الأهم من ذلك كله في مكافئ. يجب أن تستخدم الممارسة الوسط الحسابي ، والذي يمكن حسابه على أنه المتوسط الحسابي ، البسيط والمرجح.
المتوسط الحسابي (CA)-نأكثر أنواع الوسيط شيوعًا. يتم استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم خاصية متغيرة لجميع السكان هو مجموع قيم خصائص وحداتها الفردية. تتميز الظواهر الاجتماعية بجمع (جمع) أحجام السمة المتغيرة ، وهذا يحدد مجال تطبيق CA ويشرح انتشاره كمؤشر معمم ، على سبيل المثال: الصندوق العام للراتب هو مجموع رواتب جميع الموظفين.
لحساب المرجع المصدق ، تحتاج إلى قسمة مجموع كل القيم المميزة على رقمها.يتم تطبيق CA في شكلين.
لنفكر في المتوسط الحسابي البسيط أولاً.
1-CA بسيط (النموذج الأولي المحدد) يساوي المجموع البسيط للقيم الفردية للسمة المتوسطة ، مقسومًا على العدد الإجمالي لهذه القيم (تُستخدم عندما تكون هناك قيم سمات غير مجمعة):
يمكن تلخيص العمليات الحسابية التي تم إجراؤها بالصيغة التالية:
(1)
أين 
- متوسط قيمة السمة المتغيرة ، أي المتوسط الحسابي البسيط ؛
يعني الجمع ، أي إضافة السمات الفردية ؛
x- القيم الفردية للخاصية المتغيرة ، والتي تسمى المتغيرات ؛
ن - عدد الوحدات السكانية
مثال 1،مطلوب إيجاد متوسط إنتاج عامل واحد (صانع الأقفال) إذا كان معروفًا عدد الأجزاء التي صنعها كل من العمال الخمسة عشر ، أي عدد من الهند. قيم السمة ، أجهزة الكمبيوتر: 21 ؛ عشرين ؛ عشرين ؛ تسعة عشر؛ 21 ؛ تسعة عشر؛ الثامنة عشر؛ 22 ؛ تسعة عشر؛ عشرين ؛ 21 ؛ عشرين ؛ الثامنة عشر؛ تسعة عشر؛ عشرين.
يتم احتساب CA البسيط بالصيغة (1) ، أجهزة الكمبيوتر:
مثال 2... دعنا نحسب CA بناءً على البيانات الشرطية لـ 20 متجرًا مدرجة في الشركة التجارية (الجدول 1). الجدول 1
توزيع المحلات التجارية لشركة Vesna التجارية حسب مساحة البيع بالتجزئة ، بالمتر المربع. م
|
محل رقم. |
محل رقم. | ||
لحساب متوسط مساحة المتجر ( 
) ضرورة جمع مساحات كل المحلات وقسمة الناتج على عدد المحلات:
وبالتالي ، فإن متوسط مساحة المخزن لهذه المجموعة من المؤسسات التجارية هو 71 مترًا مربعًا.
لذلك ، لتحديد CA بسيطًا ، تحتاج إلى قسمة مجموع جميع قيم سمة معينة على عدد الوحدات التي تحتوي على هذه السمة.
2
أين F 1
,
F 2
,
… ,F ن
–
الوزن (تكرار تكرار نفس العلامات) ؛ - مجموع نواتج حجم السمات حسب تواترها ؛ - العدد الإجمالي للوحدات في السكان.
(2)
أين X- والخيارات؛
F- التردد (الوزن).
الموزون SA هو حاصل قسمة مجموع حاصل ضرب المتغيرات والترددات المقابلة لها على مجموع كل الترددات. الترددات ( F) التي تظهر في صيغة CA تسمى عادةً مقاييس، ونتيجة لذلك يسمى CA ، المحسوب مع مراعاة الأوزان ، بالوزن.
سنقوم بتوضيح تقنية حساب المرجع المصدق الموزون باستخدام المثال أعلاه 1. للقيام بذلك ، سنقوم بتجميع البيانات الأولية ووضعها في الجدول.
