Conversia gradelor în numere întregi. Cum să ridicați un număr la o putere negativă

De la școală, știm cu toții regula despre creșterea la o putere: orice număr cu exponentul N este egal cu rezultatul înmulțirii acestui număr cu el însuși al N-lea număr de ori. Cu alte cuvinte, 7 la puterea lui 3 este 7 înmulțit de trei ori, adică 343. O altă regulă este că creșterea oricărei valori la puterea lui 0 dă una și creșterea unei valori negative este rezultatul exponențierii obișnuite, dacă este par și același rezultat cu un semn minus dacă este impar.

Regulile oferă, de asemenea, un răspuns cu privire la modul de a ridica un număr la o putere negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să construiți valoarea cerută în mod obișnuit prin modulul indicatorului și apoi să împărțiți unitatea la rezultat.

Din aceste reguli devine clar că implementarea unor sarcini reale cu operarea unor cantități mari va necesita mijloace tehnice. Manual se va dovedi să înmulțească de la sine gama maximă de numere până la douăzeci și treizeci și apoi nu mai mult de trei sau patru ori. Acest lucru nu este să menționăm faptul că mai târziu să împărțiți unitatea la rezultat. Prin urmare, pentru cei care nu au la îndemână un calculator special de inginerie, vă vom spune cum să ridicați un număr la o putere negativă în Excel.

Rezolvarea problemelor în Excel

Excel vă permite să utilizați una dintre cele două opțiuni pentru rezolvarea problemelor cu ridicarea la putere.

Primul este să folosiți o formulă cu semnul standard al capacului. Introduceți următoarele date în celulele foii de lucru:

În același mod, puteți ridica valoarea dorită la orice putere - negativă, fracționată. Să urmăm acești pași și să răspundem la întrebarea cum să crești un număr la o putere negativă. Exemplu:

Puteți corecta = B2 ^ -C2 chiar în formulă.

A doua opțiune este de a utiliza funcția gata pregătită „Grad”, care acceptă două argumente necesare - un număr și un indicator. Pentru a începe să-l utilizați, este suficient să puneți un semn egal (=) în orice celulă liberă, indicând începutul formulei și să introduceți cuvintele de mai sus. Rămâne să selectați două celule care vor participa la operație (sau specificați anumite numere manual) și apăsați tasta Enter. Să aruncăm o privire la câteva exemple simple.

Formulă

Rezultat

GRAD (B2; C2)

GRAD (B3; C3)

0,002915

După cum puteți vedea, nu este nimic dificil în modul de a ridica un număr la o putere negativă și la cea obișnuită folosind Excel. Într-adevăr, pentru a rezolva această problemă, puteți utiliza atât simbolul familiar „capac”, cât și funcția încorporată a programului, care este ușor de reținut. Acesta este un plus cert!

Să trecem la exemple mai complexe. Să ne amintim regula cu privire la modul de a crește un număr la o putere fracțională negativă și vom vedea că această sarcină este foarte ușor de rezolvat în Excel.

Indicatori fracționari

Pe scurt, algoritmul pentru calcularea unui număr cu un exponent fracționat este după cum urmează.

Convertiți un exponent fracțional într-o fracție corectă sau greșită.
Creșteți numărul nostru la numeratorul fracției transformate rezultate.
Calculați rădăcina din numărul obținut în paragraful anterior, cu condiția ca exponentul rădăcinii să fie numitorul fracției obținute în prima etapă.

Sunt de acord că, chiar și atunci când funcționează cu numere mici și fracții regulate, astfel de calcule pot dura mult timp. Este bine că procesorului de foi de calcul Excel nu îi pasă ce număr și în ce măsură să crească. Încercați să rezolvați următorul exemplu într-o foaie de lucru Excel:

Folosind regulile de mai sus, puteți verifica și asigurați-vă că calculul este efectuat corect.

La sfârșitul articolului nostru, vom oferi sub forma unui tabel cu formule și rezultate, câteva exemple de cum să ridici un număr la o putere negativă, precum și câteva exemple cu operarea cu numere și puteri fracționare.

