Sinusul și cosinusul au apărut inițial din necesitatea de a calcula cantități în triunghiuri dreptunghiulare. S-a observat că dacă măsura gradului unghiurilor dintr-un triunghi dreptunghic nu este modificată, atunci raportul de aspect, indiferent cât de mult se schimbă aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.
Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, iar cosinusul este raportul laturii adiacente ipotenuzei.
Teoreme ale cosinusurilor și sinusurilor
Dar cosinusurile și sinusurile pot fi folosite pentru mai mult decât triunghiuri dreptunghiulare. Pentru a afla valoarea unui unghi obtuz sau acut sau a unei laturi a oricărui triunghi, este suficient să aplicați teorema cosinusurilor și sinusurilor.
Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acelor laturi și cosinusul unghiului dintre ele.”
Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Potrivit minorului: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse.” Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății cercului circumscris unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.
Derivate
Derivata este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție în raport cu o modificare a argumentului său. Derivatele sunt folosite în geometrie și într-o serie de discipline tehnice.
Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabelare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata unui sinus este un cosinus, iar un cosinus este un sinus, dar cu semnul minus.
Aplicație în matematică
Sinusurile și cosinusurile sunt folosite în mod deosebit la rezolvare triunghiuri dreptunghiulareși sarcinile asociate acestora.
Comoditatea sinusurilor și cosinusurilor se reflectă și în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, defalcând formele și obiectele complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii care se ocupă adesea de calculele raporturilor de aspect și măsurătorilor de grade au petrecut mult timp și efort calculând cosinusurile și sinusurile unghiurilor netabulare.
Apoi au venit în ajutor tabelele Bradis, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente de diferite unghiuri. ÎN ora sovietică unii profesori și-au forțat elevii să memoreze pagini de tabele Bradis.
Radianul este valoarea unghiulară a unui arc a cărui lungime este egală cu raza sau 57,295779513° grade.
Gradul (în geometrie) - 1/360-a parte a unui cerc sau 1/90-a parte a unui unghi drept.
π = 3,141592653589793238462… (valoarea aproximativă a lui Pi).
Tabel cosinus pentru unghiuri: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Unghiul x (în grade) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Unghiul x (în radiani) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Cum să găsesc sinusul?
Studierea geometriei ajută la dezvoltarea gândirii. Această materie este inclusă neapărat în pregătirea școlară. În viața de zi cu zi, cunoașterea acestui subiect poate fi utilă - de exemplu, atunci când planificați un apartament.
Din istorie
Cursul de geometrie include și trigonometrie, care studiază funcțiile trigonometrice. În trigonometrie studiem sinusurile, cosinusurile, tangentele și cotangentele unghiurilor.
Dar mai departe acest moment Să începem cu cel mai simplu lucru - sine. Să aruncăm o privire mai atentă asupra primului concept - sinusul unui unghi în geometrie. Ce este sinusul și cum să-l găsesc?
Conceptul de „unghi sinusoid” și sinusoide
Sinusul unui unghi este raportul dintre valorile laturii opuse și ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Aceasta este o funcție trigonometrică directă, care este scrisă ca „sin (x)”, unde (x) este unghiul triunghiului.
Pe grafic, sinusul unui unghi este indicat de o undă sinusoidală cu propriile sale caracteristici. O undă sinusoidală arată ca o linie ondulată continuă care se află în anumite limite pe planul de coordonate. Funcția este impară, deci este simetrică în jurul 0 pe planul de coordonate (iese din originea coordonatelor).
Domeniul de definire al acestei funcții se află în intervalul de la -1 la +1 pe sistemul de coordonate carteziene. Perioada funcției unghiului sinusoidal este 2 Pi. Aceasta înseamnă că la fiecare 2 Pi modelul se repetă și unda sinusoidală trece printr-un ciclu complet.
Ecuația undei sinusoidale
- sin x = a/c
- unde a este catetul opus unghiului triunghiului
- c - ipotenuza unui triunghi dreptunghic
Proprietățile sinusului unui unghi
- sin(x) = - sin(x). Această caracteristică demonstrează că funcția este simetrică, iar dacă valorile x și (-x) sunt reprezentate pe sistemul de coordonate în ambele direcții, atunci ordonatele acestor puncte vor fi opuse. Vor fi la o distanță egală unul de celălalt.
