Împreună cu editura "" publicăm un extras din cartea profesorului de matematică aplicată Edward Sheinerman "Un ghid pentru cei îndrăgostiți de matematică", dedicat întrebărilor non-standard de matematică fascinantă, puzzle-uri, universul numerelor și cifre. Traducere din engleză de Alexey Ognev.
Acest capitol povestește despre faimoasele numere Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 etc. Această serie a fost numită după Leonardo de Pisa, mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci. Leonardo de Pisa (1170–1250) a fost unul dintre primii mari matematicieni ai Europei medievale. Porecla lui Fibonacci înseamnă „fiul lui Bonacci”. Autorul „Cărții Abacului”, stabilind sistemul numeric zecimal.
Pătrate și domino
Să începem prin stivuirea de pătrate și domino. Imaginați-vă un cadru orizontal lung care măsoară 1 × 10. Vrem să-l umplem complet cu 1 × 1 pătrate și 1 × 2 domino fără a lăsa un singur spațiu. Iată o imagine:
Întrebarea este: în câte moduri se poate face acest lucru?
Pentru comoditate, permiteți-ne să desemnăm numărul de opțiuni ca F10. Să le parcurgi pe toate și apoi să le numeri este o muncă grea, plină de greșeli. Este mult mai bine să simplificați sarcina. Să nu începem să căutăm F10 chiar de pe bat, să începem cu F1. Este la fel de ușor ca decojirea perelor! Trebuie să umplem cadrul 1 × 1 cu 1 × 1 pătrate și 1 × 2 domino. Domino-urile nu se vor potrivi, rămâne singura soluție: luați un pătrat. Cu alte cuvinte, F1 = 1.
Acum să ne ocupăm de F2. Dimensiunea cadrului 1 × 2. O puteți umple cu două pătrate sau un singur domino. Deci, există două opțiuni și F2 = 2.
În continuare: în câte moduri puteți umple un cadru 1 × 3? Prima opțiune: trei pătrate. Alte două opțiuni: un domino (două nu se vor potrivi) și un pătrat la stânga sau la dreapta. Deci, F3 = 3. Încă un pas: faceți un cadru 1 × 4. Figura arată toate opțiunile pentru umplere:
Am găsit cinci oportunități, dar unde este garanția că nu am ratat nimic? Există o modalitate de a te testa. Poate exista fie un pătrat, fie un domino la capătul stâng al cadrului. În rândul de sus din figură - opțiuni când stânga este un pătrat, în rândul de jos - când domino este în stânga.
Să presupunem că există un pătrat în stânga. Restul trebuie umplut cu pătrate și domino. Cu alte cuvinte, trebuie să completați cadrul 1 × 3. Aceasta oferă 3 opțiuni, deoarece F3 = 3. Dacă există un domino în stânga, dimensiunea părții rămase este 1 × 2 și o puteți completa două opțiuni, deoarece F2 = 2.
Astfel, avem 3 + 2 = 5 opțiuni și ne-am asigurat că F4 = 5.
Acum tu. Gândiți-vă câteva minute și găsiți toate opțiunile de umplere pentru un cadru 1 × 5. Nu sunt multe. Soluția este la sfârșitul capitolului. Vă puteți distrage atenția și gândiți.
Să ne întoarcem la piețele noastre. Aș vrea să cred că ați găsit 8 opțiuni, deoarece există 5 moduri de stivuire, unde există un pătrat în stânga și încă 3 moduri, în care există un domino în stânga. Deci F5 = 8.
Să rezumăm. Notăm cu FN numărul de moduri de a umple cadrul cu 1 × n pătrate și domino. Trebuie să găsim F10. Iată ce știm deja:
Trecând peste. Ce este F6? Puteți desena toate opțiunile, dar este plictisitor. Ar fi bine să împărțim întrebarea în două părți. În câte moduri puteți umple un cadru 1 × 6 dacă în stânga este (a) un pătrat și (b) un domino? Vești bune: știm deja răspunsul! În primul caz, rămânem cu cinci pătrate și știm că F5 = 8. În al doilea caz, trebuie să completăm patru pătrate; știm că F4 = 5. Astfel, F5 + F4 = 13.
Ce este F7? Pe baza acelorași considerații, F7 = F6 + F5 = 13 + 8 = 21. Dar F8? Evident, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. Și așa mai departe. Am găsit următoarea relație: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Mai sunt câțiva pași - și vom găsi numărul necesar F10. Răspunsul corect este la sfârșitul capitolului.
Numere Fibonacci
Numerele Fibonacci sunt o succesiune:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Este construit conform următoarelor reguli:
- primele două numere 1 și 1;
- fiecare număr următor se obține prin adăugarea celor două anterioare.
Vom indica al nouălea element al secvenței Fn, începând de la zero: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, ... Calculăm următorul element prin formula: Fn = Fn -1 + Fn-2 ...
După cum putem vedea, problema stivuirii pătratelor și domino-urilor ne-a condus la secvența numerelor Fibonacci [ 1 ]În problema pătratelor și domino-urilor, am aflat: F1 = 1 și F2 = 2. Dar numerele Fibonacci încep cu F0 = 1. Cum este acest lucru de acord cu condițiile problemei? Câte modalități există pentru a umple cadrul 0 × 1 în aceleași condiții? Lungimea pătratului și lungimea domino-urilor, orice ar putea spune, sunt mai mari decât zero, deci există tentația de a spune că răspunsul este zero, dar nu este așa. Dreptunghiul 0 × 1 este deja umplut, nu există goluri; nu avem nevoie de un pătrat sau de un domino. Astfel, există un singur mod de acțiune: să nu luați nici pătrate, nici domino. Înțelegi? În acest caz, vă felicit. Ai un suflet de matematician!
Suma numerelor Fibonacci
Să încercăm să adăugăm primele câteva numere Fibonacci. Ce putem spune despre suma F0 + F1 + ... + Fn pentru orice n? Să facem câteva calcule și să vedem ce se întâmplă. Observați rezultatele adăugării mai jos. Vedeți un model? Așteptați puțin înainte de a merge mai departe: va fi mai bine dacă găsiți singur răspunsul, decât să citiți o soluție gata pregătită.
Sperăm că ați văzut că rezultatele însumării, dacă le adăugați una, se aliniază și într-o succesiune de numere Fibonacci. De exemplu, adăugarea numerelor de la F0 la F5 dă: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Adăugarea numerelor de la F0 la F6 dă 33, care unul mai mic decât F8 = 34. Putem scrie formula pentru numere întregi non-negative n: F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn + 2 –1. (*)
Probabil, pentru dvs. personal, va fi suficient să vedeți că formula [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... funcționează de zeci de ori pentru a vă face să credeți că este corect, dar matematicienii sunt înfometați de dovezi. Suntem bucuroși să vă prezentăm două dovezi posibile că este adevărat pentru toate numerele întregi non-negative n.
Prima se numește dovadă prin inducție, a doua se numește dovadă combinatorie.