Tabel de exemple

Consultați următoarele exemple din foaia de lucru a registrului de lucru Excel. Pentru ca totul să funcționeze corect, trebuie să utilizați un link mixt atunci când copiați formula. Fixează numărul coloanei care conține numărul care trebuie ridicat și numărul rândului care conține măsura. Formula dvs. ar trebui să arate cam așa: "= $ B4 ^ C $ 3".

Număr / grad

Rețineți că numerele pozitive (chiar și cele care nu sunt întregi) sunt calculate fără probleme pentru niciun indicator. Nu există probleme cu creșterea numărului la indicatori întregi. Dar ridicarea unui număr negativ la o putere fracționată se va dovedi a fi o greșeală pentru dvs., deoarece este imposibil să respectați regula indicată la începutul articolului nostru despre construirea numerelor negative, deoarece paritatea este o caracteristică exclusiv a unui INTEGRAL număr.

Continuând conversația despre gradul unui număr, este logic să ne dăm seama cum să găsim valoarea gradului. Acest proces se numește exponențierea... În acest articol, vom studia doar modul în care se realizează exponențierea, atingând în același timp toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și conform tradiției, vom lua în considerare în detaliu soluțiile exemplelor de creștere a numărului la diferite puteri.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă exponențierea?

Ar trebui să începeți prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția adecvată.

Definiție.

Exponențierea- aceasta este găsirea valorii puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii unui număr a cu exponentul r și creșterea numărului a la puterea r sunt același lucru. De exemplu, dacă problema este „calculați valoarea gradului (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea de 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se efectuează exponențierea.

Creșterea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea pe bază se aplică de obicei sub formă. Adică, atunci când creșteți numărul a la o putere fracționată m / n, se extrage mai întâi a n-a rădăcină a numărului a, după care rezultatul este ridicat la o putere întreagă m.

Să luăm în considerare soluțiile de exemple de ridicare la o putere fracționată.

Exemplu.

Calculați valoarea exponentului.

Soluţie.

Vom arăta două moduri de a o rezolva.

Prima cale. Prin definiție, un exponent fracționat. Calculăm valoarea gradului sub semnul rădăcină, după care extragem rădăcina cubului: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu un exponent fracționat și bazat pe proprietățile rădăcinilor, egalitățile sunt adevărate ... Acum extragem rădăcina în cele din urmă, ridicați la o întreagă putere .

Evident, rezultatele obținute ale creșterii la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că un exponent fracționar poate fi scris sub forma unei fracții zecimale sau a unui număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția ordinară corespunzătoare, după care se efectuează exponențierea.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5.

Soluţie.

Să scriem exponentul sub forma unei fracții obișnuite (dacă este necesar, a se vedea articolul): ... Acum efectuăm exponențierea fracționată:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că creșterea numerelor la puteri raționale este un proces destul de laborios (mai ales atunci când există numere suficient de mari în numărătorul și numitorul exponentului fracțional), care se efectuează de obicei folosind tehnologia computerizată.

În concluzia acestui punct, să ne oprim asupra creșterii numărului zero la o putere fracționată. Am dat următoarea semnificație gradului fracțional de zero al formei: pentru, avem , iar la zero la puterea lui m / n este nedefinit. Deci, zero într-o putere fracțională pozitivă este zero, de exemplu, ... Și zero într-o putere negativă fracționată nu are sens, de exemplu, expresiile și 0 -4,3 nu au sens.

Exponențierea irațională

Uneori devine necesar să aflăm semnificația puterii unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice, este de obicei suficient să se obțină valoarea gradului exactă pentru un anumit semn. Observăm imediat că, în practică, această valoare este calculată folosind calculatoare electronice, deoarece creșterea manuală la o putere irațională necesită o mulțime de calcule greoaie. Dar totuși, vom descrie în termeni generali esența acțiunilor.

Pentru a obține o valoare aproximativă a puterii numărului a cu un exponent irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea exponentului. Această valoare este o valoare aproximativă a puterii numărului a cu un exponent irațional. Cu cât va fi luată inițial o aproximare zecimală a numărului, cu atât valoarea gradului va fi obținută la final.

De exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii de 2 1,174367 .... Luați următoarea aproximare zecimală a exponentului irațional :. Acum ridicăm 2 la puterea rațională de 1.17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1.17 ≈2.250116. Prin urmare, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a unui exponent irațional, de exemplu, obținem o valoare mai exactă a exponentului original: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematicăZh pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: manual pentru clasa a 7-a institutii de invatamant.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: manual pentru clasa a 8-a institutii de invatamant.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. și altele.Algebra și începutul analizei: Manual pentru 10 - 11 clase ale instituțiilor de învățământ.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un ghid pentru solicitanții la școlile tehnice).

Exponențierea negativă este unul dintre elementele de bază ale matematicii, care se întâlnește adesea la rezolvarea problemelor algebrice. Mai jos este o instrucțiune detaliată.

Cum să ridici la o putere negativă - teoria

Când suntem un număr la puterea obișnuită, îi înmulțim valoarea de mai multe ori. De exemplu, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Cu o fracție negativă, opusul este adevărat. Vizualizarea generală conform formulei va fi următoarea: a -n = 1 / a n. Astfel, pentru a ridica un număr la o putere negativă, trebuie să împărțiți unitatea la numărul dat, dar deja la o putere pozitivă.

Cum se ridică la o putere negativă - exemple despre numere obișnuite

Având în vedere regula de mai sus, să rezolvăm câteva exemple.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Răspuns: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Răspunsul este -4 -2 = 1/16.

Dar de ce răspunsul din primul și al doilea exemplu este același? Faptul este că atunci când un număr negativ este ridicat la o putere pară (2, 4, 6 etc.), semnul devine pozitiv. Dacă gradul ar fi egal, atunci minusul a rămas:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cum se ridică la o putere negativă - numere de la 0 la 1

Amintiți-vă că atunci când ridicați un număr în intervalul 0 la 1 la o putere pozitivă, valoarea scade odată cu creșterea puterii. De exemplu, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemplul 3: Calculați 0,5 -2
Soluție: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Răspuns: 0,5 -2 = 4

Analiza (secvența acțiunilor):

Convertiți o fracție zecimală 0,5 într-o fracțiune 1/2. În acest fel este mai ușor.
Ridicați 1/2 la o putere negativă. 1 / (2) -2. Împărțiți 1 la 1 / (2) 2, obținem 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemplul 4: Calculați 0,5 -3
Soluție: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Exemplul 5: Calculați -0,5 -3
Soluție: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Răspuns: -0,5 -3 = -8

Pe baza exemplelor 4 și 5, vom trage mai multe concluzii:

Pentru un număr pozitiv în intervalul de la 0 la 1 (exemplul 4), ridicat la o putere negativă, uniformitatea sau ciudățenia puterii nu este importantă, valoarea expresiei va fi pozitivă. Mai mult, cu cât gradul este mai mare, cu atât este mai mare valoarea.
Pentru un număr negativ în intervalul de la 0 la 1 (exemplu 5), ridicat la o putere negativă, uniformitatea sau ciudățenia puterii nu contează, valoarea expresiei va fi negativă. Mai mult, cu cât gradul este mai mare, cu atât este mai mică valoarea.

Cum se ridică la o putere negativă - o putere ca număr fracțional

Expresiile de acest tip au următoarea formă: a -m / n, unde a este un număr obișnuit, m este numeratorul gradului, n este numitorul gradului.

Să luăm în considerare un exemplu:
Calculați: 8 -1/3

Soluție (succesiune de acțiuni):

Amintiți-vă regula pentru ridicarea unui număr la o putere negativă. Obținem: 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
Observați că numitorul este 8 ca putere fracțională. Viziunea generală a calculului unei puteri fracționate este următoarea: a m / n = n √8 m.
Astfel, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Obținem rădăcina cubului de opt, care este 2. Pe această bază, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
Răspuns: 8 -1/3 = 2

Într-unul dintre articolele anterioare, am menționat deja gradul de număr. Astăzi vom încerca să ne orientăm în procesul de găsire a sensului său. Științific vorbind, vom afla cum să ridicăm în mod corespunzător la o putere. Vom afla cum se realizează acest proces, în același timp vom atinge toți indicatorii de grad posibili: natural, irațional, rațional, întreg.

Deci, să aruncăm o privire mai atentă la soluțiile exemplelor și să aflăm ce înseamnă:

Definiția conceptului.
Înălțarea la arta negativă.
Indicator întreg.
Ridicarea unui număr la o putere irațională.

