irrasjonelt tall- dette ekte nummer, som ikke er rasjonell, det vil si kan ikke representeres som en brøk, hvor er heltall, . Et irrasjonelt tall kan representeres som en uendelig ikke-repeterende desimal.
Settet med irrasjonelle tall er vanligvis angitt med en stor latinsk bokstav i fet skrift uten skyggelegging. Altså: , dvs. sett med irrasjonelle tall er forskjellen mellom sett med reelle og rasjonelle tall.
Om eksistensen av irrasjonelle tall, mer presist segmenter som er inkommensurable med et segment av lengdeenhet, visste de gamle matematikerne allerede: de visste for eksempel inkommensurabiliteten til diagonalen og siden av kvadratet, som tilsvarer irrasjonaliteten til tallet.
Egenskaper
- Ethvert reelt tall kan skrives som en uendelig desimalbrøk, mens irrasjonelle tall og bare de skrives som ikke-periodiske uendelige desimalbrøker.
- Irrasjonelle tall definerer Dedekind kutt i settet av rasjonelle tall som ikke har det største tallet i den nedre klassen og ikke det minste tallet i den øvre.
- Hvert reelt transcendentalt tall er irrasjonelt.
- Hvert irrasjonelt tall er enten algebraisk eller transcendentalt.
- Settet med irrasjonelle tall er overalt tett på den reelle linjen: mellom to vilkårlige tall er det et irrasjonelt tall.
- Rekkefølgen på settet med irrasjonelle tall er isomorf med rekkefølgen på settet med reelle transcendentale tall.
- Settet med irrasjonelle tall er utellelig, er et sett av den andre kategorien.
Eksempler
| Irrasjonelle tall - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Irrasjonelle er:
Irrasjonalitet bevis eksempler
Roten av 2
Anta det motsatte: det er rasjonelt, det vil si at det er representert som en irreduserbar brøk, hvor er et heltall, og er et naturlig tall. La oss kvadrere den antatte likheten:
.Av dette følger at selv, derfor, jevn og . La hvor hele. Deretter
Derfor, selv, derfor, jevn og . Vi har oppnådd det og er jevnt, noe som motsier irreduserbarheten til brøken . Derfor var den opprinnelige antagelsen feil, og er et irrasjonelt tall.
Binær logaritme av tallet 3
Anta det motsatte: det er rasjonelt, det vil si at det er representert som en brøk, hvor og er heltall. Siden , og kan tas positivt. Deretter
Men det er klart, det er rart. Vi får en motsetning.
e
Historie
Begrepet irrasjonelle tall ble implisitt adoptert av indiske matematikere på 700-tallet f.Kr., da Manawa (ca. 750 f.Kr. - ca. 690 f.Kr.) fant ut at kvadratrøttene til enkelte naturlige tall, som 2 og 61, ikke kan uttrykkes eksplisitt.
Det første beviset på eksistensen av irrasjonelle tall tilskrives vanligvis Hippasus av Metapontus (ca. 500 f.Kr.), en pytagoreer som fant dette beviset ved å studere lengdene på sidene til et pentagram. På Pythagoras tid ble det antatt at det var en enkelt lengdeenhet, tilstrekkelig liten og udelelig, som er et heltall antall ganger inkludert i ethvert segment. Imidlertid hevdet Hippasus at det ikke er noen enkelt lengdeenhet, siden antagelsen om dens eksistens fører til en selvmotsigelse. Han viste at hvis hypotenusen til en likebenet rettvinklet trekant inneholder et helt antall enhetssegmenter, så må dette tallet være både partall og oddetall på samme tid. Beviset så slik ut:
- Forholdet mellom lengden på hypotenusen og lengden på benet i en likebenet rettvinklet trekant kan uttrykkes som en:b, hvor en Og b valgt som minst mulig.
- I følge Pythagoras teorem: en² = 2 b².
