Когато изучават математика, учениците започват да се запознават с различни видове геометрични фигури. Днес ще се спрем на различни видове триъгълници.
Определение
Геометричните форми, които са съставени от три точки, които не са на една и съща права линия, се наричат триъгълници.
Линиите, които свързват точките, се наричат страни, а точките се наричат върхове. Върховете са обозначени с главни латински букви, например: A, B, C.
Страните са обозначени с имената на двете точки, от които са съставени - AB, BC, AC. Пресичайки, страните образуват ъгли. Долната страна се счита за основата на фигурата.
Ориз. 1. Триъгълник ABC.
Видове триъгълници
Триъгълниците се класифицират по ъгли и страни. Всеки тип триъгълник има свои собствени свойства.
Има три вида ъглови триъгълници:
- остроъгълен;
- правоъгълна;
- тъп.
Всички ъгли остроъгълентриъгълниците са остри, тоест степента на всеки е не повече от 90 0.
Правоъгълнатриъгълник съдържа прав ъгъл. Другите два ъгъла винаги ще бъдат остри, защото в противен случай сумата от ъглите на триъгълника ще надвиши 180 градуса, което е невъзможно. Страната, която е срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза, а другите два катета. Хипотенузата винаги е по-голяма от катета.
Тъптриъгълник съдържа тъп ъгъл. Тоест ъгъл, по-голям от 90 градуса. Другите два ъгъла в такъв триъгълник ще бъдат остри.
Ориз. 2. Видове триъгълници в ъглите.
Питагоров триъгълник е правоъгълник, чиито страни са равни на 3, 4, 5.
Освен това голямата страна е хипотенузата.
Такива триъгълници често се използват за съставяне на прости задачи в геометрията. Ето защо, запомнете: ако двете страни на триъгълника са равни на 3, тогава третата непременно ще бъде 5. Това ще опрости изчисленията.
Видове триъгълници отстрани:
- равностранен;
- равнобедрен;
- универсален.
Равностраннатриъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни. Всички ъгли на такъв триъгълник са равни на 60 0, тоест той винаги е с остър ъгъл.
равнобедрентриъгълник - триъгълник, в който само две страни са равни. Тези страни се наричат страна, а третата се нарича основа. Освен това ъглите в основата на равнобедрен триъгълник са равни и винаги остри.
Универсаленили произволен триъгълник е триъгълник, в който всички дължини и всички ъгли не са равни един на друг.
Ако в задачата няма разяснения за фигурата, тогава се счита, че говорим за произволен триъгълник.
Ориз. 3. Видове триъгълници на страните.
Сумата от всички ъгли на триъгълник, независимо от вида му, е 1800.
Срещу по-големия ъгъл е по-голямата страна. А също и дължината на която и да е страна винаги е по-малка от сумата на двете й други страни. Тези свойства се потвърждават от теоремата за неравенството на триъгълника.
Има концепцията за златния триъгълник. Това е равнобедрен триъгълник, в който две страни са пропорционални на основата и равни на определено число. В такава фигура ъглите са пропорционални на съотношението 2: 2: 1.
задача:
Има ли триъгълник, чиито страни са 6 см, 3 см, 4 см?
Решение:
За да решите този проблем, трябва да използвате неравенството a
Какво научихме?
От този материал от курса по математика в 5. клас научихме, че триъгълниците се класифицират по страни и ъгли. Триъгълниците имат определени свойства, които могат да се използват за решаване на задачи.
триъгълнике многоъгълник с 3 страни (или 3 ъгъла). Страните на триъгълника често се означават с малки букви, които съответстват на големите букви, обозначаващи задните върхове.
Остър триъгълникнаречен триъгълник, в който и трите ъгъла са остри.
Тъп триъгълникнаречен триъгълник, в който един от ъглите е тъп.
Правоъгълен триъгълникнарича се триъгълник, в който един от ъглите е права линия, с други думи, той е равен на 90 °; се наричат страни a, b, образуващи прав ъгъл крака; страна c, противоположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза.
Равнобедрен триъгълникнаречен триъгълник, в който двете му страни са равни (a = c); тези равноправни партии се наричат страничен, Извиква се третата страна основа на триъгълник.
Равностранен триъгълникнаречен триъгълник, в който всичките му страни са равни (a = b = c). В случай, че нито една от неговите страни (abc) не е равна в триъгълник, тогава това е безстранен триъгълник.
Основните характеристики на триъгълниците
Във всеки триъгълник:
Тестове за равенство за триъгълници
Триъгълниците са равни, в случай че техните съответно са равни:
Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници
Два правоъгълни триъгълника са равни, като в този случай се изпълнява един от следните критерии:
Височинатриъгълнике перпендикуляр, спуснат от всеки връх към противоположната страна (или неговото продължение). Тази страна се нарича основа на триъгълник... Трите височини на триъгълника винаги се пресичат в една точка, наречена ортоцентъра на триъгълника.
