Caracteristica prismei. Aria bazei prismei: triunghiulară până la poligonală

Definiție. Prismă- acesta este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele, iar în aceleași două plane există două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile respectiv paralele și toate muchiile care nu se află în acestea planurile sunt paralele.

Se numesc două fețe egale baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Toate fețele laterale se formează suprafata laterala a prismei .

Toate fețele laterale ale unei prisme sunt paralelograme .

Marginile care nu se află la baze se numesc margini laterale ale prismei ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prismei se numește un segment, ale cărui capete sunt două vârfuri ale prismei care nu se află pe una dintre fețele sale (AD 1).

Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .

Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea ocolirii, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile celeilalte; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, numai vârfurile aflate în o bază este indicată prin litere fără index, iar în cealaltă - cu index)

Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1, baza este un pentagon, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar de atunci o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe sunt bazele prismei, 5 fețe sunt paralelograme, sunt fețele sale laterale)

Dintre prismele drepte se remarcă un anumit tip: prismele regulate.

O prismă dreaptă se numește corect, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

Paralelipiped

cuboid- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.

Proprietăți și teoreme:

,

unde d este diagonala pătratului;
a - latura pătratului.

Ideea de prismă este dată de:

• diverse structuri arhitecturale;
• Jucării pentru copii;
• cutii de ambalare;
• articole de designer etc.

Suprafața totală și laterală a prismei

S complet \u003d S lateral + 2S principal,

Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S principal- suprafata de baza

Aria suprafeței laterale a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

partea S\u003d P principal * h,

Unde partea S este aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,

P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,

h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.

Volumul prismei

Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau în alte scopuri de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Informații generale despre o prismă dreaptă

Suprafața laterală a prismei (mai precis, aria suprafeței laterale) se numește sumă zonele feței laterale. Suprafața totală a prismei este egală cu suma suprafeței laterale și a ariilor bazelor.

Teorema 19.1. Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei, adică lungimea marginii laterale.

Dovada. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Bazele acestor dreptunghiuri sunt laturile poligonului situat la baza prismei, iar înălțimile sunt egale cu lungimea marginilor laterale. Rezultă că suprafața laterală a prismei este egală cu

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

unde a 1 și n sunt lungimile nervurilor bazei, p este perimetrul bazei prismei și I este lungimea nervurilor laterale. Teorema a fost demonstrată.

Sarcina practică

Sarcina (22) . Într-o prismă înclinată secțiune, perpendicular pe marginile laterale și intersectând toate marginile laterale. Aflați suprafața laterală a prismei dacă perimetrul secțiunii este p și marginile laterale sunt l.

Soluţie. Planul secțiunii desenate împarte prisma în două părți (Fig. 411). Să supunem unul dintre ele unei translații paralele care combină bazele prismei. În acest caz, obținem o prismă dreaptă, în care secțiunea prismei originale servește ca bază, iar marginile laterale sunt egale cu l. Această prismă are aceeași suprafață laterală ca cea originală. Astfel, suprafața laterală a prismei originale este egală cu pl.

Generalizarea temei

Și acum să încercăm cu tine să rezumam subiectul prismei și să ne amintim ce proprietăți are o prismă.

Proprietățile prismei

În primul rând, pentru o prismă, toate bazele sale sunt poligoane egale;
În al doilea rând, pentru o prismă, toate fețele sale laterale sunt paralelograme;
În al treilea rând, într-o figură cu mai multe fațete precum o prismă, toate marginile laterale sunt egale;

De asemenea, trebuie amintit că poliedre precum prismele pot fi drepte și înclinate.

Ce este o prismă dreaptă?

Dacă marginea laterală a unei prisme este perpendiculară pe planul bazei sale, atunci o astfel de prismă se numește linie dreaptă.

Nu va fi de prisos să ne amintim că fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri.

Ce este o prismă oblică?

Dar dacă marginea laterală a prismei nu este situată perpendicular pe planul bazei sale, atunci putem spune cu siguranță că aceasta este o prismă înclinată.

Care este prisma corectă?

Dacă un poligon regulat se află la baza unei prisme drepte, atunci o astfel de prismă este regulată.

Acum să ne amintim proprietățile pe care le are o prismă obișnuită.

