يتم أيضًا تقريب الأرقام إلى أرقام أخرى - أعشار ، ومئات ، وعشرات ، ومئات ، إلخ.

إذا تم تقريب الرقم إلى رقم معين ، فسيتم استبدال جميع الأرقام التي تلي هذا الرقم بالأصفار ، وإذا كانت بعد الفاصلة العشرية ، فسيتم تجاهلها.

قاعدة 1. إذا كان أول رقم من الأرقام المهملة أكبر من أو يساوي 5 ، فسيتم تضخيم آخر الأرقام المخزنة ، أي زيادتها بمقدار واحد.

مثال 1. بإعطاء الرقم 45.769 ، والذي يجب تقريبه إلى أعشار. أول رقم تم التخلص منه هو 6 ˃ 5. لذلك ، يتم تكبير آخر رقم من الأرقام المخزنة (7) ، أي يتم زيادته بمقدار واحد. وبالتالي ، فإن العدد المقرب سيكون 45.8.

مثال 2. بإعطاء الرقم 5.165 ، والذي يجب تقريبه لأقرب جزء من مائة. أول رقم تم التخلص منه هو 5 = 5. لذلك ، يتم تكبير آخر رقم من الأرقام المخزنة (6) ، أي يتم زيادته بمقدار واحد. وبالتالي ، فإن العدد المقرّب سيكون - 5.17.

القاعدة # 2. إذا كان الرقم الأول من الأرقام المهملة أقل من 5 ، فلن يتم إجراء أي تضخيم.

مثال: تحصل على الرقم 45.749 ، والذي يجب تقريبه لأقرب جزء من عشرة. الرقم الأول المهمل هو 4

القاعدة # 3. إذا كان الرقم المهمل هو 5 ، ولا توجد أرقام ذات دلالة خلفه ، فسيتم التقريب لأقرب رقم زوجي. أي أن الرقم الأخير يظل بدون تغيير إذا كان زوجيًا ويتم تضخيمه إذا كان فرديًا.

مثال 1: بالتقريب 0.0465 إلى المكان العشري الثالث ، نكتب - 0.046. نحن لا نقوم بالتضخيم ، لأن آخر رقم مخزن (6) زوجي.

مثال 2. تقريب الرقم 0.0415 إلى المكان العشري الثالث ، نكتب - 0.042. نحقق مكاسب ، لأن آخر رقم مخزن (1) فردي.

مقدمة ................................................. .................................................. ..........
المشكلة رقم 1. صفوف الأرقام المفضلة ......................................... .. ....
المشكلة رقم 2. تقريب نتائج القياس .......................................
المشكلة رقم 3. معالجة نتائج القياس ...
المشكلة رقم 4. تفاوتات ونوبات المفاصل الأسطوانية الملساء ...
المشكلة رقم 5. تفاوتات الشكل والموقع ........................................ .. ...
المشكلة رقم 6. خشونة السطح ........................................... .....
المشكلة رقم 7. سلاسل الأبعاد ........................................... . ............................
المراجع ................................................. ...........................................

رقم المهمة 1. تقريب نتائج القياس

عند إجراء القياسات ، من المهم اتباع قواعد معينة لتقريب وتسجيل نتائجها في التوثيق الفني ، لأنه إذا لم يتم اتباع هذه القواعد ، فمن الممكن حدوث أخطاء كبيرة في تفسير نتائج القياس.

قواعد لكتابة الأرقام

1. الأرقام المهمة لرقم معين هي جميع الأرقام من الأول على اليسار ، وليس الصفر ، إلى الأخير على اليمين. في هذه الحالة ، لا تؤخذ الأصفار التي تلي العامل 10 في الاعتبار.

أمثلة.

رقم 12,0ثلاثة أرقام معنوية.

ب) الرقم 30يتكون من رقمين معنويين.

ج) الرقم 12010 8 ثلاثة أرقام معنوية.

ز) 0,51410 -3 ثلاثة أرقام معنوية.

