I en tid nå, i TheBat (det er ikke klart av hvilken grunn), har den innebygde sertifikatdatabasen for SSL sluttet å fungere korrekt.

Når du sjekker innlegget, dukker det opp en feilmelding:

Ukjent CA-sertifikat
Serveren presenterte ikke et rotsertifikat i økten, og det tilsvarende rotsertifikatet ble ikke funnet i adresseboken.
Denne forbindelsen kan ikke være hemmelig. Vær så snill
kontakt serveradministratoren din.

Og det tilbys et valg av svar - JA / NEI. Og så hver gang du skyter post.

Løsning

I dette tilfellet må du erstatte S/MIME- og TLS-implementeringsstandarden med Microsoft CryptoAPI i TheBat!

Siden jeg trengte å slå sammen alle filene til én, konverterte jeg først alle doc-filer til en enkelt pdf-fil (ved hjelp av Acrobat-programmet), og deretter overførte jeg den til fb2 gjennom en online-konvertering. Du kan også konvertere filer individuelt. Formater kan være absolutt alle (kilde) og doc, og jpg, og til og med zip-arkiv!

Navnet på nettstedet tilsvarer essensen:) Online Photoshop.

Oppdatering mai 2015

Jeg fant en annen flott side! Enda mer praktisk og funksjonell for å lage en helt vilkårlig collage! Denne siden er http://www.fotor.com/ru/collage/ . Bruk på helse. Og jeg skal bruke den selv.

Stilt overfor reparasjon av elektriske komfyrer i livet. Jeg har allerede gjort mange ting, lært mye, men på en eller annen måte hadde jeg lite med fliser å gjøre. Det var nødvendig å bytte ut kontaktene på regulatorene og brennerne. Spørsmålet oppsto - hvordan bestemme diameteren til brenneren på den elektriske komfyren?

Svaret viste seg å være enkelt. Du trenger ikke å måle noe, du kan rolig bestemme etter øye hvilken størrelse du trenger.

Den minste brenneren er 145 millimeter (14,5 centimeter)

Middels brenner er 180 millimeter (18 centimeter).

Og til slutt mest stor brenner er 225 millimeter (22,5 centimeter).

Det er nok å bestemme størrelsen med øyet og forstå hvilken diameter du trenger en brenner. Da jeg ikke visste dette, svevde jeg med disse størrelsene, jeg visste ikke hvordan jeg skulle måle, hvilken kant jeg skulle navigere osv. Nå er jeg klok :) Håper det hjalp deg også!

I mitt liv møtte jeg et slikt problem. Jeg tror jeg ikke er den eneste.

Hvis det i oppgaven er nødvendig å utføre en fullstendig studie av funksjonen f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 med konstruksjonen av grafen, vil vi vurdere dette prinsippet i detalj.

For å løse et problem av denne typen, bør man bruke egenskapene og grafene til de viktigste elementære funksjonene. Forskningsalgoritmen inkluderer følgende trinn:

Finne definisjonsdomenet

Siden det forskes på funksjonens domene, er det nødvendig å starte med dette trinnet.

Eksempel 1

Det gitte eksemplet innebærer å finne nullene til nevneren for å ekskludere dem fra DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Som et resultat kan du få røtter, logaritmer og så videre. Deretter kan ODZ søkes etter roten av en jevn grad av typen g (x) 4 ved ulikheten g (x) ≥ 0 , for logaritmen log a g (x) ved ulikheten g (x) > 0 .

Undersøkelse av ODZ-grenser og finne vertikale asymptoter

Det er vertikale asymptoter på funksjonens grenser, når de ensidige grensene på slike punkter er uendelige.

Eksempel 2

Tenk for eksempel på at kantpunktene er lik x = ± 1 2 .

Da er det nødvendig å studere funksjonen for å finne den ensidige grensen. Da får vi det: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Dette viser at de ensidige grensene er uendelige, noe som betyr at linjene x = ± 1 2 er de vertikale asymptotene til grafen.

Undersøkelse av funksjonen og for partall eller oddetall

Når betingelsen y (- x) = y (x) er oppfylt, anses funksjonen som partall. Dette antyder at grafen er plassert symmetrisk i forhold til O y. Når betingelsen y (- x) = - y (x) er oppfylt, anses funksjonen som oddetall. Dette betyr at symmetrien går med hensyn til opprinnelsen til koordinatene. Hvis minst én ulikhet svikter, får vi en funksjon av generell form.