Proprietățile unei prisme regulate

În primul rând, poligoanele regulate servesc întotdeauna ca baze ale unei prisme regulate;
În al doilea rând, dacă luăm în considerare fețele laterale ale unei prisme regulate, atunci acestea sunt întotdeauna dreptunghiuri egale;
În al treilea rând, dacă comparăm dimensiunile nervurilor laterale, atunci în prisma corectă acestea sunt întotdeauna egale.
În al patrulea rând, o prismă obișnuită este întotdeauna dreaptă;
În al cincilea rând, dacă într-o prismă regulată fețele laterale sunt sub formă de pătrate, atunci o astfel de figură, de regulă, se numește poligon semi-regulat.

Secțiunea prismei

Acum să ne uităm la secțiunea transversală a unei prisme:

Teme pentru acasă

Și acum să încercăm să consolidăm tema studiată prin rezolvarea problemelor.

Să desenăm o prismă triunghiulară înclinată, în care distanța dintre marginile ei va fi: 3 cm, 4 cm și 5 cm, iar suprafața laterală a acestei prisme va fi egală cu 60 cm2. Cu acești parametri, găsiți marginea laterală a prismei date.

Știți că figurile geometrice ne înconjoară constant nu numai la lecțiile de geometrie, ci și în viața de zi cu zi există obiecte care seamănă cu una sau alta figură geometrică.

Fiecare casă, școală sau serviciu are un computer, a cărui unitate de sistem este sub forma unei prisme drepte.

Dacă ridicați un creion simplu, veți vedea că partea principală a creionului este o prismă.

Mergând pe strada principală a orașului, vedem că sub picioarele noastre se află o țiglă care are forma unei prisme hexagonale.

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Poligoanele ABCDE și FHKMP, aflate în planuri paralele, se numesc bazele prismei, perpendiculara OO 1, coborâtă din orice punct al bazei în planul altuia, se numește înălțimea prismei. Paralelograme ABHF , BCKH etc. se numesc fețele laterale ale prismei, iar laturile lor CK, DM etc., care leagă vârfurile corespunzătoare ale bazelor, se numesc margini laterale. Într-o prismă, toate marginile laterale sunt egale între ele ca segmente de linii drepte paralele închise între planuri paralele.
Prisma se numește linie dreaptă ( fig.282,b) sau oblic ( Fig.282, în) în funcţie de faptul că marginile sale laterale sunt perpendiculare sau înclinate pe baze. Într-o prismă dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri. Marginea laterală poate fi luată ca înălțimea unei astfel de prisme.
O prismă dreaptă se numește regulată dacă bazele sale sunt poligoane regulate. Într-o astfel de prismă, toate fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.
Pentru a reprezenta o prismă într-un desen complex, trebuie să cunoașteți și să puteți reprezenta elementele din care constă (un punct, o linie dreaptă, o figură plată).
și imaginea acestora în desenul integrat (Fig.283, a - i)