- Fordi en² til og med, en må være partall (siden kvadratet av et oddetall ville være oddetall).
- For så vidt en:b irreduserbar b må være rart.
- Fordi en selv, betegne en = 2y.
- Deretter en² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², derfor b er jevn altså b til og med.
- Det har imidlertid blitt bevist b merkelig. Motsigelse.
Greske matematikere kalte dette forholdet mellom inkommensurable størrelser alogos(uutsigelig), men ifølge legendene ble ikke Hippasus vist tilbørlig respekt. Det er en legende om at Hippasus gjorde oppdagelsen mens han var på en sjøreise og ble kastet over bord av andre pytagoreere "for å ha skapt et element i universet, som benekter doktrinen om at alle enheter i universet kan reduseres til hele tall og deres forhold. " Oppdagelsen av Hippasus utgjorde et alvorlig problem for Pythagoras matematikk, og ødela den underliggende antagelsen om at tall og geometriske objekter er ett og uatskillelige.
Irrasjonelle tall har vært kjent for folk siden antikken. Noen hundre år før vår tidsregning fant den indiske matematikeren Manava ut at kvadratrøttene til noen tall (for eksempel 2) ikke kan uttrykkes eksplisitt.
Denne artikkelen er en slags innledende leksjon i emnet "Irrasjonelle tall". La oss gi en definisjon og eksempler på irrasjonelle tall med en forklaring, og også finne ut hvordan man kan bestemme om et gitt tall er irrasjonelt.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Irrasjonelle tall. Definisjon
Selve navnet "irrasjonelle tall" synes å foreslå en definisjon for oss. Et irrasjonelt tall er et reelt tall som ikke er rasjonelt. Et slikt tall kan med andre ord ikke representeres som en brøk m n , der m er et heltall og n er et naturlig tall.
Definisjon. Irrasjonelle tall
Irrasjonelle tall er de tallene som i desimalnotasjon er uendelige ikke-repeterende desimalbrøker.
Et irrasjonelt tall kan representeres som en uendelig ikke-periodisk brøk. Settet med irrasjonelle tall er betegnet med $I$ og det er lik: $I=R / Q$ .
For eksempel. Irrasjonelle tall er:
Operasjoner på irrasjonelle tall
På settet med irrasjonelle tall kan fire grunnleggende aritmetiske operasjoner introduseres: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon; men for ingen av de listede operasjonene har settet med irrasjonelle tall egenskapen å lukke. For eksempel kan summen av to irrasjonelle tall være et rasjonelt tall.
For eksempel. Finn summen av to irrasjonelle tall $0,1010010001 \ldots$ og $0,0101101110 \ldots$. Det første av disse tallene er dannet av en sekvens av enere, atskilt med henholdsvis en null, to nuller, tre nuller, etc., den andre - av en sekvens av nuller, mellom hvilke en en, to enere, tre enere, etc. er plassert:
$$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Dermed er summen av to gitte irrasjonelle tall tallet $\frac(1)(9)$ , som er rasjonelt.
Eksempel
Oppgaven. Bevis at tallet $\sqrt(3)$ er irrasjonelt.
Bevis. Vi vil bruke metoden for bevis ved selvmotsigelse. Anta at $\sqrt(3)$ er et rasjonelt tall, det vil si at det kan representeres som en brøk $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , der $m$ og $n$ er coprime naturlige tall tall.
Vi kvadrerer begge sider av likheten, får vi
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Tallet 3$\cdot n^(2)$ er delelig med 3. Derfor er $m^(2)$ og dermed $m$ delelig med 3. Setter $m=3 \cdot k$, likheten $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ kan skrives som
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Det følger av den siste likheten at $n^(2)$ og $n$ er delbare med 3, så brøken $\frac(m)(n)$ kan reduseres med 3. Men ved antakelse vil brøken $\ frac(m)( n)$ er irreduserbar. Den resulterende motsigelsen beviser at tallet $\sqrt(3)$ ikke kan representeres som en brøk $\frac(m)(n)$ og derfor er irrasjonelt.
