11 তম গ্রেড Orlova E.V.
"অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য"
স্লাইড 1
পাঠের উদ্দেশ্য:
শিক্ষামূলক : অ্যান্টিডেরিভেটিভের ধারণা গঠন এবং একীভূত করতে, বিভিন্ন স্তরের অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন খুঁজে বের করতে।
উন্নয়নশীল: বিশ্লেষণ, তুলনা, সাধারণীকরণ, পদ্ধতিগতকরণের ক্রিয়াকলাপগুলির উপর ভিত্তি করে শিক্ষার্থীদের মানসিক ক্রিয়াকলাপ বিকাশ করা।
শিক্ষাগত: শিক্ষার্থীদের বিশ্ব দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করতে, ফলাফলের জন্য দায়িত্ব থেকে শিক্ষিত করতে, সাফল্যের অনুভূতি।
পাঠের ধরন:নতুন উপাদান শেখা।
সরঞ্জাম:কম্পিউটার, মাল্টিমিডিয়া বোর্ড।
প্রত্যাশিত শিক্ষার ফলাফল:ছাত্র আবশ্যক
ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা
antiderivative অস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়.
সহজতম ক্ষেত্রে অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন খুঁজুন
একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে একটি ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ কিনা তা পরীক্ষা করুন।
ক্লাস চলাকালীন
আয়োজনের সময় স্লাইড 2
বাড়ির কাজ পরীক্ষা করা হচ্ছে
বিষয়ের বার্তা, পাঠের উদ্দেশ্য, শিক্ষামূলক কার্যক্রমের কাজ এবং প্রেরণা।
লেখার বোর্ডে:
অমৌলিক - "একটি নতুন ফাংশন" উত্পাদন করে।
অ্যান্টিডেরিভেটিভ - প্রাথমিক চিত্র।
4. জ্ঞানের বাস্তবায়ন, তুলনামূলকভাবে জ্ঞানের পদ্ধতিগতকরণ.
ডিফারেনটিয়েশন-ডিরিভেটিভ খুঁজে বের করা।
ইন্টিগ্রেশন হল একটি প্রদত্ত ডেরিভেটিভ দ্বারা একটি ফাংশন পুনরুদ্ধার।
নতুন চরিত্রের পরিচিতি:
5. মৌখিক ব্যায়াম:স্লাইড 3
পয়েন্টের পরিবর্তে, কিছু ফাংশন রাখুন যা সমতাকে সন্তুষ্ট করে।
ছাত্র স্ব-পরীক্ষা।
শিক্ষার্থীদের জ্ঞান আপডেট করা।
5. নতুন উপাদান শেখা.
ক) গণিতে পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ।
শিক্ষক: গণিতে 2টি পারস্পরিক বিপরীত ক্রিয়াকলাপ রয়েছে। চলুন তুলনা কটাক্ষপাত করা যাক. স্লাইড 4
খ) পদার্থবিদ্যায় পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ।
মেকানিক্স বিভাগে দুটি পারস্পরিক বিপরীত সমস্যা বিবেচনা করা হয়।
একটি বস্তুগত বিন্দুর গতির প্রদত্ত সমীকরণ অনুসারে গতি খুঁজে বের করা (ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা) এবং গতির জন্য পরিচিত সূত্র ব্যবহার করে গতির ট্র্যাজেক্টোরির জন্য সমীকরণ খুঁজে বের করা।
গ) একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ, অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা চালু করা হয়েছে
স্লাইড 5, 6
শিক্ষক: কাজটি আরও সুনির্দিষ্ট হওয়ার জন্য, আমাদের প্রাথমিক পরিস্থিতি ঠিক করতে হবে।
ঘ) অ্যান্টিডেরিভেটিভের সারণী স্লাইড 7
আদিম খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা গঠনের জন্য কাজগুলি - দলে কাজ করুন স্লাইড 8
প্রদত্ত ব্যবধানে একটি ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ প্রমাণ করার ক্ষমতা গঠনের জন্য কাজগুলি - জোড়া কাজ।
6.ফিজমিনটকাস্লাইড 9
7. যা শেখা হয়েছে তার প্রাথমিক বোধগম্যতা এবং প্রয়োগ।স্লাইড 10
8. হোমওয়ার্ক সেট করাস্লাইড 11
9. পাঠের সংক্ষিপ্তকরণ।স্লাইড 12
সম্মুখ সমীক্ষার সময়, শিক্ষার্থীদের সাথে একসাথে, পাঠের ফলাফলগুলি সংক্ষিপ্ত করা হয়, নতুন উপাদানের ধারণা সম্পর্কে সচেতন বোঝা ইমোটিকন আকারে হতে পারে।
সব বুঝেছে, সব ম্যানেজ করেছে।
আংশিকভাবে বুঝতে পারিনি (ক), সবকিছু করতে পরিচালিত হয়নি।
ক্লাস: 11
পাঠের জন্য উপস্থাপনা
পিছনে এগিয়ে
মনোযোগ! স্লাইড প্রিভিউ শুধুমাত্র তথ্যগত উদ্দেশ্যে এবং উপস্থাপনার সম্পূর্ণ সীমার প্রতিনিধিত্ব নাও করতে পারে। আপনি যদি এই কাজটিতে আগ্রহী হন তবে দয়া করে সম্পূর্ণ সংস্করণটি ডাউনলোড করুন।
গ্রেড 11 বীজগণিত পাঠের প্রযুক্তিগত মানচিত্র।
"একজন ব্যক্তি তার ক্ষমতাগুলিকে প্রয়োগ করার চেষ্টা করেই চিনতে পারে।"
সেনেকা দ্য ইয়ঙ্গার.
