Farklı şekillerin alanları ve hacimleri. Metreküp cinsinden hacim nasıl bulunur?

Herhangi bir geometrik cisim yüzey alanı (S) ve hacim (V) ile karakterize edilebilir. Alan ve hacim kesinlikle aynı şey değildir. Bir nesnenin nispeten küçük bir V'si ve büyük bir S'si olabilir, örneğin insan beyni böyle çalışır. Bu göstergeleri basit bir şekilde hesaplayın geometrik şekillerçok daha basit.

Paralel borulu: tanımı, türleri ve özellikleri

Paralel boru, tabanında bir paralelkenar bulunan dörtgen bir prizmadır. Bir şeklin hacmini bulmak için neden bir formüle ihtiyacınız olabilir? Kitaplar, ambalaj kutuları ve daha birçok şey Gündelik Yaşam. Konut ve ofis binalarındaki odalar genellikle dikdörtgen paralel yüzlüdür. Havalandırma, klima kurmak ve odadaki ısıtma elemanlarının sayısını belirlemek için odanın hacmini hesaplamak gerekir.

Şeklin 6 yüzü vardır - paralelkenar ve 12 kenar; rastgele seçilen iki yüze taban denir. Paralel borunun çeşitli türleri olabilir. Farklılıklar bitişik kenarlar arasındaki açılardan kaynaklanmaktadır. Farklı çokgenlerin V'lerini bulma formülleri biraz farklıdır.

Bir geometrik şeklin 6 yüzü dikdörtgen ise buna dikdörtgen de denir. Küp özel durum 6 yüzün hepsinin eşit karelerden oluştuğu paralel yüzlü. Bu durumda V'yi bulmak için yalnızca bir kenarın uzunluğunu bulup üçüncü kuvvetine çıkarmanız gerekir.

Sorunları çözmek için yalnızca hazır formüller hakkında değil aynı zamanda şeklin özellikleri hakkında da bilgiye ihtiyacınız olacak. Dikdörtgenler prizmasının temel özelliklerinin listesi küçüktür ve anlaşılması çok kolaydır:

  1. Şeklin karşılıklı kenarları eşit ve paraleldir. Bu, karşıt konumdaki kaburgaların uzunluk ve eğim açısı açısından aynı olduğu anlamına gelir.
  2. Bir sağ paralelyüzün tüm yan yüzleri dikdörtgendir.
  3. Geometrik bir şeklin dört ana köşegeni bir noktada kesişir ve o noktaya göre ikiye bölünür.
  4. Paralel borunun köşegeninin karesi, şeklin boyutlarının karelerinin toplamına eşittir (Pisagor teoremini takip eder).

Pisagor teoremi Bir dik üçgenin kenarlarına kurulan karelerin alanları toplamının, aynı üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan üçgenin alanına eşit olduğunu belirtir.

Son özelliğin kanıtı aşağıdaki resimde görülebilir. Sorunun çözüm süreci basittir ve ayrıntılı açıklamalar gerektirmez.

Dikdörtgen bir paralelyüzün hacmi için formül

Tüm geometrik figür türlerini bulma formülü aynıdır: V=S*h, burada V gerekli hacimdir, S paralel borunun tabanının alanıdır, h karşı tepe noktasından indirilen yüksekliktir ve tabana dik. Bir dikdörtgende h, şeklin kenarlarından birine denk gelir, bu nedenle dikdörtgenler prizmasının hacmini bulmak için üç boyutu çarpmanız gerekir.

Hacim genellikle cm3 cinsinden ifade edilir. A, b ve c'nin üç değerini de bilmek, bir şeklin hacmini bulmak hiç de zor değil. Birleşik Devlet Sınavındaki en yaygın problem türü, paralelyüzün hacmini veya köşegenini bulmaktır. Birçok tipik çözümü çözün Birleşik Devlet Sınavı ödevleri Bir dikdörtgenin hacminin formülü olmadan bu imkansızdır. Bir görev örneği ve çözümünün tasarımı aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Not 1. Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, şeklin üç yüzünün alanlarının toplamının 2 ile çarpılmasıyla bulunabilir: taban (ab) ve iki bitişik yan yüz (bc + ac).

