Trapetsi keskjoone mõiste
Alustuseks meenutagem, millist kujundit nimetatakse trapetsiks.
Definitsioon 1
Trapets on nelinurk, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks ei ole paralleelsed.
Sel juhul nimetatakse paralleelseid külgi trapetsi alusteks, mitte paralleelseid - trapetsi külgedeks.
Definitsioon 2
Trapetsi keskjoon on lõik, mis ühendab trapetsi külgede keskpunkte.
Trapetsi keskjoone teoreem
Nüüd tutvustame teoreemi trapetsi keskjoonel ja tõestame seda vektormeetodil.
1. teoreem
Trapetsi keskjoon on paralleelne alustega ja võrdne nende poolsummaga.
Tõestus.
Olgu meile antud trapets $ ABCD $ alustega $ AD \ ja \ BC $. Ja olgu $ MN $ selle trapetsi keskjoon (joonis 1).
Joonis 1. Trapetsi keskjoon
Tõestame, et $ MN || AD \ ja \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Vaatleme vektorit $ \ overrightarrow (MN) $. Järgmiseks kasutame vektorite lisamiseks hulknurga reeglit. Ühest küljest saame sellest aru
Teisel pool
Lisame kaks viimast võrdsust, saame
Kuna $ M $ ja $ N $ on trapetsi külgmiste külgede keskpunktid, saame
Saame:
Seega
Samast võrdsusest (kuna $ \ overrightarrow (BC) $ ja $ \ overrightarrow (AD) $ on kaassuunalised ja seetõttu kollineaarsed) saame, et $ MN || AD $.
Teoreem on tõestatud.
Näiteid ülesannetest trapetsi keskjoone mõiste kohta
Näide 1
Trapetsi küljed on vastavalt $ 15 \ cm $ ja $ 17 \ cm $. Trapetsi ümbermõõt on $ 52 \ cm $. Leidke trapetsi keskjoone pikkus.
Lahendus.
Tähistame trapetsi keskjoont väärtusega $ n $.
Külgede summa on
Seega, kuna ümbermõõt on $ 52 \ cm $, on aluste summa
Seega saame teoreemi 1 abil
Vastus: 10 $ \ cm $.
Näide 2
Ringi läbimõõdu otsad eemaldatakse puutujast vastavalt $ 9 $ cm ja $ 5 $ cm võrra. Leidke selle ringi läbimõõt.
Lahendus.
Olgu meile antud ring keskpunktiga $ O $ ja läbimõõduga $ AB $. Joonistage puutuja $ l $ ja konstrueerige kaugused $ AD = 9 \ cm $ ja $ BC = 5 \ cm $. Joonistame raadiuse $ OH $ (joon. 2).
Joonis 2.
Kuna $ AD $ ja $ BC $ on puutuja kaugused, siis $ AD \ bot l $ ja $ BC \ bot l $ ning kuna $ OH $ on raadius, siis $ OH \ bot l $, seega $ OH | \ vasak | AD \ parem || eKr $. Sellest kõigest saame, et $ ABCD $ on trapets ja $ OH $ on selle keskjoon. Teoreemi 1 abil saame
Nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed trapetsikujuline.
Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse selleks põhjustel, ja neid külgi, mis pole paralleelsed, nimetatakse külgmised küljed... Kui küljed on võrdsed, on selline trapets võrdhaarne. Aluste vahelist kaugust nimetatakse trapetsi kõrguseks.
Trapetsi keskmine joon
Keskjoon on lõik, mis ühendab trapetsi külgede keskpunkte. Trapetsi keskjoon on paralleelne selle alustega.
Teoreem:
Kui ühe külje keskosa läbiv sirgjoon on paralleelne trapetsi alustega, siis poolitab see trapetsi teise külje.
Teoreem:
Keskjoone pikkus võrdub selle aluste pikkuste aritmeetilise keskmisega
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN keskjoon, AB ja CD - alused, AD ja BC - küljed
MN = (AB + DC) / 2
Teoreem:
Trapetsi keskjoone pikkus on võrdne selle aluste pikkuste aritmeetilise keskmisega.
Peamine ülesanne: Tõesta, et trapetsi keskjoon poolitab lõigu, mille otsad asuvad trapetsi aluse keskel.
Kolmnurga keskjoon
Kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse kolmnurga keskjooneks. See on paralleelne kolmanda küljega ja on pool kolmanda külje pikkusest.
