11. klass Orlova E.V.
"Antiderivaat ja määramatu integraal"
SLAID 1
Tunni eesmärgid:
Hariduslik : kujundada ja kinnistada antiderivaadi mõistet, leida erineva tasemega antiderivatiivseid funktsioone.
Arendamine: arendada õpilaste vaimset tegevust, lähtudes analüüsi-, võrdlus-, üldistus-, süstematiseerimisoperatsioonidest.
Hariduslik: kujundada õpilaste maailmavaatelisi vaateid, kasvatada vastutusest tulemuse eest, edutunnet.
Tunni tüüp: uue materjali õppimine.
Varustus: arvuti, multimeediaplaat.
Oodatavad õpitulemused:õpilane peab
tuletise määratlus
antiderivaat on määratletud mitmetähenduslikult.
leida antiderivatiivseid funktsioone kõige lihtsamatel juhtudel
kontrollige, kas funktsiooni antiderivaat teatud ajavahemikul.
Tundide ajal
Aja organiseerimine SLAID 2
Kodutööde kontrollimine
Teema sõnum, tunni eesmärk, õppetegevuse ülesanded ja motivatsioon.
Kirjutustahvlil:
Tuletis -toodab "uue funktsiooni".
antiderivaat - Esmane pilt.
4. Teadmiste aktualiseerimine, teadmiste süstematiseerimine võrdluses.
Diferentseerimine-tuletise leidmine.
Integreerimine on funktsiooni taastamine antud tuletise abil.
Uute tegelaste tutvustus:
5. Suuharjutused:SLAID 3
punktide asemel pane mõni funktsioon, mis võrdsust rahuldab.
õpilase enesetest.
õpilaste teadmiste täiendamine.
5. Uue materjali õppimine.
A) Pöördtehted matemaatikas.
Õpetaja: matemaatikas on matemaatikas 2 vastastikku pöördtehtet. Heidame pilgu võrdlusele. SLAID 4
B) Pöördtehted füüsikas.
Mehaanika osas käsitletakse kahte vastastikku vastupidist probleemi.
Kiiruse leidmine materiaalse punkti etteantud liikumisvõrrandi järgi (funktsiooni tuletise leidmine) ja liikumistrajektoori võrrandi leidmine teadaoleva kiiruse valemi abil.
C) Tutvustatakse antiderivatiivse, määramata integraali definitsiooni
SLAID 5, 6
Õpetaja: selleks, et ülesanne muutuks konkreetsemaks, peame lähteolukorra fikseerima.
D) Antiderivaatide tabel SLAID 7
Ülesanded ürgse leidmise oskuse kujundamiseks - töö rühmades LIBISEMA 8
Ülesanded võime kujundamiseks tõestada, et antiderivaat on antud intervalli funktsiooni jaoks - paaristöö.
6.FizminutkaSLAID 9
7. Esmane õpitu mõistmine ja rakendamine.SLAID 10
8. Kodutööde seadmineSLAID 11
9. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.SLAID 12
Frontaalküsitluse käigus tehakse koos õpilastega tunni tulemused kokku, uue materjali mõiste teadlik mõistmine võib olla emotikonide kujul.
Sai kõigest aru, sai kõigega hakkama.
osaliselt ei saanud aru (a), ei jõudnud kõike teha.
Klass: 11
Tunni esitlus
Tagasi edasi
Tähelepanu! Slaidi eelvaade on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada esitluse kogu ulatust. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.
Algebratunni tehnoloogiline kaart 11. klass.
"Inimene saab oma võimeid ära tunda ainult siis, kui proovib neid rakendada."
Seneca noorem.
Tundide arv sektsiooni kohta: 10 tundi.
Blokeeri teema: Antiderivatiivne ja määramatu integraal.
Tunni juhtteema: teadmiste ja üldhariduslike oskuste kujundamine tüüpiliste, ligikaudsete ja mitmetasandiliste ülesannete süsteemi kaudu.
Tunni eesmärgid:
- Hariduslik: kujundada ja kinnistada antiderivaadi mõistet, leida erineva tasemega antiderivatiivseid funktsioone.
- Arendamine: arendada õpilaste vaimset tegevust, lähtudes analüüsi-, võrdlus-, üldistus-, süstematiseerimisoperatsioonidest.
