Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk." Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (den samme x) i annen, og det skal ikke være x-er til den tredje (eller større) potensen.

Løsningen av mange ligninger handler om å løse nøyaktig andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at dette er en andregradsligning og ikke en annen ligning.

Eksempel 1.

La oss kvitte oss med nevneren og gange hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne leddene i synkende rekkefølge av potenser av x

Nå kan vi med sikkerhet si at denne ligningen er kvadratisk!

Eksempel 2.

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke kvadratisk!

Eksempel 3.

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Se, det er redusert - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant komplette andregradsligninger gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel en ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi de mangler et element. Men ligningen må alltid inneholde x i annen!!! Ellers vil det ikke lenger være en andregradsligning, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. Denne inndelingen bestemmes av løsningsmetodene. La oss se på hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Det finnes typer ufullstendige kvadratiske ligninger:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Siden vi vet hvordan vi tar kvadratroten, la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadratert tall kan ikke være negativt, fordi når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det bare å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Åh! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger som ikke har røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Vi vil avstå fra eksempler her.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at en komplett kvadratisk ligning er en ligning av formen ligning der

Å løse komplette andregradsligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn disse.

Huske, Enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

De andre metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av en diskriminant.

Å løse kvadratiske ligninger ved hjelp av denne metoden er veldig enkelt; det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Spesiell oppmerksomhet Ta et skritt. Diskriminant () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen i trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen kun ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er presentert i standardform, så Trinn 1 vi hopper over.

Steg 2.

Vi finner diskriminanten:

Dette betyr at vi ikke vil være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker, er det en type ligning som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røtter gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi .

Summen av røttene til ligningen er lik, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er gitt, som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord, en andregradsligning er en ligning av formen, hvor - det ukjente, - noen tall, og.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, A - gratis medlem.

Hvorfor? For hvis ligningen umiddelbart blir lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

La oss først se på metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Vi kan skille mellom følgende typer ligninger:

I., i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

La oss nå se på løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Det er ikke nødvendig å huske disse formlene. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive ned at et problem ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

La oss faktorisere venstre side av ligningen og finne røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av en diskriminant! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten fra diskriminanten i formelen for røtter? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen røtter:
• Hvis, så har ligningen de samme røttene, og faktisk en rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det mulig forskjellige mengder røtter? La oss gå til geometrisk sans kvadratisk ligning. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Dette betyr at røttene til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). En parabel kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller kan krysse den ved ett (når parabelens toppunkt ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parablen rettet oppover, og hvis, så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes i reduserte andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen kan løses ved å bruke Vietas teorem fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss velge par med tall hvis produkt er likt og sjekke om summen deres er lik:

• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er lik;
• Og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

La oss velge tallpar som gir i produktet, og så sjekke om summen deres er lik:

og: de gir totalt.

og: de gir totalt. For å få det er det nok å bare endre tegnene på de antatte røttene: og tross alt produktet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Frileddet til ligningen er negativ, og derfor er produktet av røttene et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene lik forskjellene på modulene deres.

La oss velge par med tall som gir produktet, og hvis forskjell er lik:

og: deres forskjell er lik - passer ikke;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Alt som gjenstår er å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten med den mindre modulen være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge par med tall hvis produkt er likt, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt fortegn:

Åpenbart er bare røttene og egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er gitt, som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at iht i det minste, en av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene har et minustegn.

La oss velge par med tall hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme opp med røtter muntlig, i stedet for å regne denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For at du skal dra nytte av å bruke den, må du bringe handlingene til automatikk. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke en diskriminant! Bare Vietas teorem:

Løsninger på oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med stykket:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er akkurat det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen vår favoritt Vieta-setning: summen må være lik, og produktet må være lik.

Men siden det må være ikke, men, vi endrer tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Du må flytte alle termene til én del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ok, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du gi en ligning. Hvis du ikke kan lede, gi opp denne ideen og løs den på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant). La meg minne deg på at å gi en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Flott. Da er summen av røttene lik og produktet.

