Trekanter
Triangel er en figur som består av tre punkter som ikke ligger på samme linje, og tre segmenter som forbinder disse punktene i par. Punktene kalles topper trekant, og segmentene er dens fester.
Typer trekanter
Trekanten kalles likebent, hvis de to sidene er like. Disse like sidene kalles sider, og tredjeparten blir tilkalt basis triangel.
En trekant der alle sider er like kalles likesidet eller riktig.
Trekanten kalles rektangulær, hvis den har en rett vinkel, er det en vinkel på 90°. Siden av en rettvinklet trekant motsatt den rette vinkelen kalles hypotenuse, de to andre sidene kalles bena.
Trekanten kalles spissvinklet, hvis alle tre vinklene er spisse, det vil si mindre enn 90°.
Trekanten kalles stump, hvis en av vinklene er stumpe, det vil si mer enn 90°.
Grunnleggende linjer i trekanten
Median
Median av en trekant er et segment som forbinder toppunktet til en trekant med midten av motsatt side av denne trekanten. 
Egenskaper til trekantmedianer
Medianen deler en trekant i to trekanter med samme areal.
Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.
Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.
Bisector
Vinkelhalveringslinje er en stråle som kommer fra toppen, passerer mellom sidene og halverer en gitt vinkel. Halvlinje for en trekant kalt halveringslinjen til en vinkel i en trekant som forbinder et toppunkt med et punkt på motsatt side av denne trekanten. 
Egenskaper til halveringslinjer for trekant
Høyde
Høyde av en trekant er vinkelrett trukket fra toppen av trekanten til linjen som inneholder motsatt side av denne trekanten. 
Egenskaper for trekanthøyder
I høyre trekant høyden trukket fra toppunktet i en rett vinkel deler den i to trekanter, lignende opprinnelig.
I spiss trekant dens to høyder avskåret fra den lignende trekanter.
Median vinkelrett
En rett linje som går gjennom midten av et segment vinkelrett på det kalles vinkelrett halveringslinje til segmentet .
Egenskaper til vinkelrette halveringslinjer i en trekant
Hvert punkt i den vinkelrette halveringslinjen til et segment er like langt fra endene av det segmentet. Det motsatte er også sant: hvert punkt som er like langt fra endene av et segment ligger på den vinkelrette halveringslinjen til det.
Skjæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjene trukket til sidene av trekanten, er sentrum omkrets av denne trekanten.
midtlinje
Den midterste linjen i trekanten kalt et segment som forbinder midtpunktene på de to sidene.
Egenskapen til midtlinjen i en trekant
Midtlinjen til en trekant er parallell med en av sidene og lik halvparten av den siden.
Formler og forhold
Tegn på likhet av trekanter
To trekanter er like hvis de er respektive like:
to sider og vinkelen mellom dem;
to hjørner og siden ved siden av dem;
tre sider.
Tegn på likhet av rette trekanter
To høyre trekant er like hvis de er respektive like: 
hypotenusen og en spiss vinkel;
bein og motsatt vinkel;
bein og tilstøtende vinkel;
to bein;
hypotenusen Og bein.
Likhet mellom trekanter
To trekanter lignende hvis en av følgende forhold, kalt tegn på likhet:
to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant;
to sider av en trekant er proporsjonale med to sider av en annen trekant, og vinklene som dannes av disse sidene er like;
de tre sidene i den ene trekanten er proporsjonale med de tre sidene i den andre trekanten.
I lignende trekanter de tilsvarende linjene ( høyder, medianer, halveringslinjer etc.) er proporsjonale.
Teorem for sinus
Sidene i en trekant er proporsjonale med sinusen til de motsatte vinklene, og proporsjonalitetskoeffisienten er lik diameter
omskrevne sirkel av en trekant:
Cosinus teorem
Kvadraten til en side i en trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene minus to ganger produktet av disse sidene og cosinus til vinkelen mellom dem:
en 2 = b 2 + c 2 - 2f.Kr cos
Trekantarealformler
Gratis trekant
a, b, c - sider; - vinkel mellom sidene en Og b;- semi-perimeter; R- omskrevet sirkelradius; r- radius av den innskrevne sirkelen; S- torget; h en - høyde trukket til siden en.