يتم تحديد متوسط البيانات المجمعة على النحو التالي: أولاً ، يتم ضرب الخيارات في الترددات ، ثم يتم إضافة المنتجات ويتم تقسيم المجموع الناتج على مجموع الترددات.
وفقًا للصيغة (2) ، فإن CA المرجح يساوي ، قطعة.: 
ص
توزيع متاجر Vesna حسب مساحة البيع بالتجزئة ، مربع. م
وبالتالي ، فإن النتيجة هي نفسها. ومع ذلك ، سيكون هذا بالفعل قيمة المتوسط الحسابي المرجح.
في المثال السابق ، قمنا بحساب المتوسط الحسابي بافتراض أن الترددات المطلقة (عدد المتاجر) معروفة. ومع ذلك ، في عدد من الحالات ، تكون الترددات المطلقة غائبة ، ولكن الترددات النسبية معروفة ، أو كما يطلق عليها عادة ، الترددات التي تظهر مشاركة أونسبة الترددات في مجموع السكان.
عند حساب استخدام مرجح CA التردداتيسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية عندما يتم التعبير عن التردد بأرقام كبيرة متعددة الأرقام. يتم الحساب بالطريقة نفسها ، ومع ذلك ، نظرًا لزيادة المتوسط بمعامل 100 ، يجب قسمة النتيجة على 100.
ثم ستبدو معادلة المتوسط الحسابي المرجح كما يلي:
أين د- تكرر، بمعنى آخر. حصة كل تردد في المجموع الكلي لجميع الترددات.
(3)في مثالنا 2 ، نحدد أولاً نسبة المتاجر حسب المجموعات في العدد الإجمالي لمتاجر شركة Vesna. لذلك ، بالنسبة للمجموعة الأولى ، تتوافق الثقل النوعي مع 10٪ 
... نحصل على البيانات التالية الجدول 3
ما هو الوسط الحسابي
المتوسط الحسابي للعديد من الكميات هو نسبة مجموع هذه الكميات إلى عددها.
المتوسط الحسابي لسلسلة معينة من الأرقام هو مجموع كل هذه الأرقام مقسومًا على عدد الحدود. وبالتالي ، فإن المتوسط الحسابي هو متوسط سلسلة رقمية.
ما هو المتوسط الحسابي لعدة أرقام؟ وهما يساوي مجموع هذه الأعداد مقسومًا على عدد الحدود في هذا المجموع.
كيف تجد المتوسط الحسابي
لا يوجد شيء صعب في حساب أو إيجاد المتوسط الحسابي لعدة أرقام ، يكفي جمع كل الأرقام المقدمة ، وقسمة المجموع الناتج على عدد الحدود. ستكون النتيجة الناتجة هي المتوسط الحسابي لهذه الأرقام.
دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذه العملية. ما الذي يتعين علينا القيام به لحساب المتوسط الحسابي والحصول على النتيجة النهائية لهذا العدد.
أولاً ، لحسابها ، تحتاج إلى تحديد مجموعة من الأرقام أو عددها. يمكن أن تتضمن هذه المجموعة أعدادًا كبيرة وصغيرة ، ويمكن أن يكون عددها أي شيء.
ثانيًا ، يجب جمع كل هذه الأرقام للحصول على مجموعها. بطبيعة الحال ، إذا كانت الأرقام بسيطة وعددها صغير ، فيمكن إجراء الحسابات عن طريق كتابتها يدويًا. وإذا كانت مجموعة الأرقام مثيرة للإعجاب ، فمن الأفضل استخدام آلة حاسبة أو جدول بيانات.
ورابعًا ، يجب تقسيم المبلغ الذي تم الحصول عليه من الإضافة على عدد الأرقام. نتيجة لذلك ، سوف نحصل على النتيجة ، والتي ستكون المتوسط الحسابي لهذه السلسلة.
ما هو الوسط الحسابي ل؟
يمكن أن تكون الوسيلة الحسابية مفيدة ليس فقط لحل الأمثلة والمشكلات في دروس الرياضيات ، ولكن أيضًا للأغراض الأخرى الضرورية في حياة الشخص اليومية. يمكن أن تكون هذه الأغراض هي حساب المتوسط الحسابي لحساب متوسط المصروفات المالية شهريًا ، أو لحساب الوقت الذي تقضيه على الطريق ، وأيضًا لمعرفة الحضور والإنتاجية وسرعة الحركة والعائد وغير ذلك الكثير.
