Zonele și volumele de diferite forme. Cum se găsește volumul în metri cubi

Orice corp geometric poate fi caracterizat prin suprafața (S) și volumul (V). Suprafața și volumul nu sunt deloc același lucru. Un obiect poate avea un V relativ mic și un S mare, de exemplu, așa funcționează creierul uman. Calculul acestor indicatori pentru forme geometrice simple este mult mai ușor.

Casetă: definiție, tipuri și proprietăți

Un paralelipiped este o prismă patrulateră cu un paralelogram la baza sa. De ce ai putea avea nevoie de o formulă pentru a găsi volumul unei figuri? Cărțile, cutiile de ambalare și multe alte lucruri din viața de zi cu zi au o formă similară. Camerele din clădirile rezidențiale și de birouri sunt de obicei paralelipipede dreptunghiulare. Pentru a instala ventilație, aparate de aer condiționat și pentru a determina numărul de elemente de încălzire într-o cameră, este necesar să se calculeze volumul camerei.

Figura are 6 fețe - paralelograme și 12 margini, două fețe selectate în mod arbitrar se numesc baze. Paralelipipedul poate fi de mai multe tipuri. Diferențele se datorează unghiurilor dintre coastele adiacente. Formulele pentru găsirea V-urilor diferitelor poligoane sunt ușor diferite.

Dacă 6 fețe ale unei figuri geometrice sunt dreptunghiuri, atunci se mai numește dreptunghiular. Un cub este un caz special de paralelipiped în care toate cele 6 fețe sunt pătrate egale. În acest caz, pentru a găsi V, trebuie să aflați lungimea unei singure părți și să o ridicați la a treia putere.

Pentru a rezolva probleme, veți avea nevoie de cunoaștere nu numai a formulelor gata făcute, ci și a proprietăților unei figuri. Lista principalelor proprietăți ale unei prisme dreptunghiulare este mică și foarte ușor de înțeles:

Marginile opuse ale formei sunt egale și paralele. Aceasta înseamnă că nervurile opuse sunt aceleași în lungime și unghi.
Toate fețele laterale ale unui paralelipiped drept sunt dreptunghiuri.
Cele patru diagonale principale ale unei figuri geometrice se intersectează la un moment dat și sunt împărțite în jumătate.
Pătratul diagonalei paralelipipedului este egal cu suma pătratelor măsurătorilor figurii (rezultă din teorema lui Pitagora).

teorema lui Pitagora afirmă că suma ariilor pătratelor construite pe picioarele unui triunghi unghiular este egală cu aria unui triunghi construit pe ipotenuza aceluiași triunghi.

Dovada ultimei proprietăți poate fi văzută în imaginea de mai jos. Soluția problemei este simplă și nu necesită explicații detaliate.

Formula pentru volumul unui paralelipiped dreptunghiular

Formula pentru găsirea tuturor tipurilor de forme geometrice este aceeași: V = S * h, unde V este volumul necesar, S este aria bazei paralelipipedului, h este înălțimea scăzută de la vârful opus și perpendiculară până la bază. Într-un dreptunghi, h coincide cu una dintre laturile figurii, astfel încât pentru a găsi volumul unei prisme dreptunghiulare, trebuie să se înmulțească trei dimensiuni.

Volumul este de obicei exprimat în cm3. Cunoscând toate cele trei valori ale lui a, b și c, nu este deloc dificil să găsești volumul figurii. Cel mai frecvent tip de problemă la examen este găsirea volumului sau diagonalei unui paralelipiped. Este imposibil să se rezolve multe sarcini tipice USE fără formula volumului dreptunghiului. Un exemplu de sarcină și proiectarea soluției sale este prezentat în figura de mai jos.

Nota 1... Suprafața unei prisme dreptunghiulare poate fi găsită înmulțind cu 2 suma ariilor celor trei fețe ale figurii: baza (ab) și două fețe laterale adiacente (bc + ac).

Nota 2... Suprafața fețelor laterale este ușor de găsit prin înmulțirea perimetrului bazei cu înălțimea paralelipipedului.