Her er det like enkelt som å avskalle pærer å velge: det er tross alt et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Det gratis medlemmet er negativt. Hva er spesielt med dette? Og faktum er at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen i modulene deres: denne forskjellen er lik, men et produkt.

Så røttene er lik og, men en av dem er minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva bør du gjøre først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er lik og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at minus vil ha en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de andregradsligningene som er gitt.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller det ikke finnes et passende par av faktorer for frileddet, er det ingen hele røtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom en diskriminant).

3. Metode for å velge en komplett firkant

Hvis alle ledd som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra forkortede multiplikasjonsformler - kvadratet av summen eller differansen - så etter å ha erstattet variabler, kan ligningen presenteres i form av en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

I generelt syn transformasjonen vil se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner deg ikke om noe? Dette er en diskriminerende ting! Det var akkurat slik vi fikk diskriminantformelen.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM HOVEDTINGENE

Kvadratisk ligning- dette er en likning av formen, der - det ukjente, - koeffisientene til kvadratisk likning, - frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, ser ligningen slik ut: ,
• hvis det er et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, ser ligningen slik ut: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss uttrykke det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminant

1) La oss bringe ligningen til standardform: ,

2) La oss beregne diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (ligningen av formen hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , A.

2.3. Løsning ved å velge en komplett firkant

Andregradsligningsproblemer studeres både i skolens læreplan og på universiteter. De betyr ligninger av formen a*x^2 + b*x + c = 0, hvor x- variabel, a, b, c - konstanter; en<>0 . Oppgaven er å finne røttene til ligningen.

Geometrisk betydning av kvadratisk ligning

Grafen til en funksjon som er representert ved en andregradsligning er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene mellom parabelen og abscissen (x)-aksen. Det følger at det er tre mulige tilfeller:
1) parablen har ingen skjæringspunkter med abscisseaksen. Det betyr at den er i det øvre planet med greiner opp eller bunnen med greiner ned. I slike tilfeller har kvadratisk ligning ingen reelle røtter (den har to komplekse røtter).

2) parablen har ett skjæringspunkt med okseaksen. Et slikt punkt kalles parabelens toppunkt, og andregradsligningen ved det får sin minimums- eller maksimumsverdi. I dette tilfellet har kvadratisk ligning én reell rot (eller to identiske røtter).

3) Det siste tilfellet er mer interessant i praksis - det er to skjæringspunkter for parabelen med abscisseaksen. Dette betyr at det er to reelle røtter til ligningen.

Basert på analysen av koeffisientene til potensene til variablene, kan interessante konklusjoner trekkes om plasseringen av parabelen.

1) Hvis koeffisienten a er større enn null, er parabelens grener rettet oppover; hvis den er negativ, er parabelens grener rettet nedover.

2) Hvis koeffisienten b er større enn null, så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan, hvis den har en negativ verdi, så i høyre.

Utledning av formelen for å løse en andregradsligning

La oss overføre konstanten fra andregradsligningen

for likhetstegnet får vi uttrykket

Multipliser begge sider med 4a

For å få en komplett firkant til venstre, legg til b^2 på begge sider og utfør transformasjonen

Herfra finner vi

Formel for diskriminanten og røttene til en kvadratisk ligning

Diskriminanten er verdien av det radikale uttrykket. Hvis det er positivt, så har ligningen to reelle røtter, beregnet med formelen Når diskriminanten er null, har andregradsligningen én løsning (to sammenfallende røtter), som enkelt kan fås fra formelen ovenfor for D=0. Når diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle røtter. Imidlertid finnes løsninger på den kvadratiske ligningen i det komplekse planet, og verdien deres beregnes ved hjelp av formelen

Vietas teorem

La oss vurdere to røtter av en andregradsligning og konstruere en andregradsligning på grunnlag av disse.Vietas teorem følger enkelt av notasjonen: hvis vi har en andregradsligning av formen da er summen av røttene lik koeffisienten p tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene til ligningen er lik det frie leddet q. Formelrepresentasjonen av ovenstående vil se ut som Hvis konstanten a i en klassisk ligning ikke er null, må du dele hele ligningen med den, og deretter bruke Vietas teorem.