প্রতি বিভাগে ঘন্টার সংখ্যা: 10 ঘণ্টা.
ব্লক থিম:অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য।
পাঠের প্রধান বিষয়:সাধারণ, আনুমানিক এবং বহু-স্তরের কাজের একটি সিস্টেমের মাধ্যমে জ্ঞান এবং সাধারণ শিক্ষাগত দক্ষতা গঠন।
পাঠের উদ্দেশ্য:
- শিক্ষামূলক: অ্যান্টিডেরিভেটিভের ধারণা গঠন এবং একীভূত করতে, বিভিন্ন স্তরের অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন খুঁজে বের করতে।
- উন্নয়নশীল:বিশ্লেষণ, তুলনা, সাধারণীকরণ, পদ্ধতিগতকরণের ক্রিয়াকলাপগুলির উপর ভিত্তি করে শিক্ষার্থীদের মানসিক ক্রিয়াকলাপ বিকাশ করা।
- শিক্ষাগত:শিক্ষার্থীদের বিশ্ব দৃষ্টিভঙ্গি তৈরি করতে, ফলাফলের জন্য দায়িত্ব থেকে শিক্ষিত করতে, সাফল্যের অনুভূতি।
পাঠের ধরন:নতুন উপাদান শেখা।
শিক্ষণ পদ্ধতি:মৌখিক, মৌখিক-ভিজ্যুয়াল, সমস্যাযুক্ত, হিউরিস্টিক।
অধ্যয়নের ফর্ম:ব্যক্তি, জোড়া, গোষ্ঠী, সাধারণ শ্রেণী।
শিক্ষার মাধ্যম:তথ্য, কম্পিউটার, এপিগ্রাফ, হ্যান্ডআউট।
প্রত্যাশিত শিক্ষার ফলাফল:ছাত্র আবশ্যক
- ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা
- antiderivative অস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়.
- সহজতম ক্ষেত্রে অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন খুঁজুন
- একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে একটি ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ কিনা তা পরীক্ষা করুন।
পাঠের কাঠামো:
- পাঠের লক্ষ্য নির্ধারণ করা (2 মিনিট)
- নতুন উপকরণ শেখার জন্য প্রস্তুতি (3 মিনিট)
- নতুন উপাদানের সাথে পরিচিতি (25 মিনিট)
- যা শেখা হয়েছে তার প্রাথমিক প্রতিফলন এবং প্রয়োগ (10 মিনিট)
- হোমওয়ার্ক সেট করা হচ্ছে (2 মিনিট)
- পাঠের সারসংক্ষেপ (3 মিনিট)
- রিজার্ভ অ্যাসাইনমেন্ট.
ক্লাস চলাকালীন
1. বিষয়ের বার্তা, পাঠের উদ্দেশ্য, কাজ এবং শিক্ষামূলক কার্যক্রমের অনুপ্রেরণা।
লেখার বোর্ডে:
*** ডেরিভেটিভ - একটি নতুন ফাংশন "উৎপাদন" করে। আদিম - প্রাথমিক চিত্র।
2. জ্ঞানের বাস্তবায়ন, তুলনামূলকভাবে জ্ঞানের পদ্ধতিগতকরণ।
ডিফারেনটিয়েশন-ডিরিভেটিভ খুঁজে বের করা।
ইন্টিগ্রেশন হল একটি প্রদত্ত ডেরিভেটিভ দ্বারা একটি ফাংশন পুনরুদ্ধার।
নতুন চরিত্রের পরিচিতি:
* মৌখিক ব্যায়াম: পয়েন্টের পরিবর্তে, কিছু ফাংশন রাখুন যা সমতাকে সন্তুষ্ট করে। (প্রেজেন্টেশন দেখুন) -ব্যক্তিগত কাজ।
(এই সময়ে, 1 জন শিক্ষার্থী বোর্ডে পার্থক্যের সূত্র লেখেন, 2 জন শিক্ষার্থী - পার্থক্যের নিয়ম)।
- শিক্ষার্থীদের দ্বারা স্ব-পরীক্ষা করা হয়। (ব্যক্তিগত কাজ)
- শিক্ষার্থীদের জ্ঞান আপডেট করা।
3. নতুন উপাদান শেখা.
ক) গণিতে পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ।
শিক্ষক: গণিতে 2টি পারস্পরিক বিপরীত ক্রিয়াকলাপ রয়েছে। চলুন তুলনা কটাক্ষপাত করা যাক.