Teoreem: Kui sirge, mis lõikab kolmnurga ühe külje keskpunkti, on paralleelne selle kolmnurga teise küljega, jagab see kolmanda külje pooleks.
AM = MC ja BN = NC =>
Kolmnurga ja trapetsi keskjoone omaduste rakendamine
Lõigu jagamine teatud arvuks võrdseteks osadeks.
Ülesanne: Jaga lõik AB 5 võrdseks osaks.
Lahendus:
Olgu p juhuslik kiir, mille alguspunkt on punktis A ja mis ei asu sirgel AB. Asetame järjestikku 5 võrdset segmenti p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Ühendame punktid A 5 B-ga ja tõmbame läbi punktide A 4, A 3, A 2 ja A 1 sellised jooned, mis on paralleelsed punktiga A 5 B. Need lõikuvad punktides AB vastavalt punktides B 4, B 3, B 2 ja B 1 . Need punktid jagavad lõigu AB 5 võrdseks osaks. Tõepoolest, trapetsist BB 3 A 3 A 5 näeme, et BB 4 = B 4 B 3. Samamoodi saame trapetsist B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2
Kui trapetsist B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Siis B 2 AA 2 põhjal järeldub, et B 2 B 1 = B 1 A. Kokkuvõtteks saame:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
On selge, et lõigu AB jagamiseks teiseks arvuks võrdseteks osadeks peame projitseerima kiirele p sama palju võrdseid lõike. Ja seejärel jätkake ülalkirjeldatud viisil.
Selles artiklis oleme koostanud teie jaoks veel ühe valiku trapetsikujulistest probleemidest. Tingimused on kuidagi seotud selle keskjoonega. Ülesannete tüübid on võetud tüüpiliste ülesannete avatud pangast. Soovi korral saate värskendada oma teoreetilisi teadmisi. Blogis on juba käsitletud ülesandeid, mille tingimused on samuti seotud. Lühidalt keskmisest reast:
Trapetsi keskjoon ühendab külgmiste külgede keskpunkte. See on paralleelne alustega ja võrdne nende poolsummaga.
Enne probleemide lahendamist vaatame teoreetilist näidet.
Antud trapets ABCD. Keskjoonega lõikuv diagonaal AC moodustab punkti K, diagonaal BD moodustab punkti L. Tõesta, et lõik KL võrdub poolega aluste vahest.
Märgime esmalt tõsiasja, et trapetsi keskjoon poolitab iga lõigu, mille otsad asuvad selle alustel. See järeldus viitab iseenesest. Kujutage ette kahte baaspunkti ühendavat segmenti, mis jagab selle trapetsi kaheks teiseks. Selgub, et trapetsi alustega paralleelne ja teiselt poolt külje keskosa läbiv segment läbib selle keskosa.
See põhineb ka Thalese teoreemil:
Kui ühel kahest sirgest jätame kõrvale mitu võrdset lõiku järjest ja tõmbame nende otste kaudu paralleelsed sirgjooned, mis lõikuvad teist sirget, siis lõikavad nad teisel sirgel võrdsed lõigud.
See tähendab, et antud juhul on K AC keskpunkt ja L on BD keskpunkt. Seetõttu on EK kolmnurga ABC keskjoon, LF kolmnurga DCB keskjoon. Kolmnurga keskjoone omaduse järgi:
Nüüd saame segmenti KL väljendada aluste kaudu:
Tõestatud!
See näide on toodud põhjusega. Iseseisva lahenduse probleemide puhul on just selline probleem. Ainult see ei ütle, et diagonaalide keskpunkte ühendav segment asub keskjoonel. Kaaluge ülesandeid:
27819. Leidke trapetsi keskjoon, kui selle alused on 30 ja 16.
Arvutame valemiga:
27820. Trapetsi keskjoon on 28 ja väiksem alus on 18. Leia trapetsi suurem alus.
Väljendame suuremat alust:
Sellel viisil:
27836. Nürinurga tipust võrdhaarse trapetsi suurema aluse poole langetatud risti jagab selle osadeks pikkustega 10 ja 4. Leidke selle trapetsi keskjoon.
Keskjoone leidmiseks peate teadma alust. Alust AB on lihtne leida: 10 + 4 = 14. Otsige DC.
Ehitame teise risti DF:
AF, FE ja EB on vastavalt 4, 6 ja 4. Miks?
