مساحات وأحجام مختلفة الأشكال. كيفية إيجاد الحجم بالمتر المكعب

يمكن تمييز أي جسم هندسي بمساحة السطح (S) والحجم (V). المساحة والحجم ليسا نفس الشيء على الإطلاق. يمكن أن يحتوي الجسم على حرف V صغير نسبيًا وعلامة S كبيرة ، على سبيل المثال ، هذه هي الطريقة التي يعمل بها الدماغ البشري. يعد حساب هذه المؤشرات للأشكال الهندسية البسيطة أسهل بكثير.

Box: التعريف والأنواع والخصائص

متوازي السطوح هو منشور رباعي الزوايا متوازي الأضلاع في قاعدته. لماذا قد تحتاج إلى صيغة لإيجاد حجم الشكل؟ الكتب وصناديق التعبئة والعديد من الأشياء الأخرى من الحياة اليومية لها شكل مماثل. عادة ما تكون الغرف في المباني السكنية والمكتبية مستطيلة الشكل. لتثبيت التهوية ومكيفات الهواء وتحديد عدد عناصر التسخين في الغرفة ، من الضروري حساب حجم الغرفة.

يحتوي الشكل على 6 وجوه - متوازي الأضلاع و 12 حافة ، ويطلق على وجهين تم اختيارهما عشوائيًا القواعد. يمكن أن يكون خط الموازي من عدة أنواع. الاختلافات ناتجة عن الزوايا بين الأضلاع المتجاورة. تختلف الصيغ الخاصة بإيجاد Vs للمضلعات المختلفة قليلاً.

إذا كانت 6 وجوه من الشكل الهندسي عبارة عن مستطيلات ، فإنها تسمى أيضًا مستطيلة. المكعب هو حالة خاصة من خط متوازي حيث تكون جميع الوجوه الستة مربعات متساوية. في هذه الحالة ، لإيجاد V ، عليك معرفة طول ضلع واحد فقط ورفعه إلى القوة الثالثة.

لحل المشكلات ، ستحتاج إلى معرفة ليس فقط الصيغ الجاهزة ، ولكن أيضًا بخصائص الشكل. قائمة الخصائص الرئيسية للمنشور المستطيل صغيرة وسهلة الفهم:

حواف الشكل المتقابلة متساوية ومتوازية. هذا يعني أن الأضلاع المتقابلة هي نفسها في الطول والزاوية.
جميع جوانب خط متوازي السطوح المستقيم عبارة عن مستطيلات.
تتقاطع الأقطار الأربعة الرئيسية للشكل الهندسي عند نقطة واحدة ، وتنقسم إلى نصفين.
يساوي مربع قطري خط الموازي مجموع مربعات قياسات الشكل (يتبع نظرية فيثاغورس).

نظرية فيثاغورسينص على أن مجموع مساحات المربعات المبنية على أرجل مثلث قائم الزاوية يساوي مساحة المثلث المبني على وتر المثلث نفسه.

يمكن رؤية إثبات الخاصية الأخيرة في الصورة أدناه. حل المشكلة بسيط ولا يتطلب شرحًا تفصيليًا.

صيغة حجم خط متوازي المستطيل

صيغة إيجاد جميع أنواع الأشكال الهندسية هي نفسها: V = S * h ، حيث V هو الحجم المطلوب ، S هي مساحة قاعدة خط متوازي السطوح ، h هي الارتفاع الذي تم إسقاطه من الرأس المقابل و عمودي على القاعدة. في المستطيل ، يتطابق h مع أحد جانبي الشكل ، لذا للعثور على حجم المنشور المستطيل ، يجب مضاعفة ثلاثة أبعاد.

يتم التعبير عن الحجم عادة بـ cm3. بمعرفة القيم الثلاث لـ a و b و c ، ليس من الصعب على الإطلاق العثور على حجم الشكل. أكثر أنواع المشاكل شيوعًا في الامتحان هو إيجاد الحجم أو القطر لخط متوازي السطوح. من المستحيل حل العديد من مهام الاستخدام النموذجية بدون صيغة حجم المستطيل. يظهر مثال على مهمة وتصميم حلها في الشكل أدناه.

ملاحظة 1... يمكن إيجاد مساحة سطح المنشور المستطيل بضرب مجموع مساحات الوجوه الثلاثة للشكل في 2: القاعدة (ab) ووجهين متجاورين (bc + ac).

ملاحظة 2... من السهل إيجاد مساحة سطح الوجوه الجانبية بضرب محيط القاعدة في ارتفاع خط الموازي.

