Ar piramīdas jēdzienu skolēni saskaras ilgi pirms ģeometrijas apguves. Pie vainas ir slavenie lielie ēģiptiešu pasaules brīnumi. Tāpēc, sākot pētīt šo brīnišķīgo daudzskaldni, lielākā daļa skolēnu jau to skaidri iztēlojas. Visām iepriekšminētajām atrakcijām ir pareiza forma. Kas notika regulāra piramīda, un kādas tam piemīt īpašības, tiks apspriests tālāk.

Saskarsmē ar

Definīcija

Ir diezgan daudz piramīdas definīciju. Kopš seniem laikiem tas ir bijis ļoti populārs.

Piemēram, Eiklīds to definēja kā ķermeņa figūru, kas sastāv no plaknēm, kuras, sākot no vienas, saplūst noteiktā punktā.

Herons sniedza precīzāku formulējumu. Viņš uzstāja, ka šis ir tas skaitlis ir pamats un plaknes trīsstūru formā, saplūst vienā punktā.

Paļaujoties uz mūsdienu interpretācija, piramīda ir attēlota kā telpisks daudzskaldnis, kas sastāv no noteiktas k-stūra un k plakanas figūras trīsstūra forma, kam ir viens kopīgs punkts.

Apskatīsim to sīkāk, no kādiem elementiem tas sastāv:

K-gon tiek uzskatīts par figūras pamatu;
3-stūru formas izvirzītas kā sānu daļas malas;
augšējo daļu, no kuras rodas sānu elementi, sauc par virsotni;
visus segmentus, kas savieno virsotni, sauc par malām;
ja taisne ir nolaista no virsotnes uz figūras plakni 90 grādu leņķī, tad tās iekšējā telpā esošā daļa ir piramīdas augstums;
jebkurā sānu elementā uz mūsu daudzskaldņa pusi var novilkt perpendikulu, ko sauc par apotēmu.

Malu skaitu aprēķina, izmantojot formulu 2*k, kur k ir k-stūra malu skaits. Cik skalu ir daudzskaldnim, piemēram, piramīdai, var noteikt, izmantojot izteiksmi k+1.

Svarīgs! Regulāras formas piramīda ir stereometriska figūra, kuras pamatplakne ir k-gon ar vienādām malām.

Pamatīpašības

Pareiza piramīda ir daudz īpašību, kas ir unikāli viņai. Uzskaitīsim tos:

Pamats ir pareizas formas figūra.
Piramīdas malām, kas ierobežo sānu elementus, ir vienādas skaitliskās vērtības.
Sānu elementi ir vienādsānu trīsstūri.
Figūras augstuma pamatne krīt uz daudzstūra centru, bet vienlaikus ir ierakstītā un apzīmētā centrālais punkts.
Visas sānu ribas ir slīpi pret pamatnes plakni vienā leņķī.
Visām sānu virsmām ir vienāds slīpuma leņķis attiecībā pret pamatni.

Pateicoties visām uzskaitītajām īpašībām, elementu aprēķinu veikšana ir daudz vienkāršāka. Pamatojoties uz iepriekš minētajām īpašībām, mēs pievēršam uzmanību divas zīmes:

Gadījumā, ja daudzstūris iekļaujas aplī, sānu virsmām būs pamatne vienādi leņķi.
Aprakstot apli ap daudzstūri, visām piramīdas malām, kas izplūst no virsotnes, būs vienādi garumi un vienādi leņķi ar pamatni.

Pamats ir kvadrāts

Regulāra četrstūra piramīda - daudzskaldnis, kura pamats ir kvadrāts.

Tam ir četras sānu virsmas, kas pēc izskata ir vienādsānu.

Kvadrāts ir attēlots plaknē, bet ir balstīts uz visām regulāra četrstūra īpašībām.

Piemēram, ja ir nepieciešams saistīt kvadrāta malu ar tā diagonāli, izmantojiet šādu formulu: diagonāle ir vienāda ar kvadrāta malas un divu kvadrātsaknes reizinājumu.

Tas ir balstīts uz regulāru trīsstūri

Pareizi trīsstūrveida piramīda– daudzskaldnis, kura pamats ir regulārs 3 stūru.

Ja pamatne ir regulārs trīsstūris un sānu malas ir vienādas ar pamatnes malām, tad šāds skaitlis sauc par tetraedru.