Iată o definiție care reflectă cu exactitate semnificația: „Exponențierea este definiția semnificației puterii unui număr”.

În consecință, ridicarea numărului a la art. r și procesul de găsire a valorii exponentului a cu exponentul r sunt concepte identice. De exemplu, dacă sarcina este de a calcula valoarea puterii (0,6) 6 ″, atunci poate fi simplificată la expresia „Ridicați numărul 0,6 la puterea lui 6”.

După aceea, puteți trece direct la regulile de construcție.

Exponențierea negativă

Pentru claritate, ar trebui să acordați atenție următorului lanț de expresii:

110 = 0,1 = 1 * 10 în minus 1 st.,

1100 = 0,01 = 1 * 10 în minus 2 pași.,

11000 = 0,0001 = 1 * 10 minus 3 st.,

110000 = 0,00001 = 1 * 10 în minus 4 grade.

Datorită acestor exemple, puteți vedea clar capacitatea de a calcula instantaneu 10 la orice putere minus. În acest scop, este destul de ciudat să schimbi componenta zecimală:

10 la -1 grade - înainte de unitatea 1 zero;
la -3 - trei zerouri înainte de unul;
în -9 sunt 9 zerouri și așa mai departe.

Este la fel de ușor de înțeles conform acestei scheme, cât va fi de 10 până la minus 5 linguri. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Cum să crești un număr natural

Reamintind definiția, luăm în considerare faptul că numărul natural a din art. n este egal cu produsul a n factori, fiecare dintre aceștia fiind egal cu a. Pentru a ilustra: (a * a * ... a) n, unde n este numărul de numere care se înmulțesc. În consecință, pentru a crește a la n, este necesar să se calculeze produsul de următoarea formă: a * a * ... și să se împartă de n ori.

Din aceasta devine evident că erecția în arta naturală. se bazează pe capacitatea de a se înmulți(Acest material este acoperit în secțiunea privind înmulțirea numerelor reale). Să aruncăm o privire asupra problemei:

Erect -2 în al 4-lea st.

Avem de-a face cu un indicator natural. În consecință, cursul deciziei va fi după cum urmează: (-2) la art. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Acum rămâne doar să efectuați multiplicarea numerelor întregi: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Avem 16.

Răspuns la problemă:

(-2) în art. 4 = 16.

Exemplu:

Calculați valoarea: trei puncte două șapte pătrate.

Acest exemplu este egal cu următorul produs: trei puncte două pătrimi înmulțite cu trei puncte două pătrimi. Amintindu-ne cum se realizează multiplicarea numerelor mixte, finalizăm construcția:

3 puncte 2 șaptimi se înmulțesc singure;
este egal cu 23 de șapte, înmulțit cu 23 de șapte;
egal cu 529 patruzeci și nouă;
tăiem și obținem 10 treizeci și nouă de patruzeci și nouă.

Răspuns: 10 39/49

În ceea ce privește problema ridicării la un indicator irațional, trebuie remarcat faptul că calculele încep să se efectueze după finalizarea rotunjirii preliminare a bazei gradului la orice categorie care ar permite obținerea unei valori cu o precizie dată. De exemplu, trebuie să pătrăm numărul P (pi).

Începem prin rotunjirea P la sutimi și obținem:

P pătrat = (3,14) 2 = 9,8596. Cu toate acestea, dacă reducem P la zece miimi, obținem P = 3,14159. Apoi pătratul obține un număr complet diferit: 9.8695877281.

Trebuie remarcat aici că, în multe probleme, nu este nevoie să ridici numere iraționale la o putere. De regulă, răspunsul este scris fie sub forma unui grad, de exemplu, rădăcina lui 6 până la puterea lui 3, fie, dacă expresia permite, se efectuează transformarea acestuia: rădăcina de la 5 la puterea a 7-a = 125 rădăcină de 5.

Cum să ridici un număr la o întreagă putere

Această manipulare algebrică este adecvată luați în considerare următoarele cazuri:

pentru numere întregi;
pentru un indicator zero;
pentru un indicator pozitiv întreg.

Deoarece practic toate numerele întregi pozitive coincid cu masa numerelor naturale, atunci setarea la o putere întreagă pozitivă este același proces ca setarea în art. natural. Am descris acest proces în paragraful anterior.

