Bez znanja kako smanjiti razlomak i stabilne vještine rješavanja takvih primjera, vrlo je teško učiti algebru u školi. Što dalje idete, to više ometa vaše osnovno znanje o smanjenju razlomaka. nove informacije. Prvo se pojavljuju stupnjevi, zatim faktori, koji kasnije postaju polinomi.
Kako možete izbjeći zabunu ovdje? Temeljito konsolidirajte vještine u prethodnim temama i postupno se pripremite za znanje kako smanjiti razlomak, koji iz godine u godinu postaje sve složeniji.
Osnovno znanje
Bez njih nećete se moći nositi sa zadacima bilo kojeg nivoa. Da biste razumjeli, morate razumjeti dvije jednostavne stvari. Prvo: možete samo smanjiti faktore. Ova nijansa se pokazuje vrlo važnom kada se polinomi pojavljuju u brojniku ili nazivniku. Zatim morate jasno razlikovati gdje je množitelj, a gdje sabir.
Druga tačka kaže da bilo koji broj može biti predstavljen u obliku faktora. Štaviše, rezultat smanjenja je razlomak čiji se brojnik i imenilac više ne mogu smanjiti.
Pravila za smanjenje običnih razlomaka
Prvo treba provjeriti da li je brojilac djeljiv sa nazivnikom ili obrnuto. Tada je upravo taj broj ono što treba smanjiti. Ovo je najjednostavnija opcija.
Druga je analiza izgled brojevi. Ako se oba završavaju na jednu ili više nula, onda se mogu skratiti za 10, 100 ili hiljadu. Ovdje možete primijetiti da li su brojevi parni. Ako jeste, onda ga možete bezbedno smanjiti za dva.
Treće pravilo za smanjenje razlomka je da se brojilac i imenilac razdvoje u proste faktore. U ovom trenutku morate aktivno koristiti sve svoje znanje o znakovima djeljivosti brojeva. Nakon ove dekompozicije, ostaje samo pronaći sve one koje se ponavljaju, pomnožiti ih i smanjiti za rezultirajući broj.
Šta ako postoji algebarski izraz u razlomku?
Tu se javljaju prve poteškoće. Jer tu se pojavljuju pojmovi koji mogu biti identični faktorima. Zaista želim da ih smanjim, ali ne mogu. Prije nego što smanjite algebarski razlomak, on se mora pretvoriti tako da ima faktore.
Da biste to učinili, morat ćete izvršiti nekoliko koraka. Možda ćete morati proći kroz sve njih, ili će možda prvi pružiti odgovarajuću opciju.
Provjerite razlikuju li se brojnik i nazivnik ili bilo koji izraz u njima po predznaku. U ovom slučaju, samo trebate staviti minus jedan iz zagrada. Ovo proizvodi jednake faktore koji se mogu smanjiti.
Pogledajte da li je moguće ukloniti zajednički faktor iz polinoma iz zagrada. Možda će to rezultirati zagradom, koja se također može skratiti, ili će to biti uklonjeni monom.
Pokušajte grupirati monome kako biste im zatim dodali zajednički faktor. Nakon toga može se ispostaviti da će postojati faktori koji se mogu smanjiti, ili će se opet ponoviti zagrada zajedničkih elemenata.
Pokušajte uzeti u obzir skraćene formule za množenje u pisanom obliku. Uz njihovu pomoć možete lako pretvoriti polinome u faktore.
Redoslijed operacija s razlomcima sa stepenom
Da biste lako razumjeli pitanje kako smanjiti razlomak s potencijama, morate se čvrsto sjetiti osnovnih operacija s njima. Prvi od njih se odnosi na umnožavanje moći. U ovom slučaju, ako su baze iste, indikatori se moraju dodati.
Druga je podjela. Opet, za one koji imaju iste razloge, indikatore će trebati oduzeti. Štaviše, potrebno je oduzeti od broja koji je u dividendi, a ne obrnuto.
Treći je eksponencijal. U ovoj situaciji indikatori se množe.
