Fracțiile sunt numere obișnuite și pot fi adăugate și scăzute. Dar datorită faptului că au un numitor, necesită reguli mai complexe decât pentru numerele întregi.
Luați în considerare cel mai simplu caz când există două fracții cu același numitor. Atunci:
Pentru a adăuga fracții cu același numitor, adăugați numărătorii lor și lăsați numitorul neschimbat.
Pentru a scădea fracții cu același numitor, scădeți numărătorul celui de-al doilea din numărătorul primei fracții și lăsați numitorul neschimbat.
În cadrul fiecărei expresii, numitorii fracțiilor sunt egali. Prin definiția adunării și scăderii fracțiilor, obținem:
După cum puteți vedea, nimic complicat: doar adăugați sau scădeți numărătorii și gata.
Dar chiar și în acțiuni atât de simple, oamenii reușesc să greșească. Ceea ce se uită cel mai adesea este că numitorul nu se schimbă. De exemplu, atunci când sunt adăugate, încep și să adauge, iar acest lucru este fundamental greșit.
Este destul de ușor să scapi de obiceiul prost de a adăuga numitori. Încercați să faceți același lucru pentru scădere. Ca urmare, numitorul va fi zero, iar fracția (brut!) își va pierde sensul.
Prin urmare, amintiți-vă odată pentru totdeauna: numitorul nu se schimbă în timpul adunării și scăderii!
De asemenea, mulți fac greșeli atunci când adaugă mai multe fracții negative. Există confuzie cu semnele: unde să punem minusul și unde să punem plusul.
Această problemă este, de asemenea, foarte ușor de rezolvat. Este suficient să ne amintim că minusul dinaintea semnului fracției poate fi întotdeauna transferat la numărător - și invers. Și, desigur, nu uitați de două reguli simple:
- Plus și minus dă un minus;
- Două negative fac o afirmație.
Să analizăm toate acestea cu exemple specifice:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
În primul caz, totul este simplu, dar în al doilea, adăugăm minusurile numărătorilor fracțiilor:
Ce să faci dacă numitorii sunt diferiți
Nu puteți adăuga direct fracții cu numitori diferiți. Cel puțin, această metodă îmi este necunoscută. Cu toate acestea, fracțiile originale pot fi întotdeauna rescrise astfel încât numitorii să devină la fel.
Există multe modalități de a converti fracții. Trei dintre ele sunt discutate în lecția „Reducerea fracțiilor la un numitor comun”, așa că aici nu ne vom opri asupra lor. Să ne uităm mai bine la exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
În primul caz, aducem fracțiile la un numitor comun folosind metoda „încrucișată”. În al doilea, vom căuta LCM. Rețineți că 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ultimii factori din aceste expansiuni sunt egali, iar primii sunt coprimi. Prin urmare, LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.
Ce să faci dacă o fracție are o parte întreagă
Vă pot mulțumi: numitorii diferiți pentru fracții nu sunt încă cel mai mare rău. Mult mai multe erori apar atunci când întreaga parte este selectată în fracții.
Desigur, există algoritmi proprii pentru adunare și scădere pentru astfel de fracții, dar sunt destul de complicate și necesită un studiu lung. Mai bine folosiți schema simplă de mai jos:
- Convertiți toate fracțiile care conțin o parte întreagă în unele incorecte. Obținem termeni normali (chiar cu numitori diferiți), care se calculează conform regulilor discutate mai sus;
- De fapt, calculați suma sau diferența fracțiilor rezultate. Ca urmare, practic vom găsi răspunsul;
- Dacă aceasta este tot ceea ce a fost necesar în problemă, efectuăm transformarea inversă, adică. scăpăm de fracția incorectă, evidențiind întreaga parte din ea.
Regulile pentru trecerea la fracții improprii și evidențierea întregii părți sunt descrise în detaliu în lecția „Ce este o fracție numerică”. Dacă nu vă amintiți, asigurați-vă că o repetați. Exemple:
Sarcină. Găsiți sensul expresiei:
Totul este simplu aici. Numitorii din interiorul fiecărei expresii sunt egali, așa că rămâne să convertiți toate fracțiile în fracții incorecte și să numărați. Noi avem:
Pentru a menține lucrurile simple, am omis câțiva dintre pașii evidenti din ultimele exemple.
O mică notă la ultimele două exemple, în care fracțiile cu o parte întreagă evidențiată sunt scăzute. Minusul din fața celei de-a doua fracții înseamnă că întreaga fracție este cea care este scăzută, și nu doar întreaga sa fracție.
Recitiți din nou această propoziție, aruncați o privire la exemple - și gândiți-vă. Aici începătorii fac un număr mare de greșeli. Le place să dea astfel de sarcini pe foi de test. De asemenea, le veți întâlni de multe ori la testele pentru această lecție, care va fi publicată în curând.
