تحليل هذه المشاكل ، وملاحظة ما هو شائع في المسائل من وجهة نظر الرياضيات ، ما هو الفرق ، وإيجاد طريقة غير عادية لحل المشاكل ، وإنشاء بنك أصبع من الأساليب لحل المشاكل ، وتعلم كيفية حل مشكلة واحدة بطرق مختلفة . ، مهام العمل الجماعي والعمل الفردي.
"مهام دليل التدريب على جهاز المحاكاة"
المحاكاة: "الطرق الحسابية لحل المشكلات"
مقارنة الأعداد بالمجموع والاختلاف.
يوجد 80 بوليت في سلتين. السلة الأولى تحتوي على 10 فطر بوليتس أقل من الثانية. كم عدد عيش الغراب في كل سلة؟
تلقى استوديو الخياطة 480 م من الدنيم والستائر. لقد تلقينا 140 مترًا من الدنيم أكثر من الستارة. كم متر من الدينيم حصل عليه المشغل؟
يتكون نموذج برج التلفزيون من كتلتين. الكتلة السفلية أقصر بـ 130 سم من الكتلة العلوية. ما هي ارتفاعات البلوكات العلوية والسفلية إذا كان ارتفاع البرج 4 م 70 سم؟
يوجد 16 كجم من البسكويت في صندوقين. ابحث عن كتلة ملفات تعريف الارتباط في كل صندوق إذا كان أحدها يحتوي على 4 كجم إضافية من ملفات تعريف الارتباط.
مشكلة من "الحساب" بقلم L.N. تولستوي.
أ) رجلان لديهما 35 شاة. واحد لديه 9 خروف أكثر من الآخر. كم عدد الغنم لكل منها؟
ب) رجلان لهما 40 شاة وواحد له أقل من الآخر بستة شاة. كم خروف لكل رجل؟
كان هناك 23 سيارة ودراجة نارية مع عربة جانبية في المرآب. السيارات والدراجات النارية لها 87 عجلة. كم عدد الدراجات النارية الموجودة في المرآب مع عجلة احتياطية في كل عربة جانبية؟
دوائر أويلر.
يضم المنزل 120 ساكنًا ، بعضهم لديه كلاب وقطط. يوضح الشكل دائرة مع يصور المستأجرين مع الكلاب ، دائرة إلى – المستأجرين مع القطط. كم عدد سكان الكلاب والقطط؟ كم عدد السكان الذين لديهم كلاب فقط؟ كم عدد المقيمين هناك القطط فقط؟ كم عدد السكان الذين ليس لديهم كلاب أو قطط؟
من بين 52 تلميذاً ، يشارك 23 في الكرة الطائرة و 35 في كرة السلة ، و 16 في كل من الكرة الطائرة وكرة السلة. لا يشارك الباقون في أي من هذه الرياضات. كم عدد أطفال المدارس الذين لا يشاركون في أي من هذه الرياضات؟
يوضح الشكل دائرة أ يصور جميع موظفي الجامعة الذين يعرفون اللغة الإنجليزية ، دائرة ح - أولئك الذين يعرفون اللغة الألمانية والدائرة F - فرنسي. كم عدد موظفي الجامعة يعرفون: أ) 3 لغات ؛ ب) الإنجليزية والألمانية. ج) الفرنسية؟ كم عدد موظفي الجامعة هناك؟ كم منهم لا يتكلم الفرنسية؟
حضر المؤتمر الدولي 120 شخصا. من بين هؤلاء ، 60 يتحدثون الروسية ، 48 - الإنجليزية ، 32 - الألمانية ، 21 - الروسية والألمانية ، 19 - الإنجليزية والألمانية ، 15 - الروسية والإنجليزية ، و 10 أشخاص يتحدثون جميع اللغات الثلاث. كم عدد المشاركين في المؤتمر الذين لا يتحدثون أيًا من هذه اللغات؟
هناك 82 طالبًا يغنون ويرقصون في الكورال ، و 32 طالبًا يمارسون الرقص والجمباز الإيقاعي ، ويغني 78 طالبًا في الجوقة ويمارسون الجمباز الإيقاعي. كم عدد الطلاب الذين يغنون في الكورال ، ويقومون بالرقص والجمباز الإيقاعي بشكل منفصل ، إذا كان معروفًا أن كل طالب يقوم بشيء واحد فقط؟
كل أسرة تعيش في منزلنا تشترك في صحيفة أو مجلة أو كليهما. 75 أسرة تشترك في الجريدة ، و 27 عائلة تشترك في المجلات ، و 13 أسرة فقط تشترك في كل من مجلة وصحيفة. كم عدد العائلات التي تعيش في منزلنا؟
"طريقة تعديل البيانات".
يوجد 29 زهرة في 3 باقات صغيرة و 4 باقات كبيرة و 35 زهرة في 5 باقات صغيرة و 4 باقات كبيرة. كم عدد الزهور في كل باقة على حدة؟
وزن 2 قطعة شوكولاتة - كبير وصغير - 120 جرام ، و 3 كبير و 2 صغير - 320 جرام ما هو وزن كل لوح؟
5 تفاحات و 3 كمثرى تزن 810 جرام و 3 تفاحات و 5 كمثرى تزن 870 جرام كم تزن تفاحة واحدة؟ كمثرى واحدة؟
أربعة فراخ بط وخمسة صغار تزن 4 كجم 100 جرام وخمسة فراخ وأربعة صغار تزن 4 كجم. كم تزن البطة الواحدة؟
بالنسبة إلى حصان واحد وبقرتين ، يتم إعطاء 34 كجم من التبن يوميًا ، ولخيولان وبقرة واحدة - 35 كجم من القش. ما مقدار التبن الذي يُعطى لحصان واحد وكم لبقرة واحدة؟
3 مكعبات حمراء و 6 مكعبات زرقاء تكلف 165tg روبل. علاوة على ذلك ، فإن خمسة منها حمراء أغلى من اثنين باللون الأزرق بنسبة 95 تنغي. كم هي قيمة كل مكعب؟
ألبومات 2 للرسم و 3 ألبومات للطوابع معًا تكلف 160 روبل ، و 3 ألبومات للرسم تكلف 45 روبل. أغلى من ألبومين للطوابع.
"الرسوم البيانية".
قرر سيريوزا أن يعطي والدته باقة من الزهور (الورود ، الزنبق أو القرنفل) في عيد ميلادها ويضعها إما في إناء أو في إبريق. كم عدد الطرق التي يمكنه فعلها؟
كم عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 0 ، 1 ، 3 ، 5 إذا لم تتكرر الأرقام الموجودة في الرقم؟
يوم الأربعاء ، الصف الخامس لديه خمسة دروس: الرياضيات والتربية البدنية والتاريخ واللغة الروسية والعلوم. كم عدد خيارات الجدولة المختلفة ليوم الأربعاء التي يمكنك إنشاؤها؟
"طريقة قديمة لحل مشاكل خلط المواد".
كيف تخلط الزيوت؟كان لدى شخص ما نوعان من النفط للبيع: أحدهما بسعر 10 هريفنيا لكل دلو ، والآخر بسعر 6 هريفنيا لكل دلو. أراد أن يصنع من هذين الزيتين ، ويخلط بينهما ، زبدة بسعر 7 هريفنيا لكل دلو. ما أجزاء هذين الزيتين التي تحتاج إلى تناولها للحصول على دلو من الزيت بقيمة 7 هريفنيا؟
ما هي كمية الكراميل التي يجب تناولها بسعر 260 تنغي لكل 1 كيلو وبسعر 190 تنغي لكل 1 كيلو جرام لتحضير 21 كيلو جرام من الخليط بسعر 210 تنغي للكيلوجرام الواحد؟
لدى شخص ما ثلاثة أنواع من الشاي - الشاي السيلاني بسعر 5 هريفنيا للرطل ، والشاي الهندي بسعر 8 هريفنيا للرطل ، والصيني بسعر 12 هريفنيا للرطل. في أي نسب يجب خلط هذه الأصناف الثلاثة للحصول على شاي بقيمة 6 هريفنيا لكل رطل؟
شخص ما لديه فضية من درجات مختلفة: واحد من الصف الثاني عشر ، والآخر من الصف العاشر ، والثالث من الصف السادس. ما المقدار الذي تحتاجه من الفضة للحصول على رطل واحد من الفضة عيار 9 قيراط؟
اشترى التاجر 138 ياردة من القماش الأسود والأزرق مقابل 540 روبل. السؤال هو ، كم عدد الأذرع التي اشتراها لكليهما ، إذا كان اللون الأزرق يكلف 5 روبل. ل arshin ، والأسود - 3 روبل؟
مهام مختلفة.
اشترينا 87 كجم من الفاكهة لهدايا رأس السنة الجديدة ، وكان هناك 17 كجم من التفاح أكثر من البرتقال. كم عدد التفاح وكم عدد البرتقال الذي اشتريته؟
في شجرة رأس السنة الجديدة ، كان هناك 3 أضعاف رقاقات الثلج في أزياء الكرنفال مقارنة بأزياء Petrushek. كم عدد الأطفال الذين يرتدون أزياء Petrushka إذا كان عدد الأطفال أقل من 12؟
تلقى ماشا تهنئة بالعام الجديد أقل بمرتين من كوليا. كم عدد التهاني التي نالها الجميع إذا كان عددهم 27؟ (9 و 18).
لجوائز السنة الجديدة ، تم شراء 28 كجم من الحلويات. حلويات "السنونو" مكونة من جزئين ، "موسى" - 3 أجزاء ، "بابونج" - جزءان. كم عدد الحلوى من كل نوع التي اشتريتها؟ (8 ، 8 ، 12).
يوجد 2004 كجم من الدقيق في المستودع. هل يمكن تعبئتها في أكياس تزن 9 كيلو جرام وتزن 18 كيلو جرام؟
هناك 5 أكواب مختلفة و 3 صحون مختلفة في All for Tea "كم عدد الطرق التي يمكنك بها شراء فنجان وصحن؟
يأكل الحصان كومة قش في يومين ، وبقرة في 3 ، وخروف في 6. كم يومًا سيأكل كومة قش إذا أكلوها معًا؟
عرض محتوى الوثيقة
"ملخص الدرس arif cn"
"الطرق الحسابية لحل مشاكل الكلمات".
غالبًا ما يكون أكثر فائدة لطالب الرياضيات أن يحل المشكلة نفسها بثلاث طرق مختلفة عن حل ثلاث أو أربع مسائل مختلفة. لحل مشكلة واحدة بطرق مختلفة ، يمكنك ، من خلال المقارنة ، معرفة أيها أقصر وأكثر كفاءة. هذه هي الطريقة التي يتم بها تطوير الخبرة.
دبليو دبليو سوير
الغرض من الدرس: استخدم المعرفة المكتسبة في الدروس السابقة ، أظهر الخيال ، والحدس ، والخيال ، والبراعة لحل مشاكل الاختبار بطرق مختلفة.
أهداف الدرس: التعليمية: تحليل هذه المشكلات ، وملاحظة ما هو شائع في المشكلات من وجهة نظر عالم الرياضيات ، ما هو الاختلاف ، وإيجاد طريقة غير عادية لحل المشكلات ، وإنشاء بنك أصبع من الأساليب لحل المشكلات ، وتعلم كيفية حل مشكلة واحدة في طرق مختلفة.
النامية: تشعر بالحاجة إلى تحقيق الذات ، وتجد نفسك في موقف معين من لعب الأدوار.
التعليمية:تطوير الصفات الشخصية ، وتشكيل ثقافة تواصلية.
وسائل التعليم: محاكاة مهام مجمعة حسب موضوع واحد "الأساليب الحسابية لحل المشكلات" ، مهام للعمل في مجموعة وللعمل الفردي.
خلال الفصول.
I. لحظة تنظيمية
مرحبا يا شباب. اجلس. اليوم لدينا درس حول موضوع "الطرق الحسابية لحل مشاكل الكلمات".
ثانيًا. تحديث المعرفة.
تعتبر الرياضيات من أقدم العلوم وأهمها. استخدم الناس الكثير من المعرفة الرياضية في العصور القديمة - منذ آلاف السنين. كانت ضرورية للتجار والبنائين والمحاربين ومساحي الأراضي والكهنة والمسافرين.
وفي الوقت الحاضر ، لا يمكن لشخص واحد أن يفعل في الحياة دون معرفة جيدة بالرياضيات. أساس الفهم الجيد للرياضيات هو القدرة على العد والتفكير والعقل وإيجاد حلول ناجحة للمشكلات.
سننظر اليوم في الأساليب الحسابية لحل مشاكل الكلمات ، وسنحلل المشاكل القديمة التي وصلت إلينا من بلدان وأزمنة مختلفة ، ومشاكل المعادلة ، والمقارنة بالمجموع والاختلاف ، وغيرها.
الغرض من الدرس هو جذبك إلى عالم رائع من الجمال والثروة والتنوع - عالم مليء بالتحديات الشيقة. وبالتالي ، التعرف على بعض الأساليب الحسابية التي تؤدي إلى حلول أنيقة ومفيدة للغاية.
تكون المهمة دائمًا تقريبًا بحثًا ، والكشف عن بعض الخصائص والعلاقات ، ووسائل حلها هي الحدس والتخمين وسعة الاطلاع وإتقان أساليب الرياضيات.
كأساسيات الرياضيات ، تتميز الطرق الحسابية والجبرية لحل المشكلات.
يعني حل مشكلة بالطريقة الحسابية إيجاد إجابة لمتطلبات المسألة بإجراء عمليات حسابية على الأرقام.
باستخدام الطريقة الجبرية ، تم العثور على إجابة سؤال المشكلة نتيجة صياغة المعادلة وحلها.
لا يخفى على أحد أن الشخص الذي يمتلك أدوات مختلفة ويستخدمها اعتمادًا على طبيعة العمل المنجز ، يحقق نتائج أفضل بكثير من الشخص الذي يمتلك أداة عالمية واحدة فقط.
هناك العديد من الطرق الحسابية وتقنيات حل المشكلات غير القياسية. أود أن أقدم لكم بعضًا منهم اليوم.
1. طريقة حل المشكلات الكلامية "مقارنة الأعداد بالمجموع والاختلاف".
مهمة : جمعت الجدة في الخريف من كوخها الصيفي 51 كجم من الجزر والملفوف. كان الملفوف 15 كجم أكثر من الجزر. كم كيلوجرامًا من الجزر وكم كيلوجرامًا من الملفوف جمعته جدتك؟
الأسئلة التي تتوافق مع نقاط الخوارزمية لحل مشاكل هذه الفئة.
1. اكتشف القيم المعنية في المشكلة
حول كمية الجزر والملفوف التي جمعتها جدتي معًا وبشكل منفصل.
2. وضح القيم التي توجد بها الكميات في المشكلة.
كم كيلوجرامًا من الجزر وكم كيلوجرامًا من الملفوف جمعته جدتك؟
3. قم بتسمية العلاقة بين الكميات في المشكلة.
