Notă. Aceasta face parte dintr-o lecție cu probleme de geometrie (secțiunea de paralelogram). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este aici, scrieți despre ea pe forum. Pentru a indica acțiunea de recuperare rădăcină pătrată in rezolvarea problemelor se foloseste simbolul √ sau sqrt(), cu expresia radicala indicata in paranteze.
Material teoretic
Explicații pentru formulele pentru găsirea ariei unui paralelogram:
- Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre lungimea uneia dintre laturile sale și înălțimea acelei laturi
- Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre cele două laturi adiacente ale sale și sinusul unghiului dintre ele
- Aria unui paralelogram este egală cu jumătate din produsul diagonalelor sale și sinusul unghiului dintre ele
Probleme la găsirea ariei unui paralelogram
Sarcină.Într-un paralelogram, înălțimea mai scurtă și latura mai scurtă sunt de 9 cm și, respectiv, rădăcina de 82. Diagonala mai mare este de 15 cm. Aflați aria paralelogramului.
Soluţie.
Să notăm înălțimea mai mică a paralelogramului ABCD coborât din punctul B la baza mai mare AD ca BK.
Să aflăm valoarea piciorului triunghi dreptunghic ABK format dintr-o înălțime mai mică, o latură mai mică și o parte dintr-o bază mai mare. Conform teoremei lui Pitagora:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Să extindem baza superioară a paralelogramului BC și să coborâm înălțimea AN până la aceasta de la baza sa inferioară. AN = BK ca laturile dreptunghiului ANBK. Să găsim catetul NC al triunghiului dreptunghic rezultat ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12
Acum să găsim baza mai mare BC a paralelogramului ABCD.
BC = NC - NB
Să luăm în considerare că NB = AK ca laturile dreptunghiului, atunci
BC = 12 - 1 = 11
Aria unui paralelogram este egală cu produsul bazei și înălțimea acestei baze.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Răspuns: 99 cm 2 .
Sarcină
În paralelogramul ABCD, perpendiculara BO este coborâtă pe diagonala AC. Aflați aria paralelogramului dacă AO=8, OC=6 și BO=4.
Soluţie.
Să aruncăm o altă perpendiculară DK pe diagonala AC.
În consecință, triunghiurile AOB și DKC, COB și AKD sunt egale în perechi. Una dintre laturi este partea opusă a paralelogramului, unul dintre unghiuri este un unghi drept, deoarece este perpendicular pe diagonală, iar unul dintre unghiurile rămase este o cruce internă care se află pentru laturile paralele ale paralelogramului și secantei. diagonală.
Astfel, aria paralelogramului este egală cu aria triunghiurilor indicate. Acesta este
Sparallel = 2S AOB + 2S BOC
Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor. Unde
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Răspuns: 56 cm 2 .
Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate problemele 1-13 Examinare de stat unificată de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicație vizuală concepte complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.
La rezolvarea problemelor pe această temă, cu excepția proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:
- Bisectoarea unui unghi interior al unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta
- Bisectoarele unghiurilor interioare adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
- Bisectoarele care provin din colțurile interioare opuse ale unui paralelogram sunt paralele între ele sau se află pe aceeași linie dreaptă
- Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
- Aria unui paralelogram este egală cu jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele
Să luăm în considerare problemele în care sunt utilizate aceste proprietăți.
Sarcina 1.
Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și continuarea laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE = 4, DM = 3.
Soluţie.
1. Triunghiul CMD este isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.
2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetrul ABCD = 20 cm.
Răspuns. 20 cm.
Sarcina 2.
Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că acest patrulater este un paralelogram.
Soluţie.
1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, conform condițiilor problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.
2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte față de dreapta AD. BE = CF. Prin urmare, linia dreaptă BC || ANUNȚ. (*)
3. Fie AL altitudinea triunghiului ACD, BK altitudinea triunghiului BCD. Deoarece, conform condițiilor problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.
4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte față de linia dreaptă CD. AL = BK. Prin urmare, linia dreaptă AB || CD (**)
5. Din condiții (*), (**) rezultă că ABCD este un paralelogram.
Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.
Sarcina 3.
Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M, respectiv H, astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,
Soluţie.
1. În triunghi DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Într-un triunghi dreptunghic DHC Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Sarcina 4. Una dintre diagonalele unui paralelogram cu lungimea de 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală. Soluţie.
1. AO = 2√6. 2. Aplicăm teorema sinusului triunghiului AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Raspuns: 12.
Sarcina 5. Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor. Soluţie.
Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului este egal cu φ. 1. Să numărăm două diferite S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Obținem egalitatea 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Folosind relația dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Să creăm un sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Să înmulțim a doua ecuație a sistemului cu 2 și să o adăugăm la prima. Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24. Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24. Raspuns: 24.
Sarcina 6. Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 de grade. Aflați aria paralelogramului. Soluţie.
1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD. Să luăm în considerare asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Avem un sistem Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 · d 2 √2 = 80 sau d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Notă:În această problemă și în cea anterioară nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, anticipând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria. Raspuns: 10. Sarcina 7. Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici. Soluţie.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Să facem o înlocuire în formulă. Obținem 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Prin urmare, sin ВAD = 4/5. 2. Să găsim cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. În funcție de condițiile problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala ВD va fi mai mică dacă unghiul ВАD este acut. Atunci cos VAD = 3 / 5. 3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Raspuns: 145.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie? site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă. Aria unei figuri geometrice- o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea. a b sin α Unde S este aria trapezului, Un paralelogram este o figură patruunghiulară ale cărei laturi opuse sunt paralele și egale în perechi. Unghiurile sale opuse sunt și ele egale, iar punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului le împarte la jumătate, fiind centrul de simetrie al figurii. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt forme geometrice precum pătratul, dreptunghiul și rombul. Aria unui paralelogram poate fi găsită în diferite moduri, în funcție de ce date inițiale sunt folosite pentru a formula problema. S = DC ∙ h unde S este aria paralelogramului; Această formulă este foarte ușor de înțeles și de reținut dacă te uiți la următoarea figură. După cum puteți vedea din această imagine, dacă tăiem un triunghi imaginar în stânga paralelogramului și îl atașăm la dreapta, rezultatul va fi un dreptunghi. După cum știți, aria unui dreptunghi se găsește înmulțind lungimea cu înălțimea sa. Numai în cazul unui paralelogram lungimea va fi baza, iar înălțimea dreptunghiului va fi înălțimea paralelogramului coborât pe o latură dată. S = AD∙AB∙sinα unde AD, AB sunt baze adiacente care formează un punct de intersecție și un unghi a între ele; S = ½∙AC∙BD∙sinβ unde AC, BD sunt diagonalele paralelogramului;
(
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic catetul care se află opus unghiului de 30° este egal cu jumătate din ipotenuză).
modurile zonei sale.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
Formulele ariei triunghiulare
Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris, Formule de suprafață pătrată
Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale.
Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale. S= 1
2
2
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.Formula zonei dreptunghiulare
Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale
unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului. Formule cu arii de paralelogram
Aria unui paralelogram
Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.Formule pentru aria unui romb
Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.Formule ale zonei trapezoidale
- lungimile bazelor trapezului,
- lungimile laturilor trapezului,
Caracteristica cheie a unui paralelogram, foarte des folosită atunci când îi găsim aria, este înălțimea acestuia. Înălțimea unui paralelogram este de obicei numită perpendiculară trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă unui segment drept care formează acea latură.
a - bază;
h este înălțimea trasă la baza dată.
α este unghiul dintre bazele AD și AB.
β este unghiul dintre diagonale.
Se încarcă...