Trekant - definisjon og generelle begreper
En trekant er en enkel polygon som består av tre sider og har samme antall vinkler. Planene er begrenset av 3 punkter og 3 segmenter som forbinder disse punktene i par.
Alle hjørner av en trekant, uavhengig av dens type, er angitt med store bokstaver med latinske bokstaver, og sidene er avbildet med de tilsvarende betegnelsene på motsatte hjørner, men ikke med store bokstaver, men liten. Så, for eksempel, en trekant med toppunkter merket A, B og C har sidene a, b, c.
Hvis vi ser på en trekant i det euklidiske rom, så er det en geometrisk figur som er dannet ved hjelp av tre segmenter som forbinder tre punkter som ikke ligger på samme rette linje.
Se nøye på bildet vist ovenfor. På den er punktene A, B og C toppunktene til denne trekanten, og dens segmenter kalles sidene i trekanten. Hvert toppunkt i denne polygonen danner vinkler inne i den.
Typer trekanter
I henhold til størrelsen på vinklene til trekanter er de delt inn i slike varianter som: Rektangulær;
Akutt kantete;
Stumpet.
Rektangulære trekanter inkluderer de som har en rett vinkel og de to andre har spisse vinkler.
Akutte trekanter er de der alle vinklene er spisse.
Og hvis en trekant har en stump vinkel og de to andre spisse vinklene, klassifiseres en slik trekant som stump.
Hver av dere forstår godt at ikke alle trekanter har like sider. Og i henhold til lengden på sidene kan trekanter deles inn i:
Likebent;
Likesidet;
Allsidig.
Oppgave: Tegn forskjellige typer trekanter. Definer dem. Hvilken forskjell ser du mellom dem?
Grunnleggende egenskaper ved trekanter
Selv om disse enkle polygonene kan avvike fra hverandre i størrelsen på vinklene eller sidene, har hver trekant de grunnleggende egenskapene som er karakteristiske for denne figuren.
I en hvilken som helst trekant:
Den totale summen av alle vinklene er 180º.
Hvis den tilhører likesidede sider, er hver av vinklene 60º.
En likesidet trekant har like og like vinkler.
Jo mindre side av polygonet er, jo mindre vinkel er det motsatt, og omvendt, jo større vinkel er motsatt av den større siden.
Hvis sidene er like, så er de motsatte like vinkler, og vice versa.
Hvis vi tar en trekant og utvider siden, ender vi opp med en ytre vinkel. Det er lik summen av de indre vinklene.
I en hvilken som helst trekant vil siden, uansett hvilken du velger, fortsatt være mindre enn summen av de to andre sidene, men mer enn forskjellen deres:
1. a< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a–b.
Trening
Tabellen viser de allerede kjente to vinklene til trekanten. Når du kjenner den totale summen av alle vinkler, finn hva den tredje vinkelen i trekanten er lik og skriv den inn i tabellen:
1. Hvor mange grader har den tredje vinkelen?
2. Hvilken type trekant tilhører den?
Tester for ekvivalens av trekanter
jeg signerer
II tegn
III tegn
Høyde, halveringslinje og median av en trekant
Høyden til en trekant - vinkelrett tegnet fra toppen av figuren til dens motsatte side kalles trekantens høyde. Alle høyder i en trekant skjærer hverandre på ett punkt. Skjæringspunktet for alle de tre høydene i en trekant er dens ortosenter.
Et segment tegnet fra et gitt toppunkt og forbinder det midt på motsatt side er medianen. Medianer, så vel som høyder av en trekant, har ett felles skjæringspunkt, det såkalte tyngdepunktet til trekanten eller tyngdepunktet.
Halvlederen til en trekant er et segment som forbinder toppunktet til en vinkel og et punkt på motsatt side, og deler også denne vinkelen i to. Alle halveringslinjer i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som kalles sentrum av sirkelen som er innskrevet i trekanten.