Oppfyllelsen av likheten y (- x) = y (x) indikerer at funksjonen er partall. Ved konstruksjon er det nødvendig å ta hensyn til at det vil være symmetri med hensyn til O y.

For å løse ulikheten brukes intervaller for økning og reduksjon med betingelsene henholdsvis f "(x) ≥ 0 og f" (x) ≤ 0.

Definisjon 1

Stasjonære punkter er punkter som snur den deriverte til null.

Kritiske punkter er indre punkter fra domenet der den deriverte av funksjonen er lik null eller ikke eksisterer.

Når du tar en beslutning, bør følgende punkter tas i betraktning:

for de eksisterende intervallene for økning og reduksjon av ulikheten til formen f "(x) > 0, er de kritiske punktene ikke inkludert i løsningen;
punkter der funksjonen er definert uten en endelig derivert må inkluderes i intervallene for økning og reduksjon (for eksempel y \u003d x 3, der punktet x \u003d 0 gjør funksjonen definert, den deriverte har verdien av uendelig på dette tidspunktet er y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 inkludert i økningsintervallet);
for å unngå uenigheter anbefales det å bruke matematisk litteratur, som anbefales av Kunnskapsdepartementet.

Inkludering av kritiske punkter i intervallene for økende og avtagende i tilfelle de tilfredsstiller funksjonens domene.

Definisjon 2

Til bestemme intervallene for økning og reduksjon av funksjonen, er det nødvendig å finne:

derivat;
kritiske punkter;
bryte definisjonsdomenet ved hjelp av kritiske punkter i intervaller;
bestem tegnet til den deriverte ved hvert av intervallene, der + er en økning og - er en nedgang.

Eksempel 3

Finn den deriverte på domenet f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Løsning

For å løse trenger du:

finn stasjonære punkter, dette eksemplet har x = 0 ;
finn nullpunktene til nevneren, eksemplet tar verdien null ved x = ± 1 2 .

Vi eksponerer punkter på den numeriske aksen for å bestemme den deriverte på hvert intervall. For å gjøre dette er det nok å ta et hvilket som helst poeng fra intervallet og foreta en beregning. Hvis resultatet er positivt, tegner vi + på grafen, som betyr en økning i funksjonen, og - betyr dens nedgang.

For eksempel f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, som betyr at det første intervallet til venstre har et +-tegn. Tenk på tallet linje.

Svar:

det er en økning i funksjonen på intervallet - ∞; - 1 2 og (- 1 2 ; 0 ];
det er en reduksjon på intervallet [0; 12) og 12; +∞ .

I diagrammet, ved å bruke + og -, er positiviteten og negativiteten til funksjonen avbildet, og pilene indikerer avtagende og økende.

Ytterpunktpunktene til en funksjon er punktene der funksjonen er definert og der den deriverte skifter fortegn.

Eksempel 4

Hvis vi vurderer et eksempel der x \u003d 0, er verdien av funksjonen i den f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Når tegnet til den deriverte endres fra + til - og går gjennom punktet x \u003d 0, regnes punktet med koordinater (0; 0) som maksimumspunktet. Når tegnet endres fra - til +, får vi minimumspunktet.

Konveksitet og konkavitet bestemmes ved å løse ulikheter på formen f "" (x) ≥ 0 og f "" (x) ≤ 0 . Sjeldnere bruker de navnet bule ned i stedet for konkavitet, og bule opp i stedet for bule.

Definisjon 3

Til bestemme hullene i konkavitet og konveksitet nødvendig:

finn den andre deriverte;
finn nullpunktene til funksjonen til den andre deriverte;
bryte definisjonsdomenet med punktene som vises i intervaller;
bestemme tegnet på gapet.

Eksempel 5

Finn den andre deriverte fra definisjonsdomenet.

Løsning

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Vi finner nullpunktene til telleren og nevneren, der vi ved å bruke vårt eksempel har at nullpunktene til nevneren x = ± 1 2

Nå må du sette poeng på talllinjen og bestemme tegnet til den andre deriverte fra hvert intervall. Det skjønner vi

Svar:

funksjonen er konveks fra intervallet - 1 2 ; 12;
funksjonen er konkav fra hullene - ∞; - 1 2 og 1 2; +∞ .

