Hangi şekle piramit diyoruz? İlk olarak, bu bir çokyüzlüdür. İkincisi, bu polihedronun tabanında rastgele bir çokgen vardır ve piramidin yanları (yan yüzler) zorunlu olarak ortak bir tepe noktasında birleşen üçgenler şeklindedir. Şimdi terimi anladıktan sonra piramidin yüzey alanını nasıl bulacağımızı öğrenelim.
Böyle bir geometrik cismin yüzey alanının, taban alanları ile tüm yan yüzeyinin toplamından oluştuğu açıktır.
Bir piramidin tabanının alanının hesaplanması
Hesaplama formülünün seçimi piramidimizin altında yatan çokgenin şekline bağlıdır. Düzenli, yani kenarları aynı uzunlukta veya düzensiz olabilir. Her iki seçeneği de ele alalım.
Taban düzgün bir çokgendir
Okul kursundan biliyoruz:
- karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşit olacaktır;
- Eşkenar üçgenin alanı, kenarının karesinin 4'e bölümü ve çarpımına eşittir Kare köküçte biri.
Ama aynı zamanda var Genel formül Herhangi bir normal çokgenin (Sn) alanını hesaplamak için: bu çokgenin çevresini (P), içinde yazılı dairenin yarıçapı (r) ile çarpmanız ve ardından sonucu ikiye bölmeniz gerekir: Sn= 1/2P*r.
Tabanda düzensiz bir çokgen var
Alanını bulma şeması, önce tüm çokgeni üçgenlere bölmek, her birinin alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamaktır: 1/2a*h (burada a, üçgenin tabanıdır, h, indirilen yüksekliktir) bu taban), tüm sonuçları toplayın.
Piramidin yan yüzey alanı
Şimdi piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayalım; tüm yan kenarlarının alanlarının toplamı. Burada da 2 seçenek var.
- Keyfi bir piramidimiz olsun, yani. tabanında düzensiz bir çokgen bulunan bir tane. Daha sonra her yüzün alanını ayrı ayrı hesaplayıp sonuçları eklemelisiniz. Bir piramidin kenarları tanım gereği yalnızca üçgen olabileceğinden, hesaplama yukarıda belirtilen formül kullanılarak gerçekleştirilir: S=1/2a*h.
- Piramidimizin doğru olmasına izin verin, yani. tabanında düzenli bir çokgen bulunur ve piramidin tepesinin izdüşümü merkezdedir. Daha sonra, yan yüzeyin alanını (Sb) hesaplamak için, taban poligonun (P) çevresinin çarpımının yarısını ve yan tarafın yüksekliğini (h) (tüm yüzler için aynı) bulmak yeterlidir. ): Sb = 1/2 P*h. Bir çokgenin çevresi tüm kenarlarının uzunlukları toplanarak belirlenir.
Toplam yüzey alanı düzenli piramit tabanının alanı ile tüm yan yüzeyin alanı toplanarak bulunur.
Örnekler
Örneğin, birkaç piramidin yüzey alanlarını cebirsel olarak hesaplayalım.
Üçgen piramidin yüzey alanı
Böyle bir piramidin tabanında bir üçgen bulunur. So=1/2a*h formülünü kullanarak tabanın alanını buluyoruz. Piramidin her yüzünün alanını bulmak için aynı formülü kullanıyoruz. üçgen şekli ve 3 alan elde ederiz: S1, S2 ve S3. Piramidin yan yüzeyinin alanı tüm alanların toplamıdır: Sb = S1+ S2+ S3. Kenarların ve tabanın alanlarını toplayarak istenilen piramidin toplam yüzey alanını elde ederiz: Sp= So+ Sb.
Dörtgen piramidin yüzey alanı
Yan yüzeyin alanı 4 terimin toplamıdır: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, bunların her biri üçgenin alanı formülü kullanılarak hesaplanır. Ve dörtgenin şekline bağlı olarak - düzenli veya düzensiz - tabanın alanının aranması gerekecektir. Piramidin toplam yüzey alanı yine taban alanı ile verilen piramidin toplam yüzey alanının eklenmesiyle elde edilir.