Visas tetraedra skaldnes ir vienādmalu 3 stūri. IN šajā gadījumā Aprēķinot, jums jāzina daži punkti un netērējiet tiem laiku:

ribu slīpuma leņķis pret jebkuru pamatni ir 60 grādi;
visu iekšējo virsmu izmērs ir arī 60 grādi;
jebkura seja var darboties kā pamats;
, kas ievilkts attēlā, tie ir vienādi elementi.

Daudzskaldņa griezumi

Jebkurā daudzskaldņā tādi ir vairāku veidu sadaļas plakans. Bieži skolas ģeometrijas kursā viņi strādā ar diviem:

aksiāls;
paralēli pamatam.

Aksiālo griezumu iegūst, krustojot daudzskaldni ar plakni, kas iet caur virsotni, sānu malām un asi. Šajā gadījumā ass ir augstums, kas novilkts no virsotnes. Griešanas plakni ierobežo krustošanās līnijas ar visām skaldnēm, kā rezultātā veidojas trīsstūris.

Uzmanību! Parastas piramīdas aksiālais posms ir vienādsānu trīsstūris.

Ja griešanas plakne iet paralēli pamatnei, tad rezultāts ir otrā iespēja. Šajā gadījumā mums ir šķērsgriezuma figūra, kas ir līdzīga pamatnei.

Piemēram, ja pie pamatnes ir kvadrāts, tad arī pamatnei paralēlais posms būs kvadrāts, tikai mazāku izmēru.

Risinot problēmas ar šo nosacījumu, viņi izmanto figūru līdzības zīmes un īpašības, pamatojoties uz Thales teorēmu. Pirmkārt, ir jānosaka līdzības koeficients.

Ja plakne ir novilkta paralēli pamatnei un tā nogriežas augšējā daļa daudzskaldnis, tad apakšējā daļā tiek iegūta regulāra nošķelta piramīda. Tad nošķelta daudzskaldņa pamati tiek uzskatīti par līdzīgiem daudzstūriem. Šajā gadījumā sānu virsmas ir vienādsānu trapeces. Aksiālā daļa ir arī vienādsānu.

Lai noteiktu nošķelta daudzskaldņa augstumu, ir jānozīmē augstums aksiālajā griezumā, tas ir, trapecē.

Virsmas laukumi

Galvenās ģeometriskās problēmas, kas jāatrisina skolas ģeometrijas kursā, ir piramīdas virsmas laukuma un tilpuma atrašana.

Ir divu veidu virsmas laukuma vērtības:

sānu elementu laukums;
visas virsmas laukums.

No paša nosaukuma ir skaidrs, par ko mēs runājam. Sānu virsma ietver tikai sānu elementus. No tā izriet, ka, lai to atrastu, jums vienkārši jāsaskaita sānu plakņu laukumi, tas ir, vienādsānu 3 stūru laukumi. Mēģināsim iegūt formulu sānu elementu laukumam:

Vienādsānu 3 stūra laukums ir Str=1/2(aL), kur a ir pamatnes mala, L ir apotēma.
Sānu plakņu skaits ir atkarīgs no k-gon veida pie pamatnes. Piemēram, regulārai četrstūra piramīdai ir četras sānu plaknes. Tāpēc ir jāsaskaita četru skaitļu laukumi Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Izteiksme ir vienkāršota šādā veidā, jo vērtība ir 4a = Rosn, kur Rosn ir bāzes perimetrs. Un izteiksme 1/2*Rosn ir tā pusperimetrs.
Tātad, mēs secinām, ka sānu elementu laukums regulāra piramīda vienāds ar pamatnes pusperimetra un apotēmas reizinājumu: Sside=Rosn*L.

Piramīdas kopējās virsmas laukums sastāv no sānu plakņu un pamatnes laukumu summas: Sp.p. = Sside + Sbas.

Attiecībā uz pamatnes laukumu šeit tiek izmantota formula atbilstoši daudzstūra veidam.

Regulāras piramīdas tilpums vienāds ar pamatplaknes laukuma un augstuma reizinājumu, kas dalīts ar trīs: V=1/3*Sbas*H, kur H ir daudzskaldņa augstums.