Acum să vorbim despre calcularea art. nul. Am aflat deja mai sus că gradul zero al numărului a poate fi determinat pentru orice diferit de a (real), în timp ce a din art. 0 va fi egal cu 1.

În consecință, ridicarea oricărui număr real la zero. va da una.

De exemplu, 10 în st. 0 = 1, (-3.65) 0 = 1 și 0 în st. 0 nu poate fi determinat.

Pentru a finaliza creșterea la o putere întreagă, rămâne să decideți opțiunile pentru valori negative întregi. Ne amintim că art. dintr-un cu exponent întreg -z va fi definit ca o fracție. Numitorul fracției este art. cu o valoare întreagă pozitivă, a cărei valoare am învățat deja să o găsim. Acum rămâne doar să luăm în considerare un exemplu de construcție.

Exemplu:

Calculați valoarea numărului 2 dintr-un cub cu un exponent întreg negativ.

Procesul soluției:

Conform definiției unui grad cu indicator negativ, denotăm: două la minus 3 linguri. este egal cu unu la doi în gradul al treilea.

Numitorul este calculat simplu: doi cubici;

3 = 2*2*2=8.

Răspuns: două în minus 3 linguri. = o optime.

poate fi găsit folosind înmulțirea. De exemplu: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Despre o astfel de expresie, ei spun că suma termenilor egali este pliată într-un produs. În schimb, dacă citim această egalitate de la dreapta la stânga, obținem că am extins suma termenilor egali. În mod similar, puteți restrânge produsul câtorva factori egali 5x5x5x5x5x5 = 5 6.

Adică, în loc să înmulțească șase factori identici 5x5x5x5x5x5, ei scriu 5 6 și spun „cinci la a șasea putere”.

Expresia 5 6 este puterea unui număr, în care:

5 - baza gradului;

6 - exponent.

Acțiunile prin care produsul factorilor egali este pliat într-o putere sunt numite exponențierea.

În general, un grad cu baza „a” și exponentul „n” se scrie după cum urmează

Creșterea numărului a la puterea n înseamnă găsirea produsului a n factori, fiecare dintre aceștia fiind egal cu a

Dacă baza gradului „a” este 1, atunci valoarea gradului pentru orice n natural va fi 1. De exemplu, 1 5 = 1, 1 256 = 1

Dacă ridicați numărul „a” la primul grad, atunci obținem numărul a în sine: a 1 = a

Dacă ridicați orice număr la grad zero, apoi ca rezultat al calculelor obținem unul. a 0 = 1

Al doilea și al treilea grad al numărului sunt considerate speciale. Au venit cu nume pentru ei: se cheamă gradul al doilea număr pătrat, al treilea - cub acest număr.

Orice număr poate fi ridicat la o putere - pozitivă, negativă sau zero. În acest caz, nu sunt utilizate următoarele reguli:

Găsirea gradului unui număr pozitiv duce la un număr pozitiv.

Când calculăm zero în putere naturală, obținem zero.

x m X n = x m + n

de exemplu: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

La gradele împărțite cu aceleași baze nu schimbăm baza, ci scădem exponenții:

x m / x n = x m - n , Unde, m> n,

de exemplu: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

La calcul exponențierea nu schimbăm baza, ci înmulțim exponenții unul cu celălalt.

(pentru m ) n = y m n

de exemplu: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(NS · y) n = x n · la m ,

de exemplu: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

La efectuarea calculelor pe exponențierea ridicăm numărătorul și numitorul fracției la această putere

(x / y) n = x n / y n

de exemplu: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3.

Succesiunea efectuării calculelor atunci când se lucrează cu expresii care conțin un grad.

Atunci când se efectuează calcule ale expresiilor fără paranteze, dar care conțin grade, în primul rând se realizează exponențierea, apoi acțiunile de înmulțire și împărțire și numai apoi operațiile de adunare și scădere.

Dacă este necesar să evaluăm o expresie care conține paranteze, atunci mai întâi, în ordinea de mai sus, facem calculele între paranteze și apoi acțiunile rămase în aceeași ordine de la stânga la dreapta.

Foarte pe scară largă în calculele practice, tabelele de grade gata făcute sunt utilizate pentru a simplifica calculele.