Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatan vodič (2019)

U terminu "kvadratna jednačina" ključna riječ je "kvadratna". To znači da jednačina mora nužno sadržavati promjenljivu (to isto x) na kvadrat, i ne bi trebalo biti x-ova na treći (ili veći) stepen.

Rješenje mnogih jednačina svodi se na točno rješavanje kvadratne jednačine.

Naučimo odrediti da je ovo kvadratna jednačina, a ne neka druga jednačina.

Primjer 1.

Oslobodimo se nazivnika i pomnožimo svaki član jednačine sa

Prebacimo sve na lijeva strana i rasporedite članove u opadajućem redosledu po stepenu x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednačina kvadratna!

Primjer 2.

Pomnožite lijevu i desnu stranu sa:

Ova jednadžba, iako je prvobitno bila u njoj, nije kvadratna!

Primjer 3.

Pomnožimo sve sa:

Strašno? Četvrti i drugi stepen... Međutim, ako izvršimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednačinu:

Primjer 4.

Čini se da postoji, ali hajde da pogledamo izbliza. Pomerimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjen je - i sada je to jednostavna linearna jednačina!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednačina kvadratne, a koje nisu:

primjeri:

odgovori:

kvadrat;
kvadrat;
ne kvadratna;
ne kvadratna;
ne kvadratna;
kvadrat;
ne kvadratna;
kvadrat.

Matematičari konvencionalno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dato- to su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednačina iz primjera jedan ne samo potpuna, već i smanjena!)

Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:
Nepotpune su jer im nedostaje neki element. Ali jednačina uvijek mora sadržavati x na kvadrat!!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna jednačina, već neka druga jednačina.

Zašto su smislili takvu podjelu? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Ova podjela je određena metodama rješenja. Pogledajmo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, fokusirajmo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su mnogo jednostavnije!

Postoje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

, u ovoj jednačini koeficijent je jednak.
, u ovoj jednačini slobodni član je jednak.
, u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Pošto znamo kako uzeti kvadratni korijen, izrazimo iz ove jednačine

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednačina nema rješenja.

A ako, onda dobijamo dva korijena. Nema potrebe da se ove formule pamte. Glavna stvar je da morate znati i uvijek zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednačinu

Sada ostaje samo da izvadite korijen s lijeve i desne strane. Uostalom, sjećate li se kako izvaditi korijenje?

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednačinu

Oh! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

bez korijena!

Za takve jednadžbe koje nemaju korijen, matematičari su smislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo izvukli root.
Primjer 8:

Riješite jednačinu

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

dakle,

Ova jednadžba ima dva korijena.

odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo izostati s primjerima.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je potpuna kvadratna jednadžba jednačina oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi je malo teže (samo malo) od ovih.

zapamti, Bilo koja kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Druge metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminanta.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi ovom metodom je vrlo jednostavno; glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednačina ima korijen. Posebna pažnja napravi korak. Diskriminant () nam govori o broju korijena jednadžbe.

Ako, onda će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednačina će imati samo korijen.
Ako, onda nećemo moći izvući korijen diskriminanta u koraku. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Vratimo se na naše jednadžbe i pogledajmo neke primjere.

Primjer 9:

Riješite jednačinu

Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima dva korijena.

Korak 3.

odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da jednačina ima jedan korijen.

odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednačinu

Jednačina je predstavljena u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskačemo.

Korak 2.

Pronalazimo diskriminanta:

To znači da nećemo moći izvući korijen diskriminanta. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako ispravno zapisati takve odgovore.

odgovor: nema korijena

2. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Ako se sjećate, postoji vrsta jednadžbe koja se zove redukovana (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Vietine teoreme:

Zbir korijena dato kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednačinu

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer .

Zbir korijena jednačine je jednak, tj. dobijamo prvu jednačinu:

A proizvod je jednak:

Sastavimo i riješimo sistem:

I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednačinu

odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednačinu

Jednačina je data, što znači:

odgovor:

KVADRATNE JEDNAČINE. PROSJEČAN NIVO

Šta je kvadratna jednačina?