تتحدث المشكلة عن مجموع القيم واختلافها.
4. قم بتسمية مجموع وفرق قيم الكميات.
الكمية 51 كجم ، الفرق 15 كجم.
5. من خلال معادلة القيم ، أوجد قيمة مزدوجة للقيمة الأصغر (اطرح الفرق في القيم من مجموع القيم).
51-15 = 36 (كجم) - ضعف كمية الجزر.
6. بمعرفة القيمة المضاعفة ، أوجد القيمة الأصغر (مضاعفة القيمة مقسومة على اثنين).
36: 2 = 18 (كجم) - جزر.
7. باستخدام الفرق بين القيم وقيمة أصغر قيمة ، أوجد قيمة أكبر قيمة.
18 + 15 = 33 (كجم) - ملفوف. الجواب: 18 كجم ، 33 كجم. مهمة.يوجد دراج وأرانب في القفص. ما مجموعه 6 رؤوس و 20 أرجل. كم عدد الأرانب وعدد الدراجين في القفص
?
الطريقة الأولى: طريقة الاختيار:
2 دراج و 4 أرانب.
تحقق: 2 + 4 = 6 (أهداف) ؛ 4 4 + 2 2 = 20 (قدم).
هذه طريقة اختيار (من كلمة "جمع"). مزايا وعيوب طريقة الحل هذه (من الصعب تحديد ما إذا كانت الأرقام كبيرة) وبالتالي ، هناك حافز للبحث عن طرق حل أكثر ملاءمة.
نتائج المناقشة: طريقة الاختيار مناسبة للعمليات ذات الأعداد الصغيرة ؛ مع زيادة القيم ، تصبح غير منطقية ومرهقة.
الطريقة الثانية. التعداد الكامل للخيارات.
يتم تجميع الجدول:
الجواب: 4 أرانب ، 2 طائر.
اسم هذه الطريقة هو "كاملة". نتائج المناقشة: طريقة البحث الشاملة مريحة ، لكنها في حالة القيم الكبيرة شاقة إلى حد ما.
الطريقة الثالثة. طريقة الافتراض.
لنأخذ مشكلة صينية قديمة:
يحتوي القفص على عدد غير معروف من الدراجين والأرانب. من المعروف أن القفص بأكمله يحتوي على 35 رأساً و 94 رجلاً. اكتشف عدد الدراجين وعدد الأرانب.(مشكلة من كتاب الرياضيات الصيني "كيو تشانغ" ، الذي تم تجميعه عام 2600 قبل الميلاد).
هنا حوار وجده أساتذة الرياضيات القدامى. - لنتخيل أننا نضع الجزر في القفص الذي يجلس فيه الدراج والأرانب. ستقف جميع الأرانب على أرجلها الخلفية للوصول إلى الجزر. كم قدم سيكون على الأرض في هذه اللحظة؟
لكن في بيان المشكلة ، أعطيت 94 رجلاً ، فأين الباقي؟
لا يتم احتساب بقية الأرجل - فهذه هي الأرجل الأمامية للأرانب.
كم يوجد هناك؟
24 (94 – 70 = 24)
كم عدد الأرانب هناك؟
12 (24: 2 = 12)
وماذا عن الدراج؟
23 (35- 12 = 23)
اسم هذه الطريقة هو "طريقة تخمين النقص". حاول أن تشرح هذا الاسم بنفسك (أولئك الذين يجلسون في القفص لديهم 2 أو 4 أرجل ، لكننا افترضنا أن كل شخص لديه أصغر هذه الأرقام - ساقان).
طريقة أخرى لحل نفس المشكلة. - لنحاول حل هذه المشكلة - "بطريقة التخمين الفائض": لنتخيل أن الدراجين لديهم ساقان أخريان ، ثم ستكون كل الأرجل 35 × 4 = 140.
لكن حسب حالة المشكلة 94 ساق فقط اي 140 - 94 = 46 أرجل إضافية ، لمن هم؟هذه هي أرجل الدراج ، ولديهم زوج إضافي من الأرجل. وسائل، الدراجإرادة 46: 2 = 23,
ثم الأرانب 35 -23 = 12.
ملخص المناقشة: طريقة التخمين خيارين- تشغيل نقص وفائض؛ بالمقارنة مع الطرق السابقة ، فهي أكثر ملاءمة ، لأنها أقل تعقيدًا.
مهمة. قافلة من الجمال تمشي ببطء عبر الصحراء ، يوجد 40 منها في المجموع ، إذا عدت كل حدبات هذه الجمال ، ستحصل على 57 سنب. كم عدد الإبل ذات السنام الواحد في هذه القافلة؟1 الطريق. حل باستخدام المعادلة.
عدد الحدبات لكل واحد عدد الجمال الحدبات الكلية
2 × 2 ×
1 40 - NS 40 - NS 57
2 x + 40 - NS = 57
x + 40 = 57
NS = 57 -40
NS = 17
الطريقة الثانية.
- كم عدد الحدبات التي يمكن أن تمتلكها الإبل؟
(قد يكون هناك اثنان أو واحد)
دع كل جمل يعلق زهرة على سنام واحد.
- كم عدد الزهور التي تحتاجها؟ (40 جمل - 40 لون)
- كم سنب سيبقى بدون زهور؟
(سيكون هنالك 57-40=17 ... هو - هي الحدب الثانيالإبل البكتيرية).
كم العدد الإبل البكتيرية؟ (17)
كم العدد جمال واحد محدب؟ (40-17 = 23)
ما هو الجواب على المشكلة؟ ( 17 و 23 من الإبل).
مهمة.في المرآب كانت هناك سيارات ودراجات نارية مزودة بعربات جانبية ، جميعها 18. السيارات والدراجات النارية بها 65 عجلة. كم عدد السيارات الجانبية والدراجات النارية الموجودة في المرآب إذا كانت السيارات بها 4 عجلات والدراجة النارية بها 3 عجلات؟
1 الطريق. باستخدام المعادلة:
عدد العجلات ل 1 عدد العجلات الإجمالية
الهريس. 4× 4 ×
موت. 3 18 -NS 3(18 - NS ) 65
4 x + 3(18 - NS ) = 65
4 x + 5 4 -3 NS =65
NS = 65 - 54
NS = 11, 18 – 11 = 7.
دعونا نعيد صياغة المشكلة : اللصوص الذين جاءوا إلى المرآب ، حيث كان هناك 18 سيارة ودراجة نارية مع عربات جانبية ، أزالوا ثلاث عجلات من كل سيارة وكل دراجة نارية ونقلوا بعيدًا. كم عدد العجلات المتبقية في المرآب إذا كان هناك 65 عجلة؟ هل ينتمون إلى سيارة أو دراجة نارية؟
3 × 18 = 54 - تم نقل العديد من العجلات بعيدًا بواسطة اللصوص ،
65- 54 = 11 - كم عدد العجلات المتبقية (السيارات في المرآب) ،
18-11 = 7 - دراجات نارية.
الجواب: 7 دراجات نارية.
على المرء:
كان هناك 23 سيارة ودراجة نارية مع عربة جانبية في المرآب. السيارات والدراجات النارية لها 87 عجلة. كم عدد الدراجات النارية الموجودة في المرآب مع عجلة احتياطية في كل عربة جانبية؟
- كم عدد عجلات السيارات والدراجات النارية معًا؟ (4 × 23 = 92)
- كم عدد العجلات الاحتياطية التي وضعتها في كل عربة؟ (92 - 87 = 5)
- كم عدد السيارات في المرآب؟ (23-5 = 18).
مهمة.في صفنا ، يمكنك دراسة اللغة الإنجليزية أو الفرنسية (اختياري). من المعروف أن 20 طالبًا يدرسون اللغة الإنجليزية و 17 طالبًا في اللغة الفرنسية ، ويوجد في الفصل 32 طالبًا. كم عدد الطلاب الذين يتعلمون اللغتين الإنجليزية والفرنسية؟
لنرسم دائرتين. في أحدهما سوف نسجل عدد أطفال المدارس الذين يدرسون اللغة الإنجليزية ، والآخر - أطفال المدارس الذين يدرسون اللغة الفرنسية. منذ حالة المشكلة هناك طلاب يدرسونكلا اللغتين: الإنجليزية والفرنسية، ثم سيكون للدوائر جزء مشترك.ليس من السهل فهم حالة هذه المشكلة. إذا أضفت 20 و 17 ، فستحصل على أكثر من 32. هذا يرجع إلى حقيقة أننا أحصينا بعض أطفال المدارس هنا مرتين - أي أولئك الذين يدرسون اللغتين: الإنجليزية والفرنسية. ومن ثم (20 + 17) - 32 = 5 يتعلم الطلاب اللغتين: الإنجليزية والفرنسية.
إنجليزي فران.
20 حساب. 17 حساب.
(20 + 17) - 32 = 5 (طلاب).
تسمى المخططات المشابهة لتلك التي استخدمناها لحل المشكلة في الرياضيات دوائر (أو مخططات) أويلر. ليونارد أويلر (1736) ولد في سويسرا. لكنه عاش وعمل لسنوات عديدة في روسيا.
مهمة.كل أسرة تعيش في منزلنا تشترك في صحيفة أو مجلة أو كليهما. 75 أسرة تشترك في الجريدة ، و 27 عائلة تشترك في المجلات ، و 13 أسرة فقط تشترك في كل من مجلة وصحيفة. كم عدد العائلات التي تعيش في منزلنا؟
صحف ومجلات
تظهر الصورة أن 89 عائلة تعيش في المنزل.
مهمة.حضر المؤتمر الدولي 120 شخصا. من بين هؤلاء ، 60 يتحدثون الروسية ، 48 - الإنجليزية ، 32 - الألمانية ، 21 - الروسية والألمانية ، 19 - الإنجليزية والألمانية ، 15 - الروسية والإنجليزية ، و 10 أشخاص يتحدثون جميع اللغات الثلاث. كم عدد المشاركين في المؤتمر الذين لا يتحدثون أيًا من هذه اللغات؟
الروسية 15 الإنجليزية
21 10 19
ألمانية
الحل: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) = 25 (الناس).
مهمة. تزن ثلاث قطط وجريان 2 كجم 600 جرام ، ووزن قطرتان وثلاث كلاب 2 كجم 900 جرام كم يزن الجرو؟
3 قطط و 2 كلاب - 2 كجم 600 جم
2 قطط و 3 كلاب - 2 كجم 900 جرام.
ويترتب على الحالة أن 5 قطط و 5 كلاب تزن 5 كجم و 500 جم ، وبالتالي ، تزن قطة صغيرة وجرو واحد 1 كجم 100 جم
2 قطط و 2 جرو. يزن 2 كجم 200 جم
دعونا نقارن الشروط -
2 قطط + 3 كلاب = 2 كجم 900 جم
2 قطط + 2 كلاب = 2 كجم 200 جم ، نرى أن الجرو يزن 700 جم.
مهمة.بالنسبة إلى حصان واحد وبقرتين ، يتم إعطاء 34 كجم من التبن يوميًا ، ولخيولان وبقرة واحدة - 35 كجم من القش. ما مقدار التبن الذي يُعطى لحصان واحد وكم لبقرة واحدة؟
دعنا نكتب بيانًا قصيرًا للمشكلة:
1 حصان و 2 بقرة -34 كجم.
عدد 2 حصان و 1 بقرة -35 كجم.
هل يمكنك معرفة مقدار التبن اللازم لثلاثة أحصنة و 3 أبقار؟
(لـ 3 خيول و 3 أبقار - 34 + 35 = 69 كجم)
ما هي كمية التبن اللازمة لحصان واحد وبقرة واحدة؟ (69: 3 - 23 كجم)
كم التبن الذي يحتاجه حصان واحد؟ (35-23 = 12 كجم)
كم التبن الذي تحتاجه بقرة واحدة؟ (23-13 = 11 كجم)
الجواب: 12 كجم و 11 كجم.
مهمة.قررت المدينة تناول الإفطار في بوفيه المدرسة. استكشف القائمة والإجابة ، ما عدد الطرق التي يمكن أن تختار بها مشروبًا ومعجنات؟
| الحلويات |
|
| تشيز كيك |
|
لنفترض أن المدينة المنورة تختار الشاي من المشروبات. أي نوع من الحلوى يمكنها اختيار الشاي؟ (شاي - تشيز كيك - شاي - بسكويت - شاي - رول)
كم عدد الطرق؟ (3)
وإذا كان الكبوت؟ (أيضا 3)
كيف تعرف عدد الطرق التي يمكن أن تستخدمها Madina لاختيار غداءها؟ (3 + 3 + 3 = 9)
نعم كلامك صحيح. ولكن لتسهيل حل هذه المشكلة علينا ، سنستخدم الرسوم البيانية. تعني كلمة "رسم بياني" في الرياضيات صورة يتم فيها رسم عدة نقاط ، بعضها متصل بخطوط. دعونا نميز المشروبات والمعجنات بالنقاط ونربط أزواج من تلك الأطباق التي تختارها المدينة.
كومبوت حليب الشاي
كعكة الجبن كعكة الكعك
لنعد الآن عدد الأسطر. هناك 9. هناك 9 طرق لاختيار الأطباق.
مهمة.قرر سيريوزا أن يعطي والدته باقة من الزهور (الورود ، الزنبق أو القرنفل) في عيد ميلادها ويضعها إما في إناء أو في إبريق. كم عدد الطرق التي يمكنه فعلها؟
كم عدد الطرق التي تعتقد؟ (3)
لماذا ا؟ (الألوان 3)
نعم فعلا. ولكن هناك أيضًا أطباق مختلفة: إما إناء أو إبريق. دعنا نحاول إكمال المهمة بيانياً.
إبريق إناء
الورود والزنبق والقرنفل
عد الخطوط. كم يوجد هناك؟ (6)
لذا ، كم عدد الطرق المتاحة لسيريوزا للاختيار؟ (6)
ملخص الدرس.
اليوم قمنا بحل عدد من المشاكل. لكن العمل لم يكتمل ، وهناك رغبة في مواصلته ، وآمل أن يساعدك ذلك في حل مشاكل الكلمات بنجاح.
يُعرف حل المشكلات بأنه فن عملي مثل السباحة أو العزف على البيانو. لا يمكن تعلمه إلا من خلال محاكاة الأمثلة الجيدة ، من خلال الممارسة المستمرة.
هذه ليست سوى أبسط المهام ، بينما تظل المهام المعقدة موضوعًا للدراسة المستقبلية. ولكن لا يزال هناك عدد أكبر مما يمكننا حله. وإذا تمكنت في نهاية الدرس من حل المشكلات "خلف صفحات المواد التعليمية" ، فيمكننا أن نفترض أنني قد أتممت مهمتي.