Factoring kvadratisk ligningsplan

La oppgaven settes: faktor en andregradsligning. For å gjøre dette løser vi først ligningen (finn røttene). Deretter erstatter vi de funnet røttene i ekspansjonsformelen for den kvadratiske ligningen. Dette vil løse problemet.

Andregradsligningsproblemer

Oppgave 1. Finn røttene til en andregradsligning

x^2-26x+120=0 .

Løsning: Skriv ned koeffisientene og bytt dem inn i diskriminantformelen

Roten av gitt verdi er lik 14, er det lett å finne med en kalkulator, eller huske med hyppig bruk, men for enkelhets skyld vil jeg på slutten av artikkelen gi deg en liste over kvadrater med tall som ofte kan oppstå i slike problemer.
Vi erstatter den funnet verdien i rotformelen

og vi får

Oppgave 2. Løs ligningen

2x 2 +x-3=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning, skriver ut koeffisientene og finner diskriminanten


Av kjente formler finne røttene til en andregradsligning

Oppgave 3. Løs ligningen

9x 2 -12x+4=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning. Bestemme diskriminanten

Vi har et tilfelle der røttene faller sammen. Finn verdiene til røttene ved å bruke formelen

Oppgave 4. Løs ligningen

x^2+x-6=0 .

Løsning: I tilfeller der det er små koeffisienter for x, er det tilrådelig å bruke Vietas teorem. Ved dens tilstand får vi to ligninger

Fra den andre betingelsen finner vi at produktet må være lik -6. Dette betyr at en av røttene er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar (-3;2), (3;-2) . Når vi tar i betraktning den første betingelsen, avviser vi det andre paret med løsninger.
Røttene til ligningen er like

Oppgave 5. Finn lengdene på sidene til et rektangel hvis omkretsen er 18 cm og arealet er 77 cm 2.

Løsning: Halve omkretsen til et rektangel er lik summen av dets tilstøtende sider. La oss betegne x som den større siden, så er 18-x den mindre siden. Arealet av rektangelet er lik produktet av disse lengdene:
x(18-x)=77;
eller
x 2 -18x+77=0.
La oss finne diskriminanten til ligningen

Beregne røttene til ligningen

Hvis x=11, At 18'er=7 , det motsatte er også sant (hvis x=7, så 21'er=9).

Oppgave 6. Faktor den andregradsligningen 10x 2 -11x+3=0.

Løsning: La oss beregne røttene til ligningen, for å gjøre dette finner vi diskriminanten

Vi erstatter den funnet verdien i rotformelen og beregner

Vi bruker formelen for å dekomponere en andregradsligning med røtter

Ved å åpne parentesene får vi en identitet.

Andregradsligning med parameter

Eksempel 1. Ved hvilke parameterverdier A , har ligningen (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 én rot?

Løsning: Ved direkte substitusjon av verdien a=3 ser vi at den ikke har noen løsning. Deretter vil vi bruke det faktum at med en null diskriminant har ligningen én rot av multiplisitet 2. La oss skrive ut diskriminanten

La oss forenkle det og likestille det til null

Vi har fått en andregradsligning med hensyn til parameteren a, hvis løsning lett kan oppnås ved å bruke Vietas teorem. Summen av røttene er 7, og produktet deres er 12. Ved enkelt søk slår vi fast at tallene 3,4 vil være røttene til ligningen. Siden vi allerede avviste løsningen a=3 i begynnelsen av beregningene, vil den eneste riktige være - a=4. For a=4 har ligningen altså én rot.

Eksempel 2. Ved hvilke parameterverdier A , ligningen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer enn én rot?