খ) পদার্থবিদ্যায় পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ।
মেকানিক্স বিভাগে দুটি পারস্পরিক বিপরীত সমস্যা বিবেচনা করা হয়। একটি বস্তুগত বিন্দুর গতির প্রদত্ত সমীকরণ অনুসারে গতি খুঁজে বের করা (ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা) এবং গতির জন্য পরিচিত সূত্র ব্যবহার করে গতির ট্র্যাজেক্টোরির জন্য সমীকরণ খুঁজে বের করা।
উদাহরণ 1 পৃষ্ঠা 140 - একটি পাঠ্যপুস্তকের সাথে কাজ (ব্যক্তিগত কাজ)।
একটি প্রদত্ত ফাংশনের সাপেক্ষে একটি ডেরিভেটিভ খোঁজার প্রক্রিয়াকে ডিফারেন্সিয়েশন বলা হয় এবং ইনভার্স অপারেশন, অর্থাৎ, একটি প্রদত্ত ডেরিভেটিভের সাপেক্ষে একটি ফাংশন খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকে ইন্টিগ্রেশন বলা হয়।
গ) অ্যান্টিডেরিভেটিভের একটি সংজ্ঞা চালু করা হয়েছে।
শিক্ষক: কাজটি আরও সুনির্দিষ্ট হওয়ার জন্য, আমাদের প্রাথমিক পরিস্থিতি ঠিক করতে হবে।
আদিম খুঁজে পাওয়ার ক্ষমতা গঠনের জন্য কাজগুলি - দলে কাজ করুন। (প্রেজেন্টেশন দেখুন)
প্রদত্ত ব্যবধানে একটি ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ প্রমাণ করার ক্ষমতা গঠনের জন্য কাজগুলি - জোড়া কাজ। (প্রেজেন্টেশন দেখুন)
4. যা শিখেছি তার প্রাথমিক বোধগম্যতা এবং প্রয়োগ।
সমাধান সহ উদাহরণ "একটি ভুল খুঁজুন" - স্বতন্ত্র কাজ। (প্রেজেন্টেশন দেখুন)
*** ক্রস চেক সঞ্চালন.
উপসংহার: এই কাজগুলি সম্পাদন করার সময়, এটি লক্ষ্য করা সহজ যে অ্যান্টিডেরিভেটিভ অস্পষ্টভাবে নির্ধারিত হয়।
5. হোমওয়ার্ক সেট করা
ব্যাখ্যামূলক পাঠ্য অধ্যায় 4 অনুচ্ছেদ 20 পড়ুন, 1 এর সংজ্ঞা মুখস্ত করুন। আদিম, সমাধান নং 20.1 -20.5 (c, d) - প্রত্যেকের জন্য একটি বাধ্যতামূলক কাজ নং 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20.9 (b) - পছন্দের 4টি উদাহরণ।
6. পাঠের সারসংক্ষেপ।
সম্মুখ সমীক্ষার সময়, শিক্ষার্থীদের সাথে একসাথে, পাঠের ফলাফলগুলি সংক্ষিপ্ত করা হয়, নতুন উপাদানের ধারণা সম্পর্কে সচেতন বোঝা ইমোটিকন আকারে হতে পারে।
সব বুঝেছে, সব ম্যানেজ করেছে।
আংশিকভাবে বুঝতে পারিনি (ক), সবকিছু পরিচালনা করেনি।
7. রিজার্ভ কাজ.
উপরে প্রস্তাবিত কাজগুলির পুরো ক্লাসের মাধ্যমে তাড়াতাড়ি শেষ করার ক্ষেত্রে, সর্বাধিক প্রস্তুত শিক্ষার্থীদের কর্মসংস্থান এবং বিকাশ নিশ্চিত করার জন্য, 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a) নং টাস্কগুলি ব্যবহার করারও পরিকল্পনা করা হয়েছে।
সাহিত্য:
- এ.জি. মর্ডকোভিচ, পি.ভি. সেমেনভ, বিশ্লেষণের বীজগণিত, প্রোফাইল স্তর, পার্ট 1, পার্ট 2 সমস্যা বই, মানভেলভ এস.জি. "পাঠের সৃজনশীল বিকাশের মৌলিক বিষয়গুলি।"
পাঠের বিষয় : আদিম। অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য এবং এর বৈশিষ্ট্য
পাঠের উদ্দেশ্য:
শিক্ষাগত:
অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ধারণার সাথে শিক্ষার্থীদের পরিচিত করা, অ্যান্টিডেরিভেটিভের প্রধান সম্পত্তি এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য খুঁজে বের করার নিয়ম।
উন্নয়নশীল:
স্বাধীন কাজের জন্য দক্ষতা বিকাশ,
মানসিক কার্যকলাপ সক্রিয় করতে, গাণিতিক বক্তৃতা।
শিক্ষাগত:
সম্পাদিত কাজের গুণমান এবং ফলাফলের জন্য দায়িত্ববোধ গড়ে তুলতে;
চূড়ান্ত ফলাফলের জন্য দায়বদ্ধতা গঠন করুন।
একটি টাইপ পাঠ : নতুন জ্ঞানের বার্তা
আচার পদ্ধতি : মৌখিক, চাক্ষুষ, স্বাধীন কাজ।
নিরাপত্তা পাঠ :
উপস্থাপনা এবং ভিডিও প্রদর্শনের জন্য মাল্টিমিডিয়া সরঞ্জাম এবং সফ্টওয়্যার;
হ্যান্ডআউট: সরল অখণ্ডের একটি টেবিল (একত্রীকরণ পর্যায়ে)।
পাঠের কাঠামো।
1. সাংগঠনিক মুহূর্ত (2 মিনিট।)
শিক্ষামূলক কার্যকলাপের অনুপ্রেরণা। (5 মিনিট।)
নতুন উপাদান উপস্থাপনা. (50 মিনিট।)
অধ্যয়নকৃত উপাদানের একীকরণ। (25 মিনিট।)
পাঠের সারসংক্ষেপ। প্রতিফলন। (6 মিনিট।)
বাড়ির কাজের বার্তা। (2 মিনিট।)
কোর্সের অগ্রগতি।
আয়োজনের সময়। (২ মিনিট.)
