Când studiază matematica, elevii încep să se familiarizeze cu diferite tipuri de forme geometrice. Astăzi ne vom concentra asupra diferitelor tipuri de triunghiuri.
Definiție
Formele geometrice care sunt formate din trei puncte care nu sunt pe aceeași linie dreaptă se numesc triunghiuri.
Liniile care leagă punctele se numesc laturi, iar punctele se numesc vârfuri. Vârfurile sunt indicate cu majuscule latine, de exemplu: A, B, C.
Laturile sunt desemnate prin numele celor două puncte din care sunt compuse - AB, BC, AC. Încrucișând, părțile laterale formează colțuri. Partea de jos este considerată baza figurii.
Orez. 1. Triunghiul ABC.
Tipuri de triunghiuri
Triunghiurile sunt clasificate după unghiuri și laturi. Fiecare tip de triunghi are propriile sale proprietăți.
Există trei tipuri de triunghiuri de colț:
- unghi ascuțit;
- dreptunghiular;
- obtuz.
Toate unghiurile unghiular acut triunghiurile sunt ascuțite, adică măsura gradului fiecăruia nu este mai mare de 90 0.
Dreptunghiular un triunghi conține un unghi drept. Celelalte două unghiuri vor fi întotdeauna ascuțite, pentru că altfel suma unghiurilor triunghiului va depăși 180 de grade, ceea ce este imposibil. Latura care este opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două catete. Ipotenuza este întotdeauna mai mare decât catetul.
Obtuz un triunghi conține un unghi obtuz. Adică un unghi mai mare de 90 de grade. Celelalte două colțuri dintr-un astfel de triunghi vor fi ascuțite.
Orez. 2. Tipuri de triunghiuri în colțuri.
Un triunghi pitagoreic este un dreptunghi ale cărui laturi sunt egale cu 3, 4, 5.
În plus, partea mare este ipotenuza.
Astfel de triunghiuri sunt adesea folosite pentru a compune probleme simple de geometrie. Prin urmare, rețineți: dacă cele două laturi ale triunghiului sunt egale cu 3, atunci a treia va fi neapărat 5. Acest lucru va simplifica calculele.
Tipuri de triunghiuri pe laturi:
- echilateral;
- isoscel;
- versatil.
Echilateral un triunghi este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Toate unghiurile unui astfel de triunghi sunt egale cu 60 0, adică este întotdeauna unghiular ascuțit.
Isoscel triunghi - un triunghi în care doar două laturi sunt egale. Aceste laturi sunt numite laterale, iar a treia se numește bază. În plus, unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale și întotdeauna ascuțite.
Versatil sau un triunghi arbitrar este un triunghi în care toate lungimile și toate unghiurile nu sunt egale între ele.
Dacă în problemă nu există clarificări despre figură, atunci se consideră că vorbim despre un triunghi arbitrar.
Orez. 3. Tipuri de triunghiuri pe laturi.
Suma tuturor unghiurilor unui triunghi, indiferent de tipul acestuia, este 1800.
Opus colțului mai mare se află latura mai mare. Și, de asemenea, lungimea oricărei laturi este întotdeauna mai mică decât suma celorlalte două laturi ale sale. Aceste proprietăți sunt confirmate de teorema inegalității triunghiului.
Există conceptul de triunghi de aur. Acesta este un triunghi isoscel, în care două laturi sunt proporționale cu baza și egale cu un anumit număr. Într-o astfel de figură, unghiurile sunt proporționale cu raportul de 2: 2: 1.
Sarcină:
Există un triunghi ale cărui laturi sunt de 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Soluţie:
Pentru a rezolva această problemă, trebuie să utilizați inegalitatea a
Ce am învățat?
Din acest material de la cursul de matematică clasa a V-a am aflat că triunghiurile se clasifică după laturi și unghiuri. Triunghiurile au anumite proprietăți care pot fi folosite pentru a rezolva probleme.
Triunghi este un poligon cu 3 laturi (sau 3 colțuri). Laturile unui triunghi sunt adesea notate cu litere mici care corespund literelor mari care denotă vârfurile din spate.
Triunghi acut numit triunghi, în care toate cele trei colțuri sunt ascuțite.
