Основата на логаритамскиот идентитет. Основен логаритамски идентитет

(од грчки λόγος - „збор“, „врска“ и ἀριθμός - „број“) броеви ббазирано на а(log α б) се нарекува таков број в, И б= а в, односно го запишува дневникот α б=вИ b=aвсе еквивалентни. Логаритмот има смисла ако a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Со други зборови логаритамброеви ббазирано на Аформулиран како експонент на кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).

Од оваа формулација произлегува дека пресметката x= log α б, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.

На пример:

дневник 2 8 = 3 бидејќи 8 = 2 3 .

Да нагласиме дека посочената формулација на логаритамот овозможува веднаш да се определи логаритамска вредност, кога бројот под знакот логаритам делува како некоја моќност на основата. Навистина, формулацијата на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата логаритми е тесно поврзана со темата моќи на број.

Пресметувањето на логаритам се нарекува логаритам. Логаритам е математичка операција на земање логаритам. При земањето логаритми, производите на факторите се трансформираат во збирови на членови.

Потенцијацијае инверзна математичка операција на логаритам. За време на потенцирањето, дадена основа се подига до степенот на изразување над кој се врши потенцирањето. Во овој случај, збировите на поими се трансформираат во производ на фактори.

Доста често, реалните логаритми се користат со основите 2 (бинарни), Ојлеровиот број e ≈ 2,718 (природен логаритам) и 10 (децимална).

Во оваа фаза, препорачливо е да се разгледа логаритамски примероцидневник 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

И записите lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 немаат смисла, бидејќи во првиот од нив негативен број се става под знакот логаритам, во вториот - негативен бројво основата, а во третата - и негативен број под знакот на логаритам и единица во основата.

Услови за определување на логаритам.

Вреди да се разгледаат одделно условите a > 0, a ≠ 1, b > 0.под кои добиваме дефиниција на логаритам.Ајде да погледнеме зошто беа преземени овие ограничувања. Во тоа ќе ни помогне еднаквоста од формата x = log α б, наречен основен логаритамски идентитет, што директно произлегува од дефиницијата за логаритам дадена погоре.

Да ја земеме состојбата a≠1. Бидејќи еден на која било моќност е еднаков на еден, тогаш еднаквоста x=log α бможе да постои само кога b=1, но дневникот 1 1 ќе биде кој било реален број. За да ја елиминираме оваа нејасност, земаме a≠1.

Да ја докажеме неопходноста на состојбата a>0. На a=0Според формулацијата на логаритмот, тој може да постои само кога b=0. И соодветно тогаш дневник 0 0може да биде кој било реален број што не е нула, бидејќи нула до која било ненулта моќност е нула. Оваа двосмисленост може да се отстрани со состојбата a≠0. И кога а<0 би требало да ја отфрлиме анализата на рационалните и ирационалните вредности на логаритмот, бидејќи степенот со рационален и ирационален експонент е дефиниран само за ненегативни основи. Токму поради оваа причина условот е наведен a>0.

И последен услов б>0произлегува од нееднаквоста a>0, бидејќи x=log α б, и вредноста на степенот со позитивна основа асекогаш позитивно.

Карактеристики на логаритмите.

Логаритмисе карактеризира со карактеристични карактеристики, што доведе до нивната широка употреба за значително олеснување на макотрпните пресметки. Кога се движите „во светот на логаритмите“, множењето се трансформира во многу полесно собирање, делењето се трансформира во одземање, а степенувањето и екстракцијата на коренот се трансформираат, соодветно, во множење и делење со експонентот.

Формулирање на логаритми и табела на нивните вредности (за тригонометриски функции) за прв пат беше објавен во 1614 година од шкотскиот математичар Џон Напиер. Логаритамските табели, зголемени и детални од други научници, беа широко користени во научните и инженерските пресметки и останаа релевантни до употребата на електронски калкулатори и компјутери.

Продолжуваме да ги проучуваме логаритмите. Во оваа статија ќе зборуваме за пресметување на логаритми, овој процес се нарекува логаритам. Прво ќе го разбереме пресметувањето на логаритмите по дефиниција. Следно, ајде да погледнеме како се наоѓаат вредностите на логаритмите користејќи ги нивните својства. По ова, ќе се фокусираме на пресметување на логаритми преку првично наведените вредности на другите логаритми. Конечно, ајде да научиме како да користиме логаритамски табели. Целата теорија е дадена со примери со детални решенија.

Навигација на страница.

Пресметување на логаритми по дефиниција

Во наједноставните случаи можно е да се изврши доста брзо и лесно наоѓање на логаритам по дефиниција. Ајде внимателно да погледнеме како се случува овој процес.

Неговата суштина е да го претстави бројот b во форма a c, од кој, според дефиницијата за логаритам, бројот c е вредноста на логаритамот. Односно, по дефиниција, следниот синџир на еднаквости одговара на наоѓање на логаритамот: log a b=log a a c =c.

