Noen ganger i livet er det situasjoner hvor du må fordype deg i hukommelsen på jakt etter for lengst glemt skolekunnskap. For eksempel må du bestemme arealet av en tomt med trekantet form, eller neste reparasjon i en leilighet eller et privat hus har kommet, og du må beregne hvor mye materiale det vil ta for en overflate med trekantet form. Det var en tid da du kunne løse et slikt problem på et par minutter, og nå prøver du desperat å huske hvordan du bestemmer arealet til en trekant?
Du trenger ikke bekymre deg for dette! Tross alt er det ganske normalt når den menneskelige hjernen bestemmer seg for å flytte ubrukt kunnskap et sted i et avsidesliggende hjørne, som det noen ganger ikke er så lett å hente ut fra. For at du ikke trenger å lide med letingen etter glemt skolekunnskap for å løse et slikt problem, inneholder denne artikkelen forskjellige metoder som gjør det enkelt å finne det nødvendige området i en trekant.
Det er velkjent at en trekant er en type polygon som er begrenset av minst mulig antall sider. I prinsippet kan en hvilken som helst polygon deles inn i flere trekanter ved å koble dens toppunkter med segmenter som ikke skjærer sidene. Når du kjenner trekanten, kan du derfor beregne arealet til nesten hvilken som helst figur.
Blant alle mulige trekanter som forekommer i livet, kan følgende spesielle typer skilles: og rektangulære.
Den enkleste måten å beregne arealet av en trekant på er når et av hjørnene er rett, det vil si i tilfelle av en rettvinklet trekant. Det er lett å se at det er et halvt rektangel. Derfor er arealet lik halvparten av produktet av sidene, som danner en rett vinkel mellom dem.
Hvis vi kjenner høyden på trekanten, senket fra en av hjørnene til den motsatte siden, og lengden på denne siden, som kalles grunnflaten, så beregnes arealet som halvparten av produktet av høyden og grunnflaten. Dette er skrevet med følgende formel:
S = 1/2*b*h, hvori
S er ønsket område av trekanten;
b, h - henholdsvis høyden og bunnen av trekanten.
Det er så enkelt å beregne arealet til en likebenet trekant, siden høyden vil halvere den motsatte siden, og den kan enkelt måles. Hvis området er bestemt, er det praktisk å ta lengden på en av sidene som danner en rett vinkel som høyden.
Alt dette er absolutt bra, men hvordan avgjøre om et av hjørnene i en trekant er rett eller ikke? Hvis størrelsen på figuren vår er liten, kan du bruke en byggevinkel, en tegnetrekant, et postkort eller et annet objekt med rektangulær form.
Men hva om vi har en trekantet tomt? I dette tilfellet, fortsett som følger: fra toppen av den påståtte rette vinkelen på den ene siden måles et avstandsmultippel på 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), og på den andre siden måles et avstandsmultippel på 4 (40) cm, 160 cm, 4 m). Nå må du måle avstanden mellom endepunktene til disse to segmentene. Hvis verdien er et multiplum av 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), så kan det hevdes at vinkelen er rett.
Hvis verdien av lengden på hver av de tre sidene av figuren vår er kjent, kan arealet av trekanten bestemmes ved hjelp av Herons formel. For at den skal ha en enklere form, brukes en ny verdi, som kalles semi-perimeter. Dette er summen av alle sidene i trekanten vår, delt i to. Etter at halvperimeteren er beregnet, kan du begynne å bestemme området ved å bruke formelen:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), hvor
sqrt - kvadratrot;
p er verdien av halvperimeteren (p =(a+b+c)/2);
a, b, c - kantene (sidene) av trekanten.
Men hva om trekanten har en uregelmessig form? Det er to mulige måter her. Den første av disse er å prøve å dele en slik figur i to rettvinklede trekanter, summen av arealene beregnes separat, og deretter legges til. Eller, hvis vinkelen mellom de to sidene og størrelsen på disse sidene er kjent, bruk formelen:
S = 0,5 * ab * sinC, hvor
a,b - sider av trekanten;
c er vinkelen mellom disse sidene.