Løsning: La oss først vurdere entallspunktene, de vil være verdiene a=0 og a=-3. Når a=0, vil ligningen forenkles til formen 6x-9=0; x=3/2 og det vil være én rot. For a= -3 får vi identiteten 0=0.
La oss beregne diskriminanten

og finn verdien av a der den er positiv

Fra den første betingelsen får vi a>3. For det andre finner vi diskriminanten og røttene til ligningen


La oss bestemme intervallene der funksjonen har positive verdier. Ved å erstatte punktet a=0 får vi 3>0 . Så utenfor intervallet (-3;1/3) er funksjonen negativ. Ikke glem poenget a=0, som bør utelukkes fordi den opprinnelige ligningen har én rot i seg.
Som et resultat får vi to intervaller som tilfredsstiller betingelsene for problemet

Det vil være mange lignende oppgaver i praksis, prøv å finne ut av oppgavene selv og ikke glem å ta hensyn til forholdene som er gjensidig utelukkende. Studer formlene for å løse andregradsligninger godt; de er ofte nødvendige når du regner inn ulike oppgaver og vitenskaper.

Bibliografisk beskrivelse: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metoder for å løse kvadratiske ligninger // Ung vitenskapsmann. 2016. Nr 6.1. S. 17-20..02.2019).



Prosjektet vårt handler om måter å løse andregradsligninger på. Mål med prosjektet: lære å løse andregradsligninger på måter som ikke er inkludert i skolens læreplan. Oppgave: finne alt mulige måter løse andregradsligninger og lære hvordan du bruker dem selv og introdusere disse metodene for klassekameratene dine.

Hva er "kvadratiske ligninger"?

Kvadratisk ligning- formens ligning øks2 + bx + c = 0, Hvor en, b, c- noen tall ( a ≠ 0), x- ukjent.

Tallene a, b, c kalles koeffisientene til kvadratisk ligning.

• a kalles den første koeffisienten;
• b kalles den andre koeffisienten;
• c - gratis medlem.

Hvem var den første som "oppfant" andregradsligninger?

Noen algebraiske teknikker for å løse lineære og kvadratiske ligninger var kjent for 4000 år siden i det gamle Babylon. Oppdagelsen av gamle babylonske leirtavler, som dateres fra et sted mellom 1800 og 1600 f.Kr., gir det tidligste beviset på studiet av kvadratiske ligninger. De samme nettbrettene inneholder metoder for å løse visse typer kvadratiske ligninger.

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første, men også av andre grad i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder tomter og med jordarbeid av militær karakter, samt med selve utviklingen av astronomi og matematikk.

Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med den moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen. Nesten alle kileskriftstekster som er funnet så langt gir kun problemer med løsninger lagt opp i form av oppskrifter, uten indikasjon på hvordan de ble funnet. På tross av høy level utvikling av algebra i Babylon, mangler kileskrifttekstene begrepet et negativt tall og generelle metoder løse andregradsligninger.

Babylonske matematikere fra ca 400-tallet f.Kr. brukte kvadratets komplementmetode for å løse likninger med positive røtter. Rundt 300 f.Kr Euklid kom opp med en mer generell geometrisk løsningsmetode. Den første matematikeren som fant løsninger på ligninger med negative røtter i form av en algebraisk formel var en indisk vitenskapsmann Brahmagupta(India, 7. århundre e.Kr.).

Brahmagupta la ut en generell regel for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>0

Koeffisientene i denne ligningen kan også være negative. Brahmaguptas styre er i hovedsak det samme som vårt.

Offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer var vanlig i India. En av de gamle indiske bøkene sier følgende om slike konkurranser: «Som solen formørker stjernene med sin glans, så lærd mann vil formørke hans ære i offentlige forsamlinger ved å foreslå og løse algebraiske problemer.» Problemer ble ofte presentert i poetisk form.