بناءً على الخاصية الأولى للمتوازي السطوح AB = A1B1 والوجه B1D1 = BD. وفقًا للنتائج الطبيعية لنظرية فيثاغورس ، فإن مجموع كل الزوايا في المثلث القائم الزاوية هو 180 درجة ، والساق ، التي تقع مقابل زاوية 30 درجة ، تساوي الوتر. بتطبيق هذه المعرفة على المثلث ، يمكننا بسهولة إيجاد أطوال الضلعين AB و AD. ثم نضرب القيم التي تم الحصول عليها ونحسب حجم خط الموازي.

صيغة لإيجاد حجم خط متوازي السطوح المائل

لإيجاد حجم خط مستقيم مائل ، تحتاج إلى ضرب مساحة قاعدة الشكل في الارتفاع المنخفض إلى القاعدة المعطاة من الزاوية المقابلة.

وبالتالي ، يمكن تمثيل V المطلوب في شكل h - عدد الأوراق بمساحة S للقاعدة ، وبالتالي فإن حجم المجموعة هو مجموع Vs لجميع البطاقات.

أمثلة على حل المشكلات

يجب إكمال مهام الاختبار الموحد في غضون فترة زمنية معينة. لا تحتوي المهام النموذجية ، كقاعدة عامة ، على الكثير من العمليات الحسابية والكسور المعقدة. غالبًا ما يُسأل الطالب عن كيفية العثور على حجم الشكل الهندسي غير المنتظم. في مثل هذه الحالات ، يجب على المرء أن يتذكر القاعدة البسيطة التي مفادها أن الحجم الإجمالي يساوي مجموع مكونات V.

كما ترون من المثال في الصورة أعلاه ، لا يوجد شيء صعب في حل مثل هذه المشاكل. تفترض المهام من الأقسام الأكثر تعقيدًا معرفة نظرية فيثاغورس وعواقبها ، بالإضافة إلى صيغة طول قطري الشكل. لحل مهام الاختبار بنجاح ، يكفي أن تتعرف على عينات المهام النموذجية مسبقًا.

قياس جميع المسافات المطلوبة بالأمتار.يمكن حساب حجم العديد من الأشكال ثلاثية الأبعاد بسهولة باستخدام الصيغ المناسبة. ومع ذلك ، يجب قياس جميع القيم التي يتم إدخالها في الصيغ بالأمتار. لذلك ، قبل استبدال القيم في الصيغة ، تأكد من قياسها جميعًا بالأمتار ، أو أنك قمت بتحويل الوحدات الأخرى إلى أمتار.

1 مم = 0.001 م
1 سم = 0.01 م
1 كم = 1000 م

لحساب حجم الأشكال المستطيلة (مستطيلة متوازية ، مكعب) استخدم الصيغة: الحجم = L × W × H.(الطول × العرض × الارتفاع). يمكن النظر إلى هذه الصيغة على أنها حاصل ضرب مساحة سطح أحد وجوه الشكل بالحافة المتعامدة مع هذا الوجه.

على سبيل المثال ، لنحسب حجم غرفة طولها 4 أمتار وعرضها 3 أمتار وارتفاعها 2.5 متر ، وللقيام بذلك ببساطة اضرب الطول في العرض والارتفاع:
- 4 × 3 × 2.5
- = 12 × 2.5
- = 30. حجم هذه الغرفة 30 م 3.
المكعب شكل ثلاثي الأبعاد تتساوى فيه جميع الأضلاع. وبالتالي ، يمكن كتابة صيغة حساب حجم المكعب على النحو التالي: الحجم = L 3 (أو W 3 ، أو H 3).

لحساب حجم الأشكال الأسطوانية ، استخدم الصيغة: بي× R 2 × H. يتم تقليل حساب حجم الأسطوانة إلى ضرب مساحة القاعدة الدائرية في ارتفاع (أو طول) الأسطوانة. أوجد مساحة القاعدة الدائرية بضرب pi (3.14) في مربع نصف قطر الدائرة (R) (نصف القطر هو المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على تلك الدائرة). ثم اضرب ناتجك في ارتفاع الأسطوانة (H) لإيجاد حجم الأسطوانة. يتم قياس جميع القيم بالأمتار.

على سبيل المثال ، لنحسب حجم بئر بقطر 1.5 م وعمق 10 م ، ونقسم القطر على 2 لنحصل على نصف القطر: 1.5 / 2 = 0.75 م.
- (3.14) × 0.75 2 × 10
- = (3.14) × 0.5625 × 10
- = 17.66. حجم البئر 17.66 م 3.

لحساب حجم الكرة ، استخدم الصيغة: 4/3 س بي× ص 3. أي أنك تحتاج فقط إلى معرفة نصف قطر الكرة (R).

على سبيل المثال ، لنحسب حجم بالون يبلغ قطره 10 أمتار ، ونقسم القطر على 2 لنحصل على نصف القطر: 10/2 = 5 م.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 × (3.14) × 125
- = 4.189 × 125
- = 523.6. حجم البالون 523.6 م 3.