Sistnevnte tilfelle er sjelden i praksis, men likevel er alt mulig i livet, så formelen ovenfor vil ikke være overflødig. Lykke til med beregningene!
Trekanten er en kjent figur. Og dette, til tross for den rike variasjonen av dens former. Rektangulær, likesidet, akutt, likebenet, stump. Hver av dem er noe annerledes. Men for alle er det nødvendig å kjenne området til trekanten.
Vanlige formler for alle trekanter som bruker lengdene på sidene eller høydene
Betegnelsene som er vedtatt i dem: sider - a, b, c; høyder på de tilsvarende sidene på a, n in, n s.
1. Arealet av en trekant beregnes som produktet av ½, siden og høyden senket på den. S = ½ * a * n a. På samme måte bør man skrive formler for de to andre sidene.
2. Herons formel, der semi-perimeteren vises (det er vanlig å betegne den med en liten bokstav p, i motsetning til hele omkretsen). Halvperimeteren må beregnes som følger: legg sammen alle sidene og del dem med 2. Semiperimeterformelen: p \u003d (a + b + c) / 2. Deretter likheten for arealet til \ u200b\u200bfiguren ser slik ut: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).
3. Hvis du ikke vil bruke en semi-perimeter, vil en slik formel være nyttig, der bare lengdene på sidene er til stede: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Den er noe lengre enn den forrige, men det vil hjelpe hvis du har glemt hvordan du finner halvperimeteren.
Generelle formler der vinklene til en trekant vises
Notasjonen som kreves for å lese formlene: α, β, γ - vinkler. De ligger på motsatt side av henholdsvis a, b, c.
1. I følge det er halvparten av produktet av to sider og sinusen til vinkelen mellom dem lik arealet av trekanten. Det vil si: S = ½ a * b * sin γ. Formlene for de to andre tilfellene bør skrives på lignende måte.
2. Arealet av en trekant kan beregnes fra én side og tre kjente vinkler. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Det er også en formel med én kjent side og to vinkler ved siden av. Det ser slik ut: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
De to siste formlene er ikke de enkleste. Det er ganske vanskelig å huske dem.
Generelle formler for situasjonen når radiene til innskrevne eller omskrevne sirkler er kjent
Ytterligere betegnelser: r, R — radier. Den første brukes for radiusen til den innskrevne sirkelen. Den andre er for den som er beskrevet.
1. Den første formelen som arealet til en trekant beregnes med er relatert til halvperimeteren. S = r * r. På en annen måte kan det skrives som følger: S \u003d ½ r * (a + b + c).
2. I det andre tilfellet må du multiplisere alle sidene i trekanten og dele dem med den firedoble radiusen til den omskrevne sirkelen. I bokstavelige termer ser det slik ut: S \u003d (a * b * c) / (4R).
3. Den tredje situasjonen lar deg gjøre uten å kjenne sidene, men du trenger verdiene til alle tre vinklene. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Spesialtilfelle: rettvinklet trekant
Dette er den enkleste situasjonen, siden bare lengden på begge bena er nødvendig. De er merket med de latinske bokstavene a og b. Arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av arealet av rektangelet lagt til det.
Matematisk ser det slik ut: S = ½ a * b. Hun er den enkleste å huske. Fordi det ser ut som formelen for arealet til et rektangel, vises bare en brøkdel, som angir halvparten.
Spesialtilfelle: likebenet trekant
Siden de to sidene er like, ser noen formler for området noe forenklet ut. For eksempel har Herons formel, som beregner arealet av en likebenet trekant, følgende form:
S = ½ tommer √((a + ½ tommer)*(a - ½ tommer)).
Hvis du konverterer den, blir den kortere. I dette tilfellet er Herons formel for en likebenet trekant skrevet som følger:
S = ¼ i √(4 * a 2 - b 2).
Arealformelen ser noe enklere ut enn for en vilkårlig trekant hvis sidene og vinkelen mellom dem er kjent. S \u003d ½ a 2 * sin β.
Spesialtilfelle: likesidet trekant
Vanligvis, i problemer om ham, er siden kjent eller kan på en eller annen måte gjenkjennes. Da er formelen for å finne arealet til en slik trekant som følger:
S = (a 2 √3) / 4.
