Videoopplæring 2: Pyramideproblem. Volum av pyramiden

Videoopplæring 3: Pyramideproblem. Riktig pyramide

Foredrag: Pyramiden, dens base, laterale ribber, høyde, lateral overflate; trekantet pyramide; vanlig pyramide

Pyramiden, dens egenskaper

Pyramide er et tredimensjonalt legeme som har en polygon ved bunnen, og alle ansiktene består av trekanter.

Et spesielt tilfelle av en pyramide er en kjegle med en sirkel ved bunnen.

La oss se på hovedelementene i pyramiden:

Apotem- dette er et segment som forbinder toppen av pyramiden med midten av den nedre kanten av sideflaten. Dette er med andre ord høyden på kanten av pyramiden.

På figuren kan du se trekanter ADS, ABS, BCS, CDS. Hvis du ser nøye på navnene, kan du se at hver trekant har én felles bokstav i navnet – S. Det vil si at dette betyr at alle sideflatene (trekantene) konvergerer i ett punkt, som kalles toppen av pyramiden .

Segmentet OS som forbinder toppunktet med skjæringspunktet for diagonalene til basen (i tilfelle trekanter - i skjæringspunktet mellom høydene) kalles pyramidehøyde.

Et diagonalt snitt er et plan som går gjennom toppen av pyramiden, samt en av diagonalene til basen.

Siden sideflaten av pyramiden består av trekanter, så for å finne Totalt areal sideflate, må du finne arealet av hvert ansikt og legge dem sammen. Antall og form på ansikter avhenger av formen og størrelsen på sidene av polygonen som ligger ved basen.

Det eneste planet i en pyramide som ikke tilhører toppunktet kalles basis pyramider.

På figuren ser vi at basen er et parallellogram, men det kan være en hvilken som helst vilkårlig polygon.

Egenskaper:

Tenk på det første tilfellet av en pyramide, der den har kanter av samme lengde:

En sirkel kan tegnes rundt bunnen av en slik pyramide. Hvis du projiserer toppen av en slik pyramide, vil projeksjonen være plassert i midten av sirkelen.
Vinklene ved bunnen av pyramiden er de samme på hver side.
I dette tilfellet kan en tilstrekkelig betingelse for at en sirkel kan beskrives rundt bunnen av pyramiden, og også at alle kantene har forskjellig lengde, betraktes som de samme vinklene mellom bunnen og hver kant av flatene.

Hvis du kommer over en pyramide der vinklene mellom sideflatene og basen er like, så er følgende egenskaper sanne:

Du vil kunne beskrive en sirkel rundt bunnen av pyramiden, hvis toppunkt er projisert nøyaktig i midten.
Hvis du tegner hver sidekant av høyden til basen, vil de være like lange.
For å finne det laterale overflatearealet til en slik pyramide, er det nok å finne omkretsen til basen og multiplisere den med halvparten av lengden av høyden.
S bp = 0,5 P oc H.
Typer pyramide.
Avhengig av hvilken polygon som ligger ved bunnen av pyramiden, kan de være trekantede, firkantede osv. Hvis ved bunnen av pyramiden ligger en regulær polygon (med like sider), så vil en slik pyramide kalles vanlig.

Vanlig trekantet pyramide

Denne videoopplæringen vil hjelpe brukere med å få en ide om Pyramid-temaet. Riktig pyramide. I denne leksjonen skal vi bli kjent med begrepet en pyramide og gi det en definisjon. La oss vurdere hva en vanlig pyramide er og hvilke egenskaper den har. Så beviser vi teoremet om sideflaten til en vanlig pyramide.

I denne leksjonen skal vi bli kjent med begrepet en pyramide og gi det en definisjon.

Tenk på en polygon A 1 A 2...A n, som ligger i α-planet, og punktet P, som ikke ligger i α-planet (fig. 1). La oss koble sammen prikkene P med topper A 1, A 2, A 3, … A n. Vi får n trekanter: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R og så videre.