- Hariduslik: kujundada õpilaste maailmavaatelisi vaateid, kasvatada vastutusest tulemuse eest, edutunnet.
Tunni tüüp: uue materjali õppimine.
Õppemeetodid: verbaalne, verbaalne-visuaalne, problemaatiline, heuristiline.
Õppevormid: individuaalne, paar, rühm, üldklass.
Haridusvahendid: teave, arvuti, epigraaf, jaotusmaterjal.
Oodatavad õpitulemused:õpilane peab
- tuletise määratlus
- antiderivaat on määratletud mitmetähenduslikult.
- leida antiderivatiivseid funktsioone kõige lihtsamatel juhtudel
- kontrollige, kas funktsiooni antiderivaat teatud ajavahemikul.
TUNNI STRUKTUUR:
- Tunni eesmärgi seadmine (2 min)
- Ettevalmistus uute materjalide õppimiseks (3 min)
- Uue materjaliga tutvumine (25 min)
- Esmane refleksioon ja õpitu rakendamine (10 min)
- Kodutöö seadmine (2 min)
- Tunni kokkuvõte (3 min)
- Reserve ülesanded.
Tundide ajal
1. Teema sõnum, tunni eesmärk, ülesanded ja õppetegevuse motivatsioon.
Kirjutustahvlil:
*** Tuletis – “toodab” uue funktsiooni. Primitiivne – esmane pilt.
2. Teadmiste aktualiseerimine, teadmiste süstematiseerimine võrdluses.
Diferentseerimine-tuletise leidmine.
Integreerimine on funktsiooni taastamine antud tuletise abil.
Uute tegelaste tutvustus:
* suulised harjutused: punktide asemele panna mõni võrdsust rahuldav funktsioon.(vt esitlus) -individuaalne töö.
(sel ajal kirjutab 1 õpilane tahvlile eristusvalemeid, 2 õpilast - eristamise reegleid).
- enesekontrolli teevad õpilased.(individuaalne töö)
- õpilaste teadmiste täiendamine.
3. Uue materjali õppimine.
A) Pöördtehted matemaatikas.
Õpetaja: matemaatikas on matemaatikas 2 vastastikku pöördtehtet. Heidame pilgu võrdlusele.
B) Pöördtehted füüsikas.
Mehaanika osas käsitletakse kahte vastastikku vastupidist probleemi. Kiiruse leidmine materiaalse punkti etteantud liikumisvõrrandi järgi (funktsiooni tuletise leidmine) ja liikumistrajektoori võrrandi leidmine teadaoleva kiiruse valemi abil.
Näide 1 lk 140 - töö õpikuga (individuaaltöö).
Antud funktsiooni suhtes tuletise leidmise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks ja pöördtehtet, st antud tuletise suhtes funktsiooni leidmise protsessi, nimetatakse integreerimiseks.
C) Tutvustatakse antiderivaadi määratlust.
Õpetaja: selleks, et ülesanne muutuks konkreetsemaks, peame lähteolukorra fikseerima.
Ülesanded ürgse leidmise oskuse kujundamiseks - töö rühmades. (vaata ettekannet)
Ülesanded võime kujundamiseks tõestada, et antiderivaat on antud intervalli funktsiooni jaoks - paaristöö. (vaata esitlust)
4. Esmane õpitu mõistmine ja rakendamine.
Näited lahendustega "Leia viga" - individuaalne töö.(Vaata ettekannet)
***sooritage ristkontroll.
Järeldus: nende ülesannete täitmisel on lihtne märgata, et antiderivaat määratakse mitmetähenduslikult.
5. Kodutööde seadmine
Lugege läbi selgitav tekst 4. peatüki lõige 20, jätke meelde definitsioon 1. primitiivne, lahendage nr 20.1 -20.5 (c, d) - kõigile kohustuslik ülesanne Nr 20.6 (b), 20.7 (c, d), 20.8 ( b), 20,9 (b) – 4 valikut.
6. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.
Frontaalküsitluse käigus tehakse koos õpilastega tunni tulemused kokku, uue materjali mõiste teadlik mõistmine võib olla emotikonide kujul.
Sai kõigest aru, sai kõigega hakkama.
Osaliselt ei saanud aru (a), ei jõudnud kõike teha.