Drugim riječima, kvadratna jednačina je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - neki brojevi i.

Broj se naziva najvišim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, A - besplatni član.

Zašto? Jer ako jednačina odmah postane linearna, jer će nestati.

U ovom slučaju, i može biti jednako nuli. U ovoj stolici jednačina se naziva nepotpuna. Ako su svi pojmovi na mjestu, to jest, jednačina je potpuna.

Rješenja različitih tipova kvadratnih jednadžbi

Metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Prvo, pogledajmo metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Možemo razlikovati sljedeće vrste jednačina:

I., u ovoj jednačini koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednačini koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednačini slobodni član je jednak.

Pogledajmo sada rješenje za svaki od ovih podtipova.

Očigledno, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer kada pomnožite dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Zbog toga:

ako, onda jednačina nema rješenja;

ako imamo dva korena

Nema potrebe da se ove formule pamte. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijene sa negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da je jednačina

nema korijena.

Da bismo ukratko zapisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

odgovor:

Izvadimo zajednički faktor iz zagrada:

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednačina ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

primjer:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Faktorimo lijevu stranu jednačine i pronađemo korijene:

odgovor:

Metode za rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminant

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba se može riješiti korištenjem diskriminanta! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen od diskriminanta u formuli za korijene? Ali diskriminant može biti negativan. sta da radim? Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminant nam govori o broju korijena jednačine.

Ako, onda jednačina ima korijen:
Ako, onda jednadžba ima iste korijene, a zapravo, jedan korijen:
Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim korijenima.
Ako, tada se korijen diskriminanta ne izdvaja. Ovo ukazuje da jednačina nema korijena.

Zašto je to moguće različite količine roots? Hajde da se okrenemo geometrijskog smisla kvadratna jednačina. Grafikon funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . To znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka sa osom apscise (osom). Parabola možda uopće ne siječe osu, ili je može sjeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili dvije tačke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, onda su grane parabole usmjerene prema gore, a ako, onda prema dolje.

primjeri:

rješenja:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietin teorem

Vrlo je lako koristiti Vietin teorem: potrebno je samo odabrati par brojeva čiji je proizvod jednak slobodnom članu jednačine, a zbir je jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietina teorema može primijeniti samo u redukovane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Ova jednačina se može riješiti korištenjem Vietine teoreme jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbir korijena jednadžbe je:

A proizvod je jednak:

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak i provjerimo da li je njihov zbir jednak:

I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak;
I. Iznos je jednak.

i su rješenje za sistem:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Rješenje:

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a zatim provjerimo da li je njihov zbir jednak:

i: daju ukupno.

i: daju ukupno. Da biste dobili, dovoljno je jednostavno promijeniti znakove navodnih korijena: i, na kraju krajeva, proizvoda.

odgovor:

Primjer #3:

Rješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan broj. Ovo je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Stoga je zbir korijena jednak razlike njihovih modula.

Odaberimo parove brojeva koji daju u proizvodu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova razlika je jednaka - ne uklapa se;

i: - nije prikladno;

i: - pogodan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Pošto njihov zbir mora biti jednak, korijen sa manjim modulom mora biti negativan: . Provjeravamo:

odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očigledno, samo su korijeni i pogodni za prvi uvjet:

odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednačinu.

Rješenje:

Jednačina je data, što znači:

Zbir korijena je negativan, što znači da prema najmanje, jedan od korijena je negativan. Ali budući da je njihov proizvod pozitivan, to znači da oba korijena imaju predznak minus.

Odaberimo parove brojeva čiji je proizvod jednak:

Očigledno, korijeni su brojevi i.

odgovor:

Slažete se, vrlo je zgodno doći do korijena usmeno, umjesto da brojite ovaj gadni diskriminator. Pokušajte koristiti Vietinu teoremu što je češće moguće.

Ali Vietin teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da biste imali koristi od njegove upotrebe, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminator! Samo Vietina teorema:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietovoj teoremi:

Kao i obično, odabir počinjemo s komadom:

Nije prikladno zbog količine;

: iznos je upravo ono što vam treba.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet naša omiljena Vietina teorema: zbir mora biti jednak, a proizvod mora biti jednak.