Kas ir regulāra piramīda ģeometrijā

Regulāras četrstūra piramīdas īpašības

Piramīda. Nocirsta piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis, kura viena no skaldnēm ir daudzstūris ( bāze ), un visas pārējās skaldnes ir trīsstūri ar kopīgu virsotni ( sānu sejas ) (15. att.). Piramīdu sauc pareizi , ja tās pamats ir regulārs daudzstūris un piramīdas virsotne ir projicēta pamatnes centrā (16. att.). Tiek saukta trīsstūrveida piramīda ar vienādām malām tetraedrs .

Sānu riba piramīdas ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes Augstums piramīda ir attālums no tās augšdaļas līdz pamatnes plaknei. Visas regulāras piramīdas sānu malas ir vienādas viena ar otru, visas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri. No virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms . Diagonālā sadaļa sauc par piramīdas posmu plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Sānu virsmas laukums piramīda ir visu sānu virsmu laukumu summa. Kopējais virsmas laukums sauc par visu sānu virsmu un pamatnes laukumu summu.

Teorēmas

1. Ja piramīdā visas sānu malas ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnes tuvumā esošā apļa centrā.

2. Ja piramīdas visām sānu malām ir vienāds garums, tad piramīdas virsotne tiek projicēta apļa centrā, kas ir norobežots netālu no pamatnes.

3. Ja piramīdā visas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad piramīdas virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā.

Lai aprēķinātu patvaļīgas piramīdas tilpumu, pareizā formula ir:

Kur V- apjoms;

S bāze– bāzes platība;

H- piramīdas augstums.

Parastai piramīdai pareizas ir šādas formulas:

Kur lpp– bāzes perimetrs;

h a– apotēms;

H- augstums;

S pilns

S pusē

S bāze– bāzes platība;

V– regulāras piramīdas tilpums.

Nocirsta piramīda sauc par piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei (17. att.). Regulāra nošķelta piramīda sauc par regulāras piramīdas daļu, kas atrodas starp pamatni un griešanas plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei.

Iemesli nošķelta piramīda - līdzīgi daudzstūri. Sānu sejas – trapeces. Augstums nošķeltas piramīdas ir attālums starp tās pamatiem. Diagonāli nošķelta piramīda ir segments, kas savieno tās virsotnes, kas neatrodas uz vienas virsmas. Diagonālā sadaļa ir nošķeltas piramīdas posms ar plakni, kas iet cauri divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai.

Atdalītai piramīdai ir derīgas šādas formulas:

(4)

Kur S 1 , S 2 – augšējās un apakšējās pamatnes laukumi;

S pilns– kopējais virsmas laukums;

S pusē– sānu virsmas laukums;

H- augstums;

V– nošķeltas piramīdas tilpums.

Parastai saīsinātai piramīdai formula ir pareiza:

Kur lpp 1 , lpp 2 – pamatu perimetrs;

h a– regulāras nošķeltas piramīdas apotēma.

1. piemērs. Regulārā trīsstūrveida piramīdā diedrālais leņķis pie pamatnes ir 60º. Atrodiet sānu malas slīpuma leņķa pieskares pamatnes plaknei.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (18. att.).

Piramīda ir pareiza, tas nozīmē, ka tā ir pamatnē vienādmalu trīsstūris un visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri. Divšķautņu leņķis pie pamatnes ir piramīdas sānu virsmas slīpuma leņķis pret pamatnes plakni. Lineārais leņķis ir leņķis a starp diviem perpendikuliem: utt. Piramīdas virsotne tiek projicēta trijstūra centrā (trijstūra apļa centrā un ierakstītajā aplī ABC). Sānu malas slīpuma leņķis (piemēram S.B.) ir leņķis starp pašu malu un tās projekciju uz pamatnes plakni. Par ribu S.B.šis leņķis būs leņķis SBD. Lai atrastu tangensu, jums jāzina kājas SO Un O.B.. Ļaujiet segmenta garumam BD vienāds ar 3 A. Punkts PAR līnijas segments BD ir sadalīts daļās: un No mēs atrodam SO: No mēs atrodam:

Atbilde:

2. piemērs. Atrodiet regulāras nošķeltas četrstūra piramīdas tilpumu, ja tās pamatu diagonāles ir vienādas ar cm un cm un augstums ir 4 cm.