7. Reserve ülesanded.
Eelpool väljapakutud ülesannete ennetähtaegsel täitmisel terve klassi poolt on kõige ettevalmistatumate õpilaste tööhõive ja arengu tagamiseks kavas kasutada ka ülesandeid nr 20.6 (a), 20.7 (a), 20.9 (a)
Kirjandus:
- A.G. Mordkovitš, P.V. Semenov, Analüüsi algebra, profiili tase, 1. osa, 2. osa probleemraamat, Manvelov S. G. "Tunni loomingulise arendamise alused".
Tunni teema : Primitiivne. Määramatu integraal ja selle omadused
Tunni eesmärgid:
Hariduslik:
tutvustada õpilastele antituletise ja määramata integraali mõisteid, antituletise põhiomadust ning antituletise ja määramata integraali leidmise reegleid.
Arendamine:
arendada oskusi iseseisvaks tööks,
aktiveerida vaimset tegevust, matemaatilist kõnet.
Hariduslik:
kasvatada vastutustunnet tehtud töö kvaliteedi ja tulemuse eest;
vastutama lõpptulemuse eest.
Tüüp õppetund : sõnumid uutest teadmistest
Käitumise meetod : sõnaline, visuaalne, iseseisev töö.
Turvalisus õppetund :
Multimeediumiseadmed ja tarkvara esitluste ja videote kuvamiseks;
Jaotusmaterjal: lihtsate integraalide tabel (konsolideerimisetapis).
Tunni struktuur.
1. Organisatsiooni hetk (2 min.)
Õppetegevuse motiveerimine. (5 min.)
Uue materjali esitlus. (50 min.)
Õpitud materjali koondamine. (25 min.)
Õppetunni kokkuvõte. Peegeldus. (6 min.)
Kodutöö sõnum. (2 min.)
Kursuse edenemine.
Aja organiseerimine. (2 minutit.)
õppemeetodid
Õpetamise tehnikad
Õpetaja tervitab õpilasi, kontrollib kohalviibijaid.
Õpilased valmistuvad tööle. Juhataja täidab aruande. Ohvitserid jagavad jaotusmaterjale.
Õppetegevuse motivatsioon. ( 5 minutit.)
õppemeetodid
Õpetamise tehnikad
Tänase tunni teema"Iidne.Määramatu integraal ja selle omadused".(1. slaid)
Selleteemalisi teadmisi kasutame järgmistes tundides teatud integraalide, lamedate kujundite alade leidmisel. Suurt tähelepanu pööratakse integraalarvutamisele kõrgmatemaatika sektsioonides kõrgkoolides rakendusülesannete lahendamisel.
Meie tänane õppetund on uue materjali õppimise tund, seetõttu on see teoreetiline. Tunni eesmärk on kujundada ideid integraalarvutuse kohta, mõista selle olemust, arendada oskusi antiderivaatide ja määramata integraalide leidmisel.(Slaid 2)
Õpilased panevad kirja tunni kuupäeva ja teema.
3. Uue materjali esitlus (50 min)
õppemeetodid
Õpetamise tehnikad
1. Hiljuti läbisime teema "Mõnede elementaarfunktsioonide tuletised". Näiteks:
Funktsiooni tuletisf (x)= X 9 , Me teame sedaf ′(x)= 9x 8 . Nüüd vaatleme näidet funktsiooni leidmisest, mille tuletis on teada.
Oletame, et meile on antud tuletisf ′(x)= 6x 5 . Tuletise teadmisi kasutades saame määrata, mis on funktsiooni tuletisf (x)= X 6 . Funktsiooni, mida saab määrata selle tuletise järgi, nimetatakse antiderivatiiviks. (Andke antiderivaadi definitsioon. (slaid 3))
Definitsioon 1 : Funktsioon F ( x ) nimetatakse funktsiooni antiderivatiiviks f ( x ) segmendil [ a; b], kui võrdsus kehtib selle lõigu kõigis punktides = f ( x )
Näide 1 (slaid 4): Tõestame, et mis tahesxϵ(-∞;+∞) funktsiooniF ( x )=x 5 -5x f (x) = 5 X 4 -5.
Tõestus: kasutades antiderivatiivi definitsiooni, leiame funktsiooni tuletise
=(X 5 -5x)′=(x 5 )′-(5х)′=5 X 4 -5.
Näide 2 (slaid 5): Tõestame, et mis tahesxϵ(-∞;+∞) funktsiooniF ( x )= mitteon funktsiooni antiderivaatf (x)= .
Tõestage koos õpilastega tahvlil.
Teame, et tuletise leidmist nimetatakseeristamist . Kutsutakse välja funktsiooni leidmine selle tuletise järgiintegratsiooni. (Slaid 6). Integreerimise eesmärk on leida antud funktsiooni kõik antiderivaadid.
Näiteks: (7. slaid)
Antiderivaadi peamine omadus:
Teoreem: KuiF ( x ) - üks funktsiooni antiderivaate f (X) intervallil X, siis määratakse selle funktsiooni kõigi antiderivaatide hulk valemiga G ( x )= F ( x )+ C kus C on reaalarv.
(Slaid 8) antiderivaatide tabel
Kolm reeglit antiderivaatide leidmiseks
Reegel nr 1: Kui Ffunktsiooni jaoks on antiderivaatf, a G- originaal jaoksg, siis F+ G- jaoks on olemas prototüüpf+ g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
Reegel nr 2: Kui F- originaal jaoksf, a kon konstantne, siis funktsioonkF- originaal jaokskf.
(kF)’ = kF’ = kf
Reegel nr 3: Kui F- originaal jaoksf, a k ja b on konstandid (), siis funktsioon
antiderivaat jaoksf(kx+ b).
Integraali mõiste ajalugu on tihedalt seotud kvadratuuride leidmise probleemidega. Vana-Kreeka ja Rooma matemaatikud nimetasid ühe või teise lamefiguuri ruudukujulisi ülesandeid probleemideks, mida tänapäeval nimetame pindalade arvutamise ülesanneteks.Vannakreeka matemaatikute paljud märkimisväärsed saavutused selliste ülesannete lahendamisel on seotud ammendumise kasutamisega. meetod, mille on välja pakkunud Eudoxus of Knidos. Selle meetodiga tõestas Eudoxus:
1. Kahe ringi pindalad on omavahel seotud nende läbimõõdu ruutudena.
2. Koonuse ruumala on 1/3 sama kõrguse ja põhjaga silindri mahust.
Eudoxuse meetodi täiustas Archimedes ja tõestas järgmist:
1. Ringjoone pindala valemi tuletamine.
2. Kera ruumala on 2/3 silindri mahust.
Kõik saavutused on tõestatud suurte matemaatikute poolt integraalide abil.
Pöördume tagasi teoreemi 1 juurde ja tuletame uue definitsiooni.
Definitsioon 2 : Väljendus F ( x ) + C , kus C - suvaline konstant, mida nimetatakse määramatuks integraaliks ja mida tähistatakse sümboliga
Definitsioonist saame:
(1)
Funktsiooni määramatu integraalf(x), on seega kõigi antiderivatiivsete funktsioonide kogumf(x) .
Võrdsuses (1) funktsioonf(x) kutsutakse integrand , ja väljend f(x) dx– integrand , muutuv x – integratsiooni muutuja , tähtaeg C - integratsioonikonstant .
Integratsioon on diferentseerumise pöördväärtus. Integreerimise õigsuse kontrollimiseks piisab tulemuse diferentseerimisest ja integrandi hankimisest.
Määramata integraali omadused.
Antiderivaadi definitsiooni põhjal on lihtne tõestada järgmistmääramata integraali omadused
Mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooniga pluss suvaline konstant
Kahe või enama funktsiooni algebralise summa määramatu integraal on võrdne nende integraalide algebralise summaga
Integraalimärgist võib välja võtta konstantse teguri, st kuia= konst, siis
Õpilased salvestavad loengu jaotusmaterjali ja õpetaja selgituste abil. Antiderivaatide ja integraalide omaduste tõestamisel kasutavad nad teadmisi diferentseerumise teemal.
4. Lihtintegraalide tabel
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
Selles tabelis sisalduvaid integraale nimetataksetabelikujuline . Märgime valemi 1 erijuhtu:
Siin on veel üks ilmne valem:
Algebratund 12. klassis.
Tunni teema: “Antiprimitiivne. Integraalne"
Eesmärgid:
hariv
Üldista ja koonda selleteemaline materjal: antiderivaadi definitsioon ja omadus, antiderivaatide tabel, antiderivaatide leidmise reeglid, integraali mõiste, Newtoni-Leibnizi valem, jooniste pindalade arvutamine. Diagnoosida teadmiste ja oskuste süsteemi assimilatsiooni ja selle rakendamist standardtaseme praktiliste ülesannete täitmiseks koos üleminekuga kõrgemale tasemele, soodustada analüüsi-, võrdlemis-, järelduste tegemise oskuse arengut.
Hariduslik
täita kõrgendatud keerukusega ülesandeid, arendada üldisi õpioskusi ning õpetada mõtlema ning teostama kontrolli ja enesekontrolli
pedagoogid
Harida, positiivset suhtumist õppimisse, matemaatikasse
Tunni tüüp: Teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine
Töövormid: rühm, individuaalne, diferentseeritud
Varustus: kaardid iseseisvaks tööks, diferentseeritud tööks, enesekontrollileht, projektor.
Tundide ajal
Aja organiseerimine
Tunni eesmärgid ja eesmärgid: Teha kokkuvõte ja kinnistada materjal teemal „Antiprimitiivne. Integraal - antiderivaadi määratlus ja omadused, antiderivaatide tabel, antiderivaatide leidmise reeglid, integraali kontseptsioon, Newton-Leibnizi valem, arvude pindala arvutamine. Diagnoosida teadmiste ja oskuste süsteemi assimilatsiooni ja selle rakendamist standardtaseme praktiliste ülesannete täitmiseks koos üleminekuga kõrgemale tasemele, soodustada analüüsi-, võrdlemis-, järelduste tegemise oskuse arengut.
Tund toimub mängu vormis.
Reeglid:
Tund koosneb 6 etapist. Iga etapp on väärt teatud arvu punkte. Hindamislehel määrate oma töö kõigis etappides punktid.
1. etapp. Teoreetiline. Matemaatiline diktaat "Tic-tac-toe".
2. etapp. Praktiline. Iseseisev töö. Leidke kõigi antiderivaatide komplekt.
3. etapp. "Hm on hea, aga 2 on parem." Töö vihikutes ja 2 õpilast tahvli revääridel. Leia funktsiooni antituletis, mille graafik läbib punkti A).
4.etapp. "Paranda vead".
5. etapp. "Tee sõna" Integraalide arvutamine.
6. etapp. "Kiirusta vaatama." Joontega piiratud kujundite pindalade arvutamine.
2. Hindamisleht.
Matemaatilinedikteerimine
Iseseisev töö
Suuline vastus
Parandage vead
Leia sõna
kiirusta vaatama
9 punkti
5+1 punkti
1 punkt
5 punkti
5 punkti
20 punkti
3 min.
5 minutit.
5 minutit.
6 min
2. Teadmiste värskendamine:
etapp. Teoreetiline. Matemaatiline diktaat "Tic-tac-toe"
Kui väide on tõene - X, kui vale - 0
Funktsioon F(x) nimetatakse antud intervalli antiderivatiiviks, kui selle intervalli kõigi х korral on võrdsus
Võimsusfunktsiooni antiderivaat on alati võimsusfunktsioon
Ühendfunktsiooni antiderivaat
See on Newtoni-Leibnizi valem
Kõverajoonelise trapetsi pindala
Funktsioonide summa antiderivaat = antud intervallil arvestatud antiderivatiivide summa
Antiderivatiivsete funktsioonide graafikud saadakse paralleeltranslatsiooni teel piki X-telge konstantse C abil.
Funktsiooni arvu korrutis on võrdne selle arvu korrutisega antud funktsiooni antituletisega.
Kõigi antiderivaatide komplektil on vorm
Kokku 9 punkti
3. Konsolideerimine ja üldistamine
2 etapp . Iseseisev töö.
"Näited õpetavad paremini kui teooria."
Isaac Newton
Leidke kõigi antiderivaatide komplekt:
1 variant
Kõigi primitiivide kogum Kõigi primitiivide kogumvalik
Enesetest.
Õigesti täidetud ülesannete eest
1. võimalus – 5 punkti,
variandi 2 eest +1 punkt
Lisamise eest 1 punkt.
etapp . "Mõistus on hea, a - 2 on parem."
Töötage kahe õpilase tahvli reväärid ja kõik ülejäänud vihikutes.
Harjutus
1 variant. Leia funktsiooni antituletis, mille graafik läbib punkti A (3; 2)
2. variant. Leia funktsiooni antituletis, mille graafik läbib alguspunkti.
Vastastikune kontrollimine.
Õige lahenduse eest -5 punkti.
etapp . Kui tahad, usu – kui tahad, kontrolli.
Ülesanne: paranda vead, kui neid on.
Leidke veaga harjutused:
Lava . Koostage sõna.
Integraalide arvutamine
1 variant.
valik.
Vastus: BRAVO
Enesetest. Õigesti täidetud ülesande eest - 5 punkti.
etapp. "Kiirusta vaatama."
arvutus joontega piiratud kujundite alad.
Ülesanne: joonistage joonis ja arvutage selle pindala.
2 punkti
2 punkti
4 punkti
6 punkti
6 punkti
Kontrollitakse individuaalselt koos õpetajaga.
Kõigi õigesti täidetud ülesannete eest - 20 punkti
Kokkuvõtteks:
Tunnis käsitleti põhiküsimusi
AVATUD TUND TEEMAL
« ÜLDINE JA MÄÄRATLEMALINE INTEGRAAL.
MÄÄRATLEMA TERVISLI OMADUSED”.
2 tundi.
11a klass matemaatika süvaõppega
Probleemi esitlus.
Probleemide otsimise õppetehnoloogiad.
ESMANE JA MÄÄRATLEMALINE INTEGRAAL.
MÄÄRATUD INTEGRAALI OMADUSED.
TUNNI EESMÄRK:
Aktiveerige vaimne tegevus;
Aidata kaasa uurimismeetodite assimilatsioonile
– tagada teadmiste kindlam omastamine.
TUNNI EESMÄRGID:
tutvustada antiderivaadi mõistet;
tõesta teoreem antud funktsiooni antiderivaatide hulga kohta (kasutades antiderivaati definitsiooni);
tutvustada määramatu integraali definitsiooni;
tõestada määramata integraali omadused;
arendada ebamäärase integraali omaduste kasutamise oskusi.
EELTÖÖ:
korrake eristamise reegleid ja valemeid
diferentsiaali mõiste.
Tehakse ettepanek probleemide lahendamiseks. Probleemid on kirjutatud tahvlile.
Õpilased annavad vastuseid ülesannete 1, 2 lahendamiseks.
(Diferentsiaali kasutamise probleemide lahendamise kogemuse värskendamine
tsiteerides).
1. Keha liikumise seadus S(t) , leidke selle hetkeline
kiirus igal ajahetkel.
- V(t) = S(t).
2. Teades, et voolava elektrienergia hulk
läbi juhi väljendatakse valemiga q (t) = 3t 
- 2 t,
tuletage valem voolutugevuse arvutamiseks mis tahes
ajahetk t.
- I (t) = 6t - 2.
3 . Liikuva keha kiiruse tundmine igal ajahetkel
mulle, et leida selle liikumise seadus.
Teades, et juhti läbiva voolu tugevus mis tahes
läbiva elektrihulga määramine
dirigendi kaudu.
Õpetaja: Kas ülesandeid nr 3 ja 4 on võimalik lahendada kasutades?
raha, mis meil on?
(Probleemsituatsiooni tekitamine).
Õpilane arvab:
- Selle probleemi lahendamiseks on vaja läbi viia operatsioon,
diferentseerumise vastand.
Diferentseerimisoperatsiooni võrreldakse etteantuga
funktsioon F (x) selle tuletis.
F(x) = f(x).
Õpetaja: Mis on eristamise ülesanne?
Õpilaste järeldus:
Leia antud funktsiooni f (x) põhjal selline funktsioon
F (x) mille tuletis on f (x) , s.o.
f(x) = F(x) .
Seda toimingut nimetatakse täpsemalt integreerimiseks
tähtajatu integratsioon.
Matemaatika osa, mis uurib integreerivate funktsioonide toimimise omadusi ja selle rakendusi füüsika ja geomeetria ülesannete lahendamisel, nimetatakse integraalarvutuseks.