Ali pošto mora biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je to?

Morate premjestiti sve pojmove u jedan dio:

Zbir korijena jednak je proizvodu.

Ok, stani! Jednačina nije data. Ali Vietin teorem je primjenjiv samo u datim jednačinama. Dakle, prvo morate dati jednačinu. Ako ne možete voditi, odustanite od ove ideje i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminator). Dozvolite mi da vas podsjetim da dati kvadratnu jednačinu znači učiniti vodeći koeficijent jednakim:

Odlično. Tada je zbir korijena jednak proizvodu.

Ovdje je lako izabrati kruške: na kraju krajeva, to je prost broj (izvinite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni član je negativan. Šta je u ovome posebno? A činjenica je da će korijeni imati različite znakove. I sada, tokom odabira, ne provjeravamo zbir korijena, već razliku u njihovim modulima: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Vietina teorema nam govori da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, pošto.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Šta prvo treba da uradite? Tako je, dajte jednačinu:

Opet: biramo faktore broja, a njihova razlika bi trebala biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbir bi trebao biti jednak, što znači da će minus imati veći korijen.

Odgovor: ; .

Dozvolite mi da rezimiram:

Vietin teorem se koristi samo u datim kvadratnim jednačinama.
Koristeći Vietin teorem, možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
Ako jednačina nije data ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, onda nema cijelih korijena i morate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminanta).

3. Metoda za odabir cijelog kvadrata

Ako su svi pojmovi koji sadrže nepoznato predstavljeni u obliku pojmova iz skraćenih formula za množenje - kvadrata zbira ili razlike - tada se nakon zamjene varijabli jednačina može predstaviti u obliku nepotpune kvadratne jednačine tipa.

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednačinu: .

Rješenje:

odgovor:

IN opšti pogled transformacija će izgledati ovako:

Ovo implicira: .

Ne podsjeća te ni na šta? Ovo je diskriminatorna stvar! Upravo tako smo dobili diskriminantnu formulu.

KVADRATNE JEDNAČINE. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Kvadratna jednadžba- ovo je jednačina oblika, gdje je - nepoznato, - koeficijenti kvadratne jednačine, - slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednačina u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Redukovana kvadratna jednačina- jednačina u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

ako je koeficijent, jednačina izgleda ovako: ,
ako postoji slobodni član, jednačina ima oblik: ,
ako i, jednačina izgleda ovako: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Izrazimo nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

ako, onda jednačina nema rješenja,
ako, onda jednačina ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je, :

1) Uzmimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednačina oblika gdje

2.1. Rješenje korištenjem diskriminanta

1) Dovedemo jednačinu u standardni oblik: ,

2) Izračunajmo diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednačine:

3) Pronađite korijene jednačine:

ako, onda jednadžba ima korijene, koji se nalaze po formuli:
ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
ako, onda jednačina nema korijena.

2.2. Rješenje korištenjem Vietine teoreme

Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe (jednačina oblika gdje) je jednak, a proizvod korijena jednak, tj. , A.

2.3. Rješenje metodom odabira cijelog kvadrata

Problemi kvadratne jednačine se izučavaju iu školskom programu i na univerzitetima. One znače jednačine oblika a*x^2 + b*x + c = 0, gdje je x- varijabla, a, b, c – konstante; a<>0 . Zadatak je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednačine

Graf funkcije koji je predstavljen kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole sa apscisom (x). Iz toga slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema tačaka preseka sa osom apscise. To znači da se nalazi u gornjoj ravni sa granama gore ili donjem sa granama nadole. U takvim slučajevima, kvadratna jednadžba nema realnih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu tačku preseka sa Ox osom. Takva tačka se naziva vrh parabole, a kvadratna jednačina u njoj dobija svoju minimalnu ili maksimalnu vrednost. U ovom slučaju, kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva identična korijena).

3) Poslednji slučaj je interesantniji u praksi - postoje dve tačke preseka parabole sa osom apscise. To znači da postoje dva realna korijena jednačine.

