İlk seviye

İkinci dereceden denklemler. Kapsamlı rehber (2019)

"İkinci dereceden denklem" terimindeki anahtar kelime "ikinci dereceden"dir. Bu, denklemin zorunlu olarak bir değişkenin (aynı x) karesini içermesi gerektiği ve x'lerin üçüncü (veya daha büyük) kuvvetinin olmaması gerektiği anlamına gelir.

Birçok denklemin çözümü tam olarak çözülmesine bağlıdır ikinci dereceden denklemler.

Bunun başka bir denklem değil, ikinci dereceden bir denklem olduğunu belirlemeyi öğrenelim.

Örnek 1.

Paydadan kurtulalım ve denklemin her terimini şununla çarpalım:

Her şeyi şuraya taşıyalım: Sol Taraf ve terimleri x'in kuvvetlerine göre azalan şekilde düzenleyin

Artık bu denklemin ikinci dereceden olduğunu güvenle söyleyebiliriz!

Örnek 2.

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Bu denklem, başlangıçta içinde olmasına rağmen ikinci dereceden değildir!

Örnek 3.

Her şeyi şununla çarpalım:

Korkutucu? Dördüncü ve ikinci dereceler... Ancak yerine koyarsak basit ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu görürüz:

Örnek 4.

Orada gibi görünüyor, ama daha yakından bakalım. Her şeyi sol tarafa taşıyalım:

Bakın, bu azaltılmış - ve artık basit bir doğrusal denklem!

Şimdi aşağıdaki denklemlerden hangilerinin ikinci dereceden olduğunu ve hangilerinin olmadığını kendiniz belirlemeye çalışın:

Örnekler:

Yanıtlar:

1. kare;
2. kare;
3. kare değil;
4. kare değil;
5. kare değil;
6. kare;
7. kare değil;
8. kare.

Matematikçiler geleneksel olarak tüm ikinci dereceden denklemleri aşağıdaki türlere ayırırlar:

• İkinci dereceden denklemleri tamamlayın- katsayıların ve serbest terim c'nin sıfıra eşit olmadığı denklemler (örnekte olduğu gibi). Ek olarak, tam ikinci dereceden denklemler arasında verildi- bunlar katsayının olduğu denklemlerdir (birinci örnekteki denklem sadece tamamlanmış değil, aynı zamanda azaltılmış!)

• Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu denklemler:

  Eksikler çünkü bazı unsurlar eksik. Ancak denklem her zaman x kareyi içermelidir!!! Aksi takdirde, artık ikinci dereceden bir denklem değil, başka bir denklem olacaktır.

Neden böyle bir ayrım yaptılar? Görünüşe göre bir X kare var ve tamam. Bu bölüm çözüm yöntemlerine göre belirlenir. Her birine daha ayrıntılı olarak bakalım.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Öncelikle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeye odaklanalım; bunlar çok daha basit!

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem türleri vardır:

1. , bu denklemde katsayı eşittir.
2. , bu denklemde serbest terim eşittir.
3. , bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

1. i. Karekök almayı bildiğimize göre bu denklemden ifade edelim.

İfade negatif veya pozitif olabilir. Kareli bir sayı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayı çarpıldığında sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır, yani: eğer öyleyse, o zaman denklemin çözümü yoktur.

Ve eğer öyleyse, o zaman iki kök elde ederiz. Bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Önemli olan, daha az olamayacağını bilmeniz ve her zaman hatırlamanızdır.

Bazı örnekleri çözmeye çalışalım.

Örnek 5:

Denklemi çözün

Artık geriye kalan tek şey kökü sol ve sağ taraftan çıkarmaktır. Sonuçta köklerin nasıl çıkarılacağını hatırlıyor musunuz?

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!!!

Örnek 6:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 7:

Denklemi çözün

Ah! Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok!

Kökleri olmayan bu tür denklemler için matematikçiler özel bir simge (boş küme) geliştirdiler. Ve cevap şu şekilde yazılabilir:

Cevap:

Dolayısıyla bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır. Kökünü çıkarmadığımız için burada herhangi bir kısıtlama yoktur.
Örnek 8:

Denklemi çözün

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Böylece,

Bu denklemin iki kökü vardır.

Cevap:

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin en basit türü (her ne kadar hepsi basit olsa da, değil mi?). Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Burada örneklere yer vermeyeceğiz.

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme

Tam bir ikinci dereceden denklemin, form denkleminin bir denklemi olduğunu hatırlatırız;

İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözmek bunlardan biraz daha zordur (sadece biraz).

Hatırlamak, Herhangi bir ikinci dereceden denklem bir diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Diğer yöntemler bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümde ustalaşın.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

Bu yöntemi kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek çok basittir, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse denklemin bir kökü vardır. Özel dikkat adım at. Diskriminant () bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin yalnızca bir kökü olacaktır.
• Eğer öyleyse, bu adımda diskriminantın kökünü çıkaramayacağız. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.

Örnek 9:

Denklemi çözün

Aşama 1 atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir.

Aşama 3.