শিক্ষণ পদ্ধতি
শিক্ষাদানের কৌশল
শিক্ষক শিক্ষার্থীদের অভিবাদন জানায়, দর্শকদের মধ্যে উপস্থিতদের পরীক্ষা করে।
শিক্ষার্থীরা কাজের জন্য প্রস্তুত হচ্ছে। হেডম্যান একটি রিপোর্ট পূরণ করে। কর্মকর্তারা হ্যান্ডআউট বিতরণ করেন।
শিক্ষামূলক কার্যকলাপের অনুপ্রেরণা। ( 5 মিনিট.)
শিক্ষণ পদ্ধতি
শিক্ষাদানের কৌশল
আজকের পাঠের বিষয়"প্রাচীন।অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য এবং এর বৈশিষ্ট্য"।(স্লাইড 1)
এই বিষয়ে জ্ঞান আমাদের দ্বারা নিম্নলিখিত পাঠগুলিতে ব্যবহার করা হবে যখন নির্দিষ্ট অখণ্ড, সমতল চিত্রের ক্ষেত্রগুলি খুঁজে বের করা হবে। প্রয়োগ করা সমস্যা সমাধান করার সময় উচ্চতর শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে উচ্চতর গণিতের বিভাগগুলিতে অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসে অনেক মনোযোগ দেওয়া হয়।
আমাদের আজকের পাঠটি নতুন উপাদান অধ্যয়নের পাঠ, তাই এটি একটি তাত্ত্বিক প্রকৃতির হবে। পাঠের উদ্দেশ্য হল অখণ্ড ক্যালকুলাস সম্পর্কে ধারণা তৈরি করা, এর সারমর্ম বোঝা, অ্যান্টিডেরিভেটিভস এবং অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি খুঁজে বের করার দক্ষতা বিকাশ করা।(স্লাইড 2)
শিক্ষার্থীরা পাঠের তারিখ এবং বিষয় লিখে রাখে।
3. নতুন উপাদান উপস্থাপনা (৫০ মিনিট)
শিক্ষণ পদ্ধতি
শিক্ষাদানের কৌশল
1. আমরা সম্প্রতি "কিছু প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভস" বিষয়ের মধ্য দিয়ে গিয়েছিলাম। এই ক্ষেত্রে:
ফাংশন ডেরিভেটিভচ (x)= এক্স 9 , আমরা জানি যেচ ′(x)= 9x 8 . এখন আমরা একটি ফাংশন খুঁজে বের করার একটি উদাহরণ বিবেচনা করব যার ডেরিভেটিভ পরিচিত।
ধরুন আমাদের একটি ডেরিভেটিভ দেওয়া হয়েছেচ ′(x)= 6x 5 . ডেরিভেটিভের জ্ঞান ব্যবহার করে, আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ কী তা নির্ধারণ করতে পারিচ (x)= এক্স 6 . একটি ফাংশন যা এর ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারণ করা যায় তাকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলে। (অ্যান্টিডেরিভেটিভের একটি সংজ্ঞা দিন। (স্লাইড 3))
সংজ্ঞা 1 : ফাংশন চ ( এক্স ) ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয় চ ( এক্স ) সেগমেন্টে [ ক; খ], যদি সমতা এই বিভাগের সমস্ত পয়েন্টে থাকে = চ ( এক্স )
উদাহরণ 1 (স্লাইড 4): আসুন প্রমাণ করি যে কোনটির জন্যxϵ(-∞;+∞) ফাংশনচ ( এক্স ) = এক্স 5 -5x চ (x)=5 এক্স 4 -5.
প্রমাণ: অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, আমরা ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই
=(এক্স 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 এক্স 4 -5.
উদাহরণ 2 (স্লাইড 5): আসুন প্রমাণ করি যে কোনটির জন্যxϵ(-∞;+∞) ফাংশনচ ( এক্স )= নাফাংশন জন্য antiderivative হয়চ (x)= .
ব্ল্যাকবোর্ডে ছাত্রদের সাথে প্রমাণ করুন।
আমরা জানি যে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা বলা হয়পৃথকীকরণ . এর ডেরিভেটিভ দ্বারা একটি ফাংশন সন্ধান করা বলা হবেমিশ্রণ. (স্লাইড 6)। ইন্টিগ্রেশনের লক্ষ্য হল একটি প্রদত্ত ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা।
উদাহরণস্বরূপ: (স্লাইড 7)
অ্যান্টিডেরিভেটিভের প্রধান সম্পত্তি:
উপপাদ্য: যদিচ ( এক্স ) - ফাংশন জন্য antiderivatives এক চ (এক্স) ব্যবধান X-এ, তারপর এই ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয় জি ( এক্স )= চ ( এক্স )+ গ যেখানে C একটি বাস্তব সংখ্যা।
(স্লাইড 8) অ্যান্টিডেরিভেটিভের টেবিল
অ্যান্টিডেরিভেটিভস খোঁজার জন্য তিনটি নিয়ম
নিয়ম #1:যদি চফাংশন জন্য একটি antiderivative আছেচ, ক জি- এর জন্য আসলg, তারপর চ+ জি- জন্য একটি প্রোটোটাইপ আছেচ+ g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
নিয়ম #2:যদি চ- এর জন্য আসলচ, ক kধ্রুবক, তারপর ফাংশনkF- এর জন্য আসলkf.
(kF)’ = kF’ = kf
নিয়ম #3:যদি চ- এর জন্য আসলচ, ক kএবং খধ্রুবক (), তারপর ফাংশন
জন্য antiderivativeচ(kx+ খ).