Triunghi obtuz numit triunghi, în care unul dintre unghiuri este obtuz.
Triunghi dreptunghiular se numește un triunghi, în care unul dintre unghiuri este o linie dreaptă, cu alte cuvinte, este egal cu 90 °; laturile a, b care formează un unghi drept se numesc picioare; latura c opusă unghiului drept se numește ipotenuză.
Triunghi isoscel numit triunghi, în care cele două laturi ale sale sunt egale (a = c); aceste partide egale sunt numite lateral, A treia parte este apelată baza triunghiului.
Triunghi echilateral numit triunghi, în care toate laturile sale sunt egale (a = b = c). În cazul în care niciuna dintre laturile sale (abc) nu este egală într-un triunghi, atunci aceasta este triunghi fără laturi.
Principalele caracteristici ale triunghiurilor
În orice triunghi:
Teste de egalitate pentru triunghiuri
Triunghiurile sunt egale, în cazul în care ale lor sunt, respectiv, egale:
Teste de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare
Două triunghiuri dreptunghiulare sunt egale, caz în care se execută unul dintre următoarele criterii:
Înălţimetriunghi este o perpendiculară căzută de la orice vârf spre partea opusă (sau continuarea acesteia). Această parte se numește baza triunghiului... Cele trei înălțimi ale triunghiului se intersectează întotdeauna într-un punct, numit ortocentrul triunghiului.
Ortocentrul unui triunghi unghiular acut este situat în interiorul triunghiului, iar ortocentrul unui triunghi obtuz este în exterior; ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
Median este un segment de linie care leagă orice vârf al triunghiului cu mijlocul părții din spate. Trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care se află întotdeauna în interiorul triunghiului și este centrul său de masă. Acest punct împarte fiecare mediană într-un raport de 2: 1 din partea de sus.
Bisectoare este un segment al bisectoarei unghiului de la vârf până la punctul de intersecție cu reversul. Trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care se află întotdeauna în interiorul triunghiului și este centrul cercului înscris. Bisectoarea împarte partea din spate proporțional cu laturile adiacente.
Mediana perpendiculară este o perpendiculară trasată de la mijlocul unui segment de dreaptă (partea). Cele trei perpendiculare mediane ale triunghiului se intersectează într-un punct, care este centrul cercului circumscris.
Într-un triunghi cu unghi ascuțit, acest punct se află în interiorul triunghiului, într-un triunghi obtuz - în exterior, într-un dreptunghiular - în mijlocul ipotenuzei. Ortocentrul, centrul de masă, centrul descrisului și centrul cercului înscris coincid exclusiv într-un triunghi echilateral.
Axioma lui Pitagora
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Confirmarea axiomei lui Pitagora
Construiți un pătrat AKMB folosind ipotenuza AB ca latură. Apoi extindem laturile triunghiului dreptunghic ABC astfel încât să obținem pătratul CDEF, a cărui latură este egală cu a + b. Acum este clar că aria pătratului CDEF este egală cu (a + b) 2. Pe de altă parte, această zonă este egală cu suma ariilor a patru triunghiuri dreptunghiulare și pătratul AKMB, cu alte cuvinte ,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
si avem absolut:
c 2 = a 2 + b 2.
Raportul de aspect într-un triunghi aleatoriu
În cazul general (pentru un triunghi aleatoriu) avem:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
unde C este unghiul dintre laturile a și b.
În plus față de site:
Astăzi mergem în țara Geometriei, unde ne vom familiariza cu diferite tipuri de triunghiuri.
Luați în considerare formele geometrice și găsiți printre ele „de prisos” (Fig. 1).
Orez. 1. Ilustrație de exemplu
Vedem că figurile # 1, 2, 3, 5 sunt patrulatere. Fiecare dintre ele are propriul nume (Fig. 2).
Orez. 2. Patraunghiuri
Aceasta înseamnă că figura „în plus” este un triunghi (Fig. 3).
Orez. 3. Ilustrație de exemplu
Un triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi.
Punctele sunt numite vârfurile triunghiului, segmente - it petreceri... Laturile triunghiului formează sunt trei colțuri la vârfurile triunghiului.