Значи, пресметувањето на логаритам по дефиниција се сведува на наоѓање број c таков што a c = b, а самиот број c е саканата вредност на логаритамот.

Земајќи ги предвид информациите од претходните параграфи, кога бројот под знакот на логаритам е даден со одредена моќност на логаритамската основа, можете веднаш да покажете на што е еднаков логаритамот - тој е еднаков на експонентот. Ајде да покажеме решенија за примери.

Пример.

Најдете го логот 2 2 −3, а исто така пресметајте го природниот логаритам на бројот e 5,3.

Решение.

Дефиницијата на логаритамот ни овозможува веднаш да кажеме дека log 2 2 −3 =−3. Навистина, бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата 2 до моќноста -3.

Слично, го наоѓаме вториот логаритам: lne 5.3 =5.3.

Одговор:

log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.

Ако бројот b под знакот за логаритам не е наведен како моќност на основата на логаритамот, тогаш треба внимателно да погледнете дали е можно да се дојде до претстава за бројот b во форма a c. Често ова претставување е сосема очигледно, особено кога бројот под знакот логаритам е еднаков на основата со моќност од 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Пресметај ги логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно е да се види дека 25=5 2, ова ви овозможува да го пресметате првиот логаритам: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Ајде да продолжиме со пресметување на вториот логаритам. Бројот може да се претстави како моќност од 7: (погледнете ако е потребно). Оттука, .

Ајде да го преработиме третиот логаритам во следната форма. Сега можете да го видите тоа , од што заклучуваме дека . Според тоа, по дефиниција за логаритам .

Накратко, решението би можело да се напише вака: .

Одговор:

дневник 5 25=2 , И .

Кога под знакот логаритам има доволно голем природен број, тогаш не би било повредено да се вклучат во основни фактори. Често помага да се претстави таков број како некоја моќност на основата на логаритмот, и затоа се пресметува овој логаритам по дефиниција.

Пример.

Најдете ја вредноста на логаритмот.

Решение.

Некои својства на логаритмите ви дозволуваат веднаш да ја одредите вредноста на логаритмите. Овие својства го вклучуваат својството на логаритамот на еден и својството на логаритамот на број еднаков на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a 1 =1. Односно, кога под знакот на логаритмот има број 1 или број a еднаков на основата на логаритмот, тогаш во овие случаи логаритмите се еднакви на 0 и 1, соодветно.

Пример.

На што се еднакви логаритмите и log10?

Решение.

Бидејќи , тогаш од дефиницијата на логаритамот следува .

Во вториот пример, бројот 10 под знакот за логаритам се совпаѓа со неговата основа, така што декадниот логаритам од десет е еднаков на еден, односно lg10=lg10 1 =1.

Одговор:

И lg10=1.

Забележете дека пресметувањето на логаритмите по дефиниција (за кое разговаравме во претходниот пасус) подразбира употреба на логот за еднаквост a a p =p, што е едно од својствата на логаритмите.

Во пракса, кога број под знакот логаритам и основата на логаритамот лесно се претставени како моќност на одреден број, многу е погодно да се користи формулата , што одговара на едно од својствата на логаритмите. Ајде да погледнеме пример за наоѓање логаритам кој ја илустрира употребата на оваа формула.

Пример.

Пресметајте го логаритамот.

Решение.

Одговор:

Својствата на логаритмите кои не се споменати погоре се користат и во пресметките, но за ова ќе зборуваме во следните параграфи.

Наоѓање логаритми преку други познати логаритми

Информациите во овој став ја продолжуваат темата за користење на својствата на логаритмите при нивното пресметување. Но, тука главната разлика е во тоа што својствата на логаритмите се користат за изразување на оригиналниот логаритам во однос на друг логаритам, чија вредност е позната. Да дадеме пример за појаснување. Да речеме дека знаеме дека log 2 3≈1.584963, тогаш можеме да го најдеме, на пример, log 2 6 со правење мала трансформација користејќи ги својствата на логаритмот: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Во горниот пример, доволно ни беше да го искористиме својството на логаритам на производ. Меѓутоа, многу почесто е потребно да се користи поширок арсенал на својства на логаритмите за да се пресмета оригиналниот логаритам преку дадените.

Пример.

Пресметајте го логаритамот од 27 до основата 60 ако знаете дека log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Значи треба да го најдеме дневникот 60 27 . Лесно е да се види дека 27 = 3 3 , а оригиналниот логаритам, поради својството на логаритамот на моќноста, може да се препише како 3·log 60 3 .