Definisjon. Polyeder RA 1 A 2 ...A n, består av n-torget A 1 A 2...A n Og n trekanter RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 kalles n-kullpyramide. Ris. 1.

Ris. 1

Tenk på en firkantet pyramide PABCD(Fig. 2).

R- toppen av pyramiden.

ABCD- bunnen av pyramiden.

RA- sideribbe.

AB- bunnribb.

Fra punkt R la oss slippe vinkelrett RN til grunnplanet ABCD. Den vinkelrette tegnet er høyden på pyramiden.

Ris. 2

Hele overflaten av pyramiden består av sideflaten, det vil si arealet til alle sideflatene, og arealet av basen:

S full = S side + S hoved

En pyramide kalles riktig hvis:

basen er en vanlig polygon;
segmentet som forbinder toppen av pyramiden til midten av basen er høyden.

Forklaring ved å bruke eksempelet på en vanlig firkantet pyramide

Tenk på en vanlig firkantet pyramide PABCD(Fig. 3).

R- toppen av pyramiden. Basen av pyramiden ABCD- en vanlig firkant, det vil si en firkant. Punktum OM, skjæringspunktet mellom diagonalene, er midten av kvadratet. Midler, RO er høyden på pyramiden.

Ris. 3

Forklaring: i riktig n I en trekant faller midten av den innskrevne sirkelen og midten av den omskrevne sirkelen sammen. Dette senteret kalles polygonens senter. Noen ganger sier de at toppunktet er projisert inn i midten.

Høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet kalles apotem og er utpekt h a.

1. alle sidekanter av en vanlig pyramide er like;

2. Sideflatene er like likebenede trekanter.

Vi vil gi et bevis på disse egenskapene ved å bruke eksemplet med en vanlig firkantet pyramide.

Gitt: PABCD- vanlig firkantet pyramide,

ABCD- torget,

RO- høyden på pyramiden.

Bevise:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Se fig. 4.

Ris. 4

Bevis.

RO- høyden på pyramiden. Det vil si rett RO vinkelrett på planet ABC, og derfor direkte JSC, VO, SO Og GJØRE ligger i den. Så trekanter ROA, ROV, ROS, ROD- rektangulær.

Tenk på en firkant ABCD. Av egenskapene til et kvadrat følger det at AO = VO = CO = GJØRE.

Så de rette trekantene ROA, ROV, ROS, ROD bein RO- generelt og ben JSC, VO, SO Og GJØRE er like, som betyr at disse trekantene er like på to sider. Fra likheten av trekanter følger likheten av segmenter, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 er bevist.

Segmenter AB Og Sol er like fordi de er sider av samme firkant, RA = PB = RS. Så trekanter AVR Og VSR - likebenet og like på tre sider.

På lignende måte finner vi at trekanter ABP, VCP, CDP, DAP er likebente og like, som kreves for å være bevist i paragraf 2.

Arealet av sideoverflaten til en vanlig pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotemet:

For å bevise dette, la oss velge en vanlig trekantet pyramide.

Gitt: RAVS- vanlig trekantet pyramide.

AB = BC = AC.

RO- høyde.

Bevise: . Se fig. 5.

Ris. 5

Bevis.

RAVS- vanlig trekantet pyramide. Det er AB= AC = BC. La OM- midten av trekanten ABC, Deretter RO er høyden på pyramiden. Ved bunnen av pyramiden ligger en likesidet trekant ABC. Legg merke til det .

Trekanter RAV, RVS, RSA- lik likebente trekanter(etter eiendom). U trekantet pyramide tre sideflater: RAV, RVS, RSA. Dette betyr at arealet av sideoverflaten til pyramiden er:

S side = 3S RAW

Teoremet er bevist.

Radiusen til en sirkel innskrevet ved bunnen av en vanlig firkantet pyramide er 3 m, høyden på pyramiden er 4 m. Finn arealet av sideoverflaten til pyramiden.