Uspješno smanjenje će također zahtijevati sposobnost smanjenja moći na jednake baze. Odnosno, vidjeti da je četiri dva na kvadrat. Ili 27 - kocka od tri. Zato što je teško smanjiti 9 na kvadrat i 3 na kocku. Ali ako transformišemo prvi izraz kao (3 2) 2, onda će redukcija biti uspješna.
U ovoj lekciji ćemo proučavati osnovnu osobinu razlomka, saznati koji su razlomci međusobno jednaki. Naučit ćemo smanjiti razlomke, odrediti je li razlomak svodljiv ili ne, vježbati smanjivanje razlomaka i naučiti kada koristiti kontrakciju, a kada ne.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias acceptnda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Ove informacije su dostupne registrovanim korisnicima
Glavno svojstvo razlomka
Zamislite ovu situaciju.
Na stolu 3 osoba i 5 jabuke Dijeli 5 jabuke za tri. Svi dobijaju \(\mathbf(\frac(5)(3))\) jabuke.
I za susednim stolom 3 osoba i takođe 5 jabuke Svaki ponovo \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Ukupno 10 jabuke 6 Čovjek. Svaki \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Ali to je ista stvar.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Ovi razlomci su ekvivalentni.
Možete udvostručiti broj ljudi i udvostručiti broj jabuka. Rezultat će biti isti.
U matematici se formuliše ovako:
Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože ili podijele istim brojem (nije jednak 0), tada će novi razlomak biti jednak originalnom.
Ovo svojstvo se ponekad naziva " glavno svojstvo razlomka ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Na primjer, Put od grada do sela - 14 km.
Hodamo cestom i kilometrima određujemo pređenu udaljenost. Prešavši šest kolona, šest kilometara, shvatamo da smo prešli \(\mathbf(\frac(6)(14))\) udaljenost.
Ali ako ne vidimo stubove (možda nisu postavljeni), možemo izračunati putanju pomoću električnih stubova uz cestu. Njihova 40 komada za svaki kilometar. Odnosno, ukupno 560 do kraja. Šest kilometara - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stubovi. Odnosno, prošli smo 240 od 560 stubovi-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Primjer 1
Označite tačku sa koordinatama ( 5; 7 ) na koordinatnoj ravni XOY. To će odgovarati razlomku \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Povežite ishodište koordinata sa rezultujućom tačkom. Konstruirajte drugu tačku koja ima koordinate dvostruko više od prethodnih. Koji si razlomak dobio? Hoće li biti jednaki?
Rješenje
Razlomak na koordinatnoj ravni može se označiti tačkom. Da biste predstavili razlomak \(\mathbf(\frac(5)(7))\), označite tačku sa koordinatom 5 duž ose Y I 7 duž ose X. Povucimo pravu liniju od ishodišta kroz našu tačku.
Tačka koja odgovara razlomku \(\mathbf(\frac(10)(14))\) također će ležati na istoj pravoj
Oni su ekvivalentni: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Ovaj članak nastavlja temu pretvaranja algebarskih razlomaka: razmotrite takvu akciju kao smanjenje algebarskih razlomaka. Definirajmo sam pojam, formulirajmo pravilo redukcije i analizirajmo praktične primjere.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Značenje redukcije algebarskog razlomka
U materijalima o običnim razlomcima, pogledali smo njegovu redukciju. Smanjenje razlomka definirali smo kao dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom.
Smanjenje algebarskog razlomka je slična operacija.
Definicija 1
Smanjenje algebarskog razlomka je dijeljenje brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom. U ovom slučaju, za razliku od redukcije običnog razlomka (zajednički nazivnik može biti samo broj), zajednički faktor brojnika i nazivnika algebarskog razlomka može biti polinom, posebno monom ili broj.
Na primjer, algebarski razlomak 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 može se smanjiti za broj 3, što rezultira: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Isti razlomak možemo smanjiti promjenljivom x, a to će nam dati izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Također je moguće reducirati dati razlomak monomom 3 x ili bilo koji od polinoma x + 2 g, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ili 3 x 2 + 6 x y.
Krajnji cilj smanjenja algebarskog razlomka je razlomak veći od jednostavnog tipa, u najboljem slučaju, je nesvodljivi razlomak.
Jesu li svi algebarski razlomci podložni redukciji?