Сега да видиме како да го изразиме логот 60 3 во однос на познатите логаритми. Својството на логаритам на број еднаков на основата ни овозможува да го напишеме логот за еднаквост 60 60=1. Од друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 + дневник 60 3 + лог 60 5= 2·лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Така, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Оттука, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Конечно, го пресметуваме оригиналниот логаритам: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Одговор:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Одделно, вреди да се спомене значењето на формулата за премин кон нова основа на логаритмот на формата . Ви овозможува да се движите од логаритми со која било основа до логаритми со одредена основа, чии вредности се познати или е можно да се најдат. Обично, од оригиналниот логаритам, користејќи ја формулата за транзиција, тие се префрлаат на логаритми во една од базите 2, e или 10, бидејќи за овие бази постојат табели на логаритми кои овозможуваат нивните вредности да се пресметаат со одреден степен на точност. Во следниот пасус ќе покажеме како се прави ова.

Логаритмски табели и нивна употреба

За приближна пресметка на логаритамските вредности може да се користат логаритамски табели. Најчесто користената логаритамска табела со основа 2 е табелата природни логаритмии табела со децимални логаритми. Кога работите во децимален броен систем, погодно е да се користи табела на логаритми заснована на основата десет. Со негова помош ќе научиме да ги наоѓаме вредностите на логаритмите.

Презентираната табела ви овозможува да ги пронајдете вредностите на децималните логаритми на броеви од 1.000 до 9.999 (со три децимални места) со точност од десет илјадити дел. Ќе го анализираме принципот на наоѓање на вредноста на логаритам користејќи табела со децимални логаритми во конкретен пример- така е појасно. Ајде да го најдеме log1.256.

Во левата колона од табелата со децимални логаритми ги наоѓаме првите две цифри од бројот 1,256, односно наоѓаме 1,2 (овој број е заокружен со сино за јасност). Третата цифра од бројот 1.256 (цифра 5) се наоѓа во првата или последната линија лево од двојната линија (овој број е заокружен со црвено). Четвртата цифра од оригиналниот број 1.256 (цифра 6) се наоѓа во првата или последната линија десно од двојната линија (овој број е заокружен со зелена линија). Сега ги наоѓаме броевите во ќелиите на табелата со логаритми на пресекот на означениот ред и означените колони (овие броеви се означени портокалова). Збирот на означените броеви ја дава посакуваната вредност на декадниот логаритам точна до четвртото децимално место, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Дали е можно, користејќи ја горната табела, да се најдат вредностите на децималните логаритми на броеви кои имаат повеќе од три цифри по децималната точка, како и оние што го надминуваат опсегот од 1 до 9,999? Да ти можеш. Ајде да покажеме како се прави ова со пример.

Ајде да пресметаме lg102.76332. Прво треба да запишете број во стандардна форма: 102,76332=1,0276332·10 2. По ова, мантисата треба да се заокружи на третото децимално место, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, додека оригиналниот децимален логаритам е приближно еднаков на логаритамот на добиениот број, односно земаме log102.76332≈lg1.028·10 2. Сега ги применуваме својствата на логаритмот: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Конечно, ја наоѓаме вредноста на логаритмот lg1.028 од табелата со децимални логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Како резултат на тоа, целиот процес на пресметување на логаритам изгледа вака: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

Како заклучок, вреди да се напомене дека користејќи ја табелата со децимални логаритми можете да ја пресметате приближната вредност на кој било логаритам. За да го направите ова, доволно е да ја користите формулата за транзиција за да отидете до децимални логаритми, да ги пронајдете нивните вредности во табелата и да ги извршите преостанатите пресметки.

На пример, да го пресметаме дневникот 2 3 . Според формулата за премин кон нова логаритамска основа, имаме . Од табелата со децимални логаритми наоѓаме log3≈0.4771 и log2≈0.3010. Така, .

Библиографија.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделенија на општообразовните институции.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).

Логаритам на бројот b (b > 0) до основата a (a > 0, a ≠ 1)– експонент на кој бројот a мора да се подигне за да се добие b.

Основниот 10 логаритам на b може да се запише како дневник (б), а логаритамот до основата e (природен логаритам) е ln(b).

Често се користи при решавање проблеми со логаритми:

Својства на логаритмите

Постојат четири главни својства на логаритми.

Нека a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Својство 1. Логаритам на производот

Логаритам на производотеднаков на збирот на логаритми:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Својство 2. Логаритам на количникот

Логаритам на количникотеднаква на разликата на логаритми:

log a (x / y) = log a x – log a y

Својство 3. Логаритам на моќност

Логаритам на степенеднаков на производот на моќноста и логаритамот:

Ако основата на логаритмот е во степен, тогаш се применува друга формула:

Својство 4. Логаритам на коренот

Ова својство може да се добие од својството на логаритмот на моќта, бидејќи n-тиот корен на моќта е еднаков на моќноста од 1/n:

Формула за претворање од логаритам во една база во логаритам во друга основа

Оваа формула често се користи и при решавање на различни задачи на логаритми:

Посебен случај:

Споредување логаритми (неравенки)

Да имаме 2 функции f(x) и g(x) под логаритми со исти основи и меѓу нив има знак за неравенство:

За да ги споредите, прво треба да ја погледнете основата на логаритмите:

Ако a > 0, тогаш f(x) > g(x) > 0
Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Како да се решаваат проблеми со логаритми: примери

Проблеми со логаритмивклучени во Единствениот државен испит по математика за одделение 11 во задача 5 и задача 7, можете да најдете задачи со решенија на нашата веб-страница во соодветните делови. Исто така, задачите со логаритми се наоѓаат во банката за задачи по математика. Можете да ги најдете сите примери со пребарување на страницата.