একটি অবিচ্ছেদ্য ধারণার ইতিহাস চতুর্ভুজ খোঁজার সমস্যার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত। প্রাচীন গ্রীস এবং রোমের গণিতবিদরা এক বা অন্য সমতল চিত্র বর্গ করার সমস্যাগুলিকে সমস্যা হিসাবে অভিহিত করেছেন যেগুলিকে আমরা এখন ক্ষেত্র গণনার সমস্যা হিসাবে উল্লেখ করি৷ এই জাতীয় সমস্যাগুলি সমাধানে প্রাচীন গ্রিসের গণিতবিদদের অনেক উল্লেখযোগ্য সাফল্য ক্লান্তির ব্যবহারের সাথে জড়িত। নিডোসের ইউডক্সাস দ্বারা প্রস্তাবিত পদ্ধতি। এই পদ্ধতির সাহায্যে, ইউডক্সাস প্রমাণ করেছেন:
1. দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রগুলি তাদের ব্যাসের বর্গ হিসাবে সম্পর্কিত।
2. একটি শঙ্কুর আয়তন একই উচ্চতা এবং ভিত্তি বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের আয়তনের 1/3 সমান।
ইউডক্সাসের পদ্ধতি আর্কিমিডিস দ্বারা নিখুঁত হয়েছিল এবং নিম্নলিখিত বিষয়গুলি প্রমাণিত হয়েছিল:
1. একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্রের উৎপত্তি।
2. গোলকের আয়তন সিলিন্ডারের আয়তনের 2/3।
সমস্ত অর্জন মহান গণিতবিদদের দ্বারা পূর্ণাঙ্গ ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছে।
আসুন উপপাদ্য 1 এ ফিরে যাই এবং একটি নতুন সংজ্ঞা বের করি।
সংজ্ঞা 2 : অভিব্যক্তি চ ( এক্স ) + গ , কোথায় গ - একটি নির্বিচারে ধ্রুবক, যাকে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বলা হয় এবং প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়
সংজ্ঞা থেকে আমাদের আছে:
(1)
একটি ফাংশনের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যচ(এক্স), এইভাবে, এর জন্য সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনের সেটচ(এক্স) .
সমতা (1), ফাংশনচ(এক্স) বলা হয় ইন্টিগ্র্যান্ড , এবং অভিব্যক্তি চ(এক্স) dx– ইন্টিগ্র্যান্ড , পরিবর্তনশীল এক্স – ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল , মেয়াদ গ - ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক .
ইন্টিগ্রেশন হল পার্থক্যের বিপরীত। ইন্টিগ্রেশন সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, ফলাফলের পার্থক্য করা এবং ইন্টিগ্র্যান্ড প্রাপ্ত করা যথেষ্ট।
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য.
একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে, নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করা সহজঅনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য
কিছু ফাংশনের ডিফারেনশিয়ালের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য এই ফাংশনের সমান এবং একটি নির্বিচারে ধ্রুবক
দুই বা ততোধিক ফাংশনের বীজগণিতীয় যোগফলের অনির্দিষ্ট অখণ্ড সংখ্যা তাদের অখণ্ডের বীজগণিতীয় যোগফলের সমান
অবিচ্ছেদ্য চিহ্ন থেকে ধ্রুবক গুণনীয়ক বের করা যেতে পারে, অর্থাৎ যদিক= const, তারপর
শিক্ষার্থীরা হ্যান্ডআউট এবং শিক্ষকের ব্যাখ্যা ব্যবহার করে বক্তৃতা রেকর্ড করে। অ্যান্টিডেরিভেটিভস এবং ইন্টিগ্রেলগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি প্রমাণ করার সময়, তারা পার্থক্যের বিষয়ে জ্ঞান ব্যবহার করে।
4. সরল অখণ্ডের সারণী
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
এই টেবিলে থাকা অখণ্ডগুলিকে বলা হয়সারণী . আমরা সূত্র 1 এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে নোট করি:
এখানে আরেকটি সুস্পষ্ট সূত্র আছে:
12 ম শ্রেণীতে বীজগণিত পাঠ।
পাঠের থিম: “অ্যান্টিপ্রিমিটিভ। অবিচ্ছেদ্য"
লক্ষ্য:
শিক্ষাগত
এই বিষয়ে উপাদানগুলিকে সাধারণীকরণ এবং একীভূত করুন: অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞা এবং সম্পত্তি, অ্যান্টিডেরিভেটিভের সারণী, অ্যান্টিডেরিভেটিভস খোঁজার নিয়ম, অখণ্ডের ধারণা, নিউটন-লাইবনিজ সূত্র, পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলি গণনা করা। জ্ঞান এবং দক্ষতার সিস্টেমের আত্তীকরণ এবং উচ্চতর স্তরে রূপান্তর সহ একটি আদর্শ স্তরের ব্যবহারিক কাজ সম্পাদনের জন্য এর প্রয়োগ নির্ণয় করা, বিশ্লেষণ, তুলনা, উপসংহার আঁকতে সক্ষমতার বিকাশকে উন্নীত করা।