Bazat pe prima proprietate a paralelipipedelor AB = A1B1 și fața B1D1 = BD. Conform corolarilor teoremei pitagoreice, suma tuturor unghiurilor dintr-un triunghi unghiular este de 180 °, iar piciorul, care se află opus unui unghi de 30 °, este egal cu hipotenuza. Aplicând aceste cunoștințe pentru un triunghi, putem găsi cu ușurință lungimile laturilor AB și AD. Apoi înmulțim valorile obținute și calculăm volumul paralelipipedului.

Formula pentru găsirea volumului unui paralelipiped înclinat

Pentru a găsi volumul unui paralelipiped înclinat, trebuie să multiplicați zona bazei figurii cu înălțimea coborâtă la baza dată din colțul opus.

Astfel, V-ul necesar poate fi reprezentat sub forma h - numărul de foi cu o zonă S a bazei, deci volumul pachetului este suma V-urilor tuturor cărților.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcinile examenului unificat trebuie finalizate într-un anumit timp. Sarcinile tipice, de regulă, nu conțin o mulțime de calcule și fracții complexe. Adesea elevul este întrebat cum să găsească volumul unei figuri geometrice neregulate. În astfel de cazuri, ar trebui să ne amintim regula simplă conform căreia volumul total este egal cu suma componentelor V.

După cum puteți vedea din exemplul din imaginea de mai sus, nu este nimic dificil în rezolvarea unor astfel de probleme. Sarcinile din secțiuni mai complexe presupun cunoașterea teoremei lui Pitagora și a consecințelor acesteia, precum și a formulei pentru lungimea diagonalei unei figuri. Pentru a rezolva cu succes sarcinile de testare, este suficient să vă familiarizați cu probele sarcinilor tipice în avans.

Măsurați toate distanțele necesare în metri. Volumul multor forme tridimensionale poate fi calculat cu ușurință folosind formulele corespunzătoare. Cu toate acestea, toate valorile introduse în formule trebuie măsurate în metri. Prin urmare, înainte de a înlocui valori în formulă, asigurați-vă că toate sunt măsurate în metri sau că ați convertit alte unități în metri.

1 mm = 0,001 m
1 cm = 0,01 m
1 km = 1000 m

Pentru a calcula volumul formelor dreptunghiulare (paralelipiped dreptunghiular, cub) utilizați formula: volum = L × W × H(lungime ori lățime ori înălțime). Această formulă poate fi privită ca produsul suprafeței uneia dintre fețele figurii de marginea perpendiculară pe această față.

De exemplu, să calculăm volumul unei camere de 4 m lungime, 3 m lățime și 2,5 m înălțime. Pentru a face acest lucru, înmulțiți pur și simplu lungimea cu lățimea și cu înălțimea:
- 4 × 3 × 2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Volumul acestei camere este 30 m 3.
Un cub este o figură tridimensională în care toate laturile sunt egale. Astfel, formula pentru calcularea volumului unui cub poate fi scrisă ca: volum = L 3 (sau W 3 sau H 3).

Pentru a calcula volumul formelor cilindrice, utilizați formula: pi× R 2 × H. Calculul volumului unui cilindru se reduce la înmulțirea ariei unei baze circulare cu înălțimea (sau lungimea) cilindrului. Găsiți aria unei baze circulare înmulțind pi (3.14) cu pătratul razei cercului (R) (raza este distanța de la centrul cercului la orice punct al cercului respectiv). Apoi multiplicați rezultatul cu înălțimea cilindrului (H) pentru a găsi volumul cilindrului. Toate valorile sunt măsurate în metri.

De exemplu, să calculăm volumul unei fântâni cu diametrul de 1,5 m și adâncimea de 10 m. Împărțim diametrul cu 2 pentru a obține raza: 1,5 / 2 = 0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Volumul puțului este 17,66 m 3.

Pentru a calcula volumul unei mingi, utilizați formula: 4/3 x pi× R 3. Adică, trebuie doar să cunoașteți raza (R) mingii.