Што е логаритам

Логаритмите отсекогаш биле разгледувани сложена темана училишен курс по математика. Има многу различни дефинициилогаритам, но поради некоја причина повеќето учебници ги користат најсложените и најнеуспешните од нив.

Ќе го дефинираме логаритамот едноставно и јасно. За да го направите ова, ајде да создадеме табела:

Значи, имаме моќ од два.

Логаритми - својства, формули, како да се реши

Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.

И сега - всушност, дефиницијата на логаритам:

основата a на аргументот x е моќноста на која бројот a мора да се подигне за да се добие бројот x.

Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.

На пример, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот успех, лог 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.

Операцијата за наоѓање логаритам на број на дадена основа се нарекува. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
дневник 2 2 = 1	дневник 2 4 = 2	дневник 2 8 = 3	дневник 2 16 = 4	дневник 2 32 = 5	дневник 2 64 = 6

За жал, не се пресметуваат сите логаритми толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 не е во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.

Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). На почетокот, многу луѓе збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:

Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.

Како да се бројат логаритми

Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:

Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата на степен со рационален експонент, на кој е намалена дефиницијата за логаритам.
Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!

Таквите ограничувања се нарекуваат регион прифатливи вредности (ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.

Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае VA на логаритмот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на задачите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DL ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.

Сега да размислиме општа шемапресметување на логаритми. Се состои од три чекори:

Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.

Тоа е се! Ако логаритамот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Исто со децимали: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.

Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:

Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25

Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Го добивме одговорот: 2.

Задача. Пресметајте го логаритамот:

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Го добивме одговорот: 3.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1

Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Го добивме одговорот: 0.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14

Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
Одговорот е без промена: дневник 7 14.

Мала забелешка за последниот пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. Ако проширувањето има најмалку два различни фактори, бројот не е точна моќност.

Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;

Забележете исто така дека самите прости броеви се секогаш точни моќи на самите себе.

Децимален логаритам

Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.

на аргументот x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.

На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.

Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x

Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.

Природен логаритам

Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.

на аргументот x е логаритам за основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.

Многу луѓе ќе прашаат: кој е бројот e? Ова ирационален број, неговиот точна вредностневозможно е да се најде и сними. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459…

Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x

Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Општо земено, природниот логаритам на кој било рационален број е ирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.

За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.

Исто така види:

Логаритам. Својства на логаритмот (моќ на логаритам).

Како да се претстави број како логаритам?

Ја користиме дефиницијата за логаритам.

Логаритам е експонент на кој основата мора да се подигне за да се добие бројот под знакот логаритам.

Така, за да се претстави одреден број c како логаритам на основата a, треба да ставите моќ со иста основа како основата на логаритамот под знакот на логаритамот и да го напишете овој број c како експонент:

Апсолутно секој број може да се претстави како логаритам - позитивен, негативен, цел број, фракционо, рационално, ирационално:

За да избегнете збунувачки a и c при стресни услови на тест или испит, можете да го користите следново правило за меморирање:

она што е долу оди надолу, она што е горе оди нагоре.

На пример, треба да го претставите бројот 2 како логаритам на основата 3.

Имаме два броја - 2 и 3. Овие броеви се основата и експонентот, кои ќе ги запишеме под знакот на логаритамот. Останува да се утврди кој од овие броеви треба да се запише, до основата на степенот, а кој - нагоре, до експонентот.

Основата 3 во ознаката на логаритам е на дното, што значи дека кога ќе претставиме два како логаритам на основата 3, ќе запишеме и 3 до основата.

2 е повисоко од три. И во означување на степенот два пишуваме над трите, односно во експонентот:

Логаритми. Прво ниво.

Логаритми

Логаритампозитивен број ббазирано на а, Каде a > 0, a ≠ 1, се нарекува експонент на кој бројот мора да се подигне а, За да се добие б.

Дефиниција на логаритамможе накратко да се напише вака:

Оваа еднаквост важи за b > 0, a > 0, a ≠ 1.Обично се нарекува логаритамски идентитет.
Дејството на наоѓање на логаритам на број се нарекува по логаритам.

Својства на логаритмите:

Логаритам на производот:

Логаритам на количникот:

Замена на логаритамската основа:

Логаритм на степен:

Логаритам на коренот:

Логаритам со база на моќност:

Децимални и природни логаритми.

Децимален логаритамброевите го повикуваат логаритамот на овој број на основата 10 и пишуваат lg б
Природен логаритамброевите се нарекуваат логаритам на тој број до основата д, Каде д- ирационален број приближно еднаков на 2,7. Во исто време тие пишуваат ln б.

Други белешки за алгебра и геометрија

Основни својства на логаритмите

Логаритмите, како и сите броеви, можат да се собираат, одземаат и трансформираат на секој начин. Но, бидејќи логаритмите не се баш обични броеви, тука постојат правила, кои се нарекуваат главните својства.

Дефинитивно треба да ги знаете овие правила - без нив не може да се реши ниту еден сериозен логаритамски проблем. Покрај тоа, има многу малку од нив - можете да научите сè за еден ден. Па ајде да започнеме.

Собирање и одземање логаритми

Размислете за два логаритма со исти основи: log a x и log a y. Потоа тие можат да се собираат и одземаат и:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Значи, збирот на логаритми е еднаков на логаритмот на производот, а разликата е еднаква на логаритмот на количникот. Ве молиме запомнете: клучната точка овде е идентични основи. Ако причините се различни, овие правила не функционираат!

Овие формули ќе ви помогнат да пресметате логаритамски израз дури и кога неговите поединечни делови не се разгледуваат (видете ја лекцијата „Што е логаритам“). Погледнете ги примерите и видете:

Дневник 6 4 + дневник 6 9.

Бидејќи логаритмите имаат исти основи, ја користиме формулата за збир:
дневник 6 4 + дневник 6 9 = дневник 6 (4 9) = дневник 6 36 = 2.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 2 48 − log 2 3.

Основите се исти, ја користиме формулата за разлика:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 3 135 − log 3 5.

Повторно, основите се исти, така што имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Како што можете да видите, оригиналните изрази се составени од „лоши“ логаритми, кои не се пресметуваат одделно. Но, по трансформациите тие излегуваат доста нормални бројки. Многумина се изградени на овој факт тест трудови. Да, изразите слични на тестот се нудат со сета сериозност (понекогаш практично без промени) на Обединетиот државен испит.

Извлекување на експонентот од логаритамот

Сега да ја комплицираме задачата малку. Што ако основата или аргументот на логаритам е моќност? Тогаш експонентот на овој степен може да се извади од знакот на логаритамот според следниве правила:

Лесно е да се види дека последното правило ги следи првите две. Но, подобро е да се запамети во секој случај - во некои случаи тоа значително ќе го намали износот на пресметките.

Се разбира, сите овие правила имаат смисла ако се почитува ODZ на логаритмот: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И уште една работа: научете да ги применувате сите формули не само од лево кон десно, туку и обратно , т.е. Можете да ги внесете броевите пред знакот за логаритам во самиот логаритам.

Како да се решат логаритми

Ова е она што најчесто се бара.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 7 49 6 .

Ајде да се ослободиме од степенот во аргументот користејќи ја првата формула:
дневник 7 49 6 = 6 дневник 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека именителот содржи логаритам, чија основа и аргумент се точни моќи: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

Мислам дека последниот пример бара некое појаснување. Каде отидоа логаритмите? До последен момент работиме само со именителот. Ја претставивме основата и аргументот на логаритмот што стои таму во форма на моќности и ги извадивме експонентите - добивме дропка „три ката“.

Сега да ја погледнеме главната фракција. Броителот и именителот го содржат истиот број: log 2 7. Бидејќи log 2 7 ≠ 0, можеме да ја намалиме дропката - 2/4 ќе остане во именителот. Според правилата на аритметиката, четворката може да се пренесе на броителот, што е и направено. Резултатот беше одговорот: 2.

Транзиција кон нова основа

Зборувајќи за правилата за собирање и одземање логаритми, конкретно нагласив дека тие работат само со исти основи. Што ако причините се различни? Што ако тие не се точни моќи со ист број?

На помош доаѓаат формулите за транзиција кон нова основа. Да ги формулираме во форма на теорема:

Нека е даден логаритамскиот лог a x. Тогаш за кој било број c таков што c > 0 и c ≠ 1, еднаквоста е точно:

Конкретно, ако поставиме c = x, добиваме:

Од втората формула произлегува дека основата и аргументот на логаритмот може да се заменат, но во овој случај целиот израз е „превртен“, т.е. логаритмот се појавува во именителот.

Овие формули ретко се наоѓаат во обичните нумерички изрази. Можно е да се процени колку се погодни само кога се решаваат логаритамски равенки и неравенки.

Сепак, има проблеми кои не можат да се решат воопшто освен со преселба во нова основа. Ајде да погледнеме неколку од овие:

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 5 16 log 2 25.

Забележете дека аргументите на двата логаритма содржат точни моќи. Ајде да ги извадиме индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; дневник 2 25 = дневник 2 5 2 = 2 дневник 2 5;

Сега да го „превртиме“ вториот логаритам:

Бидејќи производот не се менува при преуредување на факторите, мирно помноживме четири и два, а потоа се занимававме со логаритми.

Задача. Најдете ја вредноста на изразот: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументот на првиот логаритам се точни моќи. Ајде да го запишеме ова и да се ослободиме од индикаторите:

Сега да се ослободиме од децималниот логаритам со преместување во нова основа:

Основен логаритамски идентитет

Често во процесот на решавање е потребно да се претстави број како логаритам на дадена основа.

Во овој случај, следните формули ќе ни помогнат:

Во првиот случај, бројот n станува експонент во аргументот. Бројот n може да биде апсолутно се, бидејќи е само логаритамска вредност.

Втората формула е всушност парафразирана дефиниција. Така се вика: .

Всушност, што се случува ако бројот b се подигне до таква моќ што бројот b на оваа моќност го дава бројот a? Точно: резултатот е ист број a. Прочитајте го овој пасус повторно внимателно - многу луѓе се заглавуваат на него.

Како формули за преместување во нова основа, основниот логаритамски идентитет понекогаш е единственото можно решение.

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Забележете дека log 25 64 = log 5 8 - едноставно го зеде квадратот од основата и аргументот на логаритамот. Земајќи ги предвид правилата за множење моќи со иста основа, добиваме:

Ако некој не знае, ова беше вистинска задача од Единствениот државен испит :)

Логаритамска единица и логаритамска нула

Како заклучок, ќе дадам два идентитети кои тешко можат да се наречат својства - туку тие се последици од дефиницијата на логаритамот. Тие постојано се појавуваат во проблеми и изненадувачки им создаваат проблеми дури и на „напредните“ студенти.

log a a = 1 е. Запомнете еднаш засекогаш: логаритамот на која било основа a на самата основа е еднаков на еден.
log a 1 = 0 е. Основата a може да биде што било, но ако аргументот содржи еден, логаритамот е еднаков на нула! Бидејќи 0 = 1 е директна последица на дефиницијата.

Тоа се сите својства. Задолжително вежбајте да ги применувате во пракса! Преземете го мамечкиот лист на почетокот на лекцијата, испечатете го и решете ги проблемите.

Да почнеме со својства на логаритмот на еден. Неговата формулација е како што следува: логаритамот на единство е еднаков на нула, т.е. логирајте 1=0за кое било a>0, a≠1. Доказот не е тежок: бидејќи a 0 =1 за кој било a ги задоволува горенаведените услови a>0 и a≠1, тогаш логот за еднаквост a 1=0 што треба да се докаже следи веднаш од дефиницијата на логаритамот.

Да дадеме примери за примена на разгледуваното својство: log 3 1=0, log1=0 и .

Ајде да продолжиме на на следниот имот: логаритамот на број еднаков на основата е еднаков, тоа е, log a a=1за a>0, a≠1. Навистина, бидејќи a 1 =a за кое било a, тогаш по дефиниција на логаритамот log a a=1.

Примери за користење на ова својство на логаритми се равенките log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

На пример, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритам на производот од два позитивни броја x и y е еднаков на производот од логаритмите на овие броеви: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Да го докажеме својството на логаритмот на производот. Поради својствата на степенот a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и бидејќи според главниот логаритамски идентитет лог a x =x и лог a y =y, тогаш лог a x ·a лог a y =x·y. Така, лог a x+log a y =x·y, од кој, според дефиницијата на логаритам, следи еднаквоста што се докажува.

Да покажеме примери за користење на својството на логаритам на производ: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Својството на логаритамот на производот може да се генерализира на производот на конечен број n од позитивни броеви x 1 , x 2 , …, x n како log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Оваа еднаквост може да се докаже без проблеми.

На пример, природниот логаритам на производот може да се замени со збир од три природни логаритми од броевите 4, e и.

Логаритам на количник на два позитивни броја x и y е еднаква на разликата помеѓу логаритмите на овие броеви. Својството на логаритамот на количник одговара на формула од формата , каде што a>0, a≠1, x и y се некои позитивни броеви. Се докажува валидноста на оваа формула како и формулата за логаритам на производ: бидејќи , тогаш по дефиниција на логаритам.

Еве пример за користење на ова својство на логаритмот: .

Ајде да продолжиме на својство на логаритмот на моќноста. Логаритмот на степен е еднаков на производот на експонентот и логаритамот на модулот на основата на овој степен. Да го напишеме ова својство на логаритмот на моќта како формула: log a b p =p·log a |b|, каде што a>0, a≠1, b и p се броеви такви што степенот b p има смисла и b p >0.

Прво го докажуваме ова својство за позитивно б. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа b p =(a log a b) p , а добиениот израз, поради својството на моќ, е еднаков на p·log a b . Значи, доаѓаме до еднаквоста b p =a p·log a b, од која, според дефиницијата за логаритам, заклучуваме дека log a b p =p·log a b.

Останува да се докаже ова својство за негативно б. Овде забележуваме дека изразот log a b p за негативно b има смисла само за парни експоненти p (бидејќи вредноста на степенот b p мора да биде поголема од нула, во спротивно логаритамот нема да има смисла), а во овој случај b p =|b| стр. Потоа b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, од каде log a b p =p·log a |b| .

На пример, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

Тоа произлегува од претходниот имот својство на логаритмот од коренот: логаритмот на n-тиот корен е еднаков на производот од дропот 1/n според логаритамот на радикалниот израз, т.е. , каде што a>0, a≠1, n е природен број поголем од еден, b>0.

Доказот се заснова на еднаквоста (види), која важи за секое позитивно b, и својството на логаритамот на моќноста: .

Еве пример за користење на ова својство: .

Сега да докажеме формула за преминување во нова логаритамска основаљубезен . За да го направите ова, доволно е да се докаже валидноста на логот за еднаквост c b=log a b·log c a. Основниот логаритамски идентитет ни овозможува да го претставиме бројот b како лог a b , потоа log c b=log c a log a b . Останува да се користи својството на логаритмот на степенот: log c a log a b =log a b log c a. Ова ја докажува еднаквоста log c b=log a b·log c a, што значи дека е докажана и формулата за премин кон нова основа на логаритамот.

Да покажеме неколку примери за користење на ова својство на логаритми: и .

Формулата за преместување во нова база ви овозможува да продолжите да работите со логаритми кои имаат „погодна“ основа. На пример, може да се користи за одење до природни или децимални логаритми за да можете да ја пресметате вредноста на логаритам од табела со логаритми. Формулата за преместување во нова логаритамска основа, исто така, овозможува, во некои случаи, да се најде вредноста на даден логаритам кога се познати вредностите на некои логаритми со други основи.

Се користи често посебен случајформули за премин кон нова основа на логаритамот со c=b од формата . Ова покажува дека log a b и log b a – . На пр. .

Формулата исто така често се користи , што е погодно за наоѓање логаритамски вредности. За да ги потврдиме нашите зборови, ќе покажеме како може да се користи за пресметување на вредноста на логаритам на формата. Ние имаме . За да се докаже формулата Доволно е да се користи формулата за премин кон нова основа на логаритмот a: .

Останува да се докажат својствата на споредување на логаритмите.

Да докажеме дека за сите позитивни броеви b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а за a>1 – неравенството log a b 1

Конечно, останува да се докаже последното од наведените својства на логаритмите. Да се ограничиме на доказот на неговиот прв дел, односно ќе докажеме дека ако a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е точно log a 1 b>log a 2 b . Останатите искази на ова својство на логаритмите се докажуваат според сличен принцип.

Ајде да го користиме спротивниот метод. Да претпоставиме дека за 1 >1, 2 >1 и 1 1 е точно log a 1 b≤log a 2 b . Врз основа на својствата на логаритмите, овие неравенки може да се препишат како И соодветно, и од нив следува дека log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2, соодветно. Потоа, според својствата на силите со исти основи, мора да важат еднаквостите b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, односно a 1 ≥a 2 . Така, дојдовме до контрадикција со условот 1

Библиографија.

Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделенија на општообразовните институции.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).

Инструкции

Напиши го дадениот логаритамски израз. Ако изразот користи логаритам од 10, тогаш неговата нотација е скратена и изгледа вака: lg b е декаден логаритам. Ако логаритамот го има како основа бројот e, тогаш напиши го изразот: ln b – природен логаритам. Разбирливо е дека резултатот од било која е моќноста до која мора да се подигне основниот број за да се добие бројот b.

Кога го наоѓате збирот на две функции, едноставно треба да ги разликувате една по една и да ги додадете резултатите: (u+v)" = u"+v";
При наоѓање на изводот на производот на две функции, потребно е да се помножи изводот на првата функција со втората и да се додаде изводот на втората функција помножен со првата функција: (u*v)" = u"*v +v"*u;
За да се најде изводот на количникот на две функции, потребно е да се одземе од производот на изводот на дивидендата помножен со функцијата на делител, производот од изводот на делителот помножен со функцијата на дивидендата и да се подели сето тоа со функцијата делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ако е дадена сложена функција, тогаш потребно е да се помножи изводот на внатрешната функција и изводот на надворешната. Нека y=u(v(x)), потоа y"(x)=y"(u)*v"(x).

Користејќи ги резултатите добиени погоре, можете да разликувате речиси секоја функција. Значи, да погледнеме неколку примери:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Исто така, има проблеми со пресметување на изводот во одредена точка. Нека е дадена функцијата y=e^(x^2+6x+5), треба да ја пронајдете вредноста на функцијата во точката x=1.
1) Најдете го изводот на функцијата: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Пресметај ја вредноста на функцијата во дадена точка y"(1)=8*e^0=8

Видео на темата

Корисен совет

Научете ја табелата со елементарни деривати. Ова значително ќе заштеди време.

Извори:

дериват на константа

Значи, која е разликата помеѓу ирационална равенка и рационална? Ако непознатата променлива е под знакот на квадратен корен, тогаш равенката се смета за ирационална.