لحساب حجم الأشكال المخروطية ، استخدم الصيغة: 1/3 س بي× R 2 × H. حجم المخروط يساوي 1/3 من حجم الأسطوانة التي لها نفس الارتفاع ونصف القطر.

على سبيل المثال ، لنحسب حجم مخروط الآيس كريم نصف قطره 3 سم وارتفاعه 15 سم ، وبالتحول إلى متر نحصل على: 0.03 م و 0.15 م على التوالي.
- 1/3 × (3.14) × 0.03 2 × 0.15
- = 1/3 × (3.14) × 0.0009 × 0.15
- = 1/3 × 0.0004239
- = 0.000141. حجم مخروط الآيس كريم 0.000141 م 3.

استخدم عدة صيغ لحساب حجم الأشكال غير المنتظمة.للقيام بذلك ، حاول تقسيم الشكل إلى عدة أشكال منتظمة. ثم ابحث عن حجم كل شكل واجمع النتائج.

على سبيل المثال ، لنحسب حجم مخزن الحبوب الصغير. يحتوي المخزن على جسم أسطواني يبلغ ارتفاعه 12 مترًا ونصف قطره 1.5 متر ، كما يحتوي التخزين أيضًا على سقف مخروطي يبلغ ارتفاعه 1 متر ، وعند حساب حجم السقف بشكل منفصل وحجم الجسم بشكل منفصل ، يمكننا العثور على الحجم الإجمالي للمخزن صومعة:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H.
- (3.14) × 1.5 2 × 12 + 1/3 × (3.14) × 1.5 2 × 1
- = (3.14) × 2.25 × 12 + 1/3 × (3.14) × 2.25 × 1
- = (3.14) × 27 + 1/3 × (3.14) × 2.25
- = 84,822 + 2,356
- = 87.178. حجم تخزين الحبوب 87.178 م 3.

تتضمن دورة الفيديو "الحصول على A" جميع الموضوعات اللازمة لاجتياز اختبار الرياضيات بنجاح في 60-65 نقطة. تمامًا جميع المهام 1-13 من امتحان الملف الشخصي الموحد في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز الاختبار الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز الاختبار بنسبة 90-100 نقطة ، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الرياضيات (أول 12 مشكلة) والمسألة 13 (حساب المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في الامتحان ، ولا يمكن لطالب مائة نقطة ولا لطالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

كل ما تحتاجه من نظرية. الحلول السريعة والفخاخ وأسرار الامتحان. تم تفكيك جميع المهام ذات الصلة من الجزء 1 من بنك مهام FIPI. الدورة تفي تماما بمتطلبات الامتحان 2018.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من البداية وبسيط ومباشر.

مئات من مهام الاستخدام. مشاكل الكلمات ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية ، المادة المرجعية ، تحليل جميع أنواع مهام الاستخدام. قياس المجسمات. حلول صعبة ، أوراق مفيدة ، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلاً من الحشو. شرح مرئي للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والدرجات واللوغاريتمات والوظيفة والمشتقات. أسس حل المشكلات المعقدة في الجزء الثاني من الامتحان.

تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة ، 2.5 ساعة لكل منها. يتم إعطاء كل موضوع من البداية وبسيط ومباشر.

واستخدم قدماء المصريين طرقًا لحساب المساحات بمختلف الأشكال شبيهة بأساليبنا.

في كتبهم "البدايات"وصف عالم الرياضيات اليوناني القديم الشهير إقليدس عددًا كبيرًا من الطرق لحساب مناطق العديد من الأشكال الهندسية. تمت كتابة المخطوطات الأولى في روسيا ، والتي تحتوي على معلومات هندسية ، في القرن السادس عشر دولارًا. يصفون قواعد إيجاد مناطق الأشكال ذات الأشكال المختلفة.

اليوم ، وباستخدام الأساليب الحديثة ، يمكنك إيجاد المساحة بأي شكل بدقة كبيرة.

ضع في اعتبارك أحد أبسط الأشكال - المستطيل - وصيغة إيجاد مساحته.

صيغة لمساحة المستطيل

انظر إلى الشكل (الشكل 1) ، والذي يتكون من 8 دولارات مربعة بجوانب يساوي 1 دولار سم ، وتسمى مساحة المربع الذي يبلغ طول أضلاعه 1 دولار سم مربعًا ومكتوبًا بالشكل 1 \ سم. ^ 2 دولار.

مساحة هذا الشكل (الشكل 1) ستساوي $ 8 \ cm ^ 2 $.

مساحة الشكل ، والتي يمكن تقسيمها إلى عدة مربعات بأضلاع $ 1 \ cm $ (على سبيل المثال ، $ p $) ، ستكون مساوية لـ $ p \ cm ^ 2 $.