Segmentet som forbinder midtpunktene til 2 sider av en trekant kalles midtlinjen.
Historisk referanse
En figur som en trekant var kjent tilbake i antikken. Denne figuren og dens egenskaper ble nevnt på egyptiske papyrus for fire tusen år siden. Litt senere, takket være Pythagoras teorem og Herons formel, flyttet studiet av egenskapene til en trekant til mer høy level, men likevel skjedde dette for mer enn to tusen år siden.
På 1400- og 1500-tallet begynte det å bli utført mye forskning på egenskapene til en trekant, og som et resultat oppsto en vitenskap som planimetri, som ble kalt "New Triangle Geometry".
Den russiske vitenskapsmannen N.I. Lobachevsky ga et stort bidrag til kunnskapen om egenskapene til trekanter. Arbeidene hans fant senere anvendelse i matematikk, fysikk og kybernetikk.
Takket være kunnskap om egenskapene til trekanter oppsto en slik vitenskap som trigonometri. Det viste seg å være nødvendig for en person i hans praktiske behov, siden bruken ganske enkelt er nødvendig når du tegner kart, måler områder og til og med når du designer forskjellige mekanismer.
Hvilken er best? kjent trekant Du vet? Dette er selvfølgelig Bermudatriangelet! Den fikk navnet sitt på 50-tallet pga geografisk plassering punkter (hjørnepunktene i trekanten), innenfor hvilke det ifølge den eksisterende teorien oppsto assosierte anomalier. Toppene av Bermudatriangelet er Bermuda, Florida og Puerto Rico.
Oppgave: Hva teorier om Bermuda-triangelet hørte du?
Visste du at i Lobachevskys teori, når du legger til vinklene til en trekant, har summen deres alltid et resultat som er mindre enn 180º. I Riemanns geometri er summen av alle vinklene i en trekant større enn 180º, og i verkene til Euklid er den lik 180 grader.
Hjemmelekser
Løs et kryssord om et gitt emne
Spørsmål til kryssordet:
1. Hva heter perpendikulæren som trekkes fra trekantens toppunkt til den rette linjen på motsatt side?
2. Hvordan kan du med ett ord kalle summen av lengdene på sidene i en trekant?
3. Nevn en trekant hvis to sider er like?
4. Nevn en trekant som har en vinkel lik 90°?
5. Hva heter den største siden av trekanten?
6. Hva heter siden i en likebenet trekant?
7. Det er alltid tre av dem i en hvilken som helst trekant.
8. Hva heter en trekant der en av vinklene overstiger 90°?
9. Navnet på segmentet som forbinder toppen av figuren vår med midten av motsatt side?
10. I en enkel polygon ABC, stor bokstav Og er...?
11. Hva heter segmentet som deler vinkelen til en trekant i to?
Spørsmål om temaet trekanter:
1. Definer det.
2. Hvor mange høyder har den?
3. Hvor mange halveringslinjer har en trekant?
4. Hva er summen av vinkler?
5. Hvilke typer av denne enkle polygonen kjenner du?
6. Nevn punktene i trekantene som kalles bemerkelsesverdige.
7. Hvilken enhet kan du bruke for å måle vinkelen?
8. Hvis klokkeviserne viser klokken 21. Hvilken vinkel lager timeviserne?
9. I hvilken vinkel snur en person hvis han får kommandoen "venstre", "sirkel"?
10. Hvilke andre definisjoner kjenner du til som er knyttet til en figur som har tre vinkler og tre sider?
I dag skal vi til geometriens land, hvor vi skal bli kjent med forskjellige typer trekanter.
Vurder de geometriske formene og finn den "ekstra" blant dem (fig. 1).
Ris. 1. Illustrasjon for eksempel
Vi ser at figurene nr. 1, 2, 3, 5 er firkanter. Hver av dem har sitt eget navn (fig. 2).
Ris. 2. Firkanter
Dette betyr at den "ekstra" figuren er en trekant (fig. 3).
Ris. 3. Illustrasjon for eksempel
En trekant er en figur som består av tre punkter som ikke ligger på samme linje og tre segmenter som forbinder disse punktene i par.
Punktene kalles hjørnene i trekanten, segmenter - hans fester. Sidene av trekanten dannes Det er tre vinkler ved toppunktene i en trekant.
Hovedtrekkene til en trekant er tre sider og tre hjørner. I henhold til størrelsen på vinkelen er trekanter akutt, rektangulær og stump.
En trekant kalles spissvinklet hvis alle tre vinklene er spisse, det vil si mindre enn 90° (fig. 4).
Ris. 4. Akutt trekant
En trekant kalles rektangulær hvis en av vinklene er 90° (fig. 5).
Ris. 5. Rett trekant
En trekant kalles stump hvis en av vinklene er stumpe, det vil si mer enn 90° (fig. 6).
Ris. 6. Stump trekant
Etter nummer like sider Trekanter kan være likesidede, likebenede, skalaene.
En likebenet trekant er en der to sider er like (fig. 7).
Ris. 7. Likebenet trekant
Disse sidene kalles lateralt, tredje side - basis. I en likebenet trekant er grunnvinklene like.
Det er likebente trekanter akutt og stump(Fig. 8) .
Ris. 8. Akutte og stumpe likebenede trekanter
En likesidet trekant er en der alle tre sidene er like (fig. 9).
Ris. 9. Likesidet trekant
I en likesidet trekant alle vinkler er like. Likesidede trekanter Alltid spissvinklet.
En scalene er en trekant der alle tre sidene har forskjellig lengde (fig. 10).
Ris. 10. Skala trekant
Fullfør oppgaven. Fordel disse trekantene i tre grupper (fig. 11).
Ris. 11. Illustrasjon til oppgaven
Først, la oss fordele etter størrelsen på vinklene.
Akutte trekanter: nr. 1, nr. 3.
Rettvinklede trekanter: nr. 2, nr. 6.
Stumpe trekanter: nr. 4, nr. 5.
Vi vil fordele de samme trekantene i grupper etter antall like sider.
Skala trekanter: nr. 4, nr. 6.
Likebenede trekanter: nr. 2, nr. 3, nr. 5.
Likesidet trekant: nr. 1.
Se på bildene.
Tenk på hvilket stykke ledning hver trekant ble laget av (fig. 12).
Ris. 12. Illustrasjon til oppgaven
Du kan tenke slik.
Den første tråden er delt inn i tre like deler, slik at du kan lage en likesidet trekant av den. Han er vist tredje på bildet.
Den andre tråden er delt inn i tre forskjellige deler, så den kan brukes til å lage scalene trekant. Det vises først på bildet.
Den tredje tråden er delt i tre deler, der to deler har samme lengde, noe som betyr at det kan lages en likebenet trekant av den. På bildet er han vist nummer to.
I dag i klassen lærte vi om forskjellige typer trekanter.
Bibliografi
- M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Matematikk. 3. klasse: i 2 deler, del 1. - M.: “Enlightenment”, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Matematikk. 3. klasse: i 2 deler, del 2. - M.: “Enlightenment”, 2012.
- M.I. Moro. Mattetimer: Retningslinjer for læreren. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
- Reguleringsdokument. Overvåking og evaluering av læringsutbytte. - M.: "Enlightenment", 2011.
- "School of Russia": Programmer for grunnskole. - M.: "Enlightenment", 2011.
- S.I. Volkova. Matematikk: Testarbeid. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Eksamen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Hjemmelekser
1. Fullfør setningene.
a) En trekant er en figur som består av ... som ikke ligger på samme linje, og ... som forbinder disse punktene i par.
b) Punktene kalles … , segmenter - hans … . Sidene av trekanten dannes ved hjørnene av trekanten ….
c) Etter størrelsen på vinkelen er trekanter ... , ... , ... .
d) Basert på antall like sider er trekanter ... , ... , ... .
2. Tegn
EN) høyre trekant;
b) spiss trekant;
c) stump trekant;
d) likesidet trekant;
e) scalene trekant;
e) likebenet trekant.