Инструкции

Главниот метод за решавање на вакви равенки е методот на конструирање на двете страни равенкиво квадрат. Сепак. ова е природно, првото нешто што треба да направите е да се ослободите од знакот. Овој метод не е технички тежок, но понекогаш може да доведе до проблеми. На пример, равенката е v(2x-5)=v(4x-7). Со квадратирање на двете страни се добива 2x-5=4x-7. Решавањето на таква равенка не е тешко; x=1. Но, бројот 1 нема да биде даден равенки. Зошто? Заменете еден во равенката наместо вредноста на x А десната и левата страна ќе содржат изрази кои немаат смисла, т.е. Оваа вредност не важи за квадратен корен. Според тоа, 1 е надворешен корен и затоа оваа равенка нема корени.

Значи, ирационална равенка се решава со методот на квадратирање на двете негови страни. И откако ќе ја решите равенката, неопходно е да се отсечат надворешни корени. За да го направите ова, заменете ги пронајдените корени во оригиналната равенка.

Размислете за уште еден.
2х+vх-3=0
Се разбира, оваа равенка може да се реши со користење на истата равенка како претходната. Премести соединенија равенки, кои немаат квадратен корен, на десната страна и потоа се користи методот на квадрат. решете ја добиената рационална равенка и корени. Но и уште една, поелегантна. Внесете нова променлива; vх=y. Според тоа, ќе добиете равенка од формата 2y2+y-3=0. Односно, обична квадратна равенка. Најдете ги неговите корени; y1=1 и y2=-3/2. Следно, реши две равенки vх=1; vх=-3/2. Втората равенка нема корени од првата наоѓаме дека x=1. Не заборавајте да ги проверите корените.

Решавањето на идентитетите е прилично едноставно. За да го направите ова, неопходно е да се извршат идентични трансформации додека не се постигне поставената цел. Така, со помош на едноставни аритметички операции, ќе се реши задачата што е на располагање.

Ќе ви треба

- хартија;
- пенкало.

Инструкции

Наједноставните од таквите трансформации се алгебарските скратени множење (како што е квадратот на збирот (разлика), разликата на квадратите, сумата (разликата), коцката на збирот (разликата)). Покрај тоа, постојат многу тригонометриски формули, кои во суштина се исти идентитети.

Навистина, квадратот на збирот на два члена е еднаков на квадратот на првиот плус двапати од производот на првиот за вториот и плус квадратот на вториот, односно (a+b)^2= (a+ б)(а+б)=а^2+аб +ба+б ^2=а^2+2аб+б^2.
Поедноставете ги и двете
Општи принципи на решението
Повторете од учебник по математичка анализа или виша математика што е определен интеграл. Како што е познато, решението на определен интеграл е функција чиј извод ќе даде интегранд. Оваа функција се нарекува антидериватив. Врз основа на овој принцип, се конструираат главните интеграли.
Одредете според типот на интеградот кој од интегралите на табелата е погоден во овој случај. Не е секогаш можно ова веднаш да се одреди. Честопати, табеларната форма станува забележлива само по неколку трансформации за да се поедностави интеграндот.
Метод за замена на променлива
Ако интеграндот е тригонометриска функција чиј аргумент е полином, тогаш обидете се да го користите методот на промена на променливите. За да го направите ова, заменете го полиномот во аргументот на интеградот со некоја нова променлива. Врз основа на односот помеѓу новите и старите променливи, утврдете ги новите граници на интеграција. Со диференцирање на овој израз, пронајдете го новиот диференцијал во . Така, ќе добиете нова форма на претходниот интеграл, блиска или дури соодветна на некој табеларен.
Решавање интеграли од втор вид
Ако интегралот е интеграл од вториот вид, векторска форма на интеграндот, тогаш ќе треба да ги користите правилата за премин од овие интеграли во скаларните. Едно такво правило е релацијата Остроградски-Гаус. Овој закон ни овозможува да се движиме од роторскиот флукс на одредена векторска функција до тројниот интеграл над дивергенцијата на дадено векторско поле.
Замена на границите за интеграција
По наоѓањето на антидериватот, потребно е да се заменат границите на интеграција. Прво, заменете ја вредноста на горната граница во изразот за антидериватот. Ќе добиете некој број. Следно, од добиениот број одземете друг број добиен од долната граница во антидериватот. Ако една од границите на интеграцијата е бесконечност, тогаш кога се заменува во антидеривативната функција, потребно е да се оди до границата и да се најде кон што се стреми изразот.
Ако интегралот е дводимензионален или тридимензионален, тогаш ќе треба геометриски да ги претставите границите на интеграцијата за да разберете како да го оцените интегралот. Навистина, во случај на, да речеме, тродимензионален интеграл, границите на интеграцијата можат да бидат цели рамнини што го ограничуваат волуменот што се интегрира.