Not 2. Yan yüzlerin yüzey alanı, tabanın çevresi paralel borunun yüksekliği ile çarpılarak kolayca belirlenebilir.

Paralel boruların ilk özelliğine göre AB = A1B1 ve yüz B1D1 = BD. Pisagor teoreminin sonuçlarına göre, tüm açıların toplamı dik üçgen 180°'ye eşittir ve 30°'lik açının karşısındaki kenar hipotenüse eşittir. Bu bilgiyi bir üçgene uygulayarak AB ve AD kenarlarının uzunluğunu kolaylıkla bulabiliriz. Daha sonra elde edilen değerleri çarpıyoruz ve paralel borunun hacmini hesaplıyoruz.

Eğik bir paralelyüzün hacmini bulma formülü

Eğik bir paralel borunun hacmini bulmak için, şeklin tabanının alanını karşı köşeden verilen tabana indirilen yükseklik ile çarpmak gerekir.

Böylece, gerekli V, h şeklinde temsil edilebilir - taban alanı S olan sayfa sayısı, böylece destenin hacmi tüm kartların V'lerinden oluşur.

Problem çözme örnekleri

Tek sınavın görevleri belirli bir süre içerisinde tamamlanmalıdır. Tipik görevler kural olarak şunları içermez: büyük miktar hesaplamalar ve karmaşık kesirler. Genellikle bir öğrenciye düzensiz geometrik bir şeklin hacminin nasıl bulunacağı sorulur. Bu gibi durumlarda, toplam hacmin bileşen parçalarının V'lerinin toplamına eşit olduğu şeklindeki basit kuralı hatırlamanız gerekir.

Yukarıdaki görseldeki örnekten de görebileceğiniz gibi bu tür sorunların çözümünde zor olan hiçbir şey yoktur. Daha karmaşık bölümlerdeki görevler, Pisagor teoremi ve sonuçlarının yanı sıra bir şeklin köşegen uzunluğu formülünün bilinmesini gerektirir. Test görevlerini başarıyla çözmek için, tipik problem örneklerine önceden aşina olmanız yeterlidir.

Gerekli tüm mesafeleri metre cinsinden ölçün. Birçok üç boyutlu şeklin hacmi uygun formüller kullanılarak kolaylıkla hesaplanabilir. Ancak formüllerde değiştirilen tüm değerlerin metre cinsinden ölçülmesi gerekir. Bu nedenle değerleri formüle eklemeden önce hepsinin metre cinsinden ölçüldüğünden veya diğer ölçü birimlerini metreye dönüştürdüğünüzden emin olun.

  • 1 mm = 0,001 m
  • 1 cm = 0,01 m
  • 1 km = 1000 m

  • Dikdörtgen şekillerin (küboid, küp) hacmini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın: hacim = U × G × Y(uzunluk çarpı genişlik çarpı yükseklik). Bu formül, şeklin yüzlerinden birinin yüzey alanı ile bu yüze dik olan kenarın çarpımı olarak düşünülebilir.

    • Örneğin uzunluğu 4 m, genişliği 3 m ve yüksekliği 2,5 m olan bir odanın hacmini hesaplayalım.Bunu yapmak için uzunluğu genişlik ve yükseklikle çarpmanız yeterlidir:
      • 4 × 3 × 2,5
      • = 12 × 2,5
      • = 30. Bu odanın hacmi 30 m3.
    • Küp, tüm kenarları eşit olan üç boyutlu bir şekildir. Böylece, bir küpün hacmini hesaplama formülü şu şekilde yazılabilir: hacim = L3 (veya W3 veya H3).

  • Silindir şeklindeki şekillerin hacmini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın: pi× R 2 × H. Bir silindirin hacmini hesaplamak, dairesel tabanın alanını silindirin yüksekliği (veya uzunluğu) ile çarpmak anlamına gelir. Pi'yi (3.14) dairenin yarıçapının karesi (R) ile çarparak dairesel tabanın alanını bulun (yarıçap, dairenin merkezinden bu daire üzerinde bulunan herhangi bir noktaya olan mesafedir). Daha sonra sonucu silindirin yüksekliği (H) ile çarpın ve silindirin hacmini bulun. Tüm değerler metre cinsinden ölçülür.