Risinājums. Lai atrastu nošķeltas piramīdas tilpumu, mēs izmantojam formulu (4). Lai atrastu pamatu laukumu, jums jāatrod pamatnes kvadrātu malas, zinot to diagonāles. Pamatu malas ir attiecīgi vienādas ar 2 cm un 8 cm Tas nozīmē pamatu laukumus un Aizvietojot visus datus formulā, mēs aprēķinām nošķeltas piramīdas tilpumu:

Atbilde: 112 cm3.

3. piemērs. Atrodiet regulāras trīsstūrveida nošķeltas piramīdas sānu malas laukumu, kuras pamatnes malas ir 10 cm un 4 cm, bet piramīdas augstums ir 2 cm.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (19. att.).

Šīs piramīdas sānu mala ir vienādsānu trapece. Lai aprēķinātu trapeces laukumu, jums jāzina pamatne un augstums. Pamatnes dotas pēc stāvokļa, tikai augstums paliek nezināms. Mēs viņu atradīsim no kurienes A 1 E perpendikulāri no punkta A 1 apakšējās pamatnes plaknē, A 1 D– perpendikulāri no A 1 per AC. A 1 E= 2 cm, jo tas ir piramīdas augstums. Atrast DE Uztaisīsim papildu zīmējumu, kas parāda augšējo skatu (20. att.). Punkts PAR– augšējās un apakšējās pamatnes centru projekcija. kopš (sk. 20. att.) un No otras puses labi– rādiuss, kas ierakstīts aplī un OM– rādiuss, kas ierakstīts aplī:

MK = DE.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu no

Sānu sejas zona:

Atbilde:

4. piemērs. Piramīdas pamatnē atrodas vienādsānu trapece, kuras pamati A Un b (a> b). Katra sānu virsma veido leņķi, kas vienāds ar piramīdas pamatnes plakni j. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums. Veidosim zīmējumu (21. att.). Piramīdas kopējais virsmas laukums SABCD vienāds ar laukumu summu un trapeces laukumu ABCD.

Izmantosim apgalvojumu, ka, ja visas piramīdas skaldnes ir vienādi slīpas pret pamatnes plakni, tad virsotne tiek projicēta pamatnē ierakstītā apļa centrā. Punkts PAR– virsotņu projekcija S piramīdas pamatnē. Trīsstūris SOD ir trijstūra ortogonālā projekcija CSD līdz pamatnes plaknei. Izmantojot teorēmu par plaknes figūras ortogonālās projekcijas laukumu, mēs iegūstam:

Tāpat tas nozīmē Tādējādi problēma tika samazināta līdz trapeces laukuma atrašanai ABCD. Uzzīmēsim trapecveida formu ABCD atsevišķi (22. att.). Punkts PAR– trapecē ierakstīta apļa centrs.

Tā kā apli var ierakstīt trapecē, tad vai No Pitagora teorēmas mums ir

Šī video apmācība palīdzēs lietotājiem gūt priekšstatu par piramīdas tēmu. Pareiza piramīda. Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju. Apsvērsim, kas ir parastā piramīda un kādas īpašības tai piemīt. Tad pierādām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu.

Šajā nodarbībā mēs iepazīsimies ar piramīdas jēdzienu un sniegsim tam definīciju.

Apsveriet daudzstūri A 1 A 2...A n, kas atrodas α plaknē, un punkts P, kas neatrodas α plaknē (1. att.). Savienosim punktus P ar virsotnēm A 1, A 2, A 3, … A n. Mēs saņemam n trīsstūri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R un tā tālāk.

Definīcija. Daudzskaldnis RA 1 A 2 ...A n, sastāv no n-kvadrāts A 1 A 2...A n Un n trijstūri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 sauc n- ogļu piramīda. Rīsi. 1.

Rīsi. 1

Apsveriet četrstūrveida piramīdu PABCD(2. att.).

R- piramīdas virsotne.

ABCD- piramīdas pamats.

RA- sānu riba.

AB- pamatnes riba.

No punkta R nometīsim perpendikulu RN uz bāzes plakni ABCD. Novilktais perpendikuls ir piramīdas augstums.