لذا ، على سبيل المثال ، دعنا نحاول حساب مقدار الوقت الذي تقضيه في الذهاب إلى المدرسة. في كل مرة تذهب فيها إلى المدرسة أو تعود إلى المنزل ، تقضي وقتًا مختلفًا على الطريق ، لأنك عندما تكون في عجلة من أمرك ، فإنك تسير بشكل أسرع ، وبالتالي يستغرق الطريق وقتًا أقل. لكن ، بالعودة إلى المنزل ، يمكنك المضي قدمًا ببطء ، والتواصل مع زملائك في الفصل ، والاستمتاع بالطبيعة ، وبالتالي سيستغرق الأمر مزيدًا من الوقت على الطريق.
لذلك ، لن تتمكن من تحديد الوقت الذي تقضيه على الطريق بدقة ، ولكن بفضل الوسط الحسابي ، يمكنك معرفة الوقت الذي تقضيه على الطريق تقريبًا.
لنفترض أنه في اليوم الأول بعد عطلة نهاية الأسبوع ، قضيت خمسة عشر دقيقة في الطريق من المنزل إلى المدرسة ، وفي اليوم الثاني استغرقت رحلتك عشرين دقيقة ، ويوم الأربعاء قطعت المسافة في خمسة وعشرين دقيقة ، وشققت طريقك. الخميس في نفس الوقت .. ويوم الجمعة لم تكن في عجلة من أمرك وعدت لمدة نصف ساعة.
لنجد المتوسط الحسابي ، بإضافة الوقت ، لجميع الأيام الخمسة. لذا،
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
الآن دعنا نقسم هذا المقدار على عدد الأيام
من خلال هذه الطريقة ، تعلمت أن الرحلة من المنزل إلى المدرسة تستغرق حوالي ثلاث وعشرين دقيقة من وقتك.
الواجب المنزلي
1. استخدم بعض العمليات الحسابية البسيطة للعثور على المتوسط الحسابي لعدد الطلاب في فصلك في الأسبوع.
2. ابحث عن الوسط الحسابي:
3. حل المشكلة:
عندما يميل عدد عناصر مجموعة الأرقام لعملية عشوائية ثابتة إلى اللانهاية ، فإن المتوسط الحسابي يميل إلى التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.
مقدمة
نشير إلى مجموعة الأرقام X = (x 1 , x 2 , …, x ن) ، ثم يُشار إلى متوسط العينة عادةً بشريط أفقي أعلى المتغير (يُنطق " xبخط ").
يستخدم الحرف اليوناني μ عادةً للإشارة إلى الوسط الحسابي لمجموعة الأرقام بأكملها. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي يتم تحديد القيمة المتوسطة له ، تكون μ هي يعني الاحتماليةأو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. إذا كانت المجموعة Xعبارة عن مجموعة من الأرقام العشوائية بمتوسط احتمالي μ ، ثم لأي عينة x أنامن هذه المجموعة μ = E ( x أنا) هو التوقع الرياضي لهذه العينة.
في الممارسة العملية ، الفرق بين μ و س ¯ (displaystyle (bar (x)))هو أن μ متغير نموذجي لأنه يمكنك رؤية العينة بدلاً من المجتمع بأكمله. لذلك ، إذا تم تقديم العينة بشكل عشوائي (من حيث نظرية الاحتمالات) ، فعندئذٍ س ¯ (displaystyle (bar (x)))(ولكن ليس μ) يمكن معاملتها كمتغير عشوائي مع توزيع احتمالي على العينة (توزيع احتمالية للمتوسط).