Q.E.D.
Alle rasjonelle tall kan representeres som en felles brøk. Dette gjelder hele tall (for eksempel 12, -6, 0) og endelige desimalbrøker (for eksempel 0,5; -3,8921) , og uendelige periodiske desimalbrøker (for eksempel 0,11(23); -3 ,(87) )).
men uendelige engangsdesimaler kan ikke representeres som vanlige brøker. Det er det de er irrasjonelle tall(dvs. irrasjonell). Et eksempel på et slikt tall er π, som er omtrent lik 3,14. Men hva det nøyaktig er lik kan ikke bestemmes, siden etter tallet 4 er det en endeløs serie med andre tall der gjentatte perioder ikke kan skilles. Samtidig, selv om tallet π ikke kan uttrykkes nøyaktig, har det en spesifikk geometrisk betydning. Tallet π er forholdet mellom lengden på en sirkel og lengden på dens diameter. Dermed eksisterer irrasjonelle tall i naturen, det samme gjør rasjonelle tall.
Et annet eksempel på irrasjonelle tall er kvadratrøttene til positive tall. Å trekke ut røtter fra noen tall gir rasjonelle verdier, fra andre - irrasjonelle. For eksempel, √4 = 2, dvs. roten av 4 er et rasjonelt tall. Men √2, √5, √7 og mange andre resulterer i irrasjonelle tall, det vil si at de bare kan trekkes ut med en tilnærming, avrundet til en viss desimal. I dette tilfellet oppnås fraksjonen ikke-periodisk. Det vil si at det er umulig å si nøyaktig og definitivt hva roten til disse tallene er.
Så √5 er et tall mellom 2 og 3, siden √4 = 2, og √9 = 3. Vi kan også konkludere med at √5 er nærmere 2 enn 3, siden √4 er nærmere √5 enn √9 til √5. Faktisk, √5 ≈ 2,23 eller √5 ≈ 2,24.
Irrasjonelle tall oppnås også i andre beregninger (og ikke bare når man trekker ut røtter), de er negative.
I forhold til irrasjonelle tall kan vi si at uansett hvilket enhetssegment vi tar for å måle lengden uttrykt med et slikt tall, kan vi ikke definitivt måle det.
I aritmetiske operasjoner kan irrasjonelle tall delta sammen med rasjonelle. Samtidig er det en rekke regelmessigheter. For eksempel, hvis bare rasjonelle tall er involvert i en aritmetisk operasjon, er resultatet alltid et rasjonelt tall. Hvis bare irrasjonelle deltar i operasjonen, så er det umulig å si entydig om et rasjonelt eller irrasjonelt tall vil vise seg.
For eksempel, hvis du multipliserer to irrasjonelle tall √2 * √2, får du 2 - dette er et rasjonelt tall. På den annen side er √2 * √3 = √6 et irrasjonelt tall.
Hvis en aritmetisk operasjon involverer et rasjonelt og et irrasjonelt tall, vil et irrasjonelt resultat oppnås. For eksempel, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.
Hvorfor er √17 - 4 et irrasjonelt tall? Tenk deg at du får et rasjonelt tall x. Da er √17 = x + 4. Men x + 4 er et rasjonelt tall, siden vi antok at x er rasjonelt. Tallet 4 er også rasjonelt, så x + 4 er rasjonelt. Et rasjonelt tall kan imidlertid ikke være lik det irrasjonelle √17. Derfor er antakelsen om at √17 - 4 gir et rasjonelt resultat feil. Resultatet av en aritmetisk operasjon vil være irrasjonelt.
Det er imidlertid et unntak fra denne regelen. Hvis vi multipliserer et irrasjonelt tall med 0, får vi et rasjonelt tall 0.
