Hajde da radimo sa kvadratne jednadžbe... Ovo su vrlo popularne jednadžbe! U svom najopštijem obliku, kvadratna jednadžba izgleda ovako:
Na primjer:
Evo a =1; b = 3; c = -4
Evo a =2; b = -0,5; c = 2,2
Evo a =-3; b = 6; c = -18
Pa, shvatili ste ...
Kako riješiti kvadratne jednadžbe? Ako u ovom obliku imate kvadratnu jednadžbu, sve je već jednostavno. Sećanje na čarobnu reč diskriminatoran ... Retki srednjoškolac nije čuo ovu reč! Izraz „odlučivanje preko diskriminatora“ je ohrabrujući i ohrabrujući. Jer nema potrebe čekati prljave trikove diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje. Dakle, formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:
Izraz pod znakom korijena je isti diskriminatoran... Kao što vidite, za pronalaženje x koristimo samo a, b i c... One. koeficijente iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c u ovu formulu i računajte. Zamjenski sa vašim znacima! Na primjer, za prvu jednadžbu a =1; b = 3; c= -4. Pa zapisujemo:
Primjer je gotovo riješen:
To je sve.
Koji su slučajevi mogući kada se koristi ova formula? Postoje samo tri slučaja.
1. Diskriminator je pozitivan. To znači da iz njega možete izvući korijen. Dobar korijen se izvlači, ili loš - drugo pitanje. Važno je šta se u principu izvlači. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.
2. Diskriminator je nula. Onda imate jedno rješenje. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična... Ali ovo igra ulogu u nejednakostima, tamo ćemo to pitanje detaljnije proučiti.
3. Diskriminator je negativan. Iz negativnog broja ne vadi se kvadratni korijen. Pa dobro. To znači da nema rješenja.
Sve je vrlo jednostavno. A šta mislite da je nemoguće pogriješiti? Pa da, kako ...
Najčešće greške su zabuna sa znakovima značenja. a, b i c... Umjesto toga, ne sa njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), Već sa zamjenom negativnih vrijednosti u formuli za izračunavanje korijena. Ovdje se sprema detaljan zapis formule s određenim brojevima. Ako postoje računski problemi, učiniti!
Pretpostavimo da morate riješiti ovaj primjer:
Evo a = -6; b = -5; c = -1
Recimo da znate da rijetko dobivate odgovore prvi put.
Pa, ne budi lijen. Za pisanje dodatnog retka potrebno je 30 sekundi i broj grešaka će se naglo smanjiti... Zato detaljno pišemo, sa svim zagradama i znakovima:
Čini se da je nevjerojatno teško tako pažljivo slikati. Ali samo se čini da jeste. Probaj. Pa, ili izaberi. Šta je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću vas. Nakon nekog vremena više neće biti potrebno tako pažljivo slikati. To će se riješiti samo po sebi. Pogotovo ako koristite dolje opisane praktične tehnike. Ovaj zli primjer s hrpom nedostataka može se riješiti jednostavno i bez grešaka!
Dakle, kako riješiti kvadratne jednadžbe kroz diskriminator smo se sjetili. Ili naučeno, što takođe nije loše. Znati kako se pravilno identifikovati a, b i c... Znate kako pažljivo zamijenite ih u korijenskoj formuli i pažljivo pročitajte rezultat. Shvatate da je ključna riječ ovdje pažljivo?
Međutim, kvadratne jednadžbe često izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:
to nepotpune kvadratne jednadžbe ... Oni se takođe mogu rešiti putem diskriminatora. Samo trebate pravilno shvatiti čemu su jednaki a, b i c.
Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; a c?? Uopšte ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Zamijenite nulu u formuli umjesto c, i uspećemo. Isto je i sa drugim primjerom. Ovdje nema samo nule sa, a b !
Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo lakše. Bez ikakvog diskriminatora. Razmotrimo prvu nepotpunu jednadžbu. Šta možete učiniti tamo s lijeve strane? Možete staviti x izvan zagrada! Izvadimo to.
I šta s tim? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako, i samo ako, kada je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne verujete mi? Pa, onda pomislite na dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to ...
Stoga s pouzdanjem možemo napisati: x = 0, ili x = 4
Sve. To će biti korijeni naše jednadžbe. Oboje odgovaraju. Zamjenom bilo kojeg od njih u originalnu jednadžbu dobivamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije nego putem diskriminatora.
Druga jednadžba se također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobijamo:
Ostaje izdvojiti korijen iz 9, i to je to. Pokazaće se:
Takođe dva korena ... x = +3 i x = -3.
Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem x u zagrade, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno, a zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izdvojiti korijen iz x -a, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema što staviti van zagrada ...
Za sada, uzmite u obzir najbolje prakse koje će drastično smanjiti greške. Baš one koje zbog nepažnje ... zbog čega onda boli i vrijeđa ...
Prvi prijem... Nemojte biti lijeni donijeti ga u standardni oblik prije nego što riješite kvadratnu jednadžbu. Šta to znači?
Recimo, nakon nekih transformacija, dobili ste sljedeću jednadžbu:
Ne žurite s pisanjem osnovne formule! Gotovo ćete sigurno pomiješati izglede. a, b i c. Pravilno sastavite primjer. Prvo je X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:
I opet, ne žurite! Minus ispred x na kvadratu može vas jako rastužiti. Lako je zaboraviti ... Riješite se minusa. Kako? Da, kako je naučeno u prethodnoj temi! Morate pomnožiti cijelu jednadžbu sa -1. Dobijamo:
Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminaciju i dovršiti primjer. Uradi sam. Trebali biste imati korijene 2 i -1.
Prijem drugog. Proverite korenje! Prema Vietinoj teoremi. Ne brinite, sve ću vam objasniti! Provjeravam poslednja stvar jednačina. One. onaj kojim smo zapisali formulu za korijene. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je jednostavna. Dovoljno ih je pomnožiti. Trebali biste dobiti besplatnog člana, tj. u našem slučaju -2. Obratite pažnju, ne 2, već -2! Besplatni član sa mojim znakom
... Ako nije upalilo, onda je već negdje zeznuto. Potražite grešku. Ako uspije, morate presaviti korijenje. Posljednja i posljednja provjera. Trebali biste dobiti koeficijent b sa nasuprot
poznat. U našem slučaju, -1 + 2 = +1. I koeficijent bšto je ispred x -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem u takvim jednadžbama provjerite! Biće manje grešaka.
Treća recepcija... Ako u jednadžbi imate razlomljene koeficijente, riješite se razlomaka! Pomnožite jednadžbu sa zajedničkim nazivnikom kako je opisano u prethodnom odjeljku. Prilikom rada s razlomom, iz nekog razloga dolazi do grešaka ...
Usput, obećao sam pojednostaviti zli primjer s hrpom nedostataka. Molim te! Evo ga.
Kako se ne bismo zbunili u minusima, jednadžbu pomnožimo s -1. Dobijamo:
To je sve! Zadovoljstvo je odlučiti se!
Dakle, da sumiramo temu.
Praktični savjeti:
1. Prije rješavanja kvadratnu jednadžbu dovodimo u standardni oblik, sastavljamo desno.
2. Ako ispred x u kvadratu postoji negativan koeficijent, eliminiramo ga množenjem cijele jednadžbe sa -1.
3. Ako su koeficijenti razlomljeni, razlomke eliminiramo množenjem cijele jednadžbe s odgovarajućim faktorom.
4. Ako je x na kvadrat čisto, koeficijent je jednak jedinici, rješenje se može lako provjeriti pomoću Vietine teoreme. Učini to!
Frakcijske jednadžbe. ODZ.
Nastavljamo svladavanjem jednadžbi. Već znamo raditi s linearnim i kvadratnim jednadžbama. Zadnji pogled ostaje - frakcijske jednadžbe... Ili se nazivaju i mnogo čvršće - frakcijske racionalne jednadžbe... Ovo je isto.
Frakcijske jednadžbe.
Kao što naziv implicira, razlomci su uvijek prisutni u ovim jednadžbama. Ali ne samo razlomci, već i razlomci koji imaju nepoznato u nazivniku... Najmanje jedan. Na primjer:
Dopustite mi da vas podsjetim da ako nazivnici sadrže samo brojevi, ovo su linearne jednadžbe.
Kako rešiti frakcijske jednadžbe?? Prije svega, riješite se razlomaka! Nakon toga, jednadžba se najčešće pretvara u linearnu ili kvadratnu. I onda znamo što nam je činiti ... U nekim slučajevima to se može pretvoriti u identitet, poput 5 = 5, ili u pogrešan izraz, poput 7 = 2. Ali to se rijetko događa. Ovo ću spomenuti u nastavku.
Ali kako se riješiti razlomaka!? Veoma jednostavno. Primjenjujući sve iste identične transformacije.