Võrdhaarse trapetsi puhul jagavad suuremale alusele langetatud perpendikulaarid selle kolmeks segmendiks. Kaks neist, mis on äralõigatud täisnurksete kolmnurkade jalad, on üksteisega võrdsed. Kolmas segment on võrdne väiksema alusega, kuna näidatud kõrguste ehitamisel moodustub ristkülik ja ristküliku vastasküljed on võrdsed. Selles ülesandes:
Seega DC = 6. Arvutame:
27839. Trapetsi alused on 2: 3 ja keskmine joon on 5. Leia väiksem alus.
Võtame kasutusele proportsionaalsuse koefitsiendi x. Siis AB = 3x, DC = 2x. Võime kirjutada:
Seetõttu on väiksem alus 2 ∙ 2 = 4.
27840. Võrdhaarse trapetsi ümbermõõt on 80, selle keskjoon on võrdne külgküljega. Leidke trapetsi külg.
Tingimuse põhjal võime kirjutada:
Kui määrate keskmise joone x väärtuse kaudu, saate:
Teise võrrandi saab juba kirjutada kujul:
27841. Trapetsi keskjoon on 7 ja selle üks alus on teisest 4 võrra suurem. Leia trapetsi suurem alus.
Tähistame väiksemat alust (DC) kui x, siis suurem (AB) võrdub x + 4-ga. Võime üles kirjutada
Saime, et alumine baas on varajane viis, seega suurem on 9.
27842. Trapetsi keskjoon on 12. Üks diagonaalidest jagab selle kaheks lõiguks, mille vahe on 2. Leia trapetsi suurem alus.
Leiame lihtsalt trapetsi suurema aluse, kui arvutame välja lõigu EO. See on kolmnurga ADB keskmine joon ja AB = 2 ∙ EO.
Mis meil on? Öeldakse, et keskjoon on 12 ning lõikude EO ja OF vahe on 2. Võime kirjutada kaks võrrandit ja lahendada süsteemi:
On selge, et sel juhul on võimalik ilma arvutusteta valida numbripaar, need on 5 ja 7. Kuid sellegipoolest lahendame süsteemi:
Seega EO = 12–5 = 7. Seega on suurem alus võrdne AB = 2 ∙ EO = 14.
27844. Võrdhaarse trapetsi diagonaalid on risti. Trapetsi kõrgus on 12. Leia selle keskjoon.
Vahetult märgime, et võrdkülgse trapetsi diagonaalide lõikepunkti kaudu tõmmatud kõrgus asub sümmeetriateljel ja jagab trapetsi kaheks võrdseks ristkülikukujuliseks trapetsiks, see tähendab, et selle kõrguse alused jagatakse pooleks.
Näib, et keskjoone arvutamiseks peame leidma alused. Siin tekib väike ummik ... Kuidas, teades kõrgust, antud juhul arvutada aluseid? Ja mitte kuidas! Selliseid fikseeritud kõrgusega ja 90 kraadise nurga all ristuvate diagonaalidega trapetse on palju. Kuidas olla?
Vaadake trapetsi keskjoone valemit. Lõppude lõpuks ei pea me teadma aluseid endid, piisab nende summa (või poolsumma) teadmisest. Me suudame seda teha.
Kuna diagonaalid lõikuvad täisnurga all, moodustatakse võrdhaarsed täisnurksed kolmnurgad kõrgusega EF:
Eeltoodust järeldub, et FO = DF = FC ja OE = AE = EB. Nüüd kirjutame üles, mis on segmentide DF ja AE kõrgus väljendatud:
Nii et keskmine joon on 12.
* Üldiselt on see, nagu aru saate, verbaalse loendamise ülesanne. Kuid olen kindel, et esitatud üksikasjalik selgitus on vajalik. Ja nii ... Kui vaatate joonist (eeldusel, et ehitamisel jälgitakse diagonaalide vahelist nurka), torkab kohe silma võrdsus FO = DF = FC ja OE = AE = EB.
Prototüüpide osana on ka trapetsidega ülesandeid. See on ehitatud puuris olevale lehele ja peate leidma keskmise joone, puuri külg on tavaliselt 1, kuid seal võib olla erinev väärtus.
27848. Leia trapetsi keskjoon ABCD kui ruudukujuliste lahtrite küljed on 1.
See on lihtne, me arvutame alused lahtrite kaupa ja kasutame valemit: (2 + 4) / 2 = 3
Kui alused on ehitatud rakuvõrgu suhtes nurga all, on kaks võimalust. Näiteks!