Bu geometrik şekil ve özellikleri ile ilgili soruları incelemeden önce bazı terimleri anlamalısınız. İnsan piramidi duyduğunda aklına Mısır'daki devasa binalar gelir. En basitleri böyle görünüyor. Ama oluyorlar farklı şekiller ve şekiller, yani geometrik şekillerin hesaplama formülleri farklı olacaktır.
Piramit – geometrik şekil , çeşitli yüzleri belirtir ve temsil eder. Özünde, bu, tabanında bir çokgen bulunan aynı çokyüzlüdür ve yanlarda bir noktaya - tepe noktasına bağlanan üçgenler vardır. Şekil iki ana tipte gelir:
- doğru;
- kesilmiş.
İlk durumda taban normal bir çokgendir. Burada tüm yan yüzeyler eşittir kendi aralarında ve figürün kendisi arasında bir mükemmeliyetçinin gözünü memnun edecektir.
İkinci durumda, iki taban vardır - en altta büyük ve üst arasında küçük olan, ana tabanın şeklini tekrarlayan. Başka bir deyişle, kesik bir piramit, tabana paralel oluşturulmuş bir kesite sahip bir çokyüzlüdür.
Terimler ve semboller
Anahtar terimler:
- Düzenli (eşkenar) üçgen- üç özdeş açıya sahip bir şekil ve eşit taraflar. Bu durumda tüm açılar 60 derecedir. Şekil, normal çokyüzlülerin en basitidir. Bu şekil tabanda yer alıyorsa, böyle bir çokyüzlüye normal üçgen adı verilecektir. Taban kare ise, piramite düzenli dörtgen piramit adı verilecektir.
- Tepe noktası– en çok en üst nokta, kenarların buluştuğu yer. Tepe noktasının yüksekliği, tepe noktasından piramidin tabanına uzanan düz bir çizgiyle oluşturulur.
- Kenar– çokgenin düzlemlerinden biri. Üçgen piramit durumunda üçgen şeklinde veya yamuk şeklinde olabilir. kesik piramit.
- Bölüm- diseksiyon sonucu oluşan düz bir figür. Bölüm aynı zamanda bölümün arkasında ne olduğunu da gösterdiği için bölümle karıştırılmamalıdır.
- Özlem- piramidin tepesinden tabanına kadar çizilen bir bölüm. Aynı zamanda ikinci yükseklik noktasının bulunduğu yüzün yüksekliğidir. Bu tanım yalnızca normal bir çokyüzlü için geçerlidir. Örneğin, bu kesik bir piramit değilse, yüz bir üçgen olacaktır. İÇİNDE bu durumda bu üçgenin yüksekliği özdeyiş olacaktır.
Alan formülleri
Piramidin yan yüzey alanını bulun herhangi bir tür birkaç yolla yapılabilir. Şekil simetrik değilse ve bir çokgen ise farklı taraflar, o zaman bu durumda hesaplamak daha kolaydır Toplam alanı tüm yüzeylerin toplamı boyunca yüzeyler. Yani her bir yüzün alanını hesaplayıp bunları birbirine eklemeniz gerekiyor.
Hangi parametrelerin bilindiğine bağlı olarak, kare, yamuk, isteğe bağlı dörtgen vb. hesaplama formülleri gerekebilir. Formüllerin kendisi farklı durumlar farklılıkları da olacaktır.
durumunda doğru rakam Bölgeyi bulmak çok daha kolay. Sadece birkaç temel parametreyi bilmek yeterlidir. Çoğu durumda, bu tür rakamlar için özel olarak hesaplamalar yapılması gerekir. Bu nedenle ilgili formüller aşağıda verilecektir. Aksi takdirde, her şeyi birkaç sayfaya yazmak zorunda kalırsınız, bu da yalnızca kafanızı karıştırır ve kafanızı karıştırır.