Rezumat: schema generala de calcul
În concluzie, voi oferi un algoritm general care vă va ajuta să găsiți suma sau diferența a două sau mai multe fracții:
- Dacă una sau mai multe fracții au o parte întreagă, convertiți aceste fracții în fracții incorecte;
- Aduceți toate fracțiile la un numitor comun în orice mod convenabil pentru dvs. (cu excepția cazului în care, desigur, autorii problemei au făcut acest lucru);
- Adunarea sau scaderea numerelor rezultate dupa regulile de adunare si scadere a fractiilor cu aceiasi numitori;
- Reduceți rezultatul dacă este posibil. Dacă fracția este greșită, selectați întreaga parte.
Amintiți-vă că este mai bine să selectați întreaga parte chiar la sfârșitul problemei, imediat înainte de a înregistra răspunsul.
În această lecție, vom învăța ce este un număr negativ și ce numere sunt numite opuse. De asemenea, vom învăța cum să adunăm numere negative și pozitive (numere cu semne diferite) și să analizăm câteva exemple de adunare a numerelor cu semne diferite.
Uitați-vă la acest angrenaj (vezi fig. 1).
Orez. 1. Unelte de ceas
Nu este o săgeată care arată direct ora și nu un cadran (vezi Fig. 2). Dar fără acest detaliu, ceasul nu va funcționa.
Orez. 2. Echipamentul din interiorul ceasului
Și ce înseamnă litera Y? Nimic în afară de sunetul lui Y. Dar fără el, multe cuvinte nu vor „funcționa”. De exemplu, cuvântul „șoarece”. La fel și numerele negative: nu arată nicio cantitate, dar fără ele mecanismul de calcul ar fi mult mai dificil.
Știm că adunarea și scăderea sunt operații egale și pot fi efectuate în orice ordine. În înregistrarea în ordine directă, putem număra:, dar nu putem începe cu scăderea, deoarece nu ne-am pus încă de acord asupra a ceea ce este.
Este clar că creșterea numărului cu, și apoi scăderea prin, înseamnă, în final, o scădere cu trei. De ce să nu desemnați acest obiect și să numărați astfel: a adăuga înseamnă a scădea. Atunci .
Numărul poate însemna, de exemplu, mere. Noul număr nu reprezintă nicio cantitate reală. În sine, nu înseamnă nimic, cum ar fi litera Y. Este doar un instrument nou pentru a ușura calculele.
Să sunăm la noile numere negativ... Acum putem scădea numărul mai mare din numărul mai mic. Din punct de vedere tehnic, mai trebuie să scădeți numărul mai mic din numărul mai mare, dar puneți semnul minus în răspuns:.
Să ne uităm la un alt exemplu: 
... Puteți face toate acțiunile la rând:.
Cu toate acestea, este mai ușor să scădeți al treilea din primul număr și apoi să adăugați al doilea număr:
Există și alte moduri de a defini numerele negative.
Pentru fiecare număr natural, de exemplu, introducem un număr nou, pe care îl notăm și determinăm că are următoarea proprietate: suma numărului și este egală cu:.
Numărul va fi numit negativ, iar numerele și - opuse. Astfel, avem un număr infinit de numere noi, de exemplu:
Opus pentru număr;
Opusul unui număr;
Opusul unui număr; 
Opusul unui număr;
Scădeți numărul mai mare din numărul mai mic:. Să adăugăm la această expresie:. Avem zero. Cu toate acestea, conform proprietății: un număr care adaugă zero la cinci este notat minus cinci:. Prin urmare, expresia poate fi notată ca.
Fiecare număr pozitiv are un număr geamăn, care diferă doar prin faptul că există un semn minus în fața lui. Astfel de numere sunt numite opus(vezi fig. 3).
Orez. 3. Exemple de numere opuse
Proprietățile numerelor opuse
1. Suma numerelor opuse este zero:.
2. Dacă scadeți un număr pozitiv din zero, rezultatul va fi numărul negativ opus:.
1. Ambele numere pot fi pozitive și știm deja cum să le adunăm:.
2. Ambele numere pot fi negative.
Am trecut deja prin adăugarea unor astfel de numere în lecția anterioară, dar ne vom asigura că înțelegem ce să facem cu ele. De exemplu: .
Pentru a găsi această sumă, adunați numerele pozitive opuse și puneți semnul minus.
3. Un număr poate fi pozitiv și altul negativ.
Dacă ne este convenabil, putem înlocui adăugarea unui număr negativ cu scăderea unui număr pozitiv:.
Inca un exemplu: . Din nou, scriem suma ca diferență. Puteți scădea numărul mai mare din cel mai mic scăzând numărul mai mic din cel mai mare, dar punând semnul minus.
Putem schimba termenii:.
Un alt exemplu similar:.
În toate cazurile, rezultatul este o scădere.
Pentru a rezuma aceste reguli pe scurt, să ne amintim un alt termen. Numerele opuse, desigur, nu sunt egale între ele. Dar ar fi ciudat să nu observăm ce au în comun. Am numit acest lucru comun modulul de număr... Modulul numerelor opuse este același: pentru un număr pozitiv este egal cu numărul în sine, iar pentru un număr negativ este egal cu opusul, pozitiv. De exemplu: , .