শিক্ষামূলক
বর্ধিত জটিলতার কাজগুলি সম্পাদন করুন, সাধারণ শেখার দক্ষতা বিকাশ করুন এবং চিন্তা করতে এবং নিয়ন্ত্রণ এবং আত্ম-নিয়ন্ত্রণ করতে শেখান
শিক্ষাবিদ
শিক্ষিত করতে, শেখার জন্য একটি ইতিবাচক মনোভাব, গণিতের প্রতি
পাঠের ধরন: জ্ঞানের সাধারণীকরণ এবং পদ্ধতিগতকরণ
কাজের ফর্ম: গোষ্ঠী, ব্যক্তি, পার্থক্য
সরঞ্জাম: স্বাধীন কাজের জন্য কার্ড, আলাদা কাজের জন্য, স্ব-নিয়ন্ত্রণ শীট, প্রজেক্টর।
ক্লাস চলাকালীন
আয়োজনের সময়
পাঠের লক্ষ্য এবং উদ্দেশ্য: "অ্যান্টিপ্রিমিটিভ" বিষয়ের উপাদানটিকে সংক্ষিপ্ত করা এবং একীভূত করা। ইন্টিগ্রাল - অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞা এবং সম্পত্তি, অ্যান্টিডেরিভেটিভের সারণী, অ্যান্টিডেরিভেটিভস খোঁজার নিয়ম, ইন্টিগ্রালের ধারণা, নিউটন-লাইবনিজ সূত্র, পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রফল গণনা করা। জ্ঞান এবং দক্ষতার সিস্টেমের আত্তীকরণ এবং উচ্চতর স্তরে রূপান্তর সহ একটি আদর্শ স্তরের ব্যবহারিক কাজ সম্পাদনের জন্য এর প্রয়োগ নির্ণয় করা, বিশ্লেষণ, তুলনা, উপসংহার আঁকতে সক্ষমতার বিকাশকে উন্নীত করা।
পাঠটি একটি খেলার আকারে হবে।
নিয়ম:
পাঠটি 6টি পর্যায় নিয়ে গঠিত। প্রতিটি পর্যায়ে পয়েন্ট একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক মূল্য. মূল্যায়ন শীটে, আপনি সমস্ত পর্যায়ে আপনার কাজের জন্য পয়েন্ট সেট করেন।
ধাপ 1. তাত্ত্বিক। গাণিতিক নির্দেশনা "টিক-ট্যাক-টো"।
ধাপ ২. ব্যবহারিক। স্বাধীন কাজ. সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট খুঁজুন।
পর্যায় 3. "উম ভাল, কিন্তু 2 ভাল।" নোটবুকে কাজ করুন এবং বোর্ডের লেপেলে 2 জন শিক্ষার্থী। ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজুন যার গ্রাফ বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে যায়)।
4. পর্যায়। "সঠিক ভুল"।
5. মঞ্চ। "একটি শব্দ তৈরি করুন" অখণ্ডের গণনা।
6. মঞ্চ। "তাড়াতাড়ি দেখতে।" রেখা দ্বারা আবদ্ধ পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রগুলির গণনা।
2. মূল্যায়ন শীট।
গাণিতিকহুকুম
স্বাধীন কাজ
মৌখিক প্রতিক্রিয়া
ভুলগুলো ঠিক করুন
একটি শব্দ আপ করুন
দেখতে তাড়াতাড়ি
9 পয়েন্ট
5+1 পয়েন্ট
1 পয়েন্ট
5 পয়েন্ট
5 পয়েন্ট
20 পয়েন্ট
3 মিনিট
5 মিনিট.
5 মিনিট.
6 মিনিট
2. জ্ঞান আপডেট করা:
মঞ্চ তাত্ত্বিক। গাণিতিক নির্দেশনা "টিক-ট্যাক-টো"
বিবৃতিটি সত্য হলে - X, মিথ্যা হলে - 0
ফাংশন চ(এক্স)কে একটি প্রদত্ত ব্যবধানে অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয় যদি সকলের জন্য এই ব্যবধান থেকে সমতা হয়
একটি পাওয়ার ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ সর্বদা একটি পাওয়ার ফাংশন
একটি যৌগিক ফাংশন একটি antiderivative
এটি নিউটন-লাইবনিজ সূত্র
বক্ররেখার ট্রাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল
ফাংশনের সমষ্টির অ্যান্টিডেরিভেটিভ = একটি প্রদত্ত ব্যবধানে বিবেচিত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সমষ্টি
অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি একটি ধ্রুবক C দ্বারা X অক্ষ বরাবর সমান্তরাল অনুবাদ দ্বারা প্রাপ্ত হয়।
একটি ফাংশনের গুণফল একটি সংখ্যার গুণফল প্রদত্ত ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভের গুণফলের সমান।
সমস্ত antiderivatives সেট ফর্ম আছে
মোট ৯ পয়েন্ট
3. একত্রীকরণ এবং সাধারণীকরণ
2 মঞ্চ . স্বাধীন কাজ.
"উদাহরণ তত্ত্বের চেয়ে ভাল শেখায়।"
আইজাক নিউটন
সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট খুঁজুন:
1 বিকল্প
সমস্ত আদিম সেট সমস্ত আদিম সেটবিকল্প
আত্ম পরীক্ষা.