Hesaplama için temel formül düzenli bir piramidin yan yüzey alanı sonraki görünüm:
S=½ Pa (P tabanın çevresidir ve apothemdir)
Bir örneğe bakalım. Çokyüzlünün A1, A2, A3, A4, A5 segmentli bir tabanı vardır ve hepsi 10 cm'ye eşittir, öz 5 cm olsun, önce çevreyi bulmanız gerekir. Tabanın beş yüzü de aynı olduğundan şu şekilde bulabilirsiniz: P = 5 * 10 = 50 cm Sonra temel formülü uyguluyoruz: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm kare.
Yan yüzey alanı doğrudur Üçgen piramit hesaplaması en kolayı. Formül şuna benziyor:
S =½* ab *3, burada a özdeyiş, b tabanın yüzüdür. Buradaki üç faktörü, tabanın yüz sayısı anlamına gelir ve ilk kısım, yan yüzeyin alanıdır. Bir örneğe bakalım. Apothemi 5 cm, taban kenarı 8 cm olan bir şekil verildiğinde S = 1/2*5*8*3=60 cm kareyi hesaplıyoruz.
Kesilmiş bir piramidin yan yüzey alanı Hesaplaması biraz daha zor. Formül şuna benzer: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, burada p_01 ve p_02 tabanların çevreleridir ve apothemdir. Bir örneğe bakalım. Diyelim ki dörtgen bir şekil için tabanların kenar ölçüleri 3 ve 6 cm, özdeyiş ise 4 cm olsun.
Burada öncelikle tabanların çevrelerini bulmanız gerekiyor: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Geriye kalan değerleri ana formülde değiştirmek kalıyor ve şunu elde ediyoruz: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm kare.
Böylece herhangi bir karmaşıklıktaki düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulabilirsiniz. Dikkatli olmalısın ve kafanı karıştırmamalısın bu hesaplamalar tüm polihedronun toplam alanıyla yapılır. Ve yine de bunu yapmanız gerekiyorsa, çokyüzlünün en büyük tabanının alanını hesaplayın ve bunu çokyüzlünün yan yüzeyinin alanına ekleyin.
Video
Bu video, farklı piramitlerin yan yüzey alanını nasıl bulacağınızla ilgili bilgileri birleştirmenize yardımcı olacaktır.
Sorunuza cevap alamadınız mı? Yazarlara bir konu önerin.
Düzlemdeki ve üç boyutlu uzaydaki tipik geometrik problemler, yüzey alanlarının belirlenmesi problemleridir. farklı rakamlar. Bu yazıda düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanı formülünü sunuyoruz.
Piramit nedir?
Bir piramidin kesin bir geometrik tanımını verelim. Diyelim ki n kenarı ve n açısı olan bir çokgenimiz var. Uzayda belirtilen n-gon düzleminde olmayacak rastgele bir nokta seçelim ve onu çokgenin her köşesine bağlayalım. N-gonal piramit adı verilen belirli bir hacme sahip bir şekil elde edeceğiz. Örneğin aşağıdaki şekilde beşgen bir piramidin neye benzediğini gösterelim.
İki önemli unsur Herhangi bir piramidin tabanı (n-gon) ve tepesi vardır. Bu elemanlar birbirine n adet üçgenle bağlanmıştır. Genel dava birbirine eşit değildir. Yukarıdan tabana doğru inen dik çizgiye şeklin yüksekliği denir. Tabanı geometrik merkezde keserse (çokgenin kütle merkeziyle çakışırsa), böyle bir piramide düz çizgi denir. Bu duruma ek olarak taban düzgün bir çokgen ise, piramidin tamamına düzenli denir. Aşağıdaki resim üçgen, dörtgen, beşgen ve altıgen tabanlı normal piramitlerin nasıl göründüğünü göstermektedir.
Piramidin yüzeyi
Düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanı sorusuna geçmeden önce, yüzey kavramı üzerinde daha detaylı durmalıyız.
Yukarıda bahsedildiği ve şekillerde gösterildiği gibi, herhangi bir piramit bir dizi yüz veya kenardan oluşur. Bir tarafı taban, n tarafı ise üçgendir. Tüm şeklin yüzeyi, her bir tarafının alanlarının toplamıdır.
Bir figürün gelişimi örneğini kullanarak bir yüzeyi incelemek uygundur. Düzenli bir dörtgen piramidin gelişimi aşağıdaki şekillerde gösterilmektedir.