Gitt: vanlig firkantet pyramide ABCD,

ABCD- torget,

r= 3 m,

RO- høyden på pyramiden,

RO= 4 m.

Finne: S-siden. Se fig. 6.

Ris. 6

Løsning.

I følge det beviste teoremet, .

La oss først finne siden av basen AB. Vi vet at radiusen til en sirkel innskrevet ved bunnen av en vanlig firkantet pyramide er 3 m.

Så, m.

Finn omkretsen av firkanten ABCD med en side på 6 m:

Tenk på en trekant BCD. La M- midt på siden DC. Fordi OM- midten BD, Det (m).

Triangel DPC- likebent. M- midten DC. Det er, RM- median, og derfor høyden i trekanten DPC. Deretter RM- apotem av pyramiden.

RO- høyden på pyramiden. Så rett RO vinkelrett på planet ABC, og derfor direkte OM, ligger i den. La oss finne apotemet RM fra høyre trekant rom.

Nå kan vi finne sideoverflaten til pyramiden:

Svar: 60 m2.

Radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt bunnen av en vanlig trekantet pyramide er lik m. Sideoverflaten er 18 m 2. Finn lengden på apotemet.

Gitt: ABCP- vanlig trekantet pyramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S side = 18 m2.

Finne: . Se fig. 7.

Ris. 7

Løsning.

I en rettvinklet trekant ABC Radien til den omskrevne sirkelen er gitt. La oss finne en side AB denne trekanten ved hjelp av sinusloven.

Å kjenne siden vanlig trekant(m), la oss finne omkretsen.

Ved teoremet om det laterale overflatearealet til en vanlig pyramide, hvor h a- apotem av pyramiden. Deretter:

Svar: 4 m.

Så vi så på hva en pyramide er, hva en vanlig pyramide er, og vi beviste teoremet om sideoverflaten til en vanlig pyramide. I neste leksjon skal vi bli kjent med den avkortede pyramiden.

Bibliografi

Geometri. 10.-11. klasse: lærebok for elever utdanningsinstitusjoner(grunn- og profilnivåer) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. utgave, rev. og tillegg - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.
Geometri. 10-11 klasse: Lærebok for allmenndannelse utdanningsinstitusjoner/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 s.: ill.
Geometri. Karakter 10: Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner med fordypning og spesialisering i matematikk /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. utgave, stereotypi. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: ill.

Internettportal "Yaklass" ()
Internettportal "Festival pedagogiske ideer"Første september" ()
Internettportal «Slideshare.net» ()

Hjemmelekser

Kan en regulær polygon være bunnen av en uregelmessig pyramide?
Bevis at usammenhengende kanter på en vanlig pyramide er vinkelrette.
Finn verdien av den dihedriske vinkelen ved siden av basen til en vanlig firkantet pyramide hvis apotemet til pyramiden er lik siden av basen.
RAVS- vanlig trekantet pyramide. Konstruer den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen ved bunnen av pyramiden.

Vi fortsetter å vurdere oppgavene som er inkludert i Unified State Examination i matematikk. Vi har allerede studert problemer der tilstanden er gitt og det kreves å finne avstanden mellom to gitte punkter eller en vinkel.

En pyramide er et polyeder, hvis basis er en polygon, de resterende flatene er trekanter, og de har et felles toppunkt.
En vanlig pyramide er en pyramide ved bunnen av som ligger en regulær polygon, og toppunktet er projisert inn i midten av bunnen.

En vanlig firkantet pyramide - basen er en firkant Toppen av pyramiden projiseres i skjæringspunktet mellom diagonalene til basen (firkantet).

ML - apotem
∠MLO - dihedral vinkel ved bunnen av pyramiden
∠MCO - vinkel mellom sidekanten og planet til bunnen av pyramiden

I denne artikkelen skal vi se på problemer for å løse en vanlig pyramide. Du må finne et element, sideoverflateareal, volum, høyde. Selvfølgelig må du kjenne Pythagoras teorem, formelen for arealet av sideoverflaten til en pyramide og formelen for å finne volumet til en pyramide.