a) Desen complex al unei prisme. Baza prismei este situată pe planul de proiecție P 1 ; una dintre feţele laterale ale prismei este paralelă cu planul proiecţiilor П 2 .
b) Baza inferioară a prismei DEF este o figură plată - un triunghi regulat situat în planul P 1; latura triunghiului DE este paralelă cu axa x 12 - Proiecția orizontală se îmbină cu baza dată și, prin urmare, este egală cu dimensiunea sa naturală; proiecția frontală se îmbină cu axa x12 și este egală cu latura bazei prismei.
c) Baza superioară a prismei ABC este o figură plată - un triunghi situat într-un plan orizontal. Proiecția orizontală se contopește cu proiecția bazei inferioare și o acoperă cu ea însăși, deoarece prisma este dreaptă; proiecție frontală - o linie dreaptă, paralelă cu axa x 12, la o distanță de înălțimea prismei.
d) Fața laterală a prismei ABED este o figură plată - un dreptunghi situat în plan frontal. Proiecție frontală - un dreptunghi egal cu dimensiunea naturală a feței; proiecție orizontală - o linie dreaptă, egală cu latura bazei prismei.
e) și f) Fețele laterale ale prismei ACFD și CBEF sunt figuri plate - dreptunghiuri situate în planuri proiectate orizontal situate la un unghi de 60 ° față de planul de proiecție П 2 . Proiecțiile orizontale sunt linii drepte situate la un unghi de 60 ° față de axa x 12 și sunt egale cu dimensiunea naturală a laturilor bazei prismei; proiecții frontale - dreptunghiuri, a căror imagine este mai mică decât dimensiunea naturală: două laturi ale fiecărui dreptunghi sunt egale cu înălțimea prismei.
g) Muchia AD a prismei este o dreaptă perpendiculară pe planul proiecțiilor P 1. Proiecție orizontală - punct; frontală - o linie dreaptă perpendiculară pe axa x 12, egală cu marginea laterală a prismei (înălțimea prismei).
h) Latura AB a bazei superioare este o linie dreaptă, paralelă cu planele P 1 și P 2. Proiecțiile orizontale și frontale sunt drepte, paralele cu axa x12 și egale cu latura bazei date a prismei. Proiecția frontală este distanțată de axa x cu 12 la o distanță egală cu înălțimea prismei.
i) Vârfurile prismei. Punctul E - vârful bazei inferioare este situat pe planul P 1 . Proiecția orizontală coincide cu punctul însuși; frontal - se află pe axa x 12. Punctul C - partea superioară a bazei superioare - este situat în spațiu. Proiecția orizontală are adâncime; frontală - o înălțime egală cu înălțimea unei prisme date.
Asta implică: La proiectarea oricărui poliedru, trebuie să-l împărțim mental în elementele sale constitutive și să determine ordinea reprezentării lor, care constă în operații grafice succesive. Pe (Fig.284 și Fig.285) sunt prezentate exemple de operații grafice secvențiale la efectuarea unui desen complex și a unei imagini vizuale (axonometrie) a prismelor.
(Fig. 284).

Dat:
1. Baza este situată pe planul proiecțiilor P 1.
2. Nicio parte a bazei nu este paralelă cu axa x12.
I. Desen integrat.
In absenta. Proiectăm baza inferioară - un poligon, care, prin condiție, se află în planul P 1.
eu, b. Proiectăm baza superioară - un poligon egal cu baza inferioară cu laturile în mod corespunzător paralele cu baza inferioară, distanțate de baza inferioară de înălțimea H a acestei prisme.
IC. Proiectăm marginile laterale ale prismei - segmente situate în paralel; proiecțiile lor orizontale sunt puncte care se contopesc cu proiecțiile vârfurilor bazelor; frontal - segmente (paralele) obținute din conexiunea de drepte a proiecțiilor vârfurilor bazelor cu același nume. Proiecțiile frontale ale nervurilor, desenate din proiecțiile vârfurilor B și C ale bazei inferioare, sunt descrise prin linii întrerupte ca fiind invizibile.
eu, dl. Se dau: proiecția orizontală F 1 a punctului F pe baza superioară și proiecția frontală K 2 a punctului K pe fața laterală. Este necesar să se determine locurile celei de-a doua proiecții ale acestora.
Pentru punctul F. A doua proiecție (frontală) F 2 a punctului F va coincide cu proiecția bazei superioare, ca punct situat în planul acestei baze; locul lui este determinat de linia verticală de comunicare.
Pentru punctul K - A doua proiecție (orizontală) K 1 a punctului K va coincide cu proiecția orizontală a feței laterale, ca punct situat în planul feței; locul lui este determinat de linia verticală de comunicare.
II. Desfăşurarea suprafeţei prismei- o figură plată compusă din fețe laterale - dreptunghiuri, în care două laturi sunt egale cu înălțimea prismei, iar celelalte două sunt egale cu laturile corespunzătoare ale bazei, iar din două baze egale între ele - poligoane neregulate.
Pe proiecții sunt relevate dimensiunile naturale ale bazelor și laturilor fețelor, necesare pentru construirea unei maturi; pe ele și construim; pe o linie dreaptă, punem deoparte secvenţial laturile AB, BC, CD, DE şi EA ale poligonului - bazele prismei, luate din proiecţia orizontală. Pe perpendicularele trase din punctele A, B, C, D, E și A, lăsăm deoparte înălțimea H a acestei prisme luate din proiecția frontală și trasăm o linie dreaptă prin semne. Ca urmare, obținem o dezvoltare a fețelor laterale ale prismei.
Dacă atașăm bazele prismei la această scanare, obținem o scanare a întregii suprafețe a prismei. Bazele prismei trebuie atașate la fața laterală corespunzătoare folosind metoda triangulației.
Pe baza superioară a prismei, folosind razele R și R 1, determinăm locația punctului F, iar pe fața laterală, folosind razele R 3 și H 1, punctul K.
III. Reprezentarea vizuală a unei prisme în dimetrie.
III, a. Înfățișăm baza inferioară a prismei de-a lungul coordonatelor punctelor A, B, C, D și E (Fig.284 I, a).
III, b. Înfățișăm baza superioară paralelă cu cea inferioară, distanțată de aceasta de o înălțime H a prismei.
III, c. Înfățișăm marginile laterale, pentru care conectăm vârfurile corespunzătoare ale bazelor cu linii drepte. Determinăm elementele vizibile și invizibile ale prismei și le conturăm cu liniile corespunzătoare,
III, d. Determinăm punctele F și K de pe suprafața prismei - Punctul F - de pe baza superioară se determină folosind dimensiunile i și e; punctul K - pe fața laterală folosind i 1 și H" .
Pentru o imagine izometrică a unei prisme și pentru a determina locațiile punctelor F și K, trebuie urmată aceeași succesiune.
Fig.285).