بمعنى آخر ، ستكون مساحة الشكل مساوية لعدد $ cm ^ 2 $ ، في عدد المربعات التي يكون جانبها $ 1 \ cm $ يمكن كسر هذا الشكل.

فكر في مستطيل (الشكل 2) ، يتكون من شرائط بقيمة 3 دولارات ، كل منها مقسم إلى مربعات بقيمة 5 دولارات مع أضلاع 1 سم دولار. يتكون المستطيل بأكمله من 5 دولارات \ cdot 3 = 15 دولارًا مثل هذه المربعات ، ومساحته 15 دولارًا \ سم ^ 2 دولار.

الصورة 1.

الشكل 2.

عادة ما يتم الإشارة إلى منطقة الأرقام بالحرف $ S $.

لإيجاد مساحة المستطيل ، عليك ضرب طوله في عرضه.

إذا أشرنا إلى طوله بالحرف $ a $ ، والعرض بالحرف $ b $ ، فإن صيغة مساحة المستطيل ستبدو كما يلي:

التعريف 1

الأرقام تسمى مساو،إذا كانت الأشكال متطابقة عند وضعها على بعضها البعض. الأشكال المتساوية لها مساحات متساوية ومحيطات متساوية.

يمكن إيجاد مساحة الشكل كمجموع مناطق أجزائه.

مثال 1

على سبيل المثال ، في الشكل $ 3 $ ، يتم تقسيم المستطيل $ ABCD $ إلى جزأين بواسطة السطر $ KLMN $. مساحة جزء واحد هي 12 دولارًا \ سم ^ 2 دولارًا ، والآخر 9 \ سم ^ 2 دولار. إذن مساحة المستطيل $ ABCD $ تساوي $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $. لنجد مساحة المستطيل بالصيغة:

كما ترى ، فإن المناطق التي تم العثور عليها بواسطة كلتا الطريقتين متساوية.

الشكل 3.

الشكل 4.

المقطع $ AC $ يقسم المستطيل إلى مثلثين متساويين: $ ABC $ و $ ADC $. هذا يعني أن مساحة كل من المثلثين تساوي نصف مساحة المستطيل بأكمله.

التعريف 2

يسمى المستطيل المتساوي الأضلاع مربع.

إذا قمنا بتعيين جانب المربع بالحرف $ a $ ، فسيتم إيجاد مساحة المربع بالصيغة:

ومن هنا جاء اسم مربع الرقم $ a $.

مثال 2

على سبيل المثال ، إذا كان ضلع المربع هو 5 دولارات سم ، فإن مساحته هي:

أحجام

مع تطور التجارة والبناء في أيام الحضارات القديمة ، أصبح من الضروري إيجاد مجلدات. في الرياضيات ، هناك قسم من الهندسة يتعامل مع دراسة الأشكال المكانية ، يسمى القياس الفراغي. تمت مصادفة إشارات لهذه المنطقة المنفصلة من الرياضيات بالفعل في القرن الرابع $ قبل الميلاد.

طور علماء الرياضيات القدماء طريقة لحساب حجم الأشكال البسيطة - مكعب وخط متوازي. كانت جميع الهياكل في تلك الأوقات من هذا الشكل بالضبط. لكن في وقت لاحق ، تم العثور على طرق لحساب حجم الأشكال ذات الأشكال الأكثر تعقيدًا.

حجم متوازي المستطيل

إذا ملأت القالب بالرمل الرطب ثم قلبته ، نحصل على شكل حجمي يتميز بالحجم. إذا قمت بعمل العديد من هذه الأشكال باستخدام نفس القالب ، فستحصل على أشكال لها نفس الحجم. إذا قمت بملء القالب بالماء ، فسيكون حجم الماء وحجم شكل الرمل متساويين أيضًا.

الشكل 5.

يمكنك مقارنة حجم إناءين بملء إحداهما بالماء وصبه في الإناء الثاني. إذا امتلأ الوعاء الثاني بالكامل ، فسيكون للأوعية أحجام متساوية. إذا بقي الماء ، في هذه الحالة ، في الأول ، فإن حجم الوعاء الأول أكبر من حجم الوعاء الثاني. إذا لم يكن من الممكن ملء الوعاء الثاني بالكامل عند سكب الماء من الوعاء الأول ، فإن حجم الوعاء الأول أقل من حجم الوعاء الثاني.

يتم قياس الحجم باستخدام الوحدات التالية:

$ مم ^ 3 $ - ملليمتر مكعب ،

$ cm ^ 3 $ - سنتيمتر مكعب ،

$ dm ^ 3 $ - ديسيمتر مكعب ،

$ m ^ 3 $ - متر مكعب ،

كيلومتر مكعب ^ 3 دولار - كيلومتر مكعب.