En figur avgrenset av grafen til en kontinuerlig ikke-negativ funksjon $f(x)$ på segmentet $$ og linjene $y=0, \ x=a$ og $x=b$ kalles en krumlinjet trapes.

Arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen beregnes ved hjelp av formelen:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Vi vil betinget dele problemer for å finne arealet til en krumlinjet trapes i $4$-typer. La oss se på hver type mer detaljert.

Type I: en buet trapes er spesifisert eksplisitt. Bruk deretter formelen (*) umiddelbart.

Finn for eksempel arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen $y=4-(x-2)^(2)$ og linjene $y=0, \ x=1$ og $x =3$.

La oss tegne denne buede trapesen.

Ved å bruke formel (*) finner vi arealet til denne kurvelinjeformede trapesen.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\høyre|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\venstre((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\venstre((1)^(3)-(-1)^(3)\høyre) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (enheter$^(2)$).

Type II: den buede trapesen er spesifisert implisitt. I dette tilfellet er de rette linjene $x=a, \ x=b$ vanligvis ikke spesifisert eller delvis spesifisert. I dette tilfellet må du finne skjæringspunktene til funksjonene $y=f(x)$ og $y=0$. Disse poengene vil være poeng $a$ og $b$.

Finn for eksempel arealet til en figur avgrenset av grafene til funksjonene $y=1-x^(2)$ og $y=0$.

La oss finne skjæringspunktene. For å gjøre dette setter vi likhetstegn mellom høyresidene av funksjonene.

Dermed $a=-1$ og $b=1$. La oss tegne denne buede trapesen.

La oss finne arealet til denne buede trapesen.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \venstre.\frac(x^(3))(3)\høyre|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \venstre(1+1\høyre) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (enheter$^(2)$).

Type III: området til en figur begrenset av skjæringspunktet mellom to kontinuerlige ikke-negative funksjoner. Denne figuren vil ikke være en buet trapes, noe som betyr at du ikke kan beregne arealet ved hjelp av formel (*). Hvordan være? Det viser seg at arealet til denne figuren kan finnes som forskjellen mellom områdene med krumlinjede trapeser avgrenset av den øvre funksjonen og $y=0$ ($S_(uf)$), og lavere funksjon og $y=0$ ($S_(lf)$), hvor rollen til $x=a, \ x=b$ spilles av $x$-koordinatene til skjæringspunktene til disse funksjonene, dvs.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Det viktigste når du beregner slike områder er ikke å "gå glipp av" med valget av øvre og nedre funksjoner.

Finn for eksempel arealet til en figur avgrenset av funksjonene $y=x^(2)$ og $y=x+6$.

La oss finne skjæringspunktene til disse grafene:

I følge Vietas teorem,

$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$

Det vil si $a=-2,\b=3$. La oss tegne en figur:

Dermed er toppfunksjonen $y=x+6$, og bunnfunksjonen er $y=x^(2)$. Deretter finner vi $S_(uf)$ og $S_(lf)$ ved å bruke formel (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\venstre.\frac(x^(2))(2)\høyre|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (enheter$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\venstre.\frac(x^(3))(3)\høyre|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (enheter$^(2)$).

La oss erstatte det vi fant med (**) og få:

$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (enheter$^(2)$).

Type IV: området til en figur avgrenset av en funksjon(er) som ikke tilfredsstiller ikke-negativitetsbetingelsen. For å finne arealet til en slik figur, må du være symmetrisk om $Ox$-aksen ( med andre ord, Sett "minuser" foran funksjonene) vis området og, bruk metodene skissert i type I – III, finn området til det viste området. Dette området vil være det nødvendige området. Først må du kanskje finne skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

Finn for eksempel arealet til en figur avgrenset av grafene til funksjonene $y=x^(2)-1$ og $y=0$.

La oss finne skjæringspunktene til funksjonsgrafene:

de. $a=-1$ og $b=1$. La oss tegne området.

La oss vise området symmetrisk:

$y=0 \ \Høyrepil \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Høyrepil \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Resultatet er en krumlinjet trapes avgrenset av grafen til funksjonen $y=1-x^(2)$ og $y=0$. Dette er et problem å finne en buet trapes av den andre typen. Vi har allerede løst det. Svaret var: $S= 1\frac(1)(3)$ (enheter $^(2)$). Dette betyr at arealet til den nødvendige kurvelinjeformede trapesen er lik:

$S=1\frac(1)(3)$ (enheter$^(2)$).

Arealet til en krumlinjet trapes er numerisk lik en bestemt integral

Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. I timen sa jeg at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si en til nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integralet AREA.

Det er, det bestemte integralet (hvis det eksisterer) tilsvarer geometrisk arealet til en viss figur. Tenk for eksempel på den bestemte integralen. Integranden definerer en bestemt kurve på planet (den kan alltid tegnes om ønskelig), og selve det bestemte integralet er numerisk lik areal tilsvarende buet trapes.

