Primitivno. Neodređeni integral i njegova svojstva nacrt lekcije iz algebre (11. razred) na tu temu. Sažetak lekcije "Antiderivat i integral" Lekcija Antiderivativ i neodređeni integral

11. razred Orlova E.V.

"Antiderivat i neodređeni integral"

SLAJD 1

Ciljevi lekcije:

    obrazovne : formirati i konsolidovati koncept antiderivacije, pronaći antiderivativne funkcije različitih nivoa.

    u razvoju: razvijati mentalnu aktivnost učenika, na osnovu operacija analize, poređenja, generalizacije, sistematizacije.

    edukativni: formirati svjetonazorske poglede učenika, vaspitavati od odgovornosti za rezultat, osjećaj uspjeha.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Oprema: kompjuter, multimedijalna tabla.

Očekivani ishodi učenja: student mora

    definicija derivata

    antiderivativ se definiše dvosmisleno.

    pronaći antiderivativne funkcije u najjednostavnijim slučajevima

    provjeriti da li je antiderivat za funkciju u datom vremenskom intervalu.

Tokom nastave

    Organiziranje vremena SLAJD 2

    Provjera domaćeg

    Poruka teme, svrha časa, zadaci i motivacija obrazovnih aktivnosti.

Na tabli za pisanje:

Derivat -proizvodi "novu funkciju".

antiderivativ - Primarna slika.

4. Aktuelizacija znanja, sistematizacija znanja u poređenju.

Diferencijacija-nalaženje derivacije.

Integracija je obnavljanje funkcije datom derivacijom.

Uvod u nove likove:

5. Oralne vježbe:SLAJD 3

umjesto tačaka stavite neku funkciju koja zadovoljava jednakost.

    samotestiranje učenika.

    ažuriranje znanja učenika.

5. Učenje novog gradiva.

A) Recipročne operacije u matematici.

Nastavnik: u matematici postoje 2 međusobno inverzne operacije u matematici. Hajde da pogledamo poređenje. SLAJD 4

B) Recipročne operacije u fizici.

U odeljku o mehanici razmatrana su dva međusobno inverzna problema.

Određivanje brzine prema datoj jednadžbi kretanja materijalne tačke (nalaženje derivacije funkcije) i pronalaženje jednačine za putanju kretanja po poznatoj formuli za brzinu.

C) Uvodi se definicija antiderivativnog, neodređenog integrala

SLAJD 5, 6

Učitelj: Da bi zadatak postao konkretniji, moramo popraviti početnu situaciju.

D) Tabela antiderivata SLAJD 7

Zadaci za formiranje sposobnosti pronalaženja primitivnog - rad u grupama SLIDE 8

Zadaci za formiranje sposobnosti dokazivanja da je antiderivat za funkciju na datom intervalu - rad u paru.

6.FizminutkaSLAJD 9

7. Primarno razumijevanje i primjena naučenog.SLAJD 10

8. Postavljanje domaće zadaćeSLAJD 11

9. Sumiranje lekcije.SLAJD 12

Tokom frontalnog istraživanja, zajedno sa učenicima, sumiraju se rezultati časa, svjesno razumijevanje koncepta novog materijala može biti u obliku emotikona.

Sve razumeo, sve uspeo.

    delimično nije razumeo (a), nije uspeo da uradi sve.

klasa: 11

Prezentacija za lekciju

















Nazad naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Tehnološka mapa časa algebre 11. razred.

“Čovjek može prepoznati svoje sposobnosti samo ako ih pokuša primijeniti.”
Seneka Mlađi.

Broj sati po sekciji: 10 sati.

Blok tema: Antiderivativni i neodređeni integral.

Vodeća tema lekcije: formiranje znanja i opšteobrazovnih veština kroz sistem tipičnih, približnih i višestepenih zadataka.