Oppgaver for å finne området hvis trekanten er avbildet på rutete papir
Den enkleste situasjonen er når en rettvinklet trekant tegnes slik at bena sammenfaller med linjene på papiret. Da trenger du bare å telle antall celler som passer inn i bena. Multipliser dem deretter og del på to.
Når trekanten er spiss eller stump, må den tegnes til et rektangel. Så i den resulterende figuren vil det være 3 trekanter. Den ene er den som er gitt i oppgaven. Og de to andre er hjelpe- og rektangulære. Arealene til de to siste må bestemmes ved metoden beskrevet ovenfor. Beregn deretter arealet av rektangelet og trekk fra det de som er beregnet for de ekstra. Arealet av trekanten bestemmes.
Mye vanskeligere er situasjonen der ingen av sidene i trekanten faller sammen med linjene på papiret. Deretter må den skrives inn i et rektangel slik at toppunktene til den opprinnelige figuren ligger på sidene. I dette tilfellet vil det være tre hjelpetrekanter.
Et eksempel på et problem på Herons formel
Betingelse. Noen trekanter har sider. De er lik 3, 5 og 6 cm. Du må kjenne området.
Nå kan du beregne arealet til en trekant ved å bruke formelen ovenfor. Under kvadratroten er produktet av fire tall: 7, 4, 2 og 1. Det vil si at arealet er √ (4 * 14) = 2 √ (14).
Hvis du ikke trenger mer presisjon, kan du ta kvadratroten av 14. Det er 3,74. Da vil arealet være lik 7,48.
Svar. S \u003d 2 √14 cm 2 eller 7,48 cm 2.
Et eksempel på et problem med en rettvinklet trekant
Betingelse. Det ene benet i en rettvinklet trekant er 31 cm lengre enn det andre. Det er nødvendig å finne ut lengdene deres hvis arealet av trekanten er 180 cm 2.
Løsning. Du må løse et system med to ligninger. Den første har med areal å gjøre. Den andre er med forholdet mellom bena, som er gitt i oppgaven.
180 \u003d ½ a * b;
a \u003d b + 31.
Først må verdien av "a" erstattes i den første ligningen. Det viser seg: 180 \u003d ½ (i + 31) * in. Den har bare én ukjent mengde, så den er lett å løse. Etter å ha åpnet parentesene, oppnås en kvadratisk ligning: i 2 + 31 i - 360 \u003d 0. Den gir to verdier \u200b\u200b for "in": 9 og - 40. Det andre tallet er ikke egnet som svar , siden lengden på siden av trekanten ikke kan være en negativ verdi.
Det gjenstår å beregne den andre etappen: legg til 31 til det resulterende tallet. Det viser seg 40. Dette er mengdene som søkes i problemet.
Svar. Trekantens ben er 9 og 40 cm.
Oppgaven med å finne siden gjennom arealet, siden og vinkelen til en trekant
Betingelse. Arealet til en trekant er 60 cm2. Det er nødvendig å beregne en av sidene hvis den andre siden er 15 cm, og vinkelen mellom dem er 30º.
Løsning. Basert på de aksepterte betegnelsene er den ønskede siden "a", den kjente "b", den gitte vinkelen er "γ". Deretter kan arealformelen skrives om på følgende måte:
60 \u003d ½ a * 15 * synd 30º. Her er sinusen på 30 grader 0,5.
Etter transformasjoner viser "a" seg å være lik 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Det er 16.
Svar. Ønsket side er 16 cm.
Problemet med en firkant innskrevet i en rettvinklet trekant
Betingelse. Toppunktet til et kvadrat med en side på 24 cm faller sammen med den rette vinkelen på trekanten. De to andre ligger på beina. Den tredje tilhører hypotenusen. Lengden på det ene bena er 42 cm. Hva er arealet av en rettvinklet trekant?
Løsning. Tenk på to rette trekanter. Den første er spesifisert i oppgaven. Den andre er basert på den kjente delen av den opprinnelige trekanten. De er like fordi de har en felles vinkel og er dannet av parallelle linjer.