সঠিকভাবে সম্পন্ন কাজ জন্য
বিকল্প 1 - 5 পয়েন্ট,
বিকল্প 2 +1 পয়েন্টের জন্য
যোগ করার জন্য 1 পয়েন্ট।
মঞ্চ . "মন ভাল, ক - 2 ভাল।"
দুই ছাত্রের বোর্ডের ল্যাপেল এবং বাকি সব নোটবুকে কাজ করুন।
ব্যায়াম
1 বিকল্প। ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজুন, যার গ্রাফটি A বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (3; 2)
বিকল্প 2। একটি ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজুন যার গ্রাফ মূলের মধ্য দিয়ে যায়।
পারস্পরিক যাচাইকরণ।
সঠিক সমাধানের জন্য -5 পয়েন্ট।
মঞ্চ . আপনি যদি চান, বিশ্বাস করুন - আপনি যদি চান, যাচাই করুন।
টাস্ক: ভুল সংশোধন করুন, যদি থাকে।
একটি ত্রুটি সহ ব্যায়াম খুঁজুন:
মঞ্চ . একটি শব্দ রচনা করুন।
Integrals গণনা
1 বিকল্প।
বিকল্প
উত্তরঃ ব্রাভো
আত্ম পরীক্ষা. একটি সঠিকভাবে সম্পন্ন কাজের জন্য - 5 পয়েন্ট।
মঞ্চ "তাড়াতাড়ি দেখতে।"
গণনা রেখা দ্বারা আবদ্ধ পরিসংখ্যানের এলাকা।
কাজ: একটি চিত্র আঁকুন এবং এর ক্ষেত্রফল গণনা করুন।
2 পয়েন্ট
2 পয়েন্ট
4 পয়েন্ট
6 পয়েন্ট
6 পয়েন্ট
শিক্ষকের সাথে পৃথকভাবে পরীক্ষা করা হয়েছে।
সঠিকভাবে সমস্ত কাজ সম্পন্ন করার জন্য - 20 পয়েন্ট
সারসংক্ষেপ:
পাঠে প্রধান প্রশ্নগুলো কভার করা হয়েছে
বিষয়ের উপর পাঠ খুলুন
"সাধারণ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য।
অনির্দিষ্ট অখণ্ডের বৈশিষ্ট্য”।
২ ঘন্টা.
গণিতের গভীর অধ্যয়ন সহ 11a ক্লাস
সমস্যা উপস্থাপনা।
সমস্যা-অনুসন্ধান শেখার প্রযুক্তি।
প্রাথমিক এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য।
অনির্দিষ্ট অখণ্ডের বৈশিষ্ট্য।
পাঠের উদ্দেশ্য:
মানসিক কার্যকলাপ সক্রিয়;
গবেষণা পদ্ধতির আত্তীকরণে অবদান রাখুন
- জ্ঞানের আরও দৃঢ় আত্তীকরণ নিশ্চিত করতে।
পাঠের উদ্দেশ্য:
antiderivative ধারণা চালু;
একটি প্রদত্ত ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেটে উপপাদ্য প্রমাণ করুন (একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করে);
একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা প্রবর্তন;
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করুন;
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করার দক্ষতা বিকাশ.
প্রাথমিক কাজ:
পার্থক্যের নিয়ম এবং সূত্রগুলি পুনরাবৃত্তি করুন
ডিফারেনশিয়ালের ধারণা।
সমস্যা সমাধানের প্রস্তাব করা হয়েছে। বোর্ডে সমস্যা লেখা আছে।
শিক্ষার্থীরা 1, 2 সমস্যা সমাধানের জন্য উত্তর দেয়।
(ডিফারেনশিয়াল ব্যবহারে সমস্যা সমাধানের অভিজ্ঞতা আপডেট করা
উদ্ধৃতি)।
1. শরীরের গতির নিয়ম S(t) , এটির তাত্ক্ষণিক খুঁজুন
যে কোনো সময়ে গতি।
- V(t) = S(t)।
2. বিদ্যুৎ প্রবাহের পরিমাণ জেনেও
কন্ডাকটরের মাধ্যমে q(t) = 3t সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয় 
- 2 টি,
যে কোনোটিতে বর্তমান শক্তি গণনা করার জন্য একটি সূত্র বের করুন
বিন্দু সময় টি.
- I(t) = 6t - 2।
3 সময়ের প্রতিটি মুহূর্তে একটি চলমান শরীরের গতি জানা
আমি, এর গতির আইন খুঁজে বের করতে।
জেনেও যে কোন শক্তিতে কন্ডাক্টরের মধ্য দিয়ে কারেন্ট চলে যায়
বিদ্যুতের পরিমাণ নির্ণয় করা
কন্ডাক্টরের মাধ্যমে।
শিক্ষক: 3 এবং 4 নম্বর ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করা কি সম্ভব?
আমাদের কি তহবিল আছে?
(একটি সমস্যা পরিস্থিতি তৈরি করা)।
ছাত্র অনুমান:
- এই সমস্যা সমাধানের জন্য, একটি অপারেশন চালু করা প্রয়োজন,
পার্থক্যের বিপরীত।
পার্থক্য অপারেশন একটি প্রদত্ত তুলনা
ফাংশন F (x) এর ডেরিভেটিভ।
F(x) = f(x)।
শিক্ষকঃ পার্থক্যের কাজ কি?
ছাত্রদের উপসংহার:
প্রদত্ত ফাংশন f(x) এর উপর ভিত্তি করে এমন একটি ফাংশন খুঁজুন
F (x) যার ডেরিভেটিভ হল f (x) , অর্থাৎ
f(x) = F(x)।
এই অপারেশন বলা হয় ইন্টিগ্রেশন, আরো সঠিকভাবে
অনির্দিষ্ট একীকরণ।
গণিতের যে বিভাগটি পদার্থবিদ্যা এবং জ্যামিতিতে সমস্যা সমাধানের জন্য একীভূত ফাংশন এবং এর প্রয়োগগুলির ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে তাকে ইন্টিগ্রেল ক্যালকুলাস বলা হয়।
ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস হল গাণিতিক বিশ্লেষণের একটি বিভাগ, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের সাথে এটি গাণিতিক বিশ্লেষণের যন্ত্রপাতির ভিত্তি তৈরি করে।
প্রাকৃতিক বিজ্ঞান এবং গণিতের বিপুল সংখ্যক সমস্যার বিবেচনা থেকে ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসের উদ্ভব হয়েছে। তাদের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল একটি পরিচিত, তবে সম্ভবত পরিবর্তনশীল, চলাচলের গতি এবং আরও অনেক প্রাচীন সমস্যা - জ্যামিতিক চিত্রগুলির ক্ষেত্র এবং আয়তন গণনা করা একটি নির্দিষ্ট সময়ে ভ্রমণ করা দূরত্ব নির্ধারণের শারীরিক সমস্যা।
এই বিপরীত অপারেশনের অনিশ্চয়তা কী তা দেখার বাকি রয়েছে।
আসুন একটি সংজ্ঞা প্রবর্তন করা যাক। (সংক্ষেপে প্রতীকীভাবে লেখা
ডেস্কের উপর).