    • Örneğin çapı 1,5 m, derinliği 10 m olan bir kuyunun hacmini hesaplayalım, çapı 2'ye bölerek yarıçapı elde edelim: 1,5/2 = 0,75 m.
      • (3,14) × 0,75 2 × 10
      • = (3,14) × 0,5625 × 10
      • = 17,66. Kuyunun hacmi 17,66 m3.

  • Bir topun hacmini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın: 4/3x pi× R3 . Yani yalnızca topun yarıçapını (R) bilmeniz gerekir.

    • Örneğin hacmi hesaplayalım sıcak hava balonu 10 m çapında.Yarıçapı bulmak için çapı 2'ye bölün: 10/2=5 m.
      • 4/3 x pi × (5) 3
      • = 4/3 x (3,14) × 125
      • = 4,189 × 125
      • = 523,6. Balonun hacmi 523,6 m3.

  • Koni şeklindeki şekillerin hacmini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın: 1/3x pi× R 2 × H. Koninin hacmi, aynı yüksekliğe ve yarıçapa sahip bir silindirin hacminin 1/3'üne eşittir.

    • Örneğin yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 15 cm olan bir dondurma külahının hacmini hesaplayalım, metreye çevirdiğimizde sırasıyla 0,03 m ve 0,15 m elde ederiz.
      • 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
      • = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
      • = 1/3 × 0,0004239
      • = 0,000141. Bir dondurma külahının hacmi 0,000141 m3.

  • Düzensiz şekillerin hacmini hesaplamak için çeşitli formüller kullanın. Bunu yapmak için, şekli doğru şekle sahip birkaç şekle bölmeye çalışın. Daha sonra bu şekillerin her birinin hacmini bulun ve sonuçları toplayın.

    • Örneğin küçük bir tahıl ambarının hacmini hesaplayalım. Depo 12 m yüksekliğinde ve 1,5 m yarıçapında silindirik bir gövdeye sahiptir.Depo ayrıca 1 m yüksekliğinde konik bir çatıya sahiptir.Çatı hacmini ayrı, kasa hacmini ayrı ayrı hesaplayarak, tahıl ambarının toplam hacmini bulabilirsiniz:
      • pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
      • (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 × (3,14) × 1,5 2 × 1
      • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 x (3,14) × 2,25 × 1
      • = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
      • = 84,822 + 2,356
      • = 87.178. Ambarın hacmi eşittir 87.178 m3.

    • “A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematik. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

    10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

    Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

    Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

    Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

    “A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

    10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

    Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

    Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

    Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.

    Eski Mısırlılar da bizim yöntemlerimize benzer şekilde çeşitli şekillerin alanlarını hesaplamak için yöntemler kullandılar.

    Kitaplarımda "Başlangıçlar"ünlü antik Yunan matematikçi Öklid oldukça tanımladı Büyük sayı Birçok geometrik şeklin alanlarını hesaplama yöntemleri. Rusya'da geometrik bilgiler içeren ilk el yazmaları 16. yüzyılda yazılmıştır. Çeşitli şekillerdeki şekillerin alanlarını bulma kurallarını açıklarlar.

    Bugün yardımla modern yöntemler herhangi bir şeklin alanını büyük bir doğrulukla bulabilirsiniz.

    En basit şekillerden birini - bir dikdörtgeni - ve alanını bulma formülünü ele alalım.

    Dikdörtgen alan formülü

    Kenarları 1$ cm olan 8$$ karelerden oluşan bir şekli ele alalım (Şekil 1), bir kenarı 1$ cm olan bir karenin alanına santimetre kare denir ve $1\ cm^2 olarak yazılır. $.

    Bu şeklin alanı (Şekil 1) $8\cm^2$'a eşit olacaktır.

    Kenarı $1\ cm$ (örneğin $p$) olan birkaç kareye bölünebilen bir şeklin alanı $p\ cm^2$'a eşit olacaktır.

    Başka bir deyişle, şeklin alanı şu kadar $cm^2$'a eşit olacak, bu rakamın kenarı $1\ cm$ olan kaç kareye bölünebileceği.