Cevap:

Örnek 10:

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, denklemin tek kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap:

Örnek 11:

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlıyoruz.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu, diskriminantın kökünü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.

Artık bu tür cevapları nasıl doğru bir şekilde yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: kök yok

2. İkinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi.

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bir denklem türü vardır (a katsayısı şuna eşit olduğunda):

Bu tür denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmek çok kolaydır:

Köklerin toplamı verildiİkinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.

Örnek 12:

Denklemi çözün

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü .

Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün şuna eşittir:

Sistemi oluşturup çözelim:

• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13:

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 14:

Denklemi çözün

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Cevap:

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

İkinci dereceden denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenlerin, bazı sayıların ve olduğu formun bir denklemidir.

Sayıya en yüksek veya denir ilk katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - Ücretsiz Üye.

Neden? Çünkü denklem hemen doğrusal hale gelirse, çünkü Kaybolacak.

Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denkleme eksik denir. Eğer tüm terimler yerli yerindeyse denklem tamamlanmış demektir.

Çeşitli ikinci dereceden denklem türlerinin çözümleri

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

Öncelikle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerine bakalım - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türlerini ayırt edebiliriz:

I., bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

II. , bu denklemde katsayı eşittir.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.

Açıkçası, bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır:

Kareli bir sayı negatif olamaz çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer öyleyse denklemin çözümü yoktur;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutmayın!

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Bir problemin çözümü olmadığını kısaca yazmak için boş küme simgesini kullanırız.

Cevap:

Yani bu denklemin iki kökü var: ve.

Cevap:

Parantezlerin ortak çarpanını çıkaralım:

Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda ürün sıfıra eşittir. Bu, aşağıdaki durumlarda denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayıralım ve kökleri bulalım:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri:

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl önemli olan eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, ikinci dereceden herhangi bir denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki ayırıcının köküne dikkat ettiniz mi? Ancak diskriminant negatif olabilir. Ne yapalım? 2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, denklemin kökleri vardır:
• Eğer öyleyse, denklem aynı köklere ve aslında bir köke sahipse:

  Bu tür köklere çift kök denir.

• Eğer öyleyse, diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu da denklemin köklerinin olmadığını gösterir.

Neden mümkün? farklı miktarlar kökler? Hadi dönelim geometrik anlamda ikinci dereceden denklem. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel bir durumda, . Bu, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir. Bir parabol ekseni hiç kesmeyebilir veya onu bir noktada (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesebilir.

Ayrıca katsayı parabolün dallarının yönünden de sorumludur. Eğer öyleyse, parabolün dalları yukarıya, eğer ise aşağıya doğru yönlendirilir.

Örnekler:

Çözümler:

Cevap:

Cevap: .

Cevap:

Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır: sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.

Vieta teoreminin yalnızca indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremi kullanılarak çözülebilir çünkü . Diğer katsayılar: ; .

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün şuna eşittir:

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Tutar şuna eşittir;
• Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Dolayısıyla ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; .

Örnek #2:

Çözüm:

Çarpımı veren sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

ve: toplamda veriyorlar.

ve: toplamda veriyorlar. Elde etmek için, sözde köklerin ve sonuçta ürünün işaretlerini değiştirmek yeterlidir.

Cevap:

Örnek #3:

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatif olduğundan köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı eşittir modüllerinin farklılıkları.

Çarpımı veren ve farkı eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

ve: farkları eşit - uymuyor;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun. Geriye kalan tek şey köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak. Toplamlarının eşit olması gerektiğinden, modülü daha küçük olan kök negatif olmalıdır: . Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek #4:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Serbest terim negatif olduğundan köklerin çarpımı negatiftir. Bu da ancak denklemin bir kökünün negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür.

Çarpımları eşit olan sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:

Açıkçası, yalnızca kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek #5:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem verilmiştir, bunun anlamı şudur:

Köklerin toplamı negatiftir, yani en azından köklerden biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan her iki kökün de eksi işareti olduğu anlamına gelir.

Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

Açıkçası, kökler sayılardır ve.

Cevap:

Katılıyorum, bu kötü ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kökleri bulmak çok uygun. Vieta teoremini mümkün olduğunca sık kullanmaya çalışın.

Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır. Kullanımından faydalanabilmeniz için eylemleri otomatikleştirmeniz gerekmektedir. Bunun için beş örnek daha çözün. Ama hile yapmayın: diskriminant kullanamazsınız! Yalnızca Vieta teoremi:

Bağımsız çalışma için görev çözümleri:

Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta teoremine göre:

Her zamanki gibi seçime şu parçayla başlıyoruz:

Uygun değil çünkü miktar;

: miktar tam ihtiyacınız olan şeydir.

Cevap: ; .

Görev 2.

Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam eşit olmalı ve çarpım da eşit olmalıdır.

Ama olmaması gerektiği için, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; .

Görev 3.

Hımm... Nerede o?

Tüm terimleri tek bir bölüme taşımanız gerekir:

Köklerin toplamı çarpıma eşittir.