সংজ্ঞা 1. কিছু ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত ফাংশন F (x)
ke X, প্রদত্ত ফাংশনের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ বলা হয়
একই ব্যবধানে যদি সব x এর জন্য 
এক্স
সমতা
F(x) = f (x) বা d F(x) = f (x) dx।
এই ক্ষেত্রে. (x) = 2x, এই সমতা বোঝায় যে ফাংশন
x পুরো সংখ্যা লাইনে অ্যান্টিডেরিভেটিভ
2x ফাংশনের জন্য।
একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করে অনুশীলনটি করুন
নং 2 (1,3,6)। পরীক্ষা করুন যে ফাংশনটি একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ
ফাংশন f জন্য noah, যদি
1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x 
- 4 পাপ 2x। 2) F(x) = tg 
x - cos 5x, f (x) = 
+ 5 পাপ 5x।
3) F(x) = x 
sin x + 
, f(x) = 4x sinx + x cosx + 
.
উদাহরণের সমাধান শিক্ষার্থীরা বোর্ডে লিখে, মন্তব্য করে
আপনার কর্ম চালনা.
x ফাংশন কি একমাত্র অ্যান্টিডেরিভেটিভ
ফাংশন 2x জন্য?
শিক্ষার্থীরা উদাহরণ দেয়
x + 3; x - 92, ইত্যাদি ,
শিক্ষার্থীরা তাদের নিজস্ব সিদ্ধান্তে আঁকে:
প্রতিটি ফাংশনে অসীমভাবে অনেকগুলি অ্যান্টিডেরিভেটিভ রয়েছে।
x + C ফর্মের যেকোনো ফাংশন, যেখানে C হল কিছু সংখ্যা,
x এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ।
অ্যান্টিডেরিভেটিভ থিওরেমটি ডিক্টেশনের অধীনে একটি নোটবুকে লেখা হয়েছে
শিক্ষক
উপপাদ্য। যদি ফাংশন f এর ব্যবধানে একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ থাকে
F, তারপর যেকোনো সংখ্যা C এর জন্য F + C ফাংশনও
f এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ। অন্যান্য আদিম
এক্স-এ ফাংশনটি করে না।
প্রমাণটি একজন শিক্ষকের নির্দেশনায় ছাত্রদের দ্বারা পরিচালিত হয়।
ক) কারণ F হল ব্যবধান X-এ f এর জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ, তারপর
F(x) = f(x) সকল x X এর জন্য।
তারপর x X এর জন্য যেকোনো C এর জন্য আমাদের আছে:
(F(x) + C) = f(x)। এর মানে হল F(x)+Cও
এক্স-এ অ্যান্টিডেরিভেটিভ চ।
খ) আসুন প্রমাণ করি যে X-এর অন্যান্য অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য ফাংশন f
নেই.
অনুমান করুন যে Ф এছাড়াও এক্স-এ f এর জন্য একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ।
তারপর Ф(x) = f (x) এবং তাই সমস্ত x X এর জন্য আমাদের আছে:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, অতএব
X-এর উপর Ф - F ধ্রুবক। ধরুন Ф (x) - F (x) = C, তারপর
Ф (x) = F (x) + C, তাই যেকোনো অ্যান্টিডেরিভেটিভ
X-এ ফাংশন f এর ফর্ম F + C আছে।
শিক্ষকঃ সব প্রোটোটাইপ খুঁজে বের করার কাজ কি?
এই ফাংশন জন্য?
শিক্ষার্থীরা নিম্নলিখিত উপসংহারে আসে:
সমস্ত antiderivatives খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধান করা হয়
যে কোনো একটি খুঁজে পাওয়া: যদি যেমন একটি
ভিন্ন পাওয়া যায়, তারপর এটি থেকে অন্য কোনো পাওয়া যায়
একটি ধ্রুবক যোগ করা হচ্ছে
শিক্ষক একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা প্রণয়ন করেন।
সংজ্ঞা 2. ফাংশনের সমস্ত অ্যান্টিডেরিভেটিভের সেট f
এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বলা হয়
ফাংশন
উপাধি. 
; 
- অবিচ্ছেদ্য পড়া হয়.
= F (x) + C, যেখানে F হল একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভস
f, C সেটের মধ্য দিয়ে চলে
বাস্তব সংখ্যার.
চ - ইন্টিগ্র্যান্ড;
f (x)dx - ইন্টিগ্র্যান্ড;
x - ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল;
C হল একীকরণের ধ্রুবক।
শিক্ষার্থীরা পাঠ্যপুস্তক থেকে অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে এবং একটি নোটবুকে সেগুলি লিখে।
.
শিক্ষার্থীরা নোটবুকে সমাধান লেখে, ব্ল্যাকবোর্ডে কাজ করে
লোড হচ্ছে...