تساعد معرفة الرياضيات في حل مشكلة معينة في الحياة. في الحياة ، سيتعين عليك حل بعض المشكلات بانتظام ، ولهذا تحتاج إلى تطوير قدراتك الفكرية ، وبفضل ذلك تتطور إمكاناتك الداخلية ، والقدرة على التنبؤ بموقف ما ، والتنبؤ ، واتخاذ قرار غير قياسي.
أريد أن أنهي الدرس بالكلمات: "أي مشكلة رياضية يتم حلها جيدًا تمنح متعة ذهنية". (ج هيس).
هل توافق مع هذا؟
واجب منزلي.
ستكون هناك مهمة كهذه في المنزل: باستخدام نصوص المسائل المحلولة ، كعينة ، يحل المسائل رقم 8 ، 17 ، 26 بنفس الطرق التي درسناها.
بناءً على التشابه في المعنى الرياضي وإمكانية التبادل بين طرق الحل المختلفة ، يمكن دمج جميع الطرق الحسابية في المجموعات التالية:
- 1) طريقة الاختزال إلى واحد ، والاختزال إلى مقياس عام ، والتخفيض العكسي إلى واحد ، وطريقة العلاقات ؛
- 2) طريقة لحل المشاكل من "النهاية" ؛
- 3) طريقة لإزالة المجهول (استبدال المجهول بآخر ، مقارنة المجهول ، مقارنة البيانات ، مقارنة حالتين عن طريق الطرح ، الجمع بين شرطين في واحد) ؛ طريقة التخمين
- 4) القسمة النسبية أو التشابه أو العثور على الأجزاء ؛
- 5) طريقة لتحويل مشكلة إلى أخرى (تفكيك مشكلة معقدة إلى مسائل تحضيرية بسيطة ، اختزال المجهول إلى هذه القيم التي أصبحت نسبتها معروفة ، طريقة لتحديد رقم تعسفي لإحدى الكميات غير المعروفة).
بالإضافة إلى هذه الأساليب ، من المستحسن النظر في طريقة المتوسط الحسابي ، وطريقة الفائض ، وطريقة إعادة ترتيب المعلوم والمجهول ، وطريقة القواعد "الخاطئة".
نظرًا لأنه من المستحيل عادةً تحديد أي من الأساليب منطقية مسبقًا ، فإن التنبؤ بأي منها سيؤدي إلى الحل الأبسط والأكثر قابلية للفهم للطالب ، يجب تعريف الطلاب بطرق مختلفة ومنحهم الفرصة لاختيار أي منها منها لاستخدامها في حل مشكلة معينة.
طريقة لاستبعاد المجهول
تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون هناك العديد من الأشياء المجهولة في المهمة. يمكن حل هذه المشكلة بإحدى الطرق الخمس: 1) استبدال غير معروف بآخر. 2) مقارنة المجهول. 3) مقارنة شرطين عن طريق الطرح ؛ 4) مقارنة البيانات. 5) الجمع بين عدة شروط في واحد.
نتيجة لتطبيق إحدى التقنيات المذكورة ، بدلاً من العديد من الأشياء المجهولة ، يبقى أحدها يمكن العثور عليه. بعد حسابها ، استخدم البيانات الموجودة في حالة التبعية للعثور على مجاهيل أخرى.
دعنا نلقي نظرة فاحصة على بعض التقنيات.
1. استبدال المجهول بآخر
يكشف اسم التقنية عن فكرتها: بناءً على التبعيات (مضاعفات أو فرق) ، والتي تُعطى حسب حالة المشكلة ، من الضروري التعبير عن جميع المجهول من خلال إحداها.
مهمة. سيرجي وأندريه لديهم 126 درجة فقط. سيرجي لديه 14 علامة أكثر من أندريه. كم عدد الطوابع التي يمتلكها كل من الأولاد؟
تدوين موجز للحالة:
سيرجي -؟ طوابع ، 14 طابع أكثر
أندري -؟ طوابع بريدية
المجموع - 126 درجة
الحل 1.
- (استبدال المجهول الأكبر بالأصغر)
- 1) اسمح لسيرجي بالحصول على العديد من العلامات مثل أندري. ثم يكون العدد الإجمالي للعلامات 126-14 = 112 (علامة).
- 2) نظرًا لأن الأولاد لديهم الآن نفس عدد الطوابع ، فسنجد عدد الطوابع التي كان لدى Andrey في البداية: 112: 2 = 56 (طوابع).
- 3) بالنظر إلى أن سيرجي لديه 14 علامة أكثر من أندريه ، نحصل على: 56 + 14 = 70 (علامة).
الحل 2.
- (استبدال المجهول الأصغر بآخر أكبر)
- 1) دع أندريه لديه نفس عدد العلامات مثل سيرجي. ثم سيكون العدد الإجمالي للعلامات 126 + 14 = 140 (علامة).
- 2) نظرًا لأن الأولاد لديهم الآن نفس عدد الطوابع ، فسنجد عدد الطوابع التي كان لدى سيرجي في البداية: 140: 2 = 70 (طوابع).
- 3) بالنظر إلى أن Andrey كان لديه 14 درجة أقل من Sergey ، نحصل على: 70-14 = 56 (علامة).
الجواب: حصل سيرجي على 70 درجة وأندريه 56 درجة.
للحصول على أفضل استيعاب من قبل الطلاب لطريقة استبدال مجهول أصغر بأخرى كبيرة ، قبل التفكير فيه ، من الضروري معرفة الحقيقة التالية مع الطلاب: إذا كان الرقم A أكبر من الرقم B في C ، ثم لمقارنة الرقمين A و B من الضروري:
- أ) اطرح الرقم C من الرقم A (ثم كلا الرقمين يساوي الرقم B) ؛
- ب) أضف الرقم C إلى الرقم B (ثم كلا الرقمين يساوي الرقم A).
إن قدرة الطلاب على استبدال المجهول الأكبر بالمجهول الأصغر ، والعكس بالعكس ، يساهم بشكل أكبر في تنمية القدرة على اختيار المجهول والتعبير عن الكميات الأخرى من خلاله عند وضع المعادلة.
2. مقارنة المجهول
مهمة. كان هناك 188 كتابا على أربعة أرفف. على الرف الثاني ، كان هناك 16 كتابًا أقل من الأول ، والثالث - 8 أكثر من الكتاب الثاني ، والرابع - 12 أقل من الرف الثالث. كم عدد الكتب على كل رف؟
تحليل المشكلة
لفهم التبعيات بين الكميات الأربعة غير المعروفة بشكل أفضل (عدد الكتب على كل رف) ، نستخدم المخطط التالي:
أنا _________________________________
II___________________________
III______________________________
IV_______________________ _ _ _ _ _
بمقارنة المقاطع التي تمثل عدد الكتب بشكل تخطيطي على كل رف ، نتوصل إلى الاستنتاجات التالية: يوجد 16 كتابًا على الرف الأول أكثر من الثاني ؛ الثالث هو 8 أكثر من الثاني ؛ في الرابع - 12 - 8 = 4 (كتب) أقل من الثاني. لذلك ، يمكن حل المشكلة بمقارنة عدد الكتب على كل رف. للقيام بذلك ، قم بإزالة 16 كتابًا من الرف الأول ، و 8 كتب من الرف الثالث ، ثم ضع 4 كتب على الرف الرابع. ثم على جميع الأرفف سيكون هناك نفس عدد الكتب ، أي كما كان على الكتاب الثاني في البداية.
- 1) كم عدد الكتب الموجودة على جميع الأرفف بعد العمليات الموضحة في تحليل المشكلة؟
- 188 - 16 - 8 + 4 = 168 (كتب)
- 2) كم عدد الكتب الموجودة على الرف الثاني؟
- 168: 4 = 42 (كتب)
- 3) كم عدد الكتب على الرف الأول؟
- 42 + 16 = 58 (كتب)
- 4) كم عدد الكتب على الرف الثالث؟
- 42 + 8 = 50 (كتب)
- 5) كم عدد الكتب على الرف الرابع؟
- 50-12 = 38 (كتب)
الجواب: يحتوي كل رف من الأرفف الأربعة على 58 و 42 و 50 و 38 كتابًا.
تعليق. يمكنك دعوة الطلاب لحل هذه المشكلة بطرق أخرى ، إذا قارنت عددًا غير معروف من الكتب الموجودة على الرف الأول أو الثاني أو على الرف الرابع.
3. مقارنة حالتين عن طريق الطرح
غالبًا ما تشتمل حبكة المشكلة ، التي يتم حلها بهذه التقنية ، على كميتين متناسبتين (كمية البضائع وقيمتها ، وعدد العمال والعمل الذي يقومون به ، وما إلى ذلك). يعطي الشرط قيمتين لكمية واحدة والفرق بين قيمتين رقميتين لكمية أخرى تتناسب معهما.
مهمة. لقد دفعوا 620 روبلًا مقابل 4 كجم من البرتقال و 5 كجم من الموز ، وفي المرة القادمة دفعوا 500 روبل مقابل 4 كجم من البرتقال و 3 كجم من الموز تم شراؤها بنفس الأسعار. كم يبلغ 1 كغم من البرتقال و 1 كغم من الموز؟
تدوين موجز للحالة:
- 4 كجم AP. وحظر 5 كجم. - 620 روبل ،
- 4 كجم AP. وحظر 3 كجم. - 500 روبل
- 1) لنقارن تكلفة عمليتي شراء. اشتروا في المرة الأولى والثانية نفس الكمية من البرتقال بنفس السعر. في المرة الأولى دفعوا أكثر لأنهم اشتروا المزيد من الموز. لنجد عدد كيلوغرامات الموز التي تم شراؤها أكثر لأول مرة: 5 - 3 = 2 (كجم).
- 2) دعنا نكتشف مقدار المبلغ الذي دفعوه في المرة الأولى أكثر من الثانية (أي ، اكتشفنا تكلفة 2 كجم من الموز): 620-500 = 120 (روبل).
- 3) لنجد سعر 1 كجم من الموز: 120: 2 = 60 (فرك).
- 4) بمعرفة تكلفة الشراء الأول والثاني يمكننا إيجاد سعر 1 كغم من البرتقال. للقيام بذلك ، سنجد أولاً تكلفة شراء الموز ، ثم تكلفة البرتقال ، ثم سعر 1 كجم. لدينا: (620-60 * 5): 4 = 80 (فرك).
الجواب: سعر 1 كجم من البرتقال 80 روبل ، وسعر 1 كجم من الموز 60 روبل.
4. مقارنة البيانات
يتيح استخدام هذه التقنية إمكانية مقارنة البيانات وتطبيق طريقة الطرح. يمكنك مقارنة قيم البيانات:
- 1) استخدام الضرب (مقارنتها مع المضاعف المشترك الأصغر) ؛
- 2) استخدام القسمة (مقارنتها مع القاسم المشترك الأكبر).
دعنا نظهر هذا بمثال.
مهمة. لقد دفعوا 620 روبلًا مقابل 4 كجم من البرتقال و 5 كجم من الموز ، وفي المرة التالية دفعوا 660 روبلًا مقابل 6 كجم من البرتقال و 3 كجم من الموز تم شراؤها بنفس الأسعار. كم يبلغ 1 كغم من البرتقال و 1 كغم من الموز؟
تدوين موجز للحالة:
- 4 كجم AP. وحظر 5 كجم. - 620 روبل ،
- 6 كجم اب. وحظر 3 كجم. - 660 روبل.
دعونا نساوي عدد البرتقال والموز ، ونقارنهما بالمضاعف المشترك الأصغر: المضاعف المشترك الأصغر (4 ؛ 6) = 12.
الحل 1.
- 1) دعنا نزيد عدد الفاكهة المشتراة وتكلفتها في الحالة الأولى بمقدار 3 مرات ، وفي الحالة الثانية - مرتين. نحصل على بيان قصير للحالة:
- 12 كجم AP. و 15 كجم حظر. - 1860 روبل ،
- 12 كجم AP. وحظر 6 كجم. - 1320 روبل.
- 2) اكتشف عدد الموز الذي تم شراؤه للمرة الأولى: 15-6 = 9 (كجم).
- 3) كم تبلغ تكلفة 9 كجم من الموز؟ 1860 - 1320 = 540 (فرك).
- 4) لنجد سعر 1 كجم من الموز: 540: 9 = 60 (فرك).
- 5) لنجد تكلفة 3 كجم من الموز: 60 * 3 = 180 (فرك).
- 6) أوجد تكلفة 6 كجم برتقال: 660-180 = 480 (فرك).
- 7) لنجد سعر 1 كجم من البرتقال: 480: 6 = 80 (فرك).
الحل 2.
دعونا نساوي عدد البرتقال والموز ، ونقارنهما بأكبر عامل مشترك: GCD (4 ؛ 6) = 2.
- 1) لموازنة عدد البرتقال الذي تم شراؤه في المرة الأولى والمرة الثانية ، سنخفض كمية البضائع المشتراة وتكلفتها في الحالة الأولى مرتين ، في الثانية - بمقدار 3 مرات. لدينا مشكلة لها مثل هذا البيان القصير للحالة
- 2 كجم اب. و 2.5 كجم حظر. - 310 روبل ،
- 2 كجم اب. وحظر 1 كجم. - 220 روبل.
- 2) كم عدد الموز الذي تم شراؤه الآن: 2.5 - 1 = 1.5 (كجم).
- 3) لنجد مقدار 1.5 كجم من تكلفة الموز: 310-220 = 90 (فرك).
- 4) لنجد سعر 1 كجم من الموز: 90: 1.5 = 60 (فرك).
- 5) أوجد سعر 1 كجم برتقال: (660-60 * 3): 6 = 80 (فرك).
الجواب: سعر 1 كجم من البرتقال 80 روبل ، و 1 كجم من الموز 60 روبل.
عند حل المشكلات باستخدام طريقة مقارنة البيانات ، لا يمكنك إجراء مثل هذا التحليل التفصيلي والسجلات ، ولكن يمكنك فقط إنشاء سجل للتغييرات التي تم إجراؤها للمقارنة وتدوينها في شكل جدول.
5. الجمع بين عدة شروط في واحد
في بعض الأحيان يمكنك التخلص من الأشياء المجهولة غير الضرورية من خلال الجمع بين عدة شروط في حالة واحدة.
مهمة. غادر السائحون المخيم وساروا في البداية لمدة 4 ساعات ، ثم ركبوا الدراجات لمدة 4 ساعات أخرى بسرعة ثابتة معينة وتقاعدوا من المخيم مسافة 60 كم. في المرة الثانية ، غادروا المخيم وركبوا دراجاتهم أولاً بنفس السرعة لمدة 7 ساعات ، ثم استداروا في الاتجاه المعاكس وساروا لمدة 4 ساعات ، ووجدوا أنفسهم على مسافة 50 كيلومترًا من المخيم. ما مدى سرعة ركوب السائحين لدراجاتهم؟
هناك نوعان من المجهول في المشكلة: السرعة التي ركب بها السائحون دراجاتهم ، والسرعة التي ساروا بها. لاستبعاد أحدهما ، يمكنك دمج الشرطين في واحد. ثم المسافة التي سيقطعها السائح خلال 4 ساعات ، مع التحرك للأمام لأول مرة سيرًا على الأقدام ، تساوي المسافة التي قطعوها في 4 ساعات ، مع العودة مرة أخرى. لذلك نحن لا نهتم بهذه المسافات. هذا يعني أن المسافة التي يقطعها السائح في 4 + 7 = 11 (ساعة) بالدراجات ستكون 50 + 60 = 110 (كم).