ه) 0,0056يتكون من رقمين معنويين.

2. إذا كان من الضروري الإشارة إلى أن الرقم دقيق ، تتم الإشارة إلى كلمة "بالضبط" بعد الرقم ، أو تتم طباعة آخر رقم مهم بخط غامق. على سبيل المثال: 1 kWh = 3600 J (بالضبط) أو 1 kWh = 360 0 ي .

3. يتم تمييز سجلات الأرقام التقريبية عن طريق عدد الأرقام ذات الدلالة. على سبيل المثال ، يتم تمييز الأرقام 2.4 و 2.40. الكتابة 2.4 تعني أن صحيحًا فقط صحيحًا وأعشاره ، ويمكن أن تكون القيمة الحقيقية للرقم ، على سبيل المثال ، 2.43 و 2.38. تعني الكتابة 2.40 أن المئات صحيحة أيضًا: يمكن أن تكون القيمة الحقيقية للرقم 2.403 و 2.398 ، لكن ليس 2.41 أو 2.382. تسجيل 382 يعني أن جميع الأرقام صحيحة: إذا كان الرقم الأخير لا يمكن ضمانه ، فيجب كتابة الرقم 3.8-102. إذا كان أول رقمين فقط صحيحين في الرقم 4720 ، فيجب كتابته بالشكل: 4710 2 أو 4.710 3.

4. يجب أن يحتوي الرقم الذي يُشار إليه الانحراف المسموح به على آخر رقم مهم له نفس ترتيب آخر رقم معنوي للانحراف.

أمثلة.

أ) صحيح: 17,0 + 0,2... ليس صحيحا: 17 + 0,2أو 17,00 + 0,2.

ب) صحيح: 12,13+ 0,17... ليس صحيحا: 12,13+ 0,2.

ج) صحيح: 46,40+ 0,15... ليس صحيحا: 46,4+ 0,15أو 46,402+ 0,15.

5. من المستحسن تدوين القيم العددية للكمية وأخطائها (الانحرافات) مع الإشارة إلى نفس وحدة الكمية. على سبيل المثال: (80.555.2007) + 0.002) كجم.

6. يُنصح أحيانًا بكتابة الفواصل الزمنية بين القيم العددية للكميات في شكل نصي ، ثم حرف الجر "من" يعني "" ، وحرف الجر "إلى" - "" ، وحرف الجر "أعلاه" - ">" ، حرف الجر "أقل" - "<":

"دتأخذ قيمًا من 60 إلى 100 "تعني" 60 د100",

"ديأخذ قيمًا تزيد عن 120 أقل من 150 "تعني" 120<د< 150",

"ديأخذ القيم من 30 إلى 50 "يعني" 30<د50".

قواعد التقريب

1. تقريب رقم هو نقل أرقام ذات دلالة إلى اليمين إلى رقم معين مع تغيير محتمل في رقم هذا الرقم.

2. إذا كان أول رقم من الأرقام المهملة (العد من اليسار إلى اليمين) أقل من 5 ، فلن يتم تغيير آخر رقم مخزن.

مثال: تقريب رقم 12,23ما يصل إلى ثلاثة أرقام معنوية 12,2.

3. إذا كان أول رقم من الأرقام المهملة (العد من اليسار إلى اليمين) يساوي 5 ، فسيتم زيادة آخر رقم مخزن بمقدار واحد.

مثال: تقريب رقم 0,145ما يصل إلى رقمين يعطي 0,15.

ملحوظة ... في الحالات التي يجب أن تؤخذ فيها نتائج التقريب السابق في الاعتبار ، قم بما يلي.

4. إذا تم الحصول على الرقم المهمل نتيجة التقريب لأسفل ، فسيتم زيادة آخر رقم متبقي بمقدار واحد (مع الانتقال ، إذا لزم الأمر ، إلى الأرقام التالية) ، وإلا - العكس. هذا ينطبق على كل من الأعداد الكسرية والصحيحة.