Rīsi. 2

Piramīdas pilna virsma sastāv no sānu virsmas, tas ir, visu sānu virsmu laukuma un pamatnes laukuma:

S pilna = S puse + S galvenā

Piramīdu sauc par pareizu, ja:

tā pamatne ir regulārs daudzstūris;
segments, kas savieno piramīdas virsotni ar pamatnes centru, ir tā augstums.

Paskaidrojums, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru

Apsveriet regulāru četrstūra piramīdu PABCD(3. att.).

R- piramīdas virsotne. Piramīdas pamatne ABCD- regulārs četrstūris, tas ir, kvadrāts. Punkts PAR, diagonāļu krustošanās punkts, ir kvadrāta centrs. nozīmē, RO ir piramīdas augstums.

Rīsi. 3

Paskaidrojums: pareizi n Trijstūrī ierakstītā apļa centrs un apļveida loka centrs sakrīt. Šo centru sauc par daudzstūra centru. Dažreiz viņi saka, ka virsotne tiek projicēta centrā.

No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms un ir norādīts h a.

1. regulāras piramīdas visas sānu malas ir vienādas;

2. Sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Mēs sniegsim šo īpašību pierādījumu, izmantojot regulāras četrstūra piramīdas piemēru.

Ņemot vērā: PABCD- regulāra četrstūra piramīda,

ABCD- kvadrāts,

RO- piramīdas augstums.

Pierādīt:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Skat. att. 4.

Rīsi. 4

Pierādījums.

RO- piramīdas augstums. Tas ir, taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs AS, VO, SO Un DO guļot tajā. Tātad trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD- taisnstūrveida.

Apsveriet kvadrātu ABCD. No kvadrāta īpašībām izriet, ka AO = VO = CO = DO.

Tad taisnie trīsstūri ROA, ROV, ROS, ROD kāju RO- vispārīgi un kājas AS, VO, SO Un DO ir vienādi, kas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi no divām pusēm. No trīsstūru vienādības izriet segmentu vienādība, RA = PB = RS = PD. 1. punkts ir pierādīts.

Segmenti AB Un Sv ir vienādas, jo tās ir viena kvadrāta malas, RA = PB = RS. Tātad trīsstūri AVR Un VSR — vienādsānu un vienādas no trim malām.

Līdzīgā veidā mēs atrodam, ka trīsstūri ABP, VCP, CDP, DAP ir vienādsānu un vienādi, kā tas ir jāpierāda 2. punktā.

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma:

Lai to pierādītu, izvēlēsimies parastu trīsstūrveida piramīdu.

Ņemot vērā: RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda.

AB = BC = AC.

RO- augstums.

Pierādīt: . Skatīt att. 5.

Rīsi. 5

Pierādījums.

RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Tas ir AB= AC = BC. Ļaujiet PAR- trijstūra centrs ABC, Tad RO ir piramīdas augstums. Piramīdas pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris ABC. ievērojiet, tas .

Trīsstūri RAV, RVS, RSA- vienādi vienādsānu trijstūri (pēc īpašības). Trīsstūrveida piramīdai ir trīs sānu malas: RAV, RVS, RSA. Tas nozīmē, ka piramīdas sānu virsmas laukums ir:

S puse = 3S RAW

Teorēma ir pierādīta.

Parastas četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m, piramīdas augstums ir 4 m. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.

Ņemot vērā: regulāra četrstūra piramīda ABCD,

ABCD- kvadrāts,

r= 3 m,

RO- piramīdas augstums,

RO= 4 m.

Atrast: S puse. Skatīt att. 6.

Rīsi. 6

Risinājums.

Saskaņā ar pārbaudīto teorēmu,.

Vispirms atradīsim pamatnes pusi AB. Mēs zinām, ka regulāras četrstūra piramīdas pamatnē ierakstītā riņķa rādiuss ir 3 m.

Tad m.

Atrodiet kvadrāta perimetru ABCD ar 6 m malu:

Apsveriet trīsstūri BCD. Ļaujiet M- sānu vidus DC. Jo PAR- vidus BD, Tas (m).

Trīsstūris DPC- vienādsānu. M- vidus DC. Tas ir, RM- mediāna un līdz ar to augstums trīsstūrī DPC. Tad RM- piramīdas apotēma.

