A fost necesară compararea cantităților și cantităților la rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.
Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare se află opusă unghiului mai mare dintr-un triunghi. Arhimede, în timp ce a calculat circumferința, a stabilit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul, cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci de ori diametrul.
Scrieți simbolic relațiile dintre numere și mărimi folosind semnele > și b. Înregistrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Ați întâlnit și inegalități numerice în clasele inferioare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau pot fi false. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) este o inegalitate numerică corectă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică incorectă.
Inegalitățile care implică necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți stabili sarcina: rezolvați inegalitatea. Problemele de rezolvare a inegalităților în practică sunt puse și rezolvate nu mai rar decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.
Unele inegalități servesc ca singure auxiliar, permițându-vă să demonstrați sau să infirmați existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.
Inegalități numerice
Poți compara numere întregi? zecimale. Cunoașteți regulile de comparație? fracții obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărători diferiți; cu aceiași numărători, dar numitori diferiti. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.
Compararea numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjitor compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.
Definiție. Numărul a mai mult număr b, dacă diferența a-b pozitiv. Numărul a număr mai mic b, dacă diferența a-b este negativă.
Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b, din următoarele trei relații a > b, a = b, a A compara numerele a și b înseamnă a afla care dintre semne >, = sau Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.
Teorema. Dacă adăugați același număr la ambele părți ale inegalității, semnul inegalității nu se va schimba.
Consecinţă. Orice termen poate fi mutat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.
Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același lucru un număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și înmulți inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni ajută la rezolvarea problemelor de evaluare și comparare a semnificațiilor expresiilor.
Atunci când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adună sau să se înmulțească părțile stânga și dreaptă ale inegalităților termen cu termen. În același timp, se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua, atunci putem spune că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci putem spune că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.
Când luăm în considerare aceste exemple, s-au folosit următoarele: teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:
Teorema. La adunarea inegalităților de același semn se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.
Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, ale căror laturi stânga și dreaptă sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.
Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Alături de semnele inegalităților stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare sau egal cu b, adică și nu mai puțin b.
Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.
Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să creezi un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În continuare, veți afla că modelele matematice pentru rezolvarea multor probleme sunt inegalități cu necunoscute. Vom introduce conceptul de rezolvare a unei inegalități și vom arăta cum să verificăm dacă număr dat rezolvarea unei anumite inegalități.
Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax în care a și b sunt date numere, iar x este o necunoscută, sunt numite inegalități liniare cu o necunoscută.
Definiție. Soluția unei inegalități cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care această inegalitate devine o adevărată inegalitate numerică. Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia sau stabilirea faptului că nu există.
Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se încearcă să le reducă, folosind proprietăți, la forma unor inegalități simple.
Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă
Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \), numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.
Soluție la inegalitate
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c pot fi considerate ca fiind găsirea de intervale în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) ia pozitiv sau negativ valori Pentru a face acest lucru, este suficient să analizăm modul în care graficul funcției \(y= ax^2+bx+c\) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos, indiferent dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, marcați-le pe axa x și prin punctele marcate desenați o parabolă schematică, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus pentru a > 0 sau în jos pentru a 0 sau în partea de jos pentru a 3) găsiți intervale pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0\)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitate
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului
Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul de definiție al funcției în intervalele \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) și \( (5; +\infty)\)
Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.
Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele luate în considerare este indicat în tabel:
În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerouri ale funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero semnul acesteia se schimbă.
Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele
Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalului.
Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului.
Rezolvați inegalitatea:
\(x(0,5-x)(x+4) În mod evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)Reprezentăm zerourile funcției pe axa numerelor și calculăm semnul pe fiecare interval:
Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.
Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Conceptul de inegalitate matematică a apărut în antichitate. Acest lucru s-a întâmplat când omul primitiv a început să aibă nevoie să le compare cantitatea și dimensiunea atunci când numără și manipulează diverse obiecte. Din cele mai vechi timpuri, Arhimede, Euclid și alți oameni de știință celebri: matematicieni, astronomi, designeri și filozofi au folosit inegalitățile în raționamentul lor.
Dar ei, de regulă, au folosit terminologia verbală în lucrările lor. Pentru prima dată, în Anglia au fost inventate și puse în practică semnele moderne pentru a desemna conceptele de „mai mult” și „mai puțin” în forma în care fiecare școlar le cunoaște astăzi. Matematicianul Thomas Harriot a oferit un astfel de serviciu descendenților săi. Și asta s-a întâmplat cu aproximativ patru secole în urmă.
Sunt cunoscute multe tipuri de inegalități. Printre acestea se numără cele simple, care conțin una, două sau mai multe variabile, rapoarte pătratice, fracționale, complexe și chiar cele reprezentate printr-un sistem de expresii. Cel mai bun mod de a înțelege cum să rezolvi inegalitățile este să folosiți diverse exemple.