Tamam, dur! Denklem verilmemiştir. Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlere uygulanabilir. Bu yüzden önce bir denklem vermeniz gerekiyor. Eğer liderlik edemiyorsanız, bu fikirden vazgeçin ve sorunu başka bir yolla (örneğin, ayrımcıyla) çözün. İkinci dereceden bir denklem vermenin baş katsayıyı eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

Harika. O zaman köklerin toplamı eşittir ve çarpım.

Burada armut bombardımanı yapmak kadar kolay: sonuçta bu bir asal sayı (totoloji için özür dilerim).

Cevap: ; .

Görev 4.

Ücretsiz üye negatiftir. Bunun nesi özel? Ve gerçek şu ki, köklerin farklı işaretleri olacak. Ve şimdi seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerindeki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak bir üründür.

Yani kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler. Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, çünkü.

Cevap: ; .

Görev 5.

İlk önce ne yapmalısın? Bu doğru, denklemi verin:

Tekrar: Sayının faktörlerini seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalıdır:

Kökler ve'ye eşittir, ancak bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, yani eksi daha büyük bir köke sahip olacaktır.

Cevap: ; .

Özetleyeyim:

1. Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
2. Vieta teoremini kullanarak kökleri seçim yoluyla sözlü olarak bulabilirsiniz.
3. Denklem verilmezse veya serbest terimin uygun bir faktör çifti bulunmazsa, o zaman tam kök yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, bir diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam kareyi seçme yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler kısaltılmış çarpma formüllerinden (toplamın veya farkın karesi) terimler biçiminde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra denklem, türün tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi biçiminde sunulabilir.

Örneğin:

Örnek 1:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Örnek 2:

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

İÇİNDE Genel görünüm dönüşüm şöyle görünecek:

Bu şu anlama gelir: .

Sana hiçbir şey hatırlatmıyor mu? Bu ayrımcılıktır! Diskriminant formülünü tam olarak bu şekilde elde ettik.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden denklem- bu, - bilinmeyenin, - ikinci dereceden denklemin katsayılarının, - serbest terimin olduğu formun bir denklemidir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem: .

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

• katsayı ise denklem şuna benzer: ,
• serbest bir terim varsa denklem şu şekildedir: ,
• eğer ve ise denklem şuna benzer: .

1. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edelim: ,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

• eğer öyleyse denklemin çözümü yok,
• eğer öyleyse denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım: ,

2) Faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .

2. Formun ikinci dereceden tam denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant kullanarak çözüm

1) Denklemi standart forma getirelim: ,

2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayalım:

3) Denklemin köklerini bulun:

• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan kökleri vardır:
• eğer öyleyse, denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse denklemin kökleri yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemi) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , A.

2.3. Tam kare seçme yöntemiyle çözüm

İkinci dereceden denklem problemleri hem okul müfredatında hem de üniversitelerde incelenmektedir. a*x^2 + b*x + c = 0 formundaki denklemleri kastediyorlar; X- değişken, a, b, c – sabitler; A<>0. Görev denklemin köklerini bulmaktır.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamı

İkinci dereceden bir denklemle temsil edilen bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. İkinci dereceden bir denklemin çözümleri (kökleri), parabolün apsis (x) ekseni ile kesişme noktalarıdır. Buradan üç olası durumun olduğu anlaşılmaktadır:
1) parabolün apsis ekseni ile kesişme noktası yoktur. Bu, dalları yukarı bakacak şekilde üst düzlemde veya dalları aşağı bakacak şekilde altta olduğu anlamına gelir. Bu gibi durumlarda, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur (iki karmaşık kökü vardır).

2) parabolün Ox ekseni ile bir kesişme noktası vardır. Böyle bir noktaya parabolün tepe noktası denir ve buradaki ikinci dereceden denklem minimum veya maksimum değerini alır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin bir gerçek kökü (veya iki özdeş kökü) vardır.

3) Son durum pratikte daha ilginçtir - parabolün apsis ekseni ile kesiştiği iki nokta vardır. Bu, denklemin iki gerçek kökü olduğu anlamına gelir.

Değişkenlerin kuvvetlerinin katsayılarının analizine dayanarak parabolün yerleşimi hakkında ilginç sonuçlar çıkarılabilir.

1) a katsayısı sıfırdan büyükse parabolün dalları yukarı doğru, negatifse parabolün dalları aşağı doğru yönlendirilir.

2) B katsayısı sıfırdan büyükse, parabolün tepe noktası sol yarı düzlemde bulunur, negatif bir değer alırsa sağdadır.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için formülün türetilmesi

Sabiti ikinci dereceden denklemden aktaralım

eşittir işareti için ifadeyi elde ederiz

Her iki tarafı da 4a ile çarpın

Solda tam bir kare elde etmek için her iki tarafa da b^2 ekleyin ve dönüşümü gerçekleştirin

Buradan buluyoruz

İkinci dereceden bir denklemin diskriminant formülü ve kökleri

Diskriminant radikal ifadenin değeridir.Pozitif ise denklemin formülle hesaplanan iki gerçek kökü vardır. Diskriminant sıfır olduğunda, ikinci dereceden denklemin bir çözümü vardır (iki çakışan kök), bu da yukarıdaki D=0 formülünden kolayca elde edilebilir. Diskriminant negatif olduğunda, denklemin gerçek kökleri yoktur. Ancak ikinci dereceden denklemin çözümleri karmaşık düzlemde bulunur ve değerleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır.