يتم حساب هاتين الكميتين بنفس الطريقة:
س ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n). (displaystyle (bar (x)) = (frac (1) (n)) sum _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (frac (1) (n)) (x_ (1) + \ cdots + x_ (n)).)أمثلة على
- لثلاثة أرقام ، اجمعها واقسمها على 3:
- لأربعة أرقام ، اجمعها واقسم على 4:
متغير عشوائي مستمر
إذا كان هناك تكامل لبعض الوظائف و (س) (displaystyle f (x))متغير واحد ، ثم المتوسط الحسابي لهذه الوظيفة على القطعة [أ؛ ب] (displaystyle)محددة من حيث تكامل محدد:
و (خ) ¯ [أ ؛ ب] = 1 ب - أ ∫ أ ب و (س) د س. (displaystyle (overline (f (x))) _ () = (frac (1) (b-a)) int _ (a) ^ (b) f (x) dx.)وهذا يعني أن ب> أ. (displaystyle b> a.)
بعض مشاكل استخدام الوسيلة
عدم المتانة
على الرغم من أن المتوسط الحسابي يستخدم غالبًا كمتوسطات أو اتجاهات مركزية ، إلا أنه ليس إحصائيًا قويًا ، مما يعني أن المتوسط الحسابي يتأثر بشدة "بالانحرافات الكبيرة". من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتوزيعات ذات معامل الانحراف الكبير ، قد لا يتوافق الوسط الحسابي مع مفهوم "الوسط" ، والقيم المتوسطة من الإحصائيات القوية (على سبيل المثال ، الوسيط) قد تصف الاتجاه المركزي بشكل أفضل.
المثال الكلاسيكي هو حساب متوسط الدخل. يمكن تفسير المتوسط الحسابي بشكل خاطئ على أنه متوسط ، مما قد يؤدي إلى استنتاج مفاده أن عدد الأشخاص ذوي الدخل المرتفع أكبر مما هو موجود بالفعل. يتم تفسير الدخل "المتوسط" بطريقة تجعل دخل معظم الناس قريبًا من هذا الرقم. هذا الدخل "المتوسط" (بمعنى المتوسط الحسابي) أعلى من دخل معظم الناس ، لأن الدخل المرتفع مع انحراف كبير عن المتوسط يحرف المتوسط الحسابي بشدة (على النقيض من ذلك ، فإن متوسط الدخل "يقاوم" مثل خيار). ومع ذلك ، فإن هذا الدخل "المتوسط" لا يقول شيئًا عن عدد الأشخاص بالقرب من متوسط الدخل (ولا يقول أي شيء عن عدد الأشخاص بالقرب من الدخل النموذجي). ومع ذلك ، إذا استخفت بمفهومي "المتوسط" و "غالبية الناس" ، فيمكنك حينئذٍ التوصل إلى نتيجة خاطئة مفادها أن معظم الناس يحصلون على دخل أعلى مما هم عليه بالفعل. على سبيل المثال ، فإن تقريرًا عن صافي الدخل "المتوسط" في مدينة ، واشنطن ، محسوبًا على أنه المتوسط الحسابي لصافي الدخل السنوي لجميع السكان ، من شأنه أن ينتج عددًا كبيرًا بشكل مفاجئ بسبب بيل جيتس. خذ بعين الاعتبار العينة (1 ، 2 ، 2 ، 2 ، 3 ، 9). المتوسط الحسابي هو 3.17 ، لكن خمس قيم من ست قيم أقل من هذا المتوسط.
الفائدة المركبة
إذا كانت الأرقام تتضاعف، لكن لا يطوى، عليك استخدام الوسط الهندسي وليس الحسابي. غالبًا ما يحدث هذا الحادث عند حساب عائد الاستثمار في التمويل.
على سبيل المثال ، إذا انخفضت الأسهم بنسبة 10٪ في السنة الأولى وزادت بنسبة 30٪ في السنة الثانية ، فمن الخطأ حساب "متوسط" الزيادة خلال هذين العامين كمتوسط حسابي (-10٪ + 30٪) / 2 = 10٪ ؛ يتم الحصول على متوسط القيمة الصحيحة في هذه الحالة من خلال معدل النمو السنوي التراكمي ، حيث يكون النمو السنوي حوالي 8.16653826392٪ 8.2٪.