Dat:
1. Baza este situată pe planul P 1.
2. Nervurile laterale sunt paralele cu planul P 2.
3. Nicio parte a bazei nu este paralelă cu axa x 12
I. Desen integrat.
In absenta. Proiectăm în conformitate cu această condiție: baza inferioară este un poligon situat în planul P 1, iar marginea laterală este un segment paralel cu planul P 2 și înclinat față de planul P 1.
eu, b. Proiectăm marginile laterale rămase - segmente egale și paralele cu prima margine CE.
IC. Proiectând baza superioară a prismei ca un poligon egal și paralel cu baza inferioară, obținem un desen complex al prismei.
Dezvăluim elemente invizibile pe proiecții. Proiecția frontală a nervurii BM și proiecția orizontală a părții laterale a CD-ului de bază sunt descrise prin linii întrerupte ca fiind invizibile.
I, d. Având în vedere proiecția frontală Q 2 a punctului Q pe proiecția A 2 K 2 F 2 D 2 a feței laterale; trebuie să-i găsiți proiecția orizontală. Pentru aceasta, trasăm prin punctul Q 2 din proiecția A 2 K 2 F 2 D 2 a feței prismei o dreaptă auxiliară paralelă cu marginile laterale ale acestei fețe. Găsim proiecția orizontală a dreptei auxiliare și pe ea, folosind linia verticală de comunicare, determinăm locul proiecției orizontale dorite Q 1 a punctului Q .
II. Scanarea suprafeței prismei.
Având dimensiunile naturale ale laturilor bazei pe proiecția orizontală și dimensiunile nervurilor pe proiecția frontală, este posibil să se construiască o desfășurare completă a suprafeței acestei prisme.
Vom rostogoli prisma, rotind-o de fiecare dată în jurul marginii laterale, apoi fiecare față laterală a prismei de pe plan va lăsa o urmă (paralelogram) egală cu dimensiunea sa naturală. Vom construi o scanare laterală în următoarea ordine:
a) de la punctele A 2, B 2, D 2. . . E 2 (proiecții frontale ale vârfurilor bazelor) trasăm linii drepte auxiliare perpendiculare pe proiecțiile nervurilor;
b) cu o rază R (egală cu latura bazei CD) facem o crestătură în punctul D pe o dreaptă auxiliară trasată din punctul D 2; unind punctele drepte C 2 si D si trasand drepte paralele cu E 2 C 2 si C 2 D , se obtine fata laterala CEFD ;
c) apoi, atașând în mod similar următoarele fețe laterale, obținem o dezvoltare a fețelor laterale ale prismei. Pentru a obține o măturare completă a suprafeței acestei prisme, o atașăm la fețele corespunzătoare ale bazei.
III. Reprezentarea vizuală a unei prisme în izometrie.
III, a. Reprezentăm baza inferioară a prismei și marginea CE, folosind coordonatele conform (