I en algebraisk avhandling Al-Khwarizmi en klassifisering av lineære og andregradslikninger er gitt. Forfatteren teller 6 typer ligninger, og uttrykker dem som følger:

1) «Kvadrater er lik røtter», dvs. ax2 = bx.

2) «Kvadrater er lik tall», dvs. ax2 = c.

3) "Røttene er lik tallet", dvs. ax2 = c.

4) «Kvadrater og tall er lik røtter», dvs. ax2 + c = bx.

5) «Kvadrater og røtter er lik tallet», dvs. ax2 + bx = c.

6) «Røtter og tall er lik kvadrater», dvs. bx + c == ax2.

For Al-Khwarizmi, som unngikk forbruk negative tall, vilkårene for hver av disse ligningene er addisjoner, ikke subtraherbare. I dette tilfellet er det åpenbart ikke tatt hensyn til ligninger som ikke har positive løsninger. Forfatteren angir metoder for å løse disse ligningene ved å bruke teknikkene til al-jabr og al-mukabal. Hans avgjørelse er selvfølgelig ikke helt sammenfallende med vår. For ikke å nevne at det er rent retorisk, bør det for eksempel bemerkes at når man løser en ufullstendig kvadratisk ligning av den første typen, tar ikke Al-Khorezmi, som alle matematikere frem til 1600-tallet, hensyn til nullløsningen, sannsynligvis fordi det praktisk talt ikke spiller noen rolle i oppgaver. Når du løser komplette kvadratiske ligninger, angir Al-Khwarizmi reglene for å løse dem ved å bruke spesielle numeriske eksempler, og deretter deres geometriske bevis.

Skjemaer for å løse kvadratiske ligninger etter modellen til Al-Khwarizmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202. italiensk matematiker Leonard Fibonacci. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler løse problemer og var den første i Europa som innførte negative tall.

Denne boken bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange problemer fra denne boken ble brukt i nesten alle europeiske lærebøker på 1300- og 1600-tallet. Generell regel Løsningen av kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form x2 + bх = с for alle mulige kombinasjoner av tegn og koeffisienter b, c ble formulert i Europa i 1544. M. Stiefel.

Avledningen av formelen for å løse en kvadratisk ligning i generell form er tilgjengelig fra Viète, men Viète gjenkjente bare positive røtter. italienske matematikere Tartaglia, Cardano, Bombelli blant de første på 1500-tallet. I tillegg til positive, tas også negative røtter i betraktning. Først på 1600-tallet. takket være innsatsen Girard, Descartes, Newton og andre forskere, har metoden for å løse kvadratiske ligninger en moderne form.

La oss se på flere måter å løse andregradsligninger på.

Standardmetoder for å løse andregradsligninger fra skolepensum:

1. Faktorer venstre side av ligningen.
2. Metode for å velge en komplett firkant.
3. Løse kvadratiske ligninger ved hjelp av formelen.
4. Grafisk løsning kvadratisk ligning.
5. Løse ligninger ved hjelp av Vietas teorem.

La oss dvele mer detaljert på løsningen av reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger ved å bruke Vietas teorem.

Husk at for å løse de ovennevnte kvadratiske ligningene, er det nok å finne to tall hvis produkt er lik det frie leddet, og hvis sum er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn.

Eksempel.x 2 -5x+6=0

Du må finne tall hvis produkt er 6 og summen er 5. Disse tallene vil være 3 og 2.

Svar: x 1 =2, x 2 =3.

Men du kan også bruke denne metoden for ligninger med den første koeffisienten som ikke er lik én.

Eksempel.3x 2 +2x-5=0

Ta den første koeffisienten og gang den med frileddet: x 2 +2x-15=0

Røttene til denne ligningen vil være tall hvis produkt er lik - 15, og hvis sum er lik - 2. Disse tallene er 5 og 3. For å finne røttene til den opprinnelige ligningen, divider de resulterende røttene med den første koeffisienten.

Svar: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Løse ligninger ved å bruke "kast"-metoden.

Tenk på den andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0, hvor a≠0.