Da er forholdet mellom bena deres like. Bena til den mindre trekanten er 24 cm (siden av firkanten) og 18 cm (gitt ben 42 cm minus siden av firkanten 24 cm). De tilsvarende bena til den store trekanten er 42 cm og x cm. Det er denne "x" som trengs for å beregne arealet av trekanten.
18/42 \u003d 24 / x, det vil si x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).
Da er arealet lik produktet av 56 og 42, delt på to, det vil si 1176 cm 2.
Svar. Ønsket areal er 1176 cm 2.
Områdebegrepet
Konseptet med arealet til enhver geometrisk figur, spesielt en trekant, vil være assosiert med en slik figur som en firkant. For en enhetsareal av en hvilken som helst geometrisk figur, tar vi arealet til en firkant, hvis side er lik en. For fullstendighetens skyld husker vi to grunnleggende egenskaper for konseptet med områder med geometriske former.
Eiendom 1: Hvis geometriske figurer er like, er deres arealer også like.
Eiendom 2: Enhver figur kan deles inn i flere figurer. Dessuten er arealet til den opprinnelige figuren lik summen av verdiene til arealene til alle figurene som utgjør den.
Tenk på et eksempel.
Eksempel 1
Det er åpenbart at en av sidene i trekanten er diagonalen til rektangelet , som har en side med lengde $5$ (siden $5$ celler) og den andre $6$ (siden $6$ celler). Derfor vil arealet til denne trekanten være lik halvparten av et slikt rektangel. Arealet av rektangelet er
Da er arealet av trekanten
Svar: $15$.
Deretter bør du vurdere flere metoder for å finne arealer av trekanter, nemlig å bruke høyden og basen, ved å bruke Heron-formelen og arealet til en likesidet trekant.
Hvordan finne arealet av en trekant ved hjelp av høyden og basen
Teorem 1
Arealet til en trekant kan finnes som halvparten av produktet av lengden på en side ganger høyden trukket til den siden.
Matematisk ser det slik ut
$S=\frac(1)(2)αh$
der $a$ er lengden på siden, er $h$ høyden trukket til den.
Bevis.
Tenk på trekant $ABC$ hvor $AC=α$. Høyden $BH$ er tegnet til denne siden og er lik $h$. La oss bygge den opp til kvadratet $AXYC$ som i figur 2.
Arealet av rektangel $AXBH$ er $h\cdot AH$, og området til rektangel $HBYC$ er $h\cdot HC$. Deretter
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Derfor er ønsket område av trekanten, i henhold til egenskap 2, lik
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoremet er bevist.
Eksempel 2
Finn arealet av trekanten i figuren nedenfor, hvis cellen har et areal lik én
Basen til denne trekanten er $9$ (siden $9$ er $9$ celler). Høyden er også $9$. Så, ved setning 1, får vi
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Svar: $40,5$.
Herons formel
Teorem 2
Hvis vi får tre sider av en trekant $α$, $β$ og $γ$, kan arealet bli funnet som følger
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
her betyr $ρ$ halve omkretsen av denne trekanten.
Bevis.
Tenk på følgende figur:
Ved Pythagoras teorem får vi fra trekanten $ABH$
Fra trekanten $CBH$, ved Pythagoras teorem, har vi
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Fra disse to relasjonene oppnår vi likheten
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Siden $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, så $α+β+γ=2ρ$, derav
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Ved teorem 1 får vi
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Områdebegrepet
Konseptet med arealet til enhver geometrisk figur, spesielt en trekant, vil være assosiert med en slik figur som en firkant. For en enhetsareal av en hvilken som helst geometrisk figur, tar vi arealet til en firkant, hvis side er lik en. For fullstendighetens skyld husker vi to grunnleggende egenskaper for konseptet med områder med geometriske former.
Eiendom 1: Hvis geometriske figurer er like, er deres arealer også like.
Eiendom 2: Enhver figur kan deles inn i flere figurer. Dessuten er arealet til den opprinnelige figuren lik summen av verdiene til arealene til alle figurene som utgjør den.