مثال: تقريب رقم 0,25(تم الحصول عليها نتيجة التقريب السابق للرقم 0,252) يعطي 0,3.

4. إذا كان أول رقم من الأرقام المهملة (العد من اليسار إلى اليمين) أكبر من 5 ، فسيتم زيادة آخر رقم مخزن بمقدار واحد.

مثال: تقريب رقم 0,156إلى رقمين معنويين 0,16.

5. يتم التقريب على الفور إلى العدد المطلوب من الأرقام المعنوية ، وليس على مراحل.

مثال: تقريب رقم 565,46ما يصل إلى ثلاثة أرقام معنوية 565.

6. يتم تقريب الأعداد الصحيحة وفقًا لنفس قواعد الأعداد الكسرية.

مثال: تقريب رقم 23456إلى رقمين معنويين 2310 3

يجب أن تنتهي القيمة العددية لنتيجة القياس برقم من نفس الرقم مثل قيمة الخطأ.

مثال:عدد 235,732 + 0,15يجب تقريبه إلى 235,73 + 0,15ولكن ليس قبل ذلك 235,7 + 0,15.

7. إذا كان الرقم الأول من الأرقام المهملة (العد من اليسار إلى اليمين) أقل من خمسة ، فلن تتغير الأرقام المتبقية.

مثال: 442,749+ 0,4جولات ل 442,7+ 0,4.

8. إذا كان أول رقم من الأرقام المهملة أكبر من أو يساوي خمسة ، فسيتم زيادة آخر رقم مخزن بمقدار واحد.

مثال: 37,268 + 0,5جولات ل 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 يجب تقريبهقبل 37,3 + 0,5.

9. التقريب يجب أن يتم على الفور إلى العدد المطلوب من الخانات ذات الدلالة ، التقريب التدريجي يمكن أن يؤدي إلى أخطاء.

مثال: التقريب خطوة بخطوة لنتيجة القياس 220,46+ 4يعطي في المرحلة الأولى 220,5+ 4وفي الثاني 221+ 4، بينما نتيجة التقريب الصحيحة هي 220+ 4.

10. إذا تمت الإشارة إلى خطأ أدوات القياس برقم واحد أو رقمين مهمين فقط ، وتم الحصول على القيمة المحسوبة للخطأ بعدد كبير من الأرقام ، فيجب ترك أول رقم أو رقمين مهمين فقط في القيمة النهائية لـ الخطأ المحسوب ، على التوالي. علاوة على ذلك ، إذا بدأ الرقم المستلم بالأرقام 1 أو 2 ، فإن تجاهل الحرف الثاني يؤدي إلى خطأ كبير جدًا (يصل إلى 30-50٪) ، وهو أمر غير مقبول. إذا كان الرقم المستلم يبدأ بالرقم 3 أو أكثر ، على سبيل المثال ، بالرقم 9 ، فسيتم حفظ الرقم الثاني ، أي تحديد خطأ ، على سبيل المثال ، 0.94 بدلاً من 0.9 ، هو معلومات خاطئة ، لأن البيانات الأصلية لا توفر مثل هذه الدقة.

بناءً على ذلك ، في الممارسة العملية ، تم إنشاء القاعدة التالية: إذا بدأ الرقم المستلم برقم مهم يساوي أو أكبر من 3 ، فسيتم تخزين واحد فقط فيه ؛ إذا كانت تبدأ بأرقام معنوية أقل من 3 ، أي مع الرقمين 1 و 2 ، ثم يتم تخزين رقمين مهمين فيه. وفقًا لهذه القاعدة ، تم أيضًا تحديد القيم المعيارية لأخطاء أدوات القياس: في الأرقام 1.5 و 2.5 ٪ ، يشار إلى رقمين مهمين ، ولكن في الأرقام 0.5 ؛ 4 ؛ 6٪ يشيرون إلى شخصية مهمة واحدة فقط.