Principalele semne ale unui triunghi sunt trei laturi si trei colturi. Din punct de vedere al unghiului, triunghiurile sunt unghi ascuțit, dreptunghiular și unghi obtuz.
Un triunghi se numește unghi ascuțit dacă toate cele trei colțuri sunt acute, adică mai puțin de 90 ° (Fig. 4).
Orez. 4. Triunghi unghiular acut
Un triunghi se numește dreptunghiular dacă unul dintre colțurile sale are 90 ° (Fig. 5).
Orez. 5. Triunghi dreptunghic
Un triunghi se numește obtuz dacă unul dintre colțurile sale este obtuz, adică mai mult de 90 ° (Fig. 6).
Orez. 6. Triunghi obtuz
După numărul de laturi egale, triunghiurile sunt echilaterale, isoscele, versatile.
Un triunghi isoscel este un triunghi ale cărui două laturi sunt egale (Fig. 7).
Orez. 7. Triunghi isoscel
Aceste partide sunt chemate lateral, a treia parte - bază. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Triunghiurile isoscele sunt unghiular acut si unghiul obtuz(fig. 8) .
Orez. 8. Triunghiuri isoscele acute și obtuze
Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale (Fig. 9).
Orez. 9. Triunghi echilateral
Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale. Triunghiuri echilaterale mereu unghiular acut.
Un triunghi se numește versatil, în care toate cele trei laturi au lungimi diferite (Fig. 10).
Orez. 10. Triunghi versatil
Finalizați sarcina. Împărțiți aceste triunghiuri în trei grupe (fig. 11).
Orez. 11. Ilustrație pentru sarcină
În primul rând, distribuim după mărimea unghiurilor.
Triunghiuri acute: nr. 1, nr. 3.
Triunghiuri dreptunghiulare: nr. 2, nr. 6.
Triunghiuri obtuze: nr. 4, nr. 5.
Vom distribui aceleași triunghiuri în grupuri în funcție de numărul de laturi egale.
Triunghiuri versatile: nr. 4, nr. 6.
Triunghiuri isoscele: nr. 2, nr. 3, nr. 5.
Triunghi echilateral: nr. 1.
Luați în considerare desenele.
Gândiți-vă ce bucată de sârmă ați făcut fiecare triunghi (fig. 12).
Orez. 12. Ilustrație pentru sarcină
Poți să raționezi așa.
Prima bucată de sârmă este împărțită în trei părți egale, astfel încât din ea se poate face un triunghi echilateral. În figură, el este prezentat ca al treilea.
A doua bucată de sârmă este împărțită în trei părți diferite, astfel încât să puteți face un triunghi versatil din ea. El este prezentat primul în figură.
A treia bucată de sârmă este împărțită în trei părți, unde cele două părți au aceeași lungime, ceea ce înseamnă că din ea se poate face un triunghi isoscel. În figură, el este prezentat ca al doilea.
Astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu diferitele tipuri de triunghiuri.
Bibliografie
- M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa 3: în 2 părți, partea 1. - M .: „Educație”, 2012.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova şi alţii.Matematică: Manual. Clasa a 3-a: în 2 părți, partea a 2-a. - M .: „Educație”, 2012.
- M.I. Moreau. Lecții de matematică: orientări pentru profesori. Clasa 3. - M .: Educație, 2012.
- Act normativ normativ. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. - M .: „Educația”, 2011.
- „Școala Rusiei”: programe pentru școala elementară. - M .: „Educația”, 2011.
- SI. Volkova. Matematică: Lucrări de verificare. Clasa 3. - M .: Educație, 2012.
- V.N. Rudnitskaia. Teste. - M .: „Examen”, 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Teme pentru acasă
1. Completează frazele.
a) Un triunghi este o figură formată din ..., care nu se află pe o singură linie dreaptă, și ..., care leagă aceste puncte în perechi.
b) Se numesc puncte … , segmente - it … ... Laturile triunghiului se formează la vârfurile triunghiului ….
c) Din punct de vedere al unghiului, triunghiurile sunt…,…,….
d) După numărul de laturi egale, triunghiurile sunt…,…,….
2. Desenați
a) un triunghi dreptunghic;
b) triunghi unghiular ascutit;
c) triunghi obtuz;
d) un triunghi echilateral;
e) triunghi versatil;
f) triunghi isoscel.