Definisjon av et irrasjonelt tall
Irrasjonelle tall er slike tall som i desimalnotasjon er uendelige ikke-periodiske desimalbrøker.
Så, for eksempel, tall oppnådd ved å ta kvadratroten av naturlige tall er irrasjonelle og er ikke kvadrater av naturlige tall. Men ikke alle irrasjonelle tall oppnås ved å trekke ut kvadratrøtter, fordi tallet "pi" oppnådd ved å dele også er irrasjonelt, og det er usannsynlig at du får det når du prøver å trekke ut kvadratroten fra et naturlig tall.
Egenskaper til irrasjonelle tall
I motsetning til tall skrevet i uendelige desimalbrøker, skrives bare irrasjonelle tall i ikke-periodiske uendelige desimalbrøker.
Summen av to ikke-negative irrasjonelle tall kan til slutt være et rasjonelt tall.
Irrasjonelle tall definerer Dedekind-seksjoner i settet med rasjonelle tall, i den nedre klassen som det ikke er noe største antall av, og i overklassen er det ingen mindre.
Ethvert reelt transcendentalt tall er irrasjonelt.
Alle irrasjonelle tall er enten algebraiske eller transcendentale.
Settet med irrasjonelle tall på linjen er tettpakket, og mellom to av tallene er det garantert et irrasjonelt tall.
Settet med irrasjonelle tall er uendelig, utellelig og er et sett av den andre kategorien.
Når du utfører en hvilken som helst aritmetisk operasjon på rasjonelle tall, bortsett fra divisjon med 0, vil resultatet være et rasjonelt tall.
Når du legger et rasjonelt tall til et irrasjonelt tall, er resultatet alltid et irrasjonelt tall.
Når vi legger til irrasjonelle tall, kan vi få et rasjonelt tall som et resultat.
Settet med irrasjonelle tall er ikke partall.
Tall er ikke irrasjonelle
Noen ganger er det ganske vanskelig å svare på spørsmålet om et tall er irrasjonelt, spesielt i tilfeller hvor tallet er i form av en desimalbrøk eller i form av et numerisk uttrykk, rot eller logaritme.
Derfor vil det ikke være overflødig å vite hvilke tall som ikke er irrasjonelle. Hvis vi følger definisjonen av irrasjonelle tall, så vet vi allerede at rasjonelle tall ikke kan være irrasjonelle.
Irrasjonelle tall er ikke:
Først alle naturlige tall;
For det andre, heltall;
For det tredje vanlige brøker;
For det fjerde forskjellige blandede tall;
For det femte er dette uendelige periodiske desimalbrøker.
I tillegg til alt det ovennevnte kan ikke en hvilken som helst kombinasjon av rasjonelle tall som utføres av tegnene til aritmetiske operasjoner, som +, -, , :, være et irrasjonelt tall, siden resultatet av to rasjonelle tall i dette tilfellet også vil være et rasjonelt tall.
La oss nå se hvilke av tallene som er irrasjonelle:
Vet du om eksistensen av en fanklubb der fans av dette mystiske matematiske fenomenet leter etter ny informasjon om Pi, og prøver å avdekke mysteriet. Enhver person som kan et visst antall Pi-tall utenat etter desimaltegn kan bli medlem av denne klubben;
Visste du at i Tyskland, under beskyttelse av UNESCO, er det Castadel Monte-palasset, takket være proporsjonene som du kan beregne Pi. Et helt palass ble viet til dette nummeret av kong Frederick II.
Det viser seg at de forsøkte å bruke tallet Pi i konstruksjonen av Babelstårnet. Men til vår store beklagelse førte dette til kollapsen av prosjektet, siden den nøyaktige beregningen av verdien av Pi på det tidspunktet ikke ble tilstrekkelig studert.
Sangeren Kate Bush spilte på sin nye plate inn en sang kalt "Pi", som lød hundre og tjuefire tall fra den berømte nummerserien 3, 141 ... ..
Laster inn...