Definisjon 4

bøyningspunkt er et punkt på formen x 0 ; f(x0) . Når den har en tangent til grafen til funksjonen, og når den går gjennom x 0, endrer funksjonen fortegn til det motsatte.

Med andre ord, dette er et slikt punkt der den andre deriverte passerer og endrer fortegn, og ved selve punktene er lik null eller eksisterer ikke. Alle punkter anses å være funksjonens domene.

I eksemplet ble det sett at det ikke er noen bøyningspunkter, siden den andre deriverte endrer fortegn mens den passerer gjennom punktene x = ± 1 2 . De er på sin side ikke inkludert i definisjonsdomenet.

Finne horisontale og skrå asymptoter

Når man skal definere en funksjon ved uendelig, må man se etter horisontale og skrå asymptoter.

Definisjon 5

Skrå asymptoter tegnes ved hjelp av linjer gitt av ligningen y = k x + b, hvor k = lim x → ∞ f (x) x og b = lim x → ∞ f (x) - k x .

For k = 0 og b ikke lik uendelig, finner vi at den skrå asymptoten blir horisontal.

Med andre ord, asymptotene er linjene som grafen til funksjonen nærmer seg ved uendelig. Dette bidrar til rask konstruksjon av grafen til funksjonen.

Hvis det ikke er asymptoter, men funksjonen er definert ved begge uendeligheter, er det nødvendig å beregne grensen for funksjonen ved disse uendelighetene for å forstå hvordan grafen til funksjonen vil oppføre seg.

Eksempel 6

Tenk på det som et eksempel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

er en horisontal asymptote. Etter å ha undersøkt funksjonen, kan du begynne å bygge den.

Beregne verdien av en funksjon ved mellomliggende punkter

For å gjøre plottingen mest nøyaktig, anbefales det å finne flere verdier av funksjonen på mellompunkter.

Eksempel 7

Fra eksemplet vi har vurdert, er det nødvendig å finne verdiene til funksjonen på punktene x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Siden funksjonen er jevn, får vi at verdiene sammenfaller med verdiene på disse punktene, det vil si at vi får x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

La oss skrive og løse:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

For å bestemme maksima og minima for funksjonen, bøyningspunkter, mellompunkter, er det nødvendig å bygge asymptoter. For praktisk betegnelse er intervaller for økning, reduksjon, konveksitet, konkavitet fast. Tenk på figuren nedenfor.

Det er nødvendig å tegne graflinjer gjennom de merkede punktene, som lar deg komme nærmere asymptotene ved å følge pilene.

Dette avslutter den fullstendige studien av funksjonen. Det er tilfeller av å konstruere noen elementære funksjoner som geometriske transformasjoner brukes til.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Hvordan undersøke en funksjon og plotte dens graf?

Det ser ut til at jeg begynner å forstå det sjelfulle ansiktet til lederen av verdensproletariatet, forfatteren av innsamlede verk i 55 bind .... Den lange reisen begynte med elementær informasjon om funksjoner og grafer, og nå ender arbeidet med et møysommelig tema med et naturlig resultat - en artikkel om hele funksjonsstudiet. Den etterlengtede oppgaven er formulert som følger:

Undersøk funksjonen ved hjelp av metoder for differensialregning og, basert på resultatene av studien, bygg dens graf

Eller kort sagt: undersøk funksjonen og plott den.

Hvorfor utforske? I enkle tilfeller vil det ikke være vanskelig for oss å håndtere elementære funksjoner, tegne en graf oppnådd ved hjelp av elementære geometriske transformasjoner etc. Egenskapene og grafiske representasjonene til mer komplekse funksjoner er imidlertid langt fra åpenbare, og derfor er det nødvendig med en hel studie.

Hovedtrinnene i løsningen er oppsummert i referansematerialet Funksjonsstudieskjema, dette er din seksjonsguide. Dummies trenger en trinnvis forklaring av emnet, noen lesere vet ikke hvor de skal begynne og hvordan de skal organisere studiet, og viderekomne studenter kan være interessert i bare noen få punkter. Men hvem du enn er, kjære besøkende, vil det foreslåtte sammendraget med tips til ulike leksjoner orientere og lede deg i interesseretningen på kortest mulig tid. Robotene felte en tåre =) Manualen ble laget i form av en pdf-fil og tok sin rettmessige plass på siden Matematiske formler og tabeller.