Vieta'nın teoremi

İkinci dereceden bir denklemin iki kökünü ele alalım ve bunlara dayanarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım.Vieta teoreminin kendisi gösterimden kolayca çıkar: eğer elimizde ikinci dereceden bir denklem varsa o zaman köklerinin toplamı ters işaretle alınan p katsayısına eşittir ve denklemin köklerinin çarpımı serbest terim q'ya eşittir. Yukarıdakilerin formülsel gösterimi şuna benzeyecektir: Klasik bir denklemde a sabiti sıfırdan farklıysa, o zaman denklemin tamamını buna bölmeniz ve ardından Vieta teoremini uygulamanız gerekir.

İkinci dereceden denklem programını çarpanlara ayırma

Görev belirlensin: İkinci dereceden bir denklemi çarpanlarına ayırın. Bunu yapmak için önce denklemi çözeriz (kökleri buluruz). Daha sonra, bulunan kökleri ikinci dereceden denklemin açılım formülüne koyarız, bu sorunu çözecektir.

İkinci dereceden denklem problemleri

Görev 1. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun

x^2-26x+120=0 .

Çözüm: Katsayıları yazın ve bunları diskriminant formülünde değiştirin.

İn kökü verilen değer 14'e eşittir, hesap makinesiyle bulmak kolaydır veya sık kullanımla hatırlanır, ancak kolaylık sağlamak için makalenin sonunda bu tür problemlerde sıklıkla karşılaşılabilecek sayıların karelerinin bir listesini size vereceğim.
Bulunan değeri kök formülde değiştiririz

ve alıyoruz

Görev 2. Denklemi çözün

2x2 +x-3=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var, katsayıları yazıyoruz ve diskriminantı buluyoruz


İle bilinen formüller ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma

Görev 3. Denklemi çözün

9x2 -12x+4=0.

Çözüm: İkinci dereceden tam bir denklemimiz var. Diskriminantın belirlenmesi

Köklerin çakıştığı bir durumla karşı karşıyayız. Formülü kullanarak köklerin değerlerini bulun

Görev 4. Denklemi çözün

x^2+x-6=0 .

Çözüm: X'in katsayılarının küçük olduğu durumlarda Vieta teoreminin uygulanması tavsiye edilir. Durumuna göre iki denklem elde ederiz

İkinci koşuldan çarpımın -6'ya eşit olması gerektiğini buluyoruz. Bu, köklerden birinin negatif olduğu anlamına gelir. Aşağıdaki olası çözüm çiftine sahibiz (-3;2), (3;-2) . İlk koşulu dikkate alarak ikinci çözüm çiftini reddediyoruz.
Denklemin kökleri eşittir

Problem 5. Çevresi 18 cm ve alanı 77 cm2 olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulun.

Çözüm: Dikdörtgenin çevresinin yarısı komşu kenarlarının toplamına eşittir. Büyük kenar olarak x'i gösterelim, o zaman 18-x küçük kenar olsun. Dikdörtgenin alanı bu uzunlukların çarpımına eşittir:
x(18-x)=77;
veya
x 2 -18x+77=0.
Denklemin diskriminantını bulalım

Denklemin köklerinin hesaplanması

Eğer x=11, O 18'ler=7 , bunun tersi de doğrudur (eğer x=7 ise 21's=9).

Problem 6. İkinci dereceden denklemi 10x 2 -11x+3=0 çarpanlarına ayırın.

Çözüm: Denklemin köklerini hesaplayalım, bunun için diskriminantı bulacağız.

Bulunan değeri kök formülde yerine koyarız ve hesaplarız

İkinci dereceden bir denklemi köklere göre ayrıştırmak için formülü uyguluyoruz

Parantezleri açarak bir kimlik elde ederiz.

Parametreli ikinci dereceden denklem

Örnek 1. Hangi parametre değerlerinde A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 denkleminin tek kökü var mı?

Çözüm: a=3 değerini doğrudan yerine koyarsak çözümü olmadığını görürüz. Daha sonra, sıfır diskriminantlı denklemin çokluk 2'nin bir köküne sahip olduğu gerçeğini kullanacağız. Diskriminantını yazalım

Sadeleştirip sıfıra eşitleyelim

a parametresine göre çözümü Vieta teoremi kullanılarak kolaylıkla elde edilebilen ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Köklerin toplamı 7, çarpımı 12'dir. Basit bir aramayla 3,4 sayılarının denklemin kökleri olacağını tespit ederiz. Hesaplamaların başında a=3 çözümünü zaten reddettiğimiz için tek doğru çözüm şu olacaktır: a=4. Dolayısıyla a=4 için denklemin bir kökü vardır.