Ved å multiplisere begge sider med a, får vi ligningen a 2 x 2 + abx + ac = 0.

La ax = y, derfra x = y/a; da kommer vi til ligningen y 2 + by + ac = 0, ekvivalent med den gitte. Vi finner røttene til 1 og 2 ved å bruke Vietas teorem.

Vi får til slutt x 1 = y 1 /a og x 2 = y 2 /a.

Med denne metoden multipliseres koeffisienten a med frileddet, som om den ble "kastet" til den, og det er derfor den kalles "kast"-metoden. Denne metoden brukes når du enkelt kan finne røttene til ligningen ved å bruke Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er et eksakt kvadrat.

Eksempel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

La oss "kaste" koeffisienten 2 til frileddet og gjøre en substitusjon og få ligningen y 2 - 11y + 30 = 0.

I følge Vietas inverse teorem

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Svar: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Egenskaper til koeffisienter til en kvadratisk ligning.

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 gis.

1. Hvis a+ b + c = 0 (dvs. summen av koeffisientene til ligningen er null), så er x 1 = 1.

2. Hvis a - b + c = 0, eller b = a + c, så er x 1 = - 1.

Eksempel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Siden a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), så er x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Svar: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Eksempel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Fordi a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), deretter x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Svar: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Det er andre egenskaper til koeffisientene til en kvadratisk ligning. men bruken er mer kompleks.

8. Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram.

Fig 1. Nomogram

Dette er en gammel og for tiden glemt metode for å løse andregradsligninger, plassert på s. 83 i samlingen: Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller. - M., utdanning, 1990.

Tabell XXII. Nomogram for å løse ligningen z 2 + pz + q = 0. Dette nomogrammet tillater, uten å løse en kvadratisk ligning, å bestemme røttene til ligningen fra koeffisientene.

Den krumlinjede skalaen til nomogrammet er bygget i henhold til formlene (fig. 1):

Troende OS = p, ED = q, OE = a(alle i cm), fra Fig. 1 likheter av trekanter SAN Og CDF vi får andelen

som etter substitusjoner og forenklinger gir ligningen z 2 + pz + q = 0, og brevet z betyr merket for ethvert punkt på en buet skala.

Ris. 2 Løse andregradsligninger ved hjelp av et nomogram

Eksempler.

1) For ligningen z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrammet gir røttene z 1 = 8,0 og z 2 = 1,0

Svar:8.0; 1.0.

2) Ved hjelp av et nomogram løser vi ligningen

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Del koeffisientene til denne ligningen med 2, vi får ligningen z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogrammet gir røttene z 1 = 4 og z 2 = 0,5.

Svar: 4; 0,5.

9. Geometrisk metode for å løse andregradsligninger.

Eksempel.X 2 + 10x = 39.

I originalen er dette problemet formulert som følger: "Kvadraten og ti røttene er lik 39."

Tenk på en firkant med side x, rektangler er konstruert på sidene slik at den andre siden av hver av dem er 2,5, derfor er arealet til hver 2,5x. Den resulterende figuren blir deretter supplert til en ny firkant ABCD, og ​​bygger fire like firkanter i hjørnene, siden av hver av dem er 2,5, og arealet er 6,25

Ris. 3 Grafisk metode for å løse ligningen x 2 + 10x = 39

Arealet S av kvadrat ABCD kan representeres som summen av arealene til: den opprinnelige kvadraten x 2, fire rektangler (4∙2.5x = 10x) og fire ekstra kvadrater (6.25∙4 = 25), dvs. S = x 2 + 10x = 25. Ved å erstatte x 2 + 10x med tallet 39 får vi at S = 39 + 25 = 64, som betyr at siden av kvadratet er ABCD, dvs. segment AB = 8. For den nødvendige siden x av det opprinnelige kvadratet får vi

10. Løse ligninger ved hjelp av Bezouts teorem.

Bezouts teorem. Resten av å dele polynomet P(x) med binomialet x - α er lik P(α) (det vil si verdien av P(x) ved x = α).