Moramo pomnožiti cijelu jednadžbu istim izrazom. Tako da se svi imenitelji redukuju! Sve će vam odjednom postati lakše. Dopustite mi da objasnim primjerom. Pretpostavimo da moramo riješiti jednadžbu:
Kako ste predavali u nižim razredima? Prenosimo sve u jednom smjeru, dovodimo do zajedničkog nazivnika itd. Zaboravi to kao ružan san! To bi trebalo biti učinjeno kada zbrajate ili oduzimate razlomačne izraze. Ili rad s nejednakostima. I u jednadžbama odmah pomnožimo obje strane izrazom koji će nam dati priliku da sve imenitelje smanjimo (tj. U suštini, zajedničkim nazivnikom). I koji je to izraz?
S lijeve strane, množenje sa x + 2... A na desnoj strani množite sa 2. To znači da se jednadžba mora pomnožiti sa 2 (x + 2)... Množimo:
Ovo je uobičajeno množenje razlomaka, ali ću ga detaljno napisati:
Imajte na umu da još ne širim zagrade. (x + 2)! Dakle, u cijelosti to pišem:
S lijeve strane potpuno je smanjen (x + 2), a na desnoj 2. Što je potrebno! Nakon smanjenja dobijamo linearno jednačina:
I svi će riješiti ovu jednadžbu! x = 2.
Riješimo još jedan primjer, malo složeniji:
Ako se sjetimo da je 3 = 3/1, i 2x = 2x / 1, možete napisati:
I opet se rješavamo onoga što nam se zapravo ne sviđa - razlomaka.
Vidimo da za poništavanje nazivnika sa x, morate pomnožiti razlomak sa (x - 2)... Nekoliko nas ne ometa. Pa, mi se množimo. Celu lijeva strana i celina desna strana:
Opet zagrade (x - 2) Ne otkrivam. Radim sa zagradama u cjelini, kao da je to jedan broj! To uvijek treba učiniti, inače se ništa neće smanjiti.
Sa osjećajem dubokog zadovoljstva, rezali smo (x - 2) i dobivamo jednadžbu bez ikakvih razlomaka, u ravnalu!
A sada otvaramo zagrade:
Dajemo slične, prebacujemo sve na lijevu stranu i dobivamo:
Klasična kvadratna jednadžba. Ali minus koji slijedi nije dobar. Uvijek ga se možete riješiti, množenjem ili dijeljenjem sa -1. Ali ako pažljivo pogledate primjer, primijetit ćete da je najbolje podijeliti ovu jednadžbu sa -2! Jednim potezom minus će nestati, a šanse će postati ljepše! Podijelite sa -2. S lijeve strane - pojam po pojam, a s desne strane - jednostavno podijelite nulu sa -2, nulu i dobijte:
Rješavamo putem diskriminatora i provjeravamo Vietinom teoremom. Dobijamo x = 1 i x = 3... Dva korena.
Kao što vidite, u prvom slučaju, jednadžba je nakon transformacije postala linearna, ali ovdje je kvadratna. Događa se da se nakon oslobađanja od razlomaka sve x -ove reduciraju. Ostaje nešto poput 5 = 5. To znači da x može biti bilo šta... Šta god da je, i dalje će se smanjivati. I dobijate iskrenu istinu, 5 = 5. No, nakon što se riješite razlomaka, može se pokazati da je potpuno neistinita, poput 2 = 7. Ovo znači to nema rešenja! Sa bilo kojim x, ispostavlja se da nije istina.
Shvatio glavno rješenje frakcijske jednadžbe?? Jednostavno je i logično. Mijenjamo izvorni izraz tako da nestane sve što nam se ne sviđa. Ili ometa. U ovom slučaju to su razlomci. Isto ćemo učiniti sa svim vrstama složenih primjera s logaritmima, sinusima i drugim strahotama. Mi uvek riješit ćemo se svega ovoga.
Međutim, moramo promijeniti izvorni izraz u smjeru koji nam je potreban. prema pravilima, da ... Ovladavanje koje je priprema za ispit iz matematike. Tako da to savladavamo.
Sada ćemo naučiti kako zaobići jednu od glavne zasjede na ispitu! Ali prvo, da vidimo hoćete li u to ući ili ne?
Pogledajmo jednostavan primjer:
Stvar je već poznata, množimo oba dijela sa (x - 2), dobijamo:
Podsjećam vas, sa zagradama (x - 2) radimo kao jedan cijeli izraz!
Ovdje više nisam napisao 1 u nazivnicima, to je nedostojno ... I nisam povukao zagrade u nazivnicima, osim x - 2 nema ništa, ne morate crtati. Skraćujemo:
Otvaramo zagrade, pomičemo sve ulijevo, dajemo slične:
Rješavamo, provjeravamo, dobivamo dva korijena. x = 2 i x = 3... U redu.