- O altă caracteristică a acestei funcții este că graficul funcției crește pe segmentul [- P/2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], unde n este orice număr întreg. Pe segmentul: [P/2 + 2Pn] se va observa o scădere a graficului sinusului unghiului; [3P/2 + 2Pn].
- sin(x) > 0 când x este în intervalul (2Пn, П + 2Пn)
- (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)
Valorile sinusurilor unghiului sunt determinate folosind tabele speciale. Astfel de tabele au fost create pentru a facilita procesul de calcul al formulelor și ecuațiilor complexe. Este ușor de utilizat și conține nu numai valorile funcției sin(x), ci și valorile altor funcții.
Mai mult, un tabel cu valorile standard ale acestor funcții este inclus în studiul de memorie obligatoriu, ca o tabelă de înmulțire. Acest lucru este valabil mai ales pentru clasele cu părtinire fizică și matematică. În tabel puteți vedea valorile principalelor unghiuri utilizate în trigonometrie: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 și 360 de grade.
Există, de asemenea, un tabel care definește valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor nestandard. A profita mese diferite, puteți calcula cu ușurință sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unor unghiuri.
Ecuațiile se fac cu funcții trigonometrice. Rezolvarea acestor ecuații este ușoară dacă le cunoașteți pe cele simple identități trigonometriceși reduceri ale funcțiilor, de exemplu, cum ar fi sin (P/2 + x) = cos (x) și altele. De asemenea, a fost întocmit un tabel separat pentru astfel de reduceri.
Cum se află sinusul unui unghi
Când sarcina este să găsim sinusul unui unghi și, în funcție de condiția, avem doar cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului, putem calcula cu ușurință ceea ce avem nevoie folosind identități trigonometrice.
- sin 2 x + cos 2 x = 1
Din această ecuație, putem găsi atât sinus, cât și cosinus, în funcție de care valoare este necunoscută. Obținem o ecuație trigonometrică cu o necunoscută:
- sin 2 x = 1 - cos 2 x
- sin x = ± √ 1 - cos 2 x
- cot 2 x + 1 = 1 / sin 2 x
Din această ecuație puteți afla valoarea sinusului, cunoscând valoarea cotangentei unghiului. Pentru a simplifica, înlocuiți sin 2 x = y și aveți o ecuație simplă. De exemplu, valoarea cotangentei este 1, atunci:
- 1 + 1 = 1/a
- 2 = 1/a
- 2у = 1
- y = 1/2
Acum efectuăm înlocuirea inversă a playerului:
- sin 2 x = ½
- sin x = 1 / √2
Deoarece am luat valoarea cotangentei pentru unghiul standard (45 0), valorile obținute pot fi verificate în tabel.
Dacă aveți o valoare tangentă și trebuie să găsiți sinusul, o altă identitate trigonometrică vă va ajuta:
- tg x * ctg x = 1
Rezultă că:
- cot x = 1 / tan x
Pentru a găsi sinusul unui unghi non-standard, de exemplu, 240 0, trebuie să utilizați formule de reducere a unghiului. Știm că π corespunde cu 180 0. Astfel, ne exprimăm egalitatea folosind unghiuri standard prin expansiune.
- 240 0 = 180 0 + 60 0
Trebuie să aflăm următoarele: sin (180 0 + 60 0). În trigonometrie există formule de reducere care în acest caz, va veni la îndemână. Aceasta este formula:
- sin (π + x) = - sin (x)
Astfel, sinusul unui unghi de 240 de grade este egal cu:
- sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2
În cazul nostru, x = 60 și, respectiv, P 180 de grade. Am găsit valoarea (-√3/2) din tabelul de valori ale funcțiilor unghiurilor standard.
În acest fel, unghiurile non-standard pot fi extinse, de exemplu: 210 = 180 + 30.
Identități trigonometrice- acestea sunt egalități care stabilesc o relație între sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .
La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.
Găsirea tangentei și cotangentei folosind sinus și cosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți la el, atunci prin definiție ordonata y este un sinus, iar abscisa x este un cosinus. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.