Ciljevi lekcije:

  • obrazovne: formirati i konsolidovati koncept antiderivacije, pronaći antiderivativne funkcije različitih nivoa.
  • u razvoju: razvijati mentalnu aktivnost učenika, na osnovu operacija analize, poređenja, generalizacije, sistematizacije.
  • edukativni: formirati svjetonazorske poglede učenika, vaspitavati od odgovornosti za rezultat, osjećaj uspjeha.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Nastavne metode: verbalno, verbalno-vizuelno, problematično, heurističko.

Oblici studija: pojedinac, par, grupa, opšti razred.

Sredstva obrazovanja: informacija, kompjuter, epigraf, materijal.

Očekivani ishodi učenja: student mora

  • definicija derivata
  • antiderivativ se definiše dvosmisleno.
  • pronaći antiderivativne funkcije u najjednostavnijim slučajevima
  • provjeriti da li je antiderivat za funkciju u datom vremenskom intervalu.

STRUKTURA ČASA:

  1. Postavljanje cilja lekcije (2 min)
  2. Priprema za učenje novih materijala (3 min)
  3. Upoznavanje sa novim materijalom (25 min)
  4. Početno razmišljanje i primjena naučenog (10 min)
  5. Postavljanje domaće zadaće (2 min)
  6. Sumiranje lekcije (3 min)
  7. Rezervni zadaci.

Tokom nastave

1. Poruka teme, svrha časa, zadaci i motivacija obrazovnih aktivnosti.

Na tabli za pisanje:

*** Derivat - “proizvodi” novu funkciju. Primitivno - primarna slika.

2. Aktuelizacija znanja, sistematizacija znanja u poređenju.

Diferencijacija-nalaženje derivacije.

Integracija je obnavljanje funkcije datom derivacijom.

Uvod u nove likove:

* usmene vježbe: umjesto bodova staviti neku funkciju koja zadovoljava jednakost (vidi prezentaciju) -individualni rad.

(u ovom trenutku 1 učenik zapisuje formule diferencijacije na tabli, 2 učenika - pravila diferencijacije).

  • samoprovjeru obavljaju studenti (samostalni rad)
  • ažuriranje znanja učenika.

3. Učenje novog gradiva.

A) Recipročne operacije u matematici.

Nastavnik: u matematici postoje 2 međusobno inverzne operacije u matematici. Hajde da pogledamo poređenje.

B) Recipročne operacije u fizici.

U odeljku o mehanici razmatrana su dva međusobno inverzna problema. Određivanje brzine prema datoj jednadžbi kretanja materijalne tačke (nalaženje derivacije funkcije) i pronalaženje jednačine za putanju kretanja po poznatoj formuli za brzinu.

Primjer 1 strana 140 - rad sa udžbenikom (samostalni rad).

Proces nalaženja izvoda u odnosu na datu funkciju naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, odnosno proces nalaženja funkcije u odnosu na datu derivaciju, naziva se integracija.

C) Uvodi se definicija antiderivata.

Učitelj: Da bi zadatak postao konkretniji, moramo popraviti početnu situaciju.

Zadaci za formiranje sposobnosti pronalaženja primitivnog - rad u grupama. (vidi prezentaciju)

Zadaci za formiranje sposobnosti dokazivanja da je antiderivat za funkciju na datom intervalu - rad u paru. (vidi prezentaciju)

4. Primarno razumijevanje i primjena naučenog.

Primjeri sa rješenjima "Pronađi grešku" - samostalni rad (Pogledajte prezentaciju)

***izvršite unakrsnu provjeru.

Zaključak: pri obavljanju ovih zadataka lako je uočiti da je antideritiv određen dvosmisleno.

5. Postavljanje domaće zadaće

Pročitajte tekst objašnjenja poglavlja 4 pasus 20, zapamtite definiciju 1. primitiv, riješite br. 20.1 -20.5 (c, d) - obavezan zadatak za sve br. 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20.9 (b) - 4 primjera izbora.

6. Sumiranje lekcije.

Tokom frontalnog istraživanja, zajedno sa učenicima, sumiraju se rezultati časa, svjesno razumijevanje koncepta novog materijala može biti u obliku emotikona.

Sve razumeo, sve uspeo.

Delimično nije razumeo (a), nije uspeo da uradi sve.

7. Rezervni zadaci.

U slučaju prijevremenog ispunjavanja od strane cijelog razreda gore predloženih zadataka, radi osiguranja zapošljavanja i razvoja najspremnijih učenika, planirano je i korištenje zadataka br. 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)

književnost:

  1. A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, Algebra analize, nivo profila, dio 1, dio 2 problemska knjiga, Manvelov S. G. "Osnove kreativnog razvoja lekcije."

Tema lekcije : Primitivna. Neodređeni integral i njegova svojstva

Ciljevi lekcije:

edukativni:

upoznati studente sa pojmovima antiderivacije i neodređenog integrala, glavnim svojstvom antiderivata i pravilima za pronalaženje antiderivativnog i neodređenog integrala.

u razvoju:

razvijaju vještine za samostalan rad,

za aktiviranje mentalne aktivnosti, matematički govor.

edukativni:

gajiti osjećaj odgovornosti za kvalitet i rezultat obavljenog posla;

formirati odgovornost za konačni rezultat.

Tip lekcija : poruke novog znanja

Način ponašanja : verbalni, vizuelni, samostalni rad.

Sigurnost lekcija :

Multimedijska oprema i softver za prikazivanje prezentacija i videa;

Materijal: tabela jednostavnih integrala (u fazi konsolidacije).

Struktura lekcije.

1. Organizacioni momenat (2 min.)

    Motivacija obrazovne aktivnosti. (5 min.)

    Prezentacija novog materijala. (50 min.)

    Konsolidacija proučenog materijala. (25 min.)

    Sumiranje lekcije. Refleksija. (6 min.)

    Poruka za domaći zadatak. (2 min.)

Napredak kursa.

    Organiziranje vremena. (2 minute.)

nastavne metode

Tehnike nastave

Nastavnik pozdravlja učenike, provjerava prisutne u publici.

Učenici se spremaju za rad. Načelnik popunjava izvještaj. Službenici dijele materijale.

    Motivacija obrazovne aktivnosti. ( 5 minuta.)

nastavne metode

Tehnike nastave

Tema današnje lekcije"Drevni.Neodređeni integral i njegova svojstva".(Slajd 1)

Znanje o ovoj temi koristićemo nam u narednim lekcijama pri pronalaženju određenih integrala, površina ravnih figura. Velika pažnja se poklanja integralnom računu u sekcijama više matematike u visokoškolskim ustanovama pri rješavanju primijenjenih zadataka.

Naša današnja lekcija je lekcija proučavanja novog gradiva, stoga će biti teorijske prirode. Svrha lekcije je formiranje ideja o integralnom računu, razumijevanje njegove suštine, razvijanje vještina pronalaženja antiderivata i neodređenih integrala.(Slajd 2)

Učenici zapisuju datum i temu časa.

3. Prezentacija novog materijala (50 min)

nastavne metode

Tehnike nastave

1. Nedavno smo prošli kroz temu "Derivati ​​nekih elementarnih funkcija." Na primjer:

Derivat funkcijef (x)= X 9 , Znamo tof ′(x)= 9x 8 . Sada ćemo razmotriti primjer pronalaženja funkcije čiji je izvod poznat.

Pretpostavimo da nam je dat derivatf ′(x)= 6x 5 . Koristeći znanje o izvodu, možemo odrediti šta je derivacija funkcijef (x)= X 6 . Funkcija koja se može odrediti svojim izvodom naziva se antiderivativna. (Dajte definiciju antiderivata. (slajd 3))

Definicija 1 : Funkcija F ( x ) se naziva antiderivativ za funkciju f ( x ) na segmentu [ a; b], ako jednakost vrijedi u svim tačkama ovog segmenta = f ( x )

Primjer 1 (slajd 4): Dokažimo to za bilo kojixϵ(-∞;+∞) funkcijaF ( x )=x 5 -5x f (x)=5 X 4 -5.

Dokaz: Koristeći definiciju antiderivata, nalazimo derivaciju funkcije

=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5h)′=5 X 4 -5.

Primjer 2 (slajd 5): Dokažimo to za bilo kojixϵ(-∞;+∞) funkcijaF ( x )= neje antiderivat za funkcijuf (x)= .

Dokažite sa učenicima na tabli.

Znamo da se pronalaženje derivacije zovediferencijaciju . Pronalaženje funkcije po njenom izvodu će se pozvatiintegracija. (Slajd 6). Cilj integracije je pronaći sve antiderivate date funkcije.

Na primjer: (slajd 7)

Glavno svojstvo antiderivata:

Teorema: AkoF ( x ) - jedan od antiderivata za funkciju f (X) na intervalu X, tada je skup svih antiderivata ove funkcije određen formulom G ( x )= F ( x )+ C gdje je C realan broj.

(Slajd 8) tabela antiderivata

Tri pravila za pronalaženje antiderivata

Pravilo #1: Ako Fpostoji antiderivat za funkcijuf, a G- original zag, onda F+ G- postoji prototip zaf+ g.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

Pravilo #2: Ako F- original zaf, a kje konstantna, onda funkcijakF- original zakf.

(kF)’ = kF’ = kf

Pravilo #3: Ako F- original zaf, a k i b su konstante (), zatim funkcija

antiderivat zaf(kx+ b).

Istorija koncepta integrala usko je povezana sa problemima nalaženja kvadratura. Matematičari Stare Grčke i Rima su probleme kvadrature jedne ili druge ravne figure nazivali problemima koje danas nazivamo problemima za izračunavanje površina.Mnoga značajna dostignuća matematičara Stare Grčke u rješavanju takvih problema povezana su sa upotrebom iscrpljenosti. metod koji je predložio Eudoks Knidski. Ovom metodom Eudoxus je dokazao:

1. Površine dva kruga su povezane kao kvadrati njihovih prečnika.

2. Zapremina konusa jednaka je 1/3 zapremine cilindra iste visine i osnove.

Eudoksov metod je usavršio Arhimed i dokazano je sledeće:

1. Izvođenje formule za površinu kruga.

2. Zapremina sfere je 2/3 zapremine cilindra.

Sva dostignuća su dokazali veliki matematičari koristeći integrale.

Vratimo se na teoremu 1 i izvedemo novu definiciju.

Definicija 2 : Izraz F ( x ) + C , gdje C - proizvoljna konstanta, nazvana neodređenim integralom i označena simbolom

Iz definicije imamo:

(1)

Neodređeni integral funkcijef(x), dakle, skup svih antiderivativnih funkcija zaf(x) .

U jednakosti (1), funkcijaf(x) se zove integrand , i izraz f(x) dx– integrand , varijabla x – integracijska varijabla , termin C - integraciona konstanta .

Integracija je inverzna diferencijaciji. Da bi se provjerilo da li je integracija ispravna, dovoljno je diferencirati rezultat i dobiti integrand.

Svojstva neodređenog integrala.

Na osnovu definicije antiderivata, lako je dokazati sljedećesvojstva neodređenog integrala

    Neodređeni integral diferencijala neke funkcije jednak je ovoj funkciji plus proizvoljna konstanta

    Neodređeni integral algebarskog zbira dvije ili više funkcija jednak je algebarskom zbiru njihovih integrala

    Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala, odnosno akoa= konst, onda

Učenici snimaju predavanje koristeći materijal i objašnjenja nastavnika. Prilikom dokazivanja svojstava antiderivata i integrala koriste se znanja na temu diferencijacije.

4. Tabela jednostavnih integrala

1. ,( n -1) 2.

3. 4.

5. 6.

Integrali sadržani u ovoj tabeli se nazivajutabelarno . Napominjemo poseban slučaj formule 1:

Evo još jedne očigledne formule:

Čas algebre u 12. razredu.

Tema lekcije: „Antiprimitivno. Integral"

Ciljevi:

    obrazovni

Uopštiti i konsolidirati materijal na ovu temu: definicija i svojstva antiderivata, tabela antiderivata, pravila za pronalaženje antiderivata, pojam integrala, Newton-Leibnizova formula, izračunavanje površina figura. Dijagnosticirati asimilaciju sistema znanja i vještina i njegovu primjenu za obavljanje praktičnih zadataka standardnog nivoa sa prelaskom na viši nivo, promovirati razvoj sposobnosti analiziranja, poređenja, izvođenja zaključaka.

    obrazovne

obavljati zadatke povećane složenosti, razvijati opće vještine učenja i učiti razmišljati i obavljati kontrolu i samokontrolu

    edukatori

Obrazovati, pozitivan stav prema učenju, matematici

Tip časa: Generalizacija i sistematizacija znanja

Oblici rada: grupni, individualni, diferencirani

Oprema: kartice za samostalan rad, za diferencirani rad, samokontrolni list, projektor.

Tokom nastave

    Organiziranje vremena

Ciljevi i zadaci časa: Sažeti i konsolidovati materijal na temu „Antiprimitiv. Integral - definicija i svojstvo antiderivata, tabela antiderivata, pravila za pronalaženje antiderivata, koncept integrala, Newton-Leibnizova formula, izračunavanje površine figura. Dijagnosticirati asimilaciju sistema znanja i vještina i njegovu primjenu za obavljanje praktičnih zadataka standardnog nivoa sa prelaskom na viši nivo, promovirati razvoj sposobnosti analiziranja, poređenja, izvođenja zaključaka.

Nastava će biti u obliku igre.

pravila:

Nastava se sastoji od 6 faza. Svaka faza vrijedi određeni broj bodova. U evaluacionom listu postavljate bodove za svoj rad u svim fazama.

Faza 1. Teorijski. Matematički diktat "Tic-tac-toe".

Faza 2. Praktično. Samostalan rad. Pronađite skup svih antiderivata.

Faza 3. "Hm je dobro, ali 2 je bolje." Rad u sveskama i 2 učenika na reverima table. Naći antiderivat funkcije čiji graf prolazi kroz tačku A).

4.faza. "Ispravite greške".

5. stage. "Napravi riječ" Izračunavanje integrala.

6. stage. "Požurite da vidite." Izračunavanje površina figura ograničenih linijama.

2. Evaluacijski list.

Matematički

diktat

Samostalan rad

Usmeni odgovor

Ispravite greške

Izmisli reč

požurite da vidite

9 bodova

5+1 bod

1 bod

5 bodova

5 bodova

20 bodova

3 min.

5 minuta.

5 minuta.

6 min

2. Ažuriranje znanja:

    pozornici. Teorijski. Matematički diktat "Tic-tac-toe"

Ako je izjava tačna - X, ako je netačna - 0

    Funkcija F(x) naziva se antiderivativna na datom intervalu ako je za sve h iz ovog intervala jednakost

    Antiderivat funkcije stepena je uvek funkcija stepena

    Antiderivat složene funkcije

    Ovo je Newton-Leibnizova formula

    Područje krivolinijskog trapeza

    Antiderivat zbira funkcija = zbir antiderivata razmatranih na datom intervalu

    Grafovi antiderivativnih funkcija se dobijaju paralelnim prevođenjem duž X ose konstantom C.

    Umnožak broja puta funkcije jednak je proizvodu tog broja puta antiderivata date funkcije.

    Skup svih antiderivata ima oblik

Usmeni odgovor - 1 bod

Ukupno 9 bodova

3. Konsolidacija i generalizacija

2 pozornici . Samostalan rad.

"Primjeri poučavaju bolje od teorije."

Isaac Newton

Pronađite skup svih antiderivata:

1 opcija

Skup svih primitiva Skup svih primitiva

    opcija

Skup svih primitiva Skup svih primitiva

Samotestiranje.

Za ispravno obavljene zadatke

Opcija 1 - 5 bodova,

za opciju 2 +1 bod

1 bod za dodavanje.

    pozornici . "Um je dobar, a - 2 je bolje."