RO- piramīdas augstums. Tad taisni RO perpendikulāri plaknei ABC, un tāpēc tiešs OM, guļ tajā. Atradīsim apotēmu RM no taisnleņķa trīsstūris ROM.

Tagad mēs varam atrast piramīdas sānu virsmu:

Atbilde Platība: 60 m2.

Ap regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatni apvilktā riņķa rādiuss ir vienāds ar m. Sānu virsmas laukums ir 18 m 2. Atrodiet apotēmas garumu.

Ņemot vērā: ABCP- regulāra trīsstūrveida piramīda,

AB = BC = SA,

R= m,

S puse = 18 m2.

Atrast: . Skatīt att. 7.

Rīsi. 7

Risinājums.

Taisnleņķa trīsstūrī ABC Ir dots ierobežotā apļa rādiuss. Atradīsim pusi ABšis trīsstūris, izmantojot sinusa likumu.

Zinot pusi regulārs trīsstūris(m), atradīsim tā perimetru.

Pēc teorēmas par regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu, kur h a- piramīdas apotēma. Pēc tam:

Atbilde: 4 m.

Tātad, mēs apskatījām, kas ir piramīda, kas ir regulāra piramīda, un mēs pierādījām teorēmu par regulāras piramīdas sānu virsmu. Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar nošķelto piramīdu.

Bibliogrāfija

Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm(pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izd., red. un papildu - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.
Ģeometrija. 10-11 klase: Vispārējās izglītības mācību grāmata izglītības iestādēm/ Šarigins I.F. - M.: Bustards, 1999. - 208 lpp.: ill.
Ģeometrija. 10. klase: Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm ar padziļinātu un specializētu matemātikas apguvi /E. V. Potoskujevs, L. I. Zvaļičs. - 6. izd., stereotips. - M.: Bustards, 008. - 233 lpp.: ill.

Interneta portāls "Yaklass" ()
Interneta portāls "Festivāls pedagoģiskās idejas"Pirmais septembris" ()
Interneta portāls “Slideshare.net” ()

Mājasdarbs

Vai regulārs daudzstūris var būt neregulāras piramīdas pamats?
Pierādīt, ka regulāras piramīdas nesavienotās malas ir perpendikulāras.
Atrodiet divstūrveida leņķa vērtību regulāras četrstūra piramīdas pamatnes malā, ja piramīdas apotēma ir vienāda ar tās pamatnes malu.
RAVS- regulāra trīsstūrveida piramīda. Izveidojiet diedrāla leņķa lineāro leņķi piramīdas pamatnē.

apotēms- regulāras piramīdas sānu malas augstums, kas ir novilkts no tās virsotnes (turklāt apotēms ir perpendikula garums, kas ir nolaists no regulārā daudzstūra vidus uz vienu no tā malām);
sānu sejas (ASB, BSC, CSD, DSA) - trijstūri, kas satiekas virsotnē;
sānu ribas ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — kopīgi aspekti sānu malas;
piramīdas virsotne (t. S) - punkts, kas savieno sānu ribas un kas neatrodas pamatnes plaknē;
augstums ( SO ) - perpendikulārs segments, kas novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šāda segmenta gali būs piramīdas virsotne un perpendikula pamatne);
piramīdas diagonālais griezums- piramīdas posms, kas iet cauri pamatnes augšai un diagonālei;
bāze (ABCD) - daudzstūris, kas nepieder piramīdas virsotnei.

Piramīdas īpašības.

1. Ja visām sānu malām ir vienāds izmērs, tad:

ir viegli aprakstīt apli netālu no piramīdas pamatnes, un piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
sānu ribas veido vienādus leņķus ar pamatnes plakni;
Turklāt ir arī otrādi, t.i. kad sānu ribas veido vienādus leņķus ar pamatnes plakni vai kad ap piramīdas pamatni var aprakstīt apli un piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā, tas nozīmē, ka visas sānu malas piramīdas ir vienāda izmēra.

2. Ja sānu virsmām ir vienādas vērtības slīpuma leņķis pret pamatnes plakni, tad:

ir viegli aprakstīt apli netālu no piramīdas pamatnes, un piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
sānu virsmu augstums ir vienāda garuma;
sānu virsmas laukums ir vienāds ar ½ pamatnes perimetra un sānu virsmas augstuma reizinājuma.