Pentru a adăuga două numere negative, trebuie să adăugați modulele lor și să puneți semnul minus:
Pentru a adăuga un număr negativ și unul pozitiv, trebuie să scădeți modulul mai mic din modulul mai mare și să puneți semnul numărului cu modulul mai mare:
Ambele numere sunt negative, prin urmare, adunăm modulele lor și punem semnul minus:
Două numere cu semne diferite, așadar, din modulul numărului (modul mai mare), scădeți modulul numărului și puneți un semn minus (semnul unui număr cu un modul mai mare):
Două numere cu semne diferite, așadar, din modulul unui număr (modul mai mare), se scad modulul numărului și se pune semnul minus (semnul unui număr cu un modul mai mare):.
Două numere cu semne diferite, așadar, din modulul numărului (modul mai mare), scădeți modulul numărului și puneți semnul plus (semnul unui număr cu modul mai mare):.
Numerele pozitive și negative au jucat istoric roluri diferite.
În primul rând, am introdus numere naturale pentru numărarea elementelor:
Apoi am introdus alte numere pozitive - fracții, pentru numărarea cantităților neîntregi, părți:.
Numerele negative au apărut ca instrument de simplificare a calculelor. Nu exista așa ceva încât în viață să existe niște cantități pe care să nu le putem număra și am inventat numere negative.
Adică, numerele negative nu provin din lumea reală. S-au dovedit a fi atât de convenabile încât în unele locuri și-au găsit aplicație în viață. De exemplu, auzim adesea despre temperaturi de îngheț. În același timp, nu întâlnim niciodată un număr negativ de mere. Care este diferența?
Diferența este că în viață, valorile negative sunt folosite doar pentru comparație, dar nu și pentru cantități. Dacă într-un hotel a fost dotat un subsol și a fost pus acolo un lift, atunci, pentru a părăsi numerotarea obișnuită a etajelor obișnuite, poate apărea un etaj minus. Acest minus primul înseamnă doar un etaj sub nivelul solului (vezi Fig. 1).
Orez. 4. Minus primul și minus al doilea etaj
O temperatură negativă este negativă doar în comparație cu zero, care a fost ales de autorul scalei, Anders Celsius. Există și alte scale, iar aceeași temperatură poate să nu mai fie negativă acolo.
În același timp, înțelegem că este imposibil să schimbăm punctul de plecare astfel încât să nu fie cinci mere, ci șase. Astfel, în viață, numerele pozitive sunt folosite pentru a determina cantități (mere, prăjitură).
De asemenea, le folosim în loc de nume. Fiecărui telefon i se poate da propriul nume, dar numărul de nume este limitat și nu există numere. Prin urmare, folosim numere pentru numerele de telefon. Tot pentru comandă (secol după secol).
Numerele negative în viață sunt folosite în ultimul sens (minus primul etaj sub zero și primul etaj)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6.M .: Mnemosina, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. „Gimnaziul”, 2006.
- Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. M .: Educație, 1989.
- Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul matematică clasa 5-6. Moscova: ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. Moscova: ZSH MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-însoțitor pentru clasele 5-6 de liceu. M .: Educație, Biblioteca profesorului de matematică, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube ().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Teme pentru acasă
formarea cunoștințelor despre regula adunării numerelor cu semne diferite, capacitatea de a o aplica în cele mai simple cazuri;
dezvoltarea abilităților de a compara, identifica tipare, generaliza;
promovarea unei atitudini responsabile față de munca educațională.
Echipament: proiector multimedia, ecran.
Tip de lecție: o lecție de învățare a materialelor noi.
ÎN CURILE CLASURILOR
1. Moment organizatoric.
Ne-am trezit exact
Ne-am așezat în liniște.
Acum a sunat soneria
Ne începem lecția.
Baieti! Oaspeții au venit astăzi la lecția noastră. Să ne întoarcem la ei și să zâmbim unul altuia. Deci, începem lecția.
Slide 2- Epigraful lecției: „Cine nu observă nimic, nu studiază nimic.
Cine nu studiază nimic, se plânge mereu și se plictisește.”
Roman Sef (scriitor pentru copii)
Slad 3 - Propun să joc jocul „Dimpotrivă”. Regulile jocului: trebuie să împărțiți cuvintele în două grupe: câștig, minciună, căldură, dăruiește, adevăr, bine, pierdere, ia, rău, rece, pozitiv, negativ.
Există multe contradicții în viață. Cu ajutorul lor, definim realitatea înconjurătoare. Pentru lecția noastră, am nevoie de cea din urmă: pozitiv - negativ.
Despre ce vorbim la matematică când folosim aceste cuvinte? (Despre numere.)
Marele Pitagora afirma: „Numerele conduc lumea”. Îmi propun să vorbim despre cele mai misterioase numere din știință - numere cu semne diferite. - Numerele negative au apărut în știință ca opusul celor pozitive. Calea lor către știință a fost dificilă, deoarece chiar și mulți oameni de știință nu au susținut ideea existenței lor.