ثم سرعة حركة السائحين على دراجات هوائية: 110: 11 = 10 (كم / ساعة).
الجواب: سرعة ركوب الدراجة الهوائية 10 كم / ساعة.
6. طريقة القبول
إن استخدام طريقة الافتراض في حل المشكلات لا يسبب صعوبات لغالبية الطلاب. لذلك ، حتى لا يحفظ الطلاب بشكل ميكانيكي مخطط خطوات هذه الطريقة وسوء فهم لجوهر الإجراءات التي يتم تنفيذها على كل منها ، يجب أولاً أن تبين للطلاب طريقة المحاكمات ("القاعدة الخاطئة" و "قاعدة البابليون القدماء ").
عند استخدام طريقة أخذ العينات ، ولا سيما "القاعدة الخاطئة" ، يتم إعطاء إحدى الكميات غير المعروفة ("المسموح بها") قيمة معينة. ثم ، وباستخدام جميع الشروط ، يتم العثور على قيمة كمية أخرى. يتم فحص القيمة الناتجة مقابل القيمة المحددة في الشرط. إذا كانت القيمة التي تم الحصول عليها مختلفة عن القيمة الواردة في الشرط ، فإن القيمة الأولى المحددة غير صحيحة ويجب زيادتها أو إنقاصها بمقدار 1 ، ومرة أخرى يجب العثور على قيمة أخرى. يجب أن يتم ذلك حتى نحصل على قيمة كمية أخرى ، كما هو الحال في بيان المشكلة.
مهمة. لدى أمين الصندوق 50 قطعة نقدية كل منها 50 كوبيك و 10 كوبيك لكل منها ، بإجمالي 21 روبل. ابحث عن عدد 50 ألف قطعة نقدية كان لدى الصراف بشكل منفصل. و 10 كيلو.
الحل 1. (طريقة العينة)
دعونا نستخدم حكم البابليين "القدماء". افترض أن أمين الصندوق لديه نفس عدد العملات من كل فئة ، أي 25 قطعة. ثم سيكون مبلغ المال 50 * 25 + 10 * 25 = 1250 + 250 = 1500 (ك.) ، أو 15 روبل. لكن بشرط 21 روبل ، أي أكثر مما تلقوه ، بمقدار 21 غريفنا - 15 روبل = 6 روبل. هذا يعني أنه من الضروري زيادة عدد العملات بمقدار 50 كوبيل وتقليل عدد العملات بمقدار 10 كوبيل حتى نحصل على إجمالي 21 روبل. سنقوم بتدوين التغيير في عدد العملات والمبلغ الإجمالي في الجدول.
|
عدد القطع النقدية |
عدد القطع النقدية |
مبلغ من المال |
مبلغ من المال |
المبلغ الإجمالي |
أقل أو أكثر من الشرط |
|
أقل من 6 روبل. |
|||||
|
أقل من 5 روبل 60 ألف |
|||||
|
كما هو الحال في الشرط |
كما ترون من الجدول ، كان لدى أمين الصندوق 40 قطعة نقدية من 50 كوبيل و 10 عملات معدنية من 10 كوبيل.
كما اتضح في الحل 1 ، إذا كان لدى أمين الصندوق حصة متساوية من 50 ألف قطعة نقدية. و 10 آلاف ، ثم في المجموع كان لديه 15 روبل. من السهل أن ترى أن كل تغيير لعملة 10k. على عملة 50 ألف. يزيد المبلغ الإجمالي بمقدار 40 ألف. وبالتالي ، من الضروري معرفة عدد هذه الاستبدالات التي يجب إجراؤها ، وللقيام بذلك ، نجد أولاً مقدار الأموال اللازمة لزيادة المبلغ الإجمالي:
21 روبل - 15 روبل = 6 روبل = 600 ك.
لنجد عدد المرات التي يجب إجراء مثل هذا التغيير فيها: 600 ك: 40 ك = 15.
ثم 50 ك.كل منها 25 +15 = 40 (عملات معدنية) ، وعملات 10 ك.تبقى 25 - 15 = 10.
يؤكد الشيك أن المبلغ الإجمالي للمال في هذه الحالة يساوي 21 روبل.
الإجابة: كان لدى أمين الصندوق 40 قطعة نقدية من فئة 50 كوبيل و 10 عملات من 10 كوبيك.
بعد أن عرضت على الطلاب أن يختاروا بشكل مستقل قيمًا مختلفة لعدد العملات المعدنية البالغ عددها 50 كوبيل ، فمن الضروري إحضارهم إلى الفكرة الأفضل من وجهة نظر العقلانية ، وهناك افتراض بأن أمين الصندوق كان لديه عملات معدنية فقط من نفس الفئة (على سبيل المثال ، 50 قطعة نقدية من 50 كوبيل أو 50 قطعة نقدية كل منها 10 كيلو). نتيجة لهذا ، يتم استبعاد أحد المجهولين واستبداله بآخر مجهول.
7. طريقة المخلفات
هذه الطريقة لها بعض أوجه التشابه مع التفكير عند حل المشكلات بطرق التجربة والافتراض. نستخدم طريقة البقايا ، وحل مشاكل الحركة في اتجاه واحد ، أي عندما يكون من الضروري إيجاد الوقت الذي سيلحق خلاله الجسم الأول ، الذي يتحرك خلفه بسرعة أعلى ، الجسم الثاني ، الذي لديه سرعة أقل للحركة. في ساعة واحدة ، يقترب الجسم الأول من الثاني على مسافة مساوية للاختلاف في سرعته ، أي تساوي "باقي" السرعة مقارنةً بسرعة الثانية. لإيجاد الوقت الذي يستغرقه الكائن الأول للتغلب على المسافة التي كانت بينه وبين الثاني في بداية الحركة ، من الضروري تحديد عدد مرات وضع "الباقي" في هذه المسافة.
إذا استخرجنا من الحبكة وفكرنا فقط في البنية الرياضية للمشكلة ، فإننا نتحدث عن عاملين (سرعة حركة كلا الجسمين) أو اختلاف هذين العاملين ونتاجين (المسافات التي يقطعانها) أو اختلافهما. العوامل المجهولة (الوقت) هي نفسها ويجب إيجادها. من وجهة نظر رياضية ، يوضح العامل المجهول عدد المرات التي يتم فيها احتواء اختلاف العوامل المعروفة في اختلاف المنتجات. لذلك ، فإن المشكلات التي يتم حلها بطريقة القيم المتبقية تسمى مشاكل إيجاد الأرقام باختلافين.
مهمة. قرر الطلاب لصق صور من العيد في الألبوم. إذا تم لصق 4 صور في كل صفحة ، فلن يحتوي الألبوم على مساحة كافية لـ 20 صورة. إذا تم لصق 6 صور على كل صفحة ، فستبقى 5 صفحات مجانية. كم عدد الصور التي سيضيفها الطلاب إلى الألبوم؟
تحليل المشكلة
يظل عدد الصور كما هو في خياري اللصق الأول والثاني. حسب حالة المشكلة ، فهي غير معروفة ، ولكن يمكن العثور عليها إذا كان عدد الصور الموضوعة على صفحة واحدة وعدد الصفحات في الألبوم معروفًا.
يُعرف عدد الصور التي يتم لصقها على صفحة واحدة (العامل الأول). عدد صفحات الألبوم غير معروف ولم يتغير (العامل الثاني). نظرًا لأنه من المعروف أن 5 صفحات من الألبوم تظل مجانية للمرة الثانية ، يمكنك العثور على عدد الصور الإضافية التي يمكن لصقها في الألبوم: 6 * 5 = 30 (صور).
هذا يعني أنه من خلال زيادة عدد الصور على صفحة واحدة بمقدار 6 - 4 = 2 ، يزيد عدد الصور الملصقة بمقدار 20 + 30 = 50.
منذ المرة الثانية في كل صفحة قاموا بلصق المزيد على صورتين وفي المجموع قاموا بلصق 50 صورة أخرى ، ثم سنجد عدد الصفحات في الألبوم: 50: 2 = 25 (ص).
لذلك ، كان هناك 4 * 25 + 20 = 120 صورة في المجموع (صور).
الإجابة: احتوى الألبوم على 25 صفحة و 120 صورة تم لصقها.
ملاحظات عامة على حل المشكلات بالطريقة الحسابية.
مهام البحث عن المجهول بناءً على نتائج الإجراءات.
مشاكل القسمة النسبية.
مشاكل في المئة وأجزاء.
عكس المهام.
1. الطريقة الحسابية هي الطريقة الرئيسية لحل مشاكل الكلمات في المدرسة الابتدائية. يجد تطبيقه في المستوى المتوسط لمدرسة شاملة. تتيح لك هذه الطريقة أن تفهم بشكل أعمق وتقدير أهمية وأهمية كل مرحلة من مراحل العمل في المهمة.
في بعض الحالات ، يكون حل المشكلة بالطريقة الحسابية أسهل بكثير من الطرق الأخرى.
تعتبر الرشوة ببساطتها وسهولة الوصول إليها ، الطريقة الحسابية معقدة للغاية في نفس الوقت ، ويتطلب إتقان طرق حل المشكلات بهذه الطريقة عملاً جادًا ومضنيًا. لا تسمح مجموعة متنوعة من أنواع المشكلات بتشكيل نهج شامل لتحليل المشكلات ، والبحث عن طريقة لحلها: المشكلات ، حتى لو تم دمجها في مجموعة واحدة ، لها طرق مختلفة تمامًا لحلها.
2 . إلى المهام إيجاد المجهول باختلافها ونسبتهاتوجد مشكلات ، نظرًا للاختلاف المعروف وحاصل قيمتين لكمية معينة ، يلزم إيجاد هذه القيم.
النموذج الجبري:
تم العثور على الإجابة من خلال الصيغ: NS= ak / (ك - 1), ص = أ / (ك - 1).
مثال.يزيد عدد ركاب عربات الدرجة الثانية في القطار السريع عن 432 راكبًا مقارنة بعربات المقصورة. كم عدد الركاب الذين يجلسون في عربات الدرجة الثانية والمقصورة بشكل منفصل ، إذا كان عدد الركاب في عربات المقصورة أقل بأربع مرات من عدد الركاب في عربات الدرجة الثانية؟
حل.يظهر النموذج الرسومي للمشكلة في الشكل. 4.
أرز. 4
سنأخذ عدد الركاب في سيارات المقصورة كجزء واحد. ثم يمكنك معرفة عدد الأجزاء التي يتم احتسابها من خلال عدد الركاب في سيارات المقاعد المحجوزة ، ومن ثم عدد الأجزاء التي يمثلها 432 راكبًا. بعد ذلك ، يمكنك تحديد عدد الركاب الذين يشكلون جزءًا واحدًا (الموجودون في سيارات المقصورة). مع العلم أن هناك 4 أضعاف عدد الركاب في سيارات المقاعد المحجوزة ، سنجد عددهم.
1 4 = 4 (ساعات) - يُحسب بواسطة الركاب في سيارات المقاعد المحجوزة ؛
4-1 = 3 (ساعات) - يقع على الفرق بين عدد الركاب في المقاعد المحجوزة وسيارات المقصورة ؛
432: 3 = 144 (ص) - في مقصورة السيارات ؛
144 4 = 576 (ص) - في سيارات المقاعد المحجوزة.
يمكن التحقق من هذه المشكلة عن طريق حلها بطريقة أخرى وهي:
1 4 = 4 (ح) ؛
4-1 = 3 (ح) ؛
432: 3 = 144 (ص) ؛
144 + 432 = 576 (ص).
الجواب: عدد الركاب في المقصورة 144 راكباً و 576 في المقاعد المحجوزة.
إلى المهام العثور على مجاهيل من قبل اثنين أو اثنين من المخلفات اختلافات، تشمل المشكلات التي يتم فيها النظر في كميتين متناسبتين بشكل مباشر أو عكسي ، بحيث تُعرف قيمتان لكمية واحدة والاختلاف في القيم المقابلة لكمية أخرى ، ويكون مطلوبًا للعثور على قيم هذا الكمية نفسها.
النموذج الجبري:
تم العثور على الإجابات بواسطة الصيغ:
مثال.مر قطاران بنفس السرعة - أحدهما 837 كم والآخر 248 كم ، وكان الأول في طريقه أكثر من الثاني بـ19 ساعة. كم ساعة سافر كل قطار؟
حل.يظهر النموذج الرسومي للمشكلة في الشكل 5.
أرز. 5
للإجابة على سؤال المشكلة ، كم عدد الساعات التي قطعتها في هذا القطار أو ذاك ، تحتاج إلى معرفة المسافة المقطوعة والسرعة. المسافة معطاة في الحالة. لمعرفة السرعة ، تحتاج إلى معرفة المسافة والوقت اللذين يتم فيهما قطع هذه المسافة. تشير الحالة إلى أن القطار الأول قد مضى 19 ساعة أطول ، ويمكن معرفة المسافة المقطوعة خلال هذا الوقت. مشى 19 ساعة إضافية - من الواضح أنه قطع مسافة إضافية خلال هذا الوقت.
837 - 248 = 589 (كم) - سافر أول قطار عدة كيلومترات أخرى ؛
589:19 = 31 (كم / ساعة) - سرعة القطار الأول ؛
837: 31 = 27 (ساعة) - كان أول قطار في الطريق ؛
4) 248: 31 = 8 (ساعات) - كان القطار الثاني في الطريق.
دعنا نتحقق من حل المشكلة عن طريق إنشاء تطابق بين البيانات والأرقام التي تم الحصول عليها عند حل المشكلة.
بعد أن اكتشفنا المدة التي قضاها كل قطار في طريقه ، وجدنا عدد الساعات التي كان فيها القطار الأول في طريقه مقارنة بالساعة الثانية: 27 - 8 = 19 (ساعة). هذا الرقم يطابق المعطى في الشرط. وبالتالي ، تم حل المشكلة بشكل صحيح.
يمكن التحقق من هذه المشكلة عن طريق حلها بطريقة أخرى. تظل الأسئلة الأربعة والخطوات الثلاث الأولى كما هي.
4) 27 –19 = 8 (ساعات).
الجواب: القطار الأول كان في الطريق لمدة 31 ساعة ، القطار الثاني - 8 ساعات.
مشاكل إيجاد ثلاثة مجاهيل بثلاث مبالغ من هؤلاء المجهولين ، تؤخذ في أزواج:
النموذج الجبري:
تم العثور على الإجابة من خلال الصيغ:
س =(أ -ب + ق) / 2 ، ص = (أ +ب – ق) / 2 ، ض = (ب + مع -أ)/ 2.