والسبب في ذلك أن النسب المئوية لها نقطة بداية جديدة في كل مرة: 30٪ هي 30٪. من رقم أقل من السعر في بداية السنة الأولى:إذا كان السهم عند 30 دولارًا في البداية وانخفض بنسبة 10٪ ، فإنه يكون عند 27 دولارًا في بداية العام الثاني. إذا ارتفع السهم بنسبة 30٪ ، فستكون قيمته 35.1 دولارًا في نهاية العام الثاني. المتوسط الحسابي لهذا النمو هو 10٪ ، ولكن بما أن السهم كان 5.1 دولارًا فقط في عامين ، فإن متوسط الارتفاع بنسبة 8.2٪ يعطي النتيجة النهائية البالغة 35.1 دولارًا:
[30 دولارًا (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دولارًا (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دولارًا. إذا استخدمنا المتوسط الحسابي 10٪ بالطريقة نفسها ، فلن نحصل على القيمة الفعلية: [$ 30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دولار].
الفائدة المركبة في نهاية السنة الثانية: 90٪ * 130٪ = 117٪ أي زيادة إجمالية قدرها 17٪ ومتوسط فائدة سنوية مركبة 117٪ ≈ 108.2٪ (\ displaystyle (\ sqrt (117 \٪)) \ حوالي 108.2 \٪)، أي متوسط نمو سنوي قدره 8.2٪.
الاتجاهات
مقالة مفصلة: إحصائيات الوجهة
عند حساب المتوسط الحسابي لبعض المتغيرات التي تتغير دوريًا (على سبيل المثال ، المرحلة أو الزاوية) ، يجب توخي الحذر بشكل خاص. على سبيل المثال ، سيكون متوسط العددين 1 و 359 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ displaystyle (\ frac (1 ^ (\ circ) +359 ^ (\ circ)) (2)) =) 180. هذا الرقم غير صحيح لسببين.
سيتم تحويل متوسط قيمة المتغير الدوري ، المحسوب باستخدام الصيغة أعلاه ، بشكل مصطنع من المتوسط الحقيقي باتجاه منتصف النطاق الرقمي. لهذا السبب ، يتم حساب المتوسط بطريقة مختلفة ، أي أن الرقم الذي يحتوي على أقل تباين (نقطة مركزية) يتم اختياره على أنه المتوسط. أيضًا ، بدلاً من الطرح ، يتم استخدام المسافة المعيارية (أي المسافة المحيطية). على سبيل المثال ، المسافة المعيارية بين 1 درجة و 359 درجة هي 2 درجة ، وليست 358 درجة (على دائرة بين 359 درجة و 360 درجة == 0 درجة - درجة واحدة ، بين 0 درجة و 1 درجة - أيضًا 1 درجة ، في المجموع - 2 درجة).
ذهب ثلاثة أطفال إلى الغابة من أجل التوت. عثرت الابنة الكبرى على 18 حبة ، والوسطى - 15 ، والأخ الأصغر - 3 حبات (انظر الشكل 1). أحضروا التوت إلى والدتي ، التي قررت تقسيم التوت بالتساوي. كم عدد التوت التي حصل عليها كل طفل؟
أرز. 1. توضيح للمشكلة
المحلول
(ياغ) - جمع الأطفال كل شيء
2) قسّم إجمالي عدد التوت على عدد الأطفال:
(ياغ) حصلت على كل طفل
إجابه: سيحصل كل طفل على 12 حبة توت.
في المشكلة 1 ، الرقم الذي تم الحصول عليه في الإجابة هو المتوسط الحسابي.
المتوسط الحسابيتسمى عدة أرقام حاصل قسمة مجموع هذه الأرقام على عددها.
مثال 1
لدينا رقمان: 10 و 12. ابحث عن الوسط الحسابي.
المحلول
1) تحديد مجموع هذه الأرقام :.
2) عدد هذه الأرقام 2 ، لذلك فإن المتوسط الحسابي لهذه الأرقام هو:
إجابه: المتوسط الحسابي لـ 10 و 12 هو 11.
مثال 2
لدينا خمسة أعداد: 1 و 2 و 3 و 4 و 5. ابحث عن الوسط الحسابي.
المحلول
1) مجموع هذه الأرقام هو:.