Ортоцентърът на остроъгълен триъгълник е разположен вътре в триъгълника, а ортоцентърът на тъпоъгълен триъгълник е отвън; ортоцентърът на правоъгълен триъгълник съвпада с върха на правия ъгъл.
Медианае отсечка, свързваща всеки връх на триъгълника със средата на задната страна. Три медиани на триъгълник се пресичат в една точка, която винаги лежи вътре в триъгълника и е неговият център на маса. Тази точка разделя всяка медиана в съотношение 2: 1 от върха.
Бисектрисае отсечка от ъглополовящата на ъгъла от върха до точката на пресичане с обратната страна. Три ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка, която винаги лежи вътре в триъгълника и е центърът на вписаната окръжност. Симетралата разделя задната страна пропорционално на съседните страни.
Среден перпендикуляре перпендикуляр, начертан от средата на отсечка (страна). Трите средни перпендикуляра на триъгълника се пресичат в една точка, която е центърът на описаната окръжност.
В триъгълник с остър ъгъл тази точка лежи вътре в триъгълника, в тъп триъгълник - отвън, в правоъгълен - в средата на хипотенузата. Ортоцентърът, центърът на масата, центъра на описаната окръжност и центърът на вписаната окръжност съвпадат изключително в равностранен триъгълник.
Аксиома на Питагор
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на дължините на краката.
Потвърждение на аксиомата на Питагор
Построете квадрат AKMB, като използвате хипотенузата AB като страна. След това удължаваме страните на правоъгълния триъгълник ABC, така че да получим квадрат CDEF, чиято страна е равна на a + b. Вече е ясно, че площта на квадрата CDEF е равна на (a + b) 2. От друга страна, тази площ е равна на сумата от площите на четири правоъгълни триъгълника и квадрата AKMB, с други думи ,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
и имаме абсолютно:
c 2 = a 2 + b 2.
Съотношение на страните в произволен триъгълник
В общия случай (за произволен триъгълник) имаме:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
където C е ъгълът между страните a и b.
Допълнително към сайта:
Днес отиваме в страната на геометрията, където ще се запознаем с различни видове триъгълници.
Разгледайте геометричните фигури и намерете сред тях „излишни“ (фиг. 1).
Ориз. 1. Илюстрация например
Виждаме, че фигурите № 1, 2, 3, 5 са четириъгълници. Всеки от тях има собствено име (фиг. 2).
Ориз. 2. Четириъгълници
Това означава, че "допълнителната" фигура е триъгълник (фиг. 3).
Ориз. 3. Илюстрация например
Триъгълник е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, които свързват тези точки по двойки.
Точките се наричат върховете на триъгълника, сегменти - то партии... Оформят се страните на триъгълника има три ъгъла във върховете на триъгълника.
Основните признаци на триъгълника са три страни и три ъгъла.По отношение на ъгъла, триъгълниците са остроъгълни, правоъгълни и тъпоъгълни.
Триъгълник се нарича остроъгълен, ако и трите ъгъла са остри, тоест под 90° (фиг. 4).
Ориз. 4. Триъгълник с остър ъгъл
Триъгълник се нарича правоъгълен, ако един от ъглите му е 90° (фиг. 5).
Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник
Триъгълник се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, тоест повече от 90 ° (фиг. 6).
Ориз. 6. Тъпоъгълен триъгълник
Според броя на равните страни триъгълниците са равностранни, равнобедрени, многостранни.
Равнобедрен триъгълник е триъгълник, чиито две страни са равни (фиг. 7).
Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник
Тези партии се наричат страничен, третата страна - основа. В равнобедрен триъгълник ъглите в основата са равни.
Равнобедрените триъгълници са остроъгълни и тъпоъгълни(фиг. 8) .
Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник
Равностранният триъгълник е триъгълник, в който и трите страни са равни (фиг. 9).
Ориз. 9. Равностранен триъгълник
В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълницивинаги остроъгълен.
Триъгълник се нарича универсален, в който и трите страни имат различни дължини (фиг. 10).
Ориз. 10. Универсален триъгълник
Изпълнете задачата. Разделете тези триъгълници на три групи (фиг. 11).
Ориз. 11. Илюстрация към задачата
Първо, разпределяме по големината на ъглите.
Остри триъгълници: No1, No3.
Правоъгълни триъгълници: No2, No6.
Тъпоъгълни триъгълници: No4, No5.
Ще разпределим същите триъгълници на групи според броя на равните страни.
Разнообразни триъгълници: No 4, No 6.
Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.
Равностранен триъгълник: No1.
Помислете за чертежите.