Eksempel 1

Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og det viktigste øyeblikket løsninger - tegning. Dessuten må tegningen være konstruert IKKE SANT.

Når du konstruerer en tegning, anbefaler jeg følgende rekkefølge: først det er bedre å konstruere alle rette linjer (hvis de finnes) og bare Deretter– parabler, hyperbler, grafer for andre funksjoner. Det er mer lønnsomt å bygge grafer over funksjoner punkt for punkt, punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken finnes i referansematerialet.

Der kan du også finne svært nyttig materiale til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.

I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss tegne tegningen (merk at ligningen definerer aksen):

Jeg skal ikke skyggelegge den buede trapesen, det er tydelig her hvilket område vi snakker om. Løsningen fortsetter slik:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, Derfor:

Svar:

Som har vanskeligheter med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen , se foredraget Sikker integral. Eksempler på løsninger.

Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I i dette tilfellet"etter øye" teller vi antall celler i tegningen - vel, det vil være omtrent 9, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel fikk svaret: 20 kvadratenheter, så er det åpenbart at det ble gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret er negativt, så ble også oppgaven løst feil.

Eksempel 2

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer , , og akse

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse. Full løsning og svar på slutten av timen.

Hva skal jeg gjøre hvis den buede trapesen er plassert under akselen?

Eksempel 3

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.

Løsning: La oss lage en tegning:

Hvis en buet trapes helt plassert under aksen, så kan området bli funnet ved å bruke formelen:
I dette tilfellet:

Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:

1) Hvis du blir bedt om å løse ganske enkelt en bestemt integral uten noen geometrisk betydning, så kan det være negativt.

2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble diskutert.

I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de enkleste skoleoppgavene videre til mer meningsfylte eksempler.

Eksempel 4

Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjene, .

Løsning: Først må du lage en tegning. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene mellom linjer. La oss finne skjæringspunktene til parabelen og den rette linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første metoden er analytisk. Vi løser ligningen:

Dette betyr at den nedre grensen for integrasjon er, den øvre grensen for integrasjon er.
Det er bedre å ikke bruke denne metoden, hvis mulig.

Det er mye mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, og grensene for integrasjon blir tydelige «av seg selv». Punkt-for-punkt-konstruksjonsteknikken for ulike grafer er omtalt i detalj i hjelpen Grafer og egenskaper elementære funksjoner . Likevel må den analytiske metoden for å finne grenser fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den detaljerte konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.

La oss gå tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage tegningen:

Jeg gjentar at når man konstruerer punktvis, blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".

Og nå arbeidsformelen: Hvis det på et segment er en eller annen kontinuerlig funksjon større enn eller lik en kontinuerlig funksjon, så kan området til den tilsvarende figuren bli funnet ved å bruke formelen:

Her trenger du ikke lenger tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett, det spiller noen rolle hvilken graf som er HØYERE(i forhold til en annen graf), og hvilken er UNDER.

I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra

Den ferdige løsningen kan se slik ut:

Den ønskede figuren er begrenset av en parabel over og en rett linje under.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Faktisk er skoleformelen for arealet til en kurvelinjeformet trapes i det nedre halvplanet (se enkelt eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler . Siden aksen er spesifisert av ligningen og grafen til funksjonen er plassert under aksen,

Og nå et par eksempler for din egen løsning

Eksempel 5

Eksempel 6

Finn arealet av figuren avgrenset av linjene, .

Når du løser problemer som involverer beregning av areal ved hjelp av en bestemt integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen var riktig utført, beregningene var riktige, men på grunn av slurv... området til feil figur ble funnet, det er akkurat slik din ydmyke tjener skrudd sammen flere ganger. Her ekte tilfelle fra livet:

Eksempel 7

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .

La oss først lage en tegning:

Figuren hvis område vi må finne er skyggelagt med blått(se nøye på tilstanden - hvordan tallet er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte at du må finne området til en figur som er skyggelagt grønn!

Dette eksemplet er også nyttig ved at det beregner arealet til en figur ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:

1) På segmentet over aksen er det en graf av en rett linje;

2) På segmentet over aksen er det en graf av en hyperbel.

Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:

Svar:

Eksempel 8

Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer,
La oss presentere ligningene i "skole"-form og lage en punkt-for-punkt-tegning:

Fra tegningen er det klart at vår øvre grense er "god": .
Men hva er nedre grense?! Det er klart at dette ikke er et heltall, men hva er det? Kan være ? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan godt vise seg at... Eller roten. Hva om vi bygde grafen feil?

I slike tilfeller må du bruke ekstra tid og avklare grensene for integrasjon analytisk.

La oss finne skjæringspunktene til en rett linje og en parabel.
For å gjøre dette løser vi ligningen:

Derfor,.