Ce concepte și cantități măsoară oamenii cu numere pozitive și negative? (încărcări ale particulelor elementare, temperatură, pierderi, înălțime și adâncime etc.)
Slide 4- Cuvintele opuse în sens sunt antonime (tabel).
2. Enunțarea temei lecției.
Slide 5 (lucrare cu masa)- Ce numere ați învățat în lecțiile anterioare?
- Ce sarcini legate de numerele pozitive și negative poți face?
- Atentie la ecran. (Diapozitivul 5)
- Ce numere sunt prezentate în tabel?
- Denumiți modulele de numere scrise orizontal.
- Specificați cel mai mare număr, specificați numărul cu cel mai mare modul.
- Răspunde la aceleași întrebări pentru numerele scrise pe verticală.
- Coincid întotdeauna cel mai mare număr și numărul cu cel mai mare modul?
- Aflați suma numerelor pozitive, suma numerelor negative.
- Formulați regula de adunare a numerelor pozitive și regula de adunare a numerelor negative.
- Ce numere au mai rămas de adăugat?
- Știi cum să le adaugi?
- Cunoașteți regula pentru adăugarea numerelor cu semne diferite?
- Formulați subiectul lecției.
- Ce obiectiv îți vei stabili? Gândiți-vă ce vom face astăzi? (Răspunsurile copiilor). Astăzi continuăm să ne familiarizăm cu numerele pozitive și negative. Tema lecției noastre este „Adunarea numerelor cu semne diferite”. Și scopul nostru este să învățăm cum să adunăm numere cu semne diferite fără greșeli. Notează într-un caiet numărul și subiectul lecției.
3.Lucrează pe tema lecției.
Slide 6.- Aplicând aceste concepte, găsiți rezultatele adunării numerelor cu semne diferite pe ecran.
- Ce numere sunt rezultatul adunării numerelor pozitive, numerelor negative?
- Ce numere sunt rezultatul adunării numerelor cu semne diferite?
- De ce depinde semnul sumei numerelor cu semne diferite? (Diapozitivul 5)
- De la termenul cu cel mai mare modul.
- E ca un remorcher. Cel mai puternic câștigă.
Slide 7- Să ne jucăm. Imaginează-ți că ești un remorcher. . Profesor. Oponenții se întâlnesc de obicei în competiții. Și astăzi vom vizita mai multe turnee cu tine. Primul lucru care ne așteaptă este finala competiției de remorcher. Sunt Ivan Minusov la numărul -7 și Peter Plusov la numărul +5. Cine crezi că va câștiga? De ce? Deci, Ivan Minusov a câștigat, s-a dovedit într-adevăr a fi mai puternic decât adversarul său și a reușit să-l tragă în partea sa negativă exact în doi pași.
Slide 8.- . Și acum vom vizita și alte competiții. Iată finala concursului de tir. Cei mai buni în această formă au fost Minus Troikin cu trei baloane și Plus Chetverikov cu patru baloane în stoc. Și aici băieți, cine credeți că va fi câștigătorul?
Slide 9- Competițiile au arătat că cel mai puternic câștigă. Deci, atunci când adăugați numere cu semne diferite: -7 + 5 = -2 și -3 + 4 = +1. Băieți, cum se adună numerele cu semne diferite? Studenții își oferă opțiunile.
Profesorul formulează regula, dă exemple.
10 + 12 = +(12 – 10) = +2
4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4
În timpul demonstrației, elevii pot comenta soluția care apare pe diapozitiv.
Slide 10- Profesore, hai să mai jucăm un joc „Sea Battle”. O navă inamică se apropie de coasta noastră, trebuie eliminată și scufundată. Pentru asta avem un tun. Dar pentru a atinge ținta, trebuie să faceți calcule precise. Pe care o veți vedea acum. Gata? Atunci dă-i drumul! Vă rugăm să nu vă distras, exemplele se schimbă în exact 3 secunde. Sunt toți gata?
Elevii merg pe rând la tablă și calculează exemplele care apar pe diapozitiv. - Care sunt etapele sarcinii.
Slide 11- Lucrați manualul: p. 180 p. 33, citiți regula de adunare a numerelor cu semne diferite. Comentarii la regula.
- Care este diferența dintre regula propusă în manual și algoritmul pe care l-ați compilat? Luați în considerare exemplele din tutorial cu un comentariu.
Slide 12- Profesor-Acum, băieți, să cheltuim experiment. Dar nu chimic, ci matematic! Luați numerele 6 și 8, semnele plus și minus și amestecați totul bine. Să luăm patru exemple-experiențe. Fă-le în caiet. (doi elevi rezolvă pe aripile tablei, apoi se verifică răspunsurile). Ce concluzii se pot trage din acest experiment?(Rolul semnelor). Hai să mai facem 2 experimente , dar cu numerele tale (ieși 1 persoană la tablă). Să ne gândim la numere unul pentru celălalt și să verificăm rezultatele experimentului (verificare reciprocă).
Slide 13 .- Regula este afișată pe ecran sub formă de versuri .