Tenk på et eksempel.
Eksempel 1
Det er åpenbart at en av sidene i trekanten er diagonalen til rektangelet , som har en side med lengde $5$ (siden $5$ celler) og den andre $6$ (siden $6$ celler). Derfor vil arealet til denne trekanten være lik halvparten av et slikt rektangel. Arealet av rektangelet er
Da er arealet av trekanten
Svar: $15$.
Deretter bør du vurdere flere metoder for å finne arealer av trekanter, nemlig å bruke høyden og basen, ved å bruke Heron-formelen og arealet til en likesidet trekant.
Hvordan finne arealet av en trekant ved hjelp av høyden og basen
Teorem 1
Arealet til en trekant kan finnes som halvparten av produktet av lengden på en side ganger høyden trukket til den siden.
Matematisk ser det slik ut
$S=\frac(1)(2)αh$
der $a$ er lengden på siden, er $h$ høyden trukket til den.
Bevis.
Tenk på trekant $ABC$ hvor $AC=α$. Høyden $BH$ er tegnet til denne siden og er lik $h$. La oss bygge den opp til kvadratet $AXYC$ som i figur 2.
Arealet av rektangel $AXBH$ er $h\cdot AH$, og området til rektangel $HBYC$ er $h\cdot HC$. Deretter
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Derfor er ønsket område av trekanten, i henhold til egenskap 2, lik
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoremet er bevist.
Eksempel 2
Finn arealet av trekanten i figuren nedenfor, hvis cellen har et areal lik én
Basen til denne trekanten er $9$ (siden $9$ er $9$ celler). Høyden er også $9$. Så, ved setning 1, får vi
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Svar: $40,5$.
Herons formel
Teorem 2
Hvis vi får tre sider av en trekant $α$, $β$ og $γ$, kan arealet bli funnet som følger
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
her betyr $ρ$ halve omkretsen av denne trekanten.
Bevis.
Tenk på følgende figur:
Ved Pythagoras teorem får vi fra trekanten $ABH$
Fra trekanten $CBH$, ved Pythagoras teorem, har vi
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Fra disse to relasjonene oppnår vi likheten
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Siden $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, så $α+β+γ=2ρ$, derav
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Ved teorem 1 får vi
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Områdeformel er nødvendig for å bestemme arealet til en figur, som er en funksjon med reell verdi definert på en viss klasse av figurer i det euklidiske planet og som tilfredsstiller 4 betingelser:
- Positiv - Arealet kan ikke være mindre enn null;
- Normalisering - en firkant med en side av enhet har et areal på 1;
- Kongruens - kongruente figurer har likt areal;
- Additivitet - arealet av foreningen av 2 figurer uten felles interne punkter er lik summen av arealene til disse figurene.
| Geometrisk figur | Formel | Tegning |
|---|---|---|
|
Resultatet av å legge til avstandene mellom midtpunktene til motsatte sider av en konveks firkant vil være lik halvperimeteren. |
||
|
Sirkelsektor. Arealet til en sektor av en sirkel er lik produktet av buen og halve radiusen. |
|
|
|
sirkelsegment. For å få arealet av segment ASB, er det nok å trekke fra arealet av trekanten AOB fra området til sektor AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Arealet av en ellipse er lik produktet av lengdene til de store og mindre halvaksene til ellipsen ganger pi. |
|
|
|
Ellipse. Et annet alternativ for å beregne arealet til en ellipse er gjennom dens to radier. |
|
|
|
Triangel. Gjennom base og høyde. Formelen for arealet av en sirkel når det gjelder radius og diameter. |
||
|
Torget . Gjennom hans side. Arealet til en firkant er lik kvadratet på lengden på siden. |
|
|
|
Torget. Gjennom sin diagonal. Arealet til et kvadrat er halvparten av kvadratet av lengden på diagonalen. |
||
|
vanlig polygon. For å bestemme arealet til en vanlig polygon, er det nødvendig å dele den inn i like trekanter som vil ha et felles toppunkt i midten av den innskrevne sirkelen. |
S= r p = 1/2 r n a |
Laster inn...