Dovadă prin inducție
Formulă [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este un număr infinit de formule sub formă prăbușită. Dovediți că [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. adevărat pentru o anumită valoare a lui n, să spunem pentru n = 6 - o problemă aritmetică simplă. Va fi suficient să scrieți numerele de la F0 la F6 și să le adăugați: F0 + F2 + ... + F6 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 = 33.
Este ușor de văzut că F8 = 34, deci formula funcționează. Să trecem la F7. Să nu pierdem timpul adăugând toate numerele: știm deja suma până la F6. Astfel, (F0 + F1 + ... + F6) + F7 = 33 + 21 = 54. Ca și înainte, totul converge: F9 = 55.
Dacă acum începem să verificăm dacă formula pentru n = 8 funcționează, puterea noastră se va epuiza în cele din urmă. Dar, totuși, să vedem ce știm deja și ce vrem să aflăm:
F0 + F1 + ... + F7 = F9.
F0 + F1 + ... + F7 + F7 =?
Să folosim rezultatul anterior: (F0 + F1 + ... + F7) + F8 = (F9-1) + F8.
Desigur, putem calcula (F9-1) + F8 aritmetic. Dar acest lucru ne va face și mai obosiți. În același timp, știm că F8 + F9 = F10. Astfel, nu este nevoie să calculăm nimic sau să ne uităm în tabelul numerelor Fibonacci:
(F0 + F1 +… + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.
Ne-am asigurat că formula funcționează pentru n = 8 pe baza a ceea ce știam despre n = 7.
În cazul lui n = 9, ne bazăm pe rezultatul pentru n = 8 în același mod (vezi singur). Desigur, după ce am demonstrat că [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. pentru n, putem fi siguri că [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este valabil și pentru n + 1.
Suntem gata să dăm dovezi complete. După cum sa menționat deja, [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este un număr infinit de formule pentru toate valorile lui n de la zero la infinit. Să vedem cum funcționează dovada.
Mai întâi, dovedim [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.în cel mai simplu caz, pentru n = 0. Verificăm pur și simplu că F0 = F0 + 2 - 1. Deoarece F0 = 1 și F2 = 2, evident 1 = 2 - 1 și F0 = F2-1.
Mai mult, este suficient pentru noi să arătăm că corectitudinea formulei pentru o valoare a lui n (să zicem, n = k) înseamnă în mod automat corectitudinea pentru n + 1 (în exemplul nostru, n = k + 1). Trebuie doar să demonstrăm cum funcționează „automat”. Ce trebuie să facem?
Ia un număr k. Să presupunem că știm deja că F0 + F1 + ... + Fk = Fk + 2-1. Căutăm valoarea F0 + F1 + ... + Fk + Fk + 1.
Știm deja suma numerelor Fibonacci până la Fk, așa că obținem:
(F0 + F1 +… + Fk) + Fk + 1 = (Fk + 2-1) + Fk + 1.
Partea dreaptă este egală cu Fk + 2 - 1 + Fk + 1 și știm cu ce este egală suma următoarelor numere Fibonacci:
Fk + 2-1 + Fk + 1 = (Fk + 2 + Fk + 1) - 1 = Fk + 3-1
Să substituim egalitatea noastră:
(F0 + F1 +… + Fk) + Fk + 1 = Fk + 3-1
Acum voi explica ce am făcut. Dacă știm că [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este adevărat atunci când însumăm numerele până la Fk, atunci [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. ar trebui să fie adevărat dacă adăugăm Fk + 1.
Să rezumăm:
Formulă [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este adevărat pentru n = 0.
Dacă formula [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este adevărat pentru n, este valabil și pentru n + 1.
Putem spune cu încredere că [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este adevărat pentru orice valori de n. Este adevarat [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. pentru n = 4987? Acest lucru este valabil dacă expresia este adevărată pentru n = 4986, care se bazează pe corectitudinea expresiei pentru n = 4985 și așa mai departe până la n = 0. Prin urmare, formula [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. este adevărat pentru toate valorile posibile. Această metodă de probă este cunoscută sub numele de inducție matematică (sau dovadă prin inducție)... Verificăm cazul de bază și oferim un șablon prin care fiecare caz următor poate fi dovedit pe baza celui precedent.
Dovadă combinatorie
Iată o complet diferită dovadă a identității [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... Abordarea principală aici este de a profita de faptul că Fn este numărul de moduri de a închide un dreptunghi 1 × n cu pătrate și domino.
Permiteți-mi să vă reamintesc că trebuie să dovedim:
F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2- 1. (*)
Ideea este de a trata ambele părți ale ecuației ca o soluție la problema cu care se confruntă. Dacă dovedim că laturile stânga și dreapta sunt soluții pentru același dreptunghi, ele vor coincide. Această tehnică se numește dovadă combinatorie [ 2 ]Cuvântul „combinatorial” este derivat din substantivul „combinatorică” - numele unei ramuri a matematicii, al cărei subiect contează opțiuni în probleme similare cu care se confruntă un dreptunghi. La rândul său, cuvântul „combinatorică” este derivat din cuvântul „combinație”..
La ce întrebare din combinatorică este ecuația [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. dă două răspunsuri corecte? Acest puzzle este similar cu cele găsite în Jeopardy Show! [ 3 ]Un spectacol de joc popular în SUA. Echivalenții Jeopardy! ieșiți în diferite țări; în Rusia, este „Un joc propriu”. - Aproximativ. ed. unde participanții trebuie să formuleze o întrebare, știind din timp răspunsul corect.
Partea dreaptă pare mai simplă, deci să începem cu ea. Răspuns: Fn + 2– 1. Care este întrebarea? Dacă răspunsul ar fi pur și simplu Fn + 2, am formula cu ușurință întrebarea: în câte moduri putem obera un dreptunghi 1 × (n + 2) folosind pătrate și domino? Aproape de asta aveți nevoie, dar răspunsul este mai mic decât unul. Să încercăm să schimbăm ușor întrebarea și să micșorăm răspunsul. Să eliminăm o opțiune de placare și să recalculăm restul. Dificultatea constă în găsirea unei opțiuni care este radical diferită de restul. Există așa ceva?
Fiecare metodă de placare implică utilizarea de pătrate sau domino. Numai pătratele sunt implicate într-o singură variantă, altele au cel puțin un domino. Să luăm acest lucru ca bază pentru o nouă întrebare.
Întrebare: Câte pătrate și domino sunt disponibile pentru un cadru dreptunghiular 1 × (n + 2) care include cel puțin un domino?
Vom găsi acum două răspunsuri la această întrebare. Deoarece ambele vor fi corecte, putem pune cu încredere un semn egal între numere.
Am discutat deja unul dintre răspunsuri. Există opțiuni de stilare Fn + 2. Doar unul dintre ele implică utilizarea pătratelor exclusiv, fără domino. Astfel, răspunsul # 1 la întrebarea noastră este: Fn + 2-1.
Al doilea răspuns ar trebui să fie - sper - partea stângă a ecuației [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1.... Să vedem cum funcționează.
Este necesar să recalculați opțiunile pentru umplerea cadrului, care includ cel puțin un domino. Să ne gândim unde va fi localizată prima articulație. Există n + 2 poziții, iar prima țiglă poate fi localizată în poziții de la 1 la n + 1.
