Video tutorijal 2: Problem piramide. Volumen piramide

Video tutorijal 3: Problem piramide. Ispravna piramida

Predavanje: Piramida, njena osnova, bočna rebra, visina, bočna površina; trokutasta piramida; pravilne piramide

Piramida, njena svojstva

Piramida je trodimenzionalno tijelo koje u osnovi ima poligon, a sve njegove strane se sastoje od trouglova.

Poseban slučaj piramide je konus sa krugom u osnovi.

Pogledajmo glavne elemente piramide:

Apothem- ovo je segment koji povezuje vrh piramide sa sredinom donjeg ruba bočne strane. Drugim riječima, ovo je visina ivice piramide.

Na slici možete vidjeti trouglove ADS, ABS, BCS, CDS. Ako pažljivo pogledate imena, možete vidjeti da svaki trokut ima jedno zajedničko slovo u svom imenu - S. To znači da se sve bočne strane (trokuti) konvergiraju u jednoj tački, koja se zove vrh piramide .

Segment OS koji povezuje vrh sa tačkom preseka dijagonala osnove (u slučaju trokuta - u tački preseka visina) naziva se visina piramide.

Dijagonalni presjek je ravan koja prolazi kroz vrh piramide, kao i jednu od dijagonala baze.

Budući da se bočna površina piramide sastoji od trokuta, onda pronaći ukupna površina bočne površine, morate pronaći površinu svakog lica i zbrojiti ih. Broj i oblik lica ovisi o obliku i veličini stranica poligona koji leži u osnovi.

Jedina ravan u piramidi koja ne pripada njenom vrhu se zove osnovu piramide.

Na slici vidimo da je baza paralelogram, međutim, to može biti bilo koji proizvoljni poligon.

Svojstva:

Razmotrimo prvi slučaj piramide u kojoj ona ima ivice iste dužine:

• Oko osnove takve piramide može se nacrtati krug. Ako projektirate vrh takve piramide, tada će se njena projekcija nalaziti u središtu kruga.
• Uglovi u osnovi piramide su isti na svakoj strani.
• U ovom slučaju dovoljnim uslovom da se krug može opisati oko osnove piramide, kao i da su svi rubovi različite dužine, mogu se smatrati isti uglovi između baze i svake ivice lica.

Ako naiđete na piramidu u kojoj su uglovi između bočnih strana i baze jednaki, tada su tačna sljedeća svojstva:

• Moći ćete opisati krug oko osnove piramide, čiji je vrh projektovan tačno u centar.
• Ako svaku bočnu ivicu visine nacrtate do baze, tada će biti jednake dužine.
• Da biste pronašli bočnu površinu takve piramide, dovoljno je pronaći obim baze i pomnožiti ga s polovinom dužine visine.
• S bp = 0,5P oc H.
• Vrste piramida.
• U zavisnosti od toga koji poligon leži u osnovi piramide, oni mogu biti trouglasti, četvorougaoni itd. Ako u osnovi piramide leži pravilan poligon (sa jednake strane), tada će se takva piramida zvati regularna.

Pravilna trouglasta piramida

Ovaj video vodič će pomoći korisnicima da steknu ideju o temi Piramida. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju. Hajde da razmotrimo šta je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju.

Razmislite o poligonu A 1 A 2...A n, koja leži u α ravni, i tačku P, koji ne leži u α ravni (slika 1). Hajde da povežemo tačke P sa vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Dobijamo n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tako dalje.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ...A n, sastavljen od n-kvadrat A 1 A 2...A n I n trouglovi RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se zove n-piramida uglja. Rice. 1.

Rice. 1

Zamislite četverokutnu piramidu PABCD(Sl. 2).

R- vrh piramide.

A B C D- osnova piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovno rebro.

Od tačke R hajde da ispustimo okomicu RN na osnovnu ravan A B C D. Povučena okomica je visina piramide.

Rice. 2

Puna površina piramide sastoji se od bočne površine, odnosno površine svih bočnih površina i površine osnove:

S puni = S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

• njegova osnova je pravilan poligon;
• segment koji povezuje vrh piramide sa središtem baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverokutne piramide

Zamislite pravilnu četvorougaonu piramidu PABCD(Sl. 3).

R- vrh piramide. Osnova piramide A B C D- pravilan četvorougao, odnosno kvadrat. Dot O, tačka presjeka dijagonala, je centar kvadrata. znači, RO je visina piramide.

Rice. 3

Objašnjenje: u ispravnom n U trokutu, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice poklapaju se. Ovaj centar se naziva središte poligona. Ponekad kažu da je vrh projektovan u centar.

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem i određen je h a.

1. sve bočne ivice pravilne piramide su jednake;

2. Bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi.

Dokaz ovih svojstava ćemo dati na primjeru pravilne četverokutne piramide.

Dato: PABCD- pravilne četvorougaone piramide,

A B C D- kvadrat,

RO- visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vidi sl. 4.

Rice. 4

Dokaz.

RO- visina piramide. To jest, pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni JSC, VO, SO I DO ležeći u njemu. Dakle, trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD- pravougaona.

Zamislite kvadrat A B C D. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = VO = CO = DO.

Zatim pravokutni trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD nogu RO- general i noge JSC, VO, SO I DO su jednaki, što znači da su ti trouglovi jednaki na dvije strane. Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost segmenata, RA = PB = RS = PD. Tačka 1 je dokazana.

Segmenti AB I Ned su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = PB = RS. Dakle, trouglovi AVR I VSR - jednakokraki i jednaki sa tri strane.

Na sličan način nalazimo te trouglove ABP, VCP, CDP, DAP su jednakokraki i jednaki, kao što se zahtijeva da se dokaže u stavu 2.

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega baze i apoteme:

Da bismo to dokazali, izaberimo pravilnu trouglastu piramidu.

Dato: RAVS- pravilna trouglasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Vidi sl. 5.

Rice. 5

Dokaz.

RAVS- pravilna trouglasta piramida. To je AB= AC = BC. Neka O- centar trougla ABC, Onda RO je visina piramide. U osnovi piramide leži jednakostranični trokut ABC. primeti, to .

Trouglovi RAV, RVS, RSA- jednako jednakokraki trouglovi(po imovini). U trouglasta piramida tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. To znači da je površina bočne površine piramide:

S strana = 3S RAW

Teorema je dokazana.

Poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Nađite površinu bočne površine piramide.

Dato: pravilna četvorougaona piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Nađi: S strana. Vidi sl. 6.

Rice. 6

Rješenje.

Prema dokazanoj teoremi, .

Nađimo prvo stranu baze AB. Znamo da je poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide 3 m.

Zatim, m.

Pronađite obim kvadrata A B C D sa stranicom od 6 m:

Zamislite trougao BCD. Neka M- sredina strane DC. Jer O- srednji BD, To (m).

Trougao DPC- jednakokraki. M- srednji DC. To je, RM- medijana, a time i visina u trouglu DPC. Onda RM- apotema piramide.

RO- visina piramide. Onda pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni OM, ležeći u njemu. Nađimo apotemu RM od pravougaonog trougla ROM.

Sada možemo pronaći bočnu površinu piramide:

Odgovori Površina: 60 m2.

Poluprečnik kružnice opisane oko osnove pravilne trouglaste piramide jednak je m. Bočna površina je 18 m 2. Pronađite dužinu apoteme.

Dato: ABCP- pravilne trouglaste piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m2.

Nađi: . Vidi sl. 7.

Rice. 7

Rješenje.

U pravouglu ABC Dat je polumjer opisane kružnice. Hajde da nađemo stranu AB ovaj trougao koristeći zakon sinusa.

Poznavajući stranu pravilan trougao(m), hajde da nađemo njegov perimetar.

Po teoremi o bočnoj površini pravilne piramide, gdje je h a- apotema piramide. onda:

Odgovori: 4 m.

Dakle, pogledali smo šta je piramida, šta je pravilna piramida i dokazali smo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa skraćenom piramidom.

Bibliografija

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovne institucije(osnovni i profilni nivoi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
2. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšte obrazovanje obrazovne institucije/ Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Drfa, 008. - 233 str.: ilustr.

1. Internet portal "Yaklass" ()
2. Internet portal „Festival pedagoške ideje"Prvi septembar" ()
3. Internet portal “Slideshare.net” ()

Zadaća

1. Može li pravilan mnogokut biti osnova nepravilne piramide?
2. Dokazati da su disjunktne ivice pravilne piramide okomite.
3. Nađite vrijednost ugla diedara na strani osnove pravilne četverougaone piramide ako je apotema piramide jednaka strani njene osnove.
4. RAVS- pravilna trouglasta piramida. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla u osnovi piramide.

Nastavljamo sa razmatranjem zadataka uključenih u Jedinstveni državni ispit iz matematike. Već smo proučavali probleme u kojima je zadan uslov i potrebno je pronaći rastojanje između dve date tačke ili ugao.

Piramida je poliedar čija je osnova poligon, preostale strane su trokuti i imaju zajednički vrh.

Pravilna piramida je piramida u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a njen vrh je projektovan u centar osnove.

Pravilna četvorougaona piramida - osnova je kvadrat.Vrh piramide je projektovan u tački preseka dijagonala osnove (kvadrata).

ML - apotema
∠MLO - diedarski ugao u osnovi piramide
∠MCO - ugao između bočne ivice i ravni osnove piramide

U ovom članku ćemo pogledati probleme za rješavanje regularne piramide. Morate pronaći neki element, bočnu površinu, volumen, visinu. Naravno, morate znati Pitagorinu teoremu, formulu za površinu bočne površine piramide i formulu za pronalaženje volumena piramide.

U članku "" predstavlja formule koje su potrebne za rješavanje problema u stereometriji. Dakle, zadaci:

SABCD dot O- centar baze,S vrh, SO = 51, A.C.= 136. Pronađite bočnu ivicuS.C..

IN u ovom slučaju osnova je kvadrat. To znači da su dijagonale AC i BD jednake, da se sijeku i da su popolovljene točkom presjeka. Imajte na umu da u pravilnoj piramidi visina spuštena s njenog vrha prolazi kroz centar osnove piramide. Dakle, SO je visina i trokutSOCpravougaona. Tada prema Pitagorinoj teoremi:

Kako izvaditi korijen iz veliki broj.

Odgovor: 85

Odlučite sami:

U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD dot O- centar baze, S vrh, SO = 4, A.C.= 6. Pronađite bočnu ivicu S.C..

U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD dot O- centar baze, S vrh, S.C. = 5, A.C.= 6. Odredite dužinu segmenta SO.

U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD dot O- centar baze, S vrh, SO = 4, S.C.= 5. Odredite dužinu segmenta A.C..

SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. To je poznato AB= 7, a S.R.= 16. Nađi površinu bočne površine.

Površina bočne površine pravilne trokutaste piramide jednaka je polovini umnoška opsega osnove i apoteme (apotema je visina bočne površine pravilne piramide povučene iz njenog vrha):

Ili možemo reći ovo: površina bočne površine piramide jednaka je zbroju tri kvadrata bočne ivice. Bočne strane pravilne trouglaste piramide su trouglovi jednake površine. U ovom slučaju:

Odgovor: 168

Odlučite sami:

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. To je poznato AB= 1, a S.R.= 2. Nađi površinu bočne površine.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC R- sredina rebra B.C., S- vrh. To je poznato AB= 1, a površina bočne površine je 3. Nađite dužinu segmenta S.R..

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC L- sredina rebra B.C., S- vrh. To je poznato SL= 2, a površina bočne površine je 3. Nađite dužinu segmenta AB.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC M. Površina trougla ABC je 25, zapremina piramide je 100. Pronađite dužinu segmenta GOSPOĐA.

Osnova piramide je jednakostranični trougao. Zbog toga Mje centar baze, iGOSPOĐA- visina pravilne piramideSABC. Volumen piramide SABC jednako: pogledajte rješenje

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC medijane baze se seku u tački M. Površina trougla ABC jednako 3, GOSPOĐA= 1. Naći zapreminu piramide.

U pravilnoj trouglastoj piramidi SABC medijane baze se seku u tački M. Zapremina piramide je 1, GOSPOĐA= 1. Pronađite površinu trokuta ABC.

Hajde da završimo ovde. Kao što vidite, problemi se rješavaju u jednom ili dva koraka. Ubuduće ćemo razmatrati i druge probleme iz ovog dijela, gdje se daju tijela revolucije, ne propustite!

Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Prvi nivo

Piramida. Vizuelni vodič (2019)

Šta je piramida?

Kako ona izgleda?

Vidite: na dnu piramide (kažu “ u bazi") neki poligon, a svi vrhovi ovog poligona su povezani sa nekom tačkom u prostoru (ova tačka se zove " vertex»).

Cijela ova struktura još uvijek postoji bočne strane, bočna rebra I bazna rebra. Još jednom, nacrtajmo piramidu zajedno sa svim ovim imenima:

Neke piramide mogu izgledati vrlo čudno, ali one su i dalje piramide.

Ovdje je, na primjer, potpuno "koso" piramida.

I još malo o nazivima: ako je u podnožju piramide trokut, onda se piramida zove trokutna, ako je četverokut, onda je četverokut, a ako je petougao, onda... pogodite sami .

Istovremeno, tačka gde je pao visina, zvao visina osnove. Imajte na umu da u "krivim" piramidama visina može čak završiti izvan piramide. Volim ovo:

I nema ništa loše u tome. Izgleda kao tupougao.

Ispravna piramida.

Puno složene riječi? Hajde da dešifrujemo: "U osnovi - tačno" - to je razumljivo. Sada hajde da zapamtimo da regularni poligon ima centar - tačka koja je centar i , I .

Pa, riječi "vrh je projektovan u centar baze" znače da osnova visine pada tačno u centar baze. Pogledajte kako izgleda glatko i slatko pravilne piramide.

Hexagonal: u osnovi je pravilan šestougao, vrh je projektovan u centar baze.

Quadrangular: osnova je kvadrat, vrh je projektovan na tačku preseka dijagonala ovog kvadrata.

Triangular: u osnovi je pravilan trougao, vrh je projektovan na tačku preseka visina (one su i medijane i simetrale) ovog trougla.

Veoma važna svojstva pravilne piramide:

U desnoj piramidi

• sve bočne ivice su jednake.
• sve bočne strane su jednakokraki trouglovi i svi ti trokuti su jednaki.

Volumen piramide

Glavna formula za volumen piramide:

Odakle je to tačno došlo? Ovo nije tako jednostavno, i u početku samo trebate zapamtiti da piramida i konus imaju volumen u formuli, ali cilindar ne.

Sada izračunajmo zapreminu najpopularnijih piramida.

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka. Moramo pronaći i.

Ovo je površina pravilnog trougla.

Prisjetimo se kako tražiti ovo područje. Koristimo formulu površine:

Za nas je “ ” ovo, a “ ” je također ovo, eh.

Sad hajde da ga nađemo.

Prema Pitagorinoj teoremi za

Koja je razlika? Ovo je radijus kruga u jer piramidaispravan a samim tim i centar.

Pošto - i tačka preseka medijana.

(Pitagorina teorema za)

Zamijenimo ga u formulu za.

I zamijenimo sve u formulu volumena:

pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda formula ispada ovako:

Neka je stranica osnove jednaka, a bočna ivica jednaka.

Nema potrebe tražiti ovdje; Na kraju krajeva, baza je kvadrat, i stoga.

Naći ćemo ga. Prema Pitagorinoj teoremi za

Da li znamo? Skoro. pogledajte:

(vidjeli smo to gledajući).

Zamijenite u formulu za:

A sada zamjenjujemo i u formulu volumena.

Neka je stranica osnove jednaka i bočna ivica.

Kako pronaći? Gledajte, šestougao se sastoji od tačno šest identičnih pravilnih trouglova. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta pri izračunavanju volumena pravilne trokutaste piramide; ovdje koristimo formulu koju smo pronašli.

Sada hajde da pronađemo (to).

Prema Pitagorinoj teoremi za

Ali kakve to veze ima? Jednostavno je jer je (i svi ostali također) u pravu.

Zamenimo:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Piramida je poliedar koji se sastoji od bilo kojeg ravnog poligona (), tačke koja ne leži u ravni osnove (vrh piramide) i svih segmenata koji povezuju vrh piramide sa tačkama osnove (bočnim ivicama).

Okomita pala sa vrha piramide na ravan osnove.

Ispravna piramida- piramida u kojoj u osnovi leži pravilan poligon, a vrh piramide je projektovan u centar osnove.

Svojstvo pravilne piramide:

• U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su jednake.
• Sve bočne strane su jednakokraki trokuti i svi ti trokuti su jednaki.