مثال. 116 طالبًا يدرسون اللغة الإنجليزية والألمانية ، و 46 طالبًا يدرسون الألمانية والإسبانية ، و 90 طالبًا يدرسون اللغة الإنجليزية والإسبانية. كم عدد الطلاب الذين يدرسون اللغة الإنجليزية والألمانية والإسبانية بشكل منفصل إذا كان من المعروف أن كل طالب يتعلم لغة واحدة فقط؟
حل.يظهر النموذج الرسومي للمشكلة في الشكل 6.
كم عدد الطلاب الذين يدرسون كل لغة؟
يوضح النموذج الرسومي للمشكلة: إذا جمعنا عدد أطفال المدارس المعينين في الحالة (116 + 90 + 46) ، فسنحصل على ضعف عدد أطفال المدارس الذين يدرسون اللغة الإنجليزية والألمانية والإسبانية. بتقسيمه على اثنين ، نجد العدد الإجمالي للطلاب. لمعرفة عدد الطلاب الذين يتعلمون اللغة الإنجليزية ، يكفي طرح عدد الطلاب الذين يتعلمون اللغة الألمانية والإسبانية من هذا العدد. وبالمثل ، نجد باقي الأعداد المطلوبة.
دعنا نكتب القرار بشأن الإجراءات مع التفسيرات:
116 + 90 + 46 = 252 (اسم) - تضاعف عدد أطفال المدارس الذين يدرسون اللغات ؛
252: 2 = 126 (اسم) - تعلم اللغات ؛
126-46 = 80 (مدرسة) - تعلم اللغة الإنجليزية ؛
126-90 = 36 (عدد) - تعلم اللغة الألمانية ؛
126-116 = 10 (عدد) - تعلم الاسبانية.
يمكن التحقق من هذه المشكلة عن طريق حلها بطريقة أخرى.
116-46 = 70 (اسم) - عدد أكبر بكثير من تلاميذ المدارس الذين يدرسون اللغة الإنجليزية أكثر من الإسبانية ؛
90 + 70 = 160 (عدد) - تضاعف عدد أطفال المدارس الذين يدرسون اللغة الإنجليزية ؛
160: 2 = 80 (اسم) - تعلم اللغة الإنجليزية ؛
90-80 = 10 (عدد) - تعلم اللغة الإسبانية ؛
116-80 = 36 (شيكل) - تعلم اللغة الألمانية.
الجواب: 80 تلميذاً يدرسون اللغة الإنجليزية ، 36 تلميذاً يدرسون اللغة الألمانية ، 10 تلاميذ يدرسون اللغة الإسبانية.
3. تتضمن مشاكل القسمة التناسبية المشكلات التي يجب فيها تقسيم قيمة معينة لكمية معينة إلى أجزاء بما يتناسب مع الأرقام المحددة. في بعضها يتم تقديم الأجزاء بشكل صريح ، بينما يجب تمييز هذه الأجزاء في أجزاء أخرى من خلال أخذ إحدى قيم هذه الكمية كجزء واحد وتحديد عدد هذه الأجزاء في قيمها الأخرى.
هناك خمسة أنواع من مهام القسمة التناسبية.
1) مشاكل قسمة عدد إلى أجزاء ، بشكل مستقيميتناسب مع سلسلة من الأعداد الصحيحة أو الأعداد الكسرية
تتضمن المهام من هذا النوع المهام التي يكون فيها الرقم أ NS 1, NS 2 , × 3 ، ... ، NS ن يتناسب طرديا مع الأرقام أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ، ...، أ ن .
النموذج الجبري:
تم العثور على الإجابة من خلال الصيغ:
مثال.وكالة السفر لديها أربعة مراكز ترفيهية ، والتي لها مباني بنفس السعة. يوجد على أراضي المركز الترفيهي الأول 6 مباني ، 2 - 4 مباني ، 3 - 5 مباني ، 4 - 7 مباني. كم عدد المصطافين الذين يمكن لكل قاعدة استيعابها إذا كانت جميع القواعد الأربع تتسع لـ 2112 شخصًا؟
حل. يظهر ملخص للمشكلة في الشكل 7.
أرز. 7
للإجابة على سؤال المشكلة ، كم عدد المصطافين الذين يمكن استيعابهم في كل قاعدة ، تحتاج إلى معرفة عدد المصطافين الذين يمكن استيعابهم في مبنى واحد وعدد المباني الموجودة في أراضي كل قاعدة. عدد المباني في كل قاعدة معطى في الشرط. لمعرفة عدد المصطافين الذين يمكن استيعابهم في مبنى واحد ، فأنت بحاجة إلى معرفة عدد المصطافين الذين يمكن استيعابهم في جميع القواعد الأربعة (يتم توفير هذا في الحالة) وعدد المباني الموجودة على أراضي جميع القواعد الأربعة. يمكن تحديد الأخير من خلال معرفة عدد المباني الموجودة في أراضي كل قاعدة من الحالة.
دعنا نكتب القرار بشأن الإجراءات مع التفسيرات:
6 + 4 + 5 + 7 = 22 (غرفة) - تقع على أراضي 4 قواعد ؛
2112: 22 = 96 (ساعة) - يمكن استيعابها في مبنى واحد ؛
96 6 = 576 (ساعة) - يمكن استيعابها في القاعدة الأولى ؛
96 4 = 384 (ساعة) - يمكن استيعابها في القاعدة الثانية ؛
96 5 = 480 (ساعة) - يمكن استيعابها في القاعدة الثالثة ؛
96 7 = 672 (ساعة) - يمكن وضعها على القاعدة الرابعة.
فحص.نحسب عدد المصطافين الذين يمكن استيعابهم في 4 قواعد: 576 + 384 + 480 + 672 = 2112 (ساعات). لا يوجد تعارض مع حالة المشكلة. تم حل المشكلة بشكل صحيح.
الإجابة: القاعدة الأولى يمكن أن تستوعب 576 مصطافًا ، والثانية - 384 مصطافًا ، والثالثة - 480 مصطافًا ، والرابعة - 672 مصطافًا.
2) مشاكل تقسيم رقم إلى أجزاء تتناسب عكسياً مع سلسلة من الأعداد الصحيحة أو الأعداد الكسرية
وتشمل هذه المهام التي العدد أ(قيمة بعض الكمية) يجب تقسيمها إلى أجزاء x 1 أنا , x 2 , x 3 أنا , ..., NS "يتناسب عكسيا مع الأرقام أ 1 ب أ 2 ، أ 3 ،...، أ ن .
النموذج الجبري:
أو
x 1 : x 2 : NS 3 : ...: x „= أ 2 أ 3 ...أ ن :أ 1 أ 3 ...أ NS :أ 1 أ 2 أ 4 ...أ ن :...:أ 1 أ 2 ...أ ن -1
تم العثور على الإجابة من خلال الصيغ:
أين س = أ 2 أ 3 ... a „+أ ل أ أنا ... أ ن + أ ] أ 2 أ 4 ...أ ن + ... + أ 1 أ 2 ...أ ن -1.
مثال.في أربعة أشهر ، بلغ دخل مزرعة الفراء من بيع الفراء 1925000 روبل ، ووزعت الأموال المتلقاة بشكل عكسي مع الأرقام 2 ، 3 ، 5 ، 4 حسب الأشهر ما هو دخل المزرعة في كل شهر على حدة؟
حل.لتحديد المداخيل المذكورة في الشرط ، يتم إعطاء إجمالي الدخل لمدة أربعة أشهر ، أي مجموع الأرقام الأربعة المطلوبة ، وكذلك العلاقة بين الأرقام المطلوبة. الدخل المطلوب يتناسب عكسيا مع الأرقام 2 ، 3 ، 5 ، 4.
نشير 
الدخل المطلوب ، على التوالي ، من خلال x ، NS 2
، NS 3
، NS 4
.
ثم يمكن كتابة المشكلة باختصار كما هو موضح في الشكل 8.
أرز. ثمانية
بمعرفة عدد الأجزاء لكل من الأرقام المطلوبة ، نجد عدد الأجزاء التي تم تضمينها في مجموعها. وفقًا لإجمالي الدخل المحدد لأربعة أشهر ، أي وفقًا لمجموع الأرقام المطلوبة وعدد الأجزاء الواردة في هذا المبلغ ، نكتشف قيمة جزء واحد ، ثم الدخل المطلوب.
دعنا نكتب القرار بشأن الإجراءات مع التفسيرات:
1. يتناسب الدخل المطلوب عكسياً مع الأرقام 2 ، 3 ، 5 ، 4 ، مما يعني أنه يتناسب طرديًا مع الأرقام المعكوسة للبيانات ، أي أن هناك علاقة 
... نستبدل هذه النسب في الأعداد الكسرية بنسب الأعداد الصحيحة:
2. مع العلم أن NSيحتوي على 30 جزءًا متساويًا ، NS 2 – 20, NS 3 – 12, NS 4 – 15 ، نجد عدد الأجزاء الواردة في مجموعها:
30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ساعة).
3. كم روبل هناك لجزء واحد؟
1،925،000: 77 = 25000 (ص).
4. ما هو دخل المزرعة في الشهر الأول؟
25000 30 = 750.000 (ص).
5. ما هو دخل المزرعة في الشهر الثاني؟
25000 20 = 500000 (ص).
6. ما هو دخل المزرعة في الشهر الثالث؟
25000 - 12 = 300000 (ص).
7. ما هو دخل المزرعة في الشهر الرابع؟
25000 - 15 = 375000 (ص).
الجواب: في الشهر الأول ، كان دخل المزرعة 750.000 روبل ، في الشهر الثاني - 500000 روبل ، في الثالث - 300000 روبل ، في الرابع - 375000 روبل.
3) مشاكل تقسيم الرقم إلى أجزاء ، عند إعطاء علاقات منفصلة لكل زوج من الأرقام المرغوبة
تتضمن المهام من هذا النوع تلك المهام التي يكون فيها الرقم أ(قيمة بعض الكمية) يجب تقسيمها إلى أجزاء × 1 ، NS 2 , × 3 ، ... ، NS "،عندما يتم إعطاء سلسلة من العلاقات للأرقام المطلوبة ، تؤخذ في أزواج. النموذج الجبري:
× 1: NS 2 = أ 1 : ب 1, NS 2 : NS 3 = أ 2 : ب 2, × 3 : NS 4 = أ 3 : ب 3 ، ... ، NS ن -1 : NS ن = أ ن -1 : ب ن -1 .
ن = 4. النموذج الجبري:
NS NS : NS 2 = أ 1 : ب 1, NS 2 : NS 3= أ 2 : ب 2, NS 3 : NS 4 = أ 3: ب 3 .
وبالتالي، NS 1: NS 2 : × 3: NS 4 = أ 1 أ 2 أ 3 : ب 1 أ 2 أ 3 : ب 1 ب 2 أ 3 : ب 1 ب 2 ب 3 .
أين س = أ 1 أ 2 أ 3 + ب 1 أ جي أ 3 + ب 1 ب 2 أ 3 + ب 1 ب 2 ب 3
مثال.ثلاث مدن يبلغ عدد سكانها 168000 نسمة. عدد سكان المدن الأولى والثانية في النسبة 
، والمدن الثانية والثالثة - فيما يتعلق. كم عدد السكان في كل مدينة؟
حل.دعونا نشير إلى العدد المطلوب من السكان ، على التوالي ، من خلال NS 1 ، NS 2 ، NS 3 . ثم يمكن كتابة المشكلة باختصار كما هو موضح في الشكل 9.
أرز. تسع
لتحديد عدد السكان ، يتم إعطاء عدد السكان في ثلاث مدن ، أي مجموع الأرقام الثلاثة المطلوبة ، وكذلك العلاقات الفردية بين الأرقام المطلوبة. استبدال هذه العلاقات بعدد من العلاقات ، نعبر عن عدد سكان ثلاث مدن في أجزاء متساوية. بمعرفة عدد الأجزاء لكل من الأرقام المطلوبة ، نجد عدد الأجزاء التي تم تضمينها في مجموعها. وفقًا للعدد الإجمالي المحدد للسكان في ثلاث مدن ، أي بمجموع الأعداد المطلوبة وعدد الأجزاء الواردة في هذا المجموع ، نجد قيمة جزء واحد ، ثم العدد المطلوب من السكان.
دعنا نكتب القرار بشأن الإجراءات مع التفسيرات.
1. استبدل نسبة الأعداد الكسرية بنسبة الأعداد الصحيحة:
يرتبط عدد سكان المدينة الثانية بالرقم 15 (المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 3 و 5).
نغير العلاقة الناتجة وفقًا لذلك:
NS 1: NS 2 = 4: 3 = (4-5) :( 3-5) = 20:15 ، × 2: × 3 = 5: 7 = (5-3) :( 7-3) = 15:21.
نؤلف عددًا من العلاقات من العلاقات الفردية:
NS 1: NS 2 : NS 3 = 20: 15: 21.
2. 20 + 15 + 21 = 56 (ساعة) - الرقم 168000 يتوافق مع العديد من الأجزاء المتساوية ؛
3. 168000: 56 = 3000 (f.) - يقع على جزء واحد ؛
4. 3000 20 = 60.000 (ف.) - في المدينة الأولى ؛
5. 3،000 15 = 45،000 (f.) - في المدينة الثانية ؛
3000 21 = 63000 (ف.) - في المدينة الثالثة.
الجواب: 60000 نسمة. 45000 نسمة 63000 نسمة.
4) مهام لتقسيم رقم إلى أجزاء بما يتناسب مع اثنين وثلاثة وهكذا في صفوف الأرقام
تتضمن المهام من هذا النوع المهام التي يكون فيها الرقم أ(قيمة بعض الكمية) يجب تقسيمها إلى أجزاء NS 1, NS 2 , NS 3 ,..., NS ن بما يتناسب مع اثنين ، ثلاثة ، ... ، نصفوف من الأرقام.
في ضوء إرهاق الصيغ لحل المشكلة بشكل عام ، ضع في اعتبارك حالة خاصة عندما ن = 3 و ن = 2.اسمحوا ان NS 1 NS 2 ، NS 3 يتناسب طرديا مع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ويتناسب عكسيا مع الأرقام ب 1 , ب 2 , ب 3 .
النموذج الجبري:
(انظر النقطة 1 من هذه الفقرة) ،
مثال.تلقى عاملان 1800 روبل. عمل أحدهم لمدة 3 أيام لمدة 8 ساعات ، والآخر لمدة 6 أيام لمدة 6 ساعات ، كم يكسب كل فرد إذا حصل على حصص متساوية مقابل ساعة عمل واحدة؟
حل... يظهر ملخص للمشكلة في الشكل 10.