Luați în considerare cazul n = 4. Căutăm variante de umplere a casetei 1 × 6 care implică cel puțin un domino. Știm răspunsul: F6 - 1 = 13 - 1 = 12, dar trebuie să-l obținem într-un mod diferit.
Prima țiglă domino poate ocupa următoarele poziții:
Prima coloană arată cazul când articulația este în prima poziție, a doua când articulația este în a doua și așa mai departe.
Câte opțiuni există în fiecare coloană?
Prima coloană conține cinci opțiuni. Dacă aruncăm dominoul din stânga, obținem exact F4 = 5 opțiuni pentru un dreptunghi 1 × 4. Cea de-a doua coloană conține trei opțiuni. Aruncați dominoul și pătratul spre stânga. Obținem F3 = 3 opțiuni pentru un dreptunghi 1 × 3. În mod similar pentru alte coloane. Iată ce am găsit:
Astfel, numărul de moduri de a țiglă un cadru dreptunghiular 1 × 6 cu pătrate și domino (cel puțin cu o articulație) este F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.
Concluzie: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 = 12 = F6-1.
Luați în considerare cazul general. Ni se oferă un cadru de lungime n + 2. Câte variante ale umpluturii sale există, în care prima țiglă domino este într-o anumită poziție k? În acest caz, primele poziții k - 1 sunt ocupate de pătrate. Astfel, în total, sunt ocupate k + 1 poziții [ 4 ]Numărul k poate lua valori de la 1 la n + 1, dar nu mai multe, pentru că altfel ultimul domino va ieși din cadru.... Restul (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 poate fi completat în orice mod. Aceasta oferă opțiuni Fn-k + 1. Să construim o diagramă:
Dacă k se schimbă de la 1 la n + 1, valoarea lui n - k + 1 se schimbă de la 0 la n. Astfel, numărul de opțiuni pentru umplerea cadrului nostru folosind cel puțin o țiglă domino este Fn + Fn-1 + ... + F1 + F0.
Dacă punem termenii în ordine inversă, obținem partea stângă a expresiei (*). Astfel, am găsit al doilea răspuns la întrebarea pusă: F0 + F1 + ... + Fn.
Deci, avem două răspunsuri la întrebare. Valorile obținute folosind cele două formule derivate de noi coincid, iar identitatea [ * ]F0 + F1 + F2 +… + Fn = Fn + 2 –1. dovedit.
Raportul Fibonacci și raportul auriu
Adăugarea a două numere Fibonacci consecutive dă următorul număr Fibonacci. În această secțiune, vom atinge o întrebare mai interesantă: ce se întâmplă dacă împărțim numărul Fibonacci la cel care îl precedă în rând? Să calculăm raportul Fk1. Pentru creșterea valorilor k.
În tabel puteți vedea raporturile de la F1 / F0 la F20 / 19.
Cu cât numerele Fibonacci devin mai mari, cu atât raportul Fk + 1 / Fk este mai aproape de o constantă de aproximativ 1,61803. Acest număr este - ați putea fi surprins - suficient de cunoscut încât, dacă îl introduceți într-un motor de căutare, vor cădea o mulțime de pagini despre raportul auriu. Ce este? Raportul numerelor Fibonacci adiacente nu este același. Cu toate acestea, este aproape la fel dacă numerele sunt suficient de mari. Să găsim o formulă pentru numărul 1.61803 și pentru aceasta vom presupune pentru o vreme că toate raporturile sunt aceleași. Să introducem notația x:
x = Fk + 1 / Fk = / Fk + 2 / Fk + 1 = Fk + 3 / Fk + 2 = ...
Aceasta înseamnă că Fk + 1 = xFk, Fk + 2 = xFk + 1 etc. Putem reformula:
Fk + 2 = xFk + 1 = x2> Fk.
Dar știm că Fk + 2 = Fk + 1 + Fk. Astfel, x2> FkFk = xFk + Fk.
Dacă împărțim ambele părți cu Fk și rearanjăm termenii, obținem ecuația pătratică: x2-x-1 = 0. Are două soluții:
Raportul trebuie să fie pozitiv. Așa că am obținut un număr familiar. De obicei, litera greacă φ (phi) este utilizată pentru a indica raportul auriu:
Am observat deja că raportul dintre numerele vecine Fibonacci se apropie (tinde) de φ. Este minunat. Acest lucru ne oferă un alt mod de a calcula valorile aproximative ale numerelor Fibonacci. Secvența numerelor Fibonacci este o serie de F0 F1, F2, F3, F4, F5 ... Dacă toate raporturile Fk + 1 / Fk sunt aceleași, obținem formula:
Aici cu este o altă constantă. Să comparăm valorile rotunjite ale lui Fn și φn pentru n diferite:
Pentru valori mari de n, raportul Fn / φn≈0.723607. Acest număr este exact φ / root5. Cu alte cuvinte,
Rețineți că, dacă rotunjim la cel mai apropiat număr întreg, obținem exact Fn.
Dacă nu doriți să vă deranjați rotunjirea la un număr întreg, atunci formula numită după Jacques Binet [ 5 ]Jacques Binet (1786-1856) a fost un matematician, mecanic și astronom francez. Formula pentru numerele Fibonacci este numită după Binet, deși a fost derivată de Abraham de Moivre (1667–1754) cu aproape o sută de ani mai devreme. - Aproximativ. pe., vă va oferi valoarea exactă:
Umplerea cadrului 1 × 5
Cadrul nostru poate fi umplut cu pătrate și domino în următoarele moduri:
Există F4 = 5 opțiuni, când există un pătrat la început și F3 = 3 opțiuni, când există un domino la început. În total, aceasta oferă F5 = F4 + F3 = 8 opțiuni.
Valoarea F10(răspunsul la următoarea întrebare privind depozitarea) este 89.
Există încă multe mistere nerezolvate în univers, dintre care unii oameni de știință au fost deja capabili să identifice și să descrie. Numerele Fibonacci și raportul de aur formează baza pentru rezolvarea lumii din jur, construind forma și percepția vizuală optimă de către o persoană, cu ajutorul căreia poate simți frumusețe și armonie.
ratia de aur
Principiul determinării mărimii secțiunii aurii se află în centrul perfecțiunii întregii lumi și a părților sale în structura și funcțiile sale, manifestarea ei poate fi văzută în natură, artă și tehnologie. Doctrina raportului de aur a fost stabilită ca urmare a studiilor efectuate de oamenii de știință antici despre natura numerelor.
Se bazează pe teoria proporțiilor și a raporturilor diviziunilor segmentelor, care a fost făcută de filosoful și matematicianul antic Pitagora. El a demonstrat că atunci când împărțim un segment în două părți: X (mai mic) și Y (mai mare), raportul dintre cel mai mare și cel mai mic va fi egal cu raportul dintre suma lor (întregul segment):
Rezultatul este ecuația: x 2 - x - 1 = 0, care se rezolvă ca x = (1 ± √5) / 2.