4. Fixarea temei lecției.
Slide 14 - Profesor- „Este nevoie de tot felul de semne, tot felul de semne sunt importante!” Acum, băieți, vom împărți cu voi în două echipe. Băieții vor fi în echipa lui Moș Crăciun, iar fetele vor fi pe Soare. Sarcina ta, fără a calcula exemple, este să stabilești în care dintre ele se vor obține răspunsuri negative și în care pozitive și să notezi literele acestor exemple într-un caiet. Băieții, respectiv, sunt negativi, iar fetele pozitive (cartele se eliberează din aplicație). Se efectuează autotestarea.
Bine făcut! Ai un fler excelent pentru semne. Acest lucru vă va ghida prin următoarea sarcină
Slide 15 - Antrenament fizic. -10, 0.15.18, -5.14.0, -8, -5 etc. (numere negative - ghemuit, numere pozitive - tragere în sus, săritură)
Slide 16-Rezolvați singur 9 exemple (sarcină pe carduri în aplicație). 1 persoană la tablă. Faceți un autotest. Răspunsurile sunt afișate pe ecran, elevii corectează greșelile într-un caiet. Ridicați-vă mâinile, cine are dreptate. (Notele se acordă numai pentru rezultate bune și excelente)
Slide 17-Regulile ne ajută să rezolvăm corect exemplele. Să le repetăm Pe ecran, un algoritm de adunare a numerelor cu semne diferite.
5. Organizarea muncii independente.
Slide 18 -Flucru orizontal prin jocul „Ghicește cuvântul”(sarcină pe carduri în aplicație).
Slide 19 - Scorul pentru joc ar trebui să fie „cinci”
Slide 20 -A acum, atentie. Teme pentru acasă. Temele ar trebui să fie ușoare pentru tine.
Slide 21 - Legile de adunare în fenomenele fizice. Vino cu exemple pentru a adăuga numere cu semne diferite și întreabă-le unul altuia. Ce nou ai invatat? Ne-am atins scopul?
Slide 22 - Acesta este sfârșitul lecției, să rezumam acum. Reflecţie. Profesorul comentează și notează lecția.
Slide 23 - Vă mulțumim pentru atenție!
Vă doresc mai mult pozitiv și mai puțin negativ în viața voastră, vreau să vă spun băieți, vă mulțumesc pentru munca voastră activă. Cred că poți aplica cu ușurință cunoștințele acumulate în lecțiile ulterioare. Lecția s-a terminat. Multumesc mult tuturor. La revedere!
Obiectivul 1. Jucătorul a notat câștigurile cu semnul + și pierderea cu semnul -. Găsiți rezultatul fiecăreia dintre următoarele intrări: a) +7 rub. +4 ruble; b) –3 ruble. -6 ruble; c) –4 p. +4 p.; d) +8 p. –6 p.; e) –11 p. +7 p.; f) +2 p. +3 p. –5 p.; g) +6 p. –4 p. +3 p. –5 p. +2 p. –6 p.
Înregistrarea a) indică faptul că jucătorul a câștigat primul 7 ruble. și apoi a câștigat încă 4 ruble, - în total a câștigat 11 ruble; înregistrarea c) indică faptul că jucătorul a pierdut mai întâi 4 p. și apoi a câștigat 4 ruble, - prin urmare rezultatul total = 0 (jucătorul nu a făcut nimic); înregistrarea e) indică faptul că jucătorul a pierdut mai întâi 11 ruble, apoi a câștigat 7 ruble, - pierderea depășește câștigurile cu 4 ruble; prin urmare, în general, jucătorul a pierdut 4 ruble. Deci, avem dreptul să notăm pentru aceste înregistrări că
a) +7 p. +4 p. = +11 p.; c) –4 p. +4 p. = 0; e) –11 p. + 7 p. = –4 frecare.
Restul intrărilor sunt la fel de ușor de analizat.
În sensul lor, aceste probleme sunt similare cu cele care sunt rezolvate în aritmetică folosind acțiunea de adunare, prin urmare, și aici, vom presupune că peste tot trebuie să adăugăm numere relative care exprimă rezultatele jocurilor individuale pentru a găsi rezultatul general al jocului. , de exemplu, în exemplul c) numărul relativ –11 ruble. se adună cu un număr relativ de +7 ruble.
Obiectivul 2. Casiera a înregistrat sosirea casei de marcat cu semnul +, iar cheltuiala cu semnul -. Găsiți rezultatul general pentru fiecare dintre următoarele intrări: a) +16 p. +24 p.; b) –17 p. -48 ruble; c) +26 p. -26 ruble; d) –24 p. +56 RUR; e) –24 p. +6 p.; f) –3 p. +25 p. -20 RUB +35 p.; g) +17 p. – 11 RUB +14 p. – 9 RUB –18 RUB +7 p.; h) –9 р –7 р. +15 p. – 11 RUB +4 p.