مثال:على فئة الدقة الفولتميتر 2,5مع حد من القياسات س إلى = 300 في ، تم الحصول على قراءة للجهد المقاس x = 267,5س: في أي شكل يجب تسجيل نتيجة القياس في التقرير؟

من الأنسب حساب الخطأ بالترتيب التالي: أولاً ، تحتاج إلى العثور على الخطأ المطلق ، ثم - الخطأ النسبي. خطأ مطلق NS =  0 NS إلى/ 100 ، للخطأ المخفض لمقياس الفولتميتر  0 = 2.5٪ وحدود القياس (نطاق القياس) للجهاز NS إلى= 300 فولت:  NS= 2.5300 / 100 = 7.5 فولت ~ 8 فولت ؛ خطأ نسبي  =  NS100/NS = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

نظرًا لأن الرقم الأول المعنوي لقيمة الخطأ المطلق (7.5 فولت) أكبر من ثلاثة ، يجب تقريب هذه القيمة وفقًا لقواعد التقريب المعتادة إلى 8 فولت ، ولكن في قيمة الخطأ النسبي (2.81٪) يكون أول رقم مهم أقل من 3 ، لذلك هنا يجب تخزين منزلتين عشريتين في الإجابة و  = 2.8٪ المشار إليها. القيمة الناتجة NS= 267.5 V يجب تقريبه إلى نفس المكان العشري الذي ينهي الخطأ المطلق المدور ، أي ما يصل إلى وحدات كاملة من فولت.

وبالتالي ، يجب أن تذكر الإجابة النهائية: "تم إجراء القياس بخطأ نسبي  = 2.8٪. الجهد المقاس NS= (268+ 8) ب ".

في هذه الحالة ، من الواضح بشكل أكبر تحديد حدود فترة عدم اليقين للقيمة المقاسة في النموذج NS= (260276) V أو 260 VX276 فولت.

يتساءل الكثير من الناس عن كيفية تقريب الأرقام. تنشأ هذه الحاجة غالبًا للأشخاص الذين يربطون حياتهم بالمحاسبة أو الأنشطة الأخرى التي تتطلب حسابات. يمكن إجراء التقريب إلى الكل وأعشار وهكذا. وتحتاج إلى معرفة كيفية القيام بذلك بشكل صحيح بحيث تكون الحسابات أكثر أو أقل دقة.

وما هو الرقم التقريبي بشكل عام؟ هذا هو الذي ينتهي بالرقم 0 (في الغالب). في الحياة اليومية ، تجعل القدرة على تقريب الأرقام التسوق أسهل بكثير. عند الوقوف عند الخروج ، يمكنك تقدير التكلفة الإجمالية للمشتريات تقريبًا ، ومقارنة تكلفة كيلوغرام من منتج يحمل نفس الاسم في عبوات ذات وزن مختلف. مع تقليص الأرقام إلى شكل مناسب ، يصبح من السهل إجراء حسابات شفهية دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

لماذا يتم تقريب الأرقام؟

يميل الشخص لتقريب أي أرقام في الحالات التي تتطلب إجراء عمليات أكثر بساطة. على سبيل المثال ، تزن حبة البطيخ 3150 كيلوغرامًا. عندما يخبر شخص ما أصدقاءه عن عدد الجرامات الموجودة في الفاكهة الجنوبية ، فقد يتم اعتباره محاورًا غير مثير للاهتمام. تبدو عبارات مثل "هنا اشتريت بطيخًا بثلاثة كيلوغرامات" أكثر اقتضابًا دون الخوض في أي تفاصيل غير ضرورية.