Opet, iz materijala na običnim frakcijama znamo da postoje reducibilne i nesvodljive frakcije. Nesvodljivi razlomci su razlomci koji nemaju zajedničke faktore u brojniku i nazivniku osim 1.
Isto je i s algebarskim razlomcima: oni mogu imati zajedničke faktore u brojniku i nazivniku, a možda i ne. Prisutnost zajedničkih faktora omogućava vam da pojednostavite originalni razlomak smanjenjem. Kada ne postoje zajednički faktori, nemoguće je optimizirati dati razlomak pomoću metode redukcije.
IN opšti slučajevi By dati tip Za dio je prilično teško razumjeti da li se može smanjiti. Naravno, u nekim slučajevima je očigledno prisustvo zajedničkog faktora između brojnika i nazivnika. Na primjer, u algebarskom razlomku 3 x 2 3 y sasvim je jasno da je zajednički faktor broj 3.
U razlomku - x · y 5 · x · y · z 3 također odmah razumijemo da se može smanjiti za x, ili y, ili x · y. Pa ipak, mnogo češće postoje primjeri algebarskih razlomaka, kada zajednički faktor brojnika i nazivnika nije tako lako vidjeti, a još češće jednostavno izostaje.
Na primjer, možemo smanjiti razlomak x 3 - 1 x 2 - 1 za x - 1, dok navedeni zajednički faktor nije prisutan u unosu. Ali razlomak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 ne može se smanjiti, jer brojnik i imenilac nemaju zajednički faktor.
Dakle, pitanje određivanja reducibilnosti algebarskog razlomka nije tako jednostavno i često je lakše raditi sa razlomkom datog oblika nego pokušati saznati da li je on svodiv. U ovom slučaju se dešavaju takve transformacije koje u pojedinim slučajevima omogućavaju određivanje zajedničkog faktora brojnika i nazivnika ili izvođenje zaključka o nesvodljivosti razlomka. Ovo pitanje ćemo detaljno ispitati u sljedećem paragrafu članka.
Pravilo za redukciju algebarskih razlomaka
Pravilo za redukciju algebarskih razlomaka sastoji se od dvije uzastopne akcije:
- pronalaženje zajedničkih činilaca brojnika i nazivnika;
- ako se nađe, akcija smanjenja razlomka se provodi direktno.
Najprikladniji metod za pronalaženje zajedničkih imenilaca je faktoriranje polinoma prisutnih u brojniku i nazivniku datog algebarskog razlomka. Ovo vam omogućava da odmah jasno vidite prisustvo ili odsustvo uobičajenih faktora.
Sama radnja redukcije algebarskog razlomka zasniva se na glavnom svojstvu algebarskog razlomka, izraženom nedefiniranom jednakošću, gdje su a, b, c neki polinomi, a b i c nisu nula. Prvi korak je da razlomak svedemo na oblik a · c b · c, u kojem odmah uočavamo zajednički faktor c. Drugi korak je izvođenje redukcije, tj. prijelaz na razlomak oblika a b .
Tipični primjeri
Uprkos izvesnoj očiglednosti, razjasnimo o tome poseban slučaj kada su brojnik i nazivnik algebarskog razlomka jednaki. Slični razlomci su identično jednaki 1 na cijelom ODZ-u varijabli ovog razlomka:
5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Zbog obični razlomci su poseban slučaj algebarskih razlomaka, prisjetimo se kako se vrši njihova redukcija. Prirodni brojevi upisani u brojiocu i nazivniku se rastavljaju u proste faktore, a zatim se zajednički činioci poništavaju (ako ih ima).
Na primjer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Proizvod jednostavnih identičnih faktora može se zapisati kao stepen, a u procesu redukcije razlomka koristiti svojstvo dijeljenja potencija sa identičnim bazama. Tada bi gornje rješenje bilo:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(brojnik i imenilac podijeljeni zajedničkim faktorom 2 2 3). Ili radi jasnoće, na osnovu svojstava množenja i dijeljenja, dajemo rješenju sljedeći oblik:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Analogno se provodi redukcija algebarskih razlomaka, u kojima brojnik i nazivnik imaju monome sa cjelobrojnim koeficijentima.
Primjer 1
Dat je algebarski razlomak - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Treba ga smanjiti.