Pretpostavimo da zadatak kaže zapisati korijen ili njihov zbir ako postoji više korijena. Šta ćemo pisati?
Ako odlučite da je odgovor 5, vi bili u zasedi... I zadatak vam se neće računati. Uzalud su radili ... Tačan odgovor 3.
Sta je bilo?! A ti pokušaj provjeriti. Zamijenite vrijednosti nepoznatog u original primjer. A ako je na x = 3 s nama će sve sjajno narasti, dobivamo 9 = 9, zatim s x = 2 podjela na nulu! Ono što se ne može učiniti kategorički. Sredstva x = 2 nije rješenje i ne uzima se u obzir u odgovoru. Ovo je takozvani vanjski ili dodatni korijen. Samo odustajemo. Poslednji koren je jedan. x = 3.
Kako to ?! - Čujem ogorčene usklike. Učili su nas da se jednadžba može pomnožiti izrazom! Ovo je identična transformacija!
Da, identično. S malim uvjetom - izrazom kojim množimo (dijelimo) - nonzero... A x - 2 at x = 2 je jednako nuli! Tako da je sve pošteno.
I šta sad mogu učiniti ?! Ne množite izrazom? Trebate li provjeravati svaki put? Opet nije jasno!
Mirno! Bez panike!
U ovoj teškoj situaciji spasit će nas tri čarobna slova. Znam šta mislite. Tačno! to ODZ ... Raspon dopuštenih vrijednosti.
Pomoću ovog matematičkog programa možete riješiti kvadratnu jednadžbu.
Program ne samo da daje odgovor na problem, već prikazuje i proces rješavanja na dva načina:
- upotrebom diskriminatora
- koristeći Vietin teorem (ako je moguće).
Štaviše, odgovor se prikazuje tačnim, a ne približnim.
Na primjer, za jednadžbu \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) odgovor se prikazuje u ovom obliku:
Ovaj program može biti koristan starijim učenicima srednjih škola u pripremama za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti tutora ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite što prije obaviti domaću zadaću iz matematike ili algebre? U ovom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.
Na ovaj način možete sami voditi i / ili poučavati svoju mlađu braću ili sestre, dok se povećava nivo obrazovanja u području problema koji se rješavaju.
Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.
Pravila za unos kvadratnog polinoma
Bilo koje latinično slovo može se koristiti kao varijabla.
Na primjer: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.
Brojevi se mogu unijeti kao cijeli ili kao razlomci.
Štoviše, razlomljeni se brojevi mogu unijeti ne samo u obliku decimalnog broja, već i u obliku običnog razlomka.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Kod decimalnih razlomaka, razlomljeni dio od cjeline može se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, decimale možete unijeti ovako: 2,5x - 3,5x ^ 2
Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može se koristiti kao brojnik, nazivnik i cijeli dio razlomka.
Nazivnik ne može biti negativan.
Prilikom unosa numeričkog razlomka, brojnik se odvaja od nazivnika znakom podjele: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka ampersandom: &
Ulaz: 3 i 1/3 - 5 i 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Prilikom unosa izraza mogu se koristiti zagrade... U ovom slučaju, pri rješavanju kvadratne jednadžbe, prvo se pojednostavljuje uvedeni izraz.
Na primjer: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)
Odlučite se
Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i da program možda neće raditi.
Možda ste omogućili AdBlock.
U tom slučaju onemogućite i osvježite stranicu.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo uputstava o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.
Jer Postoji mnogo ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sek ...
Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačite koji zadatak ti odluci i sta unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe
Svaka od jednačina
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
ima formu
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednadžbe se nazivaju kvadratne jednadžbe.
Definicija.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \ (a \ neq 0 \).
Brojevi a, b i c koeficijenti su kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b - drugi koeficijent, a broj c - slobodni član.
U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je \ (a \ neq 0 \) najveća snaga varijable x kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednadžba.
Primijetimo da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stepena, budući da je njena lijeva strana polinom drugog stepena.
Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 1 redukovana kvadratna jednačina... Na primjer, reducirane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 + bx + c = 0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednadžba naziva nepotpuna kvadratna jednadžba... Dakle, jednadžbe -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b = 0, u drugom c = 0, u trećem b = 0 i c = 0.
Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri vrste:
1) ax 2 + c = 0, gdje \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, gdje \ (b \ neq 0 \);
3) ax 2 = 0.
Razmotrimo rješenje jednadžbi svake od ovih vrsta.
Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0 za \ (c \ neq 0 \), prenesite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednadžbe s a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)
Budući da je \ (c \ neq 0 \), tada \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Ako je \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), jednadžba ima dva korijena.
Ako je \ (- \ frac (c) (a) Da bi se riješila nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx = 0 sa \ (b \ neq 0 \) faktorom njegove lijeve strane podijelite na faktore i dobijete jednadžbu
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ start (niz) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (niz) \ udesno. \)
Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx = 0 za \ (b \ neq 0 \) uvijek ima dva korijena.
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 = 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 = 0 i stoga ima jedinstveni korijen 0.
Formula za korijene kvadratne jednadžbe
Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznatih i slobodni član različiti od nule.
Riješimo kvadratnu jednadžbu u općem obliku i kao rezultat dobivamo formulu za korijene. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.
Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0
Podijelivši oba njegova dijela sa a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Ovu jednadžbu transformiramo odabirom kvadrata binoma:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)
Radikalni izraz se naziva diskriminator kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 (latinsko "diskriminator" je diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Sada, koristeći zapis diskriminatora, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), gdje \ (D = b ^ 2-4ac \)
Očigledno je da:
1) Ako je D> 0, tada kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D = 0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ako D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminatora, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D> 0), jedan korijen (za D = 0) ili ne može imati korijene (za D Pri rješavanju kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, preporučljivo je postupiti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminator i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminator pozitivan ili jednak nuli, tada upotrijebite formulu korijena, ako je diskriminator negativan, zapišite da nema korijena.
Vietin teorem
Data kvadratna jednadžba ax 2 -7x + 10 = 0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom terminu. Bilo koja data kvadratna jednadžba koja ima korijene ima ovo svojstvo.
Zbir korijena date kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.
One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + px + q = 0 imaju svojstvo:
\ (\ lijevo \ (\ početak (niz) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (niz) \ desno. \)
Kvadratne jednadžbe često se pojavljuju pri rješavanju različitih problema iz fizike i matematike. U ovom članku ćemo pogledati kako riješiti ove jednakosti na univerzalni način "putem diskriminatora". U članku su dati i primjeri korištenja stečenog znanja.
O kojim jednačinama govorimo?
Donja slika prikazuje formulu u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski simboli a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.
Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" je ispred kvadratne varijable x. Ovo je najveća snaga prikazanog izraza, zbog čega se naziva kvadratnom jednadžbom. Često se koristi i njegovo drugo ime: jednadžba drugog reda. Sama vrijednost a je kvadratni koeficijent (stoji za varijablu na kvadrat), b je linearni koeficijent (nalazi se pored varijable podignute na prvu stepen), i na kraju, broj c je slobodni član.
Primijetite da je oblik jednadžbe prikazan na gornjoj slici uobičajen klasični kvadratni izraz. Osim toga, postoje i druge jednadžbe drugog reda u kojima koeficijenti b, c mogu biti nula.
Kada se problem postavi za rješavanje razmatrane jednakosti, to znači da je potrebno pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje prvo morate zapamtiti sljedeće: budući da je maksimalni stupanj x 2, ova vrsta izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako su pri rješavanju jednadžbe pronađene 2 vrijednosti x koje je zadovoljavaju, tada možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamjenjujući koji umjesto x, jednakost bi također bila istinita. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se korijenima.
Metode rješavanja jednadžbi drugog reda
Za rješavanje jednadžbi ovog tipa potrebno je poznavanje neke teorije o njima. U školskom tečaju algebre razmatraju se 4 različite metode rješavanja. Navedimo ih:
- korišćenjem faktorizacije;
- koristeći formulu za puni kvadrat;
- primjenom grafikona odgovarajuće kvadratne funkcije;
- koristeći diskriminacijsku jednadžbu.
Prednost prve metode leži u njenoj jednostavnosti, međutim, ne može se primijeniti na sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo nezgrapna. Treća metoda je poznata po svojoj jasnoći, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I na kraju, upotreba diskriminacijske jednadžbe univerzalan je i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednadžbe drugog reda. Stoga ćemo ga u članku samo razmotriti.
Formula za dobivanje korijena jednadžbe
Okrenimo se općenitom obliku kvadratne jednadžbe. Zapišimo: a * x² + b * x + c = 0. Prije upotrebe metode rješavanja "putem diskriminatora", jednakost uvijek treba svesti na pismeni oblik. To jest, mora se sastojati od tri pojma (ili manje ako je b ili c 0).
Na primjer, ako postoji izraz: x² -9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², tada morate prvo premjestiti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati pojmove koji sadrže varijablu x u iste moći.
U ovom slučaju ova operacija će dovesti do sljedećeg izraza: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, što je ekvivalentno jednadžbi 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (ovdje smo pomnožili lijevu i desne strane jednakosti za -1) ...
U gornjem primjeru, a = 6, b = 4, c = -8. Imajte na umu da se svi članovi jednakosti koja se razmatra uvijek međusobno sabiraju, pa ako se pojavi znak "-", to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, poput broja c u ovom slučaju.
Ispitavši ovu točku, sada ćemo se obratiti samoj formuli koja omogućuje dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Ima oblik prikazan na donjoj fotografiji.
Kao što vidite iz ovog izraza, on vam omogućava da dobijete dva korijena (trebali biste obratiti pažnju na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je u njega zamijeniti koeficijente b, c i a.
Diskriminatoran koncept
U prethodnom odlomku data je formula koja vam omogućuje brzo rješavanje bilo koje jednadžbe drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminatorom, odnosno D = b²-4 * a * c.
Zašto je ovaj dio formule istaknut, pa čak ima i svoj naziv? Činjenica je da diskriminator povezuje sva tri koeficijenta jednadžbe u jedan izraz. Ova posljednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, koje se mogu izraziti na sljedećoj listi:
- D> 0: jednakost ima 2 različita rješenja, oba su stvarni brojevi.
- D = 0: Jednačina ima samo jedan korijen i pravi je broj.
Zadatak utvrđivanja diskriminatora
Navedimo jednostavan primjer kako pronaći diskriminatora. Neka je dana sljedeća jednakost: 2 * x²-4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
Dovedimo to u standardni oblik, dobivamo: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (-4-7) = 0, odakle dolazimo do jednakosti : -2 * x² + 2 * x -11 = 0. Ovdje je a = -2, b = 2, c = -11.
Sada možete koristiti imenovanu formulu za diskriminator: D = 2² - 4 * ( - 2) * ( - 11) = -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da je diskriminator u primjeru manji od nule, tada možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema stvarne korijene. Njegovo rješenje bit će samo složeni brojevi.
Primjer nejednakosti kroz diskriminator
Riješimo probleme nešto drugačijeg tipa: s obzirom na jednakost -3 * x² -6 * x + c = 0. Potrebno je pronaći takve vrijednosti c za koje je D> 0.
U ovom slučaju poznata su samo 2 od 3 koeficijenta, pa neće biti moguće izračunati točnu vrijednost diskriminatora, ali poznato je da je pozitivna. Posljednju činjenicu koristimo pri sastavljanju nejednakosti: D = (-6) ²-4 * (-3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Rješenje dobivene nejednakosti dovodi do rezultata: c> -3.
Provjerimo primljeni broj. Da biste to učinili, izračunajte D za 2 slučaja: c = -2 i c = -4. Broj -2 zadovoljava dobiveni rezultat (-2> -3), odgovarajući diskriminator će imati vrijednost: D = 12> 0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4 Dakle, svi brojevi c koji su veći od -3 zadovoljit će uvjet.
Primjer rješavanja jednadžbe
Predstavimo problem koji se ne sastoji samo u pronalaženju diskriminante, već i u rješavanju jednadžbe. Morate pronaći korijene za jednakost -2 * x² + 7-9 * x = 0.
U ovom primjeru, diskriminator je jednak sljedećoj vrijednosti: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Tada su korijeni jednadžbe definirani na sljedeći način: x = (9 ± √137) / (- 4). To su točne vrijednosti korijena, ako izračunate približni korijen, dobit ćete brojeve: x = -5.176 i x = 0.676.
Geometrijski problem
Riješimo problem koji neće zahtijevati samo sposobnost izračunavanja diskriminatora, već i upotrebu vještina apstraktnog mišljenja i znanja o tome kako napraviti kvadratne jednadžbe.
Bob je imao jorgan 5 x 4 metra. Dječak je htio sašiti kontinuiranu traku lijepe tkanine po obodu. Koliko će ova traka biti debela ako se zna da Bob ima 10 m² tkanine.
Neka traka ima debljinu xm, tada će površina tkanine duž duge strane pokrivača biti (5 + 2 * x) * x, a budući da postoje 2 dugačke stranice, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kratkoj strani, površina sašivenog materijala bit će 4 * x, budući da postoje 2 ove strane, dobivamo vrijednost 8 * x. Imajte na umu da je 2 * x dodano na dugu stranu jer se dužina pokrivača povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine ušivene na ćebe je 10 m². Dakle, dobivamo jednakost: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Za ovaj primjer, diskriminator je: D = 18²-4 * 4 * (-10) = 484. Njegov korijen je 22. Koristeći formulu, nalazimo tražene korijene: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Očigledno je da je od dva korijena samo broj 0.5 prikladan u izrazu problema.
Tako će traka tkanine koju će Bob sašiti na svoju deku biti široka 50 cm.
Na jednostavniji način. Da biste to učinili, postavite z izvan zagrada. Dobit ćete: z (az + b) = 0. Faktori se mogu zapisati: z = 0 i az + b = 0, jer oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0, drugi pomaknemo udesno s drugim predznakom. Dakle dobivamo z1 = 0 i z2 = -b / a. Ovo su koreni originala.
Ako postoji nepotpuna jednadžba oblika az² + s = 0, u ovom slučaju se pronalaze jednostavnim prenošenjem slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe. Pri tome promijenite i znak. Rezultat će biti az² = -s. Express z² = -c / a. Uzmite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivan i negativan kvadratni korijen.
Bilješka
Ako u jednadžbi postoje razlomljeni koeficijenti, pomnožite cijelu jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se riješite razlomaka.
Znanje o rješavanju kvadratnih jednadžbi potrebno je i školarcima i studentima, ponekad može pomoći i odrasloj osobi u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda rješavanja.
Rešavanje kvadratnih jednačina
Kvadratna jednadžba oblika a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c su numerički koeficijenti. Upamtite da se znak "+" može promijeniti u znak "-".Za rješavanje ove jednadžbe potrebno je koristiti Vietin teorem ili pronaći diskriminaciju. Najčešći način je pronaći diskriminaciju, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vietin teorem.
Da biste pronašli diskriminator (D), morate napisati formulu D = b ^ 2 - 4 * a * c. Vrijednost D može biti veća od, manja ili jednaka nuli. Ako je D veće ili manje od nule, tada će postojati dva korijena, ako je D = 0, tada ostaje samo jedan korijen, točnije, možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Uključite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.
Nakon što pronađete diskriminator, za pronalaženje x koristite formule: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, gdje je sqrt funkcija za izdvajanje kvadratnog korijena datog broja. Izračunavanjem ovih izraza pronaći ćete dva korijena vaše jednadžbe, nakon čega se jednadžba smatra riješenom.
Ako je D manje od nule, onda još uvijek ima korijene. U školi se ovaj odjeljak praktički ne proučava. Studenti bi trebali biti svjesni da se negativni broj pojavljuje u korijenu. Oni ga se rješavaju isticanjem zamišljenog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako zamišljenom elementu "i", koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D = sqrt (-20), tada je D = sqrt (20) * i nakon konverzije. Nakon ove transformacije, rješenje jednadžbe se svodi na isti nalaz korijena, kao što je gore opisano.
Vietina teorema je odabir vrijednosti x (1) i x (2). Koriste se dvije jednake jednadžbe: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = c. Štaviše, vrlo važna tačka je znak ispred koeficijenta b, imajte na umu da je ovaj znak suprotan od onog u jednadžbi. Na prvi pogled čini se da je vrlo lako izračunati x (1) i x (2), ali pri rješavanju ćete se suočiti s činjenicom da ćete morati izabrati brojeve.
Elementi za rješavanje kvadratnih jednadžbi
Prema pravilima matematike, neki se mogu razložiti na faktore: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, ako ste uspjeli na ovaj način transformirati ovu kvadratnu jednadžbu koristeći formule matematike, tada odgovor zapišite slobodno. x (1) i x (2) će biti jednaki susjednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki izrazi, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako nema ništa ispred x ^ 2 ili x, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.
Ova se tema na prvu može činiti kompliciranom zbog mnogih teških formula. Ne samo da kvadratne jednadžbe imaju dugačke zapise, već se i korijeni nalaze kroz diskriminator. Postoje ukupno tri nove formule. Nije lako zapamtiti. To je moguće tek nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.
Opšti prikaz kvadratne jednačine
Ovdje se predlaže njihovo eksplicitno bilježenje, kada se prvo zabilježi najviši stupanj, a zatim silaznim redoslijedom. Često postoje situacije kada uvjeti nisu u redu. Tada je bolje prepisati jednadžbu prema opadajućem stupnju stupnja varijable.
Uvedimo notaciju. Oni su predstavljeni u donjoj tabeli.