Hvis tallet α er roten til polynomet P(x), så er dette polynomet delelig med x -α uten en rest.

Eksempel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Del P(x) med (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, eller x-3=0, x=3; Svar: x1 =2, x2 =3.

Konklusjon: Evnen til raskt og rasjonelt å løse andregradsligninger er rett og slett nødvendig for å løse flere komplekse ligninger, for eksempel rasjonelle brøklikninger, likninger høyere grader, biquadratiske ligninger, og på videregående skole trigonometriske, eksponentielle og logaritmiske ligninger. Etter å ha studert alle metodene som er funnet for å løse kvadratiske ligninger, kan vi råde våre klassekamerater, i tillegg til standardmetodene, til å løse ved overføringsmetoden (6) og løse ligninger ved å bruke egenskapen til koeffisientene (7), siden de er mer tilgjengelige til forståelse.

Litteratur:

1. Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller. - M., utdanning, 1990.
2. Algebra 8. klasse: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. utgave, revidert. - M.: Utdanning, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. Håndbok for lærere. / Red. V.N. Yngre. - M.: Utdanning, 1964.

Det er kjent at det er en spesiell versjon av likhetsaksen 2 + bx + c = o, hvor a, b og c er reelle koeffisienter for ukjent x, og hvor a ≠ o, og b og c vil være null - samtidig eller hver for seg. For eksempel, c = o, b ≠ o eller omvendt. Vi husket nesten definisjonen av en andregradsligning.

Andregrads trinomialet er null. Dens første koeffisient a ≠ o, b og c kan ha alle verdier. Verdien av variabelen x vil da være når substitusjon gjør den til en korrekt numerisk likhet. La oss fokusere på reelle røtter, selv om likningene også kan være løsninger Det er vanlig å kalle en likning komplett der ingen av koeffisientene er lik o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
La oss løse et eksempel. 2x 2 -9x-5 = oh, finner vi
D = 81+40 = 121,
D er positiv, som betyr at det er røtter, x 1 = (9+√121):4 = 5, og den andre x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontroll vil bidra til å sikre at de er riktige.

Her er en trinnvis løsning på kvadratisk ligning

Ved å bruke diskriminanten kan du løse en hvilken som helst ligning på venstre side der det er et kjent kvadratisk trinomium for a ≠ o. I vårt eksempel. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

La oss vurdere hva ufullstendige ligninger av andre grad er

1. akse 2 +in = o. Frileddet, koeffisienten c ved x 0, er lik null her, i ≠ o.
   Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning av denne typen? La oss ta x ut av parentes. La oss huske når produktet av to faktorer er lik null.
   x(ax+b) = o, dette kan være når x = o eller når ax+b = o.
   Etter å ha løst den andre har vi x = -в/а.
   Som et resultat har vi røtter x 1 = 0, ifølge beregninger x 2 = -b/a.
2. Nå er koeffisienten til x lik o, og c er ikke lik (≠) o.
   x 2 + c = o. La oss flytte c til høyre side av likheten, vi får x 2 = -с. Denne ligningen har bare reelle røtter når -c er et positivt tall (c ‹ o),
   x 1 er da lik henholdsvis √(-c), x 2 er -√(-c). Ellers har ligningen ingen røtter i det hele tatt.
3. Det siste alternativet: b = c = o, det vil si akse 2 = o. Naturligvis har en slik enkel likning én rot, x = o.

Spesielle tilfeller

Vi så på hvordan vi løser en ufullstendig kvadratisk ligning, og la oss nå ta noen typer.