Jeg pleide å dele studiet av funksjonen inn i 5-6 punkter:

6) Ytterligere poeng og graf basert på resultatene fra studien.

Når det gjelder den endelige handlingen, tror jeg alle forstår alt - det vil være veldig skuffende hvis det i løpet av sekunder blir krysset over og oppgaven returneres for revisjon. EN RIKTIG OG NØYAKTIG TEGNING er hovedresultatet av løsningen! Det er stor sannsynlighet for å "dekke over" analytiske forglemmelser, mens en feil og/eller slurvete tidsplan vil skape problemer selv med en perfekt gjennomført studie.

Det skal bemerkes at i andre kilder kan antall forskningsartikler, rekkefølgen på deres implementering og designstilen avvike betydelig fra ordningen foreslått av meg, men i de fleste tilfeller er det ganske nok. Den enkleste versjonen av oppgaven består av bare 2-3 trinn og er formulert omtrent slik: "utforsk funksjonen ved å bruke den deriverte og plott" eller "utforsk funksjonen ved å bruke 1. og 2. deriverte, plott".

Naturligvis, hvis en annen algoritme blir analysert i detalj i opplæringsmanualen din, eller læreren din strengt tatt krever at du følger forelesningene hans, må du gjøre noen justeringer av løsningen. Ikke vanskeligere enn å erstatte en gaffel med en motorsagskje.

La oss sjekke funksjonen for partall/oddetall:

Dette etterfølges av en mal avmelding:
, så denne funksjonen er verken partall eller merkelig.

Siden funksjonen er kontinuerlig på , er det ingen vertikale asymptoter.

Det er heller ingen skrå asymptoter.

Merk : Jeg minner deg om at jo høyere vekstrekkefølge enn , så den endelige grensen er nøyaktig " et pluss evighet."

La oss finne ut hvordan funksjonen oppfører seg i det uendelige:

Med andre ord, hvis vi går til høyre, så går grafen uendelig langt opp, hvis vi går til venstre, uendelig langt ned. Ja, det er også to grenser under en enkelt oppføring. Hvis du har problemer med å tyde skiltene, vennligst besøk leksjonen om infinitesimale funksjoner.

Så funksjonen ikke begrenset ovenfra og ikke begrenset nedenfra. Med tanke på at vi ikke har knekkpunkter, blir det klart og funksjonsområde: er også et hvilket som helst reelt tall.

NYTTIG TEKNIKK

Hvert oppgavetrinn gir ny informasjon om grafen til funksjonen, så i løpet av løsningen er det praktisk å bruke en slags LAYOUT. La oss tegne et kartesisk koordinatsystem på utkastet. Hva er sikkert kjent? For det første har grafen ingen asymptoter, derfor er det ikke nødvendig å tegne rette linjer. For det andre vet vi hvordan funksjonen oppfører seg i det uendelige. I følge analysen trekker vi den første tilnærmingen:

Merk at i kraft kontinuitet funksjon på og det faktum at , grafen må krysse aksen minst én gang. Eller kanskje det er flere skjæringspunkter?

3) Nullpunkter for funksjonen og intervaller for konstant fortegn.

Finn først skjæringspunktet til grafen med y-aksen. Det er enkelt. Det er nødvendig å beregne verdien av funksjonen når:

Halvt over havet.

For å finne skjæringspunktene med aksen (nuller til funksjonen), må du løse ligningen, og her venter en ubehagelig overraskelse på oss:

På slutten lurer et gratis medlem, noe som kompliserer oppgaven betydelig.

En slik ligning har minst én reell rot, og som oftest er denne roten irrasjonell. I det verste eventyret venter tre små griser på oss. Ligningen er løsbar ved hjelp av den såkalte Cardanos formler, men papirskader kan sammenlignes med nesten hele studien. I denne forbindelse er det klokere muntlig eller på et utkast å prøve å plukke opp minst en hel rot. La oss sjekke om disse tallene er:
- passer ikke;
- det er!

Det er heldig her. I tilfelle feil kan du også teste og, og hvis disse tallene ikke passer, så er jeg redd det er svært få sjanser for en lønnsom løsning på ligningen. Da er det bedre å hoppe over forskningspunktet helt – kanskje blir noe klarere på siste trinn, når ytterligere punkter slår gjennom. Og hvis roten (røttene) tydelig er "dårlige", er det bedre å være beskjeden stille om intervallene for konstante tegn og å fullføre tegningen mer nøyaktig.