3. Ap piramīdu var aprakstīt lodi, ja piramīdas pamatnē ir daudzstūris, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs to plakņu krustošanās punkts, kas iet caur tām perpendikulāri piramīdas malu vidus. No šīs teorēmas secinām, ka sfēru var aprakstīt gan ap jebkuru trīsstūri, gan ap jebkuru regulāru piramīdu.

4. Piramīdā var ierakstīt lodi, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas 1. punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts kļūs par sfēras centru.

Vienkāršākā piramīda.

Pamatojoties uz leņķu skaitu, piramīdas pamatne tiek sadalīta trīsstūrveida, četrstūrveida un tā tālāk.

Būs piramīda trīsstūrveida, četrstūrveida, un tā tālāk, ja piramīdas pamats ir trīsstūris, četrstūris utt. Trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs - tetraedrs. Četrstūrveida - piecstūrveida un tā tālāk.

Definīcija

Piramīda ir daudzstūris, kas sastāv no daudzstūra \(A_1A_2...A_n\) un \(n\) trijstūriem ar kopīgu virsotni \(P\) (neatrodas daudzstūra plaknē) un malām, kas atrodas tam pretī, sakrītot ar daudzstūra malas.
Apzīmējums: \(PA_1A_2...A_n\) .
Piemērs: piecstūra piramīda \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trijstūri \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) utt. tiek saukti sānu sejas piramīdas, segmenti \(PA_1, PA_2\) utt. – sānu ribas, daudzstūris \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – pamata, punkts \(P\) – tops.

Augstums piramīdas ir perpendikuls, kas nolaižas no piramīdas virsotnes līdz pamatnes plaknei.

Tiek saukta piramīda, kuras pamatnē ir trīsstūris tetraedrs.

Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

\((a)\) piramīdas sānu malas ir vienādas;

\(b)\) piramīdas augstums iet caur apļa centru, kas ir norobežots netālu no pamatnes;

\(c)\) sānu ribas ir slīpi pret pamatnes plakni tādā pašā leņķī.

\(d)\) sānu virsmas ir slīpi pret pamatnes plakni tādā pašā leņķī.

Regulārs tetraedrs ir trīsstūrveida piramīda, kuras visas skaldnes ir vienādi vienādmalu trijstūri.

Teorēma

Nosacījumi \((a), (b), (c), (d)\) ir līdzvērtīgi.

Pierādījums

Atradīsim piramīdas augstumu \(PH\) . Pieņemsim, ka \(\alpha\) ir piramīdas pamatnes plakne.

1) Pierādīsim, ka no \((a)\) izriet \((b)\) . Ļaujiet \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Jo \(PH\perp \alpha\), tad \(PH\) ir perpendikulāra jebkurai taisnei, kas atrodas šajā plaknē, kas nozīmē, ka trijstūri ir taisnleņķi. Tas nozīmē, ka šie trīsstūri ir vienādi kopējā kājā \(PH\) un hipotenūzā \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Tas nozīmē \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tas nozīmē, ka punkti \(A_1, A_2, ..., A_n\) atrodas vienādā attālumā no punkta \(H\), tāpēc tie atrodas uz viena apļa ar rādiusu \(A_1H\) . Šis aplis pēc definīcijas ir ierobežots ap daudzstūri \(A_1A_2...A_n\) .

2) Pierādīsim, ka \((b)\) nozīmē \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) taisnstūrveida un vienādi uz divām kājām. Tas nozīmē, ka arī to leņķi ir vienādi, tāpēc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Pierādīsim, ka \((c)\) nozīmē \((a)\) .

Līdzīgi kā pirmajā punktā, trijstūri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) taisnstūrveida gan gar kāju, gan asu leņķi. Tas nozīmē, ka arī to hipotenūzas ir vienādas, tas ir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Pierādīsim, ka \((b)\) nozīmē \((d)\) .