Să analizăm, de exemplu, intrarea f): mai întâi, vom număra întreaga chitanță a casieriei: conform acestei intrări, a fost de 25 de ruble. vine și chiar 35 de ruble. veniți, venitul total a fost de 60 de ruble, iar cheltuiala a fost de 3 ruble și chiar 20 de ruble, totalul a fost de 23 de ruble. consum; venitul depășește cheltuiala cu 37 de ruble. Urmări.,
- 3 ruble. + 25 RUB - 20 de ruble. + 35 de frecții. = +37 frecare.
Obiectivul 3. Punctul vibrează de-a lungul unei linii drepte, începând din punctul A (Fig. 2).
Rahat. 2.
Deplasarea lui la dreapta este notată cu semnul + și mutarea lui la stânga cu semnul -. Unde va fi punctul după mai multe ezitări înregistrate de una dintre următoarele înregistrări: a) +2 dm. -3 dm. +4 dm.; b) -1 dm. +2 dm. +3 dm. +4 dm. –5 dm. +3 dm.; c) +10 dm. -1 dm. +8 dm. -2 dm. +6 dm. -3 dm. +4 dm. –5 dm.; d) –4 dm. +1 dm. –6 dm. +3 dm. –8 dm. +5 dm.; e) +5 dm. –6 dm. +8 dm. –11 dm. În desen, centimetrii sunt indicați prin segmente mai mici decât cele reale.
Să analizăm ultima intrare (e): mai întâi, punctul oscilant s-a mutat la dreapta lui A cu 5 inci, apoi s-a mutat la stânga cu 6 inci, - în general, ar trebui să fie situat la stânga lui A cu 1 inch , apoi mutat la dreapta cu 8 inchi. , apoi, acum este la dreapta lui A cu 7 in., apoi mutat la stânga cu 11 in., prin urmare, este la stânga lui A cu 4 in.
Restul exemplelor sunt lăsate să fie dezasamblate de către elevii înșiși.
Am acceptat că în toate înregistrările analizate trebuia să adăugăm numerele relative înregistrate. Prin urmare, să fim de acord:
Dacă lângă (cu semnele lor) sunt scrise mai multe numere relative, atunci aceste numere trebuie adăugate.
Să analizăm acum principalele cazuri care apar în plus și luăm numere relative fără nume (adică, în loc să spunem, de exemplu, 5 ruble de câștigat și chiar 3 ruble de pierdut, sau punctul s-a mutat cu 5 inci la dreapta lui A și apoi încă 3 inci. În stânga, să spunem 5 unități pozitive și încă 3 unități negative ...).
Aici trebuie să adăugați numere formate din 8 poz. unități, și chiar de la 5 poz. unități, obținem un număr format din 13 poz. unitati.
Deci + 8 + 5 = 13
Aici trebuie să adăugați un număr format din 6 negative. unități cu un număr format din 9 negative. unități, obținem 15 negative. unități (comparați: 6 ruble de pierdere și 9 ruble de pierdere - se va ridica la 15 ruble de pierdere). Asa de,
– 6 – 9 = – 15.
4 ruble de câștig și apoi 4 ruble. pierderea, în general, va da zero (anulată reciproc); De asemenea, dacă punctul s-a deplasat de la A mai întâi la dreapta cu 4 inci și apoi la stânga cu 4 inci, atunci va fi din nou în punctul A și, în continuare, distanța sa finală de A este egală cu zero și în general trebuie să presupunem că 4 poz. unități, și chiar 4 negative, în general, vor da zero, sau se vor anihila reciproc. Asa de,
4 - 4 = 0, de asemenea - 6 + 6 = 0 etc.
Două numere relative care au aceeași valoare absolută, dar semne diferite, se anulează reciproc.
6 negativ unitățile sunt distruse cu 6 puse. unități, și vor mai fi 3 poz. unitati. Asa de,
– 6 + 9 = + 3.
7 poz. unitățile vor fi distruse cu 7 negative. unități și vor mai fi 4 negative. unitati. Asa de,
7 – 11 = – 4.
Luând în considerare cazurile 1), 2), 4) și 5), avem
8 + 5 = + 13; - 6 - 9 = - 15; - 6 + 9 = + 3 și
+ 7 – 11 = – 4.
De aici vedem că este necesar să se facă distincția între două cazuri de adunare a numerelor algebrice: cazul când termenii au aceleași semne (1 și 2) și cazul de adunare a numerelor cu semne diferite (4 și 5).
Nu e greu să vezi asta acum
atunci când se adună numere cu aceleași semne, ar trebui să adunăm valorile lor absolute și să scrieți semnul lor comun, iar atunci când adăugați două numere cu semne diferite, trebuie să scădeți aritmetic valorile lor absolute (din cea mai mare și mai mică) și să scrieți semnul numărului a cărui valoare absolută este mai mare.
Să fie necesar să se găsească suma
6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.
Putem adăuga mai întâi toate numerele pozitive + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, apoi anulăm totul. - 7 - 3 - 4 - 8 = - 22 și apoi rezultatele obținute între ele + 27 - 22 = + 5.
De asemenea, putem profita de faptul că numerele + 5 - 4 - 8 + 7 se anihilează reciproc și apoi rămâne să adunăm doar numerele + 6 - 7 - 3 + 9 = + 5.