Imidlertid har vi en vakker rot, så vi deler polynomet for ingen rest:

Algoritmen for å dele et polynom med et polynom er diskutert i detalj i det første eksemplet av leksjonen. Komplekse grenser.

Som et resultat, venstre side av den opprinnelige ligningen utvides til et produkt:

Og nå litt om en sunn livsstil. Selvfølgelig forstår jeg det andregradsligninger må løses hver dag, men i dag vil vi gjøre et unntak: ligningen har to reelle røtter.

På talllinjen plotter vi de funnet verdiene og intervallmetode definer tegnene til funksjonen:

og Altså på intervallene kartet ligger
under x-aksen, og med intervaller - over denne aksen.

De resulterende funnene lar oss avgrense oppsettet vårt, og den andre tilnærmingen av grafen ser slik ut:

Vær oppmerksom på at funksjonen må ha minst ett maksimum på intervallet, og minst ett minimum på intervallet. Men vi vet ikke hvor mange ganger, hvor og når timeplanen vil «snøre». En funksjon kan forresten ha uendelig mange ytterpunkter.

4) Økning, reduksjon og ekstrema av funksjonen.

La oss finne de kritiske punktene:

Denne ligningen har to reelle røtter. La oss sette dem på talllinjen og bestemme tegnene til den deriverte:

Derfor øker funksjonen med og reduseres med.
På det tidspunktet når funksjonen sitt maksimum: .
På det tidspunktet når funksjonen sitt minimum: .

De etablerte fakta driver malen vår inn i et ganske stivt rammeverk:

Unødvendig å si er differensialregning en kraftig ting. La oss til slutt ta for oss formen på grafen:

5) Konveksitet, konkavitet og bøyningspunkter.

Finn de kritiske punktene til den andre deriverte:

La oss definere tegn:

Funksjonsgrafen er konveks på og konkav på . La oss beregne ordinaten til bøyningspunktet: .

Nesten alt ryddet opp.

6) Det gjenstår å finne flere punkter som vil bidra til å bygge en graf mer nøyaktig og utføre en selvtest. I dette tilfellet er de få, men vi vil ikke overse:

La oss utføre tegningen:

Bøyepunktet er markert med grønt, tilleggspunkter markeres med kryss. Grafen til en kubisk funksjon er symmetrisk om bøyningspunktet, som alltid er plassert nøyaktig midt mellom maksimum og minimum.

I løpet av oppgaven ga jeg tre hypotetiske mellomtegninger. I praksis er det nok å tegne et koordinatsystem, markere punktene som er funnet, og etter hvert punkt i studien, mentalt finne ut hvordan grafen til funksjonen kan se ut. Det vil ikke være vanskelig for studenter med et godt forberedelsesnivå å gjennomføre en slik analyse utelukkende i tankene uten å involvere et utkast.

For en frittstående løsning:

Eksempel 2

Utforsk funksjonen og lag en graf.

Alt er raskere og morsommere her, et omtrentlig eksempel på fullføring på slutten av leksjonen.

Mange hemmeligheter avsløres ved studiet av rasjonelle brøkfunksjoner:

Eksempel 3

Ved å bruke metodene for differensialregning, undersøk funksjonen og, basert på resultatene fra studien, konstruer dens graf.

Løsning: den første fasen av studien skiller seg ikke ut i noe bemerkelsesverdig, med unntak av et hull i definisjonsområdet:

1) Funksjonen er definert og kontinuerlig på hele tallinjen bortsett fra punktet , domene: .

, så denne funksjonen er verken partall eller merkelig.

Selvfølgelig er funksjonen ikke-periodisk.

Grafen til funksjonen består av to sammenhengende grener plassert i venstre og høyre halvplan - dette er kanskje den viktigste konklusjonen i 1. ledd.

2) Asymptoter, oppførselen til en funksjon ved uendelig.

a) Ved hjelp av ensidige grenser studerer vi funksjonen til funksjonen nær det mistenkelige punktet, der den vertikale asymptoten klart må være:

Faktisk holder funksjonene ut uendelig gap på punktet
og den rette linjen (aksen) er vertikal asymptote grafisk kunst.

b) Sjekk om det finnes skrå asymptoter:

Ja, linjen er skrå asymptote grafikk hvis .