Yüzey alanının aynı ikizkenar üçgenlerin dört alanı ile bir karenin alanının toplamına eşit olduğunu görüyoruz.
Bir şeklin kenarlarını oluşturan tüm üçgenlerin toplam alanına genellikle yan yüzey alanı denir. Daha sonra düzenli bir dörtgen piramit için bunun nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.
Dörtgen düzenli bir piramidin yan yüzey alanı
Belirtilen şeklin yan yüzey alanını hesaplamak için tekrar yukarıdaki gelişmeye dönüyoruz. Kare tabanın kenarını bildiğimizi varsayalım. Bunu a sembolüyle gösterelim. Dört özdeş üçgenin her birinin a uzunluğunda bir tabana sahip olduğu görülebilir. Toplam alanlarını hesaplamak için bir üçgenin bu değerini bilmeniz gerekir. Geometri dersinden, bir üçgenin S t alanının taban ve yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu ve bunun ikiye bölünmesi gerektiğini biliyoruz. Yani:
nerede h b - yükseklik ikizkenar üçgen, a'nın tabanına çizilmiştir. Bir piramit için bu yükseklik bir özdeyiştir. Şimdi, söz konusu piramidin yan yüzeyinin Sb alanını elde etmek için elde edilen ifadeyi 4 ile çarpmak kalıyor:
S b = 4*S t = 2*h b *a.
Bu formül iki parametre içerir: öz ve tabanın tarafı. Eğer ikincisi çoğu problem koşulunda biliniyorsa, o zaman ilkinin diğer miktarlar bilinerek hesaplanması gerekir. İki durum için h b özdeyişini hesaplamaya yönelik formüller şunlardır:
- yan kaburganın uzunluğu bilindiğinde;
- piramidin yüksekliği bilindiğinde.
Yan kenarın uzunluğunu (ikizkenar üçgenin tarafı) L sembolüyle belirtirsek, o zaman hb kısa formülü aşağıdaki formülle belirlenir:
h b = √(L 2 - a 2 /4).
Bu ifade Pisagor teoreminin yan yüzey üçgenine uygulanmasının sonucudur.
Piramidin yüksekliği h biliniyorsa, hb kısa değeri aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
h b = √(h 2 + a 2/4).
Piramidin içine baktığımızda da bu ifadeyi elde etmek hiç de zor değil. dik üçgen, h ve a/2 bacakları ve h b hipotenüsünden oluşur.
Bu formüllerin nasıl uygulanacağını iki çözümü çözerek göstereceğiz. ilginç görevler.
Bilinen yüzey alanıyla ilgili sorun
Dörtgenin yan yüzeyinin alanının 108 cm2 olduğu bilinmektedir. Piramidin yüksekliği 7 cm ise hb kısalığının uzunluğunu hesaplamak gerekir.
Yan yüzeyin S b alanının formülünü yükseklik cinsinden yazalım. Sahibiz:
S b = 2*√(h 2 + a 2/4) *a.
Burada basitçe uygun kısa formül formülünü S b ifadesinin yerine koyduk. Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.
A'nın değerini bulmak için değişkenlerde değişiklik yaparız:
t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.
Şimdi yerine koyalım bilinen değerler ve karar ver ikinci dereceden denklem:
t2 + 196*t - 11664 = 0.
Bu denklemin sadece pozitif kökünü yazdık. O zaman piramidin tabanının kenarları şuna eşit olacaktır:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.
Özdeyişin uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanmanız yeterlidir:
h b = √(h 2 + a 2/4) = √(7 2 + 6,916 2/4) ≈ 7,808 cm.
Keops piramidinin yan yüzeyi
En büyüğü için yan yüzey alanının değerini belirleyelim. Mısır piramidi. Tabanında kenar uzunluğu 230.363 metre olan bir karenin bulunduğu bilinmektedir. Yapının yüksekliği başlangıçta 146,5 metreydi. Bu sayıları S b için karşılık gelen formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m2.
Bulunan değer 17 futbol sahasının alanından biraz daha büyüktür.
Yükleniyor...