Jo regulārā daudzstūrī norobežotā un ierakstītā apļa centri sakrīt (vispārīgi runājot, šo punktu sauc par regulāra daudzstūra centru), tad \(H\) ir ierakstītā apļa centrs. Zīmēsim perpendikulus no punkta \(H\) uz pamatnes malām: \(HK_1, HK_2\) utt. Tie ir ierakstītā apļa rādiusi (pēc definīcijas). Tad saskaņā ar TTP (\(PH\) ir perpendikuls plaknei, \(HK_1, HK_2\) utt. ir projekcijas, kas ir perpendikulāras malām) slīpi \(PK_1, PK_2\) utt. perpendikulāri malām \(A_1A_2, A_2A_3\) utt. attiecīgi. Tātad, pēc definīcijas \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) vienāds ar leņķiem starp sānu virsmām un pamatni. Jo trijstūri \(PK_1H, PK_2H, ...\) ir vienādi (kā taisnstūri no divām malām), tad leņķi \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) ir vienādi.

5) Pierādīsim, ka \((d)\) nozīmē \((b)\) .

Līdzīgi kā ceturtajā punktā, trīsstūri \(PK_1H, PK_2H, ...\) ir vienādi (kā taisnstūrveida gar kāju un akūtu leņķi), kas nozīmē, ka segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ir vienāds. Tas nozīmē, ka pēc definīcijas \(H\) ir apļa centrs, kas ierakstīts pamatnē. Bet tāpēc, Regulāriem daudzstūriem ierakstīto un ierobežoto apļu centri sakrīt, tad \(H\) ir ierobežotā apļa centrs. Chtd.

Sekas

Regulāras piramīdas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Definīcija

No tās virsotnes izvilktas regulāras piramīdas sānu virsmas augstumu sauc apotēms.
Regulāras piramīdas visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas viena ar otru un ir arī mediānas un bisektrise.

Svarīgas piezīmes

1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums krīt pamatnes augstumu (vai bisektriņu, jeb mediānu) krustpunktā (pamats ir regulārs trīsstūris).

2. Regulāras četrstūra piramīdas augstums krīt pamatnes diagonāļu krustpunktā (pamats ir kvadrāts).

3. Regulāras sešstūra piramīdas augstums krītas pamatnes diagonāļu krustpunktā (pamats ir regulārs sešstūris).

4. Piramīdas augstums ir perpendikulārs jebkurai taisnei, kas atrodas pie pamatnes.

Definīcija

Piramīdu sauc taisnstūrveida, ja viena no tā sānu malām ir perpendikulāra pamatnes plaknei.

Svarīgas piezīmes

1. Taisnstūra piramīdas mala, kas ir perpendikulāra pamatnei, ir piramīdas augstums. Tas ir, \(SR\) ir augstums.

2. Jo \(SR\) ir perpendikulāra jebkurai līnijai no pamatnes, tad \(\trijstūris SRM, \trijstūris SRP\)- taisnleņķa trīsstūri.

3. Trijstūri \(\trijstūris SRN, \trijstūris SRK\)- arī taisnstūrveida.
Tas ir, jebkurš trīsstūris, ko veido šī mala un diagonāle, kas iziet no šīs malas virsotnes, kas atrodas pie pamatnes, būs taisnstūrveida.

\[(\Large(\text(Piramīdas tilpums un virsmas laukums)))\]

Teorēma

Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no piramīdas pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma: \

Sekas

Pieņemsim, ka \(a\) ir pamatnes mala, \(h\) ir piramīdas augstums.

1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpums ir \(V_(\text(labais trīsstūris.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Regulāras četrstūra piramīdas tilpums ir \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Regulāra tetraedra tilpums ir \(V_(\text(labais tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorēma

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes un apotēmas perimetra pusreizinājumu.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definīcija

Apsveriet patvaļīgu piramīdu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Nozīmēsim plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei caur noteiktu punktu, kas atrodas piramīdas sānu malā. Šī plakne sadalīs piramīdu divos daudzskaldņos, no kuriem viens ir piramīda (\(PB_1B_2...B_n\)), bet otru sauc par piramīdu. nošķelta piramīda(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Nocirstajai piramīdai ir divi pamati – daudzstūri \(A_1A_2...A_n\) un \(B_1B_2...B_n\), kas ir līdzīgi viens otram.

Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no kāda augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni.

Svarīgas piezīmes

1. Visas nošķeltas piramīdas sānu malas ir trapeces.

2. Nogrieznis, kas savieno regulāras nošķeltas piramīdas (tas ir, piramīdas, kas iegūta ar regulāras piramīdas šķērsgriezumu) pamatu centrus, ir augstums.