De exemplu, să calculăm volumul unui balon cu diametrul de 10 m. Împărțiți diametrul cu 2 pentru a obține raza: 10/2 = 5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) × 125
- = 4.189 × 125
- = 523,6. Volumul balonului este 523,6 m 3.

Pentru a calcula volumul formelor în formă de con, utilizați formula: 1/3 x pi× R 2 × H. Volumul conului este egal cu 1/3 din volumul cilindrului, care are aceeași înălțime și rază.

De exemplu, să calculăm volumul unui con de înghețată cu o rază de 3 cm și o înălțime de 15 cm. Transformând în metri, obținem: 0,03 m și, respectiv, 0,15 m.
- 1/3 x (3,14) x 0,03 2 x 0,15
- = 1/3 x (3,14) x 0,0009 x 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Volumul conului de înghețată este 0,000141 m 3.

Utilizați mai multe formule pentru a calcula volumul formelor neregulate. Pentru a face acest lucru, încercați să rupeți forma în mai multe forme regulate. Apoi găsiți volumul fiecărei astfel de forme și adăugați rezultatele.

De exemplu, să calculăm volumul unui mic grânar. Depozitul are un corp cilindric de 12 m înălțime și o rază de 1,5 m. Depozitul are și un acoperiș conic de 1 m înălțime. Calculând separat volumul acoperișului și separat volumul corpului, putem găsi volumul total al grânar:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3,14) x 1,5 2 x 12 + 1/3 x (3,14) x 1,5 2 x 1
- = (3,14) x 2,25 x 12 + 1/3 x (3,14) x 2,25 x 1
- = (3,14) x 27 + 1/3 x (3,14) x 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Volumul de depozitare a cerealelor este de 87,178 m 3.

Cursul video „Ia un A” include toate subiectele necesare pentru a trece cu succes examenul la matematică la 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale examenului de stat unificat de profil la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de bază la matematică. Dacă doriți să treceți examenul pentru 90-100 de puncte, trebuie să rezolvați partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și aceasta este mai mult de 70 de puncte la examen și nici un student cu o sută de puncte, nici un student la științe umaniste nu se poate lipsi de ele.

Toată teoria de care ai nevoie. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului. Toate sarcinile relevante din partea 1 din Banca de sarcini ale FIPI au fost demontate. Cursul îndeplinește pe deplin cerințele examenului-2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și direct.

Sute de sarcini de examen. Probleme de cuvinte și teoria probabilităților. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de misiuni de utilizare. Stereometrie. Soluții dificile, foile de înșelătorie utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometria de la zero până la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuire. Explicație vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, grade și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și direct.

Și vechii egipteni foloseau metode pentru calcularea suprafețelor de diferite forme, asemănătoare metodelor noastre.

În cărțile lor „Începuturi” celebrul matematician grec antic Euclid a descris un număr destul de mare de metode pentru calcularea ariilor multor figuri geometrice. Primele manuscrise din Rusia, care conțin informații geometrice, au fost scrise în secolul XVI $. Acestea descriu regulile pentru găsirea suprafețelor figurilor de diferite forme.

Astăzi, cu ajutorul metodelor moderne, este posibil să găsești zona oricărei forme cu o mare acuratețe.

Luați în considerare una dintre cele mai simple forme - un dreptunghi - și formula pentru găsirea ariei sale.

Formula pentru aria unui dreptunghi

Luați în considerare o cifră (Fig. 1), care constă din pătrate de 8 $ cu laturi de 1 $ $ cm. Suprafața unui pătrat cu laturi 1 $ $ cm se numește centimetru pătrat și este scrisă ca 1 $ \ cm ^ 2 $.

Aria acestei cifre (Fig. 1) va fi egală cu 8 $ \ cm ^ 2 $.

Aria figurii, care poate fi împărțită în mai multe pătrate cu laturile $ 1 \ cm $ (de exemplu, $ p $), va fi egală cu $ p \ cm ^ 2 $.

Cu alte cuvinte, aria figurii va fi egală cu cât mai mulți $ cm ^ 2 $, în câte pătrate cu latura de 1 $ \ cm $ această cifră poate fi spartă.