Na osnovu analize koeficijenata potencija varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, onda su grane parabole usmjerene prema gore; ako je negativan, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravni, ako ima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti, dobijamo izraz

Pomnožite obje strane sa 4a

Da biste dobili potpuni kvadrat na lijevoj strani, dodajte b^2 na obje strane i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe

Diskriminant je vrijednost radikalnog izraza.Ako je pozitivan, onda jednačina ima dva realna korijena, izračunata po formuli Kada je diskriminanta nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva podudarna korijena), što se lako može dobiti iz gornje formule za D = 0. Kada je diskriminanta negativna, jednačina nema realnih korijena. Međutim, rješenja kvadratne jednadžbe nalaze se u kompleksnoj ravni, a njihova vrijednost se izračunava pomoću formule

Vietin teorem

Razmotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i na njihovoj osnovi konstruiramo kvadratnu jednačinu. Sama Vietina teorema lako slijedi iz notacije: ako imamo kvadratnu jednačinu oblika tada je zbir njegovih korijena jednak koeficijentu p uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formularni prikaz gore navedenog izgledat će kao Ako je u klasičnoj jednadžbi konstanta a različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Raspored kvadratne jednačine na faktoring

Neka je zadatak postavljen: čini kvadratnu jednačinu. Da bismo to učinili, prvo rješavamo jednačinu (pronađimo korijene). Zatim, zamjenjujemo pronađene korijene u formulu proširenja za kvadratnu jednadžbu, što će riješiti problem.

Problemi kvadratne jednačine

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u diskriminantnu formulu

Root of datu vrijednost jednak je 14, lako ga je pronaći pomoću kalkulatora ili zapamtiti uz čestu upotrebu, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka ću vam dati popis kvadrata brojeva koji se često mogu susresti u takvim problemima.
Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijensku formulu

i dobijamo

Zadatak 2. Riješite jednačinu

2x 2 +x-3=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednačinu, ispišite koeficijente i pronađite diskriminanta

By poznate formule pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. Riješite jednačinu

9x 2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednačinu. Određivanje diskriminanta

Imamo slučaj gdje se korijeni poklapaju. Pomoću formule pronađite vrijednosti korijena

Zadatak 4. Riješite jednačinu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Po njegovom uslovu dobijamo dve jednačine

Iz drugog uslova nalazimo da proizvod mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja (-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uslov, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednačine su jednaki

Zadatak 5. Odredite dužine stranica pravougaonika ako je njegov obim 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Pola opsega pravougaonika jednaka je zbiru njegovih susjednih stranica. Označimo x kao veću stranu, tada je 18-x njena manja strana. Površina pravougaonika jednaka je proizvodu ovih dužina:
x(18-x)=77;
ili
x 2 -18x+77=0.
Nađimo diskriminanta jednačine

Izračunavanje korijena jednadžbe

Ako x=11, To 18's=7 , suprotno je takođe tačno (ako je x=7, onda je 21's=9).

Zadatak 6. Faktori kvadratnu jednačinu 10x 2 -11x+3=0.

Rješenje: Izračunajmo korijene jednačine, da bismo to uradili nalazimo diskriminanta

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijensku formulu i izračunavamo

Primjenjujemo formulu za dekomponovanje kvadratne jednadžbe po korijenima

Otvaranjem zagrada dobijamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Na kojim vrijednostima parametara A , da li jednadžba (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ima jedan korijen?

Rješenje: Direktnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da nema rješenja. Zatim ćemo koristiti činjenicu da s nultim diskriminantom jednačina ima jedan korijen množenosti 2. Hajde da ispišemo diskriminanta

Hajde da ga pojednostavimo i izjednačimo sa nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu u odnosu na parametar a čije se rješenje lako može dobiti pomoću Vietine teoreme. Zbir korijena je 7, a njihov proizvod je 12. Jednostavnim pretraživanjem utvrđujemo da će brojevi 3,4 biti korijeni jednadžbe. Pošto smo već na početku proračuna odbacili rješenje a=3, jedino ispravno će biti - a=4. Dakle, za a=4 jednačina ima jedan korijen.