I artikkelen "" presenterer formlene som er nødvendige for å løse problemer i stereometri. Så, oppgavene:

SABCD punktum O- midten av basen,S toppunkt, SÅ = 51, A.C.= 136. Finn sidekantenS.C..

I i dette tilfellet basen er en firkant. Dette betyr at diagonalene AC og BD er like, de skjærer hverandre og er halvert av skjæringspunktet. Legg merke til at i en vanlig pyramide passerer høyden som faller fra toppen gjennom midten av bunnen av pyramiden. Så SO er høyden og trekantenSOCrektangulær. Så ifølge Pythagoras teorem:

Hvordan trekke ut roten fra stort nummer.

Svar: 85

Bestem selv:

I en vanlig firkantet pyramide SABCD punktum O- midten av basen, S toppunkt, SÅ = 4, A.C.= 6. Finn sidekanten S.C..

I en vanlig firkantet pyramide SABCD punktum O- midten av basen, S toppunkt, S.C. = 5, A.C.= 6. Finn lengden på segmentet SÅ.

I en vanlig firkantet pyramide SABCD punktum O- midten av basen, S toppunkt, SÅ = 4, S.C.= 5. Finn lengden på segmentet A.C..

SABC R- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at AB= 7, a S.R.= 16. Finn sideflatearealet.

Arealet av sideoverflaten til en vanlig trekantet pyramide er lik halvparten av produktet av omkretsen av basen og apotemet (apotem er høyden på sideflaten til en vanlig pyramide trukket fra toppunktet):

Eller vi kan si dette: arealet av sideoverflaten til pyramiden er lik summen tre firkanter sidekanter. Sideflatene i en vanlig trekantet pyramide er trekanter med samme areal. I dette tilfellet:

Svar: 168

Bestem selv:

I en vanlig trekantet pyramide SABC R- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at AB= 1, a S.R.= 2. Finn sideflatearealet.

I en vanlig trekantet pyramide SABC R- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at AB= 1, og arealet av sideflaten er 3. Finn lengden på segmentet S.R..

I en vanlig trekantet pyramide SABC L- midten av ribben B.C., S- toppen. Det er kjent at SL= 2, og arealet av sideflaten er 3. Finn lengden på segmentet AB.

I en vanlig trekantet pyramide SABC M. Arealet av en trekant ABC er 25, er volumet av pyramiden 100. Finn lengden på segmentet MS.

Basen til pyramiden er en likesidet trekant. Derfor Mer midten av basen, ogMS- høyden på en vanlig pyramideSABC. Volum av pyramiden SABC lik: se løsning

I en vanlig trekantet pyramide SABC medianene til basen skjærer hverandre i punktet M. Arealet av en trekant ABC tilsvarer 3, MS= 1. Finn volumet til pyramiden.

I en vanlig trekantet pyramide SABC medianene til basen skjærer hverandre i punktet M. Volumet av pyramiden er 1, MS= 1. Finn arealet av trekanten ABC.

La oss avslutte her. Som du kan se, løses problemer i ett eller to trinn. I fremtiden vil vi vurdere andre problemer fra denne delen, der revolusjonskropper blir gitt, ikke gå glipp av det!

Jeg ønsker deg suksess!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Første nivå

Pyramide. Visuell guide (2019)

Hva er en pyramide?

Hvordan ser hun ut?

Du ser: nederst i pyramiden (de sier " på basen") noen polygon, og alle toppunktene til denne polygonen er koblet til et punkt i rommet (dette punktet kalles " toppunkt»).

Hele denne strukturen har fortsatt sideflater, side ribber Og base ribben. Nok en gang, la oss tegne en pyramide sammen med alle disse navnene:

Noen pyramider kan se veldig merkelige ut, men de er fortsatt pyramider.

Her er for eksempel helt "skrå" pyramide.