Den videre løsningen er triviell, det viktigste er ikke å bli forvirret i erstatninger og tegn; beregningene her er ikke de enkleste.

På segmentet , i henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Vel, for å avslutte leksjonen, la oss se på to vanskeligere oppgaver.

Eksempel 9

Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , ,

Løsning: La oss skildre denne figuren på tegningen.

For å tegne en punkt-for-punkt-tegning må du vite utseende sinusoider (og generelt nyttig å vite grafer for alle elementære funksjoner), samt noen sinusverdier, kan de finnes i trigonometrisk tabell. I noen tilfeller (som i dette tilfellet) er det mulig å konstruere en skjematisk tegning, der grafene og grensene for integrasjon skal vises grunnleggende korrekt.

Det er ingen problemer med grensene for integrasjon her; de følger direkte av betingelsen: "x" endres fra null til "pi". La oss ta en ytterligere avgjørelse:

På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:

(1) Du kan se hvordan sinus og cosinus er integrert i odde potenser i leksjonen Integraler fra trigonometriske funksjoner . Dette er en typisk teknikk, vi kniper av en sinus.

(2) Bruk det grunnleggende trigonometrisk identitet som

(3) La oss endre variabelen, så:

Nye integreringsområder:

Alle som er virkelig dårlige med erstatninger, ta en leksjon. Erstatningsmetode i ubestemt integral . For de som ikke helt forstår erstatningsalgoritmen i en bestemt integral, besøk siden Sikker integral. Eksempler på løsninger.

I denne artikkelen lærer du hvordan du finner arealet til en figur avgrenset av linjer ved å bruke integralberegninger. For første gang møter vi formuleringen av et slikt problem på videregående, når vi nettopp har fullført studiet av bestemte integraler og det er på tide å begynne den geometriske tolkningen av den ervervede kunnskapen i praksis.

Så, hva kreves for å lykkes med å løse problemet med å finne arealet til en figur ved å bruke integraler:

Evne til å lage kompetente tegninger;
Evne til å løse en bestemt integral ved hjelp av kjent formel Newton-Leibniz;
Evnen til å "se" et mer lønnsomt løsningsalternativ - dvs. forstå hvordan det vil være mer praktisk å gjennomføre integrering i ett eller annet tilfelle? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
Vel, hvor ville vi vært uten korrekte beregninger?) Dette inkluderer å forstå hvordan man løser den andre typen integraler og riktige numeriske beregninger.

Algoritme for å løse problemet med å beregne arealet til en figur avgrenset av linjer:

1. Vi bygger en tegning. Det anbefales å gjøre dette på et rutete stykke papir, i stor skala. Vi signerer navnet på denne funksjonen med en blyant over hver graf. Signering av grafene gjøres utelukkende for å lette videre beregninger. Etter å ha mottatt en graf over ønsket figur, vil det i de fleste tilfeller umiddelbart være klart hvilke grenser for integrasjon som skal brukes. Dermed løser vi problemet grafisk. Imidlertid hender det at verdiene til grensene er brøkdeler eller irrasjonelle. Derfor kan du gjøre ytterligere beregninger, gå til trinn to.

2. Hvis grensene for integrasjon ikke er eksplisitt spesifisert, finner vi skjæringspunktene for grafene med hverandre og ser om våre grafisk løsning med analytisk.

3. Deretter må du analysere tegningen. Avhengig av hvordan funksjonsgrafene er ordnet, er det forskjellige tilnærminger til å finne arealet til en figur. La oss vurdere ulike eksempler på å finne arealet til en figur ved å bruke integraler.

3.1. Den mest klassiske og enkleste versjonen av problemet er når du trenger å finne området til en buet trapes. Hva er en buet trapes? Dette er en flat figur begrenset av x-aksen (y = 0), rett x = a, x = b og eventuell kurve kontinuerlig på intervallet fra en før b. Dessuten er denne figuren ikke-negativ og ligger ikke under x-aksen. I dette tilfellet er arealet til den krumlinjede trapesen numerisk lik en viss integral, beregnet ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen:

Eksempel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Hvilke linjer er figuren avgrenset av? Vi har en parabel y = x2 – 3x + 3, som er plassert over aksen ÅH, det er ikke-negativt, fordi alle punkter i denne parabelen har positive verdier. Neste, gitt rette linjer x = 1 Og x = 3, som går parallelt med aksen OU, er grenselinjene til figuren til venstre og høyre. Vi vil y = 0, det er også x-aksen, som begrenser figuren nedenfra. Den resulterende figuren er skyggelagt, som du kan se fra figuren til venstre. I dette tilfellet kan du umiddelbart begynne å løse problemet. Foran oss er et enkelt eksempel på en buet trapes, som vi så løser ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen.