Помислете кое парче тел сте направили всеки триъгълник (фиг. 12).
Ориз. 12. Илюстрация към задачата
Можете да разсъждавате по този начин.
Първото парче тел е разделено на три равни части, така че от него може да се направи равностранен триъгълник. На фигурата той е показан като трети.
Второто парче тел е разделено на три различни части, така че можете да направите универсален триъгълник от него. Той е показан първи на фигурата.
Третото парче тел е разделено на три части, като двете части са с еднаква дължина, което означава, че от него може да се направи равнобедрен триъгълник. На фигурата той е показан като втори.
Днес в урока се запознахме с различните видове триъгълници.
Библиография
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Образование", 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учеб. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Образование", 2012.
- М.И. Моро. Уроци по математика: Насоки за учители. 3 клас. - М .: Образование, 2012.
- Нормативен правен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М .: "Образование", 2011.
- "Училище на Русия": Програми за начално училище. - М .: "Образование", 2011.
- S.I. Волкова. Математика: Проверка. 3 клас. - М .: Образование, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тестове. - М .: "Изпит", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Домашна работа
1. Довършете фразите.
а) Триъгълник е фигура, която се състои от ..., които не лежат на една права линия, и ..., свързващи тези точки по двойки.
б) Извикват се точки … , сегменти - то … ... Страните на триъгълника се образуват във върховете на триъгълника ….
в) По отношение на ъгъла, триъгълниците са…,…,….
г) Според броя на равните страни триъгълниците са…,…,….
2. Рисуване
а) правоъгълен триъгълник;
б) остроъгълен триъгълник;
в) тъп триъгълник;
г) равностранен триъгълник;
д) многостранен триъгълник;
е) равнобедрен триъгълник.
3. Направете задача по темата на урока за вашите връстници.
Може би най-основната, проста и интересна фигура в геометрията е триъгълникът. В гимназиален курс се изучават основните му свойства, но понякога знанията по тази тема се формират непълни. Видовете триъгълници първоначално определят техните свойства. Но тази гледна точка остава смесена. Затова сега ще анализираме тази тема малко по-подробно.
Видовете триъгълници зависят от градусната мярка на ъглите. Тези фигури са остри, правоъгълни и тъпи. Ако всички ъгли не надвишават 90 градуса, тогава фигурата може безопасно да се нарече остроъгълна. Ако поне един ъгъл на триъгълника е 90 градуса, значи имате работа с правоъгълен подвид. Съответно във всички останали случаи разглежданият се нарича тъп.
Има много проблеми за подвидовете с остър ъгъл. Отличителна черта е вътрешното разположение на пресечните точки на ъглополовящи, медиани и височини. В други случаи това условие може да не бъде изпълнено. Не е трудно да се определи вида на формата "триъгълник". Достатъчно е да се знае например косинусът на всеки ъгъл. Ако някоя от стойностите е по-малка от нула, тогава триъгълникът така или иначе е тъп. Ако степента е нула, фигурата има прав ъгъл. Всички положителни стойности гарантирано ще ви кажат, че това е изглед с остър ъгъл.
Невъзможно е да не се каже за правилния триъгълник. Това е най-идеалният изглед, където всички точки на пресичане на медиани, ъглополовящи и височини съвпадат. Центърът на вписаната и описаната окръжност също лежи на същото място. За да решите проблеми, трябва да знаете само едната страна, тъй като ъглите първоначално са ви дадени, а другите две страни са известни. Тоест, формата се задава само от един параметър. Основната им характеристика е равенството на двете страни и ъгли в основата.
Понякога въпросът е дали има триъгълник с дадени страни. Всъщност ви питат дали това описание отговаря на основните типове. Например, ако сборът на двете страни е по-малък от третата, тогава в действителност такава фигура изобщо не съществува. Ако задачата е поискана да се намерят косинусите на ъглите на триъгълник със страни 3,5,9, тогава очевидното може да се обясни без сложни математически трикове. Да предположим, че искате да стигнете от точка А до точка Б. Разстоянието по права линия е 9 километра. Все пак се сетихте, че трябва да отидете до точка C в магазина. Разстоянието от A до C е 3 километра, а от C до B е 5. Така се оказва, че, движейки се през магазина, ще извървите един километър по-малко. Но тъй като точка C не се намира на линия AB, ще трябва да изминете допълнително разстояние. Тук възниква противоречие. Това, разбира се, е условно обяснение. Математиката знае повече от един начин да докаже, че всички видове триъгълници се подчиняват на основната идентичност. Пише, че сборът от двете страни е по-голям от дължината на третата.
Всеки вид има следните свойства:
1) Сборът от всички ъгли е 180 градуса.
2) Винаги има ортоцентър - точката на пресичане на трите височини.