Primjer 2. Na kojim vrijednostima parametara A , jednačina a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Razmotrimo prvo singularne tačke, to će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednačina će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i postojaće jedan koren. Za a= -3 dobijamo identitet 0=0.
Izračunajmo diskriminanta

i pronađite vrijednost a pri kojoj je pozitivan

Iz prvog uslova dobijamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminanta i korijene jednadžbe

Odredimo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom tačke a=0 dobijamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3;1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravi poentu a=0,što treba isključiti jer izvorna jednadžba ima jedan korijen u sebi.
Kao rezultat, dobijamo dva intervala koji zadovoljavaju uslove problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte sami smisliti zadatke i ne zaboravite uzeti u obzir uslove koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi; one su često potrebne pri računanju u različite zadatke i nauke.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode za rješavanje kvadratnih jednačina // Mladi naučnik. 2016. br. 6.1. str. 17-20..02.2019.).

Naš projekt je o načinima rješavanja kvadratnih jednadžbi. Cilj projekta: naučiti rješavati kvadratne jednačine na načine koji nisu uključeni u školski program. Zadatak: pronaći sve mogući načini rješavanje kvadratnih jednadžbi i učenje kako ih sami koristiti i upoznavanje ovih metoda svojim kolegama iz razreda.

Šta su „kvadratne jednačine“?

Kvadratna jednadžba- jednačina oblika sjekira2 + bx + c = 0, Gdje a, b, c- neki brojevi ( a ≠ 0), x- nepoznato.

Brojevi a, b, c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednačine.

a se naziva prvi koeficijent;
b se naziva drugi koeficijent;
c - slobodan član.

Ko je prvi "izmislio" kvadratne jednačine?

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate prije 4000 godina u starom Babilonu. Otkriće drevnih babilonskih glinenih ploča, koje datiraju negdje između 1800. i 1600. godine prije Krista, pruža najraniji dokaz proučavanja kvadratnih jednačina. Iste tablete sadrže metode za rješavanje određenih vrsta kvadratnih jednadžbi.

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje područja zemljišne parcele i sa zemljani radovi vojnog karaktera, kao i razvojem same astronomije i matematike.

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.

Babilonski matematičari iz oko 4. veka pre nove ere. koristio je metodu komplementa kvadrata za rješavanje jednadžbi s pozitivnim korijenima. Oko 300. pne Euklid je došao do općenitije metode geometrijskog rješenja. Prvi matematičar koji je pronašao rješenja jednadžbi s negativnim korijenima u obliku algebarske formule bio je indijski naučnik Brahmagupta(Indija, 7. vek nove ere).

Brahmagupta je postavio opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficijenti u ovoj jednačini također mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.

Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga govori o takvim takmičenjima: „Kao što sunce pomračuje zvijezde svojim sjajem, tako ucen covek pomračiće svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.

U algebarskoj raspravi Al-Khwarizmi data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax2 = c.

3) “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax2 = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) „Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima“, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao konzumaciju negativni brojevi, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimani. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja metode za rješavanje ovih jednačina koristeći tehnike al-jabr i al-mukabal. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da Al-Khorezmi, kao i svi matematičari do 17. stoljeća, prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što u konkretnoj praksi to nije bitno u zadacima. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Forme za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abakusa", napisanoj 1202. godine. italijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavajući probleme i prvi u Europi uveo negativne brojeve.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz ove knjige korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 14.-17. Opšte pravilo rješenje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulirano je u Evropi 1544. godine. M. Stiefel.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. zahvaljujući naporima Girard, Descartes, Newton i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Standardne metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi iz školski program:

Faktoriranje lijeve strane jednačine.
Metoda za odabir cijelog kvadrata.
Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule.
Grafičko rješenje kvadratna jednačina.
Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Zaustavimo se detaljnije na rješenju reduciranih i nereduciranih kvadratnih jednadžbi koristeći Vietin teorem.

Podsjetimo da je za rješavanje gornje kvadratne jednadžbe dovoljno pronaći dva broja čiji je proizvod jednak slobodnom članu, a čiji je zbir jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka.