Un alt mod de a desemna adunarea
Puteți include fiecare termen între paranteze și puteți scrie un semn de adunare între paranteze. De exemplu:
(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11) etc.
Putem, conform celui precedent, să scriem imediat suma, de exemplu. (–4) + (+5) = +1 (cazul adunării numerelor cu semne diferite: este necesar să scădem cea mai mică din valoarea absolută mai mare și să scriem semnul numărului a cărui valoare absolută este mai mare), dar avem se poate rescrie, de asemenea, primul fără paranteze, folosind condiția ca dacă numerele sunt scrise lângă semnele lor, atunci aceste numere trebuie adăugate; urmări.,
pentru a deschide parantezele atunci când adăugați numere pozitive și negative, trebuie să scrieți termenii lângă semnele lor (omiteți semnul de adunare și parantezele).
De exemplu: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (- 3) + (- 8) = - 3 - 8; (+ 7) + (- 11) = + 7 - 11; (- 4) + (+ 5) = - 4 + 5; (- 3) + (+ 5) + (- 7) + (+ 9) + (- 11) = - 3 + 5 - 7 + 9 - 11.
După aceea, puteți adăuga numerele rezultate.
Într-un curs de algebră, ar trebui să acordați o atenție deosebită capacității de a deschide paranteze.
Exerciții.
1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);
Adunarea și scăderea
numere cu semne diferite
Pentru a vă asigura că studentul, în mai puțin timp decât înainte, a stăpânit o cantitate mare de cunoștințe, solide și eficiente - aceasta este una dintre sarcinile principale ale pedagogiei moderne. În acest sens, devine necesară începerea studiului noului prin repetarea materialului vechi, deja studiat, cunoscut pe această temă. Pentru ca repetarea să treacă repede și pentru cea mai evidentă legătură între nou și vechi, este necesar să se organizeze în mod special înregistrarea materialului studiat la explicație.
Ca exemplu, vă voi spune cum îi învăț pe elevi să adună și să scadă numere cu semne diferite folosind o linie de coordonate. Înainte de a studia subiectul direct și în timpul lecțiilor din clasele a V-a și a VI-a, acord foarte multă atenție structurii liniei de coordonate. Înainte de a începe studiul temei „Adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite”, este necesar ca fiecare elev să cunoască cu fermitate și să fie capabil să răspundă la următoarele întrebări:
1) Cum funcționează linia de coordonate?
2) Cum sunt situate numerele pe el?
3) Care este distanța de la numărul 0 la orice număr?
Elevii ar trebui să înțeleagă că deplasarea de-a lungul unei linii drepte spre dreapta crește numărul, de exemplu. se efectuează acțiunea de adăugare, iar la stânga - la scăderea acesteia, adică. se realizează acţiunea de scădere a numerelor. Pentru ca lucrul cu linia de coordonate să nu provoace plictiseală, există multe probleme de joc non-standard. De exemplu, aceasta.
O linie dreaptă este trasată de-a lungul autostrăzii. Lungimea unui segment de unitate este de 2 m. Toată lumea se mișcă numai de-a lungul unei linii drepte. Gena și Cheburashka sunt pe numărul 3. Au mers simultan în direcții diferite și s-au oprit în același timp. Gena a parcurs de 2 ori mai multă distanță decât Cheburashka și a ajuns pe numărul 11. Pe ce număr era Cheburashka? Câți metri a mers Cheburashka? Care dintre ei a mers mai încet și de câte ori?(Matematică non-standard la școală. - M., Laida, 1993, nr. 62).
Când sunt ferm convins că toți elevii pot face față mișcărilor de-a lungul unei linii drepte, iar acest lucru este foarte important, trec direct la predarea adunării și scăderii numerelor în același timp.
Fiecărui elev i se oferă un rezumat justificativ. Analizând prevederile rezumatului și bazându-se pe imaginile vizuale geometrice deja existente ale liniei de coordonate, elevii dobândesc noi cunoștințe. (O schiță este prezentată în figură). Studiul temei începe prin a scrie într-un caiet întrebările care vor fi luate în considerare.
1 ... Cum adaug folosind o linie de coordonate? Cum să găsiți termenul necunoscut? Luați în considerare partea relevantă a rezumatului ??. Ne amintim că prin A adăuga b- înseamnă a crește A pe b iar mișcarea de-a lungul liniei de coordonate are loc spre dreapta. Ne amintim cum sunt numite și calculate componentele în timpul adunării și legile adunării, precum și proprietățile lui zero în timpul adunării. Acestea sunt piese?? și?? rezumat. Prin urmare, următoarele întrebări scrise în caiet sunt următoarele:
unu). Adăugarea este mișcarea spre dreapta.
SL. + SL. = C; SL. = C - SL.
2). Legile adăugării:
1) legea transpozițională: A+ b= b+ A;
2) legea combinației: (A+ b) + c= A+ (b+ c) = (A+ c) + b
3). Proprietăți fără adăugare: A+ 0= A; 0+ A= A; A+ (- A) = 0.