3. Faceți o temă pe tema lecției pentru colegii tăi.
Poate cea mai simplă, simplă și interesantă figură din geometrie este triunghiul. Într-un curs de liceu, proprietățile sale de bază sunt studiate, dar uneori cunoștințele pe această temă se formează incomplet. Tipurile de triunghiuri determină inițial proprietățile lor. Dar această viziune rămâne amestecată. Prin urmare, acum vom analiza acest subiect mai detaliat.
Tipurile de triunghiuri depind de gradul de măsurare a unghiurilor. Aceste figuri sunt acute, dreptunghiulare și obtuze. Dacă toate unghiurile nu depășesc 90 de grade, atunci figura poate fi numită în siguranță cu unghi ascuțit. Dacă cel puțin un unghi al triunghiului este de 90 de grade, atunci ai de-a face cu o subspecie dreptunghiulară. În consecință, în toate celelalte cazuri, cel considerat se numește obtuz.
Există multe probleme pentru subspeciile cu unghi acut. O trăsătură distinctivă este locația internă a punctelor de intersecție a bisectoarelor, medianelor și înălțimilor. În alte cazuri, această condiție poate să nu fie îndeplinită. Nu este dificil să se determine tipul de formă „triunghi”. Este suficient să cunoaștem, de exemplu, cosinusul fiecărui unghi. Dacă oricare dintre valori este mai mică decât zero, atunci triunghiul este oricum obtuz. Dacă exponentul este zero, figura are un unghi drept. Toate valorile pozitive sunt garantate pentru a vă spune că aceasta este o vedere în unghi ascuțit.
Este imposibil să nu spunem despre triunghiul obișnuit. Aceasta este cea mai ideală vedere, unde toate punctele de intersecție ale medianelor, bisectoarelor și înălțimii coincid. Centrul cercului înscris și circumscris se află și el în același loc. Pentru a rezolva probleme, trebuie să cunoașteți doar o latură, deoarece unghiurile vă sunt date inițial, iar celelalte două laturi sunt cunoscute. Adică, forma este specificată de un singur parametru. Caracteristica lor principală este egalitatea a două laturi și unghiuri la bază.
Uneori întrebarea este dacă există un triunghi cu laturile date. De fapt, ești întrebat dacă această descriere se potrivește principalelor tipuri. De exemplu, dacă suma celor două laturi este mai mică decât a treia, atunci în realitate o astfel de cifră nu există deloc. Dacă sarcina este rugată să găsească cosinusurile unghiurilor unui triunghi cu laturile 3,5,9, atunci aici evident poate fi explicat fără trucuri matematice complexe. Să presupunem că doriți să ajungeți de la punctul A la punctul B. Distanța în linie dreaptă este de 9 kilometri. Cu toate acestea, v-ați amintit că trebuie să mergeți la punctul C din magazin. Distanța de la A la C este de 3 kilometri, iar de la C la B - 5. Astfel, reiese că, deplasându-te prin magazin, vei merge cu un kilometru mai puțin. Dar din moment ce punctul C nu este situat pe linia AB, va trebui să parcurgeți o distanță suplimentară. Aici apare o contradicție. Aceasta este, desigur, o explicație condiționată. Matematica cunoaște mai multe moduri de a demonstra că toate tipurile de triunghiuri se supun identității de bază. Se spune că suma celor două laturi este mai mare decât lungimea celei de-a treia.
Orice specie are următoarele proprietăți:
1) Suma tuturor unghiurilor este de 180 de grade.
2) Există întotdeauna un ortocentru - punctul de intersecție al tuturor celor trei înălțimi.
3) Toate cele trei mediane, trase din vârfurile colțurilor interioare, se intersectează într-un singur loc.
4) În jurul oricărui triunghi, puteți descrie un cerc. De asemenea, este posibil să se înscrie cercul astfel încât să aibă doar trei puncte de contact și să nu depășească laturile exterioare.
Acum sunteți familiarizat cu proprietățile de bază pe care le au diferitele tipuri de triunghiuri. Pe viitor, este important să înțelegeți cu ce aveți de-a face atunci când rezolvați o problemă.