Luați în considerare un dreptunghi (Fig. 2), care constă din benzi de $ 3 $, fiecare dintre ele fiind împărțit în pătrate de $ 5 $ cu laturile $ 1 \ cm $. întregul dreptunghi este format din $ 5 \ cdot 3 = 15 $ astfel de pătrate, iar aria sa este de $ 15 \ cm ^ 2 $.

Imaginea 1.

Figura 2.

Aria cifrelor este de obicei notată cu litera $ S $.

Pentru a găsi aria unui dreptunghi, trebuie să înmulțiți lungimea acestuia cu lățimea sa.

Dacă îi notăm lungimea cu litera $ a $ și lățimea cu litera $ b $, atunci formula pentru aria unui dreptunghi va arăta astfel:

Definiția 1

Cifrele sunt numite egal, dacă, suprapuse unele pe altele, formele coincid. Formele egale au suprafețe egale și perimetre egale.

Aria unei figuri poate fi găsită ca suma ariilor părților sale.

Exemplul 1

De exemplu, în Figura $ 3 $, dreptunghiul $ ABCD $ este împărțit în două părți de linia $ KLMN $. Zona unei părți este de 12 $ \ cm ^ 2 $, iar cealaltă este de 9 $ \ cm ^ 2 $. Atunci aria dreptunghiului $ ABCD $ va fi egală cu $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. Să găsim aria dreptunghiului după formula:

După cum puteți vedea, zonele găsite prin ambele metode sunt egale.

Figura 3.

Figura 4.

Segmentul $ AC $ împarte dreptunghiul în două triunghiuri egale: $ ABC $ și $ ADC $. Aceasta înseamnă că aria fiecărui triunghi este egală cu jumătate din aria întregului dreptunghi.

Definiția 2

Un dreptunghi cu laturi egale se numește pătrat.

Dacă desemnăm latura pătratului cu litera $ a $, atunci aria pătratului va fi găsită prin formula:

De aici și numele pătratului numărului $ a $.

Exemplul 2

De exemplu, dacă partea unui pătrat este de 5 $ $ cm, atunci aria sa este:

Volumele

Odată cu dezvoltarea comerțului și a construcțiilor în zilele civilizațiilor antice, a devenit necesar să se găsească volume. În matematică, există o secțiune de geometrie care se ocupă cu studiul figurilor spațiale, numită stereometrie. Mențiuni despre această zonă separată a matematicii au fost întâlnite deja în secolul al IV-lea d.Hr.

Matematicienii antici au dezvoltat o metodă pentru calcularea volumului figurilor simple - un cub și un paralelipiped. Toate structurile acelor vremuri aveau exact această formă. Dar mai târziu, s-au găsit metode pentru a calcula volumul figurilor de forme mai complexe.

Volumul unui paralelipiped dreptunghiular

Dacă umpleți matrița cu nisip umed și apoi o răsturnați, obținem o figură volumetrică, care se caracterizează prin volum. Dacă faceți mai multe astfel de figuri folosind același matriță, veți obține figuri care au același volum. Dacă umpleți matrița cu apă, atunci volumul de apă și volumul figurii de nisip vor fi, de asemenea, egale.

Figura 5.

Puteți compara volumele a două vase umplând una cu apă și turnând-o în al doilea vas. Dacă al doilea vas este complet umplut, atunci vasele au volume egale. Dacă, în acest caz, apa rămâne în primul, atunci volumul primului vas este mai mare decât volumul celui de-al doilea. Dacă, la turnarea apei din primul vas, nu este posibil să se umple complet al doilea vas, atunci volumul primului vas este mai mic decât volumul celui de-al doilea.

Volumul se măsoară folosind următoarele unități:

$ mm ^ 3 $ - milimetru cub,

$ cm ^ 3 $ - centimetru cub,

$ dm ^ 3 $ - decimetru cub,

$ m ^ 3 $ - metru cub,

$ km ^ 3 $ - kilometru cub.