Rješenje
Moguće je zapisati brojilac i imenilac datog razlomka kao proizvod jednostavnih faktora i varijabli, a zatim izvršiti redukciju:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Međutim, racionalniji način bi bio da se rješenje zapiše kao izraz sa ovlaštenjima:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Kada brojnik i nazivnik algebarskog razlomka sadrže razlomke numeričke koeficijente, postoje dva moguća načina daljnjeg djelovanja: ili podijeliti te razlomke koeficijente odvojeno, ili se prvo riješiti razlomaka koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika sa određenim prirodni broj. Posljednja transformacija se provodi zbog osnovnog svojstva algebarskog razlomka (o tome možete pročitati u članku “Svođenje algebarskog razlomka na novi nazivnik”).
Primjer 2
Dati razlomak je 2 5 x 0, 3 x 3. Treba ga smanjiti.
Rješenje
Razlomak je moguće smanjiti na sljedeći način:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Pokušajmo riješiti problem drugačije, nakon što smo se prvo riješili razlomaka koeficijenata - pomnožimo brojilac i imenilac najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika ovih koeficijenata, tj. na LCM (5, 10) = 10. tada dobijamo:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Kada redukujemo algebarske razlomke opšti pogled, u kojem brojnici i imenioci mogu biti ili monomi ili polinomi, može postojati problem kada zajednički faktor nije uvijek odmah vidljiv. Ili štaviše, jednostavno ne postoji. Zatim, da bi se odredio zajednički faktor ili zabilježila činjenica njegovog odsustva, brojilac i imenilac algebarskog razlomka se faktorišu.
Primjer 3
Dat je racionalni razlomak 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Treba ga smanjiti.
Rješenje
Razložimo polinome u brojnik i nazivnik. Stavimo to van zagrada:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vidimo da se izraz u zagradama može pretvoriti korištenjem skraćenih formula za množenje:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Jasno se vidi da je moguće smanjiti razlomak zajedničkim faktorom b 2 (a + 7). Napravimo smanjenje:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Napišimo kratko rješenje bez objašnjenja kao lanac jednakosti:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Dešava se da su uobičajeni faktori skriveni numeričkim koeficijentima. Tada je pri redukciji razlomaka optimalno staviti brojčane faktore na veće potencije brojnika i nazivnika izvan zagrada.
Primjer 4
Dat je algebarski razlomak 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Potrebno ga je smanjiti ako je moguće.
Rješenje
Na prvi pogled, brojilac i imenilac nemaju zajednički imenilac. Međutim, pokušajmo pretvoriti dati razlomak. Izvadimo faktor x u brojiocu:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Sada možete vidjeti neku sličnost između izraza u zagradama i izraza u nazivniku zbog x 2 y . Izvadimo numeričke koeficijente viših potencija ovih polinoma:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Sada zajednički faktor postaje vidljiv, provodimo redukciju:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Naglasimo da vještina redukcije racionalnih razlomaka ovisi o sposobnosti faktoriranja polinoma.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Tako smo došli do smanjenja. Ovdje se primjenjuje osnovno svojstvo razlomka. ALI! Nije tako jednostavno. Sa mnogim razlomcima (uključujući i one iz školskog kursa) sasvim je moguće proći s njima. Šta ako uzmemo razlomke koji su „nagliji“? Pogledajmo izbliza! Preporučujem da gledate materijale sa frakcijama.Dakle, već znamo da se brojnik i imenilac razlomka mogu pomnožiti i podijeliti istim brojem, razlomak se neće promijeniti. Razmotrimo tri pristupa:
Priđi jednom.
Da biste smanjili, podijelite brojilac i imenilac sa zajednički djelitelj. Pogledajmo primjere:
skratimo:
U navedenim primjerima odmah vidimo koje djelitelje uzeti za redukciju. Proces je jednostavan - prolazimo kroz 2,3,4,5 i tako dalje. U većini primjera školskih predmeta to je sasvim dovoljno. Ali ako je u pitanju razlomak:
Ovdje proces odabira djelitelja može potrajati;). Naravno, ovakvi primjeri su izvan školskog programa, ali s njima se morate snaći. U nastavku ćemo pogledati kako se to radi. Za sada, vratimo se na proces smanjenja.