Ako prihvatimo ove oznake, sve se kvadratne jednadžbe svode na sljedeći zapis.
Štaviše, koeficijent a ≠ 0. Neka se ova formula označi brojem jedan.
Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Budući da je jedna od tri opcije uvijek moguća:
- u rastvoru će biti dva korena;
- odgovor je jedan broj;
- jednadžba uopće neće imati korijene.
I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u određenom slučaju.
Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi
Zadaci mogu sadržavati različite zapise. Neće uvijek izgledati kao opća kvadratna formula. Ponekad će mu nedostajati neki izrazi. Ovo što je gore napisano potpuna je jednadžba. Ako uklonite drugi ili treći izraz u njemu, dobit ćete nešto drugačije. Ti se zapisi nazivaju i kvadratne jednadžbe, samo nepotpuni.
Štaviše, samo termini u kojima koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti nula. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:
Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.
Diskriminacija i ovisnost broja korijena o njegovoj vrijednosti
Morate znati ovaj broj da biste izračunali korijene jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira na formulu za kvadratnu jednadžbu. Da biste izračunali diskriminator, morate upotrijebiti dolje navedenu jednakost koja će imati broj četiri.
Nakon zamjene vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različitim predznacima. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. Ako je broj negativan, korijeni kvadratne jednadžbe neće biti prisutni. Ako je jednako nuli, odgovor će biti jedan.
Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?
Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminatora. Nakon što je utvrđeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe, a njihov je broj poznat, morate upotrijebiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti ovu formulu.
Budući da sadrži znak “±”, postojat će dvije vrijednosti. Izraz kvadratnog korijena je diskriminator. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.
Formula broj pet. Isti zapis pokazuje da ako je diskriminator nula, oba korijena će uzeti iste vrijednosti.
Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, tada je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantne i varijabilne formule. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. No, na samom početku dolazi do zabune.
Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?
Ovde je sve mnogo jednostavnije. Nema čak ni potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već snimljeni za diskriminator i nepoznato.
Prvo razmotrite nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti, potrebno je izvaditi nepoznatu veličinu iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja ostaje u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prva je nužno jednaka nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.
Nepotpuna jednadžba broj tri rješava se prenosom broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim morate podijeliti s faktorom ispred nepoznatog. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i sjetiti se da ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.
Zatim se zapisuju neke radnje koje će vam pomoći da naučite rješavati sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Oni će pomoći učeniku da izbjegne neoprezne greške. Ovi nedostaci su razlog loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove radnje neće trebati stalno izvoditi. Zato što će se pojaviti stabilna vještina.
- Prvo morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. To jest, prvo pojam s najvišim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.
- Ako se minus pojavi ispred koeficijenta "a", to početniku može zakomplicirati rad na proučavanju kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu se sve jednakosti moraju pomnožiti sa "-1". To znači da će svi pojmovi promijeniti znak u suprotno.
- Na isti način, preporučuje se da se riješite razlomaka. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom da poništite nazivnike.
Primjeri
Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Prva jednadžba: x 2 - 7x = 0. Nije potpuna, pa se rješava kako je opisano za formulu broj dva.
Nakon napuštanja zagrada, ispada: x (x - 7) = 0.
Prvi korijen uzima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se pronaći iz linearne jednadžbe: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.
Druga jednadžba: 5x 2 + 30 = 0. Opet nekompletna. Jedino se rješava kako je opisano za treću formulu.
Nakon prenošenja 30 na desnu stranu jednakosti: 5x 2 = 30. Sada morate podijeliti sa 5. Ispostavlja se: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 = 0. U nastavku će rješavanje kvadratnih jednadžbi započeti prepisivanjem u standardni oblik: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da upotrijebite drugi korisni savjet i pomnoži sve sa minus jedan ... Ispostavlja se x 2 + 2x - 15 = 0. Prema četvrtoj formuli, morate izračunati diskriminator: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Treba ih izračunati pomoću pete formule. Ispostavlja se da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Tada je x 1 = 3, x 2 =-5.
Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x = 0 pretvara se u sljedeću: x 2 + 3x + 8 = 0. Njena diskriminacija je jednaka ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."
Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminaciju dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x = -12 / (2 * 1) = -6.
Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u činjenici da morate unijeti slične izraze prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog, bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj zapis: x 2 + 3x + 2. Nakon što se takvi izračuni prebroje, jednadžba će imati oblik: x 2 - x = 0. Pretvorilo se u nepotpuno ... Nešto slično tome već se smatralo malo višim. Korijeni ovoga će biti brojevi 0 i 1.
Učitavanje ...