أرز.10
لمعرفة المبلغ الذي حصل عليه كل عامل ، يجب أن يعرف المرء عدد الروبلات التي تم دفعها مقابل ساعة واحدة من العمل وعدد ساعات عمل كل عامل. لمعرفة عدد الروبلات التي تم دفعها مقابل ساعة واحدة من العمل ، عليك أن تعرف المبلغ الذي تم دفعه مقابل كل العمل (الوارد في الحالة) وعدد ساعات العمل معًا. لمعرفة العدد الإجمالي لساعات العمل ، تحتاج إلى معرفة عدد ساعات كل عمل ، ولهذا تحتاج إلى معرفة عدد أيام العمل وعدد الساعات في اليوم. هذه البيانات متوفرة في الحالة.
دعنا نكتب القرار بشأن الإجراءات مع التفسيرات:
8 3 = 24 (ساعة) - عمل العامل الأول ؛
6 6 = 36 (ساعة) - العامل الثاني عمل ؛
24 + 36 = 60 (ساعة) - عمل كلا العاملين معًا ؛
1800: 60 = 30 (صفحة) - استُقبل العمال مقابل ساعة عمل واحدة ؛
30 24 = 720 (ص) - ربح العامل الأول ؛
30 36 = 1080 (ص) - ربح العامل الثاني. الجواب: 720 روبل. 1080 ص.
5) مهام البحث عن أرقام متعددةحسب نسبهم ومجموعهم أو فرقهم (مجموع أو فرق بعضهم)
مثال.أنفقت إدارة المدرسة 49000 روبل على تجهيزات الملعب والصوبة والقاعة الرياضية. تكلفة معدات الملعب نصف تكلفة الصوبات الزراعية ، والصوبات الزراعية أرخص بثلاث مرات من تكلفة الصالة الرياضية والملعب معًا. ما مقدار الأموال التي تم إنفاقها على تجهيز كل من هذه المرافق؟
حل... يظهر ملخص للمشكلة في الشكل 11.
أرز. أحد عشرلمعرفة مقدار الأموال التي تم إنفاقها على معدات كل منشأة ، تحتاج إلى معرفة عدد الأجزاء من جميع الأموال التي تم إنفاقها على معدات كل منشأة وعدد الروبلات التي تم إنفاقها على كل جزء. يتم تحديد عدد أجزاء الأموال التي يتم إنفاقها على معدات كل كائن من حالة المشكلة. بعد تحديد عدد الأجزاء لمعدات كل كائن على حدة ، ثم إيجاد مجموعها ، نحسب قيمة جزء واحد (بالروبل).
دعنا نكتب القرار بشأن الإجراءات مع التفسيرات.
نحن نقبل بجزء واحد مبلغ المال الذي يتم إنفاقه على معدات الملعب. وفقًا للحالة ، تم إنفاق أكثر من مرتين على معدات الدفيئة ، أي 1 2 = 2 (ح.) ؛ قضت معدات الملعب والصالة الرياضية معًا 3 مرات أكثر من الدفيئة ، أي 2 3 = 6 (ساعات) ، لذلك تم إنفاق 6-1 = 5 (ساعات) على معدات الصالة الرياضية.
لتجهيز الملعب ، تم إنفاق جزء واحد ، دفيئات - جزءان ، صالة رياضية - 5 أجزاء. كان معدل التدفق بالكامل 1 + 2 + + 5 = 8 (ح).
8 أجزاء - 49000 روبل ، جزء واحد أقل 8 مرات من هذا المبلغ: 49000: 8 = 6125 (روبل). وبالتالي ، تم إنفاق 6125 روبل على معدات الملعب.
ضعف المبلغ الذي تم إنفاقه على معدات الدفيئة: 6125 2 = 12250 (ص).
تم إنفاق 5 أجزاء على تجهيزات الصالة الرياضية: 6125 5 = 30625 (ص).
الجواب: 6125 روبل ؛ 12 250 روبل 30625 ص.
6) مهام القضاء على أحد المجهولين
تتضمن مشاكل هذه المجموعة المشكلات التي يتم فيها إعطاء مجاميع منتجين بعاملين متكررين ، ويلزم إيجاد قيم هذه العوامل. نموذج جبري
تم العثور على الإجابة من خلال الصيغ:
يتم حل هذه المهام من خلال طريقة تعديل البيانات ، وطريقة تعديل البيانات والبيانات المطلوبة ، وطريقة استبدال البيانات ، وكذلك ما يسمى بطريقة "التخمين".
مثال.مصنع خياطة يستخدم 204 م من القماش لـ 24 معطف و 45 بذلة و 162 م ل 24 معطف و 30 بذلة ما هو مقدار القماش المستخدم للبدلة الواحدة وكم سعر معطف واحد؟
حل... لنحل المشكلة باستخدام طريقة معادلة البيانات. سجل موجز للمهمة.
عبادة منخفضة ماريا ، بريانتسيفا لودميلا
يوضح العمل طرق حل مشاكل الكلمات.
تحميل:
معاينة:
المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 64 في فولغوغراد
مسابقة المدينة للأعمال التعليمية والبحثية
"أنا والأرض" لهم. في و. فيرنادسكي
(مرحلة الحي)
الحل الحسابي
مشاكل نصية في الرياضيات
قسم "الرياضيات"
أنجزت من قبل: بريانتسيفا ليودميلا ،
طالب 9A فئة MOU SOSH رقم 64 ،
انخفاض الإعجاب يا مريم ،
طالب من فئة 9A MOU الثانوية № 64.
الرأس: نوسكوفا إيرينا أناتوليفنا ،
مدرس الرياضيات MOU SOSH № 64
فولجوجراد 2014
مقدمة ……………………………………………………………………… 3
الفصل 1. طرق غير قياسية لحل المشاكل
- مهام حول موضوع "الأعداد الطبيعية" ........................... .. 5
- ... المهام "في أجزاء ونسبة مئوية" ........................................... .. 8
- مهام الحركة ……………………………………… ... 11
- مهام العمل المشترك ……………………………… 14
استنتاج ………………………………………………………. 16
المؤلفات ………………………………………………………. 16
مقدمة.
من المعروف أنه تاريخيًا لفترة طويلة ، كانت المعرفة الرياضية تنتقل من جيل إلى جيل في شكل قائمة من المشكلات ذات المحتوى العملي إلى جانب حلولها. في البداية ، تم تدريس الرياضيات بواسطة الأنماط. قام التلاميذ ، بتقليد المعلم ، بحل المشكلات وفقًا لـ "قاعدة" معينة. وهكذا ، في العصور القديمة ، كان الشخص الذي كان قادرًا على حل مشكلات من أنواع معينة يواجهها في الممارسة (في حسابات التداول ، وما إلى ذلك) يعتبر مدربًا.
كان أحد أسباب ذلك هو أن هدف تعليم الأطفال الحساب ، تاريخيًا ، لفترة طويلة ، كان إتقان مجموعة معينة من المهارات الحسابية المرتبطة بالحسابات العملية. في الوقت نفسه ، لم يتم تطوير خط الحساب - خط الأرقام - وتم تنفيذ تعلم الحساب من خلال المهام. في "الحساب" L.F. Magnitsky ، على سبيل المثال ، تم اعتبار الكسور كأرقام مسماة (وليس فقط، أ تمت دراسة الروبل ، والبودات ، وما إلى ذلك) ، والإجراءات مع الكسور في عملية حل المشكلات. تم الحفاظ على هذا التقليد لفترة طويلة. حتى في وقت لاحق ، تمت مواجهة مشاكل مع البيانات الرقمية غير المعقولة ، على سبيل المثال: "يباع كلغ من السكر في روبل لكل كيلوغرام ... "،التي تم إحياءها ليس من خلال احتياجات الممارسة ، ولكن من خلال احتياجات تعليم الحوسبة.
السبب الثاني لزيادة الاهتمام باستخدام مشاكل الكلمات في روسيا هو أنهم في روسيا لم يعتمدوا وطوروا فقط الطريقة القديمة لنقل المعرفة الرياضية وأساليب التفكير بمساعدة مشاكل الكلمات. تعلمنا أن نشكل بمساعدة المهام مهارات تعليمية عامة مهمة تتعلق بتحليل النص ، وإبراز ظروف المشكلة والسؤال الرئيسي ، ووضع خطة للحل ، وإيجاد الظروف التي يمكنك من خلالها الحصول على إجابة على السؤال الرئيسي. السؤال ، التحقق من النتيجة. لعب دور مهم أيضًا من خلال تعليم تلاميذ المدارس ترجمة النص إلى لغة العمليات الحسابية والمعادلات وعدم المساواة والصور الرسومية.
نقطة أخرى لا يمكن تجنبها عندما نتحدث عن حل المشكلات. يشبه التعليم والتنمية في نواح كثيرة تطور البشرية ، لذلك فإن استخدام المشكلات القديمة والأساليب الحسابية المختلفة لحلها يسمح لك بالذهاب في سياق تاريخي يطور الإمكانات الإبداعية. بالإضافة إلى ذلك ، هناك مجموعة متنوعة من الحلول توقظ خيال الأطفال ، وتتيح لك تنظيم البحث عن حل في كل مرة بطريقة جديدة ، مما يخلق خلفية عاطفية مواتية للتعلم.
وبالتالي ، يمكن تلخيص أهمية هذا العمل في عدة أحكام:
مشاكل الكلمات هي وسيلة مهمة لتدريس الرياضيات. بمساعدتهم ، يكتسب الطلاب خبرة في العمل بالكميات ، ويفهمون العلاقات بينهم ، ويكتسبون خبرة في تطبيق الرياضيات لحل المشكلات العملية ؛
يؤدي استخدام الأساليب الحسابية لحل المشكلات إلى تطوير البراعة والإبداع ، والقدرة على طرح الأسئلة والإجابة عليها ، أي تطوير لغة طبيعية ؛
تتيح لك الطرق الحسابية لحل المشكلات الكلامية تطوير القدرة على تحليل مواقف المشكلات ، وبناء خطة حل مع مراعاة العلاقات بين الكميات المعروفة وغير المعروفة ، وتفسير نتيجة كل إجراء ، والتحقق من صحة الحل عن طريق تكوين وحل المشكلة. مشكلة عكسية
الأساليب الحسابية لحل مشاكل الكلمات تعلم التجريدات ، وتسمح لك بتعليم ثقافة منطقية ، ويمكن أن تساهم في إنشاء خلفية عاطفية مواتية للتعلم ، وتنمية الشعور الجمالي فيما يتعلق بحل مشكلة ودراسة الرياضيات ، وإثارة الاهتمام بالعملية لإيجاد حل ، ثم في الموضوع نفسه ؛
إن استخدام المشكلات التاريخية ومجموعة متنوعة من الأساليب القديمة (الحسابية) لحلها لا يثري تجربة النشاط العقلي فحسب ، بل يتيح لك أيضًا إتقان طبقة ثقافية وتاريخية مهمة من التاريخ البشري المرتبطة بالبحث عن حلول للمشكلات. هذا حافز داخلي مهم لإيجاد حلول للمشاكل وتعلم الرياضيات.
مما سبق نستخلص الاستنتاجات التالية:
موضوع البحثهي مجموعة من المسائل الكلامية في الرياضيات للصفوف 5-6 ؛
موضوع البحثهي طريقة حسابية لحل المشكلات.
الغرض من الدراسةهو النظر في عدد كافٍ من المشكلات الكلامية في مقرر الرياضيات المدرسي وتطبيق الحل الحسابي لحلها ؛
مهام لتنفيذ هدف البحثتحليل وحل المشكلات الكلامية في الأقسام الرئيسية للمقرر "الأعداد الطبيعية" ، "الأعداد العقلانية" ، "النسب والنسب المئوية" ، "مشكلات الحركة" ؛
طريقة البحثهو محرك بحث عملي.
الفصل 1. طرق غير قياسية لحل المشاكل.
- مهام حول موضوع "الأعداد الطبيعية".
في هذه المرحلة من العمل مع الأرقام ، تتمتع الأساليب الحسابية لحل المشكلات بميزة على الأساليب الجبرية ، لأن نتيجة كل خطوة فردية في اتخاذ القرار بشأن الإجراءات لها تفسير مرئي ومحدد تمامًا لا يتجاوز إطار تجربة الحياة. لذلك ، يتم تعلم طرق التفكير المختلفة القائمة على الإجراءات التخيلية بكميات معروفة بشكل أسرع وأفضل من طريقة الحل القائمة على تطبيق معادلة شائعة للمشكلات ذات المواقف الحسابية المختلفة.
1. لقد حملت رقمًا ، وزادته بمقدار 45 وحصلت على 66. أوجد العدد الذي تم تصوره.
يمكنك استخدام الرسم التخطيطي لحل المشكلة لمساعدتك على تصور العلاقة بين عمليات الجمع والطرح. ستكون مساعدة الرسم فعالة بشكل خاص لعدد كبير من الإجراءات ذات القيمة غير المعروفة.لقد تصورت الرقم 21.
2. في الصيف ، كانت لدي نافذة مفتوحة طوال اليوم. في الساعة الأولى ، طار بعوضة واحدة ، في الثانية - بعوضتان ، في الثالثة - 3 ، إلخ. كم عدد البعوض طار في اليوم؟
يستخدم طريقة تقسيم جميع المصطلحات إلى أزواج (الأول مع الأخير ، والثاني مع الأخير ، وما إلى ذلك) ، وإيجاد مجموع كل زوج من المصطلحات وضربها في عدد الأزواج.
1 + 2 + 3 + ... + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) +…. + (12 + 13) = 25 12 = 300.
طار 300 بعوضة.
3. سأل الضيوف: كم كان عمر كل واحدة من الأخوات؟ ردت فيرا أنها ونادية تعيشان معًا منذ 28 عامًا ؛ ناديا وليوبا يعملان معًا منذ 23 عامًا ، وجميعهم يبلغون من العمر 38 عامًا. كم عمر كل أخت؟
1.38 - 28 = 10 (سنوات) - ليوبا ؛
2.23 - 10 = 13 (سنة) - نادية ؛
3.28 - 13 = 15 (سنة) - فيرا.
ليوبا تبلغ من العمر 10 سنوات ، ونادية تبلغ من العمر 13 عامًا ، وفيرا تبلغ من العمر 15 عامًا.
4. هناك 30 طالبًا في صفنا. ذهب 23 شخصًا في رحلة استكشافية إلى المتحف ، وذهب 21 شخصًا إلى السينما ، ولم يذهب 5 أشخاص إلى الرحلة أو السينما. كم عدد الأشخاص الذين ذهبوا إلى النزهة وإلى السينما؟
بالنظر إلى حل المشكلة ، يوضح الشكل مراحل التفكير.
- 30-5 = 25 (شخص) - ذهب إلى السينما ، أو
انحراف؛
- 25-23 = 2 (شخصان) - ذهب فقط إلى السينما ؛
- 21 - 2 = 19 (شخص) - ذهب إلى السينما و
انحراف.
ذهب 19 شخصًا إلى السينما والرحلات.