Dacă luăm în considerare raportul 1 / x, atunci este egal cu 1,618…
Dovada utilizării raportului de aur de către gânditorii antici este dată în cartea lui Euclid „Începuturi”, scrisă în secolul al III-lea. BC, care a aplicat această regulă pentru a construi 5-gons regulat. Dintre pitagoreici, această figură este considerată sacră, deoarece este atât simetrică, cât și asimetrică. Pentagrama simboliza viața și sănătatea.
Numere Fibonacci
Faimoasa carte Liber abaci a unui matematician din Italia Leonardo de Pisa, care mai târziu a devenit cunoscut sub numele de Fibonacci, a fost publicată în 1202. În ea, omul de știință citează pentru prima dată regularitatea numerelor, într-un rând din care fiecare număr este suma a 2 cifre anterioare. Secvența numerelor Fibonacci este după cum urmează:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 etc.
Oamenii de știință au citat, de asemenea, o serie de modele:
- Orice număr din serie, împărțit la următorul, va fi egal cu o valoare care tinde la 0,618. Mai mult, primele numere Fibonacci nu dau un astfel de număr, dar pe măsură ce ne deplasăm de la începutul secvenței, acest raport va deveni din ce în ce mai precis.
- Dacă împărțim numărul din rând cu cel precedent, atunci rezultatul se va grăbi la 1.618.
- Un număr împărțit la următorul după unul va arăta o valoare care tinde la 0,382.
Aplicarea legăturii și legile raportului de aur, numărul Fibonacci (0,618) pot fi găsite nu numai în matematică, ci și în natură, în istorie, în arhitectură și construcții și în multe alte științe.
Arhimede în formă de spirală și dreptunghi auriu
Spiralele, care sunt foarte frecvente în natură, au fost cercetate de Arhimede, care chiar și-a derivat ecuația. Forma spirală se bazează pe legile raportului auriu. Când este neîntoarsă, se obține lungimea, la care se pot aplica proporțiile și numerele Fibonacci, pasul crește uniform.
Paralela dintre numerele Fibonacci și raportul aur poate fi văzută prin construirea unui „dreptunghi auriu” cu laturile proporționale cu 1.618: 1. Este construit, trecând de la un dreptunghi mare la altele mici, astfel încât lungimile laturilor să fie egale cu numerele de pe rând. Construcția sa se poate face în ordine inversă, începând cu caseta „1”. Când colțurile acestui dreptunghi sunt conectate prin linii în centrul intersecției lor, se obține o spirală Fibonacci sau o spirală logaritmică.
Istoria utilizării proporțiilor aurii
Multe monumente arhitecturale antice din Egipt au fost ridicate folosind proporții aurii: faimoasele piramide ale lui Keops și altele.Arhitecții Greciei Antice le-au folosit pe scară largă în construcția de obiecte arhitecturale precum temple, amfiteatre, stadioane. De exemplu, astfel de proporții au fost aplicate în timpul construcției vechiului templu al Partenonului (Atena) și a altor obiecte care au devenit capodopere ale arhitecturii antice, demonstrând armonie bazată pe legi matematice.
În secolele ulterioare, interesul pentru Raportul de Aur s-a diminuat, iar tiparele au fost uitate, dar au fost reluate din nou în Renaștere, împreună cu cartea călugărului franciscan L. Pacioli di Borgo „Proporția divină” (1509). Conținea ilustrații ale lui Leonardo da Vinci, care a consolidat noua denumire „raportul auriu”. De asemenea, 12 proprietăți ale raportului auriu au fost dovedite științific, iar autorul a vorbit despre modul în care se manifestă în natură, în artă și l-a numit „principiul construirii lumii și naturii”.
Omul vitruvian Leonardo
Desenul, pe care Leonardo da Vinci l-a folosit pentru a ilustra cartea lui Vitruvius în 1492, descrie o figură umană în 2 poziții cu brațele desfăcute. Figura este înscrisă într-un cerc și un pătrat. Acest desen este considerat a fi proporțiile canonice ale corpului uman (masculin), descrise de Leonardo pe baza studiului lor în tratatele arhitectului roman Vitruvius.
Buricul este considerat centrul corpului ca punct echidistant de la capătul brațelor și picioarelor, lungimea brațelor este egală cu înălțimea unei persoane, lățimea maximă a umărului = 1/8 din înălțime, distanța de la vârful pieptului la păr = 1/7, de la vârful pieptului până la vârful capului = 1/6 etc.
De atunci, desenul a fost folosit ca simbol pentru a arăta simetria internă a corpului uman.
Leonardo a folosit termenul „Golden Ratio” pentru a se referi la relațiile proporționale din figura unei persoane. De exemplu, distanța de la talie la picioare este legată de aceeași distanță de la buric la coroana capului, precum și de înălțimea până la prima lungime (de la talie în jos). Acest calcul se face similar cu raportul segmentelor atunci când se calculează raportul aur și tinde la 1.618.
Toate aceste proporții armonioase sunt adesea folosite de artiști pentru a crea piese frumoase și impresionante.
Studii ale raportului de aur în secolele 16-19
Folosind raportul auriu și numerele Fibonacci, cercetările privind proporțiile se desfășoară de secole. În paralel cu Leonardo da Vinci, artistul german Albrecht Durer a lucrat și la dezvoltarea teoriei proporțiilor corecte ale corpului uman. Pentru aceasta, el chiar a creat o busolă specială.
În secolul al XVI-lea. problema legăturii dintre numărul Fibonacci și raportul de aur a fost subiectul lucrărilor astronomului I. Kepler, care a fost primul care a aplicat aceste reguli botanicii.
O nouă „descoperire” a așteptat raportul aur în secolul al XIX-lea. odată cu publicarea „Cercetării estetice” de către omul de știință german profesorul Zeisig. El a ridicat aceste proporții la absolute și a anunțat că sunt universale pentru toate fenomenele naturale. El a efectuat studii asupra unui număr imens de oameni, sau mai degrabă proporțiile lor corporale (aproximativ 2 mii), pe baza rezultatelor cărora au fost trase concluzii cu privire la tiparele confirmate statistic în raporturile diferitelor părți ale corpului: lungimea umerilor, antebrațele, mâinile, degetele etc.
Au fost studiate și obiecte de artă (vaze, structuri arhitecturale), tonuri muzicale, dimensiuni la scrierea poeziilor - Zeisig a reflectat toate acestea prin lungimile segmentelor și numerelor, a introdus și termenul de „estetică matematică”. După primirea rezultatelor, sa dovedit că se obține o serie Fibonacci.
Numărul lui Fibonacci și raportul aur în natură
În lumea plantelor și a animalelor, există o tendință de formare a formării sub formă de simetrie, care se observă în direcția creșterii și mișcării. Împărțirea în părți simetrice, în care se observă proporțiile aurii, este un model inerent multor plante și animale.
Natura din jurul nostru poate fi descrisă folosind numerele Fibonacci, de exemplu:
- localizarea frunzelor sau ramurilor oricăror plante, precum și distanțele, sunt legate de un număr de numere date 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 și mai departe;
- semințe de floarea-soarelui (solzi pe conuri, celule de ananas), dispuse pe două rânduri de-a lungul spiralelor răsucite în direcții diferite;
- raportul dintre lungimea cozii și întregul corp al șopârlei;
- forma oului, dacă trageți o linie condiționată prin partea sa largă;
- raportul dintre mărimea degetelor de pe mâna unei persoane.