2) بحكم التعريف ، المتوسط الحسابي هو حاصل قسمة مجموع الأرقام على عددها. لدينا خمسة أرقام ، لذا فإن المتوسط الحسابي هو:
إجابه: المتوسط الحسابي للبيانات في شرط الأرقام 3.
بالإضافة إلى حقيقة أنه يُقترح باستمرار العثور عليها في الفصل الدراسي ، فإن العثور على المتوسط الحسابي مفيد جدًا في الحياة اليومية. على سبيل المثال ، لنفترض أننا نريد الذهاب في إجازة إلى اليونان. لاختيار الملابس المناسبة ، ننظر إلى درجة الحرارة الحالية في هذا البلد. ومع ذلك ، لا نعرف الصورة العامة للطقس. لذلك ، تحتاج إلى معرفة درجة حرارة الهواء في اليونان ، على سبيل المثال ، لمدة أسبوع ، وإيجاد المتوسط الحسابي لدرجات الحرارة هذه.
مثال 3
درجة الحرارة في اليونان خلال الأسبوع: الإثنين -؛ يوم الثلاثاء - ؛ الأربعاء -؛ يوم الخميس - ؛ جمعة - ؛ السبت - ؛ الأحد - . احسب متوسط درجة الحرارة للأسبوع.
المحلول
1) لنحسب مجموع درجات الحرارة:.
2) قسّم المبلغ المستلم على عدد الأيام :.
إجابه: متوسط درجة الحرارة الأسبوعية تقريبًا.
قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى القدرة على إيجاد المتوسط الحسابي لتحديد متوسط عمر اللاعبين في فريق كرة القدم ، أي لتحديد ما إذا كان الفريق يتمتع بالخبرة أم لا. من الضروري تلخيص أعمار جميع اللاعبين وتقسيمها على عددهم.
المهمة 2
كان التاجر يبيع التفاح. في البداية ، باعهم بسعر 85 روبل لكل 1 كجم. لذلك باع 12 كجم. ثم خفض السعر إلى 65 روبل وباع الـ 4 كيلوغرامات المتبقية من التفاح. ما هو متوسط سعر التفاح؟
المحلول
1) لنحسب المبلغ الإجمالي الذي كسبه التاجر. باع 12 كيلوغراماً بسعر 85 روبل لكل 1 كيلوغرام: 
(فرك.).
باع 4 كيلوغرامات بسعر 65 روبل لكل 1 كيلوغرام: (روبل).
لذلك ، فإن المبلغ الإجمالي للمال المكتسب يساوي: (روبل).
2) الوزن الإجمالي للتفاح المباع هو:.
3) اقسم المبلغ المستلم على الوزن الإجمالي للتفاح المباع واحصل على متوسط سعر 1 كجم من التفاح: (روبل).
إجابه: متوسط سعر كيلو التفاح المباع 80 روبل.
يساعدك الوسط الحسابي في تقييم البيانات ككل ، دون أخذ كل قيمة على حدة.
ومع ذلك ، ليس من الممكن دائمًا استخدام مفهوم المتوسط الحسابي.
مثال 4
أطلق مطلق النار رصاصتين على الهدف (انظر الشكل 2): في المرة الأولى ضرب على ارتفاع متر واحد عن الهدف ، والثانية - على ارتفاع متر واحد. سيظهر المتوسط الحسابي أنه ضرب في الوسط مباشرة ، رغم أنه أخطأ المرتين.
أرز. 2. التوضيح على سبيل المثال
في هذا الدرس تعرفنا على مفهوم الوسط الحسابي. تعلمنا تعريف هذا المفهوم ، وتعلمنا كيفية حساب المتوسط الحسابي لعدة أرقام. كما تعلمنا التطبيق العملي لهذا المفهوم.
- ن. يا. فيلينكين. الرياضيات: كتاب مدرسي. لمدة 5 سل. جنرال لواء uchr. - إد. 17. - م: منيموسينا ، 2005. )
- كان لدى إيغور 45 روبل ، وأندريه - 28 ، ودينيس - 17 روبل.
- مع كل أموالهم قاموا بشراء 3 تذاكر سينما. كم تكلفة تذكرة واحدة؟
جار التحميل ...