3. Lag en oppgave om emnet for leksjonen til vennene dine.
I dag skal vi til geometriens land, hvor vi skal bli kjent med forskjellige typer trekanter.
Vurder de geometriske formene og finn den "ekstra" blant dem (fig. 1).
Ris. 1. Illustrasjon for eksempel
Vi ser at figurene nr. 1, 2, 3, 5 er firkanter. Hver av dem har sitt eget navn (fig. 2).
Ris. 2. Firkanter
Dette betyr at den "ekstra" figuren er en trekant (fig. 3).
Ris. 3. Illustrasjon for eksempel
En trekant er en figur som består av tre punkter som ikke ligger på samme linje og tre segmenter som forbinder disse punktene i par.
Punktene kalles hjørnene i trekanten, segmenter - hans fester. Sidene av trekanten dannes Det er tre vinkler ved toppunktene i en trekant.
Hovedtrekkene til en trekant er tre sider og tre hjørner. I henhold til størrelsen på vinkelen er trekanter akutt, rektangulær og stump.
En trekant kalles spissvinklet hvis alle tre vinklene er spisse, det vil si mindre enn 90° (fig. 4).
Ris. 4. Akutt trekant
En trekant kalles rektangulær hvis en av vinklene er 90° (fig. 5).
Ris. 5. Rett trekant
En trekant kalles stump hvis en av vinklene er stumpe, det vil si mer enn 90° (fig. 6).
Ris. 6. Stump trekant
Basert på antall like sider, er trekanter likesidede, likebenede, skalaene.
En likebenet trekant er en der to sider er like (fig. 7).
Ris. 7. Likebenet trekant
Disse sidene kalles lateralt, tredje side - basis. I en likebenet trekant er grunnvinklene like.
Det er likebente trekanter akutt og stump(Fig. 8) .
Ris. 8. Akutte og stumpe likebenede trekanter
En likesidet trekant er en der alle tre sidene er like (fig. 9).
Ris. 9. Likesidet trekant
I en likesidet trekant alle vinkler er like. Likesidede trekanter Alltid spissvinklet.
En scalene er en trekant der alle tre sidene har forskjellig lengde (fig. 10).
Ris. 10. Skala trekant
Fullfør oppgaven. Fordel disse trekantene i tre grupper (fig. 11).
Ris. 11. Illustrasjon til oppgaven
Først, la oss fordele etter størrelsen på vinklene.
Akutte trekanter: nr. 1, nr. 3.
Rettvinklede trekanter: nr. 2, nr. 6.
Stumpe trekanter: nr. 4, nr. 5.
Vi vil fordele de samme trekantene i grupper etter antall like sider.
Skala trekanter: nr. 4, nr. 6.
Likebenede trekanter: nr. 2, nr. 3, nr. 5.
Likesidet trekant: nr. 1.
Se på bildene.
Tenk på hvilket stykke ledning hver trekant ble laget av (fig. 12).
Ris. 12. Illustrasjon til oppgaven
Du kan tenke slik.
Den første tråden er delt inn i tre like deler, slik at du kan lage en likesidet trekant av den. Han er vist tredje på bildet.
Den andre tråden er delt inn i tre forskjellige deler, slik at den kan brukes til å lage en skala trekant. Det vises først på bildet.
Den tredje tråden er delt i tre deler, der to deler har samme lengde, noe som betyr at det kan lages en likebenet trekant av den. På bildet er han vist nummer to.
I dag i klassen lærte vi om forskjellige typer trekanter.
Bibliografi
- M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Matematikk. 3. klasse: i 2 deler, del 1. - M.: “Enlightenment”, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Matematikk. 3. klasse: i 2 deler, del 2. - M.: “Enlightenment”, 2012.
- M.I. Moro. Matematikktimer: Metodiske anbefalinger for lærere. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
- Reguleringsdokument. Overvåking og evaluering av læringsutbytte. - M.: "Enlightenment", 2011.
- "School of Russia": Programmer for grunnskolen. - M.: "Enlightenment", 2011.