Tunni eesmärgid:
1) tutvustab õpilastele trapetsi keskjoone mõistet, kaalub selle omadusi ja tõestab neid;
2) õpetab ehitama trapetsi keskjoont;
3) arendada õpilaste oskust kasutada ülesannete lahendamisel trapetsi keskjoone definitsiooni ja trapetsi keskjoone omadusi;
4) jätkab õpilaste korrektse kõneoskuse kujundamist, kasutades selleks vajalikke matemaatilisi termineid; tõestada oma seisukohta;
5) arendab loogilist mõtlemist, mälu, tähelepanu.
Tundide ajal
1. Kodutööde kontrollimine toimub tunni ajal. Kodutöö oli suuline, pidage meeles:
a) trapetsi määratlus; trapetsi tüübid;
b) kolmnurga keskjoone määramine;
c) kolmnurga keskjoone omadus;
d) kolmnurga keskjoone märk.
2. Uue materjali õppimine.
a) Tahvlil on kujutatud trapets ABCD.
b) Õpetaja soovitab meeles pidada trapetsi määratlust. Igal koolilaual on vihjeskeem, mis aitab meeles pidada põhimõisteid teemas "Trapets" (vt lisa 1). Iga koolipingi kohta väljastatakse lisa 1.
Õpilased joonistavad vihikusse trapetsi ABCD.
c) Õpetaja soovitab meeles pidada, millises teemas keskjoone mõistega kokku puututi (“Kolmnurga keskjoon”). Õpilased meenutavad kolmnurga keskjoone määratlust ja selle omadust.
e) Kirjutage üles trapetsi keskjoone määratlus, kujutades seda vihikus.
Keskmine joon trapetsi nimetatakse lõiguks, mis ühendab selle külgmiste külgede keskpunkte.
Trapetsi keskjoone omadus selles etapis jääb tõestamata, seetõttu on tunni järgmises etapis töötamine trapetsi keskjoone omaduse tõestamise kallal.
Teoreem. Trapetsi keskjoon on paralleelne selle alustega ja võrdub nende poolsummaga.
Arvestades: ABCD - trapets,
MN - keskmine joon ABCD
Tõesta, mida:
1. eKr || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Saame välja kirjutada mõned teoreemi tingimustest tulenevad tagajärjed:
AM = MB, CN = ND, BC || AD.
Ainult loetletud omaduste põhjal ei ole võimalik nõutavat tõestada. Küsimuste ja harjutuste süsteem peaks viima õpilasteni soovini ühendada trapetsi keskjoon kolmnurga keskjoonega, mille omadusi nad juba teavad. Kui ettepanekuid pole, võite esitada küsimuse: kuidas ehitada kolmnurka, mille keskjoon oleks lõik MN?
Paneme ühe juhtumi jaoks kirja lisakonstruktsiooni.
Joonista sirge BN, mis lõikab külje AD pikendust punktis K.
Ilmuvad lisaelemendid - kolmnurgad: ABD, BNM, DNK, BCN. Kui tõestame, et BN = NK, siis see tähendab, et MN on ABD keskjoon ja siis saame kasutada kolmnurga keskjoone omadust ja tõestada, mida on vaja.
Tõestus:
1. Kaaluge BNC ja DNK, nendes:
a) CNB = DNK (vertikaalse nurga omadus);
b) BCN = NDK (ristuvate nurkade omadus);
c) CN = ND (teoreemi tingimuste järel).
Seega BNC = DNK (piki külge ja kahte külgnevat nurka).
Q.E.D.
Tõestust saab tunnis läbi viia suuliselt, kodus aga taastada ja vihikusse kirja panna (õpetaja äranägemisel).
Selle teoreemi teiste võimalike tõestamisviiside kohta on vaja öelda:
1. Joonista üks trapetsi diagonaalidest ja kasuta kolmnurga keskjoone märki ja omadust.
2. Viia läbi CF || BA ja vaatleme rööpkülikut ABCF ja DCF.
3. EF || BA ja kaaluge FND ja ENC võrdsust.
g) Selles etapis antakse kodutööd: lk 84, õpik, toim. Atanasyan L.S. (trapetsi keskjoone omaduse tõestus vektorkujul), kirjuta vihikusse.
h) Lahendame valminud jooniste järgi trapetsi keskjoone definitsiooni ja omaduste kasutamise ülesanded (vt lisa 2). Igale õpilasele väljastatakse lisa 2, mille ülesannete lahendus vormistatakse lühivormis samale lehele.