5. شخص ما لديه 24 ورقة نقدية من نوعين - 100 و 500 روبل بمبلغ 4000 روبل. كم 500 روبل لديه؟
نظرًا لأن المبلغ المستلم هو رقم "دائري" ، فإن عدد الأوراق النقدية من 100 روبل هو مضاعف 1000. وبالتالي ، فإن عدد الأوراق النقدية البالغ 500 روبل هو أيضًا مضاعف 1000. ومن ثم ، لدينا - 20 ورقة لكل منها 100 روبل 500 روبل لكل منها - 4 فواتير.
شخص ما لديه 4 فواتير كل منها 500 روبل.
6. جاء المقيم الصيفي من منزله الريفي إلى المحطة بعد 12 دقيقة من مغادرة القطار. إذا أمضى 3 دقائق أقل لكل كيلومتر ، فسيأتي في الوقت المناسب لمغادرة القطار. هل يعيش المقيم في الصيف بعيدًا عن المحطة؟
من خلال إنفاق 3 دقائق أقل لكل كيلومتر ، يمكن للمقيم الصيفي توفير 12 دقيقة على مسافة 12: 3 = 4 كم.
يعيش ساكن الصيف على بعد 4 كم من المحطة.
7. يعطي النبع برميل ماء في 24 دقيقة. كم برميل من الماء يعطي الربيع يوميا؟
نظرًا لأنه من الضروري تجاوز الكسور ، فليس من الضروري معرفة أي جزء من البرميل يتم ملؤه في دقيقة واحدة. نحدد عدد الدقائق اللازمة لملء 5 براميل: في 24.5 = 120 دقيقة ، أو ساعتان. ثم 24: 2 = 12 مرة سيتم ملء برميل يوميًا أكثر من ساعتين ، أي 5 · 12 = 60 برميلًا.
ينتج الربيع 60 برميلًا يوميًا.
8. في بعض المواقعتغيير القضبان القديمة بطول 8 أمتار للقضبان الجديدة بطول 12 متر كم عدد القضبان الجديدة المطلوبة بدلاً من 240 سككًا قديمة؟
على مقطع طوله 24 مترًا ، بدلاً من 3 سكك حديدية قديمة ، سيتم وضع قطعتين جديدتين. سيتم استبدال القضبان بـ 240: 3 = 80 قسمًا ، وسيتم وضع 80 2 = 160 قضيبًا جديدًا عليها.
مطلوب 160 سكك حديدية جديدة.
9. كان المخبز يحتوي على 654 كجم من الخبز الأسود والأبيض. بعد أن باعوا 215 كجم من الخبز الأسود و 287 كجم من الخبز الأبيض ، تُرك كلا النوعين من الخبز بالتساوي. كم كيلو جرام من الخبز الأسود والأبيض كان منفصلاً في المخبز؟
1) 215 + 287 = 502 (كجم) - بيع الخبز ؛
2) 654-502 = 152 (كجم) - خبز متبقي للبيع ؛
3) 152: 2 = 76 (كجم) خبز أبيض (وأسود) متبقي للبيع ؛
4) 215 + 76 = 291 (كجم) - كان الخبز الأسود في الأصل ؛
5) 287 + 76 = 363 (كجم) - كان هناك خبز أبيض في الأصل.
291 كجم من الخبز الأسود كانت في الأصل و 363 كجم من الخبز الأبيض كانت في الأصل.
- المهام "في أجزاء ونسبة مئوية".
نتيجة للعمل مع مهام هذا القسم ، من الضروري أخذ قيمة مناسبة لجزء واحد ، وتحديد عدد هذه الأجزاء التي تقع على قيمة أخرى ، لمجموعها (الفرق) ، ثم الحصول على إجابة لسؤال المشكلة.
10. يمكن للفريق الأول إكمال المهمة في 20 ساعة ، والثاني في 30 ساعة. في البداية ، أكملت الفرق من المهام أثناء العمل معًا ، وتم إكمال باقي المهمة بواسطة لواء أول واحد. كم ساعة اكتملت المهمة؟
أهداف الإنتاجية أقل فهمًا من أهداف الحركة. لذلك ، مطلوب هنا تحليل مفصل لكل خطوة.
1) إذا كان الفريق الأول يعمل بمفرده ، فسيقوم بإكمال المهمة في غضون 20 ساعة - وهذا يعني أنه يؤدي كل ساعةالمهمة برمتها.
2) بالمثل نحصل على إنتاجية عمالة للواء الثاني -المهمة برمتها.
3) أولاً ، العمل معًا ، أكملت الفرقالمهمة برمتها. كم من الوقت قضوا؟... أي في ساعة واحدة من العمل المشترك ، يكمل كلا الفريقين الجزء الثاني عشر من المهمة.
4) ثم سوف يكملون المهام في 9 ساعات ، منذ ذلك الحين(حسب الخاصية الرئيسية للكسر).
5) يبقى التنفيذالمهام ، ولكن بالفعل فقط للواء الأول الذي يؤدي في ساعة واحدةالمهمة برمتها. لذلك يجب أن يعمل اللواء الأولالساعة 5 لرؤيتها حتى النهاية ، منذ ذلك الحين.
6) أخيرًا ، لدينا 5 + 9 = 14 ساعة.
سيتم الانتهاء من المهمة في غضون 14 ساعة.
أحد عشر . أحجام الإنتاج السنوي من الآبار الأول والثاني والثالث هو 7: 5: 13. ومن المخطط خفض الإنتاج النفطي السنوي من البئر الأول بنسبة 5٪ ومن الثاني - بنسبة 6٪. ما هي النسبة التي يجب زيادة الإنتاج النفطي السنوي من البئر الثالث حتى لا يتغير الحجم الإجمالي للنفط المنتج للعام؟?
تعتبر مشكلات النسبة المئوية والجزئية منطقة مهمة تستغرق وقتًا طويلاً وغير مفهومة. لذلك ، كان الشيء الأكثر واقعية بالنسبة لنا هو فهمها بأمثلة عددية.مثال 1. دع إنتاج النفط السنوي يكون 1000 برميل. بعد ذلك ، مع العلم أن هذا الإنتاج ينقسم إلى 25 جزءًا (7 + 5 + 13 = 25 ، أي جزء واحد 40 برميلًا) لدينا: الحفار الأول يضخ 280 برميلًا ، والثاني - 200 برميل ، والثالث - 520 برميلًا في السنة. . مع انخفاض في الإنتاج بنسبة 5٪ ، تفقد الحفارة الأولى 14 برميلًا (280 × 0.05 = 14) ، أي أن إنتاجها سيكون 266 برميلًا. مع انخفاض في الإنتاج بنسبة 6٪ ، تفقد الحفارة الثانية 12 برميلًا (200 · 0.06 = 12) ، أي أن إنتاجها سيكون 188 برميلًا.
في غضون عام واحد فقط ، سيضخون معًا 454 برميلًا من النفط ، ثم ستحتاج الحفارة الثالثة ، بدلاً من 520 برميلًا ، إلى إنتاج 546 برميلًا.
مثال 2. دع إنتاج النفط السنوي يكون 1500 برميل. وبعد ذلك ، مع العلم أن هذا الإنتاج ينقسم إلى 25 جزءًا (7 + 5 + 13 = 25 ، أي جزء واحد 60 برميلًا) ، لدينا: الحفار الأول يضخ 420 برميلًا ، والثاني 300 برميلًا ، والثالث 780 برميلًا في السنة. مع انخفاض في الإنتاج بنسبة 5٪ ، تفقد الحفارة الأولى 21 برميلًا (420 × 0.05 = 21) ، أي أن إنتاجها سيكون 399 برميلًا. مع انخفاض في الإنتاج بنسبة 6 ٪ ، تفقد الحفارة الثانية 18 برميلًا(300 · 0.06 = 18) أي أن إنتاجها سيكون 282 برميلًا.
في غضون عام واحد فقط ، سيضخون معًا 681 برميلًا من النفط ، ثم ستحتاج الحفارة الثالثة ، بدلاً من 780 برميلًا ، إلى إنتاج 819 برميلًا.
هذا هو 5٪ أكثر من الإنتاج السابق ، مثل.
من الضروري زيادة الإنتاج النفطي السنوي من البئر الثالث بنسبة 5٪ حتى لا يتغير الحجم الإجمالي للنفط المنتج خلال العام.
يمكنك أيضًا التفكير في إصدار آخر لمهمة مماثلة. نقدم هنا بعض المتغيرات ، والتي هي مجرد "رمز" لوحدات الحجم.
12. حجم الإنتاج النفطي السنوي من الآبار الأول والثاني والثالث هو 6: 7: 10. ومن المخطط خفض الإنتاج النفطي السنوي من البئر الأول بنسبة 10٪ ومن الثاني بنسبة 10٪. ما هي النسبة التي يجب زيادة إنتاج النفط السنوي من البئر الثالث حتى لا يتغير الحجم الإجمالي للنفط المنتج؟
دع حجم الإنتاج السنوي للنفط من الآبار الأولى والثانية والثالثة 6x ، 7x ، 10x من بعض وحدات الحجم ، على التوالي.
1) 0.1 · 6x = 0.6x (وحدة) - انخفاض في الإنتاج في البئر الأولى ؛
2) 0.1 · 7x = 0.7x (وحدة) - انخفاض في الإنتاج في البئر الثانية ؛
3) 0.6x + 0.7x = 1.3x (وحدة) - ينبغي أن تكون الزيادة في إنتاج النفط في البئر الثالثة ؛
هذا هو مقدار النسبة المئوية اللازمة لزيادة الإنتاج السنوي للنفط من البئر الثالث.
يجب زيادة إنتاج النفط السنوي من البئر الثالث بنسبة 13٪.
13. اشترينا 60 جهاز كمبيوتر محمول - كان هناك ضعف في القفص مقارنة بالمسطرة. كم عدد الأجزاء الموجودة في دفتر ملاحظات في المسطرة ؛ على دفتر ملاحظات في قفص. لجميع أجهزة الكمبيوتر المحمولة؟ كم عدد دفاتر الملاحظات المسطرة التي اشتريتها؟ كم عدد لكل قفص؟
عند حل مشكلة ما ، من الأفضل الاعتماد على الرسم التخطيطي ، والذي يمكن إعادة إنتاجه بسهولة في دفتر ملاحظات وتكميله بالملاحظات الضرورية أثناء الحل. دع دفاتر الملاحظات المسطرة تشكل جزءًا واحدًا ، ثم تتكون الدفاتر المربعة من جزأين.
1) 1 + 2 = 3 (أجزاء) - يقع على جميع أجهزة الكمبيوتر المحمولة ؛
2) 60: 3 = 20 (أجهزة الكمبيوتر المحمولة) - يقع في جزء واحد ؛
3) 20 2 = 40 (دفاتر ملاحظات) - دفاتر في قفص ؛
4) 60-40 = 20 (دفاتر) - في المسطرة.
اشترينا 20 مفكرة مسطرة و 40 مفكرة مربعة.
14. في عام 1892 ، اعتقد شخص ما أن يقضي عدة دقائق في بطرسبورغ كما يقضي في الريف. كم من الوقت سيقضي شخص ما في سان بطرسبرج؟
نظرًا لأن الساعة الواحدة تساوي 60 دقيقة وعدد الدقائق يساوي عدد الساعات ، فإن شخصًا ما في القرية سيقضي 60 مرة وقتًا أكثر من سانت بطرسبرغ (لا يتم أخذ وقت الانتقال في الاعتبار هنا). إذا كان عدد الأيام التي تقضيها في سانت بطرسبرغ جزءًا واحدًا ، فإن عدد الأيام التي يقضيها المرء في الريف هو 60 جزءًا. نظرًا لأننا نتحدث عن سنة كبيسة ، فهناك 366 لكل جزء: (60 + 1) = 6 (أيام).
شخص ما سوف يقضي 6 أيام في سانت بطرسبرغ.
15. يحتوي التفاح على 78٪ ماء. تم تجفيفها قليلاً وتحتوي الآن على 45٪ ماء. ما هي نسبة فقدان التفاح أثناء التجفيف من وزنهم؟
لنفترض أن x kg هي كتلة التفاح ، فهي تحتوي على 0.78x kg من الماء و x - 0.78x = 0.22x (kg) من المادة الجافة. بعد التجفيف ، تكون المادة الجافة 100-45 = 55 (٪) من كتلة التفاح الجاف ، وبالتالي فإن كتلة التفاح الجاف هي 0.22x: 0.55 = 0.46x (كجم).
لذلك ، أثناء التجفيف ، فقد التفاح x - 0.46x = 0.54x ، أي 54٪.
فقد التفاح 54٪ من وزنه أثناء التجفيف.
16. تحتوي هذه العشبة على 82٪ ماء. تم تجفيفه قليلاً والآن يحتوي على 55٪ ماء. ما مقدار الكتلة التي فقدها العشب أثناء التجفيف؟
في ظل الظروف الأولية ، كان الوزن الحي للعشب 100٪ - 82٪ = 18٪.
بعد التجفيف ، زادت هذه القيمة إلى 45٪ ، لكن الكتلة الكلية للعشب انخفضت بنسبة 40٪ (45: 18 10٪ = 40٪).
فقد العشب 40٪ من كتلته أثناء التجفيف.
- مهام الحركة.
تعتبر هذه المهام تقليديا صعبة. لذلك ، هناك حاجة لتحليل الطريقة الحسابية لحل هذا النوع من المشاكل بمزيد من التفصيل.
17. من النقطة (أ) إلى النقطة (ب) يغادر راكبا دراجات في نفس الوقت. سرعة أحدهما أقل من الآخر بمقدار 2 كم / ساعة. عاد راكب الدراجة الذي وصل أولاً إلى النقطة B على الفور والتقى بدراج آخر بعد ساعة و 30 دقيقة. بعد مغادرة A. في أي مسافة من النقطة B تم الاجتماع؟
يتم حل هذه المشكلة أيضًا من خلال مثال صور الموضوع والارتباطات.
بعد النظر في عدد من الأمثلة ، ولا أحد يشك في الرقم - مسافة 1.5 كم ، من الضروري تبرير اكتشافه من بيانات المشكلة المعروضة. على وجه التحديد ، 1.5 كم هو الفرق في التأخر 2 من راكب دراجة واحد في النصف: في 1.5 ساعة سيتأخر الثاني عن الأول بمقدار 3 كم ، منذ عودة 1 ، ثم يقترب كلا راكبي الدراجات من بعضهما البعض بمقدار نصف الفرق في المسافة المقطوعة ، أي 1 ، 5 كم. ومن ثم تتبع الإجابة على المشكلة وطريقة حل هذا النوع من المشاكل الكلامية.
عقد الاجتماع على مسافة 1.5 كيلومتر من النقطة V.