Örnek 2. Hangi parametre değerlerinde A , denklem a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 birden fazla kökü var mı?

Çözüm: Öncelikle tekil noktaları ele alalım, bunlar a=0 ve a=-3 değerleri olacaktır. a=0 olduğunda denklem 6x-9=0 şeklinde basitleştirilecektir; x=3/2 ve bir kök olacak. a= -3 için 0=0 kimliğini elde ederiz.
Diskriminantı hesaplayalım

ve a'nın pozitif olduğu değerini bulun

İlk koşuldan a>3 elde ederiz. İkinci olarak denklemin diskriminantını ve köklerini buluyoruz.


Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıkları belirleyelim. a=0 noktasını değiştirerek şunu elde ederiz: 3>0 . Yani (-3;1/3) aralığının dışında fonksiyon negatiftir. Asıl noktayı unutma a=0, orijinal denklemin içinde bir kökü olduğundan bu hariç tutulmalıdır.
Sonuç olarak problemin koşullarını sağlayan iki aralık elde ederiz.

Uygulamada pek çok benzer görev olacak, görevleri kendiniz çözmeye çalışın ve birbirini dışlayan koşulları hesaba katmayı unutmayın. İkinci dereceden denklemleri çözmek için kullanılan formülleri iyi inceleyin; bunlara hesaplama yaparken sıklıkla ihtiyaç duyulur. farklı görevler ve bilimler.

Bibliyografik açıklama: Gasanov A.R., Kuramshin A.A., Elkov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri // Genç bilim adamı. 2016. Sayı 6.1. S. 17-20..02.2019).



Projemiz ikinci dereceden denklemleri çözmenin yolları hakkındadır. Projenin hedefi: İkinci dereceden denklemleri okul müfredatında yer almayan yollarla çözmeyi öğrenmek. Görev: her şeyi bul olası yollarİkinci dereceden denklemleri çözerek bunları nasıl kullanacağınızı kendiniz öğrenin ve bu yöntemleri sınıf arkadaşlarınıza tanıtın.

“İkinci dereceden denklemler” nedir?

İkinci dereceden denklem- formun denklemi balta2 + bx + c = 0, Nerede A, B, C- bazı sayılar ( bir ≠ 0), X- Bilinmeyen.

a, b, c sayılarına ikinci dereceden denklemin katsayıları denir.

• a'ya birinci katsayı denir;
• b'ye ikinci katsayı denir;
• c - ücretsiz üye.

İkinci dereceden denklemleri “icat eden” ilk kişi kimdi?

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu. MÖ 1800 ila 1600 yılları arasına tarihlenen eski Babil kil tabletlerinin keşfi, ikinci dereceden denklemlerin incelenmesine ilişkin en eski kanıtları sağlıyor. Aynı tabletler belirli ikinci dereceden denklem türlerini çözmek için yöntemler içerir.

Antik çağda sadece birinci değil ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, alan bulma ile ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanıyordu. arsalar Ve birlikte toprak işleri askeri nitelikte olduğu kadar astronomi ve matematiğin gelişmesiyle de.

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan çivi yazılı metinlerin neredeyse tamamı, nasıl bulunduklarına dair hiçbir belirti olmaksızın, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Aksine yüksek seviye Babil'de cebirin gelişmesiyle birlikte çivi yazılı metinler negatif sayı kavramından yoksundur ve genel yöntemlerİkinci dereceden denklemlerin çözümü.

MÖ 4. yüzyıldan kalma Babilli matematikçiler. Pozitif kökleri olan denklemleri çözmek için karenin tümleyen yöntemini kullandı. MÖ 300 civarında Öklid daha genel bir geometrik çözüm yöntemi buldu. Negatif köklü denklemlere cebirsel formül biçiminde çözüm bulan ilk matematikçi Hintli bir bilim adamıydı. Brahmagupta(Hindistan, MS 7. yüzyıl).

Brahmagupta, tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kural ortaya koydu:

ax2 + bx = c, a>0

Bu denklemdeki katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Bu tür yarışmalarla ilgili eski Hint kitaplarından biri şöyle diyor: “Güneş nasıl parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakırsa, öğrenmiş adam cebirsel problemler önererek ve çözerek halka açık toplantılarda ihtişamını gölgede bırakacak. Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Cebirsel bir incelemede El-Harezmi Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırması verilmiştir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax2 = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax2.

Tüketimden kaçınan Harezmi için negatif sayılar, bu denklemlerin her birinin terimleri toplanabilir, çıkarılabilir değil. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi, belirli sayısal örnekler ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyar.

Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak bazı yeni şeyler geliştirdi cebirsel örnekler problemleri çözüyordu ve Avrupa'da negatif sayıları uygulamaya koyan ilk kişiydi.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Genel kural Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü 1544'te Avrupa'da formüle edildi. M. Stiefel.

İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasında. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. çabalar sayesinde Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının yardımıyla ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir biçim alıyor.