Rad na reverima table dva učenika a sve ostalo u sveskama.

Vježba

1 opcija. Pronađite antiderivat funkcije čiji graf prolazi kroz tačku A (3; 2)

Opcija 2. Naći antiderivat funkcije čiji graf prolazi kroz ishodište.

Međusobna provjera.

Za tačno rješenje -5 bodova.

    pozornici . Ako hoćeš, vjeruj - ako hoćeš provjeri.

Zadatak: ispraviti greške, ako ih ima.

Pronađite vježbe s greškom:

    Stage . Sastavite riječ.

Izračunaj integrale

1 opcija.

    opcija.

Odgovor: BRAVO

Samotestiranje. Za tačno obavljen zadatak - 5 bodova.

    pozornici. "Požurite da vidite."

proračun oblasti figura ograničene linijama.

Zadatak: nacrtati figuru i izračunati njenu površinu.

    2 poena

    2 poena

    4 poena

    6 bodova

    6 bodova

Provjerava se individualno sa nastavnikom.

Za tačno obavljene sve zadatke - 20 bodova

    sumirajući:

Lekcija je pokrivala glavna pitanja

OTVORENA LEKCIJA NA TEMU

« OPŠTI I NEODREĐENI INTEGRAL.

SVOJSTVA NEODREĐENOG INTEGRALA”.

2 sata.

11a razred sa detaljnim izučavanjem matematike

Prezentacija problema.

Tehnologije učenja za traženje problema.

PRIMARNI I NEODREĐENI INTEGRAL.

SVOJSTVA NEODREĐENOG INTEGRALA.


CILJ ČASA:

Aktivirajte mentalnu aktivnost;

Doprinijeti asimilaciji istraživačkih metoda


- osigurati čvršću asimilaciju znanja.

CILJEVI ČASA:


  • uvesti koncept antiderivata;

  • dokazati teoremu o skupu antiderivata za datu funkciju (koristeći definiciju antiderivata);

  • uvesti definiciju neodređenog integrala;

  • dokazati svojstva neodređenog integrala;

  • razvijati vještine korištenja svojstava neodređenog integrala.

PRETHODNI RADOVI:


  • ponoviti pravila i formule diferencijacije

  • koncept diferencijala.
TOKOM NASTAVE
Predlaže se rješavanje problema. Problemi su napisani na tabli.

Učenici daju odgovore za rješavanje zadataka 1, 2.

(Ažuriranje iskustva rješavanja problema na korištenje diferencijala

citiranje).


1. Zakon kretanja tijela S(t) , pronađite njegov trenutni

brzina u bilo kom trenutku.


- V(t) = S(t).
2. Znajući da je količina struje koja teče

kroz provodnik izražava se formulom q (t) = 3t - 2 t,

izvući formulu za izračunavanje jačine struje u bilo kojem

tačka u vremenu t.


- I (t) = 6t - 2.

3 . Poznavanje brzine tijela koje se kreće u svakom trenutku vremena

mene, da pronađem zakon njenog kretanja.


  1. Znajući da je jačina struje koja prolazi kroz provodnik u bilo kojoj
bojna tačka u vremenu I (t) = 6t - 2 , izvedite formulu za

određivanje količine električne energije koja prolazi

preko provodnika.
Učitelj: Da li je moguće riješiti zadatke broj 3 i 4 koristeći

sredstva koja imamo?

(Kreiranje problematične situacije).
Pogađanja učenika:
- Za rješavanje ovog problema potrebno je uvesti operaciju,

suprotno od diferencijacije.

Operacija diferencijacije se uspoređuje sa datom

funkcija F (x) njen izvod.


F(x) = f(x).

Učitelj: Šta je zadatak diferencijacije?


Zaključak učenika:

Na osnovu date funkcije f (x), pronađite takvu funkciju

F (x) čiji je izvod f (x) , tj.
f(x) = F(x) .


Ova operacija se tačnije zove integracija

neodređena integracija.