3.2. I forrige avsnitt 3.1 undersøkte vi tilfellet når en buet trapes er plassert over x-aksen. Tenk nå på tilfellet når betingelsene for problemet er de samme, bortsett fra at funksjonen ligger under x-aksen. Et minus legges til standard Newton-Leibniz-formelen. Vi vil vurdere hvordan du løser et slikt problem nedenfor.

Eksempel 2 . Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

I dette eksemplet har vi en parabel y = x2 + 6x + 2, som stammer fra aksen ÅH, rett x = -4, x = -1, y = 0. Her y = 0 begrenser ønsket tall ovenfra. Direkte x = -4 Og x = -1 dette er grensene som det bestemte integralet vil bli beregnet innenfor. Prinsippet for å løse problemet med å finne arealet til en figur sammenfaller nesten fullstendig med eksempel nummer 1. Den eneste forskjellen er at den gitte funksjonen ikke er positiv, og er også kontinuerlig i intervallet [-4; -1] . Hva mener du ikke positivt? Som det fremgår av figuren, har figuren som ligger innenfor de gitte x-ene utelukkende "negative" koordinater, som er det vi må se og huske når vi løser problemet. Vi ser etter området til figuren ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, bare med et minustegn i begynnelsen.

Artikkelen er ikke fullført.

Eksempel 1 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 og x = 2

La oss konstruere en figur (se figur) Vi konstruerer en rett linje x + 2y – 4 = 0 ved å bruke to punkter A(4;0) og B(0;2). Ved å uttrykke y til x får vi y = -0,5x + 2. Ved å bruke formel (1), hvor f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, finner vi

S = = [-0,25=11,25 kvm. enheter

Eksempel 2. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 og y = 0.

Løsning. La oss konstruere figuren.

La oss konstruere en rett linje x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

La oss konstruere en rett linje x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

La oss finne skjæringspunktet for linjene ved å løse likningssystemet:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

For å beregne det nødvendige arealet deler vi trekanten AMC i to trekanter AMN og NMC, siden når x endres fra A til N, begrenses arealet av en rett linje, og når x endres fra N til C - av en rett linje

For trekant AMN har vi: ; y = 0,5x + 2, dvs. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.

For trekant NMC har vi: y = - x + 5, dvs. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Ved å beregne arealet til hver trekant og legge til resultatene finner vi:

sq. enheter

9 + 4, 5 = 13,5 kvm. enheter Sjekk: = 0,5 AC = 0,5 kvm. enheter

Eksempel 3. Beregn arealet av en figur avgrenset av linjer: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

I dette tilfellet må du beregne arealet til en buet trapes avgrenset av parabelen y = x 2 , rette linjer x = 2 og x = 3 og okseaksen (se figur) Ved å bruke formel (1) finner vi arealet til den krumlinjede trapesen

= = 6 kvm. enheter

Eksempel 4. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = - x 2 + 4 og y = 0

La oss konstruere figuren. Det nødvendige området er innelukket mellom parabelen y = - x 2 + 4 og okseaksen.

La oss finne skjæringspunktene til parabelen med okseaksen. Forutsatt at y = 0, finner vi x = Siden denne figuren er symmetrisk om Oy-aksen, beregner vi arealet av figuren som ligger til høyre for Oy-aksen, og dobler resultatet: = +4x]sq. enheter 2 = 2 kvm. enheter

Eksempel 5. Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Her må du beregne arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av den øvre grenen av parabelen 2 = x, okseakse og rette linjer x = 1 og x = 4 (se figur)

I henhold til formel (1), hvor f(x) = a = 1 og b = 4, har vi = (= kvadratenheter.

Eksempel 6 . Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Det nødvendige området er begrenset av halvbølgen til sinus- og okseaksen (se figur).

Vi har - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. enheter

Eksempel 7. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene: y = - 6x, y = 0 og x = 4.

Figuren er plassert under okseaksen (se figur).

Derfor finner vi arealet ved hjelp av formel (3)

= =

Eksempel 8. Regn ut arealet av figuren avgrenset av linjene: y = og x = 2. Konstruer y = kurven fra punktene (se figur). Dermed finner vi arealet av figuren ved å bruke formel (4)

Eksempel 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Her må du beregne arealet som er omsluttet av sirkelen x 2 + y 2 = r 2 , dvs. arealet av en sirkel med radius r med sentrum i origo. La oss finne den fjerde delen av dette området ved å ta grensene for integrasjon fra 0

før; vi har: 1 = = [

Derfor, 1 =

Eksempel 10. Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer: y= x 2 og y = 2x

Denne figuren er begrenset av parabelen y = x 2 og den rette linjen y = 2x (se figur) For å bestemme skjæringspunktene til de gitte linjene løser vi ligningssystemet: x 2 – 2x = 0 x = 0 og x = 2

Ved å bruke formel (5) for å finne arealet får vi

= }