ومن المثير للاهتمام ، أنه حتى في العلوم ، ليست هناك حاجة دائمًا للتعامل مع الأرقام الأكثر دقة. وإذا كنا نتحدث عن كسور دورية لا نهائية ، والتي لها شكل 3.33333333 ... 3 ، يصبح هذا مستحيلًا. لذلك ، فإن الخيار الأكثر منطقية هو تقريبها كالمعتاد. كقاعدة عامة ، تكون النتيجة بعد ذلك مشوهة قليلاً. إذن كيف تقرب الأرقام؟

بعض القواعد المهمة عند تقريب الأرقام

لذا ، إذا أردت تقريب رقم ، فهل من المهم فهم المبادئ الأساسية للتقريب؟ هذه عملية تغيير تهدف إلى تقليل عدد المنازل العشرية. لتنفيذ هذا الإجراء ، تحتاج إلى معرفة العديد من القواعد المهمة:

1. إذا كان عدد الأرقام المطلوبة في حدود 5-9 ، يتم التقريب لأعلى.
2. إذا كان عدد الخانة المطلوبة في حدود 1-4 ، يتم التقريب لأسفل.

على سبيل المثال ، لدينا الرقم 59. نحن بحاجة لتقريبه. للقيام بذلك ، عليك أن تأخذ الرقم 9 وتضيف واحدًا إليه لتحصل على 60. هذا هو إجابة السؤال عن كيفية تقريب الأرقام. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الحالات الخاصة. في الواقع ، اكتشفنا كيفية تقريب رقم إلى عشرات باستخدام هذا المثال. الآن كل ما تبقى هو استخدام هذه المعرفة في الممارسة.

كيفية تقريب رقم إلى أعداد صحيحة

يحدث غالبًا أن هناك حاجة لتقريب الرقم 5.9 على سبيل المثال. هذا الإجراء ليس صعبًا. أولاً ، علينا حذف الفاصلة ، وعند التقريب ، يظهر الرقم المألوف 60 أمام أعيننا ، والآن نضع الفاصلة في مكانها ، ونحصل على 6.0. ونظرًا لحذف الأصفار في الكسور العشرية ، كقاعدة عامة ، فإننا ننتهي بالرقم 6.

يمكن إجراء عملية مماثلة بأرقام أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال ، كيف تقرب أرقامًا مثل 5.49 إلى أعداد صحيحة؟ كل هذا يتوقف على الأهداف التي حددتها لنفسك. بشكل عام ، وفقًا لقواعد الرياضيات ، لا يزال 5.49 ليس 5.5. لذلك ، لا يمكن تقريبه. ولكن يمكنك تقريبه إلى 5.5 ، وبعد ذلك يصبح قانونيًا التقريب إلى 6. لكن هذه الحيلة لا تعمل دائمًا ، لذلك عليك توخي الحذر الشديد.

من حيث المبدأ ، تم النظر أعلاه بالفعل في مثال للتقريب الصحيح لعدد إلى عشرة ، لذلك من المهم الآن عرض المبدأ الرئيسي فقط. في الواقع ، كل شيء يحدث بنفس الطريقة. إذا كان الرقم الموجود في الموضع الثاني بعد الفاصلة العشرية يقع في نطاق 5-9 ، فسيتم إزالته تمامًا ، ويزداد الرقم الموجود أمامه بمقدار واحد. إذا كان أقل من 5 ، فسيتم إزالة هذا الرقم ، ويبقى الرقم السابق في مكانه.

على سبيل المثال ، عند 4.59 إلى 4.6 ، يتم إضافة الرقم "9" ، وواحد إلى الخمسة. ولكن عند التقريب 4.41 ، يتم حذف الوحدة ، وتبقى الأربعة في شكل غير مسمى.

كيف يستخدم المسوقون عدم قدرة المستهلك الشامل على تقريب الأرقام؟

اتضح أن معظم الناس في العالم ليسوا معتادين على تقييم التكلفة الحقيقية للمنتج ، والتي يتم استغلالها بنشاط من قبل المسوقين. يعرف الجميع شعارات الأسهم مثل "اشترِ بـ 9.99 فقط". نعم ، نحن ندرك بوعي أن هذا هو في الأساس عشرة دولارات. ومع ذلك ، فإن دماغنا مصمم بطريقة تجعله يدرك الرقم الأول فقط. لذا فإن العملية البسيطة المتمثلة في تحويل الرقم إلى شكل مناسب يجب أن تصبح عادة.