Kao što je gore objašnjeno, da bismo smanjili razlomak, podijelili smo zajedničkim djeliteljima koje smo odredili. Sve je tačno! Treba samo dodati znakove djeljivosti brojeva:
- ako je broj paran, onda je djeljiv sa 2.
- ako je broj iz zadnje dvije cifre djeljiv sa 4, tada je i sam broj djeljiv sa 4.
— ako je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa 3, tada je i sam broj djeljiv sa 3. Na primjer, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dvanaest je deljivo sa 3, tako da je 123031 deljivo sa 3.
- ako se broj završava sa 5 ili 0, tada je broj djeljiv sa 5.
— ako je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa 9, tada je i sam broj djeljiv sa 9. Na primjer, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osamnaest je deljivo sa 9, što znači da je 623032 deljivo sa 9.
Drugi pristup.
Ukratko rečeno, u stvari, cijela radnja se svodi na faktoring brojioca i nazivnika, a zatim smanjenje jednakih faktora u brojniku i nazivniku (ovaj pristup je posljedica prvog pristupa):
Vizuelno, kako bi se izbjegle zabune i greške, jednaki faktori su jednostavno precrtani. Pitanje - kako razložiti broj na faktore? Pretragom je potrebno odrediti sve djelitelje. Ovo je posebna tema, nije komplikovana, potražite informacije u udžbeniku ili na internetu. Nećete naići na velike probleme sa faktoringom brojeva koji su prisutni u školskim razlomcima.
Formalno, princip redukcije se može napisati na sljedeći način:
Pristup tri.
Evo najzanimljivijeg za napredne i one koji to žele da postanu. Smanjimo razlomak 143/273. Probajte sami! Pa, kako se to brzo dogodilo? Sada pogledajte!
Okrećemo ga (mijenjamo mjesta brojnika i nazivnika). Dobiveni razlomak dijelimo uglom i pretvaramo ga u mješoviti broj, odnosno odabiremo cijeli dio:
Već je lakše. Vidimo da se brojilac i imenilac mogu smanjiti za 13:
Sada ne zaboravite ponovo obrnuti razlomak, zapišimo cijeli lanac:
Provjereno - potrebno je manje vremena od pretraživanja i provjere djelitelja. Vratimo se na naša dva primjera:
Prvo. Podijelimo uglom (ne na kalkulatoru), dobijamo:
Ovaj razlomak je, naravno, jednostavniji, ali redukcija je opet problem. Sada zasebno analiziramo razlomak 1273/1463 i okrećemo ga:
Ovdje je lakše. Možemo uzeti u obzir djelitelj kao što je 19. Ostali nisu prikladni, ovo je jasno: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Ura! Hajde da zapišemo:
Sljedeći primjer. Skratimo 88179/2717.
Podelimo, dobijamo:
Zasebno analiziramo razlomak 1235/2717 i okrećemo ga:
Možemo uzeti u obzir djelitelj kao što je 13 (do 13 nije prikladno):
Brojač 247:13=19 Imenilac 1235:13=95
*Tokom procesa vidjeli smo još jedan djelitelj jednak 19. Ispada da:
Sada zapisujemo originalni broj:
I nije bitno šta je veće u razlomku - brojilac ili nazivnik, ako je nazivnik, onda ga okrećemo i postupamo kako je opisano. Na ovaj način možemo smanjiti bilo koji razlomak; treći pristup se može nazvati univerzalnim.
Naravno, dva gore opisana primjera nisu jednostavni primjeri. Isprobajmo ovu tehnologiju na "jednostavnim" razlomcima koje smo već razmotrili:
Dvije četvrtine.
Sedamdeset dvije šezdesete. Brojilac je veći od nazivnika; nema potrebe da ga obrnete:
Naravno, treći pristup je primijenjen na tako jednostavne primjere jednostavno kao alternativa. Metoda je, kao što je već rečeno, univerzalna, ali nije zgodna i ispravna za sve razlomke, posebno za jednostavne.