İkinci dereceden denklemleri çözmenin birkaç yoluna bakalım.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için standart yöntemler Okul müfredatı:

1. Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırmak.
2. Tam bir kare seçme yöntemi.
3. Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.
4. Grafik çözümü ikinci dereceden denklem.
5. Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme.

Vieta teoremini kullanarak indirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek için çarpımları serbest terime eşit ve toplamı ters işaretli ikinci katsayıya eşit iki sayı bulmanın yeterli olduğunu hatırlayın.

Örnek.X 2 -5x+6=0

Çarpımı 6 ve toplamı 5 olan sayıları bulmanız gerekiyor. Bu sayılar 3 ve 2 olacaktır.

Cevap: x 1 =2, x 2 =3.

Ancak bu yöntemi birinci katsayısı bire eşit olmayan denklemler için de kullanabilirsiniz.

Örnek.3x 2 +2x-5=0

Birinci katsayıyı alın ve serbest terimle çarpın: x 2 +2x-15=0

Bu denklemin kökleri çarpımı -15, toplamı -2 olan sayılar olacaktır. Bu sayılar 5 ve 3'tür. Orijinal denklemin köklerini bulmak için elde edilen kökleri birinci katsayıya bölün.

Cevap: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. Denklemleri "atma" yöntemini kullanarak çözme.

İkinci dereceden denklemi düşünün: ax 2 + bx + c = 0, burada a≠0.

Her iki tarafı a ile çarparak a 2 x 2 + abx + ac = 0 denklemini elde ederiz.

ax = y olsun, dolayısıyla x = y/a; sonra verilen denklemin eşdeğeri olan y 2 + by + ac = 0 denklemine ulaşırız. Vieta teoremini kullanarak 1 ve 2'nin köklerini buluyoruz.

Sonunda x 1 = y 1 /a ve x 2 = y 2 /a'yı elde ederiz.

Bu yöntemle a katsayısı, sanki kendisine “atılmış” gibi serbest terimle çarpılır, bu yüzden buna “atma” yöntemi denir. Bu yöntem, denklemin kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabildiğinde ve en önemlisi diskriminantın tam kare olduğu durumlarda kullanılır.

Örnek.2 kere 2 - 11x + 15 = 0.

2 katsayısını serbest terime “atalım” ve yerine bir değişiklik yapalım ve y 2 - 11y + 30 = 0 denklemini elde edelim.

Vieta'nın ters teoremine göre

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Cevap: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri.

İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 verilsin.

1. Eğer a+ b + c = 0 ise (yani denklemin katsayılarının toplamı sıfır ise), o zaman x 1 = 1.

2. Eğer a - b + c = 0 veya b = a + c ise x 1 = - 1 olur.

Örnek.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) olduğuna göre x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Cevap: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Örnek.132x 2 + 247x + 115 = 0

Çünkü a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), bu durumda x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Cevap: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının başka özellikleri de vardır. ancak bunların kullanımı daha karmaşıktır.

8. İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme.

Şekil 1. Nomogram

Bu, ikinci dereceden denklemleri çözmenin eski ve şu anda unutulmuş bir yöntemidir ve koleksiyonun 83. sayfasında yer almaktadır: Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. - M., Eğitim, 1990.

Tablo XXII. Denklemi çözmek için nomogram z 2 + pz + q = 0. Bu nomogram ikinci dereceden bir denklemi çözmeden denklemin köklerini katsayılarından belirlemeye olanak tanır.

Nomogramın eğrisel ölçeği aşağıdaki formüllere göre oluşturulmuştur (Şekil 1):

İnanmak OS = p, ED = q, OE = a(tümü cm cinsinden), Şekil 1'deki üçgenlerin benzerliklerinden SAN Ve CDF orantıyı elde ederiz

ikameler ve basitleştirmelerden sonra denklemi verir z 2 + pz + q = 0, ve mektup z Eğri ölçekte herhangi bir noktanın işareti anlamına gelir.

Pirinç. 2 İkinci dereceden denklemleri nomogram kullanarak çözme

Örnekler.

1) Denklem için z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram z 1 = 8,0 ve z 2 = 1,0 köklerini verir

Cevap:8.0; 1.0.

2) Bir nomogram kullanarak denklemi çözeriz

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bu denklemin katsayılarını 2'ye bölerek z 2 - 4.5z + 1 = 0 denklemini elde ederiz.

Nomogram z 1 = 4 ve z 2 = 0,5 köklerini verir.

Cevap: 4; 0,5.

9. İkinci dereceden denklemlerin çözümü için geometrik yöntem.

Örnek.X 2 + 10x = 39.

Orijinalde bu problem şu şekilde formüle edilmiştir: “Kare ve on kök 39'a eşittir.”

Kenarı x olan bir kare düşünün, her birinin diğer tarafı 2,5 olacak şekilde kenarlarına dikdörtgenler yapılır, dolayısıyla her birinin alanı 2,5x olur. Ortaya çıkan şekil daha sonra yeni bir ABCD karesine tamamlanır ve köşelerde her birinin kenarı 2,5 ve alanı 6,25 olan dört eşit kare oluşturulur.