4). Scăderea este mișcare spre stânga.
U. - V. = R.; U. = V. + R.; V. = U. - R.
5). Adunarea poate fi înlocuită cu scădere, iar scăderea prin adunare.
4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1
4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1
conform legii deplasării adunării
6). Iată cum sunt extinse parantezele:
+ (A+ b+ c) = + A+ b+ c
"Domn"
- (a + b + c) = - a - b - c
"Jefuitor"
2 ... Legi de adaos.
3 ... Enumerați în plus proprietățile lui zero.
4 ... Cum se scad numere folosind linia de coordonate? Reguli pentru găsirea necunoscutelor scăzute, reduse.
5 ... Cum treci de la adunare la scădere și de la scădere la adunare?
6 ... Cum se deschid parantezele precedate de: a) semnul plus; b) semnul minus?
Materialul teoretic este destul de voluminos, dar din moment ce fiecare parte a acestuia este conectată și, așa cum ar fi, „curge” una de la alta, memorarea are succes. Lucrarea cu sinopsis nu se termină aici. Fiecare parte a rezumatului este asociată cu textul manualului, care este citit în clasă. Dacă după aceea elevul crede că partea analizată îi este complet clară, atunci umbrează ușor textul rezumatului în cadrul corespunzător, parcă ar fi spus: „Am înțeles asta”. Dacă există ceva de neînțeles, atunci rama nu este pictată până când totul devine clar. Partea albă a conturului este semnalul „Înțelege!”
Scopul profesorului, care ar trebui atins până la sfârșitul lecției, este următorul: elevii, care părăsesc lecția, ar trebui să-și amintească că adunarea este mișcarea de-a lungul liniei de coordonate la dreapta, iar scăderea este la stânga. Toți elevii au învățat să deschidă parantezele. Restul timpului de lecție este dedicat descoperirii parantezelor. Oral și în scris, deschidem paranteze în sarcini precum:
|
); - 20 + (- 7 + (- 5)). |
||||
Lecții de făcut acasă. Răspunde la întrebările scrise în caiet citind paragrafele manualului indicate în rezumat.
În lecția următoare, vom elabora algoritmul pentru adunarea și scăderea numerelor. Fiecare elev are pe masă o hartă cu instrucțiuni:
1) Scrie un exemplu.
2) Extindeți, dacă există, parantezele.
3) Desenați o linie de coordonate.
4) Marcați primul număr pe el fără o scară.
5) Dacă în spatele numărului există un semn „+”, atunci deplasați-vă la dreapta, iar dacă semnul „-”, atunci la stânga cu atâtea segmente de unitate câte conține al doilea termen. Desenați-l schematic și lângă numărul pe care îl căutați, puneți un semn?
6) Pune întrebarea „Unde este zero?”
7) Determinați semnul numărului care are semnul întrebării, care este o soluție, astfel: dacă? stă în dreapta lui 0, atunci răspunsul are semnul + și dacă? este la stânga lui 0, răspunsul are un -. Scrieți în exemplul de răspuns după simbolul = găsit.
8) Marcați trei linii în desen.
9) Aflați lungimea segmentului de la zero la semn?
Exemplul 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.
1. Copiez exemplul și deschid parantezele.
2. Desenez o imagine și motivez astfel:
a) Marcez - 35 și mă deplasez la stânga cu 9 segmente de unitate; la numarul cerut am pus semn?;
b) Mă întreb: „Unde este zero?” Răspund: „Zero la dreapta este de 35 pe 35 de segmente de unitate, ceea ce înseamnă că semnul răspunsului este -, deci cum? la stânga lui zero";
c) căutarea distanţei de la 0 la semnul?. Pentru a face acest lucru, calculez 35 + 9 = 44 și atribui numărul rezultat ca răspuns la semnul -.
Exemplul 2.- 35 + 9.
Exemplul 3. 9 - 35.
Rezolvăm aceste exemple realizând un raționament similar cu exemplul 1. Nu pot exista alte cazuri de aranjare a numerelor, iar fiecare imagine corespunde uneia dintre regulile date în manual și care necesită memorare. S-a verificat (și în mod repetat) că această metodă de adăugare este mai rațională. În plus, vă permite să adăugați numere chiar și atunci când elevul crede că nu își amintește o singură regulă. Această metodă funcționează și cu fracții, trebuie doar să le aduceți la un numitor comun și apoi să desenați o imagine. De exemplu,
Toată lumea folosește cardul „instrucțional” atâta timp cât este nevoie de el.
O astfel de muncă înlocuiește actul obositor și monoton de a număra după regulile unui gând viu și activ. Sunt multe avantaje: nu este nevoie să te înghesui și să te gândești febril ce regulă să aplici; dispozitivul dreptei de coordonate este ușor de reținut, iar acest lucru este atât în algebră, cât și în geometrie atunci când se calculează valoarea unui segment, când un punct de pe o dreaptă se află între alte două puncte. Această tehnică este eficientă în clasele avansate de matematică, precum și în clasele de vârstă și chiar în orele de corecție.
Se încarcă ...