Triunghiuri
Triunghi se numește o figură, care constă din trei puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Punctele sunt numite culmi un triunghi, iar segmentele de linie sunt ale acestuia petreceri.
Tipuri de triunghiuri
Triunghiul se numește isoscel, dacă cele două laturi ale lui sunt egale. Aceste laturi egale sunt numite laturile laterale, iar tertul este chemat bază triunghi.
Se numește un triunghi în care toate laturile sunt egale echilateral sau corect.
Triunghiul se numește dreptunghiular, dacă are un unghi drept, adică un unghi de 90 °. Latura unui triunghi dreptunghic opus unui unghi drept se numește ipotenuză, celelalte două părţi sunt chemate picioare.
Triunghiul se numește unghiular acut dacă toate cele trei colțuri sunt ascuțite, adică mai puțin de 90 °.
Triunghiul se numește obtuz dacă unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică mai mult de 90 °.
Principalele linii ale triunghiului
Median
Median Un triunghi este un segment de linie care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi. 
Proprietățile medianelor unui triunghi
Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de suprafață egală.
Medianele triunghiului se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2: 1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate triunghi.
Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.
Bisectoare
Bisectoarea unghiului- aceasta este o rază care emană din vârful ei, trece printre laturile sale și împarte acest unghi în jumătate. Bisectoarea unui triunghi este segmentul bisectoarei unghiului unui triunghi care leagă vârful cu un punct de pe latura opusă acestui triunghi. 
Proprietățile bisectoarelor unui triunghi
Înălţime
Înălţime triunghiul se numește perpendiculară trasată de la vârful triunghiului la linia care conține latura opusă a acestui triunghi. 
Proprietățile cotei triunghiului
V triunghi dreptunghicînălțimea trasă de la vârful unghiului drept îl împarte în două triunghiuri, asemănătoare original.
V triunghi unghiular ascutit cele două înălțimi ale lui tăiate de el asemănătoare triunghiuri.
Mediana perpendiculară
O linie dreaptă care trece prin mijlocul unui segment perpendicular pe acesta se numește perpendiculară mijlocie la segment .
Proprietățile perpendicularelor punctului mijlociu ale unui triunghi
Fiecare punct al punctului mijlociu perpendicular pe segment este echidistant de capetele acestui segment. Este adevărat și invers: fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe perpendiculară pe acesta.
Punctul de intersecție al perpendicularelor pe laturile triunghiului este centrul un cerc circumscris acestui triunghi.
linia de mijloc
Linia de mijloc a triunghiului se numește segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.
Proprietatea liniei mediane a unui triunghi
Linia de mijloc a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și este egală cu jumătate din această latură.
Formule și rapoarte
Teste de egalitate pentru triunghiuri
Două triunghiuri sunt egale dacă sunt, respectiv, egale:
două laturi și unghiul dintre ele;
două colțuri și partea adiacentă acestora;
trei laturi.
Teste de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare
Două triunghi dreptunghic sunt egale dacă sunt, respectiv, egale: 
ipotenuzăși un unghi ascuțit;
piciorși colțul opus;
piciorși unghiul adiacent;
Două picior;
ipotenuzăși picior.
Asemănarea triunghiurilor
Două triunghiuri Sunt asemănătoare, dacă una dintre următoarele condiții, apelat semne de asemănare:
două colțuri ale unui triunghi sunt egale cu două colțuri ale altui triunghi;
cele două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale celuilalt triunghi, iar unghiurile formate de aceste laturi sunt egale;
cele trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proportionale cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi.
În astfel de triunghiuri, liniile corespunzătoare ( înălțimi, mediane, bisectoare etc.) sunt proporţionale.
Teorema sinusului
Laturile triunghiului sunt proporționale cu sinusurile unghiurilor opuse, iar raportul de aspect este diametru
un cerc circumscris unui triunghi:
Teorema cosinusului
Pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele:
A 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Formulele ariilor pentru un triunghi
Triunghi arbitrar
a, b, c - petreceri; - unghiul dintre laturi Ași b; - semiperimetrul; R - raza cercului circumscris; r - raza cercului înscris; S - pătrat; h A - elevație laterală A.
Se încarcă ...