Să adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile se vor menține, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z, z este un întreg.
Relația dintre tangentă și cotangentă
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.
Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt numere reciproc inverse.
Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha este egală cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha diferit de \pi z.
Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice
Exemplul 1
Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Arată soluția
Soluţie
Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Această ecuație are 2 soluții:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Pentru a găsi bronz \alpha, folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Exemplul 2
Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Arată soluția
Soluţie
Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr dat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.
Definiție geometrică
|BD| - lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.
Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .
Cotangent ( ctg α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .
Tangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.
Graficul funcției tangente, y = tan x
Cotangentă
Unde n- întreg.
În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:
.
De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:
;
;
.
Graficul funcției cotangente, y = ctg x
Proprietățile tangentei și cotangentei
Periodicitate
Funcțiile y = tg xși y = ctg x sunt periodice cu perioada π.
Paritate
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.
Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere
Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Domeniul de aplicare și continuitatea | ||
| Gama de valori | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Crescând | - | |
| Descendentă | - | |
| Extreme | - | - |
| Zerouri, y = 0 | ||
| Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Expresii folosind sinus și cosinus
;
;
;
;
;
Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență
Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu
Produsul tangentelor
Formula pentru suma și diferența tangentelor
Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului. 
Expresii folosind numere complexe
Expresii prin funcții hiperbolice
;
;
Derivate
; .
.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>
Integrale
Extinderi de serie
Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xȘi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, . Aceasta produce următoarele formule.
La .
la .
Unde Bn- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei lui Laplace: 
Funcții inverse
Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.
Arctangent, arctg
, Unde n- întreg.
Arccotangent, arcctg
, Unde n- întreg.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru lucrători științificiși ingineri, 2012.
Vom începe studiul nostru de trigonometrie cu triunghiul dreptunghic. Să definim ce sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.
Să vă reamintim că unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate de unghi rotit.
Colt ascutit- sub 90 de grade.
Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „obtuz” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)
Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat cu . Vă rugăm să rețineți că latura opusă colțului este indicată de aceeași literă, doar mică. Astfel, latura opusă unghiului A este desemnată .
Unghiul este indicat de corespunzătoare Literă greacă.
Ipotenuză a unui triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.
Picioarele- laturile situate opuse unghiurilor ascuțite.
Piciorul situat opus unghiului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe una dintre laturile unghiului, se numește adiacent.
Sinusul Unghiul ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre latura opusă ipotenuzei:
Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:
Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura opusă și cea adiacentă:
O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unghiului și cosinusul său:
Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre latura adiacentă și opusul (sau, ceea ce este același, raportul dintre cosinus și sinus):
Observați mai jos relațiile de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Ne vor fi de folos atunci când rezolvăm probleme.
Să demonstrăm unele dintre ele.
Bine, am dat definiții și am notat formule. Dar de ce mai avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?
Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este egală cu.
Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .
Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând cele două laturi ale unui triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Aceasta înseamnă că unghiurile au propriul raport, iar laturile au propriul lor raport. Dar ce ar trebui să faci dacă într-un triunghi dreptunghic cunoști un unghi (cu excepția unghiului drept) și o latură, dar trebuie să găsești celelalte laturi?
Aceasta este ceea ce oamenii în trecut au întâlnit când făceau hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.
Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcții unghiulare trigonometrice- da relatii intre petreceriȘi colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.
De asemenea, vom desena un tabel cu valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile „bune” de la până la.
Vă rugăm să rețineți cele două linii roșii din tabel. La valorile unghiulare adecvate, tangenta și cotangenta nu există.
Să ne uităm la mai multe probleme de trigonometrie din FIPI Task Bank.
1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .
Problema este rezolvată în patru secunde.
Deoarece , .
2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .
Să-l găsim folosind teorema lui Pitagora.
Problema este rezolvată.
Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și. Amintiți-vă raporturile de bază pentru ei pe de rost!
Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.
Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.
Ne-am uitat la probleme de rezolvare a triunghiurilor dreptunghiulare - adică găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! ÎN Opțiuni pentru examenul de stat unificat la matematică există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului extern al unui triunghi. Mai multe despre asta în următorul articol.
Se încarcă...