- S.I. Volkova. Matematikk: Prøvearbeid. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Eksamen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Hjemmelekser
1. Fullfør setningene.
a) En trekant er en figur som består av ... som ikke ligger på samme linje, og ... som forbinder disse punktene i par.
b) Punktene kalles … , segmenter - hans … . Sidene av trekanten dannes ved hjørnene av trekanten ….
c) Etter størrelsen på vinkelen er trekanter ... , ... , ... .
d) Basert på antall like sider er trekanter ... , ... , ... .
2. Tegn
a) rettvinklet trekant;
b) spiss trekant;
c) stump trekant;
d) likesidet trekant;
e) scalene trekant;
e) likebenet trekant.
3. Lag en oppgave om emnet for leksjonen til vennene dine.
Når man studerer matematikk, begynner elevene å bli kjent med ulike typer geometriske former. I dag skal vi snakke om forskjellige typer trekanter.
Definisjon
Geometriske figurer som består av tre punkter som ikke er på samme linje kalles trekanter.
Segmentene som forbinder punktene kalles sider, og punktene kalles toppunkter. Topppunkter er angitt med store bokstaver, for eksempel: A, B, C.
Sidene er betegnet med navnene på de to punktene de består av - AB, BC, AC. Kryssende danner sidene vinkler. Undersiden regnes som basen til figuren.
Ris. 1. Trekant ABC.
Typer trekanter
Trekanter er klassifisert etter vinkler og sider. Hver type trekant har sine egne egenskaper.
Det er tre typer trekanter i hjørnene:
- spissvinklet;
- rektangulær;
- stumpvinklet.
Alle vinkler spissvinklet trekanter er akutte, det vil si at gradmålet for hver ikke er mer enn 90 0.
Rektangulært en trekant inneholder en rett vinkel. De to andre vinklene vil alltid være spisse, siden ellers vil summen av vinklene til trekanten overstige 180 grader, og dette er umulig. Siden som er motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen, og de to andre kalles bena. Hypotenusen er alltid større enn beinet.
Stumpet trekanten inneholder en stump vinkel. Det vil si en vinkel større enn 90 grader. De to andre vinklene i en slik trekant vil være spisse.
Ris. 2. Typer trekanter i hjørnene.
En pytagoreisk trekant er et rektangel hvis sider er 3, 4, 5.
Dessuten er den større siden hypotenusen.
Slike trekanter brukes ofte til å konstruere enkle problemer i geometri. Husk derfor: hvis to sider av en trekant er lik 3, vil den tredje definitivt være 5. Dette vil forenkle beregningene.
Typer trekanter på sidene:
- likesidet;
- likebent;
- allsidig.
Likesidet En trekant er en trekant der alle sider er like. Alle vinkler i en slik trekant er lik 60 0, det vil si at den alltid er spiss.
Likebent trekant - en trekant med bare to sider like. Disse sidene kalles laterale, og den tredje kalles basen. I tillegg er vinklene ved bunnen av en likebenet trekant like og alltid spisse.
Allsidig eller en vilkårlig trekant er en trekant der alle lengder og alle vinkler ikke er like hverandre.
Hvis problemet ikke inneholder noen avklaringer om figuren, er det generelt akseptert at vi snakker om en vilkårlig trekant.
Ris. 3. Typer trekanter på sidene.
Summen av alle vinkler i en trekant, uansett type, er 1800.
Motsatt den større vinkelen er den større siden. Og også lengden på en side er alltid mindre enn summen av de to andre sidene. Disse egenskapene bekreftes av trekantulikhetsteoremet.
Det er et konsept om den gylne trekanten. Dette er en likebenet trekant der to sider er proporsjonale med grunnflaten og lik et visst antall. I en slik figur er vinklene proporsjonale med forholdet 2:2:1.
Oppgave:
Finnes det en trekant hvis sider er 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Løsning:
For å løse denne oppgaven må du bruke ulikheten a
Hva har vi lært?
Fra dette materialet fra matematikkkurset i 5. klasse lærte vi at trekanter er klassifisert etter sidene og størrelsen på vinklene. Trekanter har visse egenskaper som kan brukes til å løse problemer.
Laster inn...