• I en komplett kvadratisk ligning er den andre koeffisienten til x et partall.
  La k = o.5b. Vi har formler for å beregne diskriminant og røtter.
  D/4 = k 2 - ac, røttene beregnes som x 1,2 = (-k±√(D/4))/a for D › o.
  x = -k/a ved D = o.
  Det er ingen røtter for D ‹ o.
• Det er gitt andregradsligninger, når koeffisienten til x i annen er lik 1, skrives de vanligvis x 2 + рх + q = o. Alle formlene ovenfor gjelder for dem, men beregningene er noe enklere.
  Eksempel, x 2 -4x-9 = 0. Beregn D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• I tillegg er det lett å bruke på de gitte. Det står at summen av røttene til ligningen er lik -p, den andre koeffisienten med minus (som betyr motsatt tegn), og produktet av disse samme røttene vil være lik q, frileddet. Se hvor enkelt det ville være å bestemme røttene til denne ligningen verbalt. For ikke-reduserte koeffisienter (for alle koeffisienter som ikke er lik null), er denne teoremet anvendelig som følger: summen x 1 + x 2 er lik -b/a, produktet x 1 · x 2 er lik c/a.

Summen av det frie leddet c og den første koeffisienten a er lik koeffisienten b. I denne situasjonen har ligningen minst én rot (lett å bevise), den første er nødvendigvis lik -1, og den andre -c/a, hvis den eksisterer. Du kan sjekke hvordan du løser en ufullstendig andregradsligning selv. Enkel som en plett. Koeffisientene kan være i visse forhold til hverandre

• x 2 + x = o, 7 x 2 -7 = o.
• Summen av alle koeffisienter er lik o.
  Røttene til en slik ligning er 1 og c/a. Eksempel, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Det finnes en rekke andre måter å løse ulike andregradsligninger på. Her er for eksempel en metode for å trekke ut et komplett kvadrat fra et gitt polynom. Det finnes flere grafiske metoder. Når du ofte behandler slike eksempler, vil du lære å "klikke" på dem som frø, fordi alle metodene kommer til tankene automatisk.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 eller x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Etter å ha lært å løse likninger av første grad, ønsker du selvfølgelig å jobbe med andre, spesielt med likninger av andre grad, som ellers kalles kvadratiske.

Kvadratiske ligninger er ligninger som ax² + bx + c = 0, hvor variabelen er x, tallene er a, b, c, der a ikke er lik null.

Hvis i en andregradsligning den ene eller den andre koeffisienten (c eller b) er lik null, vil denne ligningen bli klassifisert som en ufullstendig andregradsligning.

Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning hvis elevene så langt kun har kunnet løse likninger av første grad? Vurder ufullstendige andregradsligninger forskjellige typer og enkle måter å løse dem på.

a) Hvis koeffisient c er lik 0, og koeffisient b ikke er lik null, reduseres ax ² + bx + 0 = 0 til en ligning på formen ax ² + bx = 0.

For å løse en slik ligning, må du kjenne formelen for å løse en ufullstendig kvadratisk ligning, som består i å faktorisere venstre side av den og senere bruke betingelsen om at produktet er lik null.

For eksempel, 5x² - 20x = 0. Vi faktoriserer venstre side av ligningen, mens vi utfører den vanlige matematiske operasjonen: tar fellesfaktoren ut av parentes

5x (x - 4) = 0

Vi bruker betingelsen om at produktene er lik null.

5 x = 0 eller x - 4 = 0

Svaret vil være: den første roten er 0; den andre roten er 4.

b) Hvis b = 0, og frileddet ikke er lik null, reduseres likningen ax ² + 0x + c = 0 til en likning på formen ax ² + c = 0. Ligningene løses på to måter : a) ved å faktorisere polynomet til ligningen på venstre side ; b) ved å bruke egenskapene til aritmetikk kvadratrot. En slik ligning kan løses ved å bruke en av metodene, for eksempel:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Svaret vil være: den første roten er 5/2; den andre roten er lik - 5/2.

c) Hvis b er lik 0 og c er lik 0, så reduseres ax ² + 0 + 0 = 0 til en likning av formen ax ² = 0. I en slik likning vil x være lik 0.

Som du kan se, kan ufullstendige kvadratiske ligninger ikke ha mer enn to røtter.