18. غادر قطاران موسكو متجهين إلى تفير في نفس الوقت. مرت الأولى في ساعة 39 فيرست ووصلت تفير قبل ساعتين من الثانية ، والتي مرت في ساعة و 26 فيرست. كم ميلا هناك من موسكو الى تفير؟
1) 26 2 = 52 (فيرست) - كم تخلف القطار الثاني عن الأول ؛
2) 39 - 26 = 13 (فيرست) - هذا هو مقدار تخلف القطار الثاني عن الأول في ساعة واحدة ؛
3) 52:13 = 4 (ح) - الكثير من الوقت كان أول قطار في الطريق ؛
4) 39 4 = 156 (فيرست) - المسافة من موسكو إلى تفير.
من موسكو إلى تفير 156 فيرست.
- مهام التعاون.
19. يمكن لفريق واحد إكمال المهمة في 9 أيام ، والثاني في 12 يومًا. عمل الفريق الأول على هذه المهمة لمدة 3 أيام ، ثم أنهى الفريق الثاني العمل. كم يوما اكتملت المهمة؟
1) 1: 9 = (المهام) - يكتمل اللواء الأول في يوم واحد ؛
2) 3 = (المهام) - أنجزها الفريق الأول في ثلاثة أيام ؛
3) 1 - = (المهام) - أنجزها الفريق الثاني ؛
4) 1: 12 = (المهام) - يكملها الفريق الثاني في يوم واحد ؛
5) 8 (أيام) - عمل الفريق الثاني ؛
6) 3 + 8 = 11 (يومًا) - قضى في المهمة.
اكتملت المهمة في 11 يومًا.
20. حصان يأكل عربة تبن في شهر ، عنزة في شهرين ، شاة في ثلاثة أشهر. كم من الوقت سيستغرق الحصان والماعز والأغنام لأكل نفس عربة التبن معًا؟
دع الحصان والماعز والأغنام يأكلون التبن لمدة 6 أشهر. ثم يأكل الحصان 6 عربات ، ماعز - 3 عربات ، خروف - عربتان. 11 عربة فقط ، مما يعني أنهاعربة ، وسيؤكل عربة واحدة مقابل 1:= (شهور).
حصان ، ماعز ، شاة سيأكلون عربة تبنالشهور.
21. أربعة نجارين يريدون بناء منزل. يمكن للنجار الأول بناء منزل في سنة واحدة ، والثاني في سنتين ، والثالث في 3 سنوات ، والرابع في 4 سنوات. كم من الوقت سيستغرق بناء منزل عندما يعملان معًا؟
لمدة 12 عامًا ، يمكن لكل نجار أن يبني: أول - 12 منزلاً ؛ الثاني - 6 منازل ؛ الثالث - 4 منازل ؛ الرابع - 3 منازل. وهكذا ، في غضون 12 عامًا ، يمكنهم بناء 25 منزلاً. لذلك ، في ساحة واحدة ، بالعمل معًا ، سيكونون قادرين على البناء من أجله 175.2 يومًا.
سيتمكن النجارون من بناء منزل من خلال العمل معًا في 175.2 يومًا.
استنتاج.
في الختام ، يجب أن يقال إن المشكلات المعروضة في الدراسة ليست سوى مثال صغير لاستخدام الأساليب الحسابية في حل المشكلات الكلامية. يجب أن أقول عن نقطة مهمة واحدة - اختيار مخطط المهام. الحقيقة هي أنه من المستحيل توقع كل الصعوبات في حل المشكلات. لكن مع ذلك ، في لحظة الاستيعاب الأولي لطريقة حل أي نوع من المشاكل ، يجب أن تكون حبكةهم بسيطة قدر الإمكان.
تمثل هذه الأمثلة حالة خاصة ، لكنها تعكس الاتجاه - نهج المدرسة في الحياة.
المؤلفات
1.Vileitner G. القارئ على تاريخ الرياضيات. - العدد الأول. الحساب والجبر / ترجمة. معه. ملاحظة. يوشكيفيتش. - M.-L: 1932.
2-غرفة أ. مشاكل الكلمات: التطبيقات أو التلاعب العقلي // الرياضيات ، 2004.
3 - شيفكين أ. مشاكل الكلمات في الرياضيات المدرسية ، موسكو ، 2006.
حل المسائل الحسابية
درس الرياضيات في الصف الخامس.
"إذا كنت تريد أن تتعلم السباحة ، ادخل الماء بجرأة ، وإذا كنت تريد أن تتعلم كيفية حل المشكلات ، فقم بحلها.".
د. بويا
أهداف الدرس وغاياته:
تكوين القدرة على حل المشاكل حسابيًا ؛
تنمية الإبداع ، الاهتمام المعرفي ؛
تنمية التفكير المنطقي.
تعزيز الحب للموضوع ؛
تعزيز ثقافة التفكير الرياضي.
ادوات: بطاقات إشارة بأرقام 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10.
خلال الفصول
I. لحظة تنظيمية (1 دقيقة.)
الدرس مخصص لحل المسائل بطريقة حسابية. سنقوم اليوم بحل مسائل من أنواع مختلفة ، لكن سيتم حلها جميعًا بدون مساعدة المعادلات.
ثانيًا. مرجع تاريخي (1 دقيقة.)
تاريخياً ، لفترة طويلة ، كانت المعرفة الرياضية تنتقل من جيل إلى جيل في شكل قائمة من المشاكل العملية إلى جانب حلولها. في العصور القديمة ، كان الشخص الذي كان قادرًا على حل مشاكل من أنواع معينة يواجهها في الممارسة يعتبر مدربًا.
ثالثا. تسخين
(حل المشاكل شفهيا - 6 دقائق)
أ) المهام على البطاقات.
يعطى كل طالب بطاقة بها مشكلة يحلها شفويا ويعطي إجابة. كل المهام للإجراء 3-1 = 2.
(يقوم الطلاب بحل المشكلات بشكل صحيح ومن لا يقوم بذلك. على الإطلاق شفهيًا. ارفع البطاقات ويرى المعلم من حل المشكلة ، يجب أن تكون البطاقات رقم 2)
ب) المهام في الآية والمهام المنطقية. (يقرأ المعلم المشكلة بصوت عالٍ ، ويرفع الطلاب البطاقة بالإجابة الصحيحة.
أعطى فراخ البط القنفذ
من سيجيب من الرجال
ثمانية أحذية جلدية
كم عدد فراخ البط هناك؟
(أربعة.)
اثنان من الخنازير الذكية
متجمد جدا ، يرتجف بالفعل.
عد وقل:
كم عدد الأحذية التي يجب عليهم شراؤها؟
(ثمانية.)
دخلت غابة الصنوبر
ورأيت ذبابة غارية
فطران ،
اثنان موريل.
ثلاث علب زيت ،
خطين ...
من لديه الجواب جاهز:
كم عدد الفطر وجدت؟
(عشرة.)
4. كانت الدجاج والكلاب تمشي في الفناء. أحصى الصبي كفوفهم. اتضح عشرة. كم عدد الدجاج الذي يمكن أن يكون وكم عدد الكلاب. (كلبان ودجاجة وكلب وثلاث دجاجات.)
5. حسب وصفة الطبيب اشترينا 10 أقراص من الصيدلية. وصف الطبيب تناول الدواء ، 3 حبات في اليوم. كم يوما سيستمر هذا الدواء؟ (أيام كاملة.)
6. عمر الأخ 7 سنوات والأخت 5. كم سيكون عمر الأخت عندما يكون الأخ 10 سنوات؟
7. معطى الأرقام: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9. أيهما أكبر: حاصل ضربهما أم مجموعهما؟
8. عند بناء السياج ، وضع النجارون 5 أعمدة في خط مستقيم. المسافة بين العارضين 2 م ما طول السور؟
رابعا. حل المشاكل
(يتم إعطاء المهام للأطفال على بطاقات - 15 دقيقة. الأطفال يحلون المشاكل على السبورة)
تهدف المشكلتان (أ) و (ب) إلى تكرار اتصال العلاقات "عن طريق ... أكثر" و "بواسطة ... أقل" مع عمليتي الجمع والطرح.
أ) أدار المتدرب المتدرب 120 جزءًا في كل نوبة ، وأدار المخرج 36 جزءًا آخر. كم عدد الأجزاء التي أدارها المخرب وتلميذه معًا؟
ب) جمع الفريق الأول 52 أداة لكل نوبة ، والثاني؟ "؛ - 9 أدوات أقل من الأولى ، والثالث - 12 أداة أكثر من الثانية. كم عدد الأدوات التي جمعتها الفرق الثلاثة في كل وردية؟
بمساعدة المشكلة ج) يمكن أن يظهر للطلاب حل المشكلة "في الاتجاه المعاكس".
ج) هناك 44 فتاة في ثلاثة صفوف ، أي أقل بثماني درجات عن البنين. كم عدد الأولاد هناك في الصفوف الثلاثة؟
في المشكلة د) ، يمكن للطلاب تقديم العديد من الحلول.
د) سئلت ثلاث شقيقات: كم عمر كل واحدة من الأخوات؟ ردت فيرا بأنها و Nadya معًا منذ 28 عامًا ، و Nadya و Lyuba معًا لمدة 23 عامًا ، وجميع الثلاثة يبلغون من العمر 38 عامًا. كم عمر كل من الأخوات؟
المقصود بالمشكلة هـ) تكرار العلاقة بين العلاقة "أكثر في ..." و "أقل في ...".
هـ) حصل فاسيا على 46 درجة. خلال العام ، زادت مجموعته بمقدار 230 طابعًا. كم مرة زادت مجموعته؟
خامسا التربية البدنية (2 دقيقة.)
قف على ساق واحدة
كما لو كنت جنديًا صعبًا.
ارفع رجلك اليسرى.
انظر - لا تسقط.
الآن ابق على يسارك
إذا كنت جنديًا شجاعًا.
السادس. المهام القديمة والتاريخية. مشاكل في المحتوى الرائع (10 دقائق.)
المشكلة و) إيجاد رقمين بمجموعهما وفرقهما.
ه)(من "الحساب" ليو تولستوي)
رجلان لديهما 35 شاة. واحد لديه 9 أكثر من الآخر. كم عدد الغنم لكل منها؟
مشكلة الحركة.
ز)(مشكلة قديمة).غادر قطاران موسكو متجهين إلى تفير في نفس الوقت. مرت الأولى في ساعة 39 فيرست ووصلت تفير قبل ساعتين من الثانية ، والتي مرت 26 فيرست في الساعة. كم فيرست هي من موسكو إلى تفير؟
(تسهل المعادلة الوصول إلى الإجابة. ولكن يتم تشجيع الطلاب على البحث عن حل حسابي للمسألة.)
1) 26 * 2 = 52 (فيرست) - يتخلف القطار الثاني عن الأول بمقدار فرست كثير ؛
2) 39 - 26 = 13 (فيرست) - بهذا العدد الكبير من الفرست ، تخلف القطار الثاني عن الأول في ساعة واحدة ؛
3) 52:13 = 4 (ح) - الكثير من الوقت كان أول قطار في الطريق ؛
4) 39 * 4 = 156 (فيرست) - المسافة من موسكو إلى تفير.
يمكنك البحث في الدلائل لمعرفة المسافة بالكيلومترات.
1 فيرست = 1 كم 69 م.
المهمة في أجزاء.
ح)مشكلة كيكيمورا.قرر الحوري الزواج من كيكيمور ها ها. لقد زرع عدة علقات على حجاب الكيكيمور ، وزرع ضعف ذلك على رداءه. خلال العيد ، سقطت 15 علقة ، ولم يتبق منها سوى 435. كم عدد العلقات التي كانت على حجاب الكيكيمورا؟
(تم حل المشكلة باستخدام معادلة ، لكننا نحلها حسابيًا)
السابع. الأعداد الحية (توقف التفريغ - 4 دقائق)
يقوم المعلم باستدعاء 10 طلاب على السبورة ، ويعطيهم أرقامًا من 1 إلى 10. يتلقى الطلاب مهام مختلفة ؛
أ) يدعو المعلم الأرقام ؛ أولئك الذين وردت أسماؤهم يأخذون خطوة للأمام (على سبيل المثال: 5 ، 8 ، 1 ، 7) ؛
ب) فقط الجيران من الرقم المحدد يغادرون (على سبيل المثال: رقم 6 ، اترك 5 و 7) ؛
ج) يأتي المعلم بأمثلة ، ولا يخرج إلا من لديه إجابة على هذا المثال أو المشكلة (على سبيل المثال: 2 ´ 4 ؛ 160: 80 ؛ إلخ) ؛
د) يصفق المعلم عدة مرات ويظهر أيضًا رقمًا (واحد أو اثنان) ؛ يجب أن يخرج الطالب ، ورقمه هو مجموع كل الأرقام المسموعة والمرئية (على سبيل المثال: 3 تصفيق ، رقم 5 ورقم 1.) ؛
أي عدد أكبر من أربعة؟
فكرت في رقم ، طرحت منه 3 ، وحصلت على 7. ما هو الرقم الذي يدور في ذهني؟
إذا أضفت 2 إلى الرقم المخطط ، تحصل على 8. ما هو الرقم المخطط؟
يجب أن نحاول تحديد مثل هذه المهام حتى لا تكرر الإجابات نفس الأرقام ، حتى يتمكن الجميع من المشاركة بنشاط في اللعبة.
ثامنا. ملخص الدرس (2 دقيقة.)
- ماذا فعلنا في الفصل اليوم؟
- ماذا يعني حل مشكلة حسابيًا؟
- يجب أن نتذكر أن الحل الذي تم العثور عليه للمشكلة يجب أن يفي بشروط المشكلة.
التاسع. مهمة المنزل. وضع العلامات (2 دقيقة.)
№ 387 (حل المسائل حسابيًا) للطلاب الضعفاء. للطلاب المتوسطين والمتقدمين ، يتم تسليم الواجب المنزلي على بطاقات.
1. كان المخبز يحتوي على 645 كجم من الخبز الأسود والأبيض. بعد أن باعوا 215 كجم من الخبز الأسود و 287 كجم من الخبز الأبيض ، ظل كلا النوعين متساويين. كم كيلو جرام من الخبز الأسود والأبيض كان منفصلاً في المخبز؟
عثر الأخ والأخت على 25 فطر بورسيني في الغابة. وجد أخي 7 أنواع فطر أكثر من أختي. كم عيش الغراب بورسيني وجد أخوك؟
بالنسبة للكومبوت ، أخذوا 6 أجزاء من التفاح و 5 أجزاء من الكمثرى و 3 أجزاء من الكلمات. اتضح أن الكمثرى والخوخ يستهلكان معًا 2 كجم 400 جم حدد كتلة التفاح المأخوذ ؛ الكثير من كل الثمار.
المؤلفات
فيلينكين ن. ، جوخوف ف. ، تشيسنوكوف أ.رياضيات. درجة 5. - M. ، "Mnemosyne" ، 2002.
AV شيفكينمشاكل الكلمات في مقرر الرياضيات المدرسي. - م: الجامعة التربوية "أول سبتمبر" 2006.
فولينا ف.أرقام العيد. - م: المعرفة ، 1994.
تحميل ...