Pirinç. 3 Denklemi çözmek için grafiksel yöntem x 2 + 10x = 39

ABCD karesinin S alanı, orijinal kare x 2, dört dikdörtgen (4∙2,5x = 10x) ve dört ek karenin (6,25∙4 = 25) alanlarının toplamı olarak temsil edilebilir; S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x'i 39 sayısıyla değiştirirsek S = 39 + 25 = 64 sonucunu elde ederiz, bu da karenin kenarının ABCD olduğu anlamına gelir. AB segmenti = 8. Orijinal karenin gerekli x tarafı için şunu elde ederiz:

10. Bezout teoremini kullanarak denklem çözme.

Bezout'un teoremi. P(x) polinomunun binom x - α'ya bölünmesinin geri kalanı P(α)'ya eşittir (yani P(x)'in x = α'daki değeri).

Eğer α sayısı P(x) polinomunun kökü ise, bu polinom x -α'ya kalansız bölünebilir.

Örnek.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x)'i (x-1)'e bölün: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 veya x-3=0, x=3; Cevap: x1 =2, x2 =3.

Çözüm:İkinci dereceden denklemleri hızlı ve rasyonel bir şekilde çözme yeteneği, daha fazlasını çözmek için gereklidir. karmaşık denklemlerörneğin kesirli rasyonel denklemler, denklemler daha yüksek dereceler, iki ikinci dereceden denklemler ve lisede trigonometrik, üstel ve logaritmik denklemler. İkinci dereceden denklemleri çözmek için bulunan tüm yöntemleri inceledikten sonra, sınıf arkadaşlarımıza standart yöntemlere ek olarak transfer yöntemini (6) kullanarak çözmelerini ve daha erişilebilir oldukları için denklemleri katsayıların (7) özelliğini kullanarak çözmelerini tavsiye edebiliriz. anlamaya.

Edebiyat:

1. Bradis V.M. Dört basamaklı matematik tabloları. - M., Eğitim, 1990.
2. Cebir 8. sınıf: 8. sınıf ders kitabı. Genel Eğitim kurumlar Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ed. S. A. Telyakovsky 15. baskı, revize edildi. - M.: Eğitim, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi. Öğretmenler için el kitabı. / Ed. V.N. Daha genç. - M.: Eğitim, 1964.

Bunun, a, b ve c'nin bilinmeyen x için gerçek katsayılar olduğu ve a ≠ o ile b ve c'nin aynı anda sıfır olacağı ax 2 + bx + c = o eşitliğinin özel bir versiyonu olduğu bilinmektedir. ayrı ayrı. Örneğin, c = o, b ≠ o veya tam tersi. İkinci dereceden denklemin tanımını neredeyse hatırladık.

İkinci derece trinomial sıfırdır. İlk katsayısı a ≠ o, b ve c herhangi bir değeri alabilir. X değişkeninin değeri, ikame onu doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğünde olacaktır. Denklemler çözüm de olabilse de gerçek köklere odaklanalım.Katsayılardan hiçbirinin o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o'ya eşit olmadığı bir denklemi tam olarak adlandırmak gelenekseldir.
Bir örnek çözelim. 2x 2 -9x-5 = ah, buluyoruz
D = 81+40 = 121,
D pozitiftir, yani kökler vardır, x 1 = (9+√121):4 = 5 ve ikinci x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrol etmek doğru olduklarından emin olmanıza yardımcı olacaktır.

İşte ikinci dereceden denklemin adım adım çözümü

Diskriminant kullanarak, sol tarafında a ≠ o için bilinen ikinci dereceden üç terimli herhangi bir denklemi çözebilirsiniz. Örneğimizde. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

İkinci dereceden eksik denklemlerin ne olduğunu düşünelim

1. ax 2 +in = o. Serbest terim, x 0'daki c katsayısı, burada ≠ o'da sıfıra eşittir.
   Bu türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Parantez içinde x'i çıkaralım. İki faktörün çarpımının sıfıra eşit olduğu zamanı hatırlayalım.
   x(ax+b) = o, bu x = o veya ax+b = o olduğunda olabilir.
   2.yi çözdükten sonra x = -в/а elde ederiz.
   Sonuç olarak, x 2 = -b/a hesaplamalarına göre köklerimiz x 1 = 0'dır.
2. Şimdi x'in katsayısı o'ya eşittir ve c (≠) o'ya eşit değildir.
   x 2 +c = o. C'yi eşitliğin sağ tarafına taşıyalım, x 2 = -с elde ederiz. Bu denklemin yalnızca -c pozitif bir sayı (c ‹ o) olduğunda gerçel kökleri vardır.
   x 1 sırasıyla √(-c)'ye eşit olur, x 2 ise -√(-c) olur. Aksi takdirde denklemin hiçbir kökü yoktur.
3. Son seçenek: b = c = o, yani ax 2 = o. Doğal olarak bu kadar basit bir denklemin tek kökü vardır: x = o.

Özel durumlar

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin nasıl çözüleceğine baktık ve şimdi herhangi bir türü ele alalım.