3) И трите медиани, изтеглени от върховете на вътрешните ъгли, се пресичат на едно място.
4) Около всеки триъгълник можете да опишете кръг. Възможно е също така да се впише окръжността така, че да има само три допирни точки и да не излиза извън външните страни.
Сега сте запознати с основните свойства, които имат различните видове триъгълници. В бъдеще е важно да разберете с какво се занимавате, когато решавате проблем.
триъгълници
триъгълникнарича се фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права линия, и три сегмента, свързващи тези точки по двойки. Точките се наричат върховетриъгълник, а отсечките са негови партии.
Видове триъгълници
Триъгълникът се нарича равнобедрен,ако двете му страни са равни. Тези равни страни се наричат странични страни,и се извиква третата страна основатриъгълник.
Нарича се триъгълник, в който всички страни са равни равностраненили правилно.
Триъгълникът се нарича правоъгълен,ако има прав ъгъл, тоест ъгъл от 90 °. Страната на правоъгълен триъгълник срещу прав ъгъл се нарича хипотенуза,извикват се другите две партии крака.
Триъгълникът се нарича остроъгъленако и трите му ъгъла са остри, тоест под 90 °.
Триъгълникът се нарича тъпако един от ъглите му е тъп, тоест повече от 90 °.
Основните линии на триъгълника
Медиана
МедианаТриъгълникът е отсечка, свързваща върха на триъгълник със средата на противоположната страна на този триъгълник. 
Свойства на медианите на триъгълник
Медианата разделя триъгълника на два триъгълника с еднаква площ.
Медианите на триъгълника се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2: 1, като се брои от върха. Тази точка се нарича център на тежесттатриъгълник.
Целият триъгълник е разделен от медианите на шест равни триъгълника.
Бисектриса
Ъгъл бисектриса- това е лъч, който излиза от върха му, минава между страните му и разделя този ъгъл наполовина. Симетрала на триъгълнике отсечката на ъглополовящата на ъгъла на триъгълник, свързваща върха с точка от противоположната страна на този триъгълник. 
Свойства на ъглополовящите на триъгълник
Височина
Височинатриъгълник се нарича перпендикуляр, изтеглен от върха на триъгълника към правата, съдържаща противоположната страна на този триъгълник. 
Свойства на височината на триъгълника
V правоъгълен триъгълниквисочината, изтеглена от върха на правия ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобеноригинален.
V триъгълник с остър ъгълдвете му височини са откъснати от него подобентриъгълници.
Среден перпендикуляр
Нарича се права линия, минаваща през средата на отсечка, перпендикулярна на нея среден перпендикуляркъм сегмента .
Свойства на средните перпендикуляри на триъгълник
Всяка точка на средната точка, перпендикулярна на отсечката, е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент. Обратното също е вярно: всяка точка, еднакво отдалечена от краищата на отсечката, лежи върху перпендикуляра на него.
Точката на пресичане на перпендикулярите на страните на триъгълника е центърът окръжност, описана около този триъгълник.
средна линия
Средната линия на триъгълникасе нарича отсечка, свързваща средните точки на двете му страни.
Свойство на средната линия на триъгълник
Средната линия на триъгълник е успоредна на една от неговите страни и е равна на половината от тази страна.
Формули и съотношения
Тестове за равенство за триъгълници
Два триъгълника са равни, ако са съответно равни:
две страни и ъгълът между тях;
два ъгъла и прилежащата към тях страна;
три страни.
Тестове за равенство за правоъгълни триъгълници
две правоъгълен триъгълникса равни, ако са съответно равни: 
хипотенузаи остър ъгъл;
краки срещуположния ъгъл;
краки съседния ъгъл;
две крак;
хипотенузаи крак.
Сходство на триъгълници
Два триъгълника са подобни,ако се извика едно от следните условия признаци на сходство:
два ъгъла на един триъгълник са равни на два ъгъла на друг триъгълник;
двете страни на единия триъгълник са пропорционални на двете страни на другия триъгълник и ъглите, образувани от тези страни, са равни;
трите страни на единия триъгълник са съответно пропорционални на трите страни на другия триъгълник.
В такива триъгълници съответните линии ( височини, медиани, бисектрисии др.) са пропорционални.
Синусова теорема
Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли, а съотношението на страните е диаметър
окръжност, описана около триъгълник:
Теорема за косинусите
Квадратът на страната на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни минус двойното произведение на тези страни от косинуса на ъгъла между тях:
а 2 = б 2 + ° С 2 - 2пр. н. е cos
Формули за площи на триъгълник
Произволен триъгълник
а, б, в -партита; - ъгълът между страните аи б- полупериметър; R -радиусът на описаната окръжност; r -радиус на вписаната окръжност; С -квадрат; з а - странична кота а.
Зареждане ...