Integraalarvutus on matemaatilise analüüsi osa, mis koos diferentsiaalarvutusega moodustab matemaatilise analüüsi aparaadi aluse.
Integraalarvutus tekkis suure hulga loodusteaduste ja matemaatika probleemide käsitlemisel. Olulisim neist on füüsikaline probleem antud aja jooksul läbitud vahemaa määramisel mööda teadaolevat, kuid võib-olla muutuvat liikumiskiirust ja palju iidsem probleem - geomeetriliste kujundite pindalade ja mahtude arvutamine.
Milline on selle pöördtehte määramatus, jääb veel näha.
Tutvustame definitsiooni. (lühidalt sümboolselt kirjutatud
laual).
Definitsioon 1. Funktsioon F (x), mis on defineeritud mingil intervallil
ke X, nimetatakse antud funktsiooni antiderivaadiks
samal intervallil, kui kõigi x 
X
võrdsus
F(x) = f (x) või d F(x) = f (x) dx .
Näiteks. (x) = 2x, see võrdus tähendab, et funktsioon
x on antituletis täisarvu real
2x funktsiooni jaoks.
Kasutades antiderivaadi määratlust, sooritage harjutus
nr 2 (1,3,6) . Kontrollige, kas funktsioon F on antiderivaat
noah funktsiooni f jaoks, kui
1) F(x) =
2 cos 2x , f (x) = x 
- 4 sin 2x . 2) F(x) = tg 
x - cos 5x, f (x) = 
+ 5 sin 5x.
3) F(x) = x 
sin x + 
, f(x) = 4x sinx + x cosx + 
.
Näidete lahendused kirjutavad õpilased tahvlile, kommenteerivad
oma tegude juhtimine.
Kas funktsioon x on ainus antiderivaat
funktsiooni jaoks 2x?
Õpilased toovad näiteid
x + 3; x - 92 jne. ,
Õpilased teevad oma järeldused:
Igal funktsioonil on lõpmatult palju antiderivaate.
Mis tahes funktsioon kujul x + C, kus C on mingi arv,
on x-i antiderivaat.
Antiderivatiivteoreem kirjutatakse dikteerimise all vihikusse
õpetajad.
Teoreem. Kui funktsioonil f on intervallil antiderivatiiv
F, siis suvalise arvu C korral ka funktsioon F + C
on f antiderivaat. Muud primitiivid
funktsioon f X-l seda ei tee.
Tõestamist viivad läbi õpilased õpetaja juhendamisel.
a) Sest F on f antiderivaat vahemikus X, siis
F(x) = f(x) kõigi x X jaoks.
Siis on x X jaoks mis tahes C jaoks:
(F(x) + C) = f(x) . See tähendab, et ka F (x) + C on
antiderivaat f X-l.
b) Tõestame, et teiste X-i antiderivaatide korral on funktsioon f
ei oma.
Oletame, et Ф on ka X-i f-i antiderivaat.
Siis Ф(x) = f (x) ja seega on meil kõigi x X jaoks:
Ф (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0, seega
Ф - F on X konstantne. Olgu siis Ф (x) - F (x) = C
Ф (x) = F (x) + C, seega mis tahes antiderivaat
funktsioon f X-il on kujul F + C.
Õpetaja: mis on kõigi prototüüpide leidmise ülesanne?
selle funktsiooni jaoks?
Õpilased teevad järgmise järelduse:
Kõigi antiderivaatide leidmise probleem on lahendatud
mõne leidmine: kui selline a
leitakse teistsugune, siis saadakse sellest mis tahes muu
konstandi lisamine.
Õpetaja sõnastab määramata integraali definitsiooni.
Definitsioon 2. Funktsiooni f kõigi antiderivaatide hulk
nimetatakse selle määramatuks integraaliks
funktsioonid.
Määramine. 
; 
- loetakse integraal.
= F (x) + C, kus F on üks antiderivaatidest
f , C jookseb läbi hulga
reaalarvud.
f - integrand;
f (x)dx - integrand;
x - integratsioonimuutuja;
C on integratsiooni konstant.
Õpilased uurivad iseseisvalt õpikust ebamäärase integraali omadusi ja kirjutavad need vihikusse välja.
.
Õpilased kirjutavad tahvli ääres töötades vihikusse lahendusi
Laadimine...