• İkinci dereceden tam bir denklemde x'in ikinci katsayısı çift sayıdır.
  k = o.5b olsun. Diskriminant ve kökleri hesaplamak için formüllerimiz var.
  D/4 = k 2 - ac, D › o için kökler x 1,2 = (-k±√(D/4))/a olarak hesaplanır.
  D = o'da x = -k/a.
  D ‹ o için kök yoktur.
• İkinci dereceden denklemler vardır, x kare katsayısı 1'e eşit olduğunda genellikle x 2 + рх + q = o şeklinde yazılır. Yukarıdaki formüllerin tümü onlar için geçerlidir, ancak hesaplamalar biraz daha basittir.
  Örnek, x 2 -4x-9 = 0. D: 2 2 +9, D = 13'ü hesaplayın.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Ayrıca verilenlere uygulaması da kolaydır.Denklemin köklerinin toplamının eksi ile ikinci katsayı olan -p'ye eşit olduğunu söylüyor (yani zıt işaret) ve aynı köklerin çarpımı serbest terim olan q'ya eşit olacaktır. Bu denklemin köklerini sözlü olarak belirlemenin ne kadar kolay olacağını görün. İndirgenmemiş katsayılar için (sıfıra eşit olmayan tüm katsayılar için), bu teorem şu şekilde uygulanabilir: x 1 + x 2 toplamı -b/a'ya eşittir, x 1 · x 2 çarpımı c/a'ya eşittir.

Serbest terim c ile birinci katsayı a'nın toplamı b katsayısına eşittir. Bu durumda, denklemin en az bir kökü vardır (kanıtlanması kolaydır), birincisi zorunlu olarak -1'e ve varsa ikincisi -c/a'ya eşit olacaktır. Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi kendiniz nasıl çözeceğinizi kontrol edebilirsiniz. Çocuk oyuncağı. Katsayılar birbirleriyle belirli ilişkiler içinde olabilir.

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Tüm katsayıların toplamı o'ya eşittir.
  Böyle bir denklemin kökleri 1 ve c/a'dır. Örnek, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Çeşitli ikinci derece denklemleri çözmenin başka yolları da vardır. Örneğin burada belirli bir polinomdan tam bir kare çıkarmak için bir yöntem var. Birkaç grafiksel yöntem vardır. Bu tür örneklerle sık sık karşılaştığınızda, tohum gibi “tıklamayı” öğreneceksiniz çünkü tüm yöntemler otomatik olarak aklınıza geliyor.

5x(x-4) = 0

5 x = 0 veya x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Birinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikten sonra, elbette başkalarıyla, özellikle ikinci dereceden denklemlerle, aksi takdirde ikinci dereceden olarak adlandırılanlarla çalışmak istersiniz.

İkinci dereceden denklemler ax² + bx + c = 0 gibi değişkenin x olduğu, sayıların a, b, c olduğu, a'nın sıfıra eşit olmadığı denklemlerdir.

İkinci dereceden bir denklemde katsayılardan biri veya diğeri (c veya b) sıfıra eşitse, bu denklem tamamlanmamış ikinci dereceden denklem olarak sınıflandırılacaktır.

Öğrenciler şimdiye kadar yalnızca birinci dereceden denklemleri çözebildiyse, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür? Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri düşünün farklı şekiller ve bunları çözmenin basit yolları.

a) Eğer c katsayısı 0'a eşitse ve b katsayısı sıfıra eşit değilse, ax ² + bx + 0 = 0, ax ² + bx = 0 formundaki bir denkleme indirgenir.

Böyle bir denklemi çözmek için, eksik ikinci dereceden bir denklemi çözme formülünü bilmeniz gerekir; bu, sol tarafının çarpanlara ayrılmasından ve daha sonra ürünün sıfıra eşit olması koşulunun kullanılmasından oluşur.

Örneğin, 5x² - 20x = 0. Her zamanki matematik işlemini gerçekleştirirken denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıyoruz: ortak çarpanı parantezlerden çıkarıyoruz

5x(x-4) = 0

Çarpımların sıfıra eşit olması koşulunu kullanıyoruz.

5 x = 0 veya x - 4 = 0

Cevap şu olacaktır: ilk kök 0'dır; ikinci kök 4'tür.

b) Eğer b = 0 ve serbest terim sıfıra eşit değilse, ax ² + 0x + c = 0 denklemi ax ² + c = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Denklemler iki şekilde çözülür. : a) Denklemin sol tarafındaki polinomunu çarpanlara ayırarak; b) aritmetiğin özelliklerini kullanmak kare kök. Böyle bir denklem aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılarak çözülebilir:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Cevap şu olacak: ilk kök 5/2; ikinci kök - 5/2'ye eşittir.

c) Eğer b 0'a ve c 0'a eşitse, ax ² + 0 + 0 = 0, ax ² = 0 formundaki bir denkleme indirgenir. Böyle bir denklemde x, 0'a eşit olacaktır.

Gördüğünüz gibi, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin ikiden fazla kökü olamaz.