Det gir ingen mening å analysere grensene, siden det allerede er klart at funksjonen i en omfavnelse med sin skrå asymptote ikke begrenset ovenfra og ikke begrenset nedenfra.

Det andre punktet i studien brakte mye viktig informasjon om funksjonen. La oss lage en grov skisse:

Konklusjon nr. 1 gjelder intervaller for tegnkonstans. Ved "minus uendelig" er grafen til funksjonen unikt plassert under x-aksen, og ved "pluss uendelig" er den over denne aksen. I tillegg fortalte ensidige grenser oss at både til venstre og til høyre for punktet er funksjonen også større enn null. Vær oppmerksom på at i venstre halvplan må grafen krysse x-aksen minst én gang. I det høyre halvplanet er det kanskje ingen nuller av funksjonen.

Konklusjon nr. 2 er at funksjonen øker på og til venstre for punktet (går "fra bunn til topp"). Til høyre for dette punktet reduseres funksjonen (går "fra topp til bunn"). Høyre gren av grafen må absolutt ha minst ett minimum. På venstresiden er ytterpunkter ikke garantert.

Konklusjon nr. 3 gir pålitelig informasjon om konkaviteten til grafen i nærheten av punktet. Vi kan ennå ikke si noe om konveksitet/konkavitet i det uendelige, siden linjen kan presses mot sin asymptote både ovenfra og nedenfra. Generelt sett er det en analytisk måte å finne ut av dette akkurat nå, men formen på diagrammet "for ingenting" vil bli tydeligere på et senere tidspunkt.

Hvorfor så mange ord? For å kontrollere påfølgende forskningspunkter og unngå feil! Ytterligere beregninger bør ikke motsi konklusjonene som er trukket.

3) Skjæringspunkter for grafen med koordinataksene, intervaller med konstant fortegn for funksjonen.

Grafen til funksjonen krysser ikke aksen.

Ved hjelp av intervallmetoden bestemmer vi tegnene:

, hvis ;
, hvis .

Resultatene av avsnittet er helt i samsvar med konklusjon nr. 1. Etter hvert trinn, se på utkastet, referer mentalt til studien og tegn ferdig grafen til funksjonen.

I dette eksemplet er telleren delt begrep for begrep med nevneren, noe som er veldig gunstig for differensiering:

Faktisk har dette allerede blitt gjort når man har funnet asymptoter.

- kritisk punkt.

La oss definere tegn:

øker med og avtar til

På det tidspunktet når funksjonen sitt minimum: .

Det var heller ingen avvik med konklusjon nr. 2, og mest sannsynlig er vi på rett vei.

Dette betyr at grafen til funksjonen er konkav over hele definisjonsdomenet.

Utmerket - og du trenger ikke tegne noe.

Det er ingen bøyningspunkter.

Konkaviteten er i samsvar med konklusjon nr. 3, dessuten indikerer den at ved uendelig (både der og der) er grafen til funksjonen plassert ovenfor dens skrå asymptote.

6) Vi vil samvittighetsfullt feste oppgaven med ytterligere poeng. Her må vi jobbe hardt, for vi kjenner bare to punkter fra studien.

Og et bilde som sikkert mange har presentert lenge:

I løpet av oppgaven må man passe på at det ikke er motsetninger mellom studietrinnene, men noen ganger er situasjonen akutt eller til og med desperat blindvei. Her "konvergerer ikke analysene" - og det er det. I dette tilfellet anbefaler jeg en nødteknikk: vi finner så mange punkter som hører til grafen som mulig (hvor mye tålmodighet er nok), og merker dem på koordinatplanet. Grafisk analyse av de funnet verdiene vil i de fleste tilfeller fortelle deg hvor er sannheten og hvor er løgnen. I tillegg kan grafen bygges på forhånd ved hjelp av et eller annet program, for eksempel i samme Excel (det er klart at dette krever ferdigheter).

Eksempel 4

Bruk metodene for differensialregning, undersøk funksjonen og bygg dens graf.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. I den forsterkes selvkontrollen av funksjonens jevnhet - grafen er symmetrisk om aksen, og hvis noe i studien din motsier dette faktum, se etter en feil.

En partall eller oddetall funksjon kan kun undersøkes for , og da kan symmetrien til grafen brukes. Denne løsningen er optimal, men den ser etter min mening veldig uvanlig ut. Personlig vurderer jeg hele den numeriske aksen, men jeg finner fortsatt tilleggspunkter bare til høyre:

Eksempel 5

Gjennomfør en fullstendig studie av funksjonen og plott grafen.