Raznolikost frakcija je velika. Važno je da razumete principe. Jednostavno ne postoji strogo pravilo za rad sa razlomcima. Pogledali smo, shvatili kako bi bilo zgodnije djelovati i krenuli naprijed. S vježbom, vještina će doći i ispucat ćete ih kao sjemenke.
zaključak:
Ako vidite zajednički djelitelj(e) za brojnik i nazivnik, koristite ih za smanjenje.
Ako znate kako brzo razložiti broj na faktore, zatim brojilac i nazivnik na faktore, a zatim smanjite.
Ako ne možete odrediti zajednički djelitelj, koristite treći pristup.
*Da biste smanjili razlomke, važno je ovladati principima redukcije, razumjeti osnovnu osobinu razlomka, poznavati pristupe rješavanju i biti izuzetno oprezni pri proračunima.
I zapamtite! Uobičajeno je smanjiti razlomak dok se ne zaustavi, odnosno smanjivati ga sve dok postoji zajednički djelitelj.
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.
Zasnovan je na njihovom osnovnom svojstvu: ako se brojnik i nazivnik razlomka podijele istim polinomom koji nije nula, onda će se dobiti jednak razlomak.
Možete samo smanjiti množitelje!
Članovi polinoma se ne mogu skraćivati!
Da bi se smanjio algebarski razlomak, polinomi u brojniku i nazivniku prvo moraju biti faktorisani.
Pogledajmo primjere smanjenja razlomaka.
Brojilac i nazivnik razlomka sadrže monome. Oni predstavljaju rad(brojevi, varijable i njihove moći), množitelji možemo smanjiti.
Brojeve smanjujemo za njihov najveći zajednički djelitelj, odnosno za najveći broj, kojim je svaki od ovih brojeva podijeljen. Za 24 i 36 ovo je 12. Nakon smanjenja ostaje 2 od 24, a 3 od 36.
Smanjujemo stepene za stepen sa najnižim indeksom. Smanjiti razlomak znači podijeliti brojilac i nazivnik istim djeliteljem i oduzeti eksponente.
a² i a⁷ se svode na a². U ovom slučaju u brojiocu a² ostaje jedan (1 upisujemo samo u slučaju kada nakon redukcije ne preostaje nijedan drugi faktor. Od 24 ostaje 2, tako da od a² ne pišemo 1). Od a⁷, nakon redukcije, ostaje a⁵.
b i b se smanjuju za b; rezultirajuće jedinice se ne pišu.
c³º i c⁵ su skraćeni na c⁵. Ono što ostaje od c³º je c²⁵, od c⁵ je jedan (mi ga ne pišemo). dakle,
Brojilac i nazivnik ovog algebarskog razlomka su polinomi. Ne možete poništiti termine polinoma! (ne možete smanjiti, na primjer, 8x² i 2x!). Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate . Brojilac ima zajednički faktor 4x. Izvadimo to iz zagrada:
I brojnik i imenilac imaju isti faktor (2x-3). Smanjujemo razlomak ovim faktorom. U brojiocu smo dobili 4x, u nazivniku - 1. Prema 1 svojstvu algebarskih razlomaka, razlomak je jednak 4x.
Možete samo smanjiti faktore (ne možete smanjiti ovaj razlomak za 25x²!). Stoga se polinomi u brojniku i nazivniku razlomka moraju faktorizirati.
Brojnik je potpuni kvadrat zbira, nazivnik je razlika kvadrata. Nakon dekompozicije korištenjem skraćenih formula za množenje, dobijamo:
Smanjujemo razlomak za (5x+1) (da biste to učinili, precrtajte dva u brojiocu kao eksponent, ostavljajući (5x+1)² (5x+1)):
Brojač ima zajednički faktor 2, izvadimo ga iz zagrada. Imenilac je formula za razliku kocki:
Kao rezultat proširenja, brojilac i imenilac su dobili isti faktor (9+3a+a²). Time smanjujemo razlomak:
Polinom u brojniku se sastoji od 4 člana. prvi član sa drugim, treći sa četvrtim i uklonite zajednički faktor x² iz prvih zagrada. Dekomponujemo imenilac koristeći formulu sume kocke:
U brojiocu, uzmimo zajednički faktor (x+2) iz zagrada:
Smanjite razlomak za (x+2):
Učitavanje...