Nu rata trenul
Pentru început, să ne imaginăm că un rezident zone rurale se grăbește să gară, care se afla la o distanta de 20 km de satul sau. Pentru a nu pierde trenul care pleacă la ora 11, trebuie să plece din casă la timp. La ce oră trebuie făcut acest lucru dacă viteza sa este de 5 km/h? Soluția acestei probleme practice se rezumă la îndeplinirea condițiilor expresiei: 5 (11 - X) ≥ 20, unde X este ora de plecare.
Acest lucru este de înțeles, deoarece distanța pe care trebuie să o parcurgă un sătean până la stație este egală cu viteza de deplasare înmulțită cu numărul de ore pe drum. O persoană poate ajunge devreme, dar nu poate întârzia. Știind cum să rezolvi inegalitățile și aplicându-ți abilitățile în practică, vei ajunge cu X ≤ 7, care este răspunsul. Aceasta înseamnă că săteanul ar trebui să meargă la gara la șapte dimineața sau puțin mai devreme.
Intervale numerice pe o linie de coordonate
Acum să aflăm cum să mapam relațiile descrise pe Inegalitatea obținută mai sus nu este strictă. Înseamnă că variabila poate lua valori mai mici de 7 sau poate fi egală cu acest număr. Să dăm alte exemple. Pentru a face acest lucru, luați în considerare cu atenție cele patru cifre prezentate mai jos.
Pe primul se vede imagine grafică decalaj [-7; 7]. Este format dintr-un set de numere plasate pe o linie de coordonate și situate între -7 și 7, inclusiv limitele. În acest caz, punctele de pe grafic sunt reprezentate ca cercuri pline, iar intervalul este înregistrat folosind
A doua figură este o reprezentare grafică a inegalității stricte. În acest caz, numerele de limită -7 și 7, afișate prin puncte perforate (necompletate), nu sunt incluse în setul specificat. Iar intervalul în sine este scris între paranteze astfel: (-7; 7).
Adică, după ce ne-am dat seama cum să rezolvăm inegalitățile de acest tip și am primit un răspuns similar, putem concluziona că este format din numere care se află între limitele în cauză, cu excepția -7 și 7. Următoarele două cazuri trebuie evaluate într-un mod similar. A treia figură prezintă imagini ale intervalelor (-∞; -7] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Inegalități cuadratice cu discriminant negativ și zero
Algoritmul de mai sus funcționează atunci când discriminantul este mai mare decât zero, adică are rădăcini \(2\). Ce să faci în alte cazuri? De exemplu, acestea:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4)-x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Dacă \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
Adică expresia:
\(x^2+2x+9\) – pozitiv pentru orice \(x\), deoarece \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - negativ pentru orice \(x\), deoarece \(a=-1<0\)
Dacă \(D=0\), atunci trinomul pătratic pentru o valoare \(x\) este egal cu zero, iar pentru toate celelalte are un semn constant, care coincide cu semnul coeficientului \(a\).
Adică expresia:
\(x^2+6x+9\) este egal cu zero pentru \(x=-3\) și pozitiv pentru toate celelalte x, deoarece \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - egal cu zero pentru \(x=-2\) și negativ pentru toate celelalte, deoarece \(a=-1<0\).
Cum să găsiți x la care trinomul pătratic este egal cu zero? Trebuie să rezolvăm ecuația pătratică corespunzătoare.
Având în vedere aceste informații, să rezolvăm inegalitățile pătratice:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Inegalitatea, s-ar putea spune, ne pune întrebarea: „pentru care \(x\) este expresia din stânga mai mare decât zero?” Am aflat deja mai sus pentru oricare. În răspuns puteți scrie: „pentru orice \(x\)”, dar este mai bine să exprimați aceeași idee în limbajul matematicii. |
|
|
Răspuns: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Întrebare din inegalitate: „pentru care \(x\) este expresia din stânga mai mică sau egală cu zero?” Nu poate fi mai mic de zero, dar poate fi egal cu zero. Și pentru a afla la ce afirmație se va întâmpla acest lucru, să rezolvăm ecuația pătratică corespunzătoare. |
|
|
Să ne adunăm expresia conform \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
||
|
Acum singurul lucru care ne oprește este pătratul. Să ne gândim împreună - ce număr pătrat este egal cu zero? Zero! Aceasta înseamnă că pătratul unei expresii este egal cu zero numai dacă expresia în sine este egală cu zero. |
||
|
\(x+3=0\) |
Acest număr va fi răspunsul. |
|
|
Răspuns: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Când este expresia din stânga mai mare decât zero? După cum am menționat mai sus, expresia din stânga este fie negativă, fie egală cu zero; nu poate fi pozitivă. Deci răspunsul nu este niciodată. Să scriem „niciodată” în limbajul matematicii, folosind simbolul „mult gol” - \(∅\). |
|
|
Răspuns: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Când expresia este în stânga mai putin de zero? Mereu. Aceasta înseamnă că inegalitatea este valabilă pentru orice \(x\). |
|
|
Răspuns: \(x∈(-∞;∞)\) |
Se încarcă...