Primjer.x 2 -5x+6=0

Morate pronaći brojeve čiji je proizvod 6, a zbir 5. Ovi brojevi će biti 3 i 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Ali ovu metodu možete koristiti i za jednačine s prvim koeficijentom koji nije jednak jedan.

Primjer.3x 2 +2x-5=0

Uzmite prvi koeficijent i pomnožite ga slobodnim članom: x 2 +2x-15=0

Korijeni ove jednadžbe bit će brojevi čiji je proizvod jednak -15, a zbir jednak -2. Ovi brojevi su 5 i 3. Da biste pronašli korijene originalne jednačine, podijelite rezultirajuće korijene s prvim koeficijentom.

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rješavanje jednadžbi metodom "baci".

Razmotrimo kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0, gdje je a≠0.

Množenjem obe strane sa a dobijamo jednačinu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; tada dolazimo do jednačine y 2 + by + ac = 0, ekvivalentne datoj. Njegove korijene za 1 i 2 nalazimo koristeći Vietin teorem.

Konačno dobijamo x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Kod ove metode koeficijent a se množi slobodnim terminom, kao da mu je „bačen“, zbog čega se naziva „metoda bacanja“. Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Primjer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Bacimo” koeficijent 2 na slobodni član i izvršimo zamjenu i dobijemo jednačinu y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema Vietinoj inverznoj teoremi

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine.

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ako je a+ b + c = 0 (tj. zbir koeficijenata jednačine je nula), tada je x 1 = 1.

2. Ako je a - b + c = 0, ili b = a + c, onda je x 1 = - 1.

Primjer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Pošto je a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), onda je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Primjer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jer a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), zatim x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Postoje i druga svojstva koeficijenata kvadratne jednačine. ali je njihova upotreba složenija.

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma.

Slika 1. Nomogram

Ovo je stara i trenutno zaboravljena metoda rješavanja kvadratnih jednačina, smještena na 83. strani zbirke: Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri cifre. - M., Prosveta, 1990.

Tabela XXII. Nomogram za rješavanje jednačine z 2 + pz + q = 0. Ovaj nomogram omogućava, bez rješavanja kvadratne jednačine, da se iz njenih koeficijenata odrede korijeni jednadžbe.

Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama (slika 1):

Believing OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), sa Sl. 1 sličnosti trouglova SAN I CDF dobijamo proporciju

što, nakon zamjena i pojednostavljenja, daje jednačinu z 2 + pz + q = 0, i pismo z označava oznaku bilo koje tačke na zakrivljenoj skali.

Rice. 2 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma

Primjeri.

1) Za jednačinu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odgovor:8.0; 1.0.

2) Pomoću nomograma rješavamo jednačinu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podelite koeficijente ove jednačine sa 2, dobijamo jednačinu z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0.5.

9. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjer.X 2 + 10x = 39.

U originalu je ovaj problem formuliran na sljedeći način: "Kvadrat i deset korijena jednaki su 39."

Posmatrajmo kvadrat sa stranicom x, na njegovim stranicama su konstruirani pravokutnici tako da je druga strana svakog od njih 2,5, pa je površina svakog 2,5x. Rezultirajuća figura se zatim dopunjava novom kvadratu ABCD, gradeći četiri jednaka kvadrata u uglovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina 6,25

Rice. 3 Grafička metoda za rješavanje jednačine x 2 + 10x = 39

Površina S kvadrata ABCD može se predstaviti kao zbir površina: prvobitnog kvadrata x 2, četiri pravougaonika (4∙2,5x = 10x) i četiri dodatna kvadrata (6,25∙4 = 25), tj. S = x 2 + 10x = 25. Zamenivši x 2 + 10x brojem 39, dobijamo da je S = 39 + 25 = 64, što znači da je stranica kvadrata ABCD, tj. segment AB = 8. Za traženu stranu x originalnog kvadrata dobijamo

10. Rješavanje jednadžbi pomoću Bezoutove teoreme.

Bezoutova teorema. Ostatak dijeljenja polinoma P(x) sa binomom x - α jednak je P(α) (to jest, vrijednost P(x) na x = α).

Ako je broj α korijen polinoma P(x), tada je ovaj polinom djeljiv sa x -α bez ostatka.

Primjer.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Podijelite P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ili x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

zaključak: Sposobnost brzog i racionalnog rješavanja kvadratnih jednadžbi jednostavno je neophodna za rješavanje više složene jednačine, na primjer, frakcione racionalne jednadžbe, jednačine višim stepenima, bikvadratne jednačine, au srednjoj školi trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednačine. Nakon što smo proučili sve pronađene metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi, možemo savjetovati kolegama iz razreda da, pored standardnih metoda, rješavaju metodom prijenosa (6) i rješavaju jednadžbe koristeći svojstvo koeficijenata (7), jer su pristupačnije do razumevanja.

književnost:

Bradis V.M. Matematičke tabele sa četiri cifre. - M., Prosveta, 1990.
Algebra 8. razred: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ur. S. A. Telyakovsky 15. izd., revidirano. - M.: Obrazovanje, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Istorija matematike u školi. Priručnik za nastavnike. / Ed. V.N. Mlađi. - M.: Prosveta, 1964.

Poznato je da je to posebna verzija jednakosti ax 2 + bx + c = o, gdje su a, b i c realni koeficijenti za nepoznati x, a gdje će a ≠ o, a b i c biti nule - istovremeno ili odvojeno. Na primjer, c = o, b ≠ o ili obrnuto. Gotovo smo se sjetili definicije kvadratne jednadžbe.

Trinom drugog stepena je nula. Njegov prvi koeficijent a ≠ o, b i c može imati bilo koju vrijednost. Vrijednost varijable x će tada biti kada je zamjena pretvori u ispravnu numeričku jednakost. Fokusirajmo se na realne korijene, iako jednačine mogu biti i rješenja.Uobičajeno je da se jednačina naziva kompletnom u kojoj nijedan koeficijent nije jednak o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Hajde da riješimo primjer. 2x 2 -9x-5 = oh, nalazimo
D = 81+40 = 121,
D je pozitivan, što znači da postoje korijeni, x 1 = (9+√121):4 = 5, a drugi x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Provjera će pomoći da se uvjerite da su tačne.

Evo korak po korak rješenja kvadratne jednačine

Koristeći diskriminantu, možete riješiti bilo koju jednačinu na čijoj lijevoj strani postoji poznati kvadratni trinom za a ≠ o. U našem primjeru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Hajde da razmotrimo šta su nepotpune jednačine drugog stepena

ax 2 +in = o. Slobodni član, koeficijent c na x 0, ovdje je jednak nuli, u ≠ o.
Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu ovog tipa? Izvadimo x iz zagrada. Prisjetimo se kada je proizvod dva faktora jednak nuli.
x(ax+b) = o, ovo može biti kada je x = o ili kada je ax+b = o.
Nakon što smo riješili 2. imamo x = -v/a.
Kao rezultat, imamo korijene x 1 = 0, prema proračunima x 2 = -b/a.
Sada je koeficijent od x jednak o, a c nije jednako (≠) o.
x 2 +c = o. Pomjerimo c na desnu stranu jednakosti, dobićemo x 2 = -s. Ova jednadžba ima prave korijene samo kada je -c pozitivan broj (c ‹ o),
x 1 je tada jednako √(-c), respektivno, x 2 je -√(-c). Inače, jednadžba uopće nema korijena.
Posljednja opcija: b = c = o, odnosno ax 2 = o. Naravno, tako jednostavna jednadžba ima jedan korijen, x = o.

Posebni slučajevi

Pogledali smo kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu, a sada uzmimo bilo koje vrste.

U potpunoj kvadratnoj jednadžbi, drugi koeficijent od x je paran broj.
Neka je k = o.5b. Imamo formule za izračunavanje diskriminanta i korijena.
D/4 = k 2 - ac, koreni se računaju kao x 1,2 = (-k±√(D/4))/a za D › o.
x = -k/a na D = o.
Nema korijena za D ‹ o.
Postoje date kvadratne jednadžbe, kada je koeficijent od x na kvadrat jednak 1, obično se pišu x 2 + rh + q = o. Sve gore navedene formule vrijede za njih, ali su proračuni nešto jednostavniji.
Primjer, x 2 -4x-9 = 0. Izračunajte D: 2 2 +9, D = 13.
x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
Osim toga, lako je primijeniti na one date. Kaže da je zbir korijena jednačine jednak -p, drugi koeficijent sa minusom (što znači suprotan znak), a proizvod ovih istih korijena bit će jednak q, slobodnom članu. Pogledajte kako bi bilo lako verbalno odrediti korijene ove jednadžbe. Za nereducirane koeficijente (za sve koeficijente koji nisu jednaki nuli), ova teorema je primjenjiva na sljedeći način: zbir x 1 + x 2 je jednak -b/a, proizvod x 1 · x 2 je jednak c/a.

Zbir slobodnog člana c i prvog koeficijenta a jednak je koeficijentu b. U ovoj situaciji, jednačina ima najmanje jedan korijen (lako dokazati), prvi je nužno jednak -1, a drugi -c/a, ako postoji. Možete sami provjeriti kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu. Lako kao pita. Koeficijenti mogu biti u određenim međusobnim odnosima

x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
Zbir svih koeficijenata je jednak o.
Korijeni takve jednadžbe su 1 i c/a. Primjer, 2x 2 -15x+13 = o.
x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Postoji niz drugih načina za rješavanje različitih jednačina drugog stepena. Evo, na primjer, metoda za izdvajanje kompletnog kvadrata iz datog polinoma. Postoji nekoliko grafičkih metoda. Kada se često budete bavili ovakvim primjerima, naučit ćete ih „kliknuti“ kao sjemenke, jer vam sve metode automatski padaju na pamet.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 ili x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nakon što ste naučili rješavati jednačine prvog stepena, naravno, želite raditi s drugima, posebno s jednačinama drugog stepena, koje se inače nazivaju kvadratnim.

Kvadratne jednadžbe su jednadžbe poput ax² + bx + c = 0, gdje je varijabla x, brojevi su a, b, c, gdje a nije jednako nuli.

Ako je u kvadratnoj jednadžbi jedan ili drugi koeficijent (c ili b) jednak nuli, onda će ova jednačina biti klasifikovana kao nepotpuna kvadratna jednačina.

Kako riješiti nepotpunu kvadratnu jednačinu ako su učenici do sada mogli riješiti samo jednačine prvog stepena? Razmotrite nepotpune kvadratne jednadžbe različite vrste i jednostavnim načinima za njihovo rješavanje.

a) Ako je koeficijent c jednak 0, a koeficijent b nije jednak nuli, tada se ax ² + bx + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + bx = 0.

Da biste riješili takvu jednadžbu, morate znati formulu za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe, koja se sastoji od faktoringa njene lijeve strane i kasnije korištenja uvjeta da je proizvod jednak nuli.

Na primjer, 5x² - 20x = 0. Lijevu stranu jednačine činimo faktorom, dok izvodimo uobičajenu matematičku operaciju: vadimo zajednički faktor iz zagrada

5x (x - 4) = 0

Koristimo uslov da su proizvodi jednaki nuli.

5 x = 0 ili x - 4 = 0

Odgovor će biti: prvi korijen je 0; drugi korijen je 4.

b) Ako je b = 0, a slobodni član nije jednak nuli, onda se jednačina ax ² + 0x + c = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² + c = 0. Jednačine se rješavaju na dva načina : a) faktoringom polinoma jednadžbe na lijevoj strani; b) koristeći svojstva aritmetike kvadratni korijen. Takva jednačina se može riješiti pomoću jedne od metoda, na primjer:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odgovor će biti: prvi korijen je 5/2; drugi korijen je jednak - 5/2.

c) Ako je b jednako 0, a c jednako 0, tada se ax ² + 0 + 0 = 0 svodi na jednačinu oblika ax ² = 0. U takvoj jednačini x će biti jednako 0.

Kao što vidite, nepotpune kvadratne jednadžbe ne mogu imati više od dva korijena.