في كثير من الأحيان ، يسمح التقريب بتقدير أفضل للنجاحات المتوسطة ، معبراً عنها في شكل رقمي. على سبيل المثال ، بدأ الشخص يكسب 550 دولارًا شهريًا. سيقول المتفائل إن العدد يقارب 600 ، وهو متشائم - وهذا يزيد قليلاً عن 500. يبدو أن هناك فرقًا ، لكن من اللطيف للدماغ أن "يرى" أن الشيء قد حقق شيئًا أكثر ( أو العكس).

هناك أمثلة لا حصر لها حيث تبين أن مهارة التقريب مفيدة بشكل لا يصدق. من المهم أن تكون مبدعًا ، وإذا أمكن ، لا يتم تحميلك بمعلومات غير ضرورية. ثم سيكون النجاح فوريًا.

لنلقِ نظرة على أمثلة حول كيفية تقريب الرقم إلى أعشار باستخدام قواعد التقريب.

قاعدة تقريب الأعداد إلى أجزاء من عشرة.

لتقريب كسر عشري إلى أجزاء من عشرة ، عليك ترك رقم واحد فقط بعد الفاصلة العشرية ، وتجاهل جميع الأرقام الأخرى التي تليها.

إذا كان أول رقم تم تجاهله هو 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4 ، فلن يتم تغيير الرقم السابق.

إذا كان أول رقم تم تجاهله هو 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9 ، فإننا نزيد الرقم السابق بمقدار واحد.

أمثلة.

قرّب لأعشار:

لتقريب العدد إلى أجزاء من عشرة ، اترك الرقم الأول بعد الفاصلة العشرية وتجاهل الباقي. نظرًا لأن الرقم الأول المهمل هو 5 ، فإننا نزيد الرقم السابق بمقدار واحد. قرأوا: "ثلاثة وعشرون فاصلة وخمسة وسبعون جزءًا من مائة تساوي تقريبًا ثلاثة وعشرين فاصلة وثمانية أعشار".

لتقريب هذا العدد إلى أجزاء من عشرة ، اترك الرقم الأول فقط بعد الفاصلة العشرية ، وتجاهل الباقي. الرقم الأول المهمل هو 1 ، لذلك لا نغير الرقم السابق. قرأوا: "ثلاثمائة وثمانية وأربعون نقطة وواحد وثلاثون مائة تساوي تقريبًا ثلاثمائة وواحد وأربعين فاصلة وثلاثة."

التقريب لأعشار ، اترك رقمًا واحدًا بعد الفاصلة العشرية ، وتجاهل الباقي. أول رقم من الأرقام المهملة هو 6 ، مما يعني أننا نزيد الرقم السابق بمقدار واحد. قرأوا: "تسع وأربعون نقطة ، تسعمائة واثنان وستون جزءًا من الألف يساوي تقريبًا خمسين نقطة ، صفر من عشرة."

نقرب إلى أعشار ، لذلك بعد الفاصلة العشرية ، نترك أول الأرقام فقط ، ونتجاهل الباقي. أول الأرقام المهملة هو 4 ، مما يعني أننا نترك الرقم السابق دون تغيير. قرأوا: "سبعة فاصلة ثمانية وعشرون جزءًا من الألف تساوي تقريبًا سبعة فاصلة صفر من أعشار".

لتقريب هذا العدد إلى أعشار ، اترك رقمًا واحدًا بعد الفاصلة العشرية ، وتجاهل كل ما يليه. نظرًا لأن أول رقم تم التخلص منه هو 7 ، فإننا نضيف واحدًا إلى الرقم السابق. قرأوا: "ستة وخمسون وثمانية آلاف وسبعمائة وستة وعشرة آلاف يساوي تقريبًا ستة وخمسين فاصلة تسعة أعشار".

ومثالان آخران للتقريب لأعشار: