Eilera skaitlis (e = 2,7).
- Decimāldaļa a, kur bāze ir 10.
- Jebkura skaitļa b logaritms uz bāzi a>1.
Katrs no tiem tiek atrisināts standarta veidā, ieskaitot vienkāršošanu, samazināšanu un sekojošu samazināšanu līdz vienam logaritmam, izmantojot logaritmiskās teorēmas. Lai iegūtu pareizās logaritmu vērtības, risinot tos, jāatceras to īpašības un darbību secība.
Noteikumi un daži ierobežojumi
Matemātikā ir vairāki noteikumi-ierobežojumi, kas tiek pieņemti kā aksioma, tas ir, tie nav diskutējami un ir patiesība. Piemēram, skaitļus nav iespējams dalīt ar nulli, kā arī nav iespējams iegūt pāra sakni negatīvi skaitļi. Logaritmiem ir arī savi noteikumi, pēc kuriem jūs varat viegli iemācīties strādāt pat ar garām un ietilpīgām logaritmiskām izteiksmēm:
- Bāzei “a” vienmēr jābūt lielākai par nulli, nevis vienādai ar 1, pretējā gadījumā izteiksme zaudēs savu nozīmi, jo “1” un “0” jebkurā pakāpē vienmēr ir vienādi ar to vērtībām;
- ja a > 0, tad a b >0, izrādās, ka arī “c” ir jābūt lielākam par nulli.
Kā atrisināt logaritmus?
Piemēram, ir dots uzdevums atrast atbildi uz vienādojumu 10 x = 100. Tas ir ļoti vienkārši, jums jāizvēlas jauda, paaugstinot skaitli desmit, līdz kuram mēs iegūstam 100. Tas, protams, ir 10 2 = 100.
Tagad attēlosim šo izteiksmi logaritmiskā formā. Iegūstam log 10 100 = 2. Atrisinot logaritmus, visas darbības praktiski saplūst, lai atrastu jaudu, līdz kurai jāievada logaritma bāze, lai iegūtu doto skaitli.
Lai precīzi noteiktu nezināmas pakāpes vērtību, jums jāiemācās strādāt ar grādu tabulu. Tas izskatās šādi:
Kā redzat, dažus eksponentus var uzminēt intuitīvi, ja jums ir tehnisks prāts un zināšanas par reizināšanas tabulu. Tomēr lielākām vērtībām jums būs nepieciešams strāvas galds. To var izmantot pat tie, kas neko nezina par kompleksu matemātiskās tēmas. Kreisajā kolonnā ir skaitļi (bāze a), augšējā skaitļu rinda ir jaudas c vērtība, līdz kurai tiek pacelts skaitlis a. Krustojumā šūnās ir skaitļu vērtības, kas ir atbilde (a c = b). Ņemsim, piemēram, pašu pirmo šūnu ar skaitli 10 un kvadrātā, iegūstam vērtību 100, kas norādīta mūsu divu šūnu krustpunktā. Viss ir tik vienkārši un viegli, ka sapratīs pat visīstākais humānists!
Vienādojumi un nevienādības
Izrādās, kad noteiktiem nosacījumiem eksponents ir logaritms. Tāpēc jebkuras matemātiskas skaitliskas izteiksmes var uzrakstīt kā logaritmisku vienādību. Piemēram, 3 4 =81 var uzrakstīt kā 81 bāzes 3 logaritmu, kas vienāds ar četriem (log 3 81 = 4). Priekš negatīvās spējas noteikumi ir vienādi: 2 -5 = 1/32 mēs to rakstām kā logaritmu, mēs iegūstam log 2 (1/32) = -5. Viena no aizraujošākajām matemātikas sadaļām ir “logaritmu” tēma. Tālāk mēs apskatīsim vienādojumu piemērus un risinājumus, tūlīt pēc to īpašību izpētes. Tagad apskatīsim, kā izskatās nevienlīdzības un kā tās atšķirt no vienādojumiem.
Dota izteiksme šādā formā: log 2 (x-1) > 3 - tā ir logaritmiskā nevienādība, jo nezināmā vērtība "x" atrodas zem logaritma zīmes. Un arī izteiksmē tiek salīdzināti divi lielumi: vēlamā skaitļa logaritms bāzei divi ir lielāks par skaitli trīs.
Būtiskākā atšķirība starp logaritmiskiem vienādojumiem un nevienādībām ir tā, ka vienādojumi ar logaritmiem (piemēram, logaritms 2 x = √9) ietver vienu vai vairākas konkrētas atbildes. skaitliskās vērtības, savukārt risinot nevienlīdzības tiek definētas kā reģions pieņemamām vērtībām, un šīs funkcijas pārtraukuma punktus. Rezultātā atbilde nav vienkārša atsevišķu skaitļu kopa, kā atbildē uz vienādojumu, bet gan nepārtraukta skaitļu sērija vai kopa.
Pamatteorēmas par logaritmiem
Risinot primitīvus logaritma vērtību atrašanas uzdevumus, tā īpašības var nebūt zināmas. Taču, runājot par logaritmiskiem vienādojumiem vai nevienādībām, pirmkārt, ir skaidri jāsaprot un jāpiemēro praksē visas logaritmu pamatīpašības. Vēlāk apskatīsim vienādojumu piemērus, vispirms aplūkosim katru īpašumu sīkāk.
- Galvenā identitāte izskatās šādi: a logaB =B. To piemēro tikai tad, ja a ir lielāks par 0, nav vienāds ar vienu, un B ir lielāks par nulli.
- Produkta logaritmu var attēlot ar šādu formulu: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šajā gadījumā obligāts nosacījums ir: d, s 1 un s 2 > 0; a≠1. Jūs varat sniegt pierādījumu šai logaritmiskajai formulai ar piemēriem un risinājumu. Pieņemsim, ka log a s 1 = f 1 un log a s 2 = f 2, tad a f1 = s 1, a f2 = s 2. Iegūstam, ka s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (īpašības grādi ), un pēc tam pēc definīcijas: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kas ir tas, kas bija jāpierāda.
- Koeficienta logaritms izskatās šādi: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorēma formulas formā pārņem nākamais skats: log a q b n = n/q log a b.
Šo formulu sauc par "logaritma pakāpes īpašību". Tas atgādina parasto grādu īpašības, un tas nav pārsteidzoši, jo visa matemātika balstās uz dabiskiem postulātiem. Apskatīsim pierādījumu.
Lai log a b = t, izrādās a t =b. Ja abas daļas paaugstinām pakāpē m: a tn = b n ;
bet tā kā a tn = (a q) nt/q = b n, tāpēc log a q b n = (n*t)/t, tad log a q b n = n/q log a b. Teorēma ir pierādīta.
Problēmu un nevienlīdzību piemēri
Visizplatītākie logaritmu problēmu veidi ir vienādojumu un nevienādību piemēri. Tie ir atrodami gandrīz visās uzdevumu grāmatās, kā arī ir obligāta matemātikas eksāmenu sastāvdaļa. Par uzņemšanu augstskolā vai nokārtošanu iestājpārbaudījumi matemātikā jāprot pareizi risināt šādas problēmas.
Diemžēl nav vienota plāna vai shēmas logaritma nezināmās vērtības risināšanai un noteikšanai, taču katrai matemātiskajai nevienādībai vai logaritmiskajam vienādojumam var piemērot noteiktus noteikumus. Pirmkārt, jums vajadzētu noskaidrot, vai izteiksmi var vienkāršot vai novest pie tā vispārējais izskats. Jūs varat vienkāršot garās logaritmiskās izteiksmes, ja pareizi izmantojat to īpašības. Ātri iepazīsim tos.
Risinot logaritmiskos vienādojumus, ir jānosaka, kāda veida logaritms mums ir: izteiksmes piemērs var saturēt naturālo logaritmu vai decimāldaļu.
Šeit ir piemēri ln100, ln1026. Viņu risinājums ir saistīts ar faktu, ka viņiem ir jānosaka jauda, kurai bāze 10 būs attiecīgi vienāda ar 100 un 1026. Lai atrisinātu naturālos logaritmus, jāpiemēro logaritmiskās identitātes vai to īpašības. Apskatīsim dažādu veidu logaritmisko problēmu risināšanas piemērus.
Kā lietot logaritma formulas: ar piemēriem un risinājumiem
Tātad, aplūkosim logaritmu pamata teorēmu izmantošanas piemērus.
- Produkta logaritma īpašību var izmantot uzdevumos, kur nepieciešams paplašināt liela nozīme skaitļus b vienkāršākos faktoros. Piemēram, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atbilde ir 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kā redzat, izmantojot logaritma jaudas ceturto īpašību, mums izdevās atrisināt šķietami sarežģītu un neatrisināmu izteiksmi. Jums vienkārši jāaprēķina bāze un pēc tam jāizņem eksponenta vērtības no logaritma zīmes.
Vienotā valsts eksāmena uzdevumi
Logaritmi bieži sastopami iestājeksāmenos, īpaši daudz logaritmisku uzdevumu Vienotajā valsts eksāmenā (valsts eksāmens visiem skolas absolventiem). Parasti šie uzdevumi ir ne tikai A daļā (vieglākā eksāmena testa daļa), bet arī C daļā (sarežģītākie un apjomīgākie uzdevumi). Eksāmenam nepieciešamas precīzas un nevainojamas zināšanas par tēmu “Dabas logaritmi”.
Problēmu piemēri un risinājumi ņemti no oficiālā Vienotā valsts eksāmena iespējas. Apskatīsim, kā šādi uzdevumi tiek risināti.
Dotais log 2 (2x-1) = 4. Risinājums:
pārrakstīsim izteiksmi, nedaudz vienkāršojot log 2 (2x-1) = 2 2, pēc logaritma definīcijas iegūstam, ka 2x-1 = 2 4, tātad 2x = 17; x = 8,5.
- Vislabāk visus logaritmus samazināt līdz vienai bāzei, lai risinājums nebūtu apgrūtinošs un mulsinošs.
- Visas izteiksmes zem logaritma zīmes tiek norādītas kā pozitīvas, tāpēc, kad izteiksmes eksponents, kas atrodas zem logaritma zīmes un kā tās bāze, tiek izņemts kā reizinātājs, izteiksmei, kas paliek zem logaritma, jābūt pozitīvai.
Pozitīva skaitļa b logaritms bāzei a (a>0, a nav vienāds ar 1) ir tāds skaitlis c, ka a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Ņemiet vērā, ka nepozitīva skaitļa logaritms nav definēts. Turklāt logaritma bāzei jābūt pozitīvam skaitlim, kas nav vienāds ar 1. Piemēram, ja mēs kvadrātā -2, mēs iegūstam skaitli 4, bet tas nenozīmē, ka logaritms no 4 ir vienāds ar bāzes -2 logaritmu. uz 2.
Pamatlogaritmiskā identitāte
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Ir svarīgi, lai šīs formulas labās un kreisās puses definīcijas apjoms būtu atšķirīgs. Kreisā puse ir definēts tikai b>0, a>0 un a ≠ 1. Labā puse ir definēta jebkuram b, un tā vispār nav atkarīga no a. Tādējādi pamata logaritmiskās “identitātes” pielietošana, risinot vienādojumus un nevienādības, var izraisīt OD izmaiņas.
Divas acīmredzamas logaritma definīcijas sekas
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Patiešām, paaugstinot skaitli a līdz pirmajai pakāpei, mēs iegūstam to pašu skaitli, un, palielinot to līdz nulles pakāpei, mēs iegūstam vienu.
Produkta logaritms un koeficienta logaritms
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Vēlos brīdināt skolēnus no nepārdomātas šo formulu izmantošanas, risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības. Izmantojot tos “no kreisās uz labo”, ODZ sašaurinās, un, pārejot no logaritmu summas vai starpības uz reizinājuma vai koeficienta logaritmu, ODZ paplašinās.
Patiešām, izteiksme log a (f (x) g (x)) ir definēta divos gadījumos: kad abas funkcijas ir stingri pozitīvas vai ja f (x) un g (x) ir mazākas par nulli.
Pārveidojot šo izteiksmi summā log a f (x) + log a g (x), esam spiesti aprobežoties tikai ar gadījumu, kad f(x)>0 un g(x)>0. Pieņemamo vērtību diapazons ir sašaurināts, un tas ir kategoriski nepieņemami, jo tas var novest pie risinājumu zaudēšanas. Līdzīga problēma pastāv formulai (6).
Pakāpi var izņemt no logaritma zīmes
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Un atkal es gribētu aicināt precizitāti. Apsveriet šādu piemēru:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Vienādības kreisā puse acīmredzami ir noteikta visām f(x) vērtībām, izņemot nulli. Labā puse ir paredzēta tikai f(x)>0! Izņemot grādu no logaritma, mēs atkal sašaurinām ODZ. Apgrieztā procedūra noved pie pieņemamo vērtību diapazona paplašināšanas. Visas šīs piezīmes attiecas ne tikai uz 2. jaudu, bet arī uz jebkuru vienmērīgu jaudu.
Formula pārejai uz jaunu pamatu
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Tas rets gadījums, kad ODZ transformācijas laikā nemainās. Ja esat gudri izvēlējies bāzi c (pozitīvs un nav vienāds ar 1), formula pārejai uz jaunu bāzi ir pilnīgi droša.
Ja par jauno bāzi c izvēlamies skaitli b, iegūstam svarīgu īpašs gadījums formulas (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Daži vienkārši piemēri ar logaritmiem
Piemērs 1. Aprēķināt: log2 + log50.
Risinājums. log2 + log50 = log100 = 2. Mēs izmantojām logaritmu formulas (5) summu un decimāllogaritma definīciju.
Piemērs 2. Aprēķināt: lg125/lg5.
Risinājums. log125/log5 = log 5 125 = 3. Mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu bāzi (8).
Ar logaritmiem saistīto formulu tabula
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Dotas logaritma pamatīpašības, logaritma grafiks, definīcijas apgabals, vērtību kopa, pamatformulas, palielināšana un samazināšana. Tiek apsvērta logaritma atvasinājuma atrašana. Kā arī integrālis, pakāpju rindu paplašināšana un attēlošana, izmantojot kompleksos skaitļus.
Logaritma definīcija
Logaritms ar bāzi a ir y funkcija (x) = log a x, apgriezti eksponenciālajai funkcijai ar bāzi a: x (y) = a y.
Decimālais logaritms ir logaritms pret skaitļa bāzi 10 : log x ≡ log 10 x.
Dabiskais logaritms ir logaritms no e bāzes: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Logaritma grafiku iegūst no eksponenciālās funkcijas grafika, atspoguļojot to attiecībā pret taisni y = x. Kreisajā pusē ir funkcijas y grafiki (x) = log a xčetrām vērtībām logaritmu bāzes: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
un a = 1/8
. Grafikā redzams, ka tad, kad > 1
logaritms palielinās monotoni. Kad x palielinās, izaugsme ievērojami palēninās. Plkst 0
< a < 1
logaritms samazinās monotoni.
Logaritma īpašības
Domēns, vērtību kopa, pieaug, samazinās
Logaritms ir monotona funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu. Galvenās logaritma īpašības ir parādītas tabulā.
| Domēns | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotons | monotoni palielinās | monotoni samazinās |
| Nulles, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0 | Nē | Nē |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Privātās vērtības
Tiek izsaukts logaritms līdz 10. bāzei decimāllogaritms un tiek apzīmēts šādi:
Logaritms līdz bāzei e sauca naturālais logaritms
:
Logaritmu pamatformulas
Logaritma īpašības, kas izriet no apgrieztās funkcijas definīcijas:
Logaritmu galvenā īpašība un tās sekas
Bāzes nomaiņas formula
Logaritms ir logaritma ņemšanas matemātiskā darbība. Ņemot logaritmus, faktoru produkti tiek pārvērsti terminu summās.
Potenciācija ir logaritma apgrieztā matemātiskā darbība. Potencēšanas laikā dotā bāze tiek paaugstināta līdz izteiksmes pakāpei, kurā tiek veikta potencēšana. Šajā gadījumā terminu summas tiek pārveidotas par faktoru produktiem.
Logaritmu pamatformulu pierādījums
Ar logaritmiem saistītās formulas izriet no eksponenciālo funkciju formulām un no apgrieztās funkcijas definīcijas.
Apsveriet eksponenciālās funkcijas īpašību
.
Tad
.
Pielietosim eksponenciālās funkcijas īpašību
:
.
Pierādīsim bāzes aizstāšanas formulu.
;
.
Pieņemot, ka c = b, mums ir:
Apgrieztā funkcija
Logaritma apgrieztā vērtība bāzei a ir eksponenciāla funkcija ar eksponentu a.
Ja tad
Ja tad
Logaritma atvasinājums
Moduļa x logaritma atvasinājums:
.
N-tās kārtas atvasinājums:
.
Formulu atvasināšana >>>
Lai atrastu logaritma atvasinājumu, tas jāsamazina līdz bāzei e.
;
.
Integrāls
Logaritma integrāli aprēķina, integrējot pa daļām: .
Tātad,
Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
Apsveriet komplekso skaitļu funkciju z:
.
Izteiksim kompleksu skaitli z caur moduli r un arguments φ
:
.
Tad, izmantojot logaritma īpašības, mums ir:
.
Or
Tomēr arguments φ
nav unikāli definēts. Ja tu ieliec
, kur n ir vesels skaitlis,
tad tas būs vienāds numurs dažādiem n.
Tāpēc logaritms kā kompleksa mainīgā funkcija nav vienvērtības funkcija.
Jaudas sērijas paplašināšana
Kad notiek paplašināšana:
Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.
No tā definīcijas izriet. Un tātad skaitļa logaritms b balstoties uz A ir definēts kā eksponents, līdz kuram skaitlis jāpaaugstina a lai iegūtu numuru b(logaritms pastāv tikai pozitīviem skaitļiem).
No šī formulējuma izriet, ka aprēķins x=log a b, ir līdzvērtīgs vienādojuma atrisināšanai a x = b. Piemēram, žurnāls 2 8 = 3 jo 8 = 2 3 . Logaritma formulējums ļauj pamatot, ka, ja b=a c, tad skaitļa logaritms b balstoties uz a vienāds Ar. Tāpat ir skaidrs, ka logaritmu tēma ir cieši saistīta ar tēmu par skaitļa pakāpēm.
Ar logaritmiem, tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat darīt saskaitīšanas, atņemšanas operācijas un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, ņemot vērā to, ka logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir spēkā savi īpašie noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.
Logaritmu saskaitīšana un atņemšana.
Ņemsim divus logaritmus ar vienādām bāzēm: piesakies x Un log a y. Pēc tam ir iespējams veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
žurnāls a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = piesakies x 1 + piesakies x 2 + piesakies x 3 + ... + log a x k.
No logaritma koeficienta teorēma var iegūt vēl vienu logaritma īpašību. Ir vispārzināms, ka log a 1 = 0, tātad
žurnāls a 1 /b= žurnāls a 1 - baļķis a b= -log a b.
Tas nozīmē, ka pastāv vienlīdzība:
log a 1 / b = - log a b.
Divu apgrieztu skaitļu logaritmi tā paša iemesla dēļ atšķirsies viens no otra tikai ar zīmi. Tātad:
Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Notiek ielāde...