Og litt mer om navnene: hvis det er en trekant ved bunnen av pyramiden, så kalles pyramiden trekantet, hvis det er en firkant, så firkantet, og hvis det er en centagon, så... gjett selv .

Samtidig punktet der den falt høyde, kalt høyde base. Vær oppmerksom på at i de "skjeve" pyramidene høyde kan til og med havne utenfor pyramiden. Som dette:

Og det er ikke noe galt med det. Det ser ut som en stump trekant.

Riktig pyramide.

Mye av komplekse ord? La oss dechiffrere: "Ved basen - riktig" - dette er forståelig. La oss nå huske at en vanlig polygon har et senter - et punkt som er sentrum av og , og .

Vel, ordene "toppen projiseres inn i midten av basen" betyr at bunnen av høyden faller nøyaktig inn i midten av basen. Se hvor glatt og søtt det ser ut vanlig pyramide.

Sekskantet: ved basen er det en vanlig sekskant, toppunktet projiseres inn i midten av basen.

Firkantet: basen er en firkant, toppen er projisert til skjæringspunktet mellom diagonalene til denne firkanten.

Trekantet: ved basen er det en vanlig trekant, toppunktet projiseres til skjæringspunktet mellom høydene (de er også medianer og halveringslinjer) til denne trekanten.

Veldig viktige egenskaper til en vanlig pyramide:

I den høyre pyramiden

alle sidekanter er like.
alle sideflater er likebente trekanter og alle disse trekantene er like.

Volum av pyramiden

Hovedformelen for volumet til en pyramide:

Hvor kom det egentlig fra? Dette er ikke så enkelt, og først må du bare huske at en pyramide og en kjegle har volum i formelen, men en sylinder har ikke det.

La oss nå beregne volumet til de mest populære pyramidene.

La siden av basen være lik og sidekanten lik. Vi må finne og.

Dette er arealet av en vanlig trekant.

La oss huske hvordan du ser etter dette området. Vi bruker arealformelen:

For oss er " " dette, og " " er også dette, eh.

La oss nå finne den.

I følge Pythagoras teorem for

Hva er forskjellen? Dette er circumradius i fordi pyramideriktig og derfor sentrum.

Siden - skjæringspunktet mellom medianene også.

(Pythagoreisk teorem for)

La oss erstatte det med formelen for.

Og la oss erstatte alt i volumformelen:

Merk følgende: hvis du har et vanlig tetraeder (dvs.), blir formelen slik:

La siden av basen være lik og sidekanten lik.

Det er ingen grunn til å lete her; Tross alt er basen en firkant, og derfor.

Vi finner den. I følge Pythagoras teorem for

Vet vi det? Nesten. Se:

(vi så dette ved å se på det).

Bytt inn i formelen for:

Og nå erstatter vi og inn i volumformelen.

La siden av basen være lik og sidekanten.

Hvordan finne? Se, en sekskant består av nøyaktig seks like vanlige trekanter. Vi har allerede sett etter arealet til en vanlig trekant når vi beregner volumet til en vanlig trekantet pyramide; her bruker vi formelen vi fant.

La oss nå finne (det).

I følge Pythagoras teorem for

Men hva betyr det? Det er enkelt fordi (og alle andre også) har rett.

La oss erstatte:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMIDE. KORT OM HOVEDTINGENE

En pyramide er et polyeder som består av en hvilken som helst flat polygon (), et punkt som ikke ligger i planet til basen (toppen av pyramiden) og alle segmenter som forbinder toppen av pyramiden med punkter på basen (sidekanter).

En perpendikulær falt fra toppen av pyramiden til planet til basen.

Riktig pyramide- en pyramide der en vanlig polygon ligger ved basen, og toppen av pyramiden projiseres inn i midten av basen.

Egenskapen til en vanlig pyramide:

I en vanlig pyramide er alle sidekanter like.
Alle sideflater er likebente trekanter og alle disse trekantene er like.