Trapetsi piirkond. Tervitused! Selles postituses vaatleme määratud valemit. Miks ta on täpselt samasugune ja kuidas teda mõista. Kui on mõistmist, siis pole vaja seda õppida. Kui soovite lihtsalt näha seda valemit ja seda, mis on kiireloomuline, saate kohe lehte alla kerida))
Nüüd üksikasjalikult ja järjekorras.
Trapets on nelinurk, selle nelinurga kaks külge on paralleelsed, ülejäänud kaks mitte. Need, mis pole paralleelsed, on trapetsi alused. Ülejäänud kahte nimetatakse külgedeks.
Kui küljed on võrdsed, nimetatakse trapetsi võrdhaarseks. Kui üks külgmistest külgedest on alustega risti, siis nimetatakse sellist trapetsi ristkülikukujuliseks.
Klassikalisel kujul on trapets kujutatud järgmiselt - suurem alus on vastavalt all, väiksem ülaosas. Kuid keegi ei keela teda kujutada ja vastupidi. Siin on visandid:
Järgmine oluline kontseptsioon.
Trapetsi keskjoon on joon, mis ühendab külgede keskpunkte. Keskmine joon on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub nende poolsummaga.
Nüüd süveneme sügavamale. Miks see nii on?
Mõelge alustega trapetsile a ja b ja keskmise joonega l, ja teeme mõned täiendavad konstruktsioonid: tõmmake sirgjooned läbi aluste ja risti läbi keskjoone otste, kuni need lõikuvad alustega:
* Tippude ja muude punktide tähttähistusi ei lisata teadlikult, et vältida tarbetuid tähistusi.
Vaata, kolmnurgad 1 ja 2 on kolmnurkade teises võrdusmärgis võrdsed, kolmnurgad 3 ja 4 on samad. Kolmnurkade võrdsus eeldab elementide, nimelt jalgade võrdsust (need on tähistatud vastavalt sinise ja punasega).
Nüüd tähelepanu! Kui me vaimselt "lõigame ära" sinise ja punase segmendi alumisest alusest, siis saame segmenti (see on ristküliku külg), mis on võrdne keskjoonega. Edasi, kui "liimime" ära lõigatud sinise ja punase joone trapetsi ülemise aluse külge, siis saame ka lõigu (see on ka ristküliku külg), mis on võrdne trapetsi keskjoonega.
Sain aru? Selgub, et aluste summa on võrdne trapetsi kahe keskmise joonega:
Vaadake teist selgitust
Teeme nii - loome trapetsi alumist alust läbiva sirge ja punkte A ja B läbiv sirge:
Saame kolmnurgad 1 ja 2, need on küljel ja sellega külgnevatel nurkadel võrdsed (teine kolmnurkade võrdsuse märk). See tähendab, et saadud segment (visandil on see tähistatud sinisega) on võrdne trapetsi ülemise alusega.
Nüüd kaaluge kolmnurka:
* Selle trapetsi keskjoon ja kolmnurga keskjoon langevad kokku.
On teada, et kolmnurk on võrdne poolega selle paralleelsest alusest, see tähendab:
Olgu, sai korda. Nüüd trapetsi pindala kohta.
Trapetsi pindala valem:
Nad ütlevad: trapetsi pindala on võrdne selle aluste ja kõrguse poolsumma korrutisega.
See tähendab, et selgub, et see võrdub keskjoone ja kõrguse korrutisega:
Tõenäoliselt olete nüüdseks märganud, et see on ilmne. Geomeetriliselt saab seda väljendada järgmiselt: kui lõikame kolmnurgad 2 ja 4 mõttes trapetsist ära ja asetame need vastavalt kolmnurkadele 1 ja 3:
Seejärel saame ristküliku, mille pindala on võrdne meie trapetsi pindalaga. Selle ristküliku pindala võrdub keskjoone ja kõrguse korrutisega, see tähendab, et võime kirjutada:
Aga mõte pole siin muidugi salvestuses, vaid arusaamises.
Lae alla (vaata) artikli materjal * pdf formaadis
See on kõik. Edu teile!
Lugupidamisega Aleksander.
Laadimine ...