    Her biri $1\ cm$ kenarlı $5$ karelere bölünmüş $3$ şeritlerden oluşan bir dikdörtgen (Şekil 2) düşünelim. dikdörtgenin tamamı $5\cdot 3=15$ bu tür karelerden oluşur ve alanı $15\cm^2$'dır.

    Resim 1.

    Şekil 2.

    Şekillerin alanı genellikle $S$ harfiyle gösterilir.

    Bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluğunu genişliğiyle çarpmanız gerekir.

    Uzunluğunu $a$ harfiyle ve genişliğini $b$ harfiyle belirtirsek, dikdörtgenin alanı formülü şöyle görünecektir:

    Tanım 1

    Rakamlar denir eşit eğer üst üste bindirildiğinde rakamlar çakışıyorsa. Eşit rakamlar var eşit alanlar ve eşit çevreler.

    Bir şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamı olarak bulunabilir.

    örnek 1

    Örneğin, Şekil $3$'da, $ABCD$ dikdörtgeni $KLMN$ çizgisiyle iki parçaya bölünmüştür. Bir parçanın alanı $12\ cm^2$, diğer parçanın alanı ise $9\ cm^2$'dır. O zaman $ABCD$ dikdörtgeninin alanı $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$'a eşit olacaktır. Formülü kullanarak dikdörtgenin alanını bulun:

    Gördüğünüz gibi her iki yöntemle bulunan alanlar eşittir.

    Figür 3.

    Şekil 4.

    $AC$ doğru parçası dikdörtgeni iki eşit üçgene böler: $ABC$ ve $ADC$. Bu, her üçgenin alanının tüm dikdörtgenin alanının yarısına eşit olduğu anlamına gelir.

    Tanım 2

    ile dikdörtgen eşit taraflar isminde kare.

    Bir karenin kenarını $a$ harfiyle belirtirsek, karenin alanı aşağıdaki formülle bulunacaktır:

    Dolayısıyla $a$ sayısının isim karesi.

    Örnek 2

    Örneğin, bir karenin bir kenarı $5$ cm ise alanı:

    Birimler

    Antik uygarlıkların olduğu dönemde ticaret ve inşaatın gelişmesiyle birlikte hacim bulma ihtiyacı ortaya çıktı. Matematikte, uzaysal şekillerin incelenmesiyle ilgilenen, stereometri adı verilen bir geometri dalı vardır. Matematiğin bu ayrı dalından söz edilenler M.Ö. IV. yüzyılda zaten bulunmuştu.

    Eski matematikçiler basit figürlerin (küp ve paralel yüzlü) hacmini hesaplamak için bir yöntem geliştirdiler. O zamanların tüm binaları bu şekildeydi. Ancak daha sonra, daha karmaşık şekillerdeki şekillerin hacmini hesaplamak için yöntemler bulundu.

    Dikdörtgen paralel yüzlü hacmi

    Bir kalıbı ıslak kumla doldurup ters çevirirseniz, üç boyutlu şekil hacim ile karakterize edilir. Aynı kalıbı kullanarak bu tür birden fazla figür yaparsanız, aynı hacme sahip figürler elde edersiniz. Kalıbı suyla doldurursanız suyun hacmi ile kum rakamının hacmi de eşit olacaktır.

    Şekil 5.

    İki kabın hacimlerini, birini suyla doldurup ikinci kaba boşaltarak karşılaştırabilirsiniz. İkinci kap tamamen doluysa kapların hacimleri eşittir. İlkinde su kalırsa, birinci kabın hacmi ikincinin hacminden daha fazladır. Birinci kaptan su dökülürken ikinci kabı tamamen doldurmak mümkün değilse, birinci kabın hacmi ikinci kabın hacminden daha azdır.

    Hacim aşağıdaki birimler kullanılarak ölçülür:

    $mm^3$ -- milimetreküp,

    $cm^3$ -- santimetreküp,

    $dm^3$ -- desimetreküp,

    $m^3$ -- metreküp,

    $km^3$ -- kilometreküp.

    Yükleniyor...Yükleniyor...