Løsning: skyndte seg hardt:

1) Funksjonen er definert og kontinuerlig på hele den reelle linjen: .

Dette betyr at denne funksjonen er merkelig, grafen er symmetrisk i forhold til opprinnelsen.

Selvfølgelig er funksjonen ikke-periodisk.

2) Asymptoter, oppførselen til en funksjon ved uendelig.

Siden funksjonen er kontinuerlig på , er det ingen vertikale asymptoter

For en funksjon som inneholder en eksponent, typisk skille studiet av "pluss" og "minus uendelighet", men livet vårt er lettet bare av symmetrien til grafen - enten er det en asymptote til venstre og høyre, eller så er den ikke. Derfor kan begge uendelige grensene ordnes under en enkelt oppføring. I løpet av løsningen bruker vi L'Hopitals regel:

Den rette linjen (aksen) er den horisontale asymptoten til grafen ved .

Vær oppmerksom på hvordan jeg på en smart måte unngikk hele algoritmen for å finne den skrå asymptoten: grensen er ganske lovlig og tydeliggjør funksjonen til funksjonen ved uendelig, og den horisontale asymptoten ble funnet "som om på samme tid."

Det følger av kontinuiteten på og eksistensen av en horisontal asymptote at funksjonen begrenset ovenfra og begrenset nedenfra.

3) Skjæringspunkter for grafen med koordinataksene, konstanthetsintervaller.

Her forkorter vi også løsningen:
Grafen går gjennom origo.

Det er ingen andre skjæringspunkter med koordinataksene. Dessuten er konstansintervallene åpenbare, og aksen kan ikke tegnes: , noe som betyr at tegnet til funksjonen bare avhenger av "x":
, hvis ;
, hvis .

4) Økende, avtagende, ekstreme av funksjonen.

er kritiske punkter.

Punktene er symmetriske om null, som det skal være.

La oss definere tegnene til den deriverte:

Funksjonen øker på intervallet og avtar på intervallene

På det tidspunktet når funksjonen sitt maksimum: .

På grunn av eiendommen (merkelighet av funksjonen) minimum kan utelates:

Siden funksjonen avtar på intervallet, er grafen åpenbart plassert ved "minus uendelig" under med sin asymptote. På intervallet avtar også funksjonen, men her er det motsatte - etter å ha passert maksimalpunktet, nærmer linjen seg aksen ovenfra.

Det følger også av ovenstående at funksjonsgrafen er konveks ved "minus uendelig" og konkav ved "pluss uendelig".

Etter dette punktet av studien ble området med verdiene til funksjonen også tegnet:

Hvis du har en misforståelse av noen punkter, oppfordrer jeg deg nok en gang til å tegne koordinatakser i notatboken og, med en blyant i hendene, analysere hver konklusjon av oppgaven på nytt.

5) Konveksitet, konkavitet, bøyninger av grafen.

er kritiske punkter.

Symmetrien til punktene er bevart, og mest sannsynlig tar vi ikke feil.

La oss definere tegn:

Grafen til funksjonen er konveks på og konkav på .

Konveksitet/konkavitet ved ekstreme intervaller ble bekreftet.

På alle kritiske punkter er det bøyninger i grafen. La oss finne ordinatene til bøyningspunktene, mens vi igjen reduserer antall beregninger, ved å bruke oddeligheten til funksjonen:

Reshebnik Kuznetsov.
III Grafer

Oppgave 7. Gjennomfør en fullstendig studie av funksjonen og bygg dens graf.

Før du begynner å laste ned alternativene, prøv å løse problemet i henhold til eksempelet nedenfor for alternativ 3. Noen av alternativene er arkivert i .rar-format

7.3 Gjennomfør en fullstendig studie av funksjonen og plott den

Løsning.

1) Omfang: eller dvs. .
.
Dermed: .

2) Det er ingen skjæringspunkter med okseaksen. Faktisk har ligningen ingen løsninger.
Det er ingen skjæringspunkter med Oy-aksen fordi .

3) Funksjonen er verken partall eller oddetall. Det er ingen symmetri rundt y-aksen. Det er heller ingen symmetri om opprinnelsen. Fordi
.
Vi ser at og .