Și, desigur, cele mai interesante forme sunt cochilii de melci în spirală, modelele de pe pânze de păianjen, mișcarea vântului în interiorul uraganului, dubla helix din ADN și structura galaxiilor - toate acestea includ o succesiune de numere Fibonacci .
Utilizarea raportului aur în art
Cercetătorii care caută exemple de utilizare a raportului de aur în artă explorează în detaliu diverse obiecte arhitecturale și picturi. Sunt cunoscute opere sculpturale celebre, ai căror creatori au aderat la proporții aurii - statui ale lui Zeus olimpic, Apollo Belvedere și
Una dintre creațiile lui Leonardo da Vinci - „Portretul Mona Lisa” - a făcut obiectul unor cercetări de către oamenii de știință de mulți ani. Au descoperit că compoziția lucrării constă în întregime din „triunghiuri aurii” combinate împreună pentru a forma o stea pentagonică regulată. Toate lucrările lui da Vinci demonstrează cât de profunde erau cunoștințele sale în structura și proporțiile corpului uman, datorită cărora a reușit să surprindă zâmbetul incredibil de misterios al La Gioconda.
Raportul aur în arhitectură
De exemplu, oamenii de știință au studiat capodopere arhitecturale create după regulile „secțiunii de aur”: piramidele egiptene, Panteonul, Partenonul, Catedrala Notre Dame de Paris, Catedrala Sf. Vasile etc.
Partenonul, una dintre cele mai frumoase clădiri din Grecia Antică (secolul V î.Hr.), are 8 coloane și 17 pe laturi diferite, raportul dintre înălțimea sa și lungimea laturilor este de 0,618. Proeminențele de pe fațadele sale sunt realizate conform „raportului auriu” (foto de mai jos).
Unul dintre oamenii de știință care a inventat și a aplicat cu succes îmbunătățirea sistemului modular de proporții pentru obiectele arhitecturale (așa-numitul „modulator”) a fost arhitectul francez Le Corbusier. Modulatorul se bazează pe un sistem de măsurare asociat diviziunii condiționate în părți ale corpului uman.
Arhitectul rus M. Kazakov, care a construit mai multe clădiri rezidențiale la Moscova, precum și clădirile Senatului din Kremlin și Spitalul Golitsyn (acum prima clinică numită după NI Pirogov), a fost unul dintre arhitecții care au folosit legile în proiectarea și construcția despre raportul auriu.
Aplicarea proporțiilor în design
În designul de îmbrăcăminte, toți creatorii de modă realizează imagini și modele noi ținând cont de proporțiile corpului uman și de regulile raportului auriu, deși prin natură nu toți oamenii au proporții ideale.
Atunci când planificați proiectarea peisajului și creați compoziții volumetrice de parc folosind plante (copaci și arbuști), fântâni și mici obiecte arhitecturale, pot fi aplicate și legile „proporțiilor divine”. La urma urmei, compoziția parcului ar trebui să se concentreze pe crearea unei impresii asupra vizitatorului, care poate naviga liber în el și găsi un centru de compoziție.
Toate elementele parcului sunt în astfel de proporții încât, cu ajutorul structurii geometrice, a aranjamentului reciproc, a iluminării și a luminii, se face impresia unei persoane de armonie și perfecțiune.
Aplicarea raportului de aur în cibernetică și inginerie
Modelele raportului auriu și ale numerelor Fibonacci se manifestă și în tranziții de energie, în procese care apar cu particule elementare care alcătuiesc compuși chimici, în sistemele spațiale, în structura genetică a ADN-ului.
Procese similare apar în corpul uman, manifestându-se în bioritmurile vieții sale, în acțiunea organelor, de exemplu, creierul sau vederea.
Algoritmii și modelele de proporții aurii sunt utilizate pe scară largă în cibernetica modernă și informatică. Una dintre sarcinile simple pe care programatorii începători trebuie să le rezolve este să scrie o formulă și să determine suma numerelor Fibonacci până la un anumit număr folosind limbaje de programare.
Cercetări moderne asupra teoriei raportului auriu
De la mijlocul secolului al XX-lea, interesul pentru problemele și influența modelelor de proporții aurii asupra vieții umane a crescut brusc și din partea multor oameni de știință din diverse profesii: matematicieni, cercetători etnologi, biologi, filosofi, medici muncitori, economiști, muzicieni etc.
Din anii 1970, revista Fibonacci Quarterly a fost publicată în SUA, unde sunt publicate lucrări pe această temă. În presă există lucrări în care regulile generalizate ale raportului auriu și seria Fibonacci sunt utilizate în diferite domenii ale cunoașterii. De exemplu, pentru codificarea informațiilor, cercetări chimice, biologice etc.
Toate acestea confirmă concluziile oamenilor de știință antici și moderni că raportul aur este multilateral raportat la problemele fundamentale ale științei și se manifestă prin simetria multor creații și fenomene ale lumii din jurul nostru.
Numerele Fibonacci sunt elemente ale unei secvențe numerice.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, în care fiecare număr ulterior este egal cu suma celor două numere anterioare. Numele este după matematicianul medieval Leonardo din Pisa (sau Fibonacci), care a trăit și a lucrat ca negustor și matematician în orașul italian Pisa. Este unul dintre cei mai renumiți oameni de știință europeni ai timpului său. Printre cele mai mari realizări ale sale se numără introducerea cifrelor arabe, înlocuind cele romane. Fn = Fn-1 + Fn-2
Seria matematică asimptotic (adică abordarea din ce în ce mai lent) tinde spre un raport constant. Cu toate acestea, această atitudine este irațională; are o succesiune nesfârșită, imprevizibilă, de valori zecimale aliniate după ea. Nu poate fi niciodată exprimat cu exactitate. Dacă fiecare număr care face parte din serie este împărțit la valoarea anterioară (de exemplu, 13- ^ 8 sau 21 -IS), rezultatul acțiunii va fi exprimat într-un raport care fluctuează în jurul numărului irațional 1.61803398875, puțin mai mult sau puțin mai puțin decât relațiile învecinate ale seriei. Raportul nu va fi niciodată, ad infinitum, exact până la ultima cifră (chiar și cu cele mai puternice computere create vreodată). Din motive de scurtă durată, vom folosi 1.618 ca raport Fibonacci și vom cere cititorilor să nu uite de această inexactitate.
Numerele Fibonacci sunt, de asemenea, importante în timpul analizei algoritmului euclidian pentru a determina cel mai mare divizor comun al a două numere. Numerele Fibonacci apar în formula diagonală prin triunghiul lui Pascal (coeficienți binomiali).
Numerele Fibonacci s-au dovedit a fi asociate cu „raportul auriu”.