Dio matematike koji proučava svojstva operacije integrirajućih funkcija i njene primjene na rješavanje problema u fizici i geometriji naziva se integralni račun.
Integralni račun je dio matematičke analize, zajedno sa diferencijalnim računom čini osnovu aparata matematičke analize.

Integralni račun je proizašao iz razmatranja velikog broja problema prirodnih nauka i matematike. Najvažniji od njih je fizički problem određivanja udaljenosti prijeđenog u datom vremenu uz poznatu, ali možda promjenjivu brzinu kretanja, i mnogo drevniji problem - izračunavanje površina i volumena geometrijskih figura.


Kolika je neizvjesnost ove inverzne operacije ostaje da se vidi.
Hajde da uvedemo definiciju. (ukratko simbolično napisano

Na stolu).


Definicija 1. Funkcija F (x) definirana na nekom intervalu

ke X, naziva se antiderivatom za datu funkciju

na istom intervalu ako za sve x X

jednakost

F(x) = f (x) ili d F(x) = f (x) dx .
Na primjer. (x) = 2x, ova jednakost implicira da je funkcija

x je antiderivat na cijeloj brojevnoj pravoj

za funkciju 2x.

Koristeći definiciju antiderivata, uradite vježbu


br. 2 (1,3,6) . Provjerite je li funkcija F antiderivat

noah za funkciju f, ako


1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x - 4 sin 2x .

2) F(x) = tg x - cos 5x, f (x) =
+ 5 sin 5x.

3) F(x) = x sin x +
, f(x) = 4x sinx + x cosx +
.

Rješenja primjera ispisuju učenici na tabli, komentarišu

pokrećući svoje postupke.

Je li funkcija x jedini antiderivat

za funkciju 2x?

Učenici daju primjere

x + 3; x - 92, itd. ,


Učenici sami donose zaključke:
Svaka funkcija ima beskonačno mnogo antiderivata.
Bilo koja funkcija oblika x + C, gdje je C neki broj,

je antiderivat od x.


Teorema o antiderivatu je zapisana u svesci pod diktatom

nastavnici.


Teorema. Ako funkcija f ima antiderivat na intervalu

F, onda za bilo koji broj C također funkcija F + C

je antiderivat od f . Drugi primitivci

funkcija f na X ne radi.


Dokaz izvode učenici pod vodstvom nastavnika.
a) Zato što F je onda antiderivat za f na intervalu X

F(x) = f(x) za sve x X.

Tada za x X za bilo koji C imamo:

(F(x) + C) = f(x) . To znači da je i F (x) + C

antiderivat f na X.

b) Dokažimo da je za druge antiderivate na X funkcija f

nema.

Pretpostavimo da je F takođe antiderivat za f na X.

Tada je F(x) = f (x) i stoga za sve x X imamo:

F (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, dakle

F - F je konstanta na X. Neka je onda F (x) - F (x) = C

F (x) = F (x) + C, dakle bilo koji antiderivat

funkcija f na X ima oblik F + C.

Učitelj: koji je zadatak pronalaženja svih prototipova

za ovu funkciju?

Učenici dolaze do sljedećeg zaključka:

Problem pronalaženja svih antiderivata je riješen

pronalaženje bilo kojeg: ako je takav

različito se nađe, onda se iz njega dobije bilo koje drugo

dodavanje konstante.


Nastavnik formuliše definiciju neodređenog integrala.
Definicija 2. Skup svih antiderivata funkcije f

naziva se neodređenim integralom ovoga

funkcije.
Oznaka.
; - čita se integral.
= F (x) + C, gdje je F jedan od antiderivata

za f , C prolazi kroz skup

realni brojevi.

f - integrand;

f (x)dx - integrand;

x - varijabla integracije;

C je konstanta integracije.
Učenici samostalno proučavaju svojstva neodređenog integrala iz udžbenika i zapisuju ih u svesku.

.

Učenici pišu rješenja u sveske, radeći za tablom

Učitavanje...Učitavanje...