Raportul auriu era cunoscut chiar și în Egiptul antic și Babilonul, în India și China. Care este „raportul de aur”? Răspunsul este încă necunoscut. Numerele Fibonacci sunt cu adevărat relevante pentru teoria practicii din timpul nostru. Creșterea importanței a avut loc în secolul al XX-lea și continuă până în prezent. Utilizarea numerelor Fibonacci în economie și informatică a atras mase de oameni către studiul lor.
Metodologia cercetării mele a constat în studierea literaturii de specialitate și generalizarea informațiilor primite, precum și efectuarea propriilor cercetări și identificarea proprietăților numerelor și a sferei de utilizare a acestora.
În cursul cercetării științifice, ea a definit însăși conceptul numerelor Fibonacci, proprietățile lor. Am aflat și modele interesante în viața sălbatică, direct în structura semințelor de floarea soarelui.
Pe o floarea-soarelui, semințele sunt aranjate în spirale, iar numărul spiralelor care merg în cealaltă direcție este diferit - sunt numere consecutive ale lui Fibonacci.
Există 34 și 55 pe această floarea-soarelui.
Același lucru este observat și în fructele de ananas, unde există spirale de 8 și 14. Frunzele de porumb sunt asociate cu proprietatea unică a numerelor Fibonacci.
Fracțiile formei a / b, corespunzătoare aranjamentului elicoidal al frunzelor picioarelor tulpinii plantei, sunt adesea raporturi ale numerelor succesive ale lui Fibonacci. Pentru alun, acest raport este de 2/3, pentru stejar - 3/5, pentru plop 5/8, pentru salcie 8/13 etc.
Având în vedere dispunerea frunzelor pe tulpina plantelor, puteți vedea că între fiecare pereche de frunze (A și C), a treia este situată în locul secțiunii aurii (B)
O altă proprietate interesantă a numărului Fibonacci este că produsul și coeficientul oricăror două numere diferite Fibonacci, altele decât unul, nu este niciodată un număr Fibonacci.
Ca rezultat al cercetărilor mele, am ajuns la următoarele concluzii: numerele Fibonacci sunt o progresie aritmetică unică care a apărut în secolul al XIII-lea d.Hr. Această progresie nu își pierde relevanța, ceea ce a fost confirmat în cursul cercetărilor mele. Numerele Fibonacci nu sunt aceleași în programe și prognoze economice, în pictură, arhitectură și muzică. Picturile unor artiști celebri precum Leonardo da Vinci, Michelangelo, Rafael și Botticelli ascund magia raportului de aur. Chiar și I. I. Shishkin a folosit raportul de aur în pictura sa „Pine Grove”.
Este greu de crezut, dar raportul auriu se regăsește și în operele muzicale ale unor compozitori mari precum Mozart, Beethoven, Chopin etc.
Numerele Fibonacci se găsesc și în arhitectură. De exemplu, raportul auriu a fost utilizat în construcția Parthenonului și a Catedralei Notre Dame.
Am constatat că numerele Fibonacci sunt folosite și în zona noastră. De exemplu, platbands de case, frontoane.
Numerele Fibonacci ... în natură și viațăLeonardo Fibonacci este unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. Într-una din lucrările sale „Cartea calculelor”, Fibonacci a descris sistemul indo-arab de calcul și avantajele utilizării acestuia față de cel roman.
Definiție
Numerele Fibonacci sau secvența Fibonacci este o secvență numerică care are un număr de proprietăți. De exemplu, suma a două numere adiacente ale secvenței dă valoarea următoarei (de exemplu, 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 etc.), ceea ce confirmă existența așa-numitelor rapoarte Fibonacci , adică raporturi constante.
Secvența Fibonacci începe astfel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...
2.
Definiție completă a numerelor Fibonacci
3.
Proprietățile secvenței Fibonacci
4.
1. Raportul dintre fiecare număr și următorul din ce în ce mai mult tinde la 0,618 pe măsură ce crește numărul ordinal. Raportul dintre fiecare număr și cel anterior tinde la 1,618 (invers la 0,618). Numărul 0,618 se numește (PI).
2. La împărțirea fiecărui număr la următorul, după unul, se obține numărul 0,382; dimpotrivă - respectiv 2.618.
3. Alegând astfel raporturile, obținem setul de bază al coeficienților Fibonacci:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
5.
Conexiunea dintre secvența Fibonacci și „raportul auriu”
6.
Secvența Fibonacci asimptotic (se apropie din ce în ce mai încet) tinde spre un raport constant. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică este un număr cu o secvență infinită, imprevizibilă, de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să-l exprimi cu precizie.
Dacă vreun membru al secvenței Fibonacci este împărțit la cel care o precedă (de exemplu, 13: 8), rezultatul va fi o valoare care fluctuează în jurul valorii iraționale 1.61803398875 ... și, din când în când, atunci o face nu ajunge la el. Dar chiar dacă am atins Eternitatea, este imposibil să știm exact raportul, până la ultima cifră zecimală. De dragul durității, îl vom traduce sub forma 1.618. Denumiri speciale pentru acest raport au început să fie date chiar înainte ca Luca Pacioli (un matematician de la mijlocul secolului) să-l numească Proporția divină. Printre denumirile sale moderne se numără Golden Ratio, Golden Golden și raportul dintre pătratele rotative. Keplep a numit această relație una dintre „comorile geometriei”. În algebră, desemnarea sa prin litera greacă phi este în general acceptată
Să ne imaginăm raportul auriu folosind un segment de linie ca exemplu.
Luați în considerare un segment cu capetele A și B. Fie punctul C să împartă segmentul AB astfel încât,
AC / CB = CB / AB sau
AB / CB = CB / AC.
Vă puteți gândi astfel: A -– C --– B
7.
Raportul auriu este o astfel de împărțire proporțională a unui segment în părți inegale, în care întregul segment se referă la partea mai mare în același mod în care partea mai mare se referă la cea mai mică; sau cu alte cuvinte, segmentul mai mic se raportează la cel mai mare la fel de mult ca cel mai mare la toate.
8.
Segmentele raportului auriu sunt exprimate prin fracția irațională infinită 0,618 ... dacă AB este luat ca unitate, AC = 0,382 .. După cum știm deja numerele 0,618 și 0,382 sunt coeficienții secvenței Fibonacci.
9.
Fibonacci și Rapoartele de Aur în natură și istorie
10.
Este important de remarcat faptul că Fibonacci, așa cum s-a spus, i-a amintit secvenței umanității. Era cunoscută chiar de grecii și egiptenii antici. Într-adevăr, de atunci în natură, arhitectură, arte plastice, matematică, fizică, astronomie, biologie și multe alte domenii, s-au găsit tipare descrise de coeficienții Fibonacci. Este uimitor câte constante pot fi calculate folosind secvența Fibonacci și cum apar membrii ei într-un număr imens de combinații. Cu toate acestea, nu ar fi o exagerare să spunem că acesta nu este doar un joc cu cifre, ci cea mai importantă expresie matematică a fenomenelor naturale descoperite vreodată.
11.
Exemplele de mai jos arată câteva aplicații interesante ale acestei secvențe matematice.
12.
1. Coaja este înfășurată în spirală. Dacă îl desfaceți, obțineți o lungime puțin inferioară lungimii șarpelui. O coajă mică de zece centimetri are o spirală lungă de 35 cm. Forma învelișului înfășurat în spirală a atras atenția lui Arhimede. Ideea este că raportul măsurătorilor buclelor coajă este constant și egal cu 1,618. Arhimede a studiat spirala scoicilor și a derivat ecuația pentru spirală. Spirala extrasă din această ecuație poartă numele său. Creșterea pasului ei este întotdeauna uniformă. În prezent, spirala Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.
2. Plante și animale. Chiar și Goethe a subliniat tendința naturii spre spirală. Aranjamentul elicoidal și spiralat al frunzelor pe ramurile copacilor a fost observat cu mult timp în urmă. Spirala a fost văzută în aranjamentul semințelor de floarea soarelui, în conuri de pin, ananas, cactuși etc. Lucrarea comună a botanicilor și matematicienilor a aruncat lumină asupra acestor fenomene naturale uimitoare. S-a dovedit că seria Fibonacci se manifestă prin dispunerea frunzelor pe o ramură de semințe de floarea-soarelui și conuri de pin și, prin urmare, legea raportului auriu se manifestă. Păianjenul țese pânza în spirală. Un uragan se învârte în spirală. O turmă înspăimântată de reni se împrăștie în spirală. Molecula de ADN este răsucită într-o dublă spirală. Goethe a numit spirala „curba vieții”.
Printre ierburile de la marginea drumului crește o plantă de neuitat - cicoarea. Să aruncăm o privire mai atentă la el. S-a format un proces din tulpina principală. Prima foaie este situată chiar acolo. Tragerea face o ejectare puternică în spațiu, se oprește, eliberează o frunză, dar este mai scurtă decât prima, face din nou o ejectare în spațiu, dar cu mai puțină forță, eliberează o frunză de o dimensiune chiar mai mică și scoate din nou. Dacă prima emisie este luată ca 100 de unități, atunci a doua este egală cu 62 de unități, a treia este 38, a patra este 24 etc. Lungimea petalelor este, de asemenea, supusă raportului auriu. În creștere, cucerirea spațiului, planta a păstrat anumite proporții. Impulsurile creșterii sale au scăzut treptat proporțional cu secțiunea aurie.
Șopârla este vivipară. La o șopârlă, la prima vedere, sunt surprinse proporții plăcute ochilor noștri - lungimea cozii sale este la fel de mult legată de lungimea restului corpului, de la 62 la 38.
Atât în lumea plantelor, cât și în cea animală, tendința formativă a naturii trece permanent - simetrie în ceea ce privește direcția de creștere și mișcare. Aici, raportul auriu apare în proporțiile părților perpendiculare pe direcția de creștere. Natura a realizat împărțirea în părți simetrice și proporții aurii. În părți, se manifestă repetarea structurii întregului.
La începutul acestui secol, Pierre Curie a formulat o serie de idei profunde de simetrie. El a susținut că nu se poate lua în considerare simetria vreunui corp fără a lua în considerare simetria mediului. Modelele de simetrie aurie se manifestă în tranzițiile de energie ale particulelor elementare, în structura unor compuși chimici, în sistemele planetare și spațiale, în structurile genetice ale organismelor vii. Aceste tipare, așa cum s-a indicat mai sus, se află în structura organelor individuale ale unei persoane și ale corpului în ansamblu și se manifestă și în bioritmuri și în funcționarea creierului și a percepției vizuale.
3. Spațiul. Din istoria astronomiei se știe că I. Titius, un astronom german al secolului al XVIII-lea, cu ajutorul acestei serii (Fibonacci) a găsit regularitatea și ordinea în distanțele dintre planetele sistemului solar.
Cu toate acestea, un caz care aparent contrazicea legea: nu exista o planetă între Marte și Jupiter. Observarea concentrată a acestei zone a cerului a dus la descoperirea centurii de asteroizi. Acest lucru s-a întâmplat după moartea lui Titius la începutul secolului al XIX-lea.
Seria Fibonacci este utilizată pe scară largă: este utilizată pentru a reprezenta arhitectonica ființelor vii și a structurilor create de om, precum și structura galaxiilor. Aceste fapte sunt dovezi ale independenței seriei numerice față de condițiile manifestării sale, care este unul dintre semnele universalității sale.
4. Piramide. Mulți au încercat să dezvăluie secretele piramidei de la Giza. Spre deosebire de alte piramide egiptene, acesta nu este un mormânt, ci mai degrabă un puzzle insolubil al combinațiilor de numere. Remarcabila ingeniozitate, îndemânare, timp și muncă a arhitecților piramidei, pe care i-au folosit în construcția simbolului etern, indică importanța extremă a mesajului pe care au vrut să-l transmită generațiilor viitoare. Era lor era preliterată, pre-hieroglifică, iar simbolurile erau singurul mijloc de înregistrare a descoperirilor. Cheia secretului geometric-matematic al piramidei din Giza, care fusese un mister pentru omenire de atâta timp, i-a fost dată de fapt lui Herodot de către preoții din templu, care i-au informat că piramida a fost construită astfel încât zona fiecare dintre fețele sale era egală cu pătratul înălțimii sale.
Zona triunghiului
356 x 440/2 = 78320
Zona pătrată
280 x 280 = 78400
Lungimea marginii bazei piramidei la Giza este de 238,7 m (783,3 picioare), înălțimea piramidei este de 484,4 picioare (147,6 m). Lungimea nervurii de bază împărțită la înălțime conduce la raportul Ф = 1.618. O înălțime de 484,4 picioare corespunde cu 5813 inci (5-8-13) - acestea sunt numere din secvența Fibonacci. Aceste observații interesante sugerează că proiectarea piramidei se bazează pe proporția Φ = 1.618. Unii savanți moderni sunt înclinați să interpreteze că vechii egipteni l-au construit cu singurul scop de a transmite cunoștințe pe care doreau să le păstreze pentru generațiile viitoare. Studiile intensive ale piramidei de la Giza au arătat cât de extinse erau cunoștințele în matematică și astrologie în acel moment. În toate proporțiile interne și externe ale piramidei, numărul 1.618 joacă un rol central.
Piramide în Mexic. Nu numai piramidele egiptene sunt construite în conformitate cu proporțiile perfecte ale raportului auriu, același fenomen a fost găsit și în piramidele mexicane. Se naște ideea că atât piramidele egiptene, cât și cele mexicane au fost ridicate aproximativ în același timp de oameni de origine comună.
Secvența Fibonacci, care a devenit cunoscută de cei mai mulți grație filmului și cărții „Codul Da Vinci”, este o serie de numere, deduse de matematicianul italian Pisa Leonardo, mai cunoscut sub pseudonimul Fibonacci, în secolul al XIII-lea. Adepții omului de știință au observat că formula la care este subordonată această serie de numere își găsește reflexia în lumea din jurul nostru și rezonează cu alte descoperiri matematice, deschizându-ne astfel ușa spre secretele universului. În acest articol vă vom spune care este secvența Fibonacci, luăm în considerare exemple despre modul în care acest tipar este afișat în natură și, de asemenea, îl comparăm cu alte teorii matematice.
Formularea și definirea conceptului
Seria Fibonacci este o secvență matematică, fiecare element fiind egal cu suma celor două precedente. Să desemnăm un anumit membru al secvenței ca x n. Astfel, obținem o formulă valabilă pentru întreaga serie: x n + 2 = x n + x n + 1. În acest caz, ordinea secvenței va arăta astfel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Următorul număr va fi 55, deoarece suma 21 și 34 este 55. Și așa mai departe după același principiu.
Exemple în mediu
Dacă ne uităm la plantă, în special la coroana frunzelor, vom observa că acestea înfloresc în spirală. Unghiurile se formează între frunzele adiacente, care, la rândul lor, formează succesiunea matematică corectă Fibonacci. Datorită acestei caracteristici, fiecare frunză individuală care crește pe copac primește cantitatea maximă de lumină solară și căldură.
Puzzle-ul matematic al lui Fibonacci
Celebrul matematician și-a prezentat teoria ca o enigmă. Sună așa. Puteți pune câteva iepuri într-un spațiu închis pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște într-un an. Având în vedere natura acestor animale, faptul că în fiecare lună un cuplu este capabil să producă o nouă pereche și sunt gata să se reproducă atunci când ajung la două luni, drept urmare, a primit celebra sa serie de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - care arată numărul de noi perechi de iepuri în fiecare lună.
Secvența Fibonacci și raportul proporțional
Această serie are mai multe nuanțe matematice care trebuie luate în considerare. El, apropiindu-se din ce în ce mai încet (asimptotic), tinde spre o anumită relație proporțională. Dar este irațional. Cu alte cuvinte, este un număr cu o succesiune imprevizibilă și infinită de numere zecimale în partea fracțională. De exemplu, raportul oricărui element al seriei variază în jurul cifrei 1.618, uneori depășind, apoi atingându-l. Următoarele se apropie în mod similar de 0,618. Care este invers proporțional cu numărul 1.618. Dacă împărțim elementele la unul, obținem 2.618 și 0.382. După cum ați înțeles deja, ele sunt, de asemenea, invers proporționale. Numerele rezultate se numesc rapoarte Fibonacci. Acum să explicăm de ce am efectuat aceste calcule.
ratia de aur
Distingem toate obiectele din jurul nostru după anumite criterii. Una dintre ele este forma. Unii dintre noi sunt atrași mai mult, alții mai puțin, iar altora nu le place deloc. Se observă că un obiect simetric și proporțional este mult mai ușor perceput de o persoană și evocă un sentiment de armonie și frumusețe. O imagine întreagă include întotdeauna părți de diferite dimensiuni, care sunt într-un anumit raport între ele. De aici urmează răspunsul la întrebarea a ceea ce se numește Raportul de aur. Acest concept înseamnă perfecțiunea relației dintre întreg și părțile sale în natură, știință, artă etc. Din punct de vedere matematic, luați în considerare următorul exemplu. Luați un segment de orice lungime și împărțiți-l în două părți, astfel încât partea mai mică să fie legată de cea mai mare ca suma (lungimea întregului segment) cu cea mai mare. Deci, să luăm segmentul cu pe valoarea unu. O parte din ea A va fi egal cu 0,618, a doua parte b, se pare, este egal cu 0,382. Astfel, respectăm condiția Golden Ratio. Raport linie c La A este egal cu 1,618. Și raportul pieselor cși b- 2.618. Obținem raporturile Fibonacci deja cunoscute. Același principiu este folosit pentru a construi un triunghi auriu, un dreptunghi auriu și un cuboid auriu. De asemenea, este demn de remarcat faptul că raportul proporțional al părților corpului uman este apropiat de raportul de aur.
Este secvența Fibonacci fundamentul tuturor?
Să încercăm să combinăm teoria Secțiunii de Aur și celebra serie a matematicianului italian. Să începem cu două pătrate de prima dimensiune. Apoi adăugați un alt pătrat de a doua dimensiune deasupra. Desenați lângă ea aceeași figură cu o lungime laterală egală cu suma celor două laturi anterioare. Desenați un pătrat de a cincea dimensiune în același mod. Și astfel poți continua la nesfârșit până te plictisești. Principalul lucru este că dimensiunea laturii fiecărui pătrat ulterior este egală cu suma dimensiunilor laturilor celor două precedente. Obținem o serie de poligoane, ale căror lungimi laterale sunt numere Fibonacci. Aceste cifre se numesc dreptunghiuri Fibonacci. Să trasăm o linie netedă prin colțurile poligoanelor noastre și să obținem ... o spirală Arhimede! După cum știți, creșterea pasului unei figuri date este întotdeauna uniformă. Dacă vă porniți imaginația, atunci desenul rezultat poate fi asociat cu o coajă de moluște. Din aceasta putem concluziona că secvența Fibonacci este baza raporturilor proporționale și armonioase ale elementelor din lumea înconjurătoare.
Secvența matematică și universul
Dacă priviți cu atenție, atunci spirala lui Arhimede (undeva în mod explicit, dar undeva ascuns) și, prin urmare, principiul Fibonacci poate fi urmărit în multe elemente naturale familiare care înconjoară o persoană. De exemplu, toate aceleași coajă de moluște, inflorescențe de broccoli obișnuite, floare de floarea-soarelui, con de conifere și altele asemenea. Dacă privim mai departe, vom vedea secvența Fibonacci în galaxii fără sfârșit. Chiar și o persoană, inspirată de natură și adoptând formele acesteia, creează obiecte în care se poate urmări seria menționată anterior. Este timpul să ne amintim de Secțiunea de Aur. Alături de legea Fibonacci, sunt urmărite principiile acestei teorii. Există o versiune conform căreia secvența Fibonacci este un fel de test al naturii pentru a se adapta la secvența logaritmică mai perfectă și fundamentală a Secțiunii de Aur, care este aproape identică, dar nu are început și este infinită. Regularitatea naturii este de așa natură încât trebuie să aibă propriul său punct de referință, din care să înceapă să creeze ceva nou. Raportul primelor elemente din seria Fibonacci este departe de principiile Secțiunii de Aur. Cu toate acestea, cu cât o continuăm, cu atât această discrepanță este mai ușurată. Pentru a determina secvența, trebuie să cunoașteți trei dintre elementele sale, care se succed. Pentru Secvența de Aur, două sunt suficiente. Întrucât este atât aritmetică, cât și progresie geometrică.
Concluzie
Totuși, pe baza celor de mai sus, puteți pune întrebări destul de logice: „De unde au venit aceste cifre? Cine este acest autor al dispozitivului lumii întregi, care a încercat să-l facă perfect? ? Dacă da, de ce a apărut eșecul? „Ce se va întâmpla în continuare?” Găsind răspunsul la o întrebare, veți obține următoarea. S-a rezolvat - apar încă două. După ce le-ai rezolvat, primești încă trei. După ce le-ai tratat, vei primi cinci nerezolvate. Apoi opt, apoi treisprezece, douăzeci și